异面直线所成角练习
高三复习——异面直线
高三复习——异面直线考点1 异面直线所成的角此类题目一般是按定义作出异面直线所成的角，然后通过解三角形来求角.异面直线所成的角是高考考查的重点.例1如图，在Rt AOB △中，π6OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --的直二面角．D 是AB 的中点．（I ）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（II ）求异面直线AO 与CD 所成角的正切值的大小． 解答过程：（I ）由题意，CO AO ⊥，BO AO ⊥，BOC ∴∠是二面角B AO C --是直二面角， CO BO ∴⊥，又AOBO O =，CO ∴⊥平面AOB ，又CO ⊂平面COD ．∴平面COD ⊥平面AOB ．（II ）作DE OB ⊥，垂足为E ，连结CE （如图），则DE AO ∥，CDE ∴∠是异面直线AO 与CD 所成的角．在Rt COE △中，2CO BO ==，112OE BO ==，CE ∴又12DE AO =∴在Rt CDE △中，tan CE CDE DE=同步练习：1. 在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，∠ABC=90°，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=12 （1）求四棱锥S-ABCD 的体积； （2）求直线AB 与直线SD 所成角的大小OCADBE2.在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AC⊥BC，且AC=BC=BD=2AE，M 是AB的中点．（I）求证：CM⊥EM；（Ⅱ）求CM与平面CDE所成的角3.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中点．（Ⅰ）求PB和平面PAD所成的角的大小；（Ⅱ）证明AE⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角A-PD-C的大小．考点2.简单多面体的侧面积及体积的计算棱柱侧面积转化成求矩形或平行四边形面积，棱柱侧面积转化成求三角形的面积. 直棱柱体积V 等于底面积与高的乘积.棱锥体积V 等于31Sh 其中S 是底面积，h 是棱锥的高.例2. 如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2a ，BC ＝CA ＝AA 1＝a ， A 1在底面△ABC 上的射影O 在AC 上 ① 求AB 与侧面AC 1所成角；② 若O 恰好是AC 的中点，求此三棱柱的侧面积.[思路启迪]①找出AB 与侧面AC 1所成角即是∠CAB ；②三棱锥侧面积转化成三个侧面面积之和，侧面BCC 1B 1是正方形，侧面ACC 1A 1和侧面ABB 1A 1是平行四边形，分别求其面积即可. 解答过程：①点A 1在底面ABC 的射影在AC 上， ∴ 平面ACC 1A 1⊥平面ABC .在△ABC 中，由BC ＝AC ＝a ，AB ＝2a . ∴ ∠ACB ＝90°，∴ BC ⊥AC . ∴ BC ⊥平面ACC 1A 1.即 ∠CAB 为AB 与侧面AC 1所成的角在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°. ∴ AB 与侧面AC 1所成角是45°.∵ O 是AC 中点，在Rt △AA 1O 中，AA 1＝a ，AO ＝21a . ∴ AO 1＝23a . ∴ 侧面ACC 1A 1面积S 1＝2123a ＝AO AC . 又BC ⊥平面ACC 1A 1 ， ∴ BC ⊥CC 1. 又BB 1＝BC ＝a ，∴ 侧面BCC 1B 1是正方形，面积S 2＝a 2.过O 作OD ⊥AB 于D ，∵ A 1O ⊥平面ABC ，∴A 1D ⊥AB .A 1B 1C 1AB CDO在Rt △AOD 中，AO ＝21a ，∠CAD ＝45° ∴ OD ＝42a 在Rt △A 1OD 中，A 1D ＝222122342）＋（）（＝a a O ＋A OD ＝a 87. ∴ 侧面ABB 1A 1面积S 3＝a a D ＝A AB 8721⋅⋅＝227a .∴ 三棱柱侧面积 S ＝S 1＋S 2＋S 3＝273221a ）＋＋（.同步练习：1. 如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EDB ⊥平面ABD（I ）求证：AB ⊥DE （Ⅱ）求三棱锥E-ABD 的侧面积2.如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP ～△BAD ．（1）求线段PD 的长；（2）若PC ＝11 R ，求三棱锥P-ABC 的体积．考点3 异面直线的距离（1）直接法：根据定义，直接找出公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。
几何法求线线角,线面角,二面角的10类题型(学生版)
几何法求线线角、线面角、二面角常考题型题型一平行四边形平移法求线线角 4题型二中位线平移法求线线角 5题型三补形平移法求线线角 5题型四作垂线法求线面角 6题型五等体积法求线面角 7题型六定义法求二面角 7题型七三垂线法求二面角 8题型八垂面法求二面角 9题型九补棱法求二面角 10题型十射影面积法求二面角 11知识梳理一、线线角的定义与求解线线角主要是求异面直线所成角。
1、线线角的定义：①定义：设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a ⎳a，b ⎳b，把a 与b 所成的锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角(或夹角)②范围：0,π22、求异面直线所成角一般步骤：(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0,π2，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．3、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：①平行四边形平移法；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．二、线面角的定义与求解1、线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，取值范围：[0°，90°]2、垂线法求线面角(也称直接法)：(1)先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足O；(2)连结斜足与垂足为斜线AB在面α上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；(3)把投影BO与斜线AB归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形)。
3、公式法求线面角(也称等体积法)：用等体积法，求出斜线P A在面外的一点P到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解。
公式为：sinθ=h，其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，l是斜线段的长。
利用空间向量求异面直线所成角及直线与平面所成角
第三节 利用空间向量求异面直线所成角及直线与平面所成角 一、异面直线所成角设AB 、CD 为异面直线，所成角为θ则=θcos练习：如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1、AD 的中点，则OE 和FD 1所成角的余弦值为________.探讨：如图,正四面体A-BCD 中，E 、F 分别是BC 、AD求AE 和CF 所成角的余弦值。
例1、如图，ABCD-A 1B 1C 1D 1是正四棱柱，（1）求证BD ⊥平面ACC 1A 1 （2）若二面角C 1-BD-C 的大小为︒60，求异面直线BC1与AC 所成角大小 。
（06北京文）二、直线与平面所成角1、法向量：如表示向量→a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥→a 。
如果α⊥→a ，那么向量→a 叫平面α的法向量。
例2，如图所示，ABCD 是直角梯形AD //BC ，︒=∠90ABC SA ⊥平面ABCD ，SA=AB=BC=1 ，AD=21， （1） 求平面SBC 的一个法向量； （2） 求平面SCD 的一个法向量； （3） 求平面SAD 的一个法向量；D 1 C 1ABC DA 1B 1（4）求平面ABCD的一个法向量。
2，若AB是平面α的一条斜线，→n是α的一个法向量，设AB与α所成角为θ，则sinθ。
例3，如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，求AC1与平面BB1C1C所成角。
练习：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、NB 1C1、AD的中点，求直线A1D1与平面BMD1N的余弦值。
例4，如图，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，AB=BC，AD 平面BCD所成角为30°。
（1）求AD与平面ABC所成的角；（2）AC与平面ABD所成角。
作业：1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中BC=22，214=CD ，51=DD ，求A 1C 和B 1D 1所成角的 大小。
异面直线所成角练习
1如图，在正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，异面直线AD 与BC i 所成的角为 A. 30°B . 45°C . 60° D. 90【答案】D 【解析】试题分析：如图所示，连接BC,则 B i C// A i D, BidBC ，二 A i D 丄BG ,A AD 与 BC 所成的角为 90° 故选：D. 考点：异面直线及其所成的角2.已知平行六面体 ABCD - A i BCD 中，底面 ABCD 是边长为 二/A i AD=i20°,则异面直线AG 与AD 所成角的余弦值（ i 的正方形， ）AA = 2,Z A i AB A.丄BC远DS03755【答案】B【解析】UUL r uur r uLur ruuuu r r r uuuu r r 试题分析： 设向量AB a,AD b,AA c ,则 AC i a b c,AD b c ,uuuu — I UULW L AC i V 2, A i D J 7 , uuuu uum cuun uuuu AC i AD cos AC i , A i D uuuu||uuuoAC i H AD考点：空间向量的集合运算及数量积运算3.正方体ABCD A , B i C i D i 中，E, F,G,H 分别是AR , AB , BB 「BG 的中点，则直线EF 与 GH 所成的角是（ ）A. 30° B . 45° C . 60°D . 90°【答案】C 【解析】试题分析：由三角形中位线可知 EF PAB,GH PBC 1，所以异面直线所成角为 ABG ，大小为60°考点：异面直线所成角在正方体ABCD A 1B 1C i D i 中，E 是BiG 的中点，则异面直线DC i 与BE 所成角的余弦值4. 2.5 5【答案】 【解析】 试题分析：取 A.2,5 5BC 中点F ，连结FD , FC i ，则DC i F 为异面直线所成角，设边长为 2,考点：异面直线所成角5•如图，正四棱柱ABCD A BCD中（底面是正方形，侧棱垂直于底面）,AA 3AB , 则异面直线AB与AD 所成角的余弦值为（）A、9 B 4、—C 、—D、310 5 10 5【答案】A【解析】试题分析：连结BC'，异面直线所成角为A'BC'，设AB 1 ,在A'BC'中AC ' .2, A'B BC'考点：异面直线所成角6.点P在正方形ABCD所在平面外，PA丄平面ABCD , PA AB，则PB与AC所成的角是A. 60 B . 90 C . 45 D . 30【答案】A【解析】试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2，所以PB与AC所成的角就是FEA，由题意可知：EF AE AF 2，所以FEA 60 .考点：异面直线的位置关系.所成角的余弦值为（）A. —B. —C.6 6【答案】A【解析】GF 5,DC1.8, DF 5 cos DC1F7.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD ABGD i中，M是棱CD的中点，则AM与DC1卫D. ^010 105试题分析：以D为原点，分别以DA,DC,DD i为x, y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系1D- xyz ，由棱长为1 ，贝U D(0,0,0), A,(1,0,1),M (0, — ,0), G(0,1,1), 所以2考点：空间向量所成角的余弦值AB1GD1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AR所成角的余弦值为A. B .逼 C . D . 12 3 2 2【答案】D【解析】B1C贝U B1AC即为所成的角。
高中数学线面角与线线角例题、习题-学生
线面角与线线角专练（小练习一）【知识网络】1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2πθ∈；（2）求法；2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]；（3）求法；【典型例题】例1：（1）在正方体1111ABCD A BC D -中，下列几种说法正确的是 （ ）A 、11AC AD ⊥B 、11DC AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45角D 、11AC 与1BC 成60角（2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ）A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个（3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ）A ．90ºB ．60ºC ．45ºD ．30º（4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。
（5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___.例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。
（I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1；（II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。
例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面PAB ⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB;(Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB;(Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; A B C DPA B C H S M 线面角与线线角专练（小练习二）例4：设△ABC 内接于⊙O ，其中AB 为⊙O 的直径，PA ⊥平面ABC 。
异面直线所成角练习
一．异面直线所成的角
1、在正方体1AC 中，M,N 分别是1A A 和1B B 的中点，求异面直线1A M 和1D N 所成的角的余弦值.
2、空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小
3、四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，求异面直线EF 与SA 所成的角的大小.
4、A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值.
5、四面体ABCD 中，AC ⊥BD,且AC ＝4，BD ＝3，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，求MN 和BD 所成角的正切值.
6、如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，
M 、N 分别是BC 和A 1C 1的中点 求MN 与CC 1所成角的余弦值。
7．如图，在正方体中，E 是A′D′的中点 (1)求直线BA′和CC′所成的角的大小； (2)求直线AE 和CC′所成的角的正切值；
(3)求直线AE 和BA′所成的角的余弦值
(第4题) F 1 A B C D 1 C 1 A 1 B 1 A
B C D M (第5题) N 4 3 (第6题) M A B C N C 1 A 1 B 1 F
B C E S (第3题) B '
(第7题) A ' A B C ' D ' C D F E。
高二数学必修2第二章异面直线成角(线线角)求解方法情况总结与例题
构造异面直线所成角的几种方法二、例题讲解例1已知ａ、ｂ、ｃ是两两异面的三条直线，且ａ⊥ｂ，ｄ是ａ、ｂ的公垂线．若ｃ⊥ａ，那么ｃ与ｄ有何位置关系?并说明理由．讲解：构造恰当的几何体是判断空间诸条直线位置关系的最佳思维选择，因为几何体具有直观和易于判断之优点．根据本题的特点，可考虑构造正方体．构造正方体ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，如图7-1所示，因为AB与CC１异面且垂直，BC是它们的公垂线，所以可记ＡＢ、ＣＣ１、ＢＣ分别为ａ、ｂ、ｄ．图7-1因为ｃ与ａ、ｂ均异面，且ｃ⊥ａ，注意到ａ⊥侧面ＡＤＤ１Ａ１，因此侧面ＡＤＤ１Ａ１内的任一直线均与ａ垂直．从图中可以看出，侧面ＡＤＤ１Ａ１内的Ａ１Ｄ１和Ａ１Ｄ均与ａ、ｂ异面，且均与ａ垂直，所以可记Ａ１Ｄ１或Ａ１Ｄ为ｃ．此时由Ａ１Ｄ１∥Ｂ１Ｃ１∥ＢＣ知ｃ∥ｄ；由Ａ１Ｄ与BC异面知ｃ与ｄ为异面直线．综上可知ｃ与ｄ平行或异面．正方体是一个很简单且很重要的几何模型．构造它可直观、简捷地判断线线、线面关系，特别是有关异面直线的问题易于解决．下面一组题目供思考练习：（1）无论怎样选择平面，两条异面直线在该平面内的射影都不可能是（）．A．两条平行直线B．两条相交直线C．一条直线和直线外一点D．两个点（2）在空间中，记集合M={与直线l不相交的直线}，集合N={与直线l平行的直线}，则M与N 的关系是（）．A．M=N B．M N C．M N D．不确定（3）a、b、c是空间中的三条直线，则下述传递关系中，为真命题的是（）．A．若a∥b,b∥c，则a∥cB．若a⊥b,b⊥c,则a⊥cC．若a与b相交，b与c相交，则a与c相交D．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面（4）同时与两条异面直线都相交的两条直线一定不是（）．A．异面直线B．相交直C．平行直线D．垂直直线（5）如图7-2所示，正方体ABCD-Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，EF是异面直线Ａ１Ｄ和AC的公垂线，则直线EF和BＤ１的关系是（）．图7-2Ａ．异面Ｂ．平行Ｃ．相交且垂直Ｄ．相交且不垂直例2在正三棱柱ＡＢＣ-Ａ１Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝ＢＢ１，则AB１与Ｃ１Ｂ所成的角的大小为（）．Ａ．60°Ｂ．90°Ｃ．105°Ｄ．75°讲解：根据题设作出图形（图7-3）．欲求异面直线AB１与C１Ｂ所成角的大小，需进行异面直线的平移，而平移既可在体内进行，也可通过补形（补面、补体）向体外发展．若考虑体内平移，则常常通过作出中位线达到平移目的，从而有：图7-3解法1．设ＡＢ、Ｂ１Ｂ、Ｂ１Ｃ１的中点依次为Ｐ、Ｈ、Ｆ，连结PH、ＨＦ．显然有ＰＨ∥＝（1／2）ＡＢ１，ＨＦ∥＝（1／2）Ｃ１Ｂ，则∠ＰＨＥ即为所求异面直线所成的角．连结PF，并设BB１＝1，则正三棱柱的底面边长为．易求得ＰＨ＝ＨＦ＝（／2）．取BC的中点E，连结PE、ＥＦ．易知△ＰＥＦ是Ｒｔ△．在Ｒｔ△ＰＥＦ中，求得ＰＦ２＝（3／2）．显然有ＰＨ２＋ＨＦ２＝ＰＦ２．故∠ＰＨＥ＝90°，选Ｂ．若考虑体外平移，则可通过补面或补体来实现平移．从而又有如下两种方法：解法2．如图7-4，延长AB到D，使ＢＤ＝ＡＢ，作ＤＤ１∥＝ＡＡ１，连B１Ｄ１、ＢＤ１．图7-4∵ＡＢ∥＝Ｂ１Ｄ１，∴ＡＢ１∥ＢＤ１．则∠Ｃ１ＢＤ１即为所求异面直线所成的角．易求得ＢＣ１＝ＢＤ１＝，Ｃ１Ｄ１＝2·ｓｉｎ60°＝．又∵ＢＣ１２＋ＢＤ１２＝Ｃ１Ｄ１２，∴∠Ｃ１ＢＤ１＝90°．解法3．可从B１作一射线与BC１平行，由于这样一条射线虽然位置确定，并在侧面BB１Ｃ１Ｃ所在平面上，但却位于已知三棱柱外面，因而无法寻求与已知条件的联系．为了解决这一难点，可在已知三棱柱的下面作一个同样的三棱柱．作直三棱柱Ａ１Ｂ１Ｃ１-Ａ２Ｂ２Ｃ２，使Ｃ１为ＣＣ２之中点（图7-5），连结Ｂ１Ｃ２、ＡＣ２，图7-5∵ＢＢ１∥＝Ｃ１Ｃ２，∴Ｃ１Ｂ∥Ｃ２Ｂ１，则∠ＡＢ１Ｃ２即为所求异面直线所成的角．易求得∠ＡＢ１Ｃ＝90°．究竟选择体内还是体外平移，应“因图而异”，总之以简洁、直观为宜．若能注意到知识间的相互渗透，本题也可通过建立直角坐标系，利用解析法求解，请读者不妨一试．例3正四面体ABCD的棱长为a,E为CD上一点，且CE／ED＝1／2，求异面直线AE与BC间的距离．讲解：求异面直线间的距离通常有三种方法，一是定义法，二是公式法，三是转化法．这里宜用方法三．异面直线间的距离可转化为平行线面间的距离，进而可以转化为点到面的距离，再用等体积法求解．如图7-6，在面BCD内过点E作EF∥BC交BD于F．连结AF，则BC∥面AEF，所以异面直线BC与AE间的距离就等于BC到平面AEF的距离，也就等于点B到平面AEF的距离，设其为d，连结BE，设正四面体的高为h.图7-6∵V B-AEF＝ＶＡ-ＢＥＦ，∴（1／3）S△AEF·d=（1／3）S△BEF·h，∴d=（S△BEF·h／S△AEF）.过点A作AO⊥面BCD于O，∵DE／EC＝2／1且EF∥BC，∴O必在EF上．∵h=（／3）a，易求得EF=（2／3）a，S△AEF＝（1／2）EF·AO＝（／9）a２，S△BEF＝（／18）a２，∴d=（／6）a.即异面直线AE与BC间的距离为（／6）a.用等体积法求点到面的距离，首先应构造以该点为顶点，以该平面内某个三角形为底面的三棱锥．其次求体积时，一般需换底面，换底面应本着新的底面上的高容易求出的原则．三、专题训练1．ａ、ｂ是异面直线，过不在ａ、ｂ上的任一点Ｐ，①一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都相交；②一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都垂直；③一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都平行；④一定可作一条直线ｌ，使ｌ与ａ、ｂ都异面．其中正确的个数是（）．Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．32．如图7-7，正三棱锥Ｖ-ＡＢＣ中，D、E、F分别是ＶＣ、ＶＡ、ＡＣ的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）．图7-7Ａ．π／6Ｂ．π／3Ｃ．π／2Ｄ．随P点的变化而变化3．将锐角B为60°，边长为a的菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，若θ∈［60°，120°］，则两条对角线之间的距离的最值为（）．A．d max=（3／2）a,d min=（／4）a B．d max=（3／4）a,d min=（／4）aC．d max=（／4）a,d min=（1／4）a D．d max=（／2）a,d min=（3／4）a4．图7-8是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①ＢＭ与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．图-8以上四个命题中，正确命题的序号是（）．Ａ．①②③Ｂ．②④Ｃ．③④Ｄ．②③④5．如图7-9，正三棱锥S-ABC的侧棱与底面边长相等．如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于____________.图7-96．空间四边形ABCD中，ＡＤ＝ＢＣ，Ｍ、Ｎ分别为AB、CD的中点，又MN和AD成30°角，则AD和BC所成角的度数是____________．7．异面直线ａ、ｂ所成的角为θ（0＜θ＜（π／2）），Ｍ，Ｎ∈ａ，Ｍ１，Ｎ１∈ｂ，ＭＭ１⊥ｂ，ＮＮ１⊥ｂ，若ＭＮ＝ｍ，则Ｍ１Ｎ１＝____________．8．如图7-10，不共面的三条直线ａ、ｂ、ｃ相交于P，Ａ、B∈ａ，Ｃ∈ｂ，Ｄ∈c，且Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均异于P．证明：直线AD与BC异面．图7-109．如图7-11，拼接一副三角板，使它们有公共边BC，且使两个三角板所在平面互相垂直．若∠CAB ＝90°，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＣＢＤ＝90°，∠ＢＤＣ＝60°，求AD与BC所成的角．图7-1110．已知ａ、ｂ是两条异面直线，那么空间是否存在这样的直线ｌ，使ｌ上任意一点P到ａ、ｂ的距离都相等．若存在，给出证明，若不存在，说明理由．求异面直线所成的角求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，这是高二数学人教版（A ）版本倡导的传统的方法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求。
高中数学：异面直线所成的角求法(汇总大全)
异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直角平移法：1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．解：设BD 的中点G ，连接FG ，EG 。
在△EFG 中 EF ＝3FG ＝EG ＝1∴∠EGF ＝120° ∴AD 与BC 成60°的角。
2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角． 正确答案：45°3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN ，则QN ∥SM∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25 NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQ BN BQ NQ BN4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM 与AN 所成的角．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝BM ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+。
如何求异面直线所成的角
如何求异面直线所成的角立体几何在中学数学中有着重要的地位，求异面直线所成的角是其中重的内容之一，也是高考的热点，求异面直线所成的角常分为三个步骤：作→证→求。
其中“作”是关键，那么如何作两条异面直线所成的角呢本文就如何求异面直线所成的角提出了最常见的几种处理方法。
Ⅰ、用平移法作两条异面直线所成的角一、端点平移法例1、在直三棱柱111C B A ABC -中，090CBA ∠=,点D ,F 分别是11A C ,11A B 的中点，若1AB BC CC ==,求CD 与AF 所成的角的余弦值。
解：取BC 的中点E ，连结EF ，DF ，//DF EC 且DF EC =∴四边形DFEC 为平行四边形//EF DC ∴EFA ∴∠（或它的补角）为CD 与AF 所成的角。
设2AB =,则EF =AF =EA =故2222EF FA EA EFA EF FA +-∠==arccos10EFA ∴∠=二、中点平移法例2、在正四面体ABCD 中, M ,N 分别是BC ,AD 的中点，求AM 与CN 所成的角的余弦值。
解：连结MD ，取MD 的中点O ，连结NO ，1O 、N 分别MD 、AD 为的中点，∴NO 为DAM ∆的中位线， ∴//NO AM ，ONC ∴∠（或它的补角）为AM 与CN 所成的角。
设正四面体ABCD 的棱长为2，则有2NO =，CN =2CO =, 故2222cos 23NO CN CO ONC NO CN +-∠== 2arccos 3ONC ∴∠=三、特殊点平移法例3、如图，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知4AB =，20CD =，7EF =，13AF BE FD EC ==，求异面直线AB 与CD 所成的角。
解：在BD 上取一点G ，使得13BG GD =，连结EG FG 、，在BCD ∆中，13BE BG EC GD ==，故//EG CD ，同理可证：//FG ABFGE ∴∠（或它的补角）为AB 与CD 所成的角。
异面直线的夹角,线面角(含答案)
空间角1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。
异面直线所成的角的范围：]2,0(π几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。
基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。
常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
例1在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是AB 的中点，（1）求BA /与CC /夹角的度数. （2）求BA /与CB /夹角的度数． (3)求A /E 与CB /夹角的余弦值．例2：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的余弦值。
直接平移：常见的利用其中一个直线a 和另一个直线b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a 的平行线。
解法一：如图④，过B 1点作BE ∥BC 1交CB 的延长线于E 点。
则∠DB 1E 就是异面直线DB 1与BC 1所成角，连结DE 交AB 于M ，DE=2DM=35，cos ∠DB 1E=734170解法二：如图⑤，在平面D 1DBB 1中过B 点作BE ∥DB 1交D 1B 1的延长线于E ，则∠C 1BE 就是异面直线DB 1与BC 1所成的角，连结C 1E ，在△B 1C 1E 中，∠C 1B 1E=135°，C 1E=35，cos ∠C 1BE=734课堂思考：1.如图，PA ⊥矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=10，求AD 与PC 所成角的余切值为。
2.在长方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，若棱B B 1=BC=1，AB=3，求D B 和AC 所成角的余弦值.例3 如图所示，长方体A 1B 1C 1D 1-ABCD 中，∠ABA 1=45°,∠A 1AD 1=60°,求异面直线A 1B 与AD 1所成的角的度数.课堂练习如图空间四边形ABCD 中，四条棱AB ，BC ，CD ，DA 及对角线AC ，BD 均相等，E 为AD 的中点，F 为BC 中， （1） 求直线AB 和CE 所成的角的余弦值。
异面直线所成角详解
E
B
D
M F
C
平移法
㈡.利用平行线分线段成比例的推论平移 例3.空间四边形ABCD中，AB＝CD＝3，E、F分别是AD、BC上的点， 且AE∶ED＝BF∶FC＝1∶2，
EF＝ 7 ，求异面直线AB和CD所成的角
A
E M
B F
D C
平移法
㈢.利用平行四边形平移
例4.正方体AC1中若E、F分别为AB和BB1的中点， 求A1E与CF所成角的余弦
【求异面直线所成角的步骤】
（1)"作",即用"平移法"过空间一点作两条异面直线的平行线,平移过程多用 到中位线、平行四边形的性质,操作过程会因选择的构造角度不同出现角的位 置不同,常用方法如下: ①过一条直线上的点,作另一条直线的平行线.特别是某些特殊点处,例如"端 点"或"中点"处 （2)"证"即证明所作平面角符合异面直线所成的角或补角的定义 （3）"求"即通过解三角形,计算所作的角的大小
OB1与A1C1所成的角的度数为
900
B1 A1
C1 D1
D O
A
C B
平移法
在正四面体S-ABC中，SA⊥BC, E, F分别为SC、AB 的 中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ B ）
(A)300
(B)450
(C)600
S
(D)900
E A
D
F
C
B
平移法
（解法二）
S
E
A
G
D C
F B
D (1)以E为特殊点
G.
E
C
B
F A
与异面直线相关的几类经典题型
与异面直线相关的几类经典题型【知识梳理】1.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线.2.异面直线的判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线；3.异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．②范围：(0，2 ].【典例分析】题型一异面直线的判断例题1(1)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问：1①AM和CN是否是异面直线?说明理由.②DB和CC1是否是异面直线?说明理由.23跟踪练习1 如图：已知平面βα⋂＝l ，A ∈l ，D ∈l ，AC α⊂，DB ⊂β，求证：AC 和BD 是异面直线.题型二 异面直线所成的角例题2 如图1所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，E ，F 分别是CC 1，AD 的中点，求异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值.跟踪练习2 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，(1)求A 1C 1与B 1C 所成角的大小；(2)若E ，F 分别为AB ，AD 的中点，求A 1C 1与EF 所成角的大小．4题型三构造长方体巧解异面直线问题例题3 三条直线a、b、c两两异面，作直线l与三条直线都相交，则直线l可以作多少条？跟踪练习3 设a、b是空间的两条直线，它们在平面α上的射影是两条相交直线，它们在平面β上的射影是两条平行直线，它们在平面γ上的射影是一条直线与直线外一点，则这样的平面γ有( )A．0个B．1个C．2个D．无数个【专项训练】1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面2.在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为( )A．30° B．45° C．60° D．90°3.两条异面直线在一个平面上的投影是( )A．两条相交直线5B．两条平行直线C．两条平行直线、两条相交直线的可能性都有，别无其他情况D．两条平行直线、两条相交直线的可能性都有，此外还可能有其他情况．4.设a、b是异面直线，那么()A．必然存在唯一的一个平面，同时平行于a、bB．必然存在唯一的一个平面，同时垂直于a、bC．过直线a存在唯一平面平行于直线bD．过直线a存在唯一平面垂直于直线b5.已知直线a，b是异面直线，直线c，d分别与a，b都相交，则直线c，d的位置关系( ) A．可能是平行直线B．一定是异面直线C．可能是相交直线D．平行、相交、异面直线都有可能6.空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD 所成的角为()A．30° B．45°6C．60° D．90°二、填空题7.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中，AB与CD的位置关系是________．8.如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线________对．9．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．10.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P、Q、R、S分别是各点所在棱的中点，则PQ和RS的位置关系是________；MN和RS的位置关系是________；它们所成的角是________；PQ和MN的位置关系是相交；它们所成的角是________11.若两条异面直线所成的角为60°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为________对．7三、解答题12．如图，已知不共面的直线a，b，c相交于点O，M、P是直线a上两点，N、Q分别是b，c上的点．求证：MN和PQ是异面直线．13.已知正四棱锥S－ABCD(底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心)的侧棱长与底面边长都相等，E为SB的中点，求AE、SD所成角的余弦值．8答案精析【典例分析】题型一例题1(1)【答案】②④【解析】图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面．所以在图②④中GH与MN异面．(2)【答案】解：①不是异面直线.理由：连接MN，A1C1，A C．因为M，N分别是AB1，B1C1的中点，所以MN∥A1C1.又因为A1A C1C，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.②是异面直线.理由：因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，910所以D 1，B ，C ，C 1∈α，这与B ，C ，C 1，D 1不共面矛盾.所以假设不成立，即D 1B 和CC 1是异面直线.跟踪练习1【答案】证明：假设AC 、BD 在同一平面γ内.∵A 、D 、C 既在γ内又在α内，且A 、D 、C 三点不共线. ∴α与γ重合.又A 、B 、D 既在γ内又在β内.同理，β与γ重合.∴α与β重合.但这与已知βα⋂＝l 相矛盾，所以假设不成立. 故AC 与BD 是异面直线.题型二例题2【答案】 解：取11C D 中点M ，连结OM ，易证1OM FD =∅， 所以∠MOE 是异面直线OE 和1FD 所成的角.连结OC ，ME2211122252213OM FD MC C E OE OC CE ().===+==+=+=在△OME 中，222OM ME OE =+，所以∠OEM ＝90°．11则3155OE cos MOE OM ∠=== 所以异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值为515． 跟踪练习2【答案】 解：(1)如图，连接AC ，AB 1，由ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，知AA 1C 1C 为平行四边形，所以AC ∥A 1C 1，从而B 1C 与AC 所成的角就是A 1C 1与B 1C 所成的角．由△AB 1C 中，由AB 1＝AC ＝B 1C 可知∠B 1CA ＝60°，即A 1C 1与B 1C 所成角为60°.(2)如图，连接BD ，由(1)知AC ∥A 1C 1.∴AC 与EF 所成的角就是A 1C 1与EF 所成的角．∵EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥B D ．又∵AC ⊥BD ，∴AC ⊥EF ，即所求角为90°.∴EF ⊥A 1C 1.即A 1C 1与EF 所成的角为90°.题型三例题3【答案】 解：构造长方体''''D C B A ABCD -如图所示，取直线AB 为a ，DD ’为b ，C ’E 为c ，其中E 为BC 的中点，则a 、b 、c 两两异面，由于直线DE 与AB 相交，故DE 与三异面直线同时相交．过AB 作平面交DD ’、CC ’、EC ’分别于F 、G 、H ，当G 与C ’不重合时，12直线FH 必与AB 相交，即FH 与三异面直线同时相交，又过AB 作满足条件的平面有无数个，故与三异面直线同时相交的直线有无数条．跟踪练习3【答案】 D【解析】 构造长方体''''D C B A ABCD 如图所示，取B A '为a ，''C D 为b ，而''A ABB 为α，ABCD 为β，则ADD ’A ’为γ，故与''A ADD 平行的平面都满足题意，故平面γ有无数个，选D ．【专项训练】1.【答案】 D【解析】 分别和两条异面直线平行的两条直线可能相交或异面，一定不会平行.2.【答案】 C【解析】 MN 与AD 1平行，所以AD 1与AC 所成的角与所求角相等，三角形AD 1C 是等边三角形，故所求角为60°.3.【答案】 D【解析】 两条异面直线在一个平面上的投影是两条平行直线、两条相交直线，也可能是一个点与一条直线.4.【答案】C【解析】b与过直线a的平面没有公共点．5.【答案】D【解析】将a、b看成长方体中的两条棱，容易满足条件的直线平行、相交、异面.6.【答案】A【解析】取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°.二、7.【答案】异面【解析】如图，把展开图中的各正方形按图1所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图2所示的直观图，可判断AB与CD异面．8.【答案】24【解析】如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有不同的位置，且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线12×42＝24(对)．139．【答案】相交【解析】如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．10.【答案】平行异面60° 60°【解析】MN平行于AC，RS平行于CD1，PQ平行于CD1，所以所求角都等于1ACD＝60°11.【答案】24【解析】如图，在连接正方体各顶点的所有直线中，只有相邻面上的面对角线才能构成“理想异面直线对”，并且只有2对，则所有的“理想异面直线对”的对数为4×2×2(上下面与四个相邻侧面的对数)＋4×2(四个侧面的对数)＝24(对)．故填24.三、12．【答案】证明：假设MN和PQ不是异面直线，则MN与PQ在同一平面内，设为α.∵M、P∈α，M、P∈a，∴a⊂α∵O∈α，N∈α且O∈b，N∈b，∴b⊂α同理c⊂α，∴a，b，c共面于α，与a、b、c不共面矛盾．1415 ∴MN 、PQ 是异面直线．13.【答案】 解：如图所示，连接AC 、BD ， 设其交点为O ，连接EO ，依题意，EO// 12SD ，∴∠AEO 或其补角为AE ，SD 所成的角， 设AB ＝SA ＝2a ，在正△SAB 中，AE ＝AB 2－BE 2＝3a ， ∵AE ＝CE ，且O 为AC 中点∴EO ⊥A C ．在Rt △AEO 中，∠AOE ＝90°，∴cos ∠AEO ＝EO AE ＝a 3a ＝33.∴AE 与SD 所成角的余弦值为33.。
空间角的几何求法
空间角的几何求法一、 异面直线所成角（线线角）范围：(0,]2πθ∈先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得。
【典例分析】例1. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC = AD = CD = DE = 2，AB = 1，F 为CD 的中点. （1）求证：AF ⊥平面CDE ； （2）求异面直线AC ，BE 所成角余弦值；【变式】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为。
二、直线与平面所成角（线面角）范围：[0,]2πθ∈【典例分析】例1.如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．（1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．【变式】如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （1）证明：AC//平面PMD ；（2）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；1111ABCD A B C D -1AB BC ==13AA =1AD 1DB例2. 如图所示，四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，PA ⊥底面ABCD ，PA=AD=CD=2AB=2， M 为PC 的中点。
(1)求证：BM∥平面PAD ；(2)在侧面PAD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD ； (3)求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦。
【变式】如图，在三棱锥V ABC -中，VC ABC ⊥底面，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，π02VDC θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭∠．（1）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；（2）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为π6．三、平面与平面所成角（面面角）范围：[0,]θπ∈（1）定义法：当点A 在二面角α- -β的棱 上时，可过A 分别在α、β内作棱 的垂线，AB 、AC ，由定义可知∠BAC 即为二面角α- -β的平面角。
空间角的求法
PCDBA 空间角的求法空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
异面直线所成的角的范围：090θ<≤ （一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE，则PC 与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。
CEBD ==PE=∴由余弦定理得 222cos 2PC CE PE PCE PC CE +-∠==⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63 （二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D 为AC 中点。
求异面直线1AB与1BC 所成角的余弦值。
【答案】125A 1C 1CBAB 1 DCP二、直线与平面所成角直线与平面所成角的范围：090θ≤≤ 方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC内的射影O 在AB 上，求直线PC 与平面ABC 所成的角的大小。
【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 所成角设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。
AB BC CA ==，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。
不妨设2PA =，则1,3,4OD OP AB ===2223,13CD OC OD CD ∴==+=在Rt OCP ∆中，339tan 13OP OCP OC ∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。
异面直线所成角练习
1．如图，在正方体ABCD - A B C D中，异面直线 A1D 与 BC1所成的角为1111A．30°B．45°C． 60°D． 90°【答案】 D【分析】试题剖析：以下图，连结B1C，则B1C∥A1D，B1C⊥BC1，∴ A1D⊥BC1，∴ A1D 与 BC1所成的角为 90°．应选： D．考点：异面直线及其所成的角2．已知平行六面体 ABCD - A1B1C1D1中，底面 ABCD是边长为 1 的正方形，AA＝ 2，∠ A AB＝∠ A AD＝120°，则异面直线 AC 与 A D所成角的余弦值（1）1111A．6B． 14C． 15D． 10 3755【答案】 B【分析】uuur r uuur r uuur r uuuur r r r uuuur r r试题剖析：设向量AB a, AD b, AA1 c ，则 AC1a b c, A1D b c ，uuuur uuuurAC12, A1Duuuur uuuur cos AC1 , A1D7，uuuur uuuurAC1 A1 Duuuur uuuurAC1 A1 D14。
7考点：空间向量的会合运算及数目积运算。
3．正方体ABCD A1B1C1D1中，E, F , G, H 分别是 AA1, AB , BB1, B1C1的中点，则直线 EF 与GH所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】 C【分析】试题剖析：由三角形中位线可知EF PA1 B,GH PBC1，所以异面直线所成角为A1 BC1，大小为60°考点：异面直线所成角4．在正方体ABCD A1 B1C1D1中，E是 B1C1的中点，则异面直线DC1与BE所成角的余弦值为（）A．2 5B ．10C ．10D ． 2 5 5555【答案】 B【分析】试题剖析：取 BC 中点F，连结FD , FC1，则DC1F为异面直线所成角，设边长为 2，C1F5, DC18, DF5cos10 DC1F5考点：异面直线所成角5．如图，正四棱柱ABCD A B C D 中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），AA3AB ，则异面直线 A B 与 AD 所成角的余弦值为（）A、9B、4C、7D、3 105105【答案】 A【分析】试题剖析：连结 BC '，异面直线所成角为A' BC '，设 AB 1,在A'BC'中' '''10AC2, A B BC考点：异面直线所成角6．点P在正方形 ABCD 所在平面外，PA⊥平面 ABCD ，PA AB ，则 PB 与AC 所成的角是．60B ．90C．45D30A．【答案】 A【分析】试题剖析：作出空间几何体以以下图所示：设正方形的边长为 2 ，．所以 PB 与AC所成的角就是FEA ，由题意可知：EF AE AF 2 ，所以FEA 60．考点：异面直线的地点关系．7．以下图，在棱长为 1 的正方体ABCD A1B1C1D1中， M 是棱CD的中点，则 A1M 与 DC1所成角的余弦值为（）A.2B.2C.10D.10 661010【答案】 A 【分析】试题剖析：以 D为原点，分别以DA, DC , DD1为 x, y, z 轴的正半轴成立空间直角坐标系 D - xyz ，由棱长为1，则 D (0,0,0), A1(1,0,1), M (0, 1,0), C1 (0,1,1) ,所以2uuuur1uuuur 0 +1- 122= -，应选 A.A1M = (- 1,2, - 1), DC1 = (0,1,1) ,故 cos < A1M , DC1 >=3262考点：空间向量所成角的余弦值.8．在正方体 ABCD A1 B1C1 D1中， E、 F 分别为 AB、BC 中点，则异面直线EF 与AB1所成角的余弦值为A．3 B ．3C．2 D ．12322【答案】 D【分析】试题剖析：联络 AC、 B1C则 B1AC即为所成的角。
高考数学-异面直线夹角专题
异面直线夹角【考点例题解析】一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
直接平移法1．在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．2．正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．3．S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．BM AN CSABCD A 1B 1C 1D 1EF4．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC ＝CA ＝CC 1，求BM与AN 所成的角．5．如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所成的角。
6．如图1—28的正方体中，E 是A ′D ′的中点(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA ′成异面直线? (2)求直线BA ′和CC ′所成的角的大小； (3)求直线AE 和CC ′所成的角的正切值； (4)求直线AE 和BA ′所成的角的余弦值7. 长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。
B '(图1－28)A 'ABC 'D 'CD FE2.中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。
异面直线的夹角-线面角(含答案)
异面直线的夹角-线面角(含答案)空间角1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。
异面直线所成的角的范围：]2,0(π几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。
基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。
常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。
例1在正方体ABCD A B C D ''''-中，E 是AB 的中点，（1）求BA /与CC /夹角的度数. （2）求BA /与CB /夹角的度数．(3)求A /E 与CB /夹角的余弦值．例2：长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的余弦值。
直接平移：常见的利用其中一个直线a 和另一个直线b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a 的平行线。
解法一：如图④，过B 1点作BE ∥BC 1交CB 的延长线于E 点。
则∠DB 1E 就是异面直线DB 1与BC 1所成角，连结DE 交AB 于M ，DE=2DM=35，cos∠DB1E=734解法二：如图⑤，在平面D1DBB1中过B点作BE∥DB1交D1B1的延长线于E，则∠C1BE就是异面直线DB1与BC1所成的角，连结C1E，在△B1C1E中，∠C1B1E=135°，C1E=35，cos∠C1BE=734170课堂思考：1.如图，PA 矩形ABCD，已知PA=AB=8，BC=10，求AD与PC所成角的余切值为。
DC1B1A1CD2.在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=3，求D B和AC所成角的余弦值.例3 如图所示，长方体A1B1C1D1-ABCD中，∠ABA1=45°,∠A1AD1=60°,求异面直线A1B与AD1所成的角的度数.课堂练习如图空间四边形ABCD中，四条棱AB，BC，CD，DA及对角线AC，BD均相等，E为AD的中点，F为BC中，（1）求直线AB和CE 所成的角的余弦值。
高中数学同步讲义(人教A版选择性必修一)：第07讲 拓展一：异面直线所成角(教师版)
【典例1】（2023春·河北保定·高一定州市第二中学校考阶段练习）在平行六面体A．71934B．【答案】B【详解】取DM中点K，连接因为11 3D N KM DB，所以1//D K MN，所以异面直线因为底面ABCD是菱形，所以在ADK△中，利用余弦定理得又22115AD AD DD设正方体棱长为1，则DB 在Rt DBH △中，BH 在11Rt C D H 中，1C H 【答案】1515/11515【详解】在正方体ABCD易知1111//,F CD F CD B B ，所以四边形所以1MCF 是1DB 与CM 所成角的平面角或补角，不妨设正方体1111ABCD A B C D 的棱长为则在正方体1111BCEF B C E F 中，1CF 在Rt MBC 中， 2225MC a a a 因为11//BC A D 且11BC A D ，故四边形故1A B 与1B C 所成角为1B CD【答案】33/133【详解】设PA AC BC如图，取PC的中点E，连接所以异面直线AD与BC所成的角为A．39B．【答案】B【详解】如图，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，设 0,0,0， 2,0,0B ， 002P ,,， 2,2,0C 1,2,0， 1,1,1F ，1,1,1 ， 1,2,2PE，122,BF PE BF PE u u u r u u ru u u r u u r u u u r u u rA．14112B．【答案】D 【详解】解法一如图，设O ，C ，D 分别为线段OD FG ∥，112OD FG ∴COD 是异面直线ME 与∵23ME MG EG ，∵平面MEG 平面EFG ，平面设N 为OG 的中点，连接CN如图，设O为线段EG的中点，连接23MG EG，∴MOMEG 平面EFG，平面2FG ，∴FO EG，OG，OM所在直线分别为3,0)，M（0，0，3），【答案】2221 21设,,AE x CG y DF z ，AB 由题意AE CG DF ∥∥，则 AE 设3,1,E x ， 0,2,G y ，从而因为四边形BEFG 是正方形，所以y xA．60 B．【答案】B【详解】如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为所以 0,1,1EF ，DC设EF 和CD 所成的角为 ，则故选：B【变式2】（2023春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期中）如图，圆柱的轴截面为矩形N 分别在上、下底面圆上， NB 余弦值为（）A．33010【答案】D【详解】方法一如图（方法二如图（2），在 AB 上取点E ，使 2AE EB ，连接易知四边形ANBE 为矩形，1AN ，3NB ．连接MN 由已知条件，得MN 为圆柱的一条母线．以N 为坐标原点，分别以直线NB ，NA ，NM 为x 轴、则 0,0,0N ， 0,1,0A ， 0,0,3M ，3,0,3C ，所以 0,1,3AM，3,0,3NC，则cos ,AM NC【答案】710/0.7【详解】因为直三棱柱所以ABC为等边三角形，取因为D为11A B的中点，所以又因为1AA 平面ABC题型【典例1】（2023春·江苏·高二校联考阶段练习）如图所示，在棱长为E是棱1CC的中点，AFA．210B．【答案】B【详解】如图，以D 为原点，分别以因为正方体的棱长为2，则所以(0,2,1)D E，故选：B .【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）正方体11D C ，1BB 的中点，则异面直线A．515B．【答案】D【详解】如图，建立空间直接坐标系，设正方体的棱长为因为E ，F 分别为11D C ，1BB 的中点，易知，C (0，2，0)，F (2，2，1)，所以所以cos <,AE CF >=||||AE CF AE CF因为异面直线AE 与FC 所成角为锐角所以异面直线AE 与FC 所成角的余弦值为A．12【答案】B【详解】BD 中点为坐标原点，建立空间直角坐标系，2，(3,0,0)A ，(0,1,0)B 3,1,0) ，(0,CDAB ，11>224CD题型【典例1】（2023·辽宁大连·校考模拟预测）有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数为可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得.若点成角的余弦值的取值范围为（A．12,32B．13【答案】C【详解】将半正多面体补成正方体，建立如图所示的空间直角坐标系因为半正多面体的棱长为2，故正方体的棱长为所以 2,1,0,2,2,1A F ， 1,0,2,0,1,2,B C 设 ,,0,0,1BE BC，则 1E 所以22cos ,2(AF DE AF DE AF DE 令12t 11,2 ，则cos ,2AF DE 因为21221,12t t，所以cos ,AF DE 故直线DE 与直线AF 所成角的余弦值的取值范围为故选：C【典例2】（2023·全国·高三专题练习）如图，上一点，1AB AA 2，3,1BC AF ，动点则直线CP 与1DD 所成角的正切值的最小值为_________.(,,2)(03,02)P m n m n ，则F (1,2,0),(1,0,1),(,FB FE CP m n 设平面BFE 的法向量为(,,)a x y z则200a FB x y a FE x z，令2x ，则所以平面BFE 的一个法向量(2,a因为(3,,1),EP m n所以点P 到平面BFE 的距离a d a设正四面体A BCD 的棱长为x ，球则233,323x BE x AE AB 依题意正四面体A BCD 内接于半径为设球的半径为R ,则22(R BE AEA．522,88【答案】D因为22BC CD BD 222cos 3AD DB 则AC AD DB BC 所以2|||AC AD DB 取BD 中点E ，连接AE【变式3】（2023·全国·高三专题练习）三棱锥点M为平面ABC内的动点，且满足PM_____________．【答案】3 0,3【详解】因为,,PA PB PC两两垂直，且PA 所以三棱锥为正三棱锥，记P在底面ABC设 cos ,sin ,0M ， 0,2π ，所以 cos ,sin ,2,PM AB 所以23sin cos ,233PM AB 设直线PM 与直线AB 的所成角为3 1】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱柱为菱形，则 3,0,0A 、 13,0,3A 、C 易知平面11AAC C 的一个法向量为因为PQ 平面11AAC C ，所以，设点 3,0,M t ，其中03t ，则由已知可得11cos ,B B M m B2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥为直角梯形，（1）求平面PAB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线【答案】(1)33(2)255【详解】试题分析：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系 1,0,0,1,1,0,0,2,0,0,0,B C D P （1）因为AD 平面PAB ，所以是平面的一个法向量，．因为(1,1,2),(0,2,2)PC PD ．3】（2022·60(1)求证：//EM平面PAD；(2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值；(3)点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线【答案】(1)证明见解析则 0,0,0A 、33,,022B 、 0,2,0C 31,0,03ME， 2,0,0 AD 又EM ∵平面PAD ，AD 平面（2）解：设平面PBC 的法向量为则31022220m BC x y m CP y z，取x 易知平面PAD 的一个法向量为n 所以，3cos ,7m n m n m n 因此，平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值为（3）解：设 2,0,2PF PD 1,1,22,0,EF EP PF 由题意可得cos ,EF EF AC EF【答案】60,3【详解】设O 是AD 的中点，则由于AB 平面PAD ，OP 平面由于,,AD AB A AD AB 平面由于OP 平面PAD ，所以平面以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，1,0,1,2,0,0P A ， 1,0,PA 设 2,,0,02F t t ；设 ,0,E a【变式2】（2022春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）如图，在四棱锥PD 底面ABCD，底面ABCD是边长为(1)求证：GF 平面PCB；(2)在AP上是否存在一点M，使得DM说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)在AP上存在一点M，点M【详解】（1）以D为原点，。
2023学年上海高二上学期数学同步精讲练第03讲异面直线所成的角(核心考点讲与练)
第03讲异面直线所成的角（核心考点讲与练） 求异面直线所成的角的三步曲 异面直线所成角的概念及辨析一、单选题1．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期中）已知异面直线a 、b 所成角为80︒，P 为空间一定点，则过P 点且与a 、b 所成角都是50︒的直线有且仅有（ ）条．A ．2B ．3C ．4D ．62．（2021·上海市延安中学高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -，P 为1CC 中点，对于下列两个命题：（1）过点P 有且只有一条直线与直线AB ，11A D 都相交；（2）过点P 有且只有一条直线与直线AB ，11A D 都成45°角．则以下判断正确的是（ ）A ．（1）为真命题；（2）为真命题B ．（1）为真命题；（2）为假命题C ．（1）为假命题；（2）为真命题D ．（1）为假命题；（2）为假命题二、填空题 3．（2021·上海·位育中学高二阶段练习）空间中三条直线a b c 、、两两垂直，若直线d 与直线a b c 、、所成角都为θ，则cos θ=_______4．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）已知直线a ．如果直线b 同时满足条件：①a 与b 异面；②a 与b 成定角；③a 与b 的距离为定值．那么这样的直线b 有__________条．考点考向方法技巧5．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）若两异面直线a、b所成的角为60，过空间内一点P作与直线a、b所成角均是60的直线l，则所作直线l的条数为_________．证明异面直线垂直一、单选题1．（2017·上海交大附中高二期中）如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（）①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；④存在点E使得SE⊥BA．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题2．（2022·上海长宁·高二期末）如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是___________.①直线AF与直线CN垂直；②直线BM与直线CN相交；③直线ME与直线CN平行；④直线AB与直线CN异面；求异面直线所成的角1．（2022·上海·复旦附中高二期中）如图所示，在三棱锥D ABC -中，2==AC BD ，E 、F 分别为AD 与BC 的中点，2EF =，则异面直线AC 与BD 所成角的大小是______．2．（2021·上海市徐汇中学高二期中）如图，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，,M N 分别是,AB PC 的中点，若2,23MN BC PA ===，则异面直线PA 与MN 所成角的大小为________.3．（2021·上海市进才中学高二阶段练习）在正方体上，a ，b 是两条异面直线的面对角线，则它们所成的角大小可能为___________4．（2021·上海市南洋模范中学高二阶段练习）正方体1111ABCD A B C D -的面对角线中，与1AD 所成角为60︒的有__________条.5．（2021·上海·华东师范大学松江实验高级中学高二阶段练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，与1AD 成60角的面对角线的条数是________6．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）空间内有三条直线，其中任意两条都不相交但相互垂直，若直线l 与这三条直线所成的角的大小都是θ，则tan θ=______．7．（2021·上海市建平中学高二期中）已知圆锥的轴截面PAB 是等边三角形，C 为底面弧AB 的中点，D 为母线PB 的中点，则异面直线PA 和CD 所成角的大小为________三、解答题8．（2021·上海浦东新·高二期中）在三棱锥P ABC -中，M ，N 分别是PA ，BC 的中点，已知2AC PB ==，3MN AC ，PB 所成角的大小.由异面直线所成的角求其他量一、填空题1．（2021·上海市控江中学高二期中）异面直线a 、b 所成角为3π，直线c 与a 、b 垂直且分别交于A 、B ，点C 、D 分别在直线a 、b 上，若1AC =，2AB =，3BD =，则CD =________．2．（2021·上海市洋泾中学高二期中）已知异面直线,a b 所成角为3π，过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，则θ的取值范围是___________.3．（2021·上海市建平中学高二阶段练习）在空间四边形ABCD 中，8AB CD ==，M ､N 分别是对角线AC ､BD 的中点，若异面直线AB ､CD 所成角的大小为30，则MN 的长为___________. 4．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）已知四面体ABCD 中，4AB CD ==，E 、F分别为BC 、AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =___________. 5．（2019·上海市嘉定区第二中学高二期中）空间四边形ABCD ，AB =CD =8，M ､N ､P 分别为BD ､AC ､BC 的中点，若异面直线AB 和CD 所成的角为60°，则线段MN 的长为___________.6．（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）如图，空间四边形ABCD 的对角线AC=BD=8，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，且AC BD ⊥，则MN 等于_____________7．（2021·上海市徐汇中学高二期中）空间四边形两对角线的长分别为6和8﹐所成的角为60°，连接各边中点所得四边形的面积是_______________.8．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）若两条异面直线所成的角为60︒，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对.二、解答题9．（2021·上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD .(1)若PC =5，求四棱锥P - ABCD 的体积；(2)若直线AD 与BP 的夹角为60°，求PD 的长.10．（2020·上海交大附中高二期中）如图，圆锥的顶点是S ，底面中心为O ，OC 是与底面直径AB 垂直的一条半径，D 是母线SC 的中点.（1）求证：BC 与SA 不可能垂直；（2）设圆锥的高为4，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为26，求圆锥的体积. 一、单选题1．（2021·上海市延安中学高二期中）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，F 为线段1BC 的中点，E 为线段11A C 上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）A ．存在点E ，使EF ∥BDB ．存在点E ，使EF ⊥平面11ABC DC ．EF 与1AD 所成的角不可能等于60°巩固提升D ．三棱锥1B ACE -的体积随动点E 变化而变化2．（2021··高二阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，给出以下命题：①H 是1A BD 的垂心；②AH 垂直于平面11CB D ；③AH 的延长线过点1C ；④直线AH 和1BB 所成角的大小为45︒，其中正确的命题个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．（2021·上海市松江二中高二期中）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是DF 的中点，设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，则AG 与BP 所成角的大小为（ ）A ．45︒B ．15︒C ．30D ．0︒4．（2021·上海市市西中学高二期中）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④二、填空题5．（2021·上海交大附中闵行分校高二阶段练习）如图甲，将三棱锥P ﹣ABC 沿三条侧棱剪开后，展开成如图乙所示的形状，其中点P 1，A ，P 3共线，点P 1，B ，P 2共线，点P 2，C ，P 3共线，且P 1P 2=P 2P 3，则在如图甲所示的三棱锥P ﹣ABC 中，P A 与BC 所成角的大小为___________.6．（2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）如图已知A 是BCD △所在平面外一点，AD BC =，E ､F 分别是AB CD 、的中点，若异面直线AD 与BC 所成角的大小为3π，则AD 与EF 所成角的大小为___________. 7．（2021·上海交大附中高二期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，2AB =，则直线AC 与1A D 所成的角的余弦值等于______．8．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期中）在四面体ABCD 中，8AB =，6CD =，M 、N 分别是BC 、AD 的中点，且5MN =，则AB 与CD 所成角的大小是________.三、解答题9．（2022·上海·复旦附中高二期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝1，AD ＝2，14AA =，E 、F 分别为线段BC 、1CC 上的点，且CE ＝1，CF ＝1．(1)求证：EF ∥平面11ADD A ；(2)求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值．10．（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）已知边长为1的正方形ABCD 绕BC 边旋转一周得到圆柱体．(1)求该圆柱体的表面积；(2)正方形ABCD 绕BC 边逆时针旋转2π至11A BCD ，求证：1A D AC ⊥． 11．（2021·上海市南洋模范中学高二期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A ､1C ､B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10. (1)求棱1AA 的长；(2)若11A C 的中点为1O ，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值.12．（2021·上海大学附属南翔高级中学高二期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11A D 和1CC 的中点.（1）画出由A ，E ，F 确定的平面β截正方体所得的截面，（保留作图痕迹，使用铅笔作图）；（2）求异面直线EF 和AC 所成角的大小. 13．（2021·上海浦东新·高二期中）在长方体1111ABCD A B C D -中（如图），2AB =，11AD AA ==，点E 是棱AB 的中点.(1)求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；(2)《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体1D CDE 是否为鳖臑？并说明理由.14．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A BCB -是底面边长为2的正三棱锥．（1）求证：1AC CC ⊥；（2）若异面直线1AB 与1CC 所成的角为3π，求三棱锥1B ACC -的体积． 15．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，15CC =，M 为棱1CC 上一点．（1）若132C M =，求异面直线1A M 和11CD 所成角的正切值；（2）若11C M =．试证明：BM ⊥平面11A B M ．16．（2021·上海市进才中学高二期中）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，BC AC ⊥．（1）求证：11//B C 平面1A BC ；（2）求证：平面1A BC ⊥平面11ACC A ．（3）若12A B BC =，求异面直线1A B 与11B C 所成角的大小．。
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实用文档1．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A D 与1BC 所成的角为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【答案】D 【解析】试题分析：如图所示，连接B 1C ，则B 1C ∥A 1D ，B 1C ⊥BC 1，∴A 1D ⊥BC 1，∴A 1D 与BC 1所成的角为90°． 故选：D ．考点：异面直线及其所成的角 2．已知平行六面体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值（ ） A．7 C【答案】B 【解析】试题分析：设向量 1,,AB a AD b AA c ===，则11,AC a b c A D b c =++=-，112,7AC A D ∴==， 11111114cos ,7AC A D AC A D AC A D⋅<>==。
考点：空间向量的集合运算及数量积运算。
3．正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是1AA ,AB ,1BB ,11B C 的中点，则直线EF 与GH 所成的角是（ ）A ．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C 【解析】试题分析：由三角形中位线可知11,EF A B GH BC ，所以异面直线所成角为11A BC ∠，大小为60°考点：异面直线所成角4．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11B C 的中点，则异面直线1DC 与BE 所成角的余弦值为（ ） A．510- D． 【答案】B 【解析】试题分析：取BC 中点F ，连结1,FD FC ，则1D CF ∠为异面直线所成角，设边长为2，11C F DC DF ∴===1cos DC F ∴∠=考点：异面直线所成角5．如图，正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），3AA AB '=，则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（ ）A 、910B 、45C 、710D 、35【答案】A 【解析】试题分析：连结'BC ，异面直线所成角为''A BC ∠，设1AB=,在''ABC ∆中''''AC A B BC ===''9cos 10A BC ∴∠=考点：异面直线所成角6．点P 在正方形ABCD 所在平面外，PA ⊥平面ABCD ，AB PA =，则PB 与AC 所成的角是 A ．︒60 B ．︒90 C ．︒45 D ．︒30 【答案】A 【解析】试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2，实用文档．所以PB 与AC 所成的角就是FEA ∠，由题意可知：2===AF AE EF ，所以 60=∠FEA ．考点：异面直线的位置关系．7．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱CD 的中点，则→M A 1与→1DC 所成角的余弦值为（ ）A.62-B.62C. 1010-D.1010【答案】A 【解析】试题分析：以D 为原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，由棱长为1，则111(0,0,0),(1,0,1),(0,,0),(0,1,1)2D A M C ,所以111(1,,1),2A M DC =--(0,1,1=,故11cos ,A M DC <>=101236+-=-，故选A. 考点：空间向量所成角的余弦值.8．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E 、分别为BC AB 、中点，则异面直线EF 与1AB 所成角的余弦值为A ．23 B ．33 C ．22 D ．21 【答案】D 【解析】试题分析：联结AC 、1B C 则1B AC ∠ 即为所成的角。
1B AC 为等边三角形，所以11cos cos602B AC ∠==考点：异面直线所成的角9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所的 θ角的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】D【解析】如图，连结CD'，则异面直线CP 与BA'所成的角θ 等于∠D'CP ，由图可知，当P 点与A 点重合时，θ＝3π 当P 点无限接近D'点时，θ趋近于0.由于是异面直线，故θ≠0. 选D考点：空间几何体，异面直线所成角10．如图，正方体1111ABCD A B C D -，则下列四个命题： ①P 在直线1BC 上运动时，三棱锥1A D PC -的体积不变；②P 在直线1BC 上运动时，直线AP 与平面1ACD 所成角的大小不变； ③P 在直线1BC 上运动时，二面角1P AD C --的大小不变；④M 是平面1111A B C D 上到点D 和1C 距离相等的点，则M 点的轨迹是过1D 点的直线 其中真命题的个数是实用文档A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】试题分析：①∵1BC ∥平面1AD ，∴1BC ∥上任意一点到平面C AD 1的距离相等，所以体积不变，正确．②P 在直线1BC 上运动时，直线AB 与平面C AD 1所成角和直线1AC 与平面C AD 1所成角不相等，所以不正确．③当P 在直线1BC 上运动时，AP 的轨迹是平面1PAD ，即二面角C AD P --1的大小不受影响，所以正确．④∵M 是平面1111D C B A 上到点D 和1C 距离相等的点，∴M 点的轨迹是一条与直线1DC 平行的直线，而111C D DD =，所以正确,故答案为：C .考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题 .11．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB 的中点为M ，DD 1的中点为N ，则异面直线B 1M 与CN 所成的角是（ ）A. 0B. 45C. 60D. 90【答案】D 【解析】试题分析：解：取1AA 的中点E ，连接EN ，BE 交M B 1于点O ，则BC EN //，且BC EN = ∴四边形BCNE 是平行四边形 CN BE //∴BOM ∠ 就是异面直线M B 1与CN 所成的角，而ABE Rt M BB Rt ∆≅∆1M BB ABE 1∠=∠∴，AEB BMB ∠=∠1，090=∠∴BOM ．故选D ．考点：异面直线所成角12．如图,直四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面是边长为1的正方形,侧棱长1AA 则异面直线11A B 与1BD 的夹角大小等于【答案】60° 【解析】试题分析：由直四棱柱1111-ABCD A B C D 的底面是边长为1的正方形,侧棱长1AA 得12,BD = 由11ABA B 知1ABD ∠就是异面直线11A B 与1BD 的夹角,且111cos ,2AB ABD BD ∠== 所以1ABD ∠=60°,即异面直线11A B 与1BD 的夹角大小等于实用文档60°．考点：1正四棱柱；2异面直线所成角13．如果直线AB 与平面α相交于B ，且与α内过点B 的三条直线BC ，BD ，BE 所成的角相同，则直线AB 与CD 所成的角=_________. 【答案】090【解析】试题分析：因为，直线AB 与平面α相交于B ，且与α内过点B 的三条直线,,BC BD BE 所成的角相同，所以，直线AB 在平面α内的射影应是,BC BD 夹角的平分线，同时也应是,BD BE 夹角及,BC BE 的平分线，因此，直线AB 在平面α内的射影是点B ，即AB α⊥，而CD α⊂，所以AB CD ⊥，直线AB 与CD 所成的角为090 考点：直线与直线、直线与平面的位置关系.14．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则1DB 和11C A 所成角大小为____________.【答案】arccos 6【解析】 试题分析：由于C A AA DB +=-+=1111,，而=⋅111A C DB ADAB AB AD AB AD AA AB ⋅+=+⋅-+21)(][ABAD AD AA AB AA ⋅-⋅+⋅+11-24=，同理求1112AA AB AA ⋅AA AB ⋅-⋅-1122=8,1DB =22 ，同理32，设1DB 和11C A 所成角大小为θ，则6632224,cos cos 111=⋅<=A C DB θ，66arccos =θ. 考点：1.向量的加法和减法；2.向量的数量积；3.向量的模；4.异面直线所成的角；15．已知四面体ABCD 中，DA DB DC ===，且,,DA DB DC 两两互相垂直，点O 是ABC ∆的中心，将DAO ∆绕直线DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与直线BC 所成角的余弦值的最大值是___ _【解析】试题分析：当BC OA //时，直线DA 与直线BC 所成角最小，对应的余弦值最大，即OAD ∠cos ；易知：6===BC AC AB ,32336=⨯=OA ,362332cos ===∠DA OA OAD . 考点：异面直线所成的角.16．如图所示，1111D C B A ABCD -为正方体，给出以下五个结论：①//BD 平面11D CB ； ②1AC ⊥平面11D CB ；③1AC 与底面ABCD④二面角111C D B C --；⑤过点1A 且与异面直线AD 和 1CB 均成70°角的直线有2条．其中，所有正确结论的序号为________．【答案】①②④ 【解析】试题分析：如下图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，由于BD ∥B 1D 1 ，由直线和平面平行的判定定理可得BD ∥平面CB 1D 1 ，故①正确． 由正方体的性质可得B 1D 1⊥A 1C 1，CC 1⊥B 1D 1，故B 1D 1⊥平面 ACC 1A 1，故 B 1D 1⊥AC 1．同理可得 B 1C ⊥AC 1．再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC 1⊥平面CB 1D 1 ，故②正确．AC 1与底面ABCD所成角的正切值为12CC AC ==，故③不正确． 取B 1D 1 的中点M ，则∠CMC 1 即为二面角C ﹣B 1D 1﹣C 1的平面角，Rt △CMC 1中，tan ∠CMC 1=112CC C M ==实用文档如下图，由于异面直线AD 与CB 1成45°的二面角，过A 1 作MN ∥AD 、PQ ∥CB 1，设MN 与PQ 确定平面α，∠PA 1M =45°，过A 1 在面α上方作射线A 1H ，则满足与MN 、PQ 成70°的射线A 1H 有4条：满足∠MA 1H=∠PA 1H=70°的有一条，满足∠PA 1H=∠NA 1H=70°的有一条，满足∠NA 1H=∠QA 1H=70°的有一条，满足QA 1H=∠MA 1H=70°的有一条．故满足与MN 、PQ 成70°的直线有4条，故过点A 1与异面直线AD 与CB 1成70°角的直线有4条，故⑤不正确．故答案为 ①②④．考点：二面角的定义及求法；直线和平面平行的判定；直线和平面垂直的判定；异面直线的判定.17．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是CC 1的中点。