圆和旋转压轴题解题技巧与近几年中考试题汇总

M
E
D
C B A
如何短时间突破数学压轴题
还有不到一个月的时间就要进行期中考试了，期中考试的重要性不必多说。

各区期中考试的范围相信学生们都已经非常清楚。

个人觉得现在大部分学生的困难在于旋转、圆，由于时间比较紧张，给大家一些复习资料和学习方法，希望能够帮到大家。

一、旋转：
纵观几年的数学试卷，最难的几何题几乎都是旋转，在此给出旋转中最常见的几何模型和一些解题技巧。

旋转模型： 1、三垂直全等模型
三垂直全等构造方法：从等腰直角三角形的两个锐角顶点出发向过直角顶点的直线作垂线。

2、手拉手全等模型 手拉手全等基本构图： 3、等线段、共端点 (1) 中点旋转(旋转180°) (2) 等腰直角三角形(旋转90°)
(3) 等边三角形旋转(旋转60°)
(4) 正方形旋转(旋转90°)
4、半角模型
半角模型所有结论：在正方形ABCD 中，已知E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且满足∠EAF =45°，AE 、AF 分别与对角线BD 交于点M 、N .求证： (1) BE +DF =EF ； (2) S △ABE +S △ADF =S △AEF ； (3) AH =AB ； (4) C △ECF =2AB ； (5) BM 2
+DN 2
=MN 2
；
(6) △DNF ∽△ANM ∽△AEF ∽△BEM ；相似比为1：2(由△AMN 与△AEF 的高之比AO ： AH =AO ：AB =1：2而得到)； (7) S △AMN =S 四边形MNFE ； (8) △AOM ∽△ADF ，△AON ∽△ABE ；
(9) ∠AEN 为等腰直角三角形，∠AEN =45°.(1. ∠EAF =45°；2.AE ：AN =1：2)
解题技巧：
1.遇中点，旋180°，构造中心对称
例：如图，在等腰ABC △中，AB AC =，ABC α∠=，在四边形BDEC 中，DB DE =，2BDE α∠=，M 为CE 的中点，连接AM ，DM ．
⑴ 在图中画出DEM △关于点M 成中心对称的图形； ⑵ 求证：AM DM ⊥；
⑶ 当α=___________时，AM DM =．
[解析]⑴ 如图所示；
⑵ 在⑴的基础上，连接AD AF ，
由⑴中的中心对称可知，DEM FCM △≌△，
∴DE FC BD ==，DM FM =，DEM FCM ∠=∠，
∵360ABD ABC CBD BDE DEM BCE α∠=∠+∠=+︒-∠-∠-∠ 360DEM BCE α=︒--∠-∠，
360360ACF ACE FCM BCE FCM α∠=︒-∠-∠=︒--∠-∠，
F
B A
C
A B
C
D
A
B
C D
E'E
D
C
B
A
F
E
D C
B A
∴ABD ACF ∠=∠，
∴ABD ACF △≌△，∴AD AF =， ∵DM FM =，∴AM DM ⊥． ⑶ 45α=︒．
2.遇90°。

旋90°，造垂直；
例：请阅读下列材料：
已知：如图1在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 分别为线段BC 上两动点，若45DAE ∠=︒．探究线段BD 、DE 、EC 三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABE '∆，连结E D '， 使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
⑴ 猜想BD 、DE 、EC 三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
⑵ 当动点E 在线段BC 上，动点D 运动在线段CB 延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
[解析] ⑴ 222DE BD EC =+
证明：根据AEC ∆绕点A 顺时针旋转90︒得到ABE '∆ ∴AEC ABE '∆∆≌
∴BE EC '=，AE AE '=，C ABE '∠=∠，EAC E AB '∠=∠
在Rt ABC ∆中 ∵AB AC =
∴45ABC ACB ∠=∠=︒
∴90ABC ABE '∠+∠=︒ 即90E BD '∠=︒ ∴2
2
2E B BD E D ''+=
又∵45DAE ∠=︒
∴45BAD EAC ∠+∠=︒ ∴45E AB BAD '∠+∠=︒ 即45E AD '∠=︒ ∴AE D AED '∆∆≌ ∴DE DE '=
∴222DE BD EC =+
⑵ 关系式222DE BD EC =+仍然成立
证明：将ADB ∆沿直线AD 对折，得AFD ∆，连FE ∴AFD ABD ∆∆≌
∴AF AB =，FD DB =
FAD BAD ∠=∠，AFD ABD ∠=∠ 又∵AB AC =，∴AF AC =
∵45FAE FAD DAE FAD ∠=∠+∠=∠+︒ ∴FAE EAC ∠=∠ 又∵AE AE = ∴AFE ACE ∆∆≌
∴FE EC =，45AFE ACE ∠=∠=︒
∴1354590DFE AFD AFE ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ∴在Rt DFE ∆中
222DF FE DE +=即222DE BD EC =+
3.遇60°，旋60°，造等边；
例：已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题:
（1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ； （2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ； （3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.
图 1 图 2 图3
解：（1）
33；…………………………………………
1’
（
2
）
2363-； …………………………………………2’
（3）以点D 为中心，将△DBC 逆时针旋转60°，则点B 落在点A ，点C 落在点E.联结AE,CE ，
∴CD=ED ，∠CDE=60°，AE=CB= a ， ∴△CDE 为等边三角形，
∴CE=CD. …………………………………………4’ 当点E 、A 、C 不在一条直线上时，有CD=CE<AE+AC=a +b ； 当点E 、A 、C 在一条直线上时， CD 有最大值，CD=CE=a +b ；
此时∠CED=∠BCD=∠ECD=60°，∴∠ACB=120°，……………………7’ 因此当∠ACB=120°时，CD 有最大值是a +b . 4.遇等腰，旋顶角。

综上四点得出旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转。

图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点在于倒角，下面给出旋转倒角模型。

二、圆
1、所给条件为特殊角或者普通角的三角函数时；
(1)特殊角问题或者锐角三角函数问题，必须有直角三角形才行，如果题目条件中给的特殊角并没有放入直角三角形中时，需要构造直角三角形。

构造圆中的直角三角形，主要有以下四种类型： ①利用垂径定理； ②直接作垂线构造直角三角形； ③构造所对的圆周角； ④连接圆心和切点；
(2)另外，在解题时，还应该掌握的一个技巧就是，利用同弧或等弧上的圆周角相等，把不在直角三角形的角，等量代换转移进直角三角形中.
在圆中，倒角的技巧有如下图几种常见的情形：
2、所给条件为线段长度、或者线段的倍分关系时；
(1)因为圆中能产生很多直角三角形，所以可以考虑利用勾股定理来计算线段长度，在利用勾股定理来计算线段长度时，特别是在求半径时，经常会利用半径来表示其他线段的长度，常见情形如下；
(2)圆中能产生很多相似三角形，所以经常也会利用相似三角形对应边成比例来计算线段长度，常见的圆中相似情形如下：
注：圆中的中档题目，学校会留很多，在此就不放了，来两道有意思的题目。

8．如图，AB 是
O 直径，弦CD 交AB 于E ，45AEC ∠=︒，2AB =．设AE x =，22
D y C
E E +=．
下列图象中，能表示y 与x 的函数关系是的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：A
8. 如图，以(0,1)G 为圆心，半径为2的圆与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于
C 、
D 两点,点
E 为⊙G 上一动点，C
F AE ⊥于F .当点E 从点B 出发顺时针
运动到点D 时，点F 所经过的路径长为
3/
1/
1
2
2 1
O
x
y
1 2
2 1
O x
y
1 2
2 1
O x y
1 2
2 1
O x
y
(0,1)
I
A．
3
2
πB．
3
3
πC．
3
4
πD．
3
6
π答案：B。