2014人教A版数学必修五1.1《正弦定理和余弦定理》课件

b +c - a cos A = 2bc
2 2
2 2 2
c +a - b cos B = 2ca
2 2
2
a +b - c cosC = 2ab
2
b +c - a cos A = 2bc
2
2
2
c +a - b cos B = 2ca
2 2
2
2
2
a +b - c三个公式是余弦定理的推论， 如何通过三边的大小关系判断∠A是锐角、 直角还是钝角？
探究（一）：正弦定理的几何意义
a 思考1：在直角三角形ABC中， 等于 sin A
什么？
3.在正弦定理中，
C
a sin A
b
A
a
c
B
思考2：如图，作△ABC的外接圆，你能 构造一个一条直角边长为a，其对角大小 为A的直角三角形吗？ B
3.在正弦定理中，
a sin A
a = 2R sin A
C
a O A D
C
b
A D
a B
C
a
b D A
B

思考5：在任意三角形中，同理可得，
b c = sin B sin C
, 因此有
a b c = = sin A sin B sin C
该连等式称为正弦定理.如何用文字语言 描述正弦定理？ 在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦之比相等.
知识探究（二）：正弦定理的向量证明
边、边、边
思考2：在△ABC中，已知边a，b和角C， 从向量的角度考虑，可以求出什么？
A
b
c
uuu r uuu r uur A B = CB - CA
B
C
uuu r uuu r 思考3：c边的长即为 | AB |，向量 A B uur uuu r CA 与 CB ， 有什么关系？
a
思考4：如何将 a，b，C的关系？
例4 在△ABC中，已知
t an A - t an B b+ c ，求角A的值. = t an A + t an B c
120°
小结作业 1.正弦定理是以三角形为背景的一个基 本定理，它不仅可以用来求三角形的边 角值，而且可以在三角变换中实现边角 转化，是解决三角形问题的一个重要工 具. 2.正弦定理的应用具有一定的灵活性， 在处理三角形的边角关系时，利用 a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，可达 到化边为角的目的.
a b c = = = 2R sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦之比相等.
2.若已知三角形的两边及其夹角或已知 三边，能否用正弦定理解三角形？
3.对于上述问题，需要建立一个新的数 学理论才能解决，这是我们要研究的课 题.
探究（一）：余弦定理的推导 思考1：根据平面几何中两个三角形全等 的判定定理，确定一个三角形可以是哪 些条件？ 边、角、边 角、边、角
单位向量i？
C b A c B
i
知识探究（三）：正弦定理的应用 思考：一般地,把三角形的三个角和它 们的三条对边叫做三角形的元素.已知 三角形的几个元素求其它元素的过程叫 做解三角形.我们利用正弦定理可以解 决一些怎样的解三角形问题呢? 可以解决两类解三角形的问题：一类 是已知两角和一边解三角形；另一类 是已知两边和其中一边的对角解三角 形
a b 思考3：sin A = sin B 可变形为
a sin B = b sin A , 在锐角△ABC中，该
等式是否成立？为什么？
C b A D a
B
思考4： a sin B = b sin A 是否成立？ 若∠C为钝角， a sin B = b sin A 是否成立？ 若∠A为钝角， a sin B = b sin A 是否成立？ 若∠B为钝角，
知识探究（一）：正弦定理的形成 思考1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝ a，AC＝b，AB＝c，则sinA，sinB，sinC 分别等于什么？ C b a A c B
思考2：将上述关系变式，边长c 有哪几 种表示形式？由此可得什么结论？ C
b
A
a
c
B
a b c = = sin A sin B sin C
3.正弦定理不是万能的，如已知三角形 的三边长，利用正弦定理就不能求出三 个内角，因此我们还需要建立新的理论. 欲知后事如何，且听下回分解.
作业：
P10习题1.1 A组：2. B组：2.
第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理
第一课时
问题提出
1.正弦定理的外在形式是什么？其数学 意义如何？
思考3：设△ABC的外接圆半径为R，则
a sin A 等于什么？
思考4：如图，若∠A为钝角，上述结论 还成立吗？ 若∠A为直角呢？
B A
a = 2R sin A
O
a
C D
探究（二）：正弦定理的变式拓展
思考1：在三角形中有“大边对大角”原 理，如何利用正弦定理进行理论解释？
思考2：利用等比定理，正弦定理可作哪 些变形？
uuu r uuu r uur A B = CB - CA
转化为c与
思考5：根据上述推导可得， 2 2 2 c = a + b - 2ab cosC ，此式对任意三角 形都成立吗？ A
b
c
C
a
B
uuu r uuu r uur A B = CB - CA
思考6：如图所示建立直角坐标系，点A， B的坐标分别是什么？ 根据两点间的距离公式可得什么结论？
高中新课程数学必修⑤ 第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理
第一课时
问题提出 1.在直角三角形中，三边a，b，c，及锐 角A，B之间有怎样的数量关系？ B a C
c
b
A
2.三角形是最基本的几何图形，许多与 测量有关的实际问题，都要通过解三角 形来解决.如船在航行中测量海上两个岛 屿之间的距离；飞机在飞行中测量一座 山顶的海拔高度；在地面上测量顶部或 底部不可到达的建筑物的高度；测量在 海上航行的轮船的航速和航向等. 3.对于直角三角形，我们可利用上述原 理进行有关计算.对于一般三角形中边和 角的关系，我们需要建立相关理论进行 沟通，这是一个有待探究的课题.
小结作业 1.三角形的三个内角及其对边叫做三角 形的元素，已知三角形的几个元素求其 他元素的过程叫做解三角形. 2.正弦定理的外在形式是公式，它由三 个等式组成即
a b b c a c = = = sin B sin C ， sin A sin B ， sin A sin C
每个等式都表示三角形的两个角和它们 的对边的关系.
思考4：若已知边a，b和角A，能直接用 余弦定理求边c吗？ A
b
c
C
a
B
思考5：结合正弦定理， 2 2 2 c = a + b - 2ab cosC 可作什么变形？
sin C = sin A + sin B - 2 sin A sin B cosC
2 2 2
理论迁移
例1. 在△ABC中，已知b= 2 cm，
思考8：上述三个等式称为余弦定理.如 何用文字语言描述余弦定理？ 三角形中任何一边的平方，等于其他 两边的平方和，减去这两边与其夹角的 余弦的积的两倍.
2
2
2
探究（二）：余弦定理的变式
思考1：在△ABC中，若已知边a，b和角C， 如何求边c和角A，B？
A
b
c a B
C
思考2：已知三角形的三边a，b，c，求 三内角A，B，C，其计算公式如何？
c= 3 cm，A=75°，解三角形.
例2. 在△ABC中，已知a= 2 +
b= 2 3 ，c= 6 2 ，解三角形.
6 ，
理论迁移
例3 在△ABC中，已知a= 3 ，b= 7 ， B=30°，求边长c的值.
例4 已知△ABC的周长为20，A=30°， a=7，求这个三角形的面积.
理论迁移
例5 在△ABC中，角A、B、C的对边分
y A
A(bcosC，bsinC)
x
b
C a B
B(a，0)
c = a + b - 2ab cosC
2
2
2
思考7：通过类比，a2，b2分别等于什么？
c = a + b - 2ab cosC 2 2 2 a = b + c - 2bc cos A 2 2 2 b = a + c - 2ac cos B
思考4：设△ABC的外接圆半径为R，则其
1 面积公式 S = ab sin C 可以作哪些变形？ 2 1 2 S = abc = 2R sin A sin B sin C 4R
思考5：在△ABC中，设∠A的平分线交BC
AB BD = 边于点D，则 A C CD（角平分线定理），
你能用正弦定理证明这个结论吗？
uuu r 思考3：由 i ?AC 可得什么结论？
i
A
uuu r i ?(AB
C
uuu r BC )
a B
b
a b = sin A sin B
思考4：若∠A为钝角，上述推理过程有 什么变化？所得结论如何？
C b A a i B
a b = sin A sin B
b c 思考5：若证明 sin B = sin C ，应如何作
理论迁移
题型一 已知两角一边，求其它元素.
例1 在△ABC中，已知A=45°， B=60°，a=42cm，解三角形.
理论迁移
题型二 已知两边及其中一边的对角，求其 它元素.