配套K12全效学习2016版中考数学第十单元相似形单元滚动专题七(含解析)

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2016年全国中考数学真题分类相似形及应用(习题解析)

2016年全国中考数学真题分类相似形及应用一、选择题1．（2016安徽，8，4分）如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A．4 B．4C．6 D．4【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】根据AD是中线，得出CD=4，再根据AA证出△CBA∽△CAD，得出=，求出AC即可．【解答】解：∵BC=8，∴CD=4，在△CBA和△CAD中，∵∠B=∠DAC，∠C=∠C，∴△CBA∽△CAD，∴=，∴AC2=CD•BC=4×8=32，∴AC=4；故选B．2．（2016甘肃定西，7，3分）如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：4，∴两个相似三角形的相似比是1：2，∴两个相似三角形的周长比是1：2，故选：D ．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．3. （2016浙江杭州，2,3分）如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ,B ,C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ,E ,F ,若12AB BC=,则DE EF=（）FE D CB A cb a nmA. 13B.12C. 23D.1 【答案】B4．（2016新疆生产建设兵团，7，5分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列说法中不正确的是（）A ．DE=BCB ． =C ．△ADE ∽△ABCD ．S △ADE ：S △ABC =1：2【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】根据中位线的性质定理得到DE ∥BC ，DE=BC ，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定．【解答】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ∴DE ∥BC ，DE=BC ， ∴=，△ADE ∽△ABC ，∴，∴A，B，C正确，D错误；故选：D．【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定；解题的关键是正确找出对应线段，准确列出比例式求解、计算、判断或证明．5.（2016河北，15，2分）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6.将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是（ C ）第15题图答案：Ｃ解析：只要三个角相等，或者一角相等，两边成比例即可。

中考数学总复习《相似》专题训练-附答案

中考数学总复习《相似》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．已知,:1:2ABC DEF AB DE =∽△△，且ABC 的周长为10，则DEF 的周长为（） A ．5B ．10C ．20D ．302．如图，ABC 与111A B C △位似，位似中心是点O ，且1:1:2OA OA =，若ABC 的面积为5，则111A B C △的面积为（）A ．10B ．15C ．20D ．253．若四条线段a ，b ，c ，d 成比例，其中2cm b =，3cm c =和6cm d =，则线段a 的长为（） A ．1cm B ．2cmC ．3cmD ．12cm4．如图，直线y =-343x +与x 轴，y 轴交于A ，B 两点．点P 是线段OB 上的一动点(能与点O ，B 重合)，若能在斜边AB 上找到一点C ，使90OCP ∠=︒．设点P 的坐标为(),0m ，则m 的取值范围是( )A ．34m ≤≤B ．24m ≤≤C ．0m ≤≤52D ．03m ≤≤5．如图，D 是ABC 边AB 上一点，添加一个条件后，仍然不能使ACD ABC △△∽的是（）A ．ACB ADC ∠=∠ B ．ACD ABC ∠=∠ C ．AC ADAB AC=D ．=CD ADBC AC6．如图，若ABC 与111A B C △是位似图形，则位似中心的坐标是（）A ．()1,1-B ．()1,1--C ．()0,0D ．()0,1-7．如图，在Rt ABC 中90,4cm,3cm ACB AC BC ∠=︒==，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm/s ，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为1cm/s ，连接PQ ．设运动的时间为()t s ，其中04t <<．当t 为何值时，APQ △与ABC 相似（）A ．3B ．259C ．209或259 D ．3或2598．凸透镜成像的原理如图所示AG l HC ∥∥．若缩小的实像是物体的35，则物体到焦点1F 的距离与焦点2F 到凸透镜的中心线GH 的距离之比为（焦点1F 和2F 关于O 点对称）（）A ．53B ．35C ．3D ．13二、填空题9．已知ABC DEF ∽△△，如果它们对应高的比:2:3AM DN =，那么ABC 和DEF 的面积比是．10．为了证明光是沿直线传播的这一性质，大约二千四百年前我国杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，30cm 长的箭头AB 在暗盒中所成像CD 的长为 cm ．11．在平面直角坐标系中，已知点()3,6A -和()9,3B --，以原点O 为位似中心，相似比为13，把ABO 缩小，则点B 对应点B '的坐标是．12．如图，直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，过A 、B 两点作矩形ABCD ，2AB AD =双曲线ky x=在第一象限经过C ，D 两点，则k 的值是 .13．如图，在ABC 中，AB=2，60ABC ∠=︒和30ACB ∠=︒，点D 在直线BC 上运动，连接AD ，在AD 的右侧作ADE ABC △△∽，F 为AC 的中点，连接EF ，则EF 的最小值为．三、解答题14．如图，在平行四边形ABCD 中，点N 在BC 上，连接DN ，点M 在DN 上，连接AM ，且AMN B ∠=∠．求证：ADM DNC ∽△△．15．如图，ABC 三个顶点的坐标分别为(2,6)A ，(6,8)B 和(8,2)C ，请你分别完成下面的作图．（不要求写出作法）(1)以点O 为位似中心，在第三象限内作出111A B C △，使111A B C △与ABC 的位似比为1:2； (2)以点O 为旋转中心，将ABC 沿顺时针方向旋转90︒得到222A B C △．16．如图1，在菱形ABCD 中，AB=4，=60B ∠︒点F 为CD 边上的动点．(1)求菱形ABCD 的面积；(2)E 为边AD 上一点，连接EF ，将DEF 沿EF 进行翻折，点D 恰好落在BC 边的中点G 处，求EG 的长；(3)如图2，延长CD 到M ，使DM DF =，连接BM 与AF ，且BM 与AF 交于点N ，当点F 从点D 沿DC 方向运动到点C 时，求点N 运动路径的长．17．如图，在矩形ABCD 中AD nAB =，点,M P 分别在边,AB AD 上（均不与端点重合），且AP nAM =，以AP 和AM 为邻边作矩形AMNP ，连接,AN CN ．（1）如图②，当1n =时，CN 与PD 的数量关系为______．【类比探究】（2）如图②，当2n =时，矩形AMNP 绕点A 顺时针旋转，连接PD ，则CN 与PD 之间的数量关系与（1）是否发生变化？若变化，求出数量关系，若不变化，请说明理由．【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，已知4,2AD AP ==，当矩形AMNP 旋转至,,C N M 三点共线时，请直接写出线段PD 的长．18．在Rt ABC △中90C ∠=︒．将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，旋转角小于CAB ∠，点B 的对应点为点D ，点C 的对应点为点E ，DE 交AB 于点O ，延长DE 交BC 于点P ．(1)如图1，求证：PC PE =； (2)当AD BC ∥时②如图2，若68CA CB ==，，求线段BP 的长；②如图3，连接BD CE ，，延长CE 交BD 于点F ，判断F 是否为线段BD 的中点，并说明理由．参考答案：1．C 2．C 3．A 4．A 5．D 6．D 7．C 8．A 9．2:9/2910．403/1133 11．()3,1--或()3,1 12．3 13．3214．证明：四边形ABCD 是平行四边形AB CD ∴∥ AD BC ∥180B C ∠+∠=︒∴ADM DNC ∠=∠180AMN AMD ∠+∠=︒ AMN B ∠=∠180B AMD ∴∠+∠=︒ AMD C ∴∠=∠又ADM DNC ∠=∠ADM DNC ∴△△∽（两角对应相等，两个三角形相似）．15．（1）解：②(2,6)A (6,8)B (8,2)C 111A B C △与ABC 的位似比为1:2 ②在第三象限内作出111A B C △ ②111(3,1),(4,3),(1,4)A B C ------ 如图，111A B C △即为所求；；（2）解：②(2,6)A (6,8)B (8,2)C ，将ABC 沿顺时针方向旋转90︒得到222A B C △ ②222(6,2),(8,6),(2,8)A B C --- 如图222A B C △所示：；16．(1)83(2)72(3)47317．（1）2CN PD =；（2）CN 与PD 之间的数量关系发生变化52CN PD =；（3）线段PD 的长为295455-或295455+ 18．（1）证明：连接AP由旋转的性质知 AC AE = 90AED C AEP ∠=∠=∠=︒ ②AP AP =②()Rt Rt HL APE APC ≌ ②PC PE =；（2）解：②连接AP②90C ∠=︒ 68CA CB ==， ②226810AB =+=由旋转的性质知10AD AB == 8DE BC == 由（1）知Rt Rt APE APC ≌△△ ②PC PE = APE APC ∠=∠ ②AD BC ∥ ②DAP APC ∠=∠ ②DAP APD ∠=∠ ②10DP AD == ②1082PC PE ==-= ②826BP BC PC =-=-=； ②F 是线段BD 的中点．理由如下连接AP ，延长AD 和CE 交于点G ，如图由（1）知AE AC = PE PC = ②PA 是CE 的垂直平分线 ②PA CG ⊥②90PAC ACG G ∠=︒-∠=∠ ②Rt Rt ACP GAC ∽△△ ②AC AGPC AC= ②2PC = 6CA = ②18AG =第 11 页共 11 页 ②18108GD BC =-==②AD BC ∥②G BCF ∠=∠ GDF CBF ∠=∠ ②GDF CBF ≌△△②DF BF =，即F 是线段BD 的中点．。

【配套K12】九年级数学上学期10月联考试题(含解析) 新人教版

重庆市九龙坡区六校2016届九年级数学上学期10月联考试题一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）每小题只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填入下列对应题号内．1．下列方程一定是一元二次方程的是( )A．2x2﹣1=3x B．2x2﹣y=1 C．ax2+bx+c=0 D．2x2+=12．抛物线y=﹣x2+x+2与y轴的交点坐标是( )A．（1，2）B．（0，﹣1）C．（0，1）D．（0，2）3．今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是( ) A．2500x2=3500 B．2500（1+x）2=3500C．2500（1+x%）2=3500 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=35004．把抛物线y=x2+4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为( )A．y=（x+1）2+1 B．y=（x﹣1）2+1 C．y=（x﹣1）2+7 D．y=（x+1）2+75．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2015﹣a﹣b的值是( ) A．2017 B．2018 C．2019 D．20206．已知﹣1是关于x的方程x2+4x﹣m=0的一个根，则这个方程的另一个根是( ) A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．37．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点为A（﹣2，0），B（6，0），则该二次函数的对称轴为( )A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．y轴8．已知某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=﹣t2+20t+1．若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为( )A．3s B．4s C．5s D．6s9．已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（0.5，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1、y2、y3的大小关系为( )A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y110．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是( ) A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠211．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是x=1，则下列说法：①b＞0；②2a+b=0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．512．对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣x+与x轴交于A n、B n两点，以A n B n表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2015B2015的值是( )A．1 B．C．D．二、填空题：（本大题共6个小题，每题4分，共24分）将正确答案填写在前面对应题号的横线上．13．方程（x+2）（x﹣3）=x+2的解是__________．14．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为__________．15．波音公司生产某种型号飞机，7月份的月产量为50台，由于改进了生产技术，计划9月份生产飞机98台，那么8、9月飞机生产量平均每月的增长率是__________．16．已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为__________．17．如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1=﹣+3向下平移2个单位后得抛物线y2，则阴影部分的面积S=__________．18．如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①当x＞0时，y＞0；②若a=﹣1，则b=3；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6．其中真命题的序号是__________．三、解答下列各题：（第19题8分，20题6分，共14分）19．解方程①x2﹣3x+2=0②4x2﹣12x+7=0．20．已知抛物线的对称轴是x=﹣1，且经过点A（0，3）和B（﹣3，6），求抛物线的解析式．四、解答下列各题：（每小题10分，共40分）21．无锡春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用28000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？22．李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．23．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？24．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1．①求a、b的值；②若关于m的方程T（1﹣m，﹣m2）=﹣2有实数解，求实数m的值；（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a、b应满足怎样的关系式？五、解答下列各题：（每小题12分，共24分）25．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？26．如图1，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；（3）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使△PBC面积最大的点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如图3，若抛物线的对称轴EF（E为抛物线顶点）与直线BC相交于点F，M为直线BC 上的任意一点，过点M作MN∥EF交抛物线于点N，以E，F，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点N的坐标；若不能，请说明理由．2015-2016学年重庆市九龙坡区六校九年级（上）联考数学试卷（10月份）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）每小题只有一个答案是正确的，请将正确答案的代号填入下列对应题号内．1．下列方程一定是一元二次方程的是( )A．2x2﹣1=3x B．2x2﹣y=1 C．ax2+bx+c=0 D．2x2+=1【考点】一元二次方程的定义．【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、符合一元二次方程的定义，正确；B、方程含有两个未知数，故错误；C、方程二次项系数可能为0，故错误；D、不是整式方程，故错误．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．抛物线y=﹣x2+x+2与y轴的交点坐标是( )A．（1，2）B．（0，﹣1）C．（0，1）D．（0，2）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】把x=0代入解析式求出y的值，根据y轴上点的特征和二次函数图象上点的坐标特征解答即可．【解答】解：当x=0时，y=2，故抛物线y=﹣x2+x+2与y轴的交点坐标是（0，2）．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，掌握抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值是解题的关键．3．今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是( ) A．2500x2=3500 B．2500（1+x）2=3500C．2500（1+x%）2=3500 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】根据2013年教育经费额×（1+平均年增长率）2=2015年教育经费支出额，列出方程即可．【解答】解：设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）2=3500，故选B．【点评】本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．4．把抛物线y=x2+4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的解析式为( )A．y=（x+1）2+1 B．y=（x﹣1）2+1 C．y=（x﹣1）2+7 D．y=（x+1）2+7【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y=x2+4向左平移1个单位所得直线解析式为：y=（x+1）2+4；再向下平移3个单位为：y=（x+1）2+4﹣3，即y=（x+1）2+1．故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．5．若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2015﹣a﹣b的值是( ) A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【考点】一元二次方程的解．【分析】把x=1代入已知方程求得（a+b）的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，∴a+b+5=0，∴a+b=﹣5，∴2015﹣a﹣b=2015﹣（a+b）=2015﹣（﹣5）=2020；故选D．【点评】本题考查了一元二次方程的解定义．解题时，利用了“整体代入”的数学思想．6．已知﹣1是关于x的方程x2+4x﹣m=0的一个根，则这个方程的另一个根是( ) A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．3【考点】根与系数的关系．【分析】设x2+4x﹣m=0的另一个根为x1，根据根与系数的关系得出﹣1+x1=﹣4，求出x1的值即可．【解答】解：设方程x2+4x﹣m=0的另一个根为：x1，由根与系数的关系得：﹣1+x1=﹣4，解得：x1=﹣3，故选：A．【点评】此题是一元二次方程根与系数之间关系的综合应用，关键是能关键根与系数的关系得出﹣1+x1=﹣4．7．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点为A（﹣2，0），B（6，0），则该二次函数的对称轴为( )A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．y轴【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】数形结合．【分析】根据抛物线的对称性得到点A和点B是抛物线上的对称点，所以点A和点B的对称轴即为抛物线的对称轴．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点为A（﹣2，0），B（6，0），∴该二次函数的对称轴为直线x=2．故选C．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：从二次函数的交点式y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）中可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．解决本题的关键是掌握抛物线的对称性．8．已知某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=﹣t2+20t+1．若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为( )A．3s B．4s C．5s D．6s【考点】二次函数的应用．【分析】将关系式是h=﹣t2+20t+1转化为顶点式就可以直接求出结论．【解答】解：∵h=﹣t2+20t+1，∴h=﹣（t﹣4）2+41，∴顶点坐标为（﹣4，41），∴到达最高处的时间为4s．故选B．【点评】本题考查了二次函数的性质顶点式的运用，解答时将一般式化为顶点式是关键．9．已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上有三点A（0.5，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3），则y1、y2、y3的大小关系为( )A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为x=1，图象开口向上；利用y随x的增大而增大，可判断y1＜y3，根据二次函数图象的对称性可判断y3＞y2＞y1．【解答】解：A（0.5，y1），C（﹣2，y3），在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∵0.5＞﹣2，∴y1＜y3，根据二次函数图象的对称性可知，B的对称点为（0，0），故有y3＞y2＞y1；故选B．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性．10．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是( ) A．m≤3 B．m＜3 C．m＜3且m≠2D．m≤3且m≠2【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac的意义得到m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，∴m﹣2≠0且△≥0，即22﹣4×（m﹣2）×1≥0，解得m≤3，∴m的取值范围是m≤3且m≠2．故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．11．如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，对称轴是x=1，则下列说法：①b＞0；②2a+b=0；③4a﹣2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤m（ma+b）＜a+b（常数m≠1）．其中正确的个数为( )A．2 B．3 C．4 D．5【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x=1计算2a+b与偶的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由抛物线的开口向下知a＜0，对称轴为x=﹣＞0，则b＞0，故本选项正确；②由对称轴为x=1，∴﹣=1，∴b=﹣2a，则2a+b=0，故本选项正确；③由图象可知，当x=﹣2时，y＜0，则4a﹣2b+c＜0，故本选项错误；④从图象知，当x=﹣1时，y=0，则a﹣b+c=0，∵b=﹣2a，∴a+2a+c=0，即3a+c=0，故本选项错误；⑤∵对称轴为x=1，∴当x=1时，抛物线有最大值，∴a+b+c＞m2a+mb+c，∴m（ma+b）＜a+b（常数m≠1），故本选项正确；故选B．【点评】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．12．对于每个非零自然数n，抛物线y=x2﹣x+与x轴交于A n、B n两点，以A n B n表示这两点间的距离，则A1B1+A2B2+…+A2015B2015的值是( )A．1 B．C．D．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】首先求出抛物线与x轴两个交点坐标，然后由题意得到A n B n=﹣，进而求出A1B1+A2B2+…+A2015B2015的值．【解答】解：令y=x2﹣x+=0，即x2﹣x+=0，解得x=或x=，故抛物线y=x2﹣x+与x轴的交点为（，0），（，0），由题意得A n B n=﹣，则A1B1+A2B2+…+A2015B2015=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=，故选D．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是用n表示出抛物线与x轴的两个交点坐标，此题难度不大．二、填空题：（本大题共6个小题，每题4分，共24分）将正确答案填写在前面对应题号的横线上．13．方程（x+2）（x﹣3）=x+2的解是x1=﹣2，x2=4．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先移项，再提取公因式，求出x的值即可．【解答】解：原式可化为（x+2）（x﹣3）﹣（x+2）=0，提取公因式得，（x+2）（x﹣4）=0，故x+2=0或x﹣4=0，解得x1=﹣2，x2=4．故答案为：x1=﹣2，x2=4．【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解答此题的关键．14．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为x（x﹣1）=1640．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．【解答】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，∴全班共送：（x﹣1）x=1640，故答案为：（x﹣1）x=1640．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送x ﹣1张相片，有x个人是解决问题的关键．15．波音公司生产某种型号飞机，7月份的月产量为50台，由于改进了生产技术，计划9月份生产飞机98台，那么8、9月飞机生产量平均每月的增长率是40%．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】设8、9月飞机生产量平均每月的增长率是x，根据7月份的月产量为50台，计划9月份生产飞机98台，列方程求解．【解答】解：设8、9月飞机生产量平均每月的增长率是x，由题意得，50×（1+x）2=98，解得：x=0.4或x=﹣2.4（不合题意舍去），即8、9月飞机生产量平均每月的增长率是40%．故答案为：40%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．16．已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x ＜3．【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】由图可知，该函数的对称轴是x=1，则x轴上与﹣1对应的点是3．观察图象可知y ＞0时x的取值范围【解答】解：已知抛物线与x轴的一个交点是（﹣1，0）对称轴为x=1，根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（3，0），观察图象，当y＞0时，﹣1＜x＜3，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．【点评】本题考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线y=ax2+bx+c的完整图象．17．如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1=﹣+3向下平移2个单位后得抛物线y2，则阴影部分的面积S=4．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据已知得出阴影部分即为平行四边形的面积．【解答】解：根据题意知，图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积：2×2=4．故答案是：4．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．解题关键是把阴影部分的面积整理为规则图形的面积．18．如图，抛物线y=﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①当x＞0时，y＞0；②若a=﹣1，则b=3；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m=2时，四边形EDFG周长的最小值为6．其中真命题的序号是②③．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】计算题．【分析】观察函数图象，利用抛物线在x轴上所对应的自变量的取值范围可对①进行判断；抛物线的对称轴为直线x=1，则利用对称性可对②进行判断；确定点Q比点P离对称轴的距离要大，则根据二次函数的性质可对③进行判断；当m=2时，先确定D（1，4），C（0，3），E（2，3），利用勾股计算出DE=，作D点关于y轴的对称点为D′，E点关于y轴的对称点为E′，利用关于坐标轴对称的点的坐标特征得到D′（﹣1，4），E′（2，﹣3），根据对称的性质得FD=FD′，GE=GE′，于是FD+FG+GE=D′E′，根据两点之间线段最短可判断此时四边形EDFG周长的最小，然后利用勾股定理计算出D′E′=，于是可对④进行判断．【解答】解：当a＜x＜b时，y＞0，所以①错误；抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，当a=﹣1，即A（﹣1，0），而点A与点B为对称点，则B（3，0），所以②正确；因为x1＜1＜x2，所以点P和Q在对称轴两侧，而x1+x2＞2，则点Q比点P离对称轴的距离要大，所以y1＞y2，所以③正确；当m=2时，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，则D（1，4），C（0，3），∵点C关于抛物线对称轴的对称点为E，∴E（2，3），∴DE==，作D点关于y轴的对称点为D′，E点关于y轴的对称点为E′，则D′（﹣1，4），E′（2，﹣3），∴FD=FD′，GE=GE′，∴FD+FG+GE=FD′+FG+GE′=D′E′，∴此时四边形EDFG周长的最小，而D′E′==，∴四边形EDFG周长的最小值为+，所以④错误．故答案为②③．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和求最短路径的解决方法．三、解答下列各题：（第19题8分，20题6分，共14分）19．解方程①x2﹣3x+2=0②4x2﹣12x+7=0．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．【分析】①先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；②先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：①x2﹣3x+2=0，（x﹣2）（x﹣1）=0，x﹣2=0，x﹣1=0，x1=2，x2=1；②4x2﹣12x+7=0，b2﹣4ac=（﹣12）2﹣4×4×7=32，x=，x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．20．已知抛物线的对称轴是x=﹣1，且经过点A（0，3）和B（﹣3，6），求抛物线的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【专题】计算题．【分析】设一般式y=ax2+bx+c，把A点和B点坐标代入得到两个方程，再利用抛物线的对称轴方程得到关于a、b的方程，这样可得到关于a、b、c的三元方程组，然后解方程组即可．【解答】解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得a=1，b=2，c=3．所以抛物线解析式为y=x2+2x+3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．四、解答下列各题：（每小题10分，共40分）21．无锡春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用28000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？【考点】一元二次方程的应用．【分析】首先分析得出这次旅游员工大体人数，因为支付给春秋旅行社旅游费用为28000元，当旅游人数是30时，30×800=24000元，低于28000元，可得出实际人数超过了30人，再表示出每人应交钱数800﹣（x﹣30）×10，结合实际问题列出方程求出即可．【解答】解：∵支付给春秋旅行社旅游费用为28000元，当旅游人数是30时，30×800=24000元，低于28000元．∴这次旅游超过了30人．∴假设这次旅游员工人数为x人，根据题意列出方程得：∵[800﹣（x﹣30）×10]x=28000，∴x2﹣110x+2800=0，解得：x1=40，x2=70，当x1=40时，800﹣10（x﹣30）=700＞700（符合题意）当x2=70时，800﹣10（x﹣30）=400＜500（不合题意，舍去）答：该单位这次共有40员工去天水湾风景区旅游．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法及应用，关键是表示出参加旅游每人所付费用是解决问题的关键．22．李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；（2）设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm．就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．【解答】解：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，由题意，得（）2+（）2=58，解得：x1=12，x2=28，当x=12时，较长的为40﹣12=28cm，当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去）．答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；（2）李明的说法正确．理由如下：设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，由题意，得（）2+（）2=48，变形为：m2﹣40m+416=0，∵△=（﹣40）2﹣4×416=﹣64＜0，∴原方程无实数根，∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键．23．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？【考点】二次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）先确定B点和C点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配方法确定顶点D的坐标，从而得到点D到地面OA的距离；（2）由于抛物线的对称轴为直线x=6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m，则货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断；（3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值．【解答】解：（1）根据题意得B（0，4），C（3，），把B（0，4），C（3，）代入y=﹣x2+bx+c得，解得．所以抛物线解析式为y=﹣x2+2x+4，则y=﹣（x﹣6）2+10，所以D（6，10），所以拱顶D到地面OA的距离为10m；（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0），当x=2或x=10时，y=＞6，所以这辆货车能安全通过；（3）令y=8，则﹣（x﹣6）2+10=8，解得x1=6+2，x2=6﹣2，则x1﹣x2=4，所以两排灯的水平距离最小是4m．【点评】本题考查了二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．24．对x，y定义一种新运算T，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1．①求a、b的值；②若关于m的方程T（1﹣m，﹣m2）=﹣2有实数解，求实数m的值；（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a、b应满足怎样的关系式？【考点】一元二次方程的应用；分式的混合运算；解二元一次方程组．【专题】新定义．【分析】（1）①利用题意得出关于a，b的方程组进而求出答案；②利用已知得出关于m的等式求出答案；（2）根据题意得出：，进而得出a，b的关系．【解答】解：（1）①由题意得：，解得：；②由题意得：=﹣2，化简得：m2+m﹣1=0，解得：；（2）由题意得：，化简得：（a﹣2b）（x2﹣y2）=0，∵该式对任意实数x、y都成立，∴a﹣2b=0，∴a=2b．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及新定义，根据题意得出正确等式是解题关键．五、解答下列各题：（每小题12分，共24分）25．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．【解答】解：（1）由题意得，y=700﹣20（x﹣45）=﹣20x+1600；（2）P=（x﹣40）（﹣20x+1600）=﹣20x2+2400x﹣64000=﹣20（x﹣60）2+8000，∵x≥45，a=﹣20＜0，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000=6000，解得x1=50，x2=70．∵抛物线P=﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．又∵x≤58，∴50≤x≤58．∵在y=﹣20x+1600中，k=﹣20＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，。

【配套K12】全效学习2016版中考数学易错提分练二图形与几何练习(含解析)

图形与几何一、选择题1．(荆州中考)已知：直线l1∥l2，一块含30°角的直角三角板如图Y2－1所示放置，∠1＝25°，则∠2等于(B)A．30°B．35°C．40°D．45°【易错分析】(1)不能从实物中建立几何模型；(2)不了解三角板各角的度数；(3)不能通过作平行线把∠1与∠2联系起来．图Y2－1 图Y2－22．如图Y2－2，H是△ABC的高AD，BE的交点，且DH＝DC，则下列结论：①BD＝AD；②BC ＝AC；③BH＝AC；④CE＝CD中正确的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个【易错分析】找不到三角形全等的条件．∵DH＝DC，∠C＝∠DHB，∠ADC＝∠BDH，∴△BDH ≌△ADC.求出①BD＝AD；③BH＝AC，结论②，④为错误结论．3．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为(C)A．40°B．100°C．40°或100°D．70°或50°【易错分析】容易忽视分两种情况讨论：40°是等腰三角形的底角或40°是等腰三角形的顶角．当40°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是40°；当40°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°－40°×2＝100°.4．(绥化中考)如图Y2－3，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE∶EC＝2∶3，连结AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝(D)A．2∶5∶25 B．4∶9∶25C．2∶3∶5 D．4∶10∶25【易错分析】(1)不能找到图中的相似三角形；(2)把相似三角形面积比与等高的三角形面积比混淆．根据平行四边形的性质求出DC＝AB，DC∥AB，求出DE∶AB＝2∶5，根据相似三角形的判定推出△DEF∽△BAF，求出△DEF和△ABF的面积比，根据三角形的面积公式求出△DEF和△EBF的面积比，即可求出答案．5．(黔西南中考)一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为 (D)A．5 B.7 C. 5 D．5或7【易错分析】已知边长为4的边可能是斜边，也可能是直角边或者说所求的边长可能是斜边也可能是直角边，所以需要分类讨论．图Y2－36．(玉林中考)如图Y2－4，在⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，则下列结论中正确的是 (B)A ．AC ＝ABB ．∠C ＝12∠BOD C ．∠C ＝∠BD ．∠A ＝∠BOD【易错分析】垂径定理、圆周角定理理解模糊．A ．根据垂径定理不能推出AC ＝AB ，故A 选项错误；B ．∵直径CD ⊥弦AB ，∴AD ︵＝BD ︵，∵AD ︵对的圆周角是∠C ，BD ︵对的圆心角是∠BOD ，∴∠BOD ＝2∠C ，故B 正确；C ．不能推出∠C ＝∠B ，故C 错误；D ．不能推出∠A ＝∠BOD ，故D 错误．二、填空题7．(呼和浩特中考)如图Y2－5，在△ABC 中，∠B ＝47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC ＝__66.5°__.【易错分析】不能把三角形的外角与内角和进行转换．根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得12∠DAC ＋12ACF ＝12(∠B ＋∠ACB )＋12(∠B ＋∠BAC )＝12(∠B ＋∠B ＋∠BAC ＋∠ACB )＝227°2；最后在△AEC 中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC 的度数．8．(锦州月考)如图Y2－6，△ABC 中AB ＝AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D(1)若∠A ＝38°，则∠DBC ＝__33°__．(2)若AC ＋BC ＝10 cm ，则△DBC 的周长为__10__cm__．【易错分析】掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，是本题易错点．(1)∵AB ＝AC ，∠A ＝38°，∴∠ABC ＝12(180°－∠A )＝12(180°－38°)＝71°， ∵MN 垂直平分线AB ，∴AD ＝BD ，∴∠ABD ＝∠A ＝38°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝71°－38°＝33°；(2)∵MN 垂直平分AB ，∴DA ＝DB .∴△DBC 的周长＝BC ＋BD ＋DC＝BC ＋DA ＋DC ＝BC ＋AC ＝10 cm.图Y2－4图Y2－5图Y2－69．(淮安中考)若菱形的两条对角线长分别为2和3，则此菱形的面积是__3__．【易错分析】易错点“菱形的面积公式是两对角线乘积的一半”，记忆中忘记了“一半”．10．(烟台中考)如图Y2－7，将弧长为6π，圆心角为120°的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合(接缝粘连部分忽略不计)，则圆锥形纸帽的高是__．图Y2－7【易错分析】圆锥的侧面展开图的扇形的半径、弧长、圆心角与圆锥的母线长、底面圆半径、高等之间的对应关系模糊．11．(平阴二模)如图Y2－8，线段AB 是⊙O 上一点，∠CDB ＝20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 等于__50°__．【易错分析】不懂得遇到直线与圆相切，连结圆心与切点，利用切线的性质得垂直，根据直角三角形的性质来解决问题．连结OC ，∵圆心角∠BOC 与圆周角∠CDB 都对弧BC ，∴∠BOC ＝2∠CDB ，又∠CDB ＝20°，∴∠BOC ＝40°，又∵CE 为圆O 的切线，∴OC ⊥CE ，即∠OCE ＝90°，则∠E ＝90°－40°＝50°. 12．(哈尔滨中考)如图Y2－9，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连结DE 交AB 于点F ，∠AED ＝2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE ＝1，AG ＝4，则AB 的长为．【易错分析】不善于把矩形的性质，等边对等角的性质，等角对等边的性质，以及勾股定理进行综合运用，求不出AE＝AG 最关键的一步．三、解答题13．(娄底中考)为了安全，请勿超速．如图Y2－10一条公路建成通车，在某直线路段MN 限速60 km/h ，为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点C ，从观测点C 测得一小车从点A 到达点B 行驶了5 s ，已知∠CAN ＝45°，∠CBN ＝60°，BC ＝200 m ，此车超速了吗？请说明理由．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【易错分析】画不出辅助线，构造直角三角形．解：如答图，过点C 作CD ⊥MN ，垂足为D .∵CD ⊥MN ，∠DBC ＝60°，∴∠BCD ＝30°，∴BD ＝12BC ＝12×200＝100，由特殊锐角三角函数得：DC ＝1003≈100×1.73＝173 m.∵CD ⊥MN ，∠CAD ＝45°，∴∠DCA ＝∠DAC ＝45°，∴AD ＝DC ＝173 m，图Y2－8图Y2－9图Y2－10AB ＝173－100＝73 m ，73÷5＝14.6 m/s ，60 km/h ＝1623m/s ， 14．6 m/s ＜1623m/s 故此车没有超速．14．如图Y2－11，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D ，E 分别在AC ，AB 上，BD 平分∠ABC ，DE⊥AB ，AE ＝6，cos A ＝35.求：(1)DE ，CD 的长；(2)tan ∠DBC 的值．【易错分析】不能综合应用解直角三角形、直角三角形性质、相似三角形的性质、三角函数值的定义进行逻辑推理和运算，从而不知如何解答．解：(1)在Rt △ADE 中，由AE ＝6，cos A ＝AE AD ＝35， ∴AD ＝10，由勾股定理，得DE ＝AD 2－AE 2＝102－62＝8，∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，∠C ＝90°，根据角平分线性质，得DC ＝DE ＝8；(2)方法一：由(1)知AD ＝10，DC ＝8，得AC ＝AD ＋DC ＝18.在△ADE 与△ABC 中，∠A ＝∠A ，∠AED ＝∠ACB ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴DE BC ＝AE AC ，即8BC ＝618，BC ＝24， ∴tan ∠DBC ＝CD BC ＝824＝13. 方法二：由(1)得AC ＝18，又∵cos A ＝AC AB ＝35，∴AB ＝30，由勾股定理，得BC ＝24，∴tan ∠DBC ＝13. 15．如图Y2－12，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 边上任意一点，DE ⊥AG 于E ，BF ∥DE 交AG 于F .(1)求证：AF －BF ＝EF ；(2)将△ABF 绕点A 逆时针旋转，使得AB 与AD 重合，记此时点F 的对应点为点F ′，若正方形边长为3，求点F ′与旋转前的图中点E 之间的距离．【易错分析】对正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及旋转的性质综合运用能力不够，找不出解题思路．解：(1)证明：如答图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠2＋∠3＝90°，∵DE ⊥AG ，∴∠AED ＝90°，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠1＝∠2，又∵BF ∥DE ，图Y2－11图Y2－12∴∠BFA ＝∠AED ＝90°.在△AED 和△BFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，∠AED ＝∠BFA ，AD ＝AB ，∴△AED ≌△BFA ，∴BF ＝AE ，∵AF －AE ＝EF ，∴AF －BF ＝EF ；(2)如答图，根据题意，得∠FAF ′＝90°，DE ＝AF ′＝AF ， ∴四边形AEDF ′为矩形，∴EF ′＝AD ＝3. 16．(宜宾中考)如图Y2－13，CE 是⊙O 的直径，BD 切⊙O 于点D ，DE ∥BO ，CE 的延长线交BD 于点A .(1)求证：直线BC 是⊙O 的切线；(2)若AE ＝2，tan ∠DEO ＝2，求AO 的长．【易错分析】 (1)不知道连结半径OD ，通过证明Rt △BDO ≌Rt △BCO 证明∠BCO ＝90°；(2)不能综合运用相似三角形，直角三角形，三角函数解决问题．解：(1)如答图①，连结DO ，∵BD 切⊙O 于点D ， ∴∠BDO ＝90°，∵DE ∥BO ，∴∠BOC ＝∠DEO ，∠EDO ＝∠BOD ，∵OD ＝OE ，∴∠DEO ＝∠EDO ，∴∠BOC ＝∠BOD . 在Rt △BDO 和Rt △BCO 中，OD ＝OC ，∠BOC ＝∠BOD ，BO ＝BO ， ∴Rt △BDO ≌Rt △BCO ，∴∠BCO ＝∠BDO ＝90°，∴直线BC 是⊙O 的切线；(2)如答图②，连结CD ，设⊙O 的半径为r ，∵CE 是⊙O 的直径，∴∠CDE ＝90°，∵DE ∥BO ，∴∠BOC ＝∠DEO ，即tan ∠BOC ＝tan ∠DEO ＝2，∵OC ＝OE ＝r ，∴BC ＝2r ，则BO ＝3r ，∵tan ∠DEO ＝2，∴DC ＝2DE ，第15题答图图Y2－13第16题答图①在Rt △CDE 中，由勾股定理得：DC 2＋DE 2＝CE 2，即2DE 2＋DE 2＝(2r )2，∴DE ＝233r ， ∵DE ∥BO ，∴△ADE ∽△ABO ，∴AE AO ＝DE BO ，即22＋r ＝233r 3r，解得r ＝1. ∴AO ＝AE ＋OE ＝2＋1＝3.∴AO 的长为3.。

配套K12全效学习2016版中考数学第二单元代数式单元滚动专题一(含解析)

第二单元代数式【测试范围：第一单元及第二单元时间：120分钟分值：150分】一、选择题(每题4分，共40分) 1．[2015·宜宾]－15的相反数是(B)A ．5 B.15 C ．－15D ．－52．四个数－1，0，12，2中为无理数的是(D)A ．－1B ．0C.12D. 23．[2014·遂宁]在下列各数中，最小的数是 (D)A ．0B ．－1C ．3D ．－24．[2015·德州]下列运算正确的是 (D)A.8－3＝ 5 B ．b 3·b 2＝b 6C ．4a －9a ＝－5D ．(ab 2)3＝a 3b 65．[2015·安徽]移动互联网已经全面进入人们的日常生活．截止2015年3月，全国4G 用户总数达到1.62亿，其中1.62亿用科学记数法表示为 (C)A ．1.62×104B ．1.62×106C ．1.62×108D ．0.162×1096．[2015·遂宁]下列运算正确的是 (D)A ．a ·a 3＝a 3B ．2(a －b )＝2a －bC ．(a 3)2＝a 5D ．a 2－2a 2＝－a 2【解析】对于A ：a ·a 3＝a 4，故A 错；对于B ：2(a －b )＝2a －2b ，故B 错；对于C ：(a 3)2＝a 6，故C 错；对于D ：a 2－2a 2＝－a 2，正确． 7．[2014·枣庄]如图1，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为(a ＋2)的小正方形(a ＞2)，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为 (C)图1A ．a 2＋4B ．2a 2＋4aC ．3a 2－4a －4D ．4a 2－a －28.（－4）2的平方根与3－8的和的绝对值是(C)A ．6B ．2C ．0或4D ．2或69．[2015·临沂模拟]化简⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 21＋2a ÷1＋a 1＋2a的结果为 (A)A ．1＋a B.11＋2aC.11＋aD ．1－a【解析】原式＝1＋2a ＋a 21＋2a ÷1＋a1＋2a＝（1＋a ）21＋2a ·1＋2a1＋a＝1＋a .10．[2015·宜丰县期中]若a －b ＝2－1，ab ＝2，则代数式(a －1)(b ＋1)的值等于 (B)A ．22＋2B ．22－2C ．2 2D ．2【解析】 ∵a －b ＝2－1，ab ＝2，∴(a －1)(b ＋1)＝ab ＋(a －b )－1＝2＋2－1－1＝22－2. 二、填空题(每题5分，共30分)11．[2015·庐阳区二模]若使式子1－2x x 有意义，则x 的取值范围是__x ≤12且x ≠0__. 【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0，x ≠0，解得x ≤12且x ≠0.12．[2015·市北区一模]计算：－36＋(π－3)0＋327＝__－2__. 13．把3x 3－6x 2y ＋3xy 2分解因式的结果是__3x (x －y )2__.14．计算：若m ＋n ＝10，mn ＝24，则m 2＋n 2＝__52__. 【解析】 ∵m ＋n ＝10，mn ＝24， ∴m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn ＝100－48＝52.15．[2014·新疆]规定用符号[x ]表示一个实数的整数部分，例如[3.69]＝3，[3]＝1，按此规定[13－1]＝__2__.16．衢州是中国历史文化名城，衢州烂柯山是中国围棋文化的重要发祥地．如图2是用棋子摆成的“巨”字，那么第4个“巨”字需要的棋子数是__34__；按以上规律继续摆下去，第n 个“巨”字所需要的棋子数是__8n ＋2__.图2【解析】依题意得n ＝1，需要的棋子数为10； n ＝2，需要的棋子数为18； n ＝3，需要的棋子数为26； …因此n ＝n 时，需要的棋子数为8n ＋2；当n ＝4时，需要棋子34个．三、解答题(共80分)17．(8分)计算：|－3|＋3tan30°－38－(2014－π)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2.解：原式＝3＋3×33－2－1＋4 ＝3＋1－2－1＋4 ＝5.18．(8分)[2015·杭州模拟]已知代数式(x －2)2－2(x ＋3)(x －3)－11. (1)化简该代数式；(2)有人说不论x 取何值该代数式的值均为负数，你认为这一观点正确吗？请说明理由．解：(1)原式＝x 2－4x ＋4－2(x 2－3)－11 ＝x 2－4x ＋4－2x 2＋6－11＝－x 2－4x －1；(2)这个观点不正确，理由是：反例，当x ＝－1时，原式的值为2. 19．(8分)[2015·巴中]化简：2a a ＋1－2a －4a 2－1÷a －2a 2－2a ＋1. 解：原式＝2a a ＋1－2（a －2）（a －1）（a ＋1）×（a －1）2a －2＝2a a ＋1－2（a －1）a ＋1 ＝2a ＋1. 20．(8分)[2014·资阳]先化简，再求值：⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋2÷(a －⎭⎪⎫2＋3a ＋2，其中a 满足a －2＝0. 解：原式＝a 2＋2a ＋1a ＋2÷a 2－1a ＋2＝（a ＋1）2a ＋2×a ＋2（a ＋1）（a －1）＝a ＋1a －1，由a －2＝0，得a ＝2，所以原式＝3.21．(10分)如图3，根据a ，b ，c 在数轴上的位置，化简代数式a 2－|a －b |＋ |a －c |.图3解：由数轴可得a ＜0，a －b ＞0，a －c ＜0，则原式＝－a －a ＋b ＋c －a ＝b ＋c －3a .22．(12分)[2015·宜丰县期中]已知(3x －1)2＋3－2y ＝0，求18xy 的平方根．解：由题意得3x －1＝0，3－2y ＝0，解得x ＝13，y ＝32，所以18xy ＝18×13×32＝9，所以18xy 的平方根是±3. 23．(12分)计算：(1)(2＋1)(2－1)＝__1__； (2)(3＋2)(3－2)＝__1__； (3)(2＋3)(2－3)＝__1__； (4)(5＋2)(5－2)＝__1__.通过以上计算，观察规律，写出用n (n 为正整数)表示上面规律的等式．解：规律为(n ＋1＋n )(n ＋1－n )＝1(n 为正整数)．24．(14分)[2015·凤山县校级模拟]对于任何实数，我们规定符号⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的意义是：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .(1)按照这个规定请你计算⎪⎪⎪⎪⎪⎪5678的值；(2)按照这个规定请你计算：当x 2－3x ＋1＝0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 3x x －2 x －1的值．解：(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎪5678＝5×8－6×7＝－2；(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 3x x －2 x －1＝(x ＋1)(x －1)－3x (x －2) ＝x 2－1－3x 2＋6x ＝－2x 2＋6x －1，又∵x 2－3x ＋1＝0， ∴x 2－3x ＝－1，∴原式＝－2(x 2－3x )－1 ＝－2×(－1)－1＝1.。

【K12教育学习资料】全效学习2016版中考数学第十三单元投影与视图单元滚动专题九(含解析)

第十三单元投影与视图【测试范围：第十二单元及第十三单元时间：120分钟分值：150分】一、选择题(每题4分，共40分)1．[2015·铜仁改编]请你观察下面四个图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (C)2．如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，将△ABC 沿直线BC 向右平移2.5个单位得到△DEF ，连结AD ，AE ，则下列结论中不成立的是 (D )A ．AD ∥BE ，AD ＝BEB ．∠ABE ＝∠DEFC ．ED ⊥AC D ．△ADE 为等边三角形3．如图2，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝4 cm ，将△ABC 绕顶点C 顺时针方向旋转至△A ′B ′C 的位置，且A ，C ，B ′三点在同一条直线上，则点A 经过的路线的长为 (D ) A ．4 3 cm B ．8 cm C.163π cm D.83π cm【解析】 ∵∠B ＝90°，∠A ＝30°，A ，C ，B ′三点在同一条直线上， ∴∠ACA ′＝120°.又∵AC ＝4，∴lAA ′︵＝120×π×4180＝83π(cm)．4．[2015·安徽]下列几何体中，俯视图是矩形的是(B)【解析】 A 的俯视图是圆加圆心；B 的俯视图是一个矩形；C 的俯视图是一个三角形；D的俯视图是个圆．故选B.5．下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是 (C)6．小明送给父亲一个礼盒(如图3所示)，该礼盒的主视图是(A)图1图2图37．如图4是某几何体的三视图及相关数据，则下面判断正确的是 (D)图4A．a＞c B．b＞cC．a2＋4b2＝c2D．a2＋b2＝c2【解析】此几何体为圆锥，其高为a，母线长为c，底面半径为b，有如下关系：c2＝a2＋b2，选D.8．[2015·潍坊]如图5所示的几何体的左视图是(C)图59．[2015·营口]如图6，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图．则小立方体的个数可能是 (D)图6A．5或6 B．5或7C．4或5或6 D．5或6或7【解析】由俯视图易得最底层有4个小立方体，由左视图易得第二层最多有3个小立方体和最少有1个小立方体，所以小立方体的个数可能是5个或6个或7个．10．如图7所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是 (D)图7A．12 B．18C．2＋10 D．2＋210【解析】三角形的底边为2×(10÷2－4)＝2，腰的平方为32＋12＝10，因此等腰三角形的腰为10，因此等腰三角形的周长为2＋210. 二、填空题(每题5分，共30分)11．[2015·杭州模拟]如图8，由四个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体俯视图和左视图的面积之和是__5__．【解析】从左面看第一层有一个小正方形，第二层有一个小正方形，从上面看有三个小正方形，该几何体俯视图和左视图的面积之和是2＋3＝5.12．[2014·聊城]如图9，点P 是∠AOB 外的一点，点M ，N 分别是∠AOB 两边上的点，点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN 上，点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上．若PM ＝2.5 cm ，PN ＝3 cm ，MN ＝4 cm ，则线段QR 的长为__4.5__cm.【解析】 ∵点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN 上，点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上， ∴PM ＝MQ ，PN ＝NR ，∵PM ＝2.5 cm ，PN ＝3 cm ，MN ＝4 cm ，∴RN ＝3 cm ，MQ ＝2.5 cm ，NQ ＝MN －MQ ＝4－2.5＝1.5(cm)，则线段QR 的长为RN ＋NQ ＝3＋1.5＝4.5(cm)．13．如图10，将△ABC 沿直线AB 向右平移到达△BDE 的位置，若∠CAB ＝55°，∠ABC ＝100°，则∠CBE 的度数为__25°__．【解析】 ∵将△ABC 沿直线AB 向右平移到达△BDE 的位置， ∴△ACB ≌△BED .∵∠CAB ＝55°，∴∠EBD ＝55°，则∠CBE 的度数为180°－∠ABC －∠EBD ＝180°－100°－55°＝25°.14．如图11，将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转至△OA ′B ′，使点B 恰好落在边A ′B ′上．已知AB ＝4 cm ，BB ′＝1 cm ，则A ′B 的长是__3__cm.【解析】根据旋转的性质，得A ′B ′＝AB ＝4cm ， ∴A ′B ＝A ′B ′－BB ′＝4－1＝3(cm)．15．如图12，在等腰Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AC ＝9，点O 在AC上，且AO ＝2，点P 是AB 上一动点，连结OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转90°得到线段OD ，要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长度等于__5__.图12图8图9图10 图11【解析】如答图，过点D作DE⊥AC于E，则∠DOE＋∠AOP＝90°，∠DOE＋∠ODE＝90°，∴∠ODE＝∠AOP.又∵OD＝OP，∠DEO＝∠A＝90°，∴△DEO≌△OAP，∴DE＝OA＝CE＝2，∴AP＝OE＝9－4＝5.16．[2015·安顺]如图13，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上一个动点，则PF＋PE的最小值为图13【解析】如答图，作E关于直线AC的对称点E′，连结E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG中，GE′＝CD－BE－BF＝4－1－2＝1，GF＝4，所以E′F＝FG2＋E′G2＝12＋42＝17.三、解答题(共80分)17．(10分)画出图14所示物体的三视图(看不见的线用虚线表示)．图14解：作图如答图：第17题答图18．(10分)高高的路灯挂在路边的上方，高傲而明亮，小明拿着一根2 m长的竹竿，想量一量路灯的高度，直接量是不可能的，于是，他走到路灯旁的一个地方，竖起竹竿，这时，他量了一下竹竿的影长正好是1 m，他沿着影子的方向走，向远处走出两根竹竿的长度(即4 m)，他又竖起竹竿，这时竹竿的影长正好是一根竹竿的长度(即2 m)．此时，小明抬头瞧瞧路灯，若有所思地说：“噢，原来第15题答图第16题答图路灯有10 m 高呀！”(如图15所示) 同学们，你觉得小明的判断对吗？解：小明的判断如图，AE ，BF 是竹竿两次的位置，CA 和BD 是两次影子的长． ∵BF ＝DB ＝2 m ，即∠D ＝45°， ∴DP ＝OP ＝灯高．在△COP 中，AE ⊥CP ，OP ⊥CP ， ∴AE ∥OP ，∴△CEA ∽△COP ，即CA CP ＝EA OP. 设AP ＝x ，OP ＝h 则 11＋x ＝2h①， ∵DP ＝OP ，∴2＋4＋x ＝h ②，联立①②两式，得x ＝4，h ＝10，∴路灯有10 m 高，小明的判断是正确的．19．(10分)如图16是由一些棱长都为1 cm 的小正方体组合成的简单几何体．(1)求该几何体的表面积(包含下底面)；(2)该几何体的主视图如图17所示，请在图17方格纸中分别画出它的左视图和俯视图．图17解：(1)该几何体的表面积(含下底面)为26 cm 2； (2)如答图所示：第19题答图20．(10分)某工厂要加工一批茶叶罐，设计者给出了茶叶罐的三视图，如图18，请你按照三视图确定制作每个密封罐所需钢板的面积．(单位：mm)图18 解：由三视图可知茶叶罐的形状为圆柱体，并且茶叶罐的底面直径2r 为100 mm ，高h 为150 mm ，∵每个密封罐所需钢板的面积即为该圆柱体的表面积，图16∴S 表面积＝2πr 2＋2πrh＝2π×502＋2π×50×150＝20 000π(mm 2)．答：制作每个密封罐所需钢板的面积为20 000π mm 2.21．(12分)[2015·杭州模拟]如图19，△ABC 和点S 都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长为1.(1)将△ABC 绕点S 按顺时针方向旋转90°，画出旋转后的图形△A 1B 1C 1； (2)求弧BB 1的长；(3)请求出△ABC 旋转到△A 1B 1C 1扫过的面积．图19解：(1)∵△ABC 绕点S 按顺时针方向旋转90°得到△A 1B 1C 1， ∴AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，AC ＝A 1C 1，SC ⊥SC 1，SB ⊥SB 1，SA ⊥SA 1，故可画出旋转后的A 1B 1C 1，如答图所示；第21题答图(2)∵BS ＝32＋22＝13，∴弧BB 1的长＝90·π·13180＝13π2；(3)∵AS ＝52＋12＝26，CS ＝22＋12＝5，∴△ABC 扫过面积＝S △ABC ＋S 扇形ASA 1－S 扇形CSC 1 ＝12×3×2＋90·π（26）2360－90·π·（5）2360＝3＋214π.22．(14分)[2015·湖州模拟]已知：在△ABC 中，AD 为中线，如图20①，将△ADC 沿直线AD 翻折后点C 落在点E 处，连结BE 和CE . (1)求证：BE ⊥CE ；(2)若AC ＝DC (如图②)，请在图②中画出符合题意的示意图，并判断四边形ADBE 是什么四边形？请证明你的结论．图20解：(1)证明：∵△ADC 沿直线AD 翻折后点C 落在点E 处， ∴△ADC ≌△ADE ， ∴CD ＝ED ，∴∠DCE ＝∠DEC ， ∵AD 为△ABC 的中线， ∴BD ＝DC ， ∴BD ＝DE ，∴∠DBE ＝∠DEB ，∵∠DBE ＋∠BEC ＋∠ECB ＝180°，即2∠DEB ＋2∠CED ＝180°， ∴∠DEB ＋∠CED ＝90°， ∴BE ⊥EC ；(2)如答图，ADBE 是平行四边形．理由如下： ∵△ADC 沿直线AD 翻折后点C 落在点E 处， ∴△ADC ≌△ADE ， ∴AE ＝AC ，DE ＝DC ，∵AC ＝DC ，∴AE ＝AC ＝DE ＝DC ， ∴AEDC 是菱形，∴AE ∥DC ，且AE ＝DC ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝DC ， ∴AE ∥BD ，且AE ＝BD ， ∴ADBE 是平行四边形． 23．(14分)[2015·杭州模拟]如图21，△ABC 是正三角形，且边长为1，点E 是直线AB 上的一个动点，过点E 作BC 的平行线交直线AC 于点F ，将线段EC 绕点E 旋转，使点C 落在直线BC 上的点D 处，当点E 在△ABC 的边AB 上时． (1)求证：AE ＝BD ；第22题答图图21(2)设梯形EDCF 的面积为S ，当S 达到最大值时，求∠ECB 的正切值．解：(1)如答图，在正△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠BAC ＝60°，AB ＝BC ＝AC ， ∵EF ∥BC ，∴∠AEF ＝∠AFE ＝60°＝∠BAC ， ∴△AEF 是正三角形， ∴AE ＝AF ＝EF ，∴AB －AE ＝AC －AF ，即BE ＝CF ，又∵∠ABC ＝∠EDB ＋∠BED ＝60°， ∠ACB ＝∠ECB ＋∠FCE ＝60°， ∵ED ＝EC ，∴∠EDB ＝∠ECB ，∴∠BED ＝∠FCE ，∴△EDB ≌△CEF ， ∴DB ＝EF ，∴AE ＝BD ；(2)如答图，过点E 作EH ⊥DC 于点H ，设AE ＝x ，则S ＝12(EF ＋DC )×EH＝12(x ＋x ＋1)×32(1－x ) ＝－32x 2＋34x ＋34，当x ＝14时，有最大值；此时，EB ＝34，则EH ＝338，BH ＝38，CH ＝58，tan ∠ECB ＝EH CH ＝33858＝335.第23题答图。

【K12教育学习资料】全效学习2016版中考数学第十单元相似形单元滚动专题七(含解析)

第十单元相似形【测试范围：第十单元时间：120分钟分值：150分】一、选择题(每题4分，共40分)1．若a b ＝35，则a ＋b b的值为(A )A.85B.35C.32D.58【解析】 ∵a b ＝35，∴a ＝35b ，∴a ＋b b ＝35b ＋bb ＝85.2．如图1，每个小正方形的边长均为1，则下列选项中的三角形(阴影部分)与图1中△ABC 相似的是 (B)【解析】已知给出的三角形的各边AB ，CB ，AC 分别为2，2，10，只有选项B 的各边分别为1，2，5与它的各边对应成比例．故选B. 3．如图2，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝ABBC；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为 (C )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】有3个．①∠B ＝∠ACD ，再加上∠A 为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC ＝∠ACB ，再加上∠A 为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中两组对应边的比相等，∠A 不是对应边的夹角，故不能判定；④可以根据两组对应边的比相等且对应的夹角相等的两个三角形相似来判定．故选C.4．如图3是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C 点转动，另一端B 向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起10 cm ，已知杠杆的动力臂AC 与阻力臂BC 之比为5∶1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A 端向下压(C ) A ．100 cm B ．60 cm C ．50 cm D ．10 cm 5．如图4，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若AD ∶AB ＝3∶4，AE ＝6，则AC 等于 (D ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．8图1图2图3【解析】 ∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AEAC， ∴34＝6AC，解得AC ＝8. 6．若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为 (B ) A ．1∶4 B ．1∶2C ．2∶1D ．1∶ 2 【解析】相似三角形的周长比等于相似比，故选B.7．[2014·毕节]如图5，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E ，AD ∶DE ＝3∶5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于(A) A.154 B.125 C.203D.174【解析】根据已知条件得出△ADC ∽△BDE ，然后依据对应边成比例可求得DC 的长．∵∠C ＝∠E ，∠ADC ＝∠BDE ， ∴△ADC ∽△BDE ，∴DC DE ＝AD BD，又∵AD ∶DE ＝3∶5，AE ＝8， ∴AD ＝3，DE ＝5， ∵BD ＝4，∴DC 5＝34，∴DC ＝154. 8．如图6，PAB ，PCD 为⊙O 的两条割线，AD ，BC 相交于点E ，则图中相似三角形共有 (C ) A ．0对 B ．1对 C ．2对 D ．3对【解析】 ∵∠BEA ＝∠DEC ，∠B ＝∠D ， ∴△ABE ∽△CDE .∵∠B ＝∠D ，∠P ＝∠P ，∴△PBC ∽△PDA ， ∴共有两对相似三角形．9．[2014·宁波]如图7，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACD ＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为 (C )A ．2∶3B ．2∶5C ．4∶9 D.2∶ 310．如图8，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为OD 的中点，连结AE 并延长交DC 于点F ，则DF ∶FC ＝ (D )A ．1∶4B ．1∶3C ．2∶3D ．1∶2 二、填空题(每题5分，共30分)图5图6图7图811．[2015·虹口区一模]如图9，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线l 1，l 2于点A ，D ，F 和点B ，C ，E ，如果AD ＝6，DF ＝3，BC ＝5，那么BE ＝__7.5__．【解析】 ∵AB ∥CD ∥EF ，∴AD DF ＝BC CE ，即63＝5CE，解得CE ＝2.5，∴BE ＝BC ＋CE ＝5＋2.5＝7.5.12．[2014·滨州]如图10，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分．则AD AB ＝2．图1013．[2015·伊春模拟]如图11，在△ABC 中，D 为AB 边上的一点，要使△ABC ∽△AED 成立，还需要添加一个条件为__∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B 或AD AC ＝AEAB__．【解析】 ∵∠B ＝∠AED ，∠A ＝∠A ， ∴△ABC ∽△AED ，同理可得：∠ADE ＝∠C 或AD AC ＝AEAB，可以得出△ABC ∽△AED .14．如图12，⊙O 的两弦AB ，CD 交于点P ，连结AC ，BD ，得S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，则AC ∶BD ＝__4∶3__．【解析】相似三角形对应边的比等于面积比的算术平方根．由同弧所对的圆周角相等，易知∠B ＝∠C ，∠D ＝∠A ， ∴△ACP ∽△DBP ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫AC BD 2＝S △ACP S △DBP ＝169，∴AC BD ＝169＝43. 15．如图13，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD ＝∠ABC ，若AC ＝2，AD ＝1，则DB ＝__3__．【解析】由于∠ACD ＝∠ABC ，∠BAC ＝∠CAD ，所以△ADC ∽△ACB ，所以AC AB ＝AD AC，即AB ·AD＝AC 2，图9图11图12图13则AB ＝AC 2AD＝4，所以BD ＝AB －AD ＝3.16．[2014·菏泽]如图14，在△ABO 中，∠AOB ＝90°，点A 在第一象限，点B 在第四象限，且AO ∶BO ＝1∶ 2.若点A (x 0，y 0)的坐标满足y 0＝1x 0，则点B (x ，y )的坐标x ，y 所满足的关系式为__y ＝－2x__．【解析】设点B 在反比例函数y ＝k x(k ＜0)上，分别过点A ，B 作AC ，BD 分别垂直y 轴于点C ，D ，∵∠ACO ＝∠BDO ＝90°，∠AOC ＋∠BOD ＝90°， ∠AOC ＋∠OAC ＝90°， ∴∠OAC ＝∠BOD ， ∴△AOC ∽△OBD ，∴S △AOC S △BOD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12， ∵点A (x 0，y 0)的坐标x 0，y 0满足y 0＝1x 0，∴S △AOC ＝12，∴S △BOD ＝1，∴k ＝－2，∴点B (x ，y )的坐标x ，y 所满足的关系式为y ＝－2x.三、解答题(共80分)17．(8分)如图15，△ABC ∽△DAB ，AB＝8，BC ＝12，求AD 的长．图15解：∵△ABC ∽△DAB ， ∴BC AB ＝AB AD.又∵AB ＝8，BC ＝12， ∴128＝8AD ， ∴AD ＝163.图14第16题答图18.(8分)如图16，四边形ABCD 是平行四边形，点F 在BA 的延长线上，连结CF 交AD 于点E .(1)求证：△CDE ∽△FAE ；(2)当E 是AD 的中点，且BC ＝2CD 时，求证：∠F ＝∠BCF.图16证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ∥AB ，即CD ∥FA ， ∴△CDE ∽△FAE ；(2)∵△CDE ∽△FAE ，DE ＝EA ， ∴△CDE ≌△FAE ， ∴CD ＝AF ， ∴BF ＝2CD . ∵BC ＝2CD ， ∴BF ＝BC ， ∴∠F ＝∠BCF .19．(8分)[2015·杭州模拟]如图17，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝∠α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G .(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连结FG ，如果∠α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FC 和FG 的长．解：(1)△AME ∽△MFE ，△BMD ∽△MGD ， △AMF ∽△BGM ，∵∠AMD ＝∠B ＋∠D ，∠BGM ＝∠DMG ＋∠D ，又∠B ＝∠A ＝∠DME ＝∠α， ∴∠AMF ＝∠BGM ， ∴△AMF ∽△BGM ； (2)连结FG ，由(1)知，△AMF ∽△BGM ， ∴BG AM ＝BM AF，∴BG ＝83，∵∠A ＝∠B ＝∠α＝45°，∴△ABC 为等腰直角三角形， ∵M 是线段AB 中点，AB ＝42， ∴AM ＝BM ＝22，AC ＝BC ＝4，CF ＝AC －AF ＝1，CG ＝4－83＝43，图17第19题答图∴由勾股定理得FG ＝53.20．(8分)[2015·蓬溪模拟]小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图18，在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE ＝20 m ．当她与镜子的距离CE ＝2.5 m 时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B .已知她的眼睛距地面高度DC ＝1.6 m ，请你帮助小红测量出大楼AB 的高度(注：入射角＝反射角)．图18解：∵根据反射定律知∠FEB ＝∠FED ， ∴∠BEA ＝∠DEC ，∵∠BAE ＝∠DCE ＝90°， ∴△BAE ∽△DCE ， ∴AB DC ＝AE EC；∵CE ＝2.5 m ，DC ＝1.6 m ，AE ＝20 m ，∴AB 1.6＝202.5； ∴AB ＝12.8，∴大楼AB 的高为12.8 m.21．(10分)如图19，直线MN 交⊙O 于A ，B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM 交⊙O 于D ，过D 作DE ⊥MN 于E . (1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝6 cm ，AE ＝3 cm ，求⊙O 的半径．解：(1)证明：如答图，连结OD . ∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ， ∵∠OAD ＝∠DAE ，∴∠ODA ＝∠DAE ，∴DO ∥MN ，∵DE ⊥MN ，∴∠ODE ＝∠DEM ＝90°，即OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线； (2)如答图，连结CD .∵∠AED ＝90°，DE ＝6，AE ＝3， ∴AD ＝35，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝∠AED ＝90°， ∵∠CAD ＝∠DAE ， ∴△ACD ∽△ADE ，∴AD AE ＝AC AD ，即353＝AC 35，则AC＝15，∴⊙O 的半径是7.5 cm.图19第21题答图22．(12分)[2014·甘孜]如图20，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 的中点O 为圆心，OA 为半径的圆交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连结DE ，OE . (1)判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)求证：BC 2＝2CD ·OE ；(3)若cos ∠BAD ＝35，BE ＝143，求OE 的长．图20解：(1)DE 与⊙O 相切．理由如下：如答图①，连结OD ， ∴∠BOD ＝2∠BAD ，∵O 是AB 的中点，E 是BC 的中点， ∴OE ∥AC ，∴∠BAD ＝∠BOE ， ∴∠BOD ＝2∠BOE ，∴∠DOE ＝∠BOD －∠BOE ＝∠BOE ， ∵OB ＝OD ，OE 为公共边， ∴△OBE ≌△ODE (SAS )， ∴∠ODE ＝∠OBE ＝90°， ∴DE 与⊙O 相切；(2)证明：如答图②，连结BD ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵∠ABC ＝90°， ∴∠C ＝∠ABD ， ∴△BCD ∽△ACB ， ∴BC AC ＝CD BC，∴BC 2＝CD ·AC ，∵O 是AB 的中点，E 是BC 的中点， ∴AC ＝2OE ，∴BC 2＝CD ·2OE ，即BC 2＝2CD ·OE ； (3)∵E 是BC 的中点，BE ＝143， ∴BC ＝283，∵在△ABC 中，∠ABC ＝90°，cos ∠BAD ＝AB AC ＝35，第22题答图①第22题答图②∴BC AC ＝45，∴AC ＝283×54＝353，由(2)知AC ＝2OE ，∴OE ＝356.23．(12分)如图21，已知⊙O 是等腰直角三角形ADE 的外接圆，∠ADE ＝90°，延长ED 到C ，使DC ＝AD ，以AD ，DC 为邻边作正方形ABCD ，连结AC ，连结BE 交AC 于点H . 求证：(1)AC 是⊙O 的切线； (2)HC ＝2AH .证明：(1)∵在等腰直角三角形ADE 中，∠EAD ＝45°，又∵AC 是正方形ABCD 的对角线， ∴∠DAC ＝45°，∴∠EAC ＝∠EAD ＋∠DAC ＝45°＋45°＝90°，又∵点A 在⊙O 上，AE 为⊙O 的直径， ∴AC 是⊙O 的切线；(2)∵在正方形ABCD 中，AD ＝DC ＝AB ，在等腰直角三角形ADE 中，AD ＝ED ， ∴EC ＝2AB ，∵AB ∥DC ， ∴△ABH ∽△CEH ， ∴HC AH ＝EC AB＝2，∴HC ＝2AH . 24．(14分)[2014·金华]如图22，等边三角形ABC 的边长为6，在AC ，BC 边上各取一点E ，F ，连结AF ，BE 相交于点P . (1)若AE ＝CF ，①求证：AF ＝BE ，并求∠APB 的度数； ②若AE ＝2，试求AP ·AF 的值；(2)若AF ＝BE ，当点E 从点A 运动到点C 时，试求点P 经过的路径长．解：(1)①证明：∵三角形ABC 为等边三角形， ∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠C ＝60°， ∵AE ＝CF ，∴△BAE ≌△ACF (SAS )， ∴∠ABE ＝∠CAF ；∵∠APB ＝∠CAF ＋∠AEB ，∴∠APB ＝∠ABE ＋∠AEB ＝180°－60°＝120°； ②∵∠AEB ＝∠AEP ，∠ABE ＝∠CAF ， ∴△BAE ∽△APE ， ∴AP AB ＝AE BE， ∵AB ＝6，AE ＝2，∴AP 6＝2AF， ∴AP ·AF ＝6×2＝12；图21图22(2)此题分两种情况，第一种：如答图①，点P 经过的路径长为43π3；第二种：如答图②，点P 经过的路径长为3 3.② 第24题答图。

【K12教育学习资料】全效学习2016版中考数学易错提分练四综合与实践练习(含解析)

易错提分练(四)一、选择题1．(杭州模拟)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，D 为斜边AB 上的一个动点，作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ，以EF 为直径作一个圆，记圆的周长为l ，则下面结论中错误的是 (C) A ．若∠A ＝30°，则l 的最小值等于3π B ．若∠A ＝45°，则l 的最小值等于2π C ．若∠A ＝60°，则l 的最小值等于32π D ．若EF ∥AB ，则l 等于2π 【易错分析】对求l 的最小值没有思路：先证明四边形DFCE 是矩形，得出EF ＝CD ，当CD ⊥AB 时，CD 最小，EF 最小，再求出BC ，AC ，CD ，即可求出l 的最小值．由∠A ＝30°，AB ＝4，得BC ＝2，CD ＝3，得EF 的最小值为3，即l 的最小值为3π，A 正确；由∠A ＝45°，得出△ABC 是等腰直角三角形，CD ＝12AB ＝2，得出EF 的最小值为2，即得l 的最小值为2π，B 正确；C 不正确，理由同A ；先证明四边形BFED 是平行四边形，得出DE ＝BF ，证出EF 为△ABC 的中位线，得出EF ＝12AB ＝2，因此l ＝2π.D 正确．2．(贵阳中考)如图Y4－1，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的定点，过点M 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有(C) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条图Y4－1 第2题答图【易错分析】容易出现漏解． ∵截得的三角形与△ABC 相似，∴过点M 作AB 的垂线，或作AC 的垂线，或作BC 的垂线，所得三角形满足题意，∴共有三条．3．(杭州模拟)割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数y ＝14(x －4)2的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是(A)A ．5B ．225C ．4D ．17－4π 【易错分析】没有看出△OCD 的面积即为抛物线图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积，如答图，设抛物线与坐标轴的交点为A ，B ，则有： A (4，0)，B (0，4)；作直线l ∥AB ，易求得直线AB 为y ＝－x ＋4，设直线l 为y ＝－x ＋h ，当直线l 与抛物线只有一个交点(相切)时，有：－x ＋h ＝14(x －4)2，整理得14x 2－x ＋4－h ＝0，b 2－4ac ＝1－4×14(4－h )＝0，即h ＝3；所以直线l 为y ＝－x ＋3；设直线l 与坐标轴的交点为C ，D ，则C (3，0)，D (0，3)，因抛物线的图象与两坐标轴所围成的图形面积大于S △OCD 小于S △OABS △OCD ＝12×3×3＝4.5，S △OAB ＝12×4×4＝8，故抛物线的图象与两坐标轴所围成的图形面积在4.5～8之间，选项中符合的只有A.4．(雅安中考)如图Y4－2，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，△AEF 是等边三角形，连结AC 交EF 于G ，下列结论：①BE ＝DF ；②∠DAF ＝15°；③AC 垂直平分EF ；④BE ＋DF ＝EF ；⑤S △CEF ＝2S △ABE .其中正确结论有 (C) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【易错分析】不能充分运用问题中的条件，利用正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等边三角形的性质，三角形的面积公式对给出的结论进行判定．通过条件可以得出△ABE ≌△ADF ，而得出∠BAE ＝∠DAF ，BE ＝DF ，①正确；∠BAE ＝∠DAF ，∴∠DAF ＋∠DAF ＝30°，即∠DAF ＝15°，②正确；由正方形的性质就可以得出EC ＝FC ，就可以得出AC 垂直平分EF ，③正确；设EC ＝x ，则EF ＝2x ，CG ＝22x ，AG ＝62x ， ∴AC ＝6＋22x ，AB ＝3＋12x ，BE ＝3－12x ， BE ＋DF ＝3x －x ≠EF ，④错误；2S △ABE ＝S △CEF ＝x 22，⑤正确．二、填空题5．(宁波模拟)我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图Y4－3，点A ，B ，C ，D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D 的坐标为(0，－3)，AB 为半圆的直径，半圆圆心M (1，0)，半径为2，则经过点D 的“蛋圆”的切线的解析式为__y ＝－2x －3__．【易错分析】对“蛋圆”组成不理解，不能建立数学模型． ∵AB 为半圆的直径，半圆圆心M 的坐标为(1，0)，半圆半径为2，∴A (－1，0)，B (3，0)，∵抛物线过点A ，B ，图Y4－2 图Y4－3∴设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋1)(x －3)，又∵抛物线过点D (0，－3)， ∴－3＝a ·1·(－3)，即a ＝1，∴y ＝x 2－2x －3，∵经过点D 的“蛋圆”切线过D (0，－3)点， ∴设它的解析式为y ＝kx －3，又∵抛物线y ＝x 2－2x －3与直线y ＝kx －3相切， ∴x 2－2x －3＝kx －3，即x 2－(2＋k )x ＝0只有一个解，∴(2＋k )2＝0，解得k ＝－2，即经过点D 的“蛋圆”的切线的解析式为y ＝－2x －3.6．(烟台中考)如图Y4－4，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝2.将△ABC 绕顶点A 顺时针方向旋转至△AB ′C ′的位置，B ，A ，C ′三点共线，则线段BC 扫过的区域面积为__5π12__．【易错分析】不能分析出线段BC 扫过的区域面积是什么．S阴影＝AB 扫过的扇形面积－AC 扫过的扇形面积．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝2，BC ＝12AB ＝12×2＝1，AC ＝2×32＝3， ∴∠BAB ′＝150°，S 阴影＝AB 扫过的扇形面积－AC 扫过的扇形面积＝150×π×22360－150π×（3）2360＝5π12.7．(杭州模拟)如图Y4－5，在一张矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝8，点E ，F 分别在AD ，BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G处，则线段BF 的取值范围为__3≤BF ≤4__.图Y14－5 第7题答图【易错分析】不善于利用折叠问题抓住在折叠变化中不变的线段，折叠的实质是轴对称，折叠前后对应线段相等，对应角相等．如答图①，当点H 与点A 重合时，BF 取最小值． ∵四边形ABCD 为矩形， ∴∠B ＝90°；由题意，得AF ＝CF ，设AF ＝CF ＝λ，则BF ＝8－λ；由勾股定理，得λ2＝42＋(8－λ)2，解得λ＝5，BF ＝3；如答图②，当点E 与点D 重合时，由翻折变换的性质得∠HEF＝∠CEF ＝45°，HE ＝CE ；图Y4－4∴∠CEF ＝∠CFE ，∴CF ＝CE ＝4，BF ＝8－4＝4，综上所述，线段BF 的取值范围为3≤BF ≤4.8．如图Y4－6，点E 是正方形ABCD 内一点，连结AE ，BE ，CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE ′的位置，若AE ＝1，BE ＝2，CE ＝3则∠BE ′C ＝__135__度．图Y4－6 第8题答图【易错分析】不能运用旋转把分散的条件集中，利用直角三角形的性质及勾股定理求解．首先根据旋转的性质得出∠EBE ′＝90°，BE ＝BE ′＝2，AE ＝E ′C ＝1，进而根据勾股定理的逆定理求出△EE ′C 是直角三角形，进而得出答案．9．(泸州中考)如图Y4－7，点P 1(x 1，y 1)，点P 2(x 2，y 2)，…，点P n (x n ，y n )在函数y ＝1x(x＞0)的图象上，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n －1A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －1A n 都在x 轴上(n 是大于或等于2的正整数)，则点P 3的坐标是；点P n 的坐标是用含n 的式子表示)．图Y4－7【易错分析】 (1)求不出P 1，P 2，P 3的坐标；(2)得不出一般规律，得不出点P n 的坐标．如答图，过点P 1作P 1E ⊥x 轴于点E ，过点P 2作P 2F ⊥x 轴于点F ，过点P 3作P 3G ⊥x 轴于点G ， ∵△P 1OA 1是等腰直角三角形， ∴P 1E ＝OE ＝A 1E ＝12OA 1，第9题答图设点P 1的坐标为(a ，a )，(a >0)，将点P 1(a ，a )代入y ＝1x，可得a ＝1，故点P 1的坐标为(1，1)，则OA 1＝2，设点P 2的坐标为(b ＋2，b )，将点P 1(b ＋2，b )代入y ＝1x，可得b ＝2－1，故点P 2的坐标为(2＋1，2－1)，则A 1F ＋A 2F ＝22－2，OA 2＝OA 1＋A 1A 2＝22，设点P 3的坐标为(c ＋22，c )，将点P 3代入y ＝1x，可得c ＝3－2，故点P 3的坐标为(3＋2，3－2)，综上可得，P 1的坐标为(1，1)，P 2的坐标为(2＋1，2－1)，P 3的坐标为(3＋2，3－2)，总结规律可得P n 坐标为：(n ＋n －1，n －n －1)．三、解答题10．(海宁模拟)某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40未来40天内，前20天每天的价格y 1(元/件)与时间t (天)的函数关系式为：y 1＝14t ＋25(1≤t ≤20且t 为整数)；后20天每天的价格y 2(元/件)与时间t (天)的函数关系式为：y 2＝－12t ＋40(21≤t ≤40且t 为整数)．(1)求Q (件)与时间t (天)的函数关系式；(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润(a ＜4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围．【易错分析】设定价为x 元，利润为y 元，根据利润＝(定价－进价)×销售量，列出函数关系式，结合x 的取值范围，求出当y 取800时，定价x 的值；(1)不会从表格中获取数据：从表格可看出每天比前一天少销售2件，所以判断为一次函数关系式；(2)利润、定价、进价、销量之间的关系不清：分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论；不能分类讨论求函数解析式；(3)在给定区间如何求最大值是易错点：列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围．解：(1)设一次函数为y ＝kt ＋b ，将(36，24)和(10，76)代入一次函数y ＝kt ＋b 中，有⎩⎪⎨⎪⎧36k ＋b ＝24，10k ＋b ＝76，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝96.故所求函数解析式为y ＝－2t ＋96； (2)设销售利润为W ，则W ＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2t ＋96）⎝ ⎛⎭⎪⎫14t ＋25－20（1≤t ≤20），（－2t ＋96）⎝ ⎛⎭⎪⎫－12t ＋40－20（21≤t ≤40），配方得W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12（t －14）2＋578（1≤t ≤20），（t －44）2－16（21≤t ≤40），当1≤t ≤20，t ＝14时，W 最大＝578，当21≤t ≤40时，W 随x 增大而减小，故当t ＝21时，W 最大＝513，综上知，当t ＝14时，利润最大，最大利润是578元；(3)由题意，得W ＝(－2t ＋96)⎝ ⎛⎭⎪⎫14t ＋25－20－a (1≤t ≤20)，配方得W ＝－12[t －2(a ＋7)]2＋2(a －17)2(1≤t ≤20)，要使日销售利润随时间t 增大而增大，则要求对称轴x ＝2(a ＋7)≥20，解得a ≥3，又因为a ＜4，故3≤a ＜4.11．(1)如图Y4－8①，已知：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D ，E .证明：DE ＝BD ＋CE ；(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，A ，E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE ＝BD ＋CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；(3)拓展与应用：如图③，D ，E 是D ，A ，E 三点所在直线m 上的两动点(D ，A ，E 三点互不重合)，点F 为∠BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连结BD ，CE ，若∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ，试判断△DEF 的形状．图Y4－8【易错分析】 (1)不知道如何证明线段的和差：根据“AAS ”可判断△ADB ≌△CEA ，则AE ＝BD ，AD ＝CE ，于是DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE ； (2)没有运用类比思想：与(1)的证明方法一样；(3)等边三角形的判定方法模糊：与前面的结论得到△ADB ≌△CEA ，则BD ＝AE ，∠DBA ＝∠EAC ，根据等边三角形的性质得∠ABF ＝∠CAF ＝60°，则∠DBA ＋∠ABF ＝∠CAE ＋∠CAF ，则∠DBF ＝∠FAE ，利用“SAS ”可判断△DBF ≌△EAF ，所以DF ＝EF ，∠BFD ＝∠AFE ，于是∠DFE ＝∠DFA ＋∠AFE ＝∠DFA ＋∠BFD ＝60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF 为等边三角形．证明：(1)∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ， ∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＋∠CAE ＝90°， ∵∠BAD ＋∠ABD ＝90°，∴∠CAE ＝∠ABD ，又AB ＝AC ， ∴△ADB ≌△CEA . ∴AE ＝BD ，AD ＝CE ， ∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE ； (2)∵∠BDA ＝∠BAC ＝α，∴∠DBA ＋∠BAD ＝∠BAD ＋∠CAE ＝180°－α， ∴∠DBA ＝∠CAE ，∵∠BDA ＝∠AEC ＝α，AB ＝AC ∴△ADB ≌△CEA ， ∴AE ＝BD ，AD ＝CE ， ∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE ； (3)由(2)知，△ADB ≌△CEA ， BD ＝AE ，∠DBA ＝∠CAE ，∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形， ∴∠ABF ＝∠CAF ＝60°，∴∠DBA ＋∠ABF ＝∠CAE ＋∠CAF ， ∴∠DBF ＝∠FAE ， ∵BF ＝AF ，∴△DBF ≌△EAF .∴DF ＝EF ，∠BFD ＝∠AFE ，∴∠DFE ＝∠DFA ＋∠AFE ＝∠DFA ＋∠BFD ＝60°， ∴△DEF 为等边三角形．12．如图Y4－9①，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD 的顶点A 重合，将此三角板绕点A 旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC ，DC 于点E ，F ，连结EF .图Y4－9(1)猜想BE ，EF ，DF 三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)在图①中，过点A 作AM ⊥EF 于点M ，请直接写出AM 和AB 的数量关系；(3)如图②，将Rt △ABC 沿斜边AC 翻折得到Rt △ADC ，E ，F 分别是BC ，CD 边上的点，∠EAF ＝12∠BAD ，连结EF ，过点A 作AM ⊥EF 于点M .试猜想AM 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想．【易错分析】 (1)猜想错误．BE ，EF ，DF 三条线段之间的数量关系EF ＝BE ＋DF ，延长CB 到Q ，使BQ ＝DF ，连结AQ ，证△ADF ≌△ABQ ，证△EAQ ≌△EAF ；(2)不能利用全等和面积关系进行判定．根据△EAQ ≌△EAF ，EF ＝EQ ，得出12·EQ ·AB ＝12·FE ·AM ；(3)不善于运用类比思想：延长CB 到Q ，使BQ ＝DF ，连结AQ ，证△ADF ≌△ABQ ，证△EAQ ≌△EAF .解：(1)猜想：EF ＝BE ＋DF .证明：如答图①，在CB 延线上长截取BQ ＝DF ，连结AQ . ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D ＝∠ABE ＝∠ABQ ＝90°，AD ＝AB . 又∵BQ ＝DF ， ∴△ADF ≌△ABQ .∴AF ＝AQ ，∠DAF ＝∠BAQ .∵∠EAF ＝45°，∠BAD ＝90°， ∴∠DAF ＋∠BAE ＝45°.∴∠BAQ ＋∠BAE ＝45°，即∠QAE ＝45°.∴∠QAE ＝∠EAF .又∵AQ ＝AF ，AE ＝AE ， ∴△QAE ≌△FAE .∴QE ＝EF .∵QE ＝BQ ＋BE ＝DF ＋BE ， ∴EF ＝DF ＋BE ； (2)AM ＝AB ；(3)猜想：AM ＝AB .证明：如答图②，在CB 延长线上截取BQ ＝DF ，连结AQ . 同(1)可证△QAE ≌△FAE ， ∴∠QEA ＝∠FEA .又∵AB ⊥QE ，AM ⊥EF ，AM ＝AB .13．(杭州模拟)已知经过原点的抛物线y ＝－2x 2＋4x (如图Y4－10所示)与x 的另一交点为A ，现将它向右平移m (m ＞0)个单位，所得抛物线与x 轴交于C ，D 点，与原抛物线交于点P.图Y4－10(1)求点P 的坐标(可用含m 式子表示)；(2)设△PCD 的面积为S ，求S 关于m 关系式；(3)过点P 作x 轴的平行线交原抛物线于点E ，交平移后的抛物线于点F .请问是否存在m ，使以点E ，O ，A ，F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．【易错分析】 (1)不会运用待定系数法将抛物线表示出顶点式的形式，再进行平移，左加第12题答图① 第12题答图②右减，求P 点；(2)不能根据m 的范围分类讨论求△PCD 的面积为S ；(3)不会根据E ，O ，A ，F 为顶点的四边形是平行四边形，表示出E 点的坐标．解：(1)原抛物线为y ＝－2x 2＋4x ＝－2(x －1)2＋2，则平移后的抛物线为y ＝－2(x －1－m )2＋2，∴有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2（x －1）2＋2y ＝－2（x －1－m ）2＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋22，y ＝－m 2＋42，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋22，－m 2＋42； (2)抛物线y ＝－2x 2＋4x ＝－2x (x －2)，∴抛物线与x 轴的交点为O (0，0)，A (2，0)， ∴AO ＝2，∵C ，D 两点是抛物线y ＝－2x 2＋4x 向右平移m (m ＞0)个单位所得抛物线与x 轴的交点， ∴CD ＝OA ＝2，①当0＜m ＜2，即点P 在第一象限时，如答图①，作PH ⊥x 轴于H .∵P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋22，－m 2＋42，∴PH ＝－m 2＋42，∴S △PCD ＝12CD ·－m 2＋42＝－12m 2＋2；②当m ＝2，即点P 在x 轴时，△PCD 不存在；③当m ＞2，即点P 在第四象限时，如答图②，作PH ⊥x 轴于H .第13题答图①第13题答图②∵P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋22，－m 2＋42，∴PH ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m 2＋42＝m 2－42， ∴S △PCD ＝12CD ·HP ＝12×2×m 2－42＝12m 2－2；∴S △PCD＝⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋2（0<m <2），12m 2－2（m >2）；第13题答图③(3)如答图③，若以E ，O ，A ，F 为顶点的四边形是平行四边形，则EF ＝OA ＝2，由轴对称可知PE ＝PF ， ∴PE ＝12OA ＝1，∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋22，－m 2＋42， ∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 2＋42，把点E 代入抛物线解析式得－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＋4×m 2＝－m 2＋42，解得m ＝1.∴存在m 使以点E ，O ，A ，F 为顶点的四边形是平行四边形，且m ＝1.。

【配套K12】全效学习2016版中考数学第十单元相似形第33课时相似形的应用练习(含解析)

相似形的应用(60分)一、选择题(每题6分，共24分)1．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图33－1所示的图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据： ①BC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC .能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有(C)图33－1 A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组【解析】此题比较综合，要多方面考虑．①因为知道∠ACB 和BC 的长，所以可利用∠ACB 的正切来求AB 的长； ②可利用∠ACB 和∠ADB 的正切求出AB ； ③因为△ABD ∽△FED ，可利用FE AB ＝DEDB求出AB ； ④无法求出A ，B 间距离．故共有3组数据可以求出A ，B 间距离．2．如图33－2是小明设计的用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝1.2 m ，BP ＝1.8 m ，PD ＝12 m ，那么该古城墙的高度是 (B)A ．6 mB ．8 mC ．18 mD ．24 m【解析】由平面镜的入射角等于反射角，易得∠APB ＝∠CPD .又∵∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABP ∽△CDP ，∴PB PD ＝AB CD ，即1.812＝1.2CD，解得CD ＝8 m.3．[2014·达州]如图33－3，以点O 为支点的杠杆，在A 端用竖直向上的拉力将重为G 的物体匀速拉起，当杠杆OA 水平时，拉力为F ；当杠杆被拉至OA 1时，拉力为F 1，过点B 1作B 1C ⊥OA ，过点A 1作A 1D ⊥OA ，垂足分别为点C ，D.图33－2图33－3①△OB 1C ∽△OA 1D ；②OA ·OC ＝OB ·OD ； ③OC ·G ＝OD ·F 1；④F ＝F 1.上述4个结论中，正确结论有 (D)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．[2015·聊城模拟]如图33－4，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1 m 的竹竿的影长是0.8 m ，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m ，又测得地面的影长为2.6 m ，请你帮她算一下，树高是 (C)A ．3.25 mB ．4.25 mC ．4.45 mD ．4.75 m 【解析】设BD 是BC 在地面的影子，树高为x ，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得CB BD ＝10.8，而CB ＝1.2，∴BD ＝0.96，∴树在地面的实际影子长是0.96＋2.6＝3.56，再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得x3.56＝10.8.解得x ＝4.45.∴树高为4.45 m.二、填空题(每题6分，共24分)5．[2015·新疆]如图33－5，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4 m 的位置上，则网球拍击球的高度h 为__1.4__m.图33－5【解析】由题意得，DE ∥BC ， ∴△ABC ∽△AED ， ∴DE BC ＝AE AB，图33－4即0.8h ＝44＋3，解得h ＝1.4 m ．∴击球高度为1.4 m.6．如图33－6，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20 cm ，到屏幕的距离为60 cm ，且幻灯片中图形的高度为6 cm ，则屏幕上图形的高度为__18__cm.【解析】根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比进行解答．7．[2014·遵义]“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图33－7，矩形城池ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E ，南门点F 分别是AB ，AD 中点，EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，EG ＝15里，HG 经过A 点，则FH ＝__2120__里．图33－78．[2015·达州]如图33－8，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，点D 落在D ′处，C ′D ′交AE 于点M .若AB ＝6，BC ＝9，则AM 的长为__94__.【解析】 ∵C ′是AB 的中点，AB ＝6， ∴AC ′＝BC ′＝3，∵四边形DCFE 沿EF 翻折至D ′C ′FE ， ∴CF ＝C ′F ，∠C ＝∠MC ′F ， ∴BC ＝BF ＋FC ＝BF ＋FC ′＝9， ∴FC ′＝9－BF ，在Rt △BC ′F 中，根据勾股定理，得BF 2＋BC ′2＝FC ′2，即32＋BF 2＝(9－BF )2，解得BF ＝4，∴FC ′＝5，又∵∠BFC ′＋∠BC ′F ＝90°，∠AC ′M ＋∠BC ′F ＝90°， ∴∠BFC ′＝∠AC ′M ，∵∠A ＝∠B ＝90°，∴△FC ′B ∽△C ′MA ， ∴BF AC ′＝BC ′AM ，即43＝3AM， ∴AM ＝94.三、解答题(共20分) 图33－6图33－89．(10分)[2014·岳阳]如图33－9，矩形ABCD 为台球桌面．AD ＝260 cm ，AB ＝130 cm.球目前在E 点位置，AE ＝60 cm.如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点的位置．(1)求证：△BEF ∽△CDF ； (2)求CF 的长．解：(1)由题意，得∠EFG ＝∠DFG ，∵∠EFG ＋∠BFE ＝90°，∠DFG ＋∠CFD ＝90°， ∴∠BFE ＝∠CFD ，∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△BEF ∽△CDF ；(2)∵△BEF ∽△CDF ，∴BE CD ＝BF CF， ∴70130＝260－CF CF，∴CF ＝169. 10．(10分)[2015·菏泽]如图33－10，M ，N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M ，N 两点之间的直线距离，选择测量点A ，B ，C ，点B ，C 分别在AM ，AN 上，现测得AM ＝1 km ，AN ＝1.8 km ，AB ＝54 m ，BC ＝45 m ，AC ＝30 m ，求M ，N 两点之间的直线距离．解：连结MN ， ∵AC AM ＝301 000＝3100，AB AN ＝541 800＝3100，∴AC AM ＝AB AN，∵∠BAC ＝∠NAM ，∴△BAC ∽△NAM ， ∴BC MN ＝3100，∴45MN ＝3100，∴MN ＝1 500.答：M ，N 两点之间的直线距离为1 500 m.(20分)11．(10分)[2015·邵阳]如图33－11，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知DE ＝0.5 m ，EF ＝0.25 m ，目测点D 到地面的距离DG ＝1.5 m ，到旗杆的水平距离DC ＝20 m ，求旗杆的高度．图33－11图33－9图33－10第10题答图【解析】根据题意可得△DEF ∽△DCA ，进而利用相似三角形的性质得出AC 的长，即可得出答案．解：由题意可得△DEF ∽△DCA ，则DE DC ＝EF CA，∵DE ＝0.5 m ，EF ＝0.25 m ， DG ＝1.5 m ，DC ＝20 m ， ∴0.520＝0.25AC，解得AC ＝10，故AB ＝AC ＋BC ＝10＋1.5＝11.5(m)，答：旗杆的高度为11.5 m.12．(10分)如图33－12，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点．(1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝4，AB ＝6，求AC AF的值．解：(1)证明：∵AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠CAB .又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∴△ADC ∽△ACB ， ∴AD AC ＝AC AB，∴AC 2＝AB ·AD ；(2)证明：∵在Rt △ACB 中，E 为AB 的中点， ∴CE ＝12AB ＝AE ，∴∠EAC ＝∠ECA . 又∵∠CAD ＝∠CAB ， ∴∠DAC ＝∠ECA ， ∴CE ∥AD ； (3)∵CE ∥AD .∴∠DAF ＝∠ECF ，∠ADF ＝∠CEF ， ∴△AFD ∽△CFE ， ∴AD CE ＝AF CF.∵CE ＝12AB ，AB ＝6，∴CE ＝12×6＝3.又∵AD ＝4，由AD CE ＝AF CF 得43＝AFCF ，∴AF AC ＝47，∴AC AF ＝74. 图33－12(12分)13．(12分)[2015·德州] (1)问题如图33－13①，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝90°. 求证：AD ·BC ＝AP ·BP ； (2)探究如图②，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝θ时，上述结论是否依然成立？说明理由； (3)应用请利用(1)(2)获得的经验解决问题：如图③，在△ABD 中，AB ＝6，AD ＝BD ＝5.点P 以每秒1个单位长度的速度，由点A 出发，沿边AB 向点B 运动，且满足∠DPC ＝∠A .设点P 的运动时间为t (s)，当以D 为圆心，以DC 为半径的圆与AB 相切，求t 的值．图33－13解：(1)证明：∵∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝90°， ∴∠ADP ＋∠APD ＝90°， ∠BPC ＋∠APD ＝90°， ∴∠ADP ＝∠BPC . ∴△ADP ∽△BPC . ∴AD BP ＝AP BC.∴AD ·BC ＝AP ·BP ；(2)结论AD ·BC ＝AP ·BP 仍成立．理由：∵∠BPD ＝∠DPC ＋∠BPC ，又∵∠BPD ＝∠A ＋∠ADP ， ∴∠DPC ＋∠BPC ＝∠A ＋∠ADP . ∵∠DPC ＝∠A ＝θ， ∴∠BPC ＝∠ADP ，又∵∠A ＝∠B ＝θ， ∴△ADP ∽△BPC ， ∴AD BP ＝AP BC，∴AD ·BC ＝AP ·BP ；(3)如答图，过点D 作DE ⊥AB 于点E . ∵AD ＝BD ＝5，AB ＝6.∴AE ＝BE ＝3.由勾股定理得DE ＝4.∵以D 为圆心，以DC 为半径的圆与AB 相切．第13题答图∴DC＝DE＝4.∴BC＝5－4＝1，又∵AD＝BD，∴∠A＝∠B.∵∠DPC＝∠A，∴∠DPC＝∠A＝∠B.由(1)，(2)的经验可知AD·BC＝AP·BP. 又AP＝t，BP＝6－t，∴t(6－t)＝5×1.解得t1＝1，t2＝5.∴t的值为1 s或5 s.。

全效学习中考数学第十单元相似形第32课时相似形练

相似形第32课时相似形(60分)一、选择题(每题5分，共30分)1．丽水市第一座横跨瓯江的单塔斜拉式大桥紫金大桥，比例尺为1∶500的图纸上的大桥的长度约为1.04 m，则大桥的实际长度约是 (D)A．104 m B．1 040 mC．5 200 m D．520 m【解析】设大桥的实际长度为x，依题意，得1∶500＝1.04∶x；得x＝1.04×500＝520(m)．2．[2015·南京]如图32－1，在△ABC中，DE∥BC，ADDB＝12，则下列结论中正确的是 (C)A.AEAC＝12B.DEBC＝12C.△ADE的周长△ABC的周长＝13D.△ADE的面积△ABC的面积＝133．[2015·永州]如图32－2，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是(D)A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD·AC D.ADAB＝ABBC【解析】在△ADB和△ABC中，∠A是它们的公共角，那么当ADAB＝ABAC时，才能使△ADB∽△ABC，不是ADAB＝ABBC.故答案选D.4．[2014·河北]在研究相似问题时，甲乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图32－3①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．①②图32－3乙：将邻边为3和5的矩形按图32－3②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距图32－1图32－2为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是 (C)A ．两人都对B ．两人都不对C ．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对 5．如图32－4，在平行四边形ABCD 中，E是AB 的中点，CE 和BD 交于点O ，设△OCD 的面积为m ，△OEB 的面积为5，则下列结论中正确的是 (B) A ．m ＝5 B ．m ＝4 5 C ．m ＝3 5 D ．m ＝10【解析】 ∵AB ∥CD ，∴△OCD ∽△OEB ，又∵E 是AB 的中点，∴2EB ＝AB ＝CD ，∴S △OEB S △OCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BE CD 2，即5m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，解得m ＝4 5. ∴m 的值为4 5.6．[2015·武威]如图32－5，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，DE ∥AC ，若S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3，则S △DOE ∶S △AOC 的值为 (D) A.13 B.14 C.19D.116【解析】 ∵S △BDE ∶S △CDE ＝1∶3， ∴BE ∶EC ＝1∶3， ∴BE ∶BC ＝1∶4，∵DE ∥AC ，∴△DOE ∽△COA ，△BED ∽△BCA ，∴DE AC ＝BE BC ＝14， ∴S △DOE ∶S △AOC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫DE AC 2＝116.二、填空题(每题5分，共20分)7．[2015·东莞]若两个相似三角形的周长比为2∶3，则它们的面积比是__4∶9__．8．[2015·金华]如图32－6，直线l 1，l 2，…，l 6是一组等距的平行线，过直线l 1上的点A 作两条射线，分别与直线l 3，l 6相交于B ，E ，C ，F ，若BC ＝2，则EF 的长是__5__.图32－69．[2015·梅州]如图32－7，△ABC 中，点E 是AB 边的中点，点F 在AC 边上，若以A ，E ，F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则需要增图32－4图32－5加的一个条件是__AF ＝12AC或∠AFE ＝∠ABC __．(写出一个即可) 【解析】分两种情况： ①∵△AEF ∽△ABC ， ∴AE ∶AB ＝AF ∶AC ，即1∶2＝AF ∶AC ， ∴AF ＝12AC ；②∵△AEF ∽△ACB ， ∴∠AFE ＝∠ABC .∴要使以A ，E ，F 为顶点的三角形与△ABC 相似，则AF ＝12AC 或∠AFE ＝∠ABC .10．[2015·泰州]如图32－8，△ABC 中，D 为BC 上一点， ∠BAD ＝∠C ，AB ＝6，BD ＝4，则CD 的长为__5__．【解析】 ∵∠BAD ＝∠C ，∠B ＝∠B ，∴△BAD ∽△BCA ， ∴BA BC ＝BD BA. ∵AB ＝6，BD ＝4， ∴6BC ＝46， ∴BC ＝9，∴CD ＝BC －BD ＝9－4＝5. 三、解答题(共20分)11．(10分)[2015·泰安]如图32－9，在△ABC 中，AB ＝AC ，点P ，D 分别是BC ，AC 边上的点，且∠APD ＝∠B .(1)求证：AC ·CD ＝CP ·BP ；(2)若AB ＝10，BC ＝12，当PD ∥AB 时，求BP 的长．图32－9解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C . ∵∠APD ＝∠B ， ∴∠APD ＝∠B ＝∠C . ∵∠APC ＝∠BAP ＋∠B ， ∠APC ＝∠APD ＋∠DPC ， ∴∠BAP ＝∠DPC ， ∴△ABP ∽△PCD ， ∴BP CD ＝AB PC， ∴AB ·CD ＝PC ·BP .图32－7图32－8∵AB ＝AC ，∴AC ·CD ＝CP ·BP ；(2)∵PD ∥AB ，∴∠APD ＝∠BAP . ∵∠APD ＝∠C ，∴∠BAP ＝∠C . ∵∠B ＝∠B ， ∴△BAP ∽△BCA ， ∴BA BC ＝BP BA.∵AB ＝10，BC ＝12， ∴1012＝BP 10， ∴BP ＝253.12．(10分)[2015·滨州]如图32－10，已知B ，C ，E 三点在同一条直线上，△ABC 与△DCE 都是等边三角形，其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F ，求证： (1)△ACE ≌△BCD ； (2)AG GC ＝AF FE.证明：(1)∵△ABC 与△DCE 都为等边三角形， ∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，在△ACE 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACE ＝∠BCD ，CE ＝CD ，∴△ACE ≌△BCD (SAS )； (2)∵△ACE ≌△BCD ， ∴∠BDC ＝∠AEC ，在△GCD 和△FCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠GCD ＝∠FCE ＝60°，CD ＝CE ，∠BDC ＝∠AEC ， ∴△GCD ≌△FCE (ASA )， ∴CG ＝CF ，∴△CFG 为等边三角形， ∴∠CGF ＝∠ACB ＝60°， ∴GF ∥CE ， ∴AG GC ＝AF FE.(20分)13．(10分)如图32－11，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD ＝∠CAE ，图32－10∠ABC ＝∠ADE .(1)写出图中两对相似三角形(不得添加辅助线)； (2)请分别说明两对三角形相似的理由．【解析】由两个角对应相等得两三角形相似，关键是得到∠BAC ＝∠DAE . 解：(1)△ABC ∽△ADE ，△ABD ∽△ACE ； (2)∵∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠DAC ＝∠CAE ＋∠DAC ，即∠BAC ＝∠DAE . 又∵∠ABC ＝∠ADE ， ∴△ABC ∽△ADE . ∴AB AD ＝AC AE.又∵∠BAD ＝∠CAE ，∴△ABD ∽△ACE .14．(10分)[2014·资阳]如图32－12，AB 是⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线并在其上取一点C ，连结OC 交⊙O 于点D ，BD 的延长线交AC 于E ，连结AD . (1)求证：△CDE ∽△CAD ；(2)若AB ＝2，AC ＝22，求AE 的长．解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°.又∵AC 是⊙O 的切线，∴AB ⊥AC ，∴∠BAC ＝90°， ∴∠CAD ＋∠BAD ＝90°，∴∠ABD ＝∠CAD . ∵∠ABD ＝∠BDO ＝∠CDE ， ∴∠CAD ＝∠CDE ，又∵∠C ＝∠C ，∴△CDE ∽△CAD ； (2)在Rt △OAC 中，∠OAC ＝90°， ∴OA 2＋AC 2＝OC 2，即12＋(22)2＝OC 2， ∴OC ＝3，则CD ＝2.又∵△CDE ∽△CAD ，得CD CE ＝CA CD ，即2CE ＝222， ∴CE ＝2，∴AE ＝AC －CE ＝22－2＝ 2.(10分)15．(10分)[2015·巴中]如图32－13，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥弦BC 于点F ，交⊙O 于点E ，连结CE ，AE ，CD ，若∠AEC ＝∠ODC . (1)求证：直线CD 为⊙O 的切线；(2)若AB ＝5，BC ＝4，求线段CD 的长．解：(1)证明：如答图，连结CO ，∵圆周角∠AEC 与∠ABC 所对弧相同，∴∠ABC ＝∠AEC .又∠AEC ＝∠ODC ，∴∠ABC ＝∠ODC . ∵OC ＝OB ，OD ⊥BC ，∴∠OCB ＝∠OBC ，且∠OCB ＋∠COD ＝90°.∴∠ODC ＋∠COD ＝90°.∴∠OCD ＝180°－∠ODC －∠COD ＝90°，即OC ⊥CD .图32－12图32－13第15题答图又OC 为半径，∴直线CD 为⊙O 的切线； (2)在⊙O 中，OD ⊥弦BC 于点F ， ∴BF ＝CF ＝12BC ＝2.又OB ＝12AB ＝52，∴OF ＝OB 2－BF 2＝32.由(1)知∠OBF ＝∠CDF ，且∠OFB ＝∠CFD ，∴△OFB ∽△CFD .∴OF OB ＝CF CD ，∴CD ＝OB ·CF OF ＝52×232＝103. ∴线段CD 的长为103.。

配套K12全效学习2016版中考数学第八单元四边形单元滚动专题五(含解析)

单元滚动专题题（五）一、选择题(每题4分，共40分)1．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 (C)A．7 B．8 C．9 D．10【解析】∵360°÷40°＝9，∴这个多边形的边数是9.2．矩形具有而菱形不具有的性质是 (B) A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．[2014·宁波]菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是 (D) A．10 B．8 C．6 D．5【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴OB＝OD＝3，OA＝OC＝4，AC⊥BD，在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝5，即菱形ABCD的边长AB＝BC＝CD＝AD＝5.4．如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是(C)A．8 B．6 C．4 D．2【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝CO＝DO，∴△ABO，△BCO，△DCO，△ADO都是等腰三角形．图1 图25．[2014·丽水]如图2，小红在作线段AB的垂直平分线时，是这样操作的：分别以点A，B 为圆心，大于线段AB长度的一半的长为半径画弧，相交于点C，D，则直线CD即为所求．连结AC，BC，AD，BD，根据她的作图方法可知四边形ADBC一定是(B)A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形6．[2014·株洲]已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是 (B)A．选①② B．选②③C．选①③ D．选②④【解析】由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误．7．顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是(C)第3题答图A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形【解析】如答图，连结AC ，BD ，在△ABD 中，∵AH ＝HD ，AE ＝EB ， ∴EH ＝12BD ，同理FG ＝12BD ，HG ＝12AC ，EF ＝12AC . 又∵在矩形ABCD 中，AC ＝BD ，∴EH ＝HG ＝GF ＝FE ，∴四边形EFGH 为菱形．8．如图3所示，矩形纸片ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，则AF 的长为(B)A.258cm B.254 cm C.252 cm D ．8 cm【解析】设AF ＝x cm ，则DF ＝(8－x )cm ，∵矩形纸片ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将其沿EF 对折，使得点C 与点A 重合，∴DF ＝D ′F .在Rt △AD ′F 中，∵AF 2＝AD ′2＋D ′F 2，∴x 2＝62＋(8－x )2，解得x ＝254(cm)． 9．如图4，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且∠BAE ＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为 (C)A ．1 B. 2C ．4－2 2D ．32－4【解析】在正方形ABCD 中，∠ABD ＝∠ADB ＝45°.又∵∠BAE ＝22.5°，∴∠DAE ＝90°－∠BAE ＝90°－22.5°＝67.5°.在△ADE 中，∠AED ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠DAE ＝∠AED ，∴AD ＝DE ＝4. ∵正方形的边长为4，∴BD ＝42，∴BE ＝BD －DE ＝42－4.∵EF ⊥AB ，∠ABD ＝45°，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF ＝22BE ＝22×(42－4)＝4－2 2.故选C. 10．如图5，在矩形ABCD 中，边AB 的长为3，点E ，F 分别在AD ，BC 上，连结BE ，DF ，EF ，BD ，若四边形BEDF 是菱形，且EF ＝AE ＋FC ，则边BC 的长为(B) A ．2 3B．3 3 第7题答图图3 图4C．6 3 D.923【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，即BA⊥BF.∵四边形BEDF是菱形，∴EF⊥BD，∵EF＝AE＋FC，又∵DE＝BF，AD＝BC，∴EF＝2AE＝2OE.∴△BAE≌△BOE.∴AB＝BO＝3，∠ABE＝∠EBO，∴∠ABE＝∠EBD＝∠DBC＝30°，∴BF＝BOcos30°＝23，∴BF＝BE＝2 3.∴CF＝AE＝3，∴BC＝BF＋CF＝3 3.二、填空题(每题5分，共30分)11．[2014·娄底]如图6，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E是AD的中点，△BCD的周长为8 cm，则△DEO的周长是__4__cm.图6 图712．如图7，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，再添加一个条件__AB∥CD或AD＝BC或∠A＋∠D＝180°或∠B＋∠C＝180°__(写出一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形(图形中不再添加辅助线)．【解析】添加的条件可以是另一组对边AD与BC相等，也可以是AB与CD这一组对边平行．13．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形．你添加的条件是__∠A＝90°或∠B＝90°或∠C＝90°或∠D＝90°或AC＝BD__(写出一种即可)．【解析】填其中任一内角为90°或对角线相等即可．14．如图8，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是__4__cm.【解析】∵BD平分∠ABC，PE⊥AB，PE＝4 cm，∴点P到BC的距离为4 cm.图8 图915．如图9，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，AE 平分∠BAD 交矩形一边于E ，若∠CAE ＝15°，则∠BOC ＝__120°__．【解析】 ∵∠CAE ＝15°，且AE 平分∠BAD ，∠BAD ＝90°，∴∠BAO ＝45°＋15°＝60°.又∵AO ＝BO ，∴△ABO 为等边三角形，∴∠AOB ＝60°，∴∠BOC ＝180°－60°＝120°.16．如图10，将两张长为4，宽为1的矩形纸条交叉并旋转，使重叠部分成为一个菱形．旋转过程中，当两张纸条垂直时，菱形周长的最小值是4，那么菱形周长的最大值是__172__．图10【解析】如答图，菱形的周长最大，设菱形的边长AC ＝x ，则AB ＝4－x ，在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2，即x 2＝(4－x )2＋12，解得x ＝178， ∴菱形的最大周长＝178×4＝172. 三、解答题(共80分)17．(8分)如图11，四边形ABCD 是矩形，E 是AB 上一点，且DE＝AB ，过C 作CF ⊥DE ，垂足为F .(1)猜想AD 与CF 的大小关系；(2)请证明上面的结论．解：(1)AD ＝CF ；(2)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴CD ∥AE ，AB ＝CD ，∴∠AED ＝∠FDC .∵DE ＝AB ，∴DE ＝AB ＝CD .∵CF ⊥DE ，∴∠CFD ＝∠A ＝90°，∴△ADE ≌△FCD (AAS )．∴AD ＝CF .18．(8分)[2014·遂宁]已知：如图12，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是CD 中点，连结OE ，过点C 作CF ∥BD 交线段OE 的延长线于点F ，连结DF .求证：(1)△ODE ≌△FCE ；(2)四边形ODFC 是菱形．第16题答图图11证明：(1)∵CF ∥BD ，∴∠EDO ＝∠ECF ，∠EOD ＝∠EFC ，又∵E 是CD 中点，∴CE ＝DE ，∴△ODE ≌△FCE ；(2)∵△ODE ≌△FCE ，∴EO ＝FE ，又∵CE ＝DE ，∴四边形ODFC 是平行四边形，又∵四边形ABCD 是矩形，∴OC ＝OD ，∴四边形ODFC 是菱形．19．(8分)如图13，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ACD ＝30°，BD ＝6.(1)求证：△ABD 是正三角形；(2)求AC 的长(结果可保留根号)．解：(1)证明：∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴AC 平分∠BCD .∵∠ACD ＝30°，∴∠BCD ＝60°.∵∠BAD 与∠BCD 是菱形的一组对角，∴∠BAD ＝∠BCD ＝60°.∵AB ，AD 是菱形的两条边，∴AB ＝AD .∴△ABD 是正三角形；(2)∵O 为菱形对角线的交点，∴AC ＝2OC ，OD ＝12BD ＝3，∠COD ＝90°. 在Rt △COD 中，OD OC ＝tan ∠OCD ＝tan30°，∴OC ＝ODtan30°＝333＝3 3. ∴AC ＝2OC ＝6 3.∴AC 的长为6 3.20．(8分)[2014·云南]如图14，在平行四边形ABCD 中，∠C ＝60°，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，BC ＝2CD .(1)求证：四边形MNCD 是平行四边形，(2)求证：BD ＝3MN .图14证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，图13∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∵M ，N 分别是AD ，BC 的中点，∴MD ＝NC ，MD ∥NC ，∴四边形MNCD 是平行四边形；(2)如答图，连结DN ，∵N 是BC 的中点，BC ＝2CD ，∴CD ＝NC ，∵∠C ＝60°，∴△DCN 是等边三角形，∴ND ＝NC ，∠DNC ＝∠NDC ＝60°，∴ND ＝NB ＝CN ，∴∠DBC ＝∠BDN ＝30°，∴∠BDC ＝∠BDN ＋∠NDC ＝90°，∴BD ＝BC 2－CD 2＝（2DC ）2－CD 2＝3CD ，∵四边形MNCD 是平行四边形，∴MN ＝CD ，∴BD ＝3MN .21．(10分)已知：如图15，在▱ABCD 中，延长DA 到点E ，延长BC 到点F ，使得AE ＝CF ，连结EF ，分别交AB ，CD 于点M ，N ，连结DM ，BN .(1)求证：△AEM ≌△CFN ；(2)求证：四边形BMDN 是平行四边形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠DAB ＝∠BCD ，∴∠EAM ＝∠FCN .∵AD ∥BC ， ∴∠E ＝∠F .又∵AE ＝CF ，∴△AEM ≌△CFN ；(2)由(1)得AM ＝CN ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，∴BM ＝DN ，又∵BM ∥DN ，∴四边形BMDN 是平行四边形．22．(12分)[2014·南京]如图16，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F .(1)求证：四边形DBFE 是平行四边形；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形DBFE 是菱形？为什么？解：(1)证明：∵D ，E 分别是AB ，AC 的中点，即DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC .又∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形；(2)本题答案不唯一，下列解法仅供参考．当AB ＝BC 时，四边形DBFE 是菱形．∵D 是AB 的中点，图15图16∴BD ＝12AB ， ∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC . ∵AB ＝BC ，∴BD ＝DE ，又∵四边形DBFE 是平行四边形，∴四边形DBFE 是菱形．23．(12分)[2014·枣庄]如图17，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，已知O 是AC 的中点，AE ＝CF ，DF ∥BE .(1)求证：△BOE ≌△DOF ；(2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论．解：(1)证明：∵O 是AC 的中点，∴OA ＝OC ，又∵AE ＝CF ，∴OE ＝OF ，又∵DF ∥BE ，∴∠OEB ＝∠OFD ，又∵∠EOB ＝∠FOD ，∴△BOE ≌△DOF ；(2)∵△BOE ≌△DOF ，∴OD ＝OB ，又∵OA ＝OC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，又∵OD ＝12AC ，OD ＝12BD ， ∴AC ＝BD ，∴四边形ABCD 是矩形．24．(14分)如图18，正方形ABCD 中，AC 是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B ，直角顶点P 在射线AC 上移动，另一边交DC 于Q.图18(1)如图①，当点Q 在DC 边上时，猜想并写出PB 与PQ 所满足的数量关系，并加以证明；(2)如图②，当点Q 落在DC 的延长线上时，猜想并写出PB 与PQ 满足的数量关系，并证明你的猜想．解：(1)PB ＝PQ ，证明：如答图①，过P 作PE ⊥BC ，PF ⊥CD ，垂足分别为E ，F .∵P 为正方形对角线AC 上的点，图17∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形．∵∠BPE＋∠QPE＝90°，∠QPE＋∠QPF＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ；②第24题答图(2)PB＝PQ，证明：如答图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，∵P为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，∴PF＝PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF＋∠QPF＝90°，∠BPF＋∠BPE＝90°，∴∠BPE＝∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB＝PQ.。

配套K12中考数学模拟试题(含解析) 新人教版

辽宁省辽阳市灯塔市2016届中考数学模拟试题一、选择题（共10 小题，每小题2 分，满分20 分）1．如图是由6 个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（）A．主视图改变，左视图改变B．俯视图不变，左视图不变C．俯视图改变，左视图改变D．主视图改变，左视图不变2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0 配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=153．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A 处径直走到B 处，她在灯光照射下的影长l 与行走的路程S 之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（）A． B． C． D．4．已知k、b 是一元二次方程（3x﹣1）=0 的两个根，且k＞b，则函数y=kx+b 的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B 与D 两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）A．四边形ABCD 由矩形变为平行四边形B．BD 的长度增大C．四边形ABCD 的面积不变D．四边形ABCD 的周长不变6．股票每天的涨、跌幅均不能超过 10%，即当涨了原价的 10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为 x，则 x 满足的方程是（）A．（1+x）2= B．（1+x）2= C．1+2x= D．1+2x=7．正比例函数y=6x 的图象与反比例函数y=的图象的交点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第一、三象限8．如图，在直角坐标系中，直线y1=2x﹣2 与坐标轴交于A、B 两点，与双曲线y2=（x＞0）交于点C，过点C 作CD⊥x 轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论：①S△ADB=S△ADC；②当0＜x＜3 时，y1＜y2；③如图，当x=3 时，EF=；④当x＞0 时，y1 随x 的增大而增大，y2 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．49．如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（）A．2 B．C． D．10．如图，G，E 分别是正方形ABCD 的边AB，BC 的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE= GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个二、填空题（共8 小题，每小题2 分，满分16 分）11．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0 没有实数根，则m 的取值范围是．12．如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m 的位置上，则网球的击球的高度h为．13．如图，点A（m，2），B（5，n）在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，将该函数图象向上平移2 个单位长度得到一条新的曲线，点A、B 的对应点分别为A′、B′．图中阴影部分的面积为8，则k的值为．14．如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为这个条件是（只填写序号）．15．如图，矩形EFGH 内接于△ABC，且边FG 落在BC 上．若BC=3，AD=2，EF= EH，那么EH的长为．16．将一副三角板按图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于．17．如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA=4km，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB 的长）为．18．如图，在平面直角坐标系中，A、B 两点分别在x 轴和y 轴上，OA=1，OB=，连接AB，过AB 中点C1 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别是点A1、B1，连接A1B1，再过A1B1 中点C2 作x 轴和y 轴的垂线，照此规律依次作下去，则点C n 的坐标为．三、解答题（共8 小题，满分64 分）19．利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m 长的篱笆围成一个面积为200m2 的矩形场地，求矩形的长和宽．20．已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中 a、b、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x=﹣1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．21．如图，矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，点E、F 分别在边CD、AB 上．（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE 是平行四边形；若四边形AFCE 是菱形，求菱形AFCE 的周长．22．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，直线AB 分别与x 轴、y 轴交于B 和A，与反比例函数的图象交于 C、D，CE⊥x 轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求直线AB 和反比例函数的解析式；求△OCD 的面积．23．在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．甲同学的方案：将红桃 2、3、4、5 四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4 三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）24．如图，在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高10 米的旗杆AB 和一根高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直，为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光照射下，旗杆落在围墙上的影子EF 的长度为2 米，落在地面上的影子BF 的长为10 米，而电线杆落在围墙上的影子GH 的长度为3 米，落在地面上的影子DH 的长为5 米，依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度．（1）该小组的同学在这里利用的是投影的有关知识进行计算的；试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程．25．如图，大楼AN 上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D 处测得条幅顶部A 的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E 处，然后向大楼方向继续行走10 米来到C 处，测得条幅的底部B 的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N 处20 米．已知坡面DE=20 米，山坡的坡度i=1：（即tan∠DEM=1：），且D、 M、E、C、N、B、A 在同一平面内，E、C、N 在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到 1 米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）26．如图1，在正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，且PA=PE， PE 交CD 于F．（1）证明：PC=PE；求∠CPE 的度数；（3）如图2，把正方形ABCD 改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP 与线段CE 的数量关系，并说明理由．辽宁省辽阳市灯塔市2016 届中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10 小题，每小题2 分，满分20 分）1．如图是由6 个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（）A．主视图改变，左视图改变B．俯视图不变，左视图不变C．俯视图改变，左视图改变D．主视图改变，左视图不变【考点】简单组合体的三视图．【分析】分别得到将正方体①移走前后的三视图，依此即可作出判断．【解答】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为 1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变．将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为 1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变．故选D．【点评】考查三视图中的知识，得到从几何体的正面，左面，上面看的平面图形中正方形的列数及每列正方形的个数是解决本题的关键．2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0 配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=15【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程利用配方法求出解即可．【解答】解：方程变形得：x2﹣8x=1，配方得：x2﹣8x+16=17，即（x﹣4）2=17，故选C【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．如图，小红居住的小区内有一条笔直的小路，小路的正中间有一路灯，晚上小红由A 处径直走到B 处，她在灯光照射下的影长l 与行走的路程S 之间的变化关系用图象刻画出来，大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；中心投影．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据中心投影的性质得出小红在灯下走的过程中影长随路程之间的变化，进而得出符合要求的图象．【解答】解：∵小路的正中间有一路灯，晚上小红由A 处径直走到B 处，她在灯光照射下的影长l 与行走的路程S 之间的变化关系应为：当小红走到灯下以前：l 随S 的增大而减小；当小红走到灯下以后再往前走时：l 随S 的增大而增大，∴用图象刻画出来应为C．故选：C．【点评】此题主要考查了函数图象以及中心投影的性质，得出l 随S 的变化规律是解决问题的关键．4．已知k、b 是一元二次方程（3x﹣1）=0 的两个根，且k＞b，则函数y=kx+b 的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】一次函数图象与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法．【分析】首先利用因式分解法解一元二次方程求出k 和b 的值，然后判断函数y=x﹣的图象不经过的象限即可．【解答】解：∵k、b 是一元二次方程（3x﹣1）=0 的两个根，且k＞b，∴k= ，b=﹣，∴函数y=x﹣的图象不经过第二象限，故选B．【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是利用因式分解法求出k 和b 的值，此题难度不大．5．如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B 与D 两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）A．四边形ABCD 由矩形变为平行四边形B．BD 的长度增大C．四边形ABCD 的面积不变D．四边形ABCD 的周长不变【考点】矩形的性质；平行四边形的性质．【分析】由将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B 与D 两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，由平行四边形的判定定理知四边形变成平行四边形，由于四边形的每条边的长度没变，所以周长没变；拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，BD 的长度增加了．【解答】解：∵矩形框架ABCD，B 与D 两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，∴AD=BC，AB=DC，∴四边形变成平行四边形，故A 正确；BD 的长度增加，故B 正确；∵拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，∴面积变小了，故C 错误；∵四边形的每条边的长度没变，∴周长没变，故D 正确，故选C．【点评】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质，弄清图形变化后的变量和不变量是解答此题的关键．6．股票每天的涨、跌幅均不能超过 10%，即当涨了原价的 10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为 x，则 x 满足的方程是（）A．（1+x）2= B．（1+x）2= C．1+2x= D．1+2x=【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%，再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能≤10%，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨x，每天相对于前一天就上涨到1+x．【解答】解：设平均每天涨x．则90%（1+x）2=1，即（1+x）2= ，故选B．【点评】此题考查增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理解：价格上涨x%后是原来价格的（1+x）倍．7．正比例函数 y=6x 的图象与反比例函数y=的图象的交点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第一、三象限【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】计算题．【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题解方程组即可得到两函数的交点坐标，然后根据交点坐标进行判断．【解答】解：解方程组得或，所以正比例函数y=6x 的图象与反比例函数y=的图象的交点坐标为（1，6），（﹣1，﹣6）．故选：D．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．8．如图，在直角坐标系中，直线y1=2x﹣2 与坐标轴交于A、B 两点，与双曲线y2=（x＞0）交于点C，过点C 作CD⊥x 轴，垂足为D，且OA=AD，则以下结论：①S△ADB=S△ADC；②当0＜x＜3 时，y1＜y2；③如图，当x=3 时，EF=；④当x＞0 时，y1 随x 的增大而增大，y2 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】对于直线解析式，分别令x 与y 为0 求出y 与x 的值，确定出A 与B 坐标，利用AAS 得到三角形OBA 与三角形CDA 全等，利用全等三角形对应边相等得到CD=OB，确定出C 坐标，代入反比例解析式求出k 的值，确定出反比例解析式，由图象判断y1＜y2 时x 的范围，以及y1 与y2 的增减性，把x=3 分别代入直线与反比例解析式，相减求出EF 的长，即可做出判断．【解答】解：对于直线y1=2x﹣2，令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=1，∴A（1，0），B（0，﹣2），即OA=1，OB=2，在△OBA 和△CDA 中，，∴△OBA≌△CDA（AAS），∴CD=OB=2，OA=AD=1，∴S△ADB=S△ADC（同底等2016 届高三角形面积相等），选项①正确；∴C，把C 坐标代入反比例解析式得：k=4，即y2=，由函数图象得：当0＜x＜2 时，y1＜y2，选项②错误；当x=3 时，y1=4，y2=，即EF=4﹣= ，选项③正确；当x＞0 时，y1 随x 的增大而增大，y2 随x 的增大而减小，选项④正确，故选C【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点，涉及的知识有：一次函数与坐标系的交点，待定系数法确定反比例函数解析式，坐标与图形性质以及反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解本题的关键．9．如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（）A．2 B．C． D．【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理．【专题】压轴题；网格型．【分析】根据勾股定理，可得AC、AB 的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：如图：，由勾股定理，得A C= ，AB=2 ，BC= ，∴△ABC 为直角三角形，∴tan∠B= = ，故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB 的长，再求正切函数．10．如图，G，E 分别是正方形ABCD 的边AB，BC 的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE= GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH其中，正确的结论有（）A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出 BG=BE，根据勾股定理得出B E= GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据 SAS 推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE 和△ECH 不相似，即可判断④．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE= GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE 和△CEF 中∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE 和△ECH 不相似，∴④错误；即正确的有2 个．故选B．【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．二、填空题（共8 小题，每小题2 分，满分16 分）11．若一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0 没有实数根，则 m 的取值范围是m＜．【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．【分析】据关于 x 的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0 没有实数根，得出△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，从而求出m 的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2﹣4x﹣5=0 没有实数根，∴△=16﹣4（m﹣1）×（﹣5）＜0，且m﹣1≠0，∴m＜．故答案为：m＜．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．12．如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4m 的位置上，则网球的击球的高度h 为 1.4．【考点】相似三角形的应用．【分析】判断出△ABC 和△AED 相似，再根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，DE∥BC，所以，△ABC∽△AED，所以，= ，即= ，解得h=1.4m．故答案为：1.4．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，熟记性质并列出比例式是解题的关键．13．如图，点A（m，2），B（5，n）在函数y=（k＞0，x＞0）的图象上，将该函数图象向上平移2 个单位长度得到一条新的曲线，点A、B 的对应点分别为A′、B′．图中阴影部分的面积为8，则k 的值为 2 ．【考点】反比例函数系数k 的几何意义；平移的性质．【分析】利用平行四边形的面积公式得出M 的值，进而利用反比例函数图象上点的性质得出k 的值．【解答】解：∵将该函数图象向上平移2 个单位长度得到一条新的曲线，点A、B 的对应点分别为A′、B′，图中阴影部分的面积为8，∴5﹣m=4，∴m=1，∴A（1，2），∴k=1×2=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了平移的性质和反比例函数系数k 的几何意义，得出A 点坐标是解题关键．14．如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE=DF．给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC；从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为这个条件是③（只填写序号）．【考点】菱形的判定．【专题】推理填空题．【分析】首先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定该四边形为平行四边形，然后结合菱形的判定得到答案即可．【解答】解：由题意得：BD=CD，ED=FD，∴四边形EBFC 是平行四边形，①BE⊥EC，根据这个条件只能得出四边形 EBFC 是矩形，②BF∥CE，根据 EBFC 是平行四边形已可以得出BF∥CE，因此不能根据此条件得出菱形，③AB=AC，∵，∴△ADB≌△ADC，∴∠BAD=∠CAD∴△AEB≌△AEC（SAS），∴BE=CE，∴四边形BECF 是菱形．故答案为：③．【点评】本题考查了菱形的判定，解题的关键是了解菱形的判定定理，难度不是很大．15．如图，矩形EFGH 内接于△ABC，且边FG 落在BC 上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．【专题】应用题；压轴题．【分析】设EH=3x，表示出EF，由AD﹣EF 表示出三角形AEH 的边EH 上的高，根据三角形AEH与三角形ABC 相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x 的值，即为EH 的长．【解答】解：∵四边形EFGH 是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC，∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴= ，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，∴= ，解得：x= ，则EH=．故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．16．将一副三角板按图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于 1：3 ．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】一副三角板按图叠放，则得到两个相似三角形，且相似比等于 1：，相似三角形的性质相似三角形面积的比等于相似比的平方得到△AOB 与△DOC 的面积之比等于 1：3．【解答】解：∵∠ABC=90°，∠DCB=90°∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，∴△AOB∽△COD又∵AB：CD=BC：CD=tan30°=1：∴△AOB 与△DOC 的面积之比等于1：3．故答案为：1：3．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形面积的比等于相似比的平方．17．如图，港口A 在观测站O 的正东方向，OA=4km，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB 的长）为 2km ．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【专题】压轴题．【分析】过点A 作AD⊥OB 于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2km，再由△ABD 是等腰直角三角形，得出 BD=AD=2km，则AB=AD=2 km．【解答】解：如图，过点A 作AD⊥OB 于D．在 Rt△AOD 中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，∴AD= OA=2km．在 Rt△ABD 中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，∴BD=AD=2km，∴AB= AD=2 km．即该船航行的距离（即AB 的长）为2km．故答案为2km．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．18．如图，在平面直角坐标系中，A、B 两点分别在x 轴和y 轴上，OA=1，OB=，连接AB，过AB 中点C1 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别是点A1、B1，连接A1B1，再过A1B1 中点C2 作x轴和y 轴的垂线，照此规律依次作下去，则点C n 的坐标为．【考点】规律型：点的坐标．【专题】规律型．【分析】首先利用三角形中位线定理可求出B1C1 的长和C1A1 的长，即C1 的横坐标和纵坐标，以此类推即可求出点C n 的坐标．【解答】解：∵过AB 中点C1 分别作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别是点A1、B1，∴B1C1 和C1A1 是三角形OAB 的中位线，∴B1C1= OA= ，C1A1= OB= ，∴C1 的坐标为（，），同理可求出B2C2== ，C2A2= =∴C2 的坐标为（，），…以此类推，可求出B n C n= ，C n A n= ，∴点C n 的坐标为，故答案为：．【点评】本题考查了规律型：点的坐标的求解，用到的知识点是三角形中位线定理，解题的关键是正确求出C1 和C2 点的坐标，由此得到问题的一般规律．三、解答题（共8 小题，满分64 分）19．利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m 长的篱笆围成一个面积为200m2 的矩形场地，求矩形的长和宽．【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设垂直于墙的一边为x 米，则邻边长为（58﹣2x），利用矩形的面积公式列出方程并解答．【解答】解：设垂直于墙的一边为x 米，得：x（58﹣2x）=200解得：x1=25，x2=4∴另一边为8 米或50 米．答：当矩形长为25 米是宽为8 米，当矩形长为50 米是宽为4 米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．20．已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中 a、b、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x=﹣1 是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【考点】一元二次方程的应用．【专题】代数几何综合题．【分析】（1）直接将x=﹣1 代入得出关于a，b 的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC 的形状；利用根的判别式进而得出关于 a，b，c 的等式，进而判断△ABC 的形状；（3）利用△ABC 是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．【解答】解：（1）△ABC 是等腰三角形；理由：∵x=﹣1 是方程的根，∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，∴a+c﹣2b+a﹣c=0，∴a﹣b=0，∴a=b，∴△ABC 是等腰三角形；∵方程有两个相等的实数根，∴2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，∴4b2﹣4a2+4c2=0，∴a2=b2+c2，∴△ABC 是直角三角形；（3）当△ABC 是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：2ax2+2ax=0，∴x2+x=0，解得：x1=0，x2=﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．21．如图，矩形ABCD 中，AB=8，AD=6，点E、F 分别在边CD、AB 上．（1）若DE=BF，求证：四边形AFCE 是平行四边形；若四边形AFCE 是菱形，求菱形AFCE 的周长．【考点】矩形的性质；平行四边形的判定；菱形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）首先根据矩形的性质可得AB 平行且等于CD，然后根据DE=BF，可得AF 平行且等于CE，即可证明四边形AFCE 是平行四边形；根据四边形AFCE 是菱形，可得AE=CE，然后设DE=x，表示出AE，CE 的长度，根据相等求出x的值，继而可求得菱形的边长及周长．【解答】解；（1）∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵DE=BF，∴AF=CE，AF∥CE，∴四边形AFCE 是平行四边形；∵四边形AFCE 是菱形，∴AE=CE，设DE=x，则AE=，CE=8﹣x，则 =8﹣x，解得：x= ，则菱形的边长为：8﹣= ，周长为：4×=25，故菱形AFCE 的周长为25．【点评】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，解答本题的关键是则矩形对边平行且相等的性质以及菱形四条边相等的性质．22．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，直线AB 分别与x 轴、y 轴交于B 和A，与反比例函数的图象交于 C、D，CE⊥x 轴于点E，tan∠ABO=，OB=4，OE=2．（1）求直线AB 和反比例函数的解析式；求△OCD 的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）根据已知条件求出A、B、C 点坐标，用待定系数法求出直线AB 和反比例的函数解析式；联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D 的坐标，从而根据三角形面积公式求解．【解答】解：（1）∵OB=4，OE=2，∴BE=2+4=6．∵CE⊥x 轴于点 E，tan∠ABO== = ．∴OA=2，CE=3．∴点A 的坐标为（0，2）、点B 的坐标为C（4，0）、点C 的坐标为（﹣2，3）．设直线AB 的解析式为y=kx+b，则，解得．故直线AB 的解析式为y=﹣x+2．设反比例函数的解析式为y=（m≠0），将点C 的坐标代入，得3= ，∴m=﹣6．∴该反比例函数的解析式为y=﹣．联立反比例函数的解析式和直线AB 的解析式可得，可得交点D 的坐标为（6，﹣1），则△BOD 的面积=4×1÷2=2，△BOC 的面积=4×3÷2=6，故△OCD 的面积为2+6=8．【点评】本题是一次函数与反比例函数的综合题．主要考查待定系数法求函数解析式．求 A、B、C点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质，起点稍高，部分学生感觉较难．23．在学习概率的课堂上，老师提出问题：只有一张电影票，小明和小刚想通过抽取扑克牌的游戏来决定谁去看电影，请你设计一个对小明和小刚都公平的方案．甲同学的方案：将红桃 2、3、4、5 四张牌背面向上，小明先抽一张，小刚从剩下的三张牌中抽一张，若两张牌上的数字之和是奇数，则小明看电影，否则小刚看电影．（1）甲同学的方案公平吗？请用列表或画树状图的方法说明；乙同学将甲的方案修改为只用红桃2、3、4 三张牌，抽取方式及规则不变，乙的方案公平吗？（只回答，不说明理由）【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率，比较即可．解题思路同上．【解答】解：（1）甲同学的方案不公平．理由如下：列表法，率为：= ，则小刚获胜的概率为：，故此游戏两人获胜的概率不相同，即他们的游戏规则不公平；不公平．理由如下：。

【配套K12】中考数学培优试题(含解析)

山东省枣庄市滕州市鲍沟中学2016年中考数学培优试题一、选择题1．已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是( )A．B．C．D．全体实数2．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=4，OB=3．⊙O的半径为2，点P是线段AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点．设AP=x，PQ2=y，则y与x的函数图象大致是( )A．B．C．D．3．小李从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面四条信息：①b2﹣4ac＞0；②c＞1；③ab＞0；④a﹣b+c＜0．你认为其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线三角形系数”，若抛物线三角形系数为[﹣1，b，0]的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值( )A．±2B．±3C．2 D．35．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y=上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=﹣abx2+（a+b）x( )A．有最大值﹣4.5 B．有最大值4.5 C．有最小值4.5 D．有最小值﹣4.57．如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个8．（课改）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为( )A．B．C．D．9．记抛物线y=﹣x2+2012的图象与y正半轴的交点为A，将线段OA分成2012等份，设分点分别为P1，P2，…，P2011，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Q2011，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2，…，这样就记w=s12+s22+…+s20112，W 的值为( )A．505766 B．505766.5 C．505765 D．50576410．若二次函数y=（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( ) A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤311．一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是( )A．1米B．5米C．6米D．7米12．已知一元二次方程x2+bx﹣3=0的一根为﹣3，在二次函数y=x2+bx﹣3的图象上有三点、、，y1、y2、y3的大小关系是( )A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2二、填空题13．已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为__________．14．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行__________m才能停下来．15．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2．回答下列问题：（1）抛物线y2的解析式是__________，顶点坐标为__________；（2）阴影部分的面积__________；（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的解析式为__________，开口方向__________，顶点坐标为__________．16．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则=__________．17．如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是__________和__________．18．如图1，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=2BD，点P是 AO上一个动点，过点P 作AC 的垂线交菱形的边于M，N两点．设AP=x，△OMN的面积为y，表示y与x的函数关系大致如图2所示的抛物线．（1）图2所示抛物线的顶点坐标为（__________，__________）；（2）菱形ABCD的周长为__________．19．如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为__________．20．如图，抛物线y=x2通过平移得到抛物线m，抛物线m经过点B（6，0）和O（0，0），它的顶点为A，以O为圆心，OA为半径作圆，在第四象限内与抛物线y=x2交于点C，连接AC，则图中阴影部分的面积为__________．21．已知抛物线y=ax2﹣4ax+c经过点A（0，2），顶点B的纵坐标为3．将直线AB向下平移，与x轴、y轴分别交于点C、D，与抛物线的一个交点为P，若D是线段CP的中点，则点P 的坐标为__________．三、解答题22．（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1，x2，求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．（2）已知关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，求a的值．（3）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A．B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．23．二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．24．鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？25．某公司拟用运营指数y来量化考核司机的工作业绩，运营指数（y）与运输次数（n）和平均速度（x）之间满足关系式为y=ax2+bnx+100，当n=1，x=30时，y=190；当n=2，x=40时，y=420．（1）用含x和n的式子表示y；（2）当运输次数定为3次，求获得最大运营指数时的平均速度；（3）若n=2，x=40，能否在n增加m%（m＞0），同时x减少m%的情况下，而y的值保持不变？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．参考公式：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，）2016年山东省枣庄市滕州市鲍沟中学中考数学培优试卷一、选择题1．已知抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，那么m的取值范围是( )A．B．C．D．全体实数【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】因为抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，所以令f（x）=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1，则f（2）＜0，解不等式可得m＞，又因为抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，所以f（0）＜﹣，解得m＜，即可得解．【解答】解：根据题意，令f（x）=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1，∵抛物线y=x2﹣（4m+1）x+2m﹣1与x轴有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，且抛物线开口向上，∴f（2）＜0，即4﹣2（4m+1）+2m﹣1＜0，解得：m＞，又∵抛物线与y轴的交点在点（0，）的下方，∴f（0）＜﹣，解得：m＜，综上可得：＜m＜，故选A．【点评】本题考查二次函数图象特征，要善于合理运用题目已知条件．2．如图，在Rt△OAB中，∠AOB=90°，OA=4，OB=3．⊙O的半径为2，点P是线段AB上的一动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点．设AP=x，PQ2=y，则y与x的函数图象大致是( )A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】根据题意列出函数表达式，即可判断．【解答】解：如图，作PC⊥OA，垂足为C，∵PC∥BO，∴△ABO∽△APC，∴，∵AP=x，OA=4，OB=3，∴PC=，AC=，∴OC=4﹣，∴OP2=（4﹣）2+（）2=x2﹣x+16，∴y=OP2﹣OQ2=x2﹣x+12，当x=0时，y=12，当x=5时，y=5．故选：A．【点评】本题主要考查了函数的图象与列函数表达式，分析题意弄清题目中的函数关系是做出正确判断的根本．3．小李从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面四条信息：①b2﹣4ac＞0；②c＞1；③ab＞0；④a﹣b+c＜0．你认为其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】①根据图象与x的交点的个数，判断根的判别式△＞0；②取x=0时，y=c＞0但c＜1；③对称轴方程x=﹣，图象开口方向判断a与0的关系，再判断b与0的关系；④取x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0．【解答】解：①因为二次函数图象与x轴有两个交点，所以根的判别式b2﹣4ac＞0．故①正确；②根据图象知，当x=0时，0＜y＜1，即0＜c＜1；故②不正确；③由该函数的图象知，开口向下，∴a＜0；对称轴方程x=﹣＜0，∴b＜0，∴ab＞0．故③正确；④根据图象可知，当x=﹣1时，y＞0，所以a﹣b+c＞0．故④不正确；综上所述，正确共2个．故选B．【点评】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．4．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线三角形系数”，若抛物线三角形系数为[﹣1，b，0]的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值( )A．±2B．±3C．2 D．3【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】新定义．【分析】把抛物线三角形系数代入抛物线，令y=0求出点A的坐标，再求出顶点坐标，然后根据等腰直角三角形的斜边上的高线等于斜边的一半列出方程求解即可得到b的值．【解答】解：∵抛物线三角形系数为[﹣1，b，0]，∴抛物线解析式为y=﹣x2+bx=﹣（x﹣）2+，∴顶点坐标为（，），令y=0，则﹣x2+bx=0，解得x1=0，x2=b，∴与x轴的交点为（0，0），（b，0），∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形，∴=|b|，∴b2=2b或b2=﹣2b，∵b=0时，抛物线与x轴只有一个交点（0，0），∴b=0不符合题意，∴b=2或b=﹣2，故选：A．【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，待定系数法求二次函数解析式，读懂题目信息，理解“抛物线三角形”的定义是解题的关键．5．已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线y=上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=﹣abx2+（a+b）x( )A．有最大值﹣4.5 B．有最大值4.5 C．有最小值4.5 D．有最小值﹣4.5【考点】二次函数的最值；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】可先求得N点坐标，再把M和N的坐标分别代入所满足的函数解析式，整理可求得ab和a+b的值，代入可求得二次函数解析式，可求得其最值．【解答】解：∵M、N两点关于y轴对称，点M的坐标为（a，b），∴N点坐标为（﹣a，b），∵点M在双曲线y=上，∴2ab=1，解得ab=，∵点N在直线y=x+3上，∴b=﹣a+3，解得a+b=3，∴二次函数解析式为y=﹣x2+3x，∴当x=﹣=3时，函数有最大值，y max=﹣×9+9=4.5．故选B．【点评】本题主要考查二次函数的最值，根据点的对称及点的坐标与函数解析式的关系求得ab和a+b的值是解题的关键．7．如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】若y1=y2，记M=y1=y2．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；即可求得答案．【解答】解：∵当y1=y2时，即﹣x2+4x=2x时，解得：x=0或x=2，∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；当0＜x＜2时，y1＞y2；当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；∴①错误；∵抛物线y1=﹣x2+4x，直线y2=2x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；∴当x＜0时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；∴②正确；∵抛物线y1=﹣x2+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，∴③正确；∵如图：当0＜x＜2时，y1＞y2；当M=2，2x=2，x=1；x＞2时，y2＞y1；当M=2，﹣x2+4x=2，x1=2+，x2=2﹣（舍去），∴使得M=2的x值是1或2+，∴④错误；∴正确的有②③两个．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用．注意掌握函数增减性是解题关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．8．（课改）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为( )A．B．C．D．【考点】概率公式；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】压轴题．【分析】因为掷骰子的概率一样，每次都有六种可能性，因此小莉和小明掷骰子各六次，P 的取值有36种．可将x、y值一一代入找出满足抛物线的x、y，用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率．【解答】解：点P的坐标共有36种可能，其中能落在抛物线y=﹣x2+4x上的共有（1，3）、（2，4）、（3，3）3种可能，其概率为．故选B．【点评】本题综合考查函数图象上点的坐标特征与概率的确定．9．记抛物线y=﹣x2+2012的图象与y正半轴的交点为A，将线段OA分成2012等份，设分点分别为P1，P2，…，P2011，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，Q2011，再记直角三角形OP1Q1，P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2，…，这样就记w=s12+s22+…+s20112，W 的值为( )A．505766 B．505766.5 C．505765 D．505764【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；压轴题；规律型．【分析】根据等分求出OP1=P1P2=P2P3=P3P4=…=P2010P2011=1，再利用抛物线解析式求出P1Q1，P2Q2，…，P2011Q2011的平方的值，利用三角形的面积表示出S1，S2，…，并平方后相加，然后根据等差数列求和公式进行计算即可得解．【解答】解：∵P1，P2，…，P2011将线段OA分成2012等份，∴OP1=P1P2=P2P3=P3P4=…=P2010P2011=1，∵过分点P1作y轴的垂线，与抛物线交于点Q1，∴﹣x2+2012=1，解得x2=2011，∴S12=（×1×P1Q1）2=×2011，同理可得S22=×2010，S32=×2009，…S20112=×1，∴w=S12+S22+S32+…+S20112=×2011+×2010+×2009+…+×1=×=505766.5．【点评】本题是对二次函数的综合考查，根据图形的变化规律，分别表示出各三角形的面积的平方是解题的关键．10．若二次函数y=（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( ) A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．【解答】解：∵二次函数的解析式y=（x﹣m）2﹣1的二次项系数是1，∴该二次函数的开口方向是向上；又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，﹣1），∴该二次函数图象在[﹣∞，m]上是减函数，即y随x的增大而减小；而已知中当x≤3时，y随x的增大而减小，∴x≤3，∴x﹣m≤0，∴m≥3．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象的性质．解答该题时，须熟知二次函数的系数与图象的关系、二次函数的顶点式方程y=（k﹣h）x2﹣b中的h，b的意义．11．一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是( )A．1米B．5米C．6米D．7米【考点】二次函数的应用．【专题】计算题．【分析】首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h=﹣5（t ﹣1）2+6的顶点坐标即可．【解答】解：∵高度h和飞行时间t 满足函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6，∴当t=1时，小球距离地面高度最大，∴h=﹣5×（1﹣1）2+6=6米，故选C．【点评】解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果，二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标是（﹣，）当x等于﹣时，y的最大值（或最小值）是．12．已知一元二次方程x2+bx﹣3=0的一根为﹣3，在二次函数y=x2+bx﹣3的图象上有三点、、，y1、y2、y3的大小关系是( )A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一元二次方程的解．【分析】将x=﹣3代入x2+bx﹣3=0中，求b，得出二次函数y=x2+bx﹣3的解析式，再根据抛物线的对称轴，开口方向确定增减性，比较y1、y2、y3的大小关系．【解答】解：把x=﹣3代入x2+bx﹣3=0中，得9﹣3b﹣3=0，解得b=2，∴二次函数解析式为y=x2+2x﹣3，抛物线开口向上，对称轴为x=﹣=﹣1，∵﹣＜﹣1＜﹣＜，且﹣1﹣（﹣）=，﹣﹣（﹣1）=，而＞，∴y1＜y2＜y3．故选A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，一元二次方程解的意义．关键是求二次函数解析式，根据二次函数的对称轴，开口方向判断函数值的大小．二、填空题13．已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为（2，﹣6）．【考点】二次函数综合题．【分析】首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x=2，又由作点C关于x=2的对称点C′，直线AC′与x=2的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．【解答】解：∵抛物线经过点A（4，0），∴×42+4b=0，∴b=﹣2，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为：直线x=2，∵点C（1，﹣3），∴作点C关于x=2的对称点C′（3，﹣3），直线AC′与x=2的交点即为D，因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；设直线AC′的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，当x=2时，y=﹣6，∴D点的坐标为（2，﹣6）．故答案为：（2，﹣6）．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴，以及距离差最小问题．此题综合性很强，解题的关键是数形结合思想的应用．14．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行600m才能停下来．【考点】二次函数的应用．【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值．【解答】解：∵a=﹣1.5＜0，∴函数有最大值．∴y最大值===600，即飞机着陆后滑行600米才能停止．故答案为：600．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键．15．如图，抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2．回答下列问题：（1）抛物线y2的解析式是y2=﹣（x﹣1）2+2，顶点坐标为（1，2）；（2）阴影部分的面积2；（3）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则抛物线y3的解析式为y3=（x+1）2﹣2，开口方向向上，顶点坐标为（﹣1，﹣2）．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】（1）根据抛物线的移动规律左加右减可直接得出抛物线y2的解析式，再根据y2的解析式求出顶点坐标即可；（2）根据阴影部分的面积等于底×高，列式计算即可；（3）先求出二次函数旋转后的开口方向和顶点坐标，从而得出抛物线y3的解析式．【解答】解：（1）∵抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到的抛物线y2，∴抛物线y2的解析式是y2=﹣（x﹣1）2+2，顶点坐标为（1，2）．故答案为：y2=﹣（x﹣1）2+2，（1，2）；（2）阴影部分的面积是：1×2=2．故答案为：2；（3）∵将抛物线y2绕原点O旋转180°后，得到抛物线y3的顶点坐标为：（﹣1，﹣2），∴抛物线y3的解析式为y3=（x+1）2﹣2，开口方向向上．故答案为：y3=（x+1）2﹣2，向上，（﹣1，﹣2）．【点评】此题考查了二次函数的图象与几何变化，用到的知识点是二次函数的图象和性质、顶点坐标，关键是掌握二次函数的移动规律和几何变换．16．如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E，则=．【考点】二次函数综合题．【分析】设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C的坐标，然后求出BC的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．【解答】解：设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2=a，解得x=，∴点B（，a），=a，则x=，∴点C（，a），∴BC=﹣．∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，∴y1=（）2=3a，∴点D的坐标为（，3a）．∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a，∴=3a，∴x=3，∴点E的坐标为（3，3a），∴DE=3﹣，∴==．故答案是：．【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表示出各点的坐标是解题的关键．17．如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是y=﹣x2+2x和y=x2+2x（答案不唯一）．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】新定义．【分析】连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），求出抛物线C1的解析式，从而求出抛物线C2的解析式．【解答】解：连接AB，根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx，根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM，∵OA=MA，∴△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），则，解得：则抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x，抛物线C2的解析式为y=x2+2x，故答案为：y=﹣x2+2x，y=x2+2x（答案不唯一）．【点评】此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．18．如图1，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=2BD，点P是 AO上一个动点，过点P 作AC 的垂线交菱形的边于M，N两点．设AP=x，△OMN的面积为y，表示y与x的函数关系大致如图2所示的抛物线．（1）图2所示抛物线的顶点坐标为（，）；（2）菱形ABCD的周长为2．【考点】动点问题的函数图象．【分析】（1）根据二次函数的图象可直接得出抛物线的顶点坐标；（2）根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AC=2AO，从而得到AO=BD，设AO=a，然后求出△AMN和△ABD相似，根据相似三角形对应高的比等于对应边的比列式表示出MN，然后根据三角形的面积列出y与x的函数关系式，再根据二次函数的最值问题求出a，从而得到AO、BO，再利用勾股定理列式求出AB，再根据菱形的周长公式求解即可．【解答】解：（1）由二次函数的图象可知抛物线的顶点坐标为（，）；（2）在菱形ABCD中，AC⊥BD，AC=2AO，∵AC=2BD，∴AO=BD，设AO=a，∵MN⊥AC，∴MN∥BD，∴△AMN∽△ABD，∴，，解得MN=x，∴△OMN的面积为y=MN•PO=x（a﹣x）=﹣（x2﹣ax）=﹣（x﹣a）2+a2，由图2可知，当x=时，y的最大值为，∴a=，解得a=1，∴AO=1，BO=BD=，在Rt△AOB中，AB==，∴菱形的周长=．故答案为：（1）（，）、（2）2．【点评】本题考查了动点问题函数图象，主要利用了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题，勾股定理，列式得到y与x的函数关系式是解题的关键．19．如图，已知函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P．点P的纵坐标为1．则关于x的方程ax2+bx+=0的解为x=﹣3．【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】探究型．【分析】先根据点P的纵坐标为1求出x的值，再把于x的方程ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式，此方程就化为求函数y=与y=ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交点的横坐标，由求出的P点坐标即可得出结论．【解答】解：∵P的纵坐标为1，∴1=﹣，∴x=﹣3，∵ax2+bx+=0化为于x的方程ax2+bx=﹣的形式，∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，∴x=﹣3．故答案为：x=﹣3．【点评】本题考查的是二次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，能把方程的解化为两函数图象的交点问题是解答此题的关键．20．如图，抛物线y=x2通过平移得到抛物线m，抛物线m经过点B（6，0）和O（0，0），它的顶点为A，以O为圆心，OA为半径作圆，在第四象限内与抛物线y=x2交于点C，连接AC，则图中阴影部分的面积为﹣12．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先求出抛物线m的解析式，得到顶点A的坐标，求出OA的长度，根据抛物线的对称性，可知阴影部分的面积=半圆的面积﹣△AOC的面积．【解答】解：∵抛物线m经过点B（6，0）和O（0，0），∴抛物线m的对称轴为直线x=3，∵抛物线y=x2通过平移得到抛物线m，∴设抛物线m的解析式为y=（x﹣3）2+k，将O（0，0）代入，得（0﹣3）2+k=0，解得k=4，∴抛物线m的解析式为y=（x﹣3）2+4，顶点A的坐标为（3，4），由勾股定理，得OA=5．连接OA、OC，由圆的对称性或垂径定理，可知C的坐标为（3，﹣4），阴影部分的面积=半圆的面积﹣△AOC的面积=•π•52﹣×8×3=﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．21．已知抛物线y=ax2﹣4ax+c经过点A（0，2），顶点B的纵坐标为3．将直线AB向下平移，与x轴、y轴分别交于点C、D，与抛物线的一个交点为P，若D是线段CP的中点，则点P 的坐标为（2，2）．【考点】二次函数综合题．【分析】根据A的坐标和顶点B的纵坐标，先求得抛物线的解析式和顶点B的坐标，然后根据A、B的坐标求得直线AB的解析式，进而设出直线PC的解析式y=x+b，因为D是线段CP的中点，得出P的纵坐标=2b，P的横坐标等于OC=2b，然后根据以上等式求得b的值，即可求得P的坐标；【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣4ax+c经过点A（0，2），∴c=2，∵y=ax2﹣4ax+2=a（x﹣2）2﹣4a+2，顶点B的纵坐标为3，∴a=﹣，抛物线的顶点B坐标为：（2，3），∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2，直线AB的解析式为：y=x+2，∵直线PC的斜率为，设直线PC的解析式为：y=x+b，∵D是线段CP的中点，∴P的纵坐标为2b，代入得横坐标x=2b，∴P（2b，2b）∴2b=﹣x2+x+2，解得：x=2+2，x=2﹣2，∴2+2=2b，2﹣2=2b，整理得：b2=2，∴b=，b=﹣，∴P的坐标为（2，2）或（﹣2，﹣2）；【点评】本题考查了待定系数法的应用，三角形中位线的性质以及平行线的性质等，本题是二次函数的综合题，根据题意找出交点的特点是本题的关键；三、解答题22．（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2﹣4q≥0）的两根为x1，x2，求证：x1+x2=﹣p，x1•x2=q．（2）已知关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，求a的值．（3）已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A．B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d2取得最小值，并求出最小值．【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系．。

【配套K12】九年级数学10月联考试题(含解析) 苏科版

江苏省连云港市东海县六校2016届九年级数学10月联考试题一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．2x+3=0 B．x2﹣2=（x+3）2C． D．x2﹣1=02．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=153．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=24．我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（）A．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想5．一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定根的情况6．一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣37．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣38．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（）A．x（x﹣11）=180 B．2x+2（x﹣11）=180 C．x（x+11）=180 D．2x+2（x+11）=180二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）9．一元二次方程5x2﹣4x+1=0，一次项系数与二次项系数的和为．10．方程x2=2的解是．11．若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为．12．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（写出一个即可）．13．若方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为．14．将x2+6x+3配方成（x+m）2+n的形式，则m= ．15．△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+15=0的根，则△ABC的周长是．16．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，所列方程是．三、简答题（本大题共8题，共102分）17．用适当的方法解下列方程（1）x2+2x=3（2）2x2﹣5x+3=0（3）（x﹣3）2﹣36=0（4）（x﹣5）2=2（x﹣5）18．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．19．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，（1）求m的值；（2）求此时方程的根．20．对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b=a2﹣ab，例如1※3=12﹣1×3=﹣2．（1）计算（﹣2）※4；（2）若x※4=0，求x的值．21．白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？22．利用一面墙（墙的长度为20m），另三边用48m长的篱笆围成一个矩形场地．（1）若场地的面积为160m2，求矩形场地的长和宽；（2）场地的面积能否达到300m2？若能，请求出矩形场地的长和宽；若不能，请说明理由．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0有实数根．（1）求n的取值范围；（2）若等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是方程的两根，求n的值和三角形的周长．24．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．设移动时间为t秒，解答下列问题：（1）用含t的代数式表示：AP= ，BP= ，BQ= ，CQ= ；（2）当t为何值时，△PBQ的面积等于8cm2？（3）是否存在t的值，使得△DPQ的面积为31cm2？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由；（4）是否存在t的值，使得△DPQ是以点D为顶点的等腰三角形？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由．江苏省连云港市东海县六校2016届九年级上学期联考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）1．下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．2x+3=0 B．x2﹣2=（x+3）2C． D．x2﹣1=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、2x+3=0是一元一次方程，故A错误；B、x2﹣2=（x+3）2，是一元一次方程，故B错误；C、x2=是分式方程，故C错误；D、x2﹣1=0是一元二次方程，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．2．一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2=15【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】计算题．【分析】方程利用配方法求出解即可．【解答】解：方程变形得：x2﹣8x=1，配方得：x2﹣8x+16=17，即（x﹣4）2=17，故选C【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．3．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x1=0，x2=2，故选D．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．4．我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是（）A．转化思想 B．函数思想 C．数形结合思想 D．公理化思想【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】上述解题过程利用了转化的数学思想．【解答】解：我们解一元二次方程3x2﹣6x=0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x（x﹣2）=0，从而得到两个一元一次方程：3x=0或x﹣2=0，进而得到原方程的解为x1=0，x2=2．这种解法体现的数学思想是转化思想，故选A．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．5．一元二次方程x2+x+=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定根的情况【考点】根的判别式．【分析】求出△的值即可判断．【解答】解：一元二次方程x2+x+=0中，∵△=1﹣4×1×=0，∴原方程由两个相等的实数根．故选B．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（）A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】根据根与系数的关系求解．【解答】解：x1•x2=﹣3．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．7．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3【考点】根与系数的关系．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．【解答】解：设一元二次方程的另一根为x1，则根据一元二次方程根与系数的关系，得﹣1+x1=﹣3，解得：x1=﹣2．故选A．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．8．某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为（）A．x（x﹣11）=180 B．2x+2（x﹣11）=180 C．x（x+11）=180 D．2x+2（x+11）=180 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】根据题意设出未知数，利用矩形的面积公式列出方程即可．【解答】解：设宽为x米，则长为（x+11）米，根据题意得：x（x+11）=180，故选C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积公式列出方程．二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）9．一元二次方程5x2﹣4x+1=0，一次项系数与二次项系数的和为 1 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项可得一元二次方程5x2﹣4x+1=0一次项系数是﹣4，二次项系数是5，然后求值即可．【解答】解：一元二次方程5x2﹣4x+1=0一次项系数是﹣4，二次项系数是5，﹣4+5=1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．10．方程x2=2的解是±．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：x2=2，x=±．故答案为±．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．11．若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为﹣3 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】将x=1代入方程得到关于m的方程，从而可求得m的值．【解答】解：将x=1代入得：1+2+m=0，解得：m=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查的是方程的解（根）的定义，将方程的解（根）代入方程得到关于m的方程是解题的关键．12．若关于x的一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是0 （写出一个即可）．【考点】根的判别式．【专题】开放型．【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=1﹣4m＞0，解得m＜，故m的值可能是0，故答案为0．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．注意本题答案不唯一，只需满足m＜即可．13．若方程x2﹣2x﹣1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 3 ．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】先根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：根据题意得x1+x2=2，x1x2=﹣1，所以x1+x2﹣x1x2=2﹣（﹣1）=3．故答案为3．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．14．将x2+6x+3配方成（x+m）2+n的形式，则m= 3 ．【考点】配方法的应用．【专题】计算题．【分析】原式配方得到结果，即可求出m的值．【解答】解：x2+6x+3=x2+6x+9﹣6=（x+3）2﹣6=（x+m）2+n，则m=3，故答案为：3【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣8x+15=0的根，则△ABC的周长是8 ．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【分析】先求得方程的根，再根据三角形三边关系判断出第三边的长，可求得三角形的周长．【解答】解：解方程x2﹣8x+15=0可得x=3或x=5，∴△ABC的第三边为3或5，但当第三边为5时，2+3=5，不满足三角形三边关系，∴△ABC的第三边长为3，∴△ABC的周长为2+3+3=8，故答案为：8．【点评】本题主要考查三角形三边关系和一元二次方程的解法，利用三角形三边关系进行验证是解题的关键．16．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，所列方程是560（1﹣x）2=315 ．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】设每次降价的百分率为x，根据题意可得，560×（1﹣降价的百分率）2=315，据此列方程即可．【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得，560（1﹣x）2=315．故答案为：560（1﹣x）2=315．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．三、简答题（本大题共8题，共102分）17．用适当的方法解下列方程（1）x2+2x=3（2）2x2﹣5x+3=0（3）（x﹣3）2﹣36=0（4）（x﹣5）2=2（x﹣5）【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）把方程左边化为完全平方式的形式，再利用直接开方法求解即可；（2）把方程左边化为两因式积的形式，进而可得出结论；（3）先移项，利用直接开方法求出x的值即可；（4）先移项，再提取公因式即可．【解答】解：（1）配方得，x2+2x+4=3﹣4，即（x+2）2=﹣1＜0，故原方程无解；（2）原方程可化为（2x+1）（x﹣3）=0，故2x+1=0或x﹣3=0，解得x1=﹣，x2=3；（3）移项得，（x﹣3）2=36，两边开方得，x﹣3=±6，故x1=9，x2=﹣3；（4）移项得，（x﹣5）2﹣2（x﹣5）=0，提取公因式得，（x﹣5）（x﹣7）=0，故x﹣5=0或x﹣7=0，解得x1=5，x2=7．【点评】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，在解答此题时要根据各方程的特点选择合适的方法．18．已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x+a﹣2=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围．（2）设方程的另一根为x1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a的值和方程的另一根．【解答】解：（1）∵b2﹣4ac=（2）2﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0，解得：a＜3．∴a的取值范围是a＜3；（2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：，解得：，则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．19．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，（1）求m的值；（2）求此时方程的根．【考点】根的判别式．【分析】（1）首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m的值；（2）根据m的值即可确定原一元二次方程，进而可求出方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+（2m﹣1）x+4=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（2m﹣1）2﹣4×1×4=4m2﹣4m﹣15=0，∴m=或﹣．当m=时，方程是x2+4x+4=0，∴（x+2）2=0，解得x1=x2=﹣2；当m=﹣时，方程是x2﹣4x+4=0，∴（x﹣2）2=0，解得x1=x2=2．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．20．对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b=a2﹣ab，例如1※3=12﹣1×3=﹣2．（1）计算（﹣2）※4；（2）若x※4=0，求x的值．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】新定义．【分析】（1）直接根据新定义得到答案；（2）根据题中的新定义a※b=a2﹣2ab，把x※4=0转化为x2﹣4x=0，然后解这个方程即可．【解答】解：（1）根据新定义可知：（﹣2）※4=（﹣2）2﹣（﹣2）×4=12；（2）由新定义a※b=a2﹣2ab可知，x※4=0转化为x2﹣4x=0，解方程x2﹣4x=0得到x1=0或x2=4．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，把新定义运算化为普通运算，得出一元二次方程是解本题的关键．21．白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷．（1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率；（2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】（1）设每绿地面积的年平均增长率为x，就可以表示出2014年的绿地面积，根据2014年的绿地面积达到82.8公顷建立方程求出x的值即可；（2）根据（1）求出的年增长率就可以求出结论．【解答】解：（1）设绿地面积的年平均增长率为x，根据意，得57.5（1+x）2=82.8解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）答：增长率为20%；（2）由题意，得82.8（1+0.2）=99.36公顷，答：2015年该镇绿地面积不能达到100公顷．【点评】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，运用增长率的数量关系建立一元二次方程的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出平均增长率是关键．22．利用一面墙（墙的长度为20m），另三边用48m长的篱笆围成一个矩形场地．（1）若场地的面积为160m2，求矩形场地的长和宽；（2）场地的面积能否达到300m2？若能，请求出矩形场地的长和宽；若不能，请说明理由．【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】（1）设该矩形的长为x（0＜x≤20），根据矩形的面积列出方程并解答；（2）假设场地的面积能否达到300m2．据此求得相应的长，看该数值是否符合题意即可．【解答】解：（1）设该矩形的长为x（0＜x≤20），根据题意得：（48﹣x）x=160，解得x=40（舍去）或x=8，则（48﹣x）=（48﹣8）=10．答：矩形场地的长是8cm，宽是10cm；（2）设长为ym，根据题意得：（48﹣x）x=300，整理得：y2﹣48y+600=0，∵b2﹣4ac=2304﹣2400=﹣96＜0，∴此方程无实数根．答：场地的面积不能达到300m2．【点评】本题考查了矩形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，根据题意结合矩形面积得出等式方程是解题关键．23．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0有实数根．（1）求n的取值范围；（2）若等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是方程的两根，求n的值和三角形的周长．【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）方程有实数根，则△≥0，建立关于n的不等式，求出m的取值范围．（2）由三角形是等腰三角形，得到①a=2，或b=2，②a=b①当a=2，或b=2时，得到方程的根x=2，把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0即可得到结果；②当a=b时，方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根，由△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0可的结果．【解答】解：（1）依题意得：△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）≥0，即10﹣n≥0，解得n≤10；（2）∵三角形是等腰三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况，①当a=2，或b=2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，∴x=2，把x=2代入x2﹣6x+n﹣1=0得，22﹣6×2+n﹣1=0，解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n=9不合题意，②当a=b时，方程x2﹣6x+n﹣1=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0解得：n=10，综上所述，n=10．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的应用．解题时，注意分类讨论思想的应用．24．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．设移动时间为t秒，解答下列问题：（1）用含t的代数式表示：AP= t ，BP= 6﹣t ，BQ= 2t ，CQ= 12﹣2t ；（2）当t为何值时，△PBQ的面积等于8cm2？（3）是否存在t的值，使得△DPQ的面积为31cm2？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由；（4）是否存在t的值，使得△DPQ是以点D为顶点的等腰三角形？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据代数式的定义列出代数式即可．（2）根据运动速度表示出长度和三角形面积公式列出方程．（3）根据运动速度表示出长度和三角形面积公式列出方程；（4）根据等腰三角形的判定求出不同情况下的解．【解答】解：（1）设移动时间为t秒，AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，CQ=12﹣2t；故答案为：t；6﹣t；2t；12﹣2t；（2）由题意得：×（6﹣t）×2t=8∴t=2或t=4∴当t=2或t=4时△PBQ的面积等于8cm2；（3）由题意得：×（6﹣t）×2t=31可得：t2﹣6t+5=0，∴t=1或t=5∴当t=1或t=5时△DPQ的面积为31cm2，（4）①当DP=DQ时，由题意得122+t2=62+（12﹣2t）2，解得：（舍去）②当DP=PQ时，由题意得122+t2=（6﹣t）2+（2t）2，解得（舍去），③当DQ=PQ时，由题意得62+（12﹣2t）2=（6﹣t）2+（2t）2，解得（舍去），综上所述，当t为，或时，△PDQ等腰三角形【点评】本题考查矩形的性质，三角形的面积以及等腰三角形的判定定理，能够熟练掌握矩形的性质并能进行一些简单的计算．。

配套K12全效学习2016版中考数学易错提分练三统计与概率练习(含解析)

统计与概率一、选择题1．(重庆中考)下列调查中，最适宜采用全面调查方式(普查)的是 (C) A ．对重庆市中学生每天学习所用时间的调查 B ．对全国中学生心理健康现状的调查C ．对某班学生进行6月5日“世界环境日”知晓情况的调查D ．对重庆市初中学生课外阅读量的调查【易错分析】对全面调查与抽样调查概念理解不透．普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 2．(邹平期末)某校学生来自甲乙丙三个地区，其人数比为2∶7∶3，如图Y3－1的扇形图表示上述分布情况．如果来自甲地区的有180人，则下列说法错误的是 (B) A ．该校学生的总数是1 080人 B ．扇形甲的圆心角是36° C ．该校来自乙地区的有630人D ．扇形丙的圆心角是90°【易错分析】对扇形统计图所表示的百分比不理解．A.该校学生的总数是180÷22＋7＋3＝1 080(人)，正确；B.扇形甲的圆心角是360°×212＝60°，故本选项错误；C.该校来自乙地区的人数是：1 080×712＝630(人)，正确；D.扇形丙的圆心角是360°×312＝90°，正确．3．(宜宾中考)今年4月，全国山地越野车大赛在我市某区举行，其中8名选手某项得分如下表：则这8 (C) A ．85，85 B ．87，85 C ．85，86 D ．85，87【易错分析】众数和中位数的概念混淆，众数就是一组数据中出现次数最多的数，中位数就是将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列后处在最中间的数(奇数个数)或中间两数的平均数(偶数个数)．注意：众数是出现次数最多的数字，不是次数，如本题中是85，不是3.4．(德州中考)经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能左转或者右转．如果这三种可能性大小相同，则经过这个十字路口的两辆汽车一辆左转，一辆右转的概率是 (C) A.47B.49C.29D.19【易错分析】不善于列表或树形图，从而求出的可能性不正确．5．(毕节中考)小颖将一枚质地均匀的硬币连续掷了三次，你认为三次都是正面朝上的概率是 (D) A.12B.13C.14D.18【易错分析】对这一事件“连续掷了三次”理解不到位，不善于列表或树形图求所有可能图Y3－1的结果数． 6．(抚顺模拟)一个不透明的口袋里装有红、黑、绿三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同)，其中红球有2个，黑球有1个，绿球有3个，第一次任意摸出一个球(不放回)，第二次再摸出一个球，则两次摸到的都是红球的概率为(D) A.118B.19C.215D.115【易错分析】列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．注意放回与不放回的区别．列表如下：所有等可能的情况有30种，其中两次都是红球的情况有2种，则P ＝230＝115.二、填空题7．(黄浦区二模)某校八年级共四个班，各班寒假外出旅游的学生人数如图Y3－2所示，那么三班外出旅游学生人数占全年级外出旅游学生人数的百分比为__40%__．图Y3－2 【易错分析】不会看条形统计图所表示的意义．三班外出旅游学生人数占全年级外出旅游学生人数的百分比为2012＋8＋20＋10×100%＝40%.8．在－1，0，13，1，2，3中任取一个数，取到无理数的概率是__13__．【易错分析】找无理数出错．有6种等可能的结果，其中无理数有：2，3共2种情况，则可利用概率公式求解．9．(上海中考)已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是__14__岁．【易错分析】利用表中数据计算中位数易错．10．(嘉定区二模)某班40名学生参加了一次“献爱心一日捐”活动，捐款人数与捐款额如图Y3－3所示，根据图中所提供的信息，你认为这次捐款活动中40个捐款额的中位数是__15__元．【易错分析】不会看折线统计图，把中位数与众数混淆．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．∵捐款的总人数为40，第20个与第21个数据都是15元， ∴中位数是15元．11．(河北模拟)已知一组数据1，3，a ，6，6的平均数为4，则这组数据的方差为__3.6__．【易错分析】不会对平均数、方差公式进行变形运用， ∵数据1，3，a ，6，6的平均数为4， ∴(1＋3＋a ＋6＋6)÷5＝4，∴a ＝4，∴这组数据的方差15[(1－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(6－4)2＋(6－4)2]＝3.6.12．(娄底中考)五张分别写有－1，2，0，－4，5的卡片(除数字不同以外，其余都相同)，现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字是负数的概率是__25__．【易错分析】对概率的计算公式理解不透，应用模糊．三、解答题13．(漳州中考)在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的小球，小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两个球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜．(1)请用树状图或列表的方法，求小明获胜的概率； (2)这个游戏公平吗？请说明理由．【易错分析】 (1)不会用树状图或列表求概率； (2)判断游戏是否公平的原则不明确．解：(1)根据题意画图如答图，第13题答图∵从表中可以看出所有可能结果共有12种，其中数字之和小于9的有4种， ∴P (小明获胜)＝412＝13；(2)∵P (小明获胜)＝13，∴P (小东获胜)＝1－13＝23，∴这个游戏不公平．14．(图Y3－3(1)求这5(2)为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分＝个人成绩－平均成绩标准差；(说明：标准差为方差的算术平方根)从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A 同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？【易错分析】 (1)对平均数、方差的概念及计算公式掌握不牢；(2)计算错误．解：(1)数学成绩的平均分为：71＋72＋69＋68＋705＝70；英语成绩的方差为：15[(88－85)2＋(82－85)2＋(94－85)2＋(85－85)2＋(76－85)2]＝36；(2)A 同学数学标准分为：71－702＝22.A 同学英语标准分为：88－856＝12，因为22＞12，所以A 同学在本次考试中，数学考得更好． 15．(舟山中考)小敏为了解本市的空气质量情况，从环境监测网随机抽取了若干天的空气质量作为样本进行统计，绘制了如图Y3－4所示的条形统计图和扇形统计图．(部分信息未给出)图Y3－4请你根据图中提供的信息，解答下列问题； (1)计算被抽取的天数；(2)请补全条形统计图，并求扇形统计图中表示优的扇形的圆心角的度数； (3)请估计该市这一年(365天)达到优和良的总天数．【易错分析】读不懂统计图，不能从不同的统计图中得到必要的信息．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．解：(1)32÷64%＝50(天)；(2)轻微污染天数是5天，图略；表示优的扇形的圆心角的度数是850×360°＝57.6°；(3)8＋3250×365＝292(天)．16．(襄阳中考)“端午节”吃粽子是我国流传了上千年的习俗．某班学生在“端午节”前组织了一次综合实践活动，购买了一些材料制作爱心粽，每人从自己制作的粽子中随机选取两个献给自己的父母，其余的全部送给敬老院的老人们．统计全班学生制作粽子的个数，将制作粽子数量相同的学生分为一组，全班学生可分为A ，B ，C ，D 四个组，各组每人制作的粽子个数分别为4，5，6，7.根据图Y3－5的不完整的统计图解答下列问题：图Y3－5(1)请补全上面两个统计图(不写过程)；(2)该班学生制作粽子个数的平均数是__6__；(3)若制作的粽子有红枣馅(记为M )和蛋黄馅(记为N )两种，该班小明同学制作这两种粽子各两个混放在一起，请用列表或画树状图的方法求小明献给父母的粽子馅料不同的概率．【易错分析】 (1)读不懂统计图，不能从不同的统计图中得到必要的信息．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．(2)不能列表或树状图求概率；(3)不善于把统计与概率综合运用．解：(1)如答图；第16题答图(3)根据题意列表，由表格可知，共有128种，∴P (馅料不同)＝812＝23.。

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第十单元相似形【测试范围：第十单元时间：120分钟分值：150分】一、选择题(每题4分，共40分)1．若a b ＝35，则a ＋b b的值为(A )A.85B.35C.32D.58【解析】 ∵a b ＝35，∴a ＝35b ，∴a ＋b b ＝35b ＋bb ＝85.2．如图1，每个小正方形的边长均为1，则下列选项中的三角形(阴影部分)与图1中△ABC 相似的是 (B)【解析】已知给出的三角形的各边AB ，CB ，AC 分别为2，2，10，只有选项B 的各边分别为1，2，5与它的各边对应成比例．故选B. 3．如图2，给出下列条件：①∠B ＝∠ACD ；②∠ADC ＝∠ACB ；③AC CD ＝ABBC；④AC 2＝AD ·AB .其中单独能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为 (C )A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】有3个．①∠B ＝∠ACD ，再加上∠A 为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC ＝∠ACB ，再加上∠A 为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中两组对应边的比相等，∠A 不是对应边的夹角，故不能判定；④可以根据两组对应边的比相等且对应的夹角相等的两个三角形相似来判定．故选C.4．如图3是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的A 端时，杠杆绕C 点转动，另一端B 向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起10 cm ，已知杠杆的动力臂AC 与阻力臂BC 之比为5∶1，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A 端向下压(C ) A ．100 cm B ．60 cm C ．50 cm D ．10 cm 5．如图4，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若AD ∶AB ＝3∶4，AE ＝6，则AC 等于 (D ) A ．3 B ．4 C ．6 D ．8 图1图2图3【解析】 ∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AEAC， ∴34＝6AC，解得AC ＝8. 6．若△ABC ∽△DEF ，△ABC 与△DEF 的相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为 (B ) A ．1∶4 B ．1∶2C ．2∶1D ．1∶ 2 【解析】相似三角形的周长比等于相似比，故选B.7．[2014·毕节]如图5，△ABC 中，AE 交BC 于点D ，∠C ＝∠E ，AD ∶DE ＝3∶5，AE ＝8，BD ＝4，则DC 的长等于(A) A.154 B.125 C.203D.174【解析】根据已知条件得出△ADC ∽△BDE ，然后依据对应边成比例可求得DC 的长．∵∠C ＝∠E ，∠ADC ＝∠BDE ， ∴△ADC ∽△BDE ，∴DC DE ＝AD BD，又∵AD ∶DE ＝3∶5，AE ＝8， ∴AD ＝3，DE ＝5， ∵BD ＝4，∴DC 5＝34，∴DC ＝154. 8．如图6，PAB ，PCD 为⊙O 的两条割线，AD ，BC 相交于点E ，则图中相似三角形共有 (C ) A ．0对 B ．1对 C ．2对 D ．3对【解析】 ∵∠BEA ＝∠DEC ，∠B ＝∠D ， ∴△ABE ∽△CDE .∵∠B ＝∠D ，∠P ＝∠P ，∴△PBC ∽△PDA ， ∴共有两对相似三角形．9．[2014·宁波]如图7，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACD ＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为 (C )A ．2∶3B ．2∶5C ．4∶9 D.2∶ 310．如图8，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 为OD 的中点，连结AE 并延长交DC 于点F ，则DF ∶FC ＝ (D )A ．1∶4B ．1∶3C ．2∶3D ．1∶2 二、填空题(每题5分，共30分) 图5图6图7图811．[2015·虹口区一模]如图9，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线l 1，l 2于点A ，D ，F 和点B ，C ，E ，如果AD ＝6，DF ＝3，BC ＝5，那么BE ＝__7.5__．【解析】 ∵AB ∥CD ∥EF ，∴AD DF ＝BC CE ，即63＝5CE，解得CE ＝2.5，∴BE ＝BC ＋CE ＝5＋2.5＝7.5.12．[2014·滨州]如图10，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分．则AD AB ＝2．图1013．[2015·伊春模拟]如图11，在△ABC 中，D 为AB 边上的一点，要使△ABC ∽△AED 成立，还需要添加一个条件为__∠ADE ＝∠C 或∠AED ＝∠B 或AD AC ＝AEAB__．【解析】 ∵∠B ＝∠AED ，∠A ＝∠A ， ∴△ABC ∽△AED ，同理可得：∠ADE ＝∠C 或AD AC ＝AEAB，可以得出△ABC ∽△AED .14．如图12，⊙O 的两弦AB ，CD 交于点P ，连结AC ，BD ，得S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，则AC ∶BD ＝__4∶3__．【解析】相似三角形对应边的比等于面积比的算术平方根．由同弧所对的圆周角相等，易知∠B ＝∠C ，∠D ＝∠A ， ∴△ACP ∽△DBP ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫AC BD 2＝S △ACP S △DBP ＝169，∴AC BD ＝169＝43. 15．如图13，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD ＝∠ABC ，若AC ＝2，AD ＝1，则DB ＝__3__．【解析】由于∠ACD ＝∠ABC ，∠BAC ＝∠CAD ，所以△ADC ∽△ACB ，所以AC AB ＝AD AC，即AB ·AD＝AC 2，图9图11图12图13则AB ＝AC 2AD＝4，所以BD ＝AB －AD ＝3.16．[2014·菏泽]如图14，在△ABO 中，∠AOB ＝90°，点A 在第一象限，点B 在第四象限，且AO ∶BO ＝1∶ 2.若点A (x 0，y 0)的坐标满足y 0＝1x 0，则点B (x ，y )的坐标x ，y 所满足的关系式为__y ＝－2x__．【解析】设点B 在反比例函数y ＝k x(k ＜0)上，分别过点A ，B 作AC ，BD 分别垂直y 轴于点C ，D ，∵∠ACO ＝∠BDO ＝90°，∠AOC ＋∠BOD ＝90°， ∠AOC ＋∠OAC ＝90°， ∴∠OAC ＝∠BOD ， ∴△AOC ∽△OBD ，∴S △AOC S △BOD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12， ∵点A (x 0，y 0)的坐标x 0，y 0满足y 0＝1x 0，∴S △AOC ＝12，∴S △BOD ＝1，∴k ＝－2，∴点B (x ，y )的坐标x ，y 所满足的关系式为y ＝－2x.三、解答题(共80分)17．(8分)如图15，△ABC ∽△DAB ，AB＝8，BC ＝12，求AD 的长．图15解：∵△ABC ∽△DAB ， ∴BC AB ＝AB AD.又∵AB ＝8，BC ＝12， ∴128＝8AD ， ∴AD ＝163.图14第16题答图18.(8分)如图16，四边形ABCD 是平行四边形，点F 在BA 的延长线上，连结CF 交AD 于点E .(1)求证：△CDE ∽△FAE ；(2)当E 是AD 的中点，且BC ＝2CD 时，求证：∠F ＝∠BCF.图16证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ∥AB ，即CD ∥FA ， ∴△CDE ∽△FAE ；(2)∵△CDE ∽△FAE ，DE ＝EA ， ∴△CDE ≌△FAE ， ∴CD ＝AF ， ∴BF ＝2CD . ∵BC ＝2CD ， ∴BF ＝BC ， ∴∠F ＝∠BCF .19．(8分)[2015·杭州模拟]如图17，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝∠α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G .(1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连结FG ，如果∠α＝45°，AB ＝42，AF ＝3，求FC 和FG 的长．解：(1)△AME ∽△MFE ，△BMD ∽△MGD ， △AMF ∽△BGM ，∵∠AMD ＝∠B ＋∠D ，∠BGM ＝∠DMG ＋∠D ，又∠B ＝∠A ＝∠DME ＝∠α， ∴∠AMF ＝∠BGM ， ∴△AMF ∽△BGM ； (2)连结FG ，由(1)知，△AMF ∽△BGM ， ∴BG AM ＝BM AF，∴BG ＝83，∵∠A ＝∠B ＝∠α＝45°，∴△ABC 为等腰直角三角形， ∵M 是线段AB 中点，AB ＝42， ∴AM ＝BM ＝22，AC ＝BC ＝4，CF ＝AC －AF ＝1，CG ＝4－83＝43，图17第19题答图∴由勾股定理得FG ＝53.20．(8分)[2015·蓬溪模拟]小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB 的高度：如图18，在水平地面点E 处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE ＝20 m ．当她与镜子的距离CE ＝2.5 m 时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B .已知她的眼睛距地面高度DC ＝1.6 m ，请你帮助小红测量出大楼AB 的高度(注：入射角＝反射角)．图18解：∵根据反射定律知∠FEB ＝∠FED ， ∴∠BEA ＝∠DEC ，∵∠BAE ＝∠DCE ＝90°， ∴△BAE ∽△DCE ， ∴AB DC ＝AE EC；∵CE ＝2.5 m ，DC ＝1.6 m ，AE ＝20 m ，∴AB 1.6＝202.5； ∴AB ＝12.8，∴大楼AB 的高为12.8 m.21．(10分)如图19，直线MN 交⊙O 于A ，B 两点，AC 是直径，AD 平分∠CAM 交⊙O 于D ，过D 作DE ⊥MN 于E . (1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝6 cm ，AE ＝3 cm ，求⊙O 的半径．解：(1)证明：如答图，连结OD . ∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ， ∵∠OAD ＝∠DAE ，∴∠ODA ＝∠DAE ，∴DO ∥MN ，∵DE ⊥MN ，∴∠ODE ＝∠DEM ＝90°，即OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线； (2)如答图，连结CD .∵∠AED ＝90°，DE ＝6，AE ＝3， ∴AD ＝35，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝∠AED ＝90°， ∵∠CAD ＝∠DAE ， ∴△ACD ∽△ADE ，∴AD AE ＝AC AD ，即353＝AC 35，则AC＝15，∴⊙O 的半径是7.5 cm. 图19第21题答图22．(12分)[2014·甘孜]如图20，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 的中点O 为圆心，OA 为半径的圆交AC 于点D ，E 是BC 的中点，连结DE ，OE . (1)判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)求证：BC 2＝2CD ·OE ；(3)若cos ∠BAD ＝35，BE ＝143，求OE 的长．图20解：(1)DE 与⊙O 相切．理由如下：如答图①，连结OD ， ∴∠BOD ＝2∠BAD ，∵O 是AB 的中点，E 是BC 的中点， ∴OE ∥AC ，∴∠BAD ＝∠BOE ， ∴∠BOD ＝2∠BOE ，∴∠DOE ＝∠BOD －∠BOE ＝∠BOE ， ∵OB ＝OD ，OE 为公共边， ∴△OBE ≌△ODE (SAS )， ∴∠ODE ＝∠OBE ＝90°， ∴DE 与⊙O 相切；(2)证明：如答图②，连结BD ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵∠ABC ＝90°， ∴∠C ＝∠ABD ， ∴△BCD ∽△ACB ， ∴BC AC ＝CD BC，∴BC 2＝CD ·AC ，∵O 是AB 的中点，E 是BC 的中点， ∴AC ＝2OE ，∴BC 2＝CD ·2OE ，即BC 2＝2CD ·OE ； (3)∵E 是BC 的中点，BE ＝143， ∴BC ＝283，∵在△ABC 中，∠ABC ＝90°，cos ∠BAD ＝AB AC ＝35，第22题答图①第22题答图②∴BC AC ＝45，∴AC ＝283×54＝353，由(2)知AC ＝2OE ，∴OE ＝356.23．(12分)如图21，已知⊙O 是等腰直角三角形ADE 的外接圆，∠ADE ＝90°，延长ED 到C ，使DC ＝AD ，以AD ，DC 为邻边作正方形ABCD ，连结AC ，连结BE 交AC 于点H . 求证：(1)AC 是⊙O 的切线； (2)HC ＝2AH .证明：(1)∵在等腰直角三角形ADE 中，∠EAD ＝45°，又∵AC 是正方形ABCD 的对角线， ∴∠DAC ＝45°，∴∠EAC ＝∠EAD ＋∠DAC ＝45°＋45°＝90°，又∵点A 在⊙O 上，AE 为⊙O 的直径， ∴AC 是⊙O 的切线；(2)∵在正方形ABCD 中，AD ＝DC ＝AB ，在等腰直角三角形ADE 中，AD ＝ED ， ∴EC ＝2AB ，∵AB ∥DC ， ∴△ABH ∽△CEH ， ∴HC AH ＝EC AB＝2，∴HC ＝2AH . 24．(14分)[2014·金华]如图22，等边三角形ABC 的边长为6，在AC ，BC 边上各取一点E ，F ，连结AF ，BE 相交于点P . (1)若AE ＝CF ，①求证：AF ＝BE ，并求∠APB 的度数； ②若AE ＝2，试求AP ·AF 的值；(2)若AF ＝BE ，当点E 从点A 运动到点C 时，试求点P 经过的路径长．解：(1)①证明：∵三角形ABC 为等边三角形， ∴AB ＝AC ，∠BAC ＝∠C ＝60°， ∵AE ＝CF ，∴△BAE ≌△ACF (SAS )， ∴∠ABE ＝∠CAF ；∵∠APB ＝∠CAF ＋∠AEB ，∴∠APB ＝∠ABE ＋∠AEB ＝180°－60°＝120°； ②∵∠AEB ＝∠AEP ，∠ABE ＝∠CAF ， ∴△BAE ∽△APE ， ∴AP AB ＝AE BE， ∵AB ＝6，AE ＝2，∴AP 6＝2AF， ∴AP ·AF ＝6×2＝12；图21图22(2)此题分两种情况，第一种：如答图①，点P 经过的路径长为43π3；第二种：如答图②，点P 经过的路径长为3 3.② 第24题答图。

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