g (－1)
＝52，若有穷数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫f (n )g (n )(n ∈N *
)的前n 项和等于3132，则n 等于( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7 二、填空题
7．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝_______时，{a n }的前n 项和最大． 8．已知函数f (x )＝2sin x ，g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－x ，直线x ＝m 与f (x )，g (x )
的图象分别交于M 、N 两点，则|MN |的最大值为________．
9．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．
10．已知函数f (x )＝|x 2＋3x |，x ∈R .若方程f (x )－a |x －1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为________． 三、解答题
11．为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知，甲项目每投资百万元需要配套电能2万千瓦，可提供就业岗位24个，增加GDP260万元；乙项目每项投资百万元需要配套电能4万千瓦，可提供就业岗位32个，增加GDP200万元，已知该地为甲、乙两项目最多可投资3000万元，配套电能100万千瓦，并要求它们提供的就业岗位不少于800个，如何安排甲、乙两项目的投资额，增加的GDP 最大？
12．已知各项全不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n (1＋a n )
2
，n ∈N *.
(1)求证：数列{a n }为等差数列；
(2)若a 2＝3，求证：当n ∈N *
时，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1
a n a n ＋1<1
2
.
13．已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1在x ＝2处的切线斜率为－1
2.
(1)求实数a 的值及函数f (x )的单调区间；
(2)设g (x )＝x 2＋2kx ＋k
x ，对∀x 1∈(0，＋∞)，∃x 2∈(－∞，0)使得f (x 1)≤g (x 2)成立，求
正实数k 的取值范围；
(3)证明：ln 222＋ln 332＋…＋ln n n 2<2n 2－n －1
4(n ＋1)(n ∈N *，n ≥2)．
参考答案
1．定义一种运算“*”：对于自然数n 满足以下运算性质： (ⅰ)1*1=1，(ⅱ)(n +1)*1=n *1+1,则n *1等于( ) A ．n B ．n ＋1 C ．n －1 D ．n 2
答案 A
解析 由(n ＋1)*1＝n *1＋1，得n *1＝(n －1)*1＋1＝(n －2)*1＋2＝…＝1*1+(n －1). 又∵1*1=1，∴n *1=n .
2．已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，1
4，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2013项a 2013
满足( )
A ．010
B.1
10≤a 2013<1 C ．1≤a 2013≤10 D ．a 2013>10
答案 A
解析 数列中项的规律：分母每一组中从小到大排列：(1)，(1,2)，(1,2,3)，(1,2,3,4)，…；分子每一组中从大到小排列(1)，(2,1)，(3,2,1)，(4,3,2,1)，…，由以上规律知a 2013＝460＝1
15.
3．已知a >b >0，且ab ＝1，若02
，q ＝log c (
1
a ＋b
)2
，则p ，q 的大小关系是( )
A ．p >q
B ．p C ．p ＝q
D ．p ≥q
答案 B 解析 ∵
a 2＋
b 2
2
>ab ＝1，∴p ＝log c a 2＋b 2
2
<0.
又q ＝log c (
1
a ＋b
)2
＝log c
1
a ＋
b ＋2ab >log
c 14ab
＝log c 1
4>0，∴q >p .
4．已知平面α，β，直线l ，若α⊥β，α∩β＝l ，则( ) A ．垂直于平面β的平面一定平行于平面α B ．垂直于直线l 的直线一定垂直于平面α C ．垂直于平面β的平面一定平行于直线l D ．垂直于直线l 的平面一定与平面α，β都垂直 答案 D
解析 对于A ，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A 错；对于B ，垂直于直线l 的直线与平面
α垂直或斜交，故B 错；对于C ，垂直于平面β的平面与直线l 平行或相交，故C 错；易知D 正确． 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
(x ≥0)
x 2 (x <0)
，则f [f (x )]≥1的充要条件是( )
A ．x ∈(－∞，－2]
B ．x ∈[42，＋∞)
C ．x ∈(－∞，－1]∪[42，＋∞)
D ．x ∈(－∞，－2]∪[4，＋∞) 答案 D
解析 当x ≥0时，f [f (x )]＝x
4
≥1，所以x ≥4；
