2016年浙江省绍兴市嵊州市剡城中学九年级上学期数学期中试卷与解析

2015-2016学年浙江省绍兴市嵊州市剡城中学九年级（上）期中数学试卷一.选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）10件衬衣中，有2个不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格衬衣的概率是（）A．B．C．D．2．（4分）三角形的外心具有的性质是（）A．到三边的距离相等B．外心一定在三角形外C．到三个顶点的距离相等D．外心一定在三角形内3．（4分）二次函数y=﹣x2﹣2x+7的图象的对称轴是（）A．直线x=2 B．直线x=﹣2 C．直线x=1 D．直线x=﹣14．（4分）如图，O是圆心，半径OC⊥弦AB于点D，AB=8，OD=3，则CD等于（）A．2 B．3 C．2 D．25．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=80°，则∠BOD=（）A．45°B．80°C．100° D．160°6．（4分）已知y关于x的函数图象如图所示，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜0 B．x＜﹣1或1＜x＜2 C．﹣1＜x＜1或x＞2 D．x＞﹣17．（4分）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．B．1 C．2 D．28．（4分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于（）A．B．C．4 D．39．（4分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b2＞0；②2a﹣b=0；③4a+c＜2b；④3b+2c＜0；⑤m（am+b）＜a﹣b（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个10．（4分）边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（）A．B．C．﹣2 D．二.填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）三张完全相同的卡片上分别写有函数y=2x、、y=x2，从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的概率是．12．（5分）将抛物线y=x2+6先右平移动2个单位，再向下平移4个单位后得到一个新的抛物线，那么新的抛物线的解析式是．（用顶点式表示）13．（5分）如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=．14．（5分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则方程ax2+bx+c﹣2=0实数根．15．（5分）半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为．16．（5分）如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），扇形的圆心角是60°，若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数取值范围是．三、解答题（本大题共8小题，共80分）17．（8分）现有两个不透明的乒乓球盒，甲盒中装有1个白球和2个红球，乙盒中装有2个白球和若干个红球，这些小球除颜色不同外，其余均相同．若从乙盒中随机摸出一个球，摸到红球的概率为．（1）求乙盒中红球的个数；（2）若先从甲盒中随机摸出一个球，再从乙盒中随机摸出一个球，请用树形图或列表法求两次摸到不同颜色的球的概率．18．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD 的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E．求证：BC=EC．19．（8分）如图，在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C，点C的坐标为（0，﹣3），且BO=CO．（1）求出B点坐标；（2）求这个二次函数的解析式以及函数的最小值；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC 于点F．（1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．21．（10分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（x＞50）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？22．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准碟形，线段AB 称为碟宽，顶点M称为蝶顶，点M到线段AB的距离称为碟高．（1）抛物线y=2x2对应的碟宽为；抛物线y=ax2对应的碟宽为；抛物线y=a（x﹣2）2+4（a＞0）对应的碟宽为．（2）抛物线y=ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值．23．（12分）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C 的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．（3）若点F为x轴上一动点，当△FAB是以AB为斜边的直角三角形时，求点F 的坐标．2015-2016学年浙江省绍兴市嵊州市剡城中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）10件衬衣中，有2个不合格，现从中任意抽取1件进行检测，抽到不合格衬衣的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：∵10件衬衣中，有2个不合格产品，∴现从中任意抽取1个进行检测，抽到不合格产品的概率是：=．故选：B．2．（4分）三角形的外心具有的性质是（）A．到三边的距离相等B．外心一定在三角形外C．到三个顶点的距离相等D．外心一定在三角形内【解答】解：A、∵三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，∴到三边的距离相等不一定相等，故本选项错误；B、∵锐角三角形的外心在三角形的内部，∴外心不一定在三角形外，故本选项错误；C、∵三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点，∴到三个顶点的距离相等相等，故本选项正确；D、∵钝角三角形的外心在三角形的外部，∴外心不一定在三角形内，故本选项错误．故选：C．3．（4分）二次函数y=﹣x2﹣2x+7的图象的对称轴是（）A．直线x=2 B．直线x=﹣2 C．直线x=1 D．直线x=﹣1【解答】解：题意可知a=﹣1，b=﹣2．∵x=﹣，∴x=﹣=﹣1．故选：D．4．（4分）如图，O是圆心，半径OC⊥弦AB于点D，AB=8，OD=3，则CD等于（）A．2 B．3 C．2 D．2【解答】解：连接OA，∵半径OC⊥弦AB于点D，AB=8，∴AD=4，∴OA===5，∴CD=OC﹣OD=5﹣3=2．故选：A．5．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE=80°，则∠BOD=（）A．45°B．80°C．100° D．160°【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，∵∠DCE=80°，∴∠BCD=100°，∴∠A=80°，∴∠BOD=160°，故选：D．6．（4分）已知y关于x的函数图象如图所示，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜0 B．x＜﹣1或1＜x＜2 C．﹣1＜x＜1或x＞2 D．x＞﹣1【解答】解：当y＜0时，x的范围是：﹣1＜x＜1或x＞2．故选：C．7．（4分）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A．B．1 C．2 D．2【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB的最小时的点，PA+PB的最小值=AB′，∵∠AMN=30°，∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，∵点B为劣弧AN的中点，∴∠BON=∠AON=×60°=30°，由对称性，∠B′ON=∠BON=30°，∴∠AOB′=∠AON+∠B′ON=60°+30°=90°，∴△AOB′是等腰直角三角形，∴AB′=OA=×1=，即PA+PB的最小值=．故选：A．8．（4分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于（）A．B．C．4 D．3【解答】解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴=，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=BF=3．故选：D．9．（4分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b2＞0；②2a﹣b=0；③4a+c＜2b；④3b+2c＜0；⑤m（am+b）＜a﹣b（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：∵由图象可知，当y=0时，图象与x轴有两个交点，∴ax2+bx+c=0时，b2﹣4ac＞0．∴4ac﹣b2＜0．（故①错误）∵二次函数的对称轴：，∴b=2a．∴2a﹣b=0．（故②正确）∵由图象可知，x=0时和x=﹣2时函数值相等，都大于零，∴x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＞0．∴4a+c＞2b．（故③错误）∵由图象可知x=1时，y=a+b+c＜0，b=2a，∴．∴3b+2c＜0．（故④正确）∵由图象可知x=﹣1时该二次函数取得最大值，∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）．∴m（am+b）＜a﹣b．（故⑤正确）故选：B．10．（4分）边长为1的正方形OA1B1C1的顶点A1在x轴的正半轴上，如图将正方形OA1B1C1绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（）A．B．C．﹣2 D．【解答】解：如图，作BE⊥x轴于点E，连接OB，∵正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°，∴∠AOE=75°，∵∠AOB=45°，∴∠BOE=30°，∵OA=1，∴OB=，∵∠OCB=90°，∴BE=OB=，∴OE=，∴点B坐标为（，﹣），代入y=ax2（a＜0）得a=﹣，∴y=﹣．故选：D．二.填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）三张完全相同的卡片上分别写有函数y=2x、、y=x2，从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的概率是．【解答】解：函数y=2x、、y=x2的图象的草图如图所示，由图可知，图象在第一象限内y随x的增大而增大的函数是y=2x、y=x2，故P=．故答案为：．12．（5分）将抛物线y=x2+6先右平移动2个单位，再向下平移4个单位后得到一个新的抛物线，那么新的抛物线的解析式是y=（x﹣2）2+2．（用顶点式表示）【解答】解：将抛物线y=x2+6向右平移动2个单位所得直线解析式为：y=（x﹣2）2+6；再向下平移4个单位为：y=（x﹣2）2+6﹣4，即y=（x﹣2）2+2．故答案为y=（x﹣2）2+2．13．（5分）如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=30°．【解答】解：由题意得，∠AOB=60°，则∠APB=∠AOB=30°．故答案为：30°．14．（5分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等实数根．【解答】解：令y=ax2+bx+c﹣2．∵y=ax2+bx+c向下平移2个单位得到y=ax2+bx+c﹣2，且抛物线y=ax2+bx+c顶点D的坐标为（﹣1，2），∴抛物线y=ax2+bx+c﹣2的顶点坐为（﹣1，0）．∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．故答案为：有两个相等．15．（5分）半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为：：1．【解答】解：设圆的半径为R，如图（一），连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC=30°，BD=OB•cos30°=R，故BC=2BD=R；如图（二），连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，则△OBE是等腰直角三角形，2BE2=OB2，即BE=，故BC=R；如图（三），连接OA、OB，过O作OG⊥AB，则△OAB是等边三角形，故AG=OA•cos60°=R，AB=2AG=R，故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为R：R：R=：：1．16．（5分）如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），扇形的圆心角是60°，若抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数取值范围是．【解答】解：由图可知，∠AOB=60°，∴直线OA的解析式为y=x，联立，消掉y得，x2﹣x+k=0，△=（﹣）2﹣4×1×k=0，即k=时，抛物线与OA有一个交点，解得：x=，即交点的横坐标为，∵点B的坐标为（2，0），∴OA=2，∴点A的坐标为（1，），∵＜1，∴交点在线段AO上；当抛物线经过点B（2，0）时，4+k=0，解得k=﹣4，∴要使抛物线y=x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是：﹣4＜k＜．故答案为：﹣4＜k＜．三、解答题（本大题共8小题，共80分）17．（8分）现有两个不透明的乒乓球盒，甲盒中装有1个白球和2个红球，乙盒中装有2个白球和若干个红球，这些小球除颜色不同外，其余均相同．若从乙盒中随机摸出一个球，摸到红球的概率为．（1）求乙盒中红球的个数；（2）若先从甲盒中随机摸出一个球，再从乙盒中随机摸出一个球，请用树形图或列表法求两次摸到不同颜色的球的概率．【解答】解：（1）设乙盒中红球的个数为x，根据题意得=，解得x=3，所以乙盒中红球的个数为3；（2）列表如下：共有15种等可能的结果，两次摸到不同颜色的球有7种，所以两次摸到不同颜色的球的概率=．18．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，并且AD是⊙O的直径，C是弧BD 的中点，AB和DC的延长线交⊙O外一点E．求证：BC=EC．【解答】证明：连接AC．∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°=∠ACE．∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠ABC=180°，又∠ABC+∠EBC=180°，∴∠EBC=∠D．∵C是弧BD的中点，∴∠1=∠2，∴∠1+∠E=∠2+∠D=90°，∴∠E=∠D，∴∠EBC=∠E，∴BC=EC．19．（8分）如图，在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴的负半轴相交于点C，点C的坐标为（0，﹣3），且BO=CO．（1）求出B点坐标；（2）求这个二次函数的解析式以及函数的最小值；（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围．【解答】解：（1）∵C（0，﹣3），且BO=CO，且点B在x轴的正半轴，∴B（3，0）；（2）把B（3，0），C（0，﹣3）两点坐标代入y=x2+bx+c中，得，解得，∴y=x2﹣2x﹣3，即y=（x﹣1）2﹣4，故函数最小值﹣4；（3）由（2）可知，抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴当x≤1时，y随x的增大而减小．20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC 于点F．（1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当∠D=30°，BC=1时，求圆中阴影部分的面积．【解答】解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：①BC=BD；②OF∥BC；③∠BCD=∠A；④△BCE∽△OAF；⑤BC2=BE•AB；⑥BC2=CE2+BE2；⑦△ABC是直角三角形；⑧△BCD是等腰三角形．（2）连接OC，则OC=OA=OB，∵∠D=30°，=，∴∠A=∠D=30°，∴∠COB=2∠A=60°∴∠AOC=120°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ABC中，BC=1，∴AB=2，AC=，∵OF⊥AC，∴AF=CF，∵OA=OB，∴OF是△ABC的中位线，∴OF=BC=，∴S△AOC=AC•OF=××=，S扇形AOC=π×OA2=，∴S阴影=S扇形AOC﹣S△AOC=．21．（10分）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）（x＞50）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【解答】解：（1）由题意得：y=90﹣3（x﹣50）化简得：y=﹣3x+240；（3分）（2）由题意得：w=（x﹣40）y（x﹣40）（﹣3x+240）=﹣3x2+360x﹣9600；（3分）（3）w=﹣3x2+360x﹣9600∵a=﹣3＜0，∴抛物线开口向下．当时，w有最大值．又x＜60，w随x的增大而增大．∴当x=55元时，w的最大值为1125元．∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润．（4分）22．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，我们把抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准碟形，线段AB 称为碟宽，顶点M称为蝶顶，点M到线段AB的距离称为碟高．（1）抛物线y=2x2对应的碟宽为1；抛物线y=ax2对应的碟宽为；抛物线y=a（x﹣2）2+4（a＞0）对应的碟宽为．（2）抛物线y=ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值．【解答】解：（1）∵a＞0，∴y=ax2的图象大致如下：其必过原点O，记AB为其碟宽，AB与y轴的交点为C，连接OA，OB．∵△OAB为等腰直角三角形，AB∥x轴，∴OC⊥AB，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=×90°=45°，∴△ACO与△BCO亦为等腰直角三角形，∴AC=OC=BC，∴x A=y A，x B=y B，代入y=ax2，∴A（﹣，），B（，），C（0，），∴AB=，OC=，即y=ax2的碟宽为．①抛物线y=2x2对应的a=2，得碟宽为1；②抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为；③抛物线y=a（x﹣2）2+4（a＞0）可看成y=ax2向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到的图形，∵平移不改变形状、大小、方向，∴抛物线y=a（x﹣2）2+4（a＞0）的准碟形≌抛物线y=ax2的准碟，∵抛物线y=ax2（a＞0），碟宽为，∴抛物线y=a（x﹣2）2+4（a＞0），碟宽为．（2）∵y=ax2﹣4ax﹣=a（x﹣2）2﹣（4a+），∴同（1），其碟宽为，∵y=ax2﹣4ax﹣的碟宽为6，∴=6，解得a=．故答案为：1；；．23．（12分）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C 的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．【解答】解：（1）连接PA，如图1所示．∵PO⊥AD，∴AO=DO．∵AD=2，∴OA=．∵点P坐标为（﹣1，0），∴OP=1．∴PA==2．∴BP=CP=2．∴B（﹣3，0），C（1，0）．（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．如图2所示，线段MB、MC即为所求作．四边形ACMB是矩形．理由如下：∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，∴四边形ACMB是平行四边形．∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB=90°．∴平行四边形ACMB是矩形．过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．在△MHP和△AOP中，∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，∴△MHP≌△AOP．∴MH=OA=，PH=PO=1．∴OH=2．∴点M的坐标为（﹣2，）．（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．∵四边形ACMB是矩形，∴∠BMC=90°．∵EG⊥BO，∴∠BGE=90°．∴∠BMC=∠BGE=90°．∵点Q是BE的中点，∴QM=QE=QB=QG．∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．∴∠MQG=2∠MBG．∵∠COA=90°，OC=1，OA=，∴tan∠OCA==．∴∠OCA=60°．∴∠MBC=∠BCA=60°．∴∠MQG=120°．∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．（3）若点F为x轴上一动点，当△FAB是以AB为斜边的直角三角形时，求点F 的坐标．【解答】方法一：解（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，得x1=3，x2=﹣1．∵m＜n，∴m=﹣1，n=3∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）．∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx（a≠0）．∴解得：，∴抛物线的解析式为．（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b．∴解得：，∴直线AB的解析式为．∴C点坐标为（0，）．…（6分）∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），∴直线OB的解析式为y=﹣x．∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC．设P（x，﹣x），（i）当OC=OP时，．解得，（舍去）．∴P1（，）．（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴P2（，﹣）．（iii）当OC=PC时，由，解得，x2=0（舍去）．∴P3（，﹣）．∴P点坐标为P1（，）或P2（，﹣）或P3（，﹣）．②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．设Q（x，﹣x），D（x，）．S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQ•OG+DQ•GH，=DQ（OG+GH），=，=，∵0＜x＜3，∴当时，S取得最大值为，此时D（，﹣）．方法二：（1）略．（2）①由A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）得l AB：y=﹣x﹣，∴C（0，﹣），l OB：y=﹣x，设P（t，﹣t），O（0，0），C（0，﹣），∵△OPC为等腰三角形，∴OP=OC，OP=PC，PC=OC，（t﹣0）2+（﹣t﹣0）2=（0﹣0）2+（0+）2，∴t1=，t2=﹣（舍），（0﹣0）2+（0+）2=（t﹣0）2+（﹣t+）2，∴t1=，t2=0（舍），（t﹣0）2+（﹣t﹣0）2=（t﹣0）2+（﹣t+）2，∴t=，∴P点坐标为P1（，）或P2（，﹣）或P3（，﹣）．②过D作x轴垂线交OB于Q，∵B（3，﹣3），∴l OB：y=﹣x，设D（t，﹣t2+t），Q（t，﹣t），=（D Y﹣Q Y）（B X﹣O X），∵S△OBD=（﹣t2+t+t）•（3﹣0）=﹣t2+t，∴S△OBD当t=时，S有最大值，D（，﹣）．（3）过点A作AN⊥x轴于点N，∵点F为x轴上一动点，∴设F（m，0），当∠AFB=90°时，可得：∠NFA+∠FHB=90°，∠HBF+∠HFB=90°，则∠NAF=∠HFB，又∵∠ANF=∠FHB，∴△AFN∽△FBH，∴=，则=，解得：m=0或2，∴F1（0，0），F2（2，0）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。