人教中考数学压轴题之旋转(中考题型整理,突破提升)及答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．(1)如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F，连接BE、DF，且BE平分∠ABD．

①求证：四边形BFDE是菱形；

②直接写出∠EBF的度数；

(2)把(1)中菱形BFDE进行分离研究，如图②，点G、I分别在BF、BE边上，且BG=BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH并延长，交ED于点J，连接IJ、IH、IF、IG.试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；

(3)把(1)中矩形ABCD进行特殊化探究，如图③，当矩形ABCD满足AB=AD时，点E是对角线AC上一点，连接DE、EF、DF，使△DEF是等腰直角三角形，DF交AC于点G.请直接写出线段AG、GE、EC三者之间满足的数量关系.

【答案】（1）①详见解析；②60°．（2）IH＝3FH；（3）EG2＝AG2+CE2．

【解析】

【分析】

（1）①由△DOE≌△BOF，推出EO＝OF，∵OB＝OD，推出四边形EBFD是平行四边形，再证明EB＝ED即可．

②先证明∠ABD＝2∠ADB，推出∠ADB＝30°，延长即可解决问题．

（2）IH＝3FH．只要证明△IJF是等边三角形即可．

（3）结论：EG2＝AG2+CE2．如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，先证明△DEG≌△DEM，再证明△ECM是直角三角形即可解决问题．

【详解】

（1）①证明：如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，OB＝OD，

∴∠EDO＝∠FBO，

在△DOE和△BOF中，

EDO FBO OD OB

EOD BOF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩

＝＝＝ ， ∴△DOE ≌△BOF ，

∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，

∴四边形EBFD 是平行四边形，

∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，

∴EB ＝ED ，

∴四边形EBFD 是菱形．

②∵BE 平分∠ABD ，

∴∠ABE ＝∠EBD ，

∵EB ＝ED ，

∴∠EBD ＝∠EDB ，

∴∠ABD ＝2∠ADB ，

∵∠ABD +∠ADB ＝90°，

∴∠ADB ＝30°，∠ABD ＝60°，

∴∠ABE ＝∠EBO ＝∠OBF ＝30°，

∴∠EBF ＝60°．

（2）结论：IH

＝3FH ．

理由：如图2中，延长BE 到M ，使得EM ＝EJ ，连接MJ ．

∵四边形EBFD 是菱形，∠B ＝60°，

∴EB ＝BF ＝ED ，DE ∥BF ，

∴∠JDH ＝∠FGH ，

在△DHJ 和△GHF 中，

DHG GHF DH GH

JDH FGH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩

＝＝＝ ， ∴△DHJ ≌△GHF ，

∴DJ ＝FG ，JH ＝HF ，

∴EJ ＝BG ＝EM ＝BI ，

∴BE ＝IM ＝BF ，

∵∠MEJ ＝∠B ＝60°，

∴△MEJ 是等边三角形，

∴MJ ＝EM ＝NI ，∠M ＝∠B ＝60°

在△BIF 和△MJI 中，

BI MJ B M BF IM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩

＝＝＝，

∴△BIF ≌△MJI ，

∴IJ ＝IF ，∠BFI ＝∠MIJ ，∵HJ ＝HF ，

∴IH ⊥JF ，

∵∠BFI +∠BIF ＝120°，

∴∠MIJ +∠BIF ＝120°，

∴∠JIF ＝60°，

∴△JIF 是等边三角形，

在Rt △IHF 中，∵∠IHF ＝90°，∠IFH ＝60°，

∴∠FIH ＝30°，

∴IH

＝3FH ．

（3）结论：EG 2＝AG 2+CE 2．

理由：如图3中，将△ADG 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ，

∵∠FAD +∠DEF ＝90°，

∴AFED 四点共圆，

∴∠EDF ＝∠DAE ＝45°，∠ADC ＝90°，

∴∠ADF +∠EDC ＝45°，

∵∠ADF ＝∠CDM ，

∴∠CDM +∠CDE ＝45°＝∠EDG ，

在△DEM 和△DEG 中，

DE DE EDG EDM DG DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩

＝＝＝ ， ∴△DEG ≌△DEM ，

∴GE ＝EM ，

∵∠DCM ＝∠DAG ＝∠ACD ＝45°，AG ＝CM ，

∴∠ECM ＝90°

∴EC 2+CM 2＝EM 2，

∵EG ＝EM ，AG ＝CM ，

∴GE 2＝AG 2+CE 2．

【点睛】

考查四边形综合题、矩形的性质、正方形的性质、菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题.

2．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点一次落在直线y x

=上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y x

=于点M，BC边交x轴于点N（如图）.

（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；

（3）设MBN

∆的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.

【答案】（1）π/2（2）22.5°(3)周长不会变化，证明见解析

【解析】

试题分析：（1）根据扇形的面积公式来求得边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）解决本题需利用全等，根据正方形一个内角的度数求出∠AOM的度数；

（3）利用全等把△MBN的各边整理到成与正方形的边长有关的式子．

试题解析：（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，

∴OA旋转了45°．

∴OA在旋转过程中所扫过的面积为

2

452

3602ππ

⨯

=．

（2）∵MN∥AC，

∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．

∴∠BMN=∠BNM．∴BM=BN．

又∵BA=BC，∴AM=CN．

又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，∴△OAM≌△OCN．

∴∠AOM=∠CON=1

2（∠AOC-∠MON）=

1

2

（90°-45°）=22.5°．

∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为45°-22.5°=22.5°．（3）在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化．

证明：延长BA交y轴于E点，