大坝安全监控模型因子相关性及不确定性研究

2004年12月水 利 学 报SH UI LI X UE BAO 第12期收稿日期:2003210209基金项目:国家自然科学基金重点资助项目(50139030)作者简介:杨杰(1971-),男,四川大邑人,讲师,博士,主要研究方向为水工结构与大坝安全监测。

文章编号:055929350(2004)1220099207大坝安全监控模型因子相关性及不确定性研究杨杰1,2,胡德秀2,吴中如1(11河海大学水利水电学院,江苏南京　210024;　21西安理工大学水利水电学院,陕西西安　710048)摘要:针对最小二乘法难以克服因子多重共线性对回归模型精度影响的不足,本文对大坝安全监控模型因子间的相关性及其不确定性进行了研究。

引进偏最小二乘法,对大坝安全监测变量及其影响因子进行偏最小二乘回归分析,将建模预测分析方法与非模型式的数据内涵分析有机结合,可同时实现回归建模、数据结构简化以及因子相关的不确定性分析,所建立的大坝安全监控模型,其精度可通过交叉有效性检验来控制。

工程应用实例和模型对比分析研究表明,偏最小二乘回归模型能有效克服各类因子变量间的多重共线性对模型拟合精度及其预测能力的影响,因而比目前常用的最小二乘回归模型更具广泛适用性。

关键词:大坝安全监控;多重共线性;不确定性;偏最小二乘回归;交叉有效性检验中图分类号:T V69811文献标识码:A在对大坝安全监测数据进行处理分析并建立其安全监控模型的众多方法中,多元回归(如逐步回归)分析方法在国内外得到了广泛应用,它采用最小二乘法进行回归参数的无偏估计,因此也称为最小二乘回归法[1～3]。

最小二乘回归分析建立在模型因子之间不存在密切的线性关系的假定基础上[3,4]。

而实际情况常与该假定不符,在影响大坝安全监测变量(即因变量)的各类因子(自变量)之间,往往存在着一定程度的线性或近似线性相关性,也称为多重共线性[2]。

这种因子之间的多重共线性会导致回归分析的正则方程组出现严重病态,从而使最小二乘法的参数估计不稳定,回归效果也因此大大降低[5～10]。

此外,受气象、水文、地形、地质、坝体材料、坝工结构特性、观测精度等因素的影响,根据各类大坝安全监测变量建立的最小二乘回归模型,其模型因子之间的相互关联程度往往难以准确判断和确定,存在一定的模糊性和不确定性。

这种模型因子相关的不确定性,将直接影响各监控模型的因子变量选择与确定,也会在一定程度上影响各模型分量的分离结果,从而导致回归结果偏离实际;或者虽然回归模型的复相关系数R 较高,但由于各影响因子之间存在多重共线性干扰,使模型分离出的各个影响分量无法对大坝实测变量的变化作出合理的物理成因解释。

针对目前常用的最小二乘法存在的不足,本文将偏最小二乘回归法(Partial Least 2Sguares Regression ,P LSR )引入水工建筑物安全监测变量的建模分析。

1　大坝安全监控的单因变量P LSR 分析模型长期以来,在处理多重共线性问题时,往往是沿着先进行多重相关性分析,然后剔除部分多重相关变量这一思路进行的[2,4]。

但对于如何检验因子之间的多重相关性,却始终没有切实可靠的方法和准则;同时,剔除部分多重相关变量,常会使模型产生一定的解释误差,甚至产生错误结论。

1965年,W.F.Massy 提出了主成分回归(Principal C om ponent Regression ,简称PCR )方法[2,5]。

其具体做法是先对含p 个自变量的解释变量系统X 的信息进行调整组合,从中提取m 个(m <p )彼此完全无关的综合变量F 1,F 2,……,F m (称为主成分),它们能最多地反映X 中的数据信息,并对多重相关信息和无解释意义的干扰信息进行剔除;然后将F 1,F 2,…,F m 作为解释变量,再进行因变量系统Y 的回归分析。

主成分回归分析在力保数据信息损失最小的原则下,通过对高维(p 维)自变量空间的降维处理,在一定程度上消除了原自变量系统X 的多重共线性。

然而,由于提取X 的主成分是独立于因变量Y 而进行的,没有考虑到X 对Y 的解释作用,这就增加了所建模型的不可靠性。

不过,PCR 方法这种信息提取的思想是非常有价值和值得借鉴的。

针对回归建模时因子间的多重共线性干扰问题,S.W old 和C.Albano 在1983年提出了偏最小二乘回归(Partial Least 2Squares Regression ,简称P LSR )方法[2、4、6]。

P LSR 吸取了主成分回归分析中从解释变量提取信息的思想,同时还注意了主成分回归中所忽略的自变量对因变量的解释问题。

111　建模原理　大坝安全监测数据建模,一般只针对水平位移、垂直位移、挠度变形、接缝开合度、渗透压力或者应力应变等监测量中的某一个因变量进行。

因此,利用P LSR 方法建立的大坝安全监控模型,称为单因变量的偏最小二乘回归分析模型。

记大坝安全监测某一实测变量(因变量)为y ∈R n ,由水压、温度、雨量及时效等影响因子(自变量)组成的自变量集合为X =[x 1,x 2,…,x m ],x j ∈R n 。

记E 0、F 0分别为X 、y 进行中心化-压缩标准化处理后的标准化单位向量[2]。

第一步,分别对E 0、F 0提取第一个主成分t 1=E 0w 1和u 1=F 0c 1,其中w 1、c 1是相应于E 0、F 0的第一主轴,且‖w 1‖=1,c 1=1。

利用P LSR 方法提取主成分时,必须保证自变量系统的主成分对因变量系统的主成分具有最大的解释能力,为此所提取的主成分之间必须满足两个基本要求:(1)应尽可能大地提取它们各自原变量系统中的数据信息;(2)二者的相关程度达到最大。

这也正是P LSR 方法对PCR 方法的改进所在。

为了使第一主成分t 1和u 1满足基本要求(1)、(2),应使t 1和u 1的协方差取最大值,即C ov (t 1,u 1)=Var (t 1)Var (u 1)r (t 1,u 1)]max (1)式中:C ov (3,3)为协方差算子;Var (3)为方差算子;r (t 1,u 1)为主成分t 1和u 1的相关系数。

式(1)实际上是在‖w 1‖=1和c 1=1的约束条件下,求w ′1E ′0F 0c 1的最大值优化问题。

采用Lagrange 乘积算法,记S =w ′1E ′0F 0c 1-λ1(w ′1w 1-1)-λ2(c ′1c 1-1),分别对S 求以下偏导,并令其为零,有9S 9w 1=0;　9S 9c 1=0;　9S 9λ1=0;　9S 9λ2=0(2) 由式(2)可求得第一主轴w 1,并由此得第一主成分t 1=E 0w 1。

然后,分别进行E 0对t 1和F 0对t 1的回归,得E 0=t 1p ′1+E 1;F 0=t 1r 1+F 1。

其中,E 1、F 1为回归方程的残差矩阵,分别代表了E 0和F 0被t 1解释后的残余信息;p 1和r 1为回归系数。

第二步,用E 1和F 1取代E 0和F 0,重复第一步的工作,求得第二主轴w 2和第二主成分t 2,并实行E 1和F 1在t 1、t 2上的回归,得残差矩阵E 2、F 2和回归系数p 2、r 2。

依此类推,逐步进行P LSR 。

第h 步,提取t h ,实施F 0在t 1,t 2,…,t h 上的回归,得^F 0=r 1t 1+r 2t 2+…+r h t h 。

由于t 1,t 2,…,t h 均为E 0的线性组合,即t h =E h -1w h =E 0w 3h ,所以有^F 0=r 1E 0w 31+…+r h E 0w 3h =E 0[∑h k =1r k w 3k ](3) 记y 3=F 0,x 3j =E 0j ;并记a j =∑h k =1r k w 3kj (j =1,2,…,m )为x 3j 的回归系数,则有^y 3=a 1x 31+a 2x 32+…+a m x 3m (4) 式(4)即为针对某一实测变量y 的大坝安全监控单因变量P LSR 模型。

112　交叉有效性检验　一般并不需要提取全部的成分t 1,t 2,…,t A (A 为自变量矩阵X 的秩)进行建模,而只需选择前h 个成分(h <A ),即能得到一个精度足够高且拟合与预测性能较好的P LSR 模型。

对于建模所需提取的成分个数h ,可以通过交叉有效性检验方法来确定。

对于实测变量y i (i =1～n ),记^y hi 是使用全部样本点并提取成分t 1～t h 进行建模后,第i 个样本点的拟合值,则y i 的拟合误差平方和为SS h =∑ni =1(y i -^y hi )2;记^y h (-i )是删去样本点i 并提取t 1～t h 进行建模后y i 的拟合值,则y i 的拟合误差平方和为PRESS h =∑ni =1(y i -^y h (-i ))2。

如果回归方程的误差较大,则PRESS h 对样本点的变动就十分敏感,其值就会增大。

因此,当PRESS h 达到最小值时,此时对应的h 即为所求的成分个数。

通常,总有PRESS h 大于SS h ,而SS h 则小于SS h -1。

因此,在提取主成分时,总希望比值PRESS h ΠSS h -1越小越好,一般可设定限制值为0105,即:当PRESS h ΠSS h -1≤(1-0105)2=01952时,增加成分t h 有利于模型精度的提高。

为此,对大坝安全监测某一实测变量(因变量)y ,定义成分t h 的交叉有效性为Q 2h =1-PRESS h ΠSS (h -1),这样,在P LSR 建模的每一步计算结束前,均进行交叉有效性检验,如果在第h 步有Q 2h <(1-01952)=010975,则模型已达到精度要求,可停止提取成分的计算;若Q 2h ≥010975,表示第h 步提取的t h 成分的边际贡献显著,应继续第h +1步提取成分的计算。

113　P LSR 的辅助分析技术　P LSR 建模结合了主成分分析、典型相关分析和线性回归分析的诸多优点,它除了提供一个较最小二乘回归更为合理的模型外,还提供了一些类似于主成分分析和典型相关分析的辅助分析[2,6]。

如:不同变量之间的相关性程度分析、对高维空间样本点分布结构的考察、奇异值的发现、模型精度分析、模型因子在解释因变量时的重要性分析等。

2　工程实例———大坝绕坝渗流的P LSR 模型碧口水电站位于甘肃省文县碧口镇,是白龙江干流上最早开发的梯级电站。

大坝枢纽属大(2)型工程,控制流域面积26×103km 2。

水库为季调节水库,于1975年12月20日下闸蓄水,总库容5121亿m 3。

大坝为碾压式壤土心墙土石坝,最大坝高10513m ,坝顶长297136m 。