g (-1)
=52,若有穷数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫f (n )g (n )(n ∈N *
)的前n 项和等于3132,则n 等于( )
A .4
B .5
C .6
D .7 二、填空题
7.若等差数列{a n }满足a 7+a 8+a 9>0,a 7+a 10<0,则当n =_______时,{a n }的前n 项和最大. 8.已知函数f (x )=2sin x ,g (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2-x ,直线x =m 与f (x ),g (x )
的图象分别交于M 、N 两点,则|MN |的最大值为________.
9.如图,在平行四边形ABCD 中,已知AB =8,AD =5,CP →=3PD →,AP →·BP →=2,则AB →·AD →的值是________.
10.已知函数f (x )=|x 2+3x |,x ∈R .若方程f (x )-a |x -1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为________. 三、解答题
11.为保增长、促发展,某地计划投资甲、乙两项目,市场调研得知,甲项目每投资百万元需要配套电能2万千瓦,可提供就业岗位24个,增加GDP260万元;乙项目每项投资百万元需要配套电能4万千瓦,可提供就业岗位32个,增加GDP200万元,已知该地为甲、乙两项目最多可投资3000万元,配套电能100万千瓦,并要求它们提供的就业岗位不少于800个,如何安排甲、乙两项目的投资额,增加的GDP 最大?
12.已知各项全不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =n (1+a n )
2
,n ∈N *.
(1)求证:数列{a n }为等差数列;
(2)若a 2=3,求证:当n ∈N *
时,1a 1a 2+1a 2a 3+…+1
a n a n +1<1
2
.
13.已知函数f (x )=ln x -ax +1在x =2处的切线斜率为-1
2.
(1)求实数a 的值及函数f (x )的单调区间;
(2)设g (x )=x 2+2kx +k
x ,对∀x 1∈(0,+∞),∃x 2∈(-∞,0)使得f (x 1)≤g (x 2)成立,求
正实数k 的取值范围;
(3)证明:ln 222+ln 332+…+ln n n 2<2n 2-n -1
4(n +1)(n ∈N *,n ≥2).
参考答案
1.定义一种运算“*”:对于自然数n 满足以下运算性质: (ⅰ)1*1=1,(ⅱ)(n +1)*1=n *1+1,则n *1等于( ) A .n B .n +1 C .n -1 D .n 2
答案 A
解析 由(n +1)*1=n *1+1,得n *1=(n -1)*1+1=(n -2)*1+2=…=1*1+(n -1). 又∵1*1=1,∴n *1=n .
2.已知数列:11,21,12,31,22,13,41,32,23,1
4,…,依它的前10项的规律,这个数列的第2013项a 2013
满足( )
A .010
B.1
10≤a 2013<1 C .1≤a 2013≤10 D .a 2013>10
答案 A
解析 数列中项的规律:分母每一组中从小到大排列:(1),(1,2),(1,2,3),(1,2,3,4),…;分子每一组中从大到小排列(1),(2,1),(3,2,1),(4,3,2,1),…,由以上规律知a 2013=460=1
15.
3.已知a >b >0,且ab =1,若02
,q =log c (
1
a +b
)2
,则p ,q 的大小关系是( )
A .p >q
B .p C .p =q
D .p ≥q
答案 B 解析 ∵
a 2+
b 2
2
>ab =1,∴p =log c a 2+b 2
2
<0.
又q =log c (
1
a +b
)2
=log c
1
a +
b +2ab >log
c 14ab
=log c 1
4>0,∴q >p .
4.已知平面α,β,直线l ,若α⊥β,α∩β=l ,则( ) A .垂直于平面β的平面一定平行于平面α B .垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α C .垂直于平面β的平面一定平行于直线l D .垂直于直线l 的平面一定与平面α,β都垂直 答案 D
解析 对于A ,垂直于平面β的平面与平面α平行或相交,故A 错;对于B ,垂直于直线l 的直线与平面
α垂直或斜交,故B 错;对于C ,垂直于平面β的平面与直线l 平行或相交,故C 错;易知D 正确. 5.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
(x ≥0)
x 2 (x <0)
,则f [f (x )]≥1的充要条件是( )
A .x ∈(-∞,-2]
B .x ∈[42,+∞)
C .x ∈(-∞,-1]∪[42,+∞)
D .x ∈(-∞,-2]∪[4,+∞) 答案 D
解析 当x ≥0时,f [f (x )]=x
4
≥1,所以x ≥4;