高考数学考前三个月复习冲刺专题1第1练小集合,大功能
高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题1 集合与常用逻辑用语 第5练 如何
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第5练如何让“线性规划”不失分[题型分析·高考展望] “线性规划”是高考每年必考的内容，主要以选择题、填空题的形式考查，题目难度大多数为低、中档，在填空题中出现时难度稍高．二轮复习中,要注重常考题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时,不丢分．体验高考1．(2015·天津)设变量x，y满足约束条件错误!则目标函数z＝x＋6y的最大值为( ）A．3 B．4 C．18 D．40答案C解析画出约束条件的可行域如图中阴影部分，作直线l：x＋6y＝0,平移直线l可知，直线l过点A时，目标函数z＝x＋6y取得最大值，易得A(0，3）,所以z max＝0＋6×3＝18，选C。
2．(2015·陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A3212B128A。
2013版高考数学考前3个月(上)专题复习课件专题一第一讲集合与常用逻辑用语
{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”，那么符合此条件
的“理想配集”的个数是(规定(A，B)与(B，A)是两个不同
本 的“理想配集”)
()
讲
栏 A.4
B.8
C.9
D.16
目
开 关
解析 由 A 与 B 是集合 I 的子集，且 A∩B＝{1,2}，得 A，B
应为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}中的一个.
题型与方法
第一讲
例 1 (2012·陕西)集合 M＝{x|lg x>0}，N＝{x|x2≤4}，则 M∩N
＝
( C)
本 讲
A.(1,2)
B.[1,2)
C.(1,2]
栏 目
解析 M＝{x|lg x>0}＝{x|x>1}，
开 关
N＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，
D.[1,2]
∴M∩N＝(1,2].
第一讲
5.（2011·福建改编）在整数集 Z 中，被 5 除所得余数为 k 的
所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k
＝0,1,2,3,4，给出如下四个结论：
本 讲
①2 011∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
栏 目
④“ 整 数 a ， b 属 于 同 一 ‘ 类 ’” 的 充 要 条 件 是 “a －
讲 栏
一个命题的逆命题与它的否命题同真同假．
目
开
关
考点与考题
第一讲
3.含有一个量词的否定
(1)全称命题 p：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x0∈M，綈 p(x0)
本 讲
高考数学考前3个月知识方法专题训练第一部分知识方法篇专题1集合与常用逻辑用语第2练用好逻辑用语突破充要
第2练用好逻辑用语，突破充要条件[题型分析·高考展望] 逻辑用语是高考常考内容，充分、必要条件是重点考查内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度以低、中档为主，在二轮复习中，本部分应该重点掌握四种命题的真假判断、否命题与命题的否定的区别、含有量词的命题的否定的求法、充分必要条件的判定与应用，这些知识被考查的概率都较高，特别是充分、必要条件几乎每年都有考查．体验高考1．(2015·山东)若m∈R, 命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( ) A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0答案 D解析原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”．∴所求命题为“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．2．(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.3．(2015·重庆)“x＞1”是“(x＋2)＜0”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析(x＋2)＜0⇔x＋2＞1⇔x＞－1，因此选B.4．(2015·四川)设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若a＞b＞1，那么log2a＞log2b＞0；若log2a＞log2b＞0，那么a＞b＞1，故选A. 5．(2016·浙江)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2答案 D解析全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，n≥x2的否定是n＜x2，故选D.高考必会题型题型一命题及其真假判断常用结论：(1)原命题与逆否命题等价，同一个命题的逆命题、否命题等价；(2)四个命题中，真命题的个数为偶数；(3)只有p、q都假，p∨q假，否则为真，只有p、q都真，p∧q真，否则为假；(4)全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题，一个命题与其否定不会同真假．例1 (1)(2015·安徽)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线。
2021考前3个月文科数学(通用版)三轮冲刺 考前抢分知识回扣1 集合与常用逻辑用语
考前回扣回扣1集合与常用规律用语1．集合(1)集合的运算性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁U A⊇∁U B.(2)子集、真子集个数计算公式：对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.(3)数轴和Venn图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要遗忘集合本身和空集这两种特殊状况．补集思想常运用于解决否定型或正面较简单的有关问题．2．四种命题及其相互关系(1)(2)互为逆否命题的两命题同真同假．3．含有规律联结词的命题的真假(1)命题p∨q：若p、q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真．(2)命题p∧q：若p、q中至少有一个为假，则命题为假命题，p、q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真．(3)命题綈p与命题p真假相反．4．全称命题、特称命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为特称命题綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题綈p：∀x∈M，綈p(x)．5．充分条件和必要条件(1)若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(2)若p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件；(3)若p⇔q，则称p是q的充要条件；(4)若p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分也不必要条件．1．描述法表示集合时，肯定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要留意元素的互异性．4．空集是任何集合的子集．由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析争辩A＝∅的状况．5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”．6．在对全称命题和特称命题进行否定时，不要忽视对量词的转变．7．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．1．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3答案B解析∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m∈{1,3，m}，∴m＝1或m＝3或m＝m，由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.2．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是()A．{a|a≥2} B．{a|a≤1}C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}答案A解析若A⊆B，则a≥2，故选A.3．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于()A．{x|－3<x<5}B．{x|－5<x<5}C．{x|x<－5或x>－3}D．{x|x<－3或x>5}答案 C解析 在数轴上表示集合M 、N ， 则M ∪N ＝{x |x <－5或x >－3}，故选C.4．满足条件{a }⊆A ⊆{a ，b ，c }的全部集合A 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 D解析 满足题意的集合A 可以为{a }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，b ，c }，共4个．5．已知集合U ＝R (R 是实数集)，A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x <0}，则A ∪(∁U B )等于( ) A ．[－1,0] B ．[1,2] C ．[0,1]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 D 解析B ＝{x |x 2－2x <0}＝(0,2)，A ∪(∁UB )＝[－1,1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，故选D. 6．下列命题正确的是( )(1)命题“∀x ∈R,2x >0”的否定是“∃x 0∈R,2x 0≤0”；(2)l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α； (3)给定命题p ，q ，若“p ∧q 为真命题”，则綈p 是假命题； (4)“sin α＝12”是“α＝π6”的充分不必要条件．A ．(1)(4)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(3)(4)答案 C解析 命题“∀x ∈R,2x >0”的否定是“∃x 0∈R,2x 0≤0”；l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α或l ⊂α；给定命题p ，q ，若“p ∧q 为真命题”；则p 且q 是真命题，綈p 且綈q 是假命题；“sin α＝12”是“α＝π6”的必要不充分条件，因此(1)(3)为真，选C. 7．设命题p ：∃x 0∈R ，使x 20＋2x 0＋a ＝0(a ∈R )，则使得p 为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．a >－2B ．a <2C ．a ≤1D ．a <0答案 D解析 设f (x )＝x 2＋2x ＋a ，则p 为真命题⇔f (x )在R 内有零点⇔Δ≥0⇔a ≤1.8．已知命题p ：在△ABC 中，若AB <BC ，则sin C <sin A ；命题q ：已知a ∈R ，则“a >1”是“1a <1”的必要不充分条件．在命题p ∧q ，p ∨q ，(綈p )∨q ，(綈p )∧q 中，真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 由题意得，在△ABC 中，若AB <BC ，即c <a ，由正弦定理可得sin C <sin A ，所以p 真，又已知a ∈R ，则“a >1”是“1a <1”的充分不必要条件，所以q 假，只有p ∨q 为真命题，故选A.9．已知命题p ：∀m ∈[0,1]，x ＋1x ≥2m ，则綈p 为( )A ．∀m ∈[0,1]，x ＋1x <2mB ．∃m 0∈[0,1]，x ＋1x≥2m 0C ．∃m 0∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，x ＋1x ≥2m 0D ．∃m 0∈[0,1]，x ＋1x <2m 0答案 D解析 依据全称命题与特称命题的关系， 可知命题p ：∀m ∈[0,1]，x ＋1x ≥2m ，则綈p 为“∃m 0∈[0,1]，x ＋1x <2m 0”，故选D.10．下列结论正确的是________．(1)f (x )＝a x －1＋2(a >0，且a ≠1)的图象经过定点(1,3)； (2)已知x ＝log 23,4y ＝83，则x ＋2y 的值为3；(3)若f (x )＝x 3＋ax －6，且f (－2)＝6，则f (2)＝18； (4)f (x )＝x (11－2x －12)为偶函数；(5)已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |mx ＝1}，且B ⊆A ，则m 的值为1或－1.答案 (1)(2)(4)解析 (1)当x ＝1时，f (1)＝a 0＋2＝1＋2＝3，则函数的图象经过定点(1,3)，故(1)正确；(2)已知x ＝log 23,4y ＝83，则22y ＝83，2y ＝log 283，则x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 2(83×3)＝log 28＝3，故(2)正确；(3)若f (x )＝x 3＋ax －6，且f (－2)＝6，则(－2)3－2a －6＝6，即a ＝－10，则f (2)＝23－2×10－6＝－18，故(3)错误；(4)函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， f (x )＝x (11－2x －12)＝x ·1＋2x 2(1－2x )，则f (－x )＝－x ·1＋2－x2(1－2－x )＝－x ·2x ＋12(2x －1)＝x ·1＋2x 2(1－2x )＝f (x )，即有f (x )为偶函数，则f (x )＝x (11－2x －12)为偶函数，故(4)正确；(5)已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |mx ＝1}，且B ⊆A ，当m ＝0时，B ＝∅，也满足条件，故(5)错误，故正确的是(1)(2)(4)．11．已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5∉M ，则a 的取值范围是________________．答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞) 解析 若5∈M ，则5a ＋105a －25≤0，∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5， ∴－2≤a ＜5，∴5∉M 时，a <－2或a ≥5.12．若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝2c ，则称a ，b ，c 是调和的；若满足a ＋c ＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的．若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合M ＝{x ||x |≤2 014，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ，则(1)“好集”P 中的元素最大值为________；(2)“好集”P 的个数为________． 答案 2 012 1 006解析 由于a ＝－2b ，c ＝4b ，若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则1a ＋1b ＝2c 且a ＋c ＝2b ，故满足条件的“好集”为形如{－2b ，b,4b }(b ≠0)的形式，则－2 014≤4b ≤2 014，解得－503≤b ≤503，且b ≠0，P 中元素的最大值为4b ＝4×503＝2 012.符合条件的b 值可取1 006个，故“好集”P 的个数为1 006. 13．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－4]解析 由命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，由命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，得(x －3a )(x －a )<0，∵a <0，∴3a <x <a ，∵q 是p 的必要不充分条件，∴a ≤－4，∴a ∈(－∞，－4]．14．已知命题p ：⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1⇔－1≤x ＋12－1≤1⇔0≤x ＋12≤2⇔－1≤x ≤3，∴p ：－1≤x ≤3； ∵x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]<0⇔1－m <x <1＋m ，∴q ：1－m <x <1＋m . ∵p 是q 的充分不必要条件，∴[－1,3]是(1－m,1＋m )的真子集，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－1，1＋m >3，解得m >2.。
2024版步步高新高考化学考前三个月专项练习第一篇 主题七 题型抢分练
题型抢分练选择题专练A 组1．下列说法错误的是( )A ．光照下，1 mol CH 4最多能与4 mol Cl 2发生取代反应，产物中物质的量最多的是HClB ．将苯滴入溴水中，振荡、静置，上层接近无色C ．邻二氯苯仅有一种结构可证明苯环结构中不存在单双键交替结构D ．乙醇、乙酸都能与金属钠反应，且在相同条件下乙酸比乙醇与金属钠的反应更剧烈答案 B解析 甲烷和氯气发生取代反应生成多种氯代烃，取代1 mol 氢原子消耗1 mol 氯气，同时生成氯化氢，1 mol CH 4最多能与4 mol Cl 2发生取代反应，产物中物质的量最多的是HCl ，故A 正确；苯与溴水不反应，溴易溶于苯，苯密度小于水，所以将苯滴入溴水中，振荡、静置，发生分层，下层接近无色，故B 错误；如果苯环是单双键交替结构，则邻二氯苯有两种结构，邻二氯苯仅有一种结构可证明苯环结构中不存在单双键交替结构，故C 正确；醇羟基氢的活泼性弱于羧基中的羟基氢，所以乙醇、乙酸都能与金属钠反应，且在相同条件下乙酸比乙醇与金属钠的反应更剧烈，故D 正确。
2．下列说法正确的是( )A ．硝化甘油、硝酸纤维、醋酸纤维、黏胶纤维都属于酯类B ．向鸡蛋清溶液中加入乙酸铅溶液，可析出沉淀，加水后沉淀又溶解C ．从煤的干馏中分离并得到苯、甲苯等，是目前获取芳香烃的唯一途径D ．当人体处于长期饥饿时，油脂能在肝脏、肌肉等组织内发生氧化，给机体供能答案 D解析 黏胶纤维是一种再生纤维，不属于酯类，A 错误；向鸡蛋清溶液中加入乙酸铅溶液，鸡蛋白发生变性，析出沉淀，加水后沉淀不能再溶解，B 错误；煤的干馏、石油的催化重整都是获取芳香烃的主要途径，C 错误。
3．(2023·全国甲卷，8)藿香蓟具有清热解毒功效，其有效成分结构如图。
下列有关该物质的说法错误的是( )2024版步步高新高考化学考前三个月专项练习第一篇 主题七 题型抢分练A．可以发生水解反应B．所有碳原子处于同一平面C．含有2种含氧官能团D．能与溴水发生加成反应答案 B解析 藿香蓟的分子结构中含有酯基，因此可以发生水解反应，A说法正确；分子结构中的右侧有一个饱和碳原子连接着两个甲基，所有碳原子不可能处于同一平面，B说法错误；分子中含有酯基和醚键2种含氧官能团，C说法正确；分子中含有碳碳双键，能与溴水发生加成反应，D说法正确。
高考数学考前小题冲刺训练(一)(解析版)
高考考前小题冲刺训练（一）一、单选题1．已知集合{}=1,2,3M ，{}=0,1,2,3,4,7N ，若M A N ⊆⊆，则满足集合A 的个数为（）A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】D【分析】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A 即可得解.【详解】因为M A N ⊆⊆，所以A 可以是{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,3,1,2,3,4,1,2,3,0,1,2,3,7,1,2,3,0,4,1,2,3,0,7,1,2,3,7,4,1,2,3,0,4,7，共8个，故选：D2．抛物线2:6C y x =的焦准距是（）A ．112B ．16C ．3D ．6【答案】A【分析】根据抛物线标准方程求出p 即可得解.【详解】2:6C y x =化为标准方程为216x y =，所以126p =，112p =，即焦点与准线的距离为112p =，故选：A3．某儿童医院用甲、乙两种疗法治疗小儿消化不良．采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到两种疗法治疗数据的列联表：疗法疗效合计未治愈治愈甲155267乙66369试卷第2页，共9页合计21115136经计算得到2 4.881χ≈，根据小概率值0.005α=的独立性检验（已知2χ独立性检验中0.0057.879x =），则可以认为（）A ．两种疗法的效果存在差异B ．两种疗法的效果存在差异，这种判断犯错误的概率不超过0．005C ．两种疗法的效果没有差异D ．两种疗法的效果没有差异，这种判断犯错误的概率不超过0．005【答案】C【分析】根据条件可得列联表，计算2χ的值，结合临界值表可得结论．【详解】零假设为0H ：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异．根据列联表中的数据，20.0054.8817.879x χ≈<=，根据小概率值0.005α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为两种疗法效果没有差异．故选:C ．4．为了解某中学学生假期中每天自主学习的时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取高一学生40人，其每天学习时间均值为8小时，方差为0.5，抽取高二学生60人，其每天学习时间均值为9小时，方差为0.8，抽取高三学生100人，其每天学习时间均值为10小时，方差为1，则估计该校学生每天学习时间的方差为（）A ．1.4B ．1.45C ．1.5D ．1.555．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若581030,120a a S +==，则14S =（）A ．156B ．252C ．192D ．2006．已知函数()sin(0)6f x x ωω=+>，若将()f x 的图象向左平移3个单位后所得的函数图象与曲线()y f x =关于π3x =对称，则ω的最小值为（）A ．23B ．13C ．1D ．127．在正三棱台111ABC A B C -中，已知AB =，11A B =1AA 的长为2，则此正三棱台的体积为（）A．212B．74C．214D．72设O，1O分别是ABC，设D，1D分别是BC，1BA∴，O，D三点共线，π3sin3AD AB=⨯=⨯8．古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、试卷第4页，共9页余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数1cot tan θθ=，正割函数1sec cos θθ=，余割函数1csc sin θθ=，正矢函数sin 1cos ver θθ=-，余矢函数cos 1sin ver θθ=-.如图角θ始边为x 轴的非负半轴，其终边与单位圆交点P ，A 、B 分别是单位圆与x 轴和y 轴正半轴的交点，过点P 作PM 垂直x 轴，作PN 垂直y 轴，垂足分别为M 、N ，过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线分别交θ的终边于T 、S ，其中AM 、PS 、BS 、NB 为有向线段，下列表示正确的是（）A ．sin ver AM θ=B ．csc PS θ=C ．cot BS θ=D ．sec NBθ=试卷第6页，共9页二、多选题9．已知直线:20l x my m +-+=，圆22:(1)(2)5C x y -+-=，则下列说法正确的是（）A ．直线l 恒过定点()2,1-B ．直线l 与圆C 相交C ．当直线l 平分圆C 时，3m =-D ．当点C 到直线l 距离最大值时，13m =10．已知函数()sin 2cos 236f x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．()f x 的最大值为2B ．()f x 在ππ,86⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 在[]0,π上有2个零点D ．把()f x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象关于原点对称11．已知椭圆()2:1039C b b+=<<左右两个焦点分别为1F 和2F ，动直线l 经过椭圆左焦点1F 与椭圆交于,A B 两点，且228AF BF +≤恒成立，下列说法正确的是（）A ．b B ．[]4,6AB ∈C ．离心率e =D ．若OA OB ⊥，则2211518OAOB+=试卷第8页，共9页易知3a =，由椭圆定义可知因为228AF BF +≤恒成立，所以当AB x ⊥轴，即AB 为通径时，解得6b =，所以A 正确；三、填空题12．已知复数1i +与3i 在复平面内用向量OA 和OB表示（其中i 是虚数单位，O 为坐标原点），则OA 与OB夹角为.13．()5()x y x y +⋅-的展开式中33x y 的系数为．（用数字作答）【答案】0【分析】由()555()()()x y y x y x x y x y =+⋅---+，再写出()5x y -展开式的通项，即可求出展开式中33x y 的系数.【详解】因为()555()()()x y y x y x x y x y =+⋅---+，其中()5x y -展开式的通项为()515C rr rr T x y -+=-()05,N r r ≤≤∈，所以()5()x y x y +⋅-的展开式含33x y 的项为()()3232233332335555C C C C 0x x y y x y x y x y -+-=-+=，即()5()x y x y +⋅-的展开式中33x y 的系数为0.故答案为：014．在数轴上，一个质点从坐标原点出发向x 轴正半轴移动，每次移动1或者2个单位长度，若质点移动7次后与坐标原点的距离为11，则质点移动的方法总数有种．【答案】35【分析】结合“质点移动7次后与坐标原点的距离为11”可判断4次“移动2个单位长度”和3次“移动1个单位长度”，依题在7个位置上选4个即可.【详解】因质点移动7次后与坐标原点的距离为11，每次移动1或者2个单位长度，故可以判断共进行了4次“移动2个单位长度”和3次“移动1个单位长度”，即只需要在7个位置上选出4个位置进行“移动2个单位长度”即可，故方法总数为47C 35=种.故答案为：35.。
高考考前小题冲刺训练(理科数学)参考答案
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高考数学 考前三个月复习冲刺 第一篇 第1讲 五种策略搞定选择题 理
第1讲五种策略搞定选择题[题型解读] 选择题是高考试题的三大题型之一，该题型的基本特点：绝大部分选择题属于低中档题，且一般按由易到难的顺序排列，主要的数学思想和数学方法能通过它得到充分的体现和应用，选择题具有概括性强、知识覆盖面广、小巧灵活及有一定的综合性和深度等特点，且每一道题几乎都有两种或两种以上的解法.正是因为选择题具有上述特点，所以该题型能有效地检测学生的思维层次及考查学生的观察、分析、判断、推理、基本运算、信息迁移等能力.选择题也在尝试创新，在“形成适当梯度”“用学过的知识解决没有见过的问题”“活用方法和应变能力”“知识的交汇”四个维度上不断出现新颖题，这些新颖题成为高考试卷中一道靓丽的风景线.方法一直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法.例1 若△ABC 的内角A ，B ，C 所对边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A.43 B.8－4 3 C.1D.23点评 直接法是解答选择题最常用的基本方法.直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案.平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点.用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错. 变式训练1 (1)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝13，sin C ＝3sinB ，且S △ABC ＝2，则b 等于( )A.1B.2 3C.3 2D.3(2)(2015·湖北)已知符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.f (x )是R 上的增函数，g (x )＝f (x )－f (ax )(a >1)，则( ) A.sgn[g (x )]＝sgn x B.sgn[g (x )]＝－sgn x C.sgn[g (x )]＝sgn[f (x )] D.sgn[g (x )]＝－sgn[f (x )] 方法二 特例法特例检验(也称特例法或特殊值法)，是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.例2 (1)设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X 、Y 、Z ，则下列等式中恒成立的是( ) A.X ＋Z ＝2Y B.Y (Y －X )＝Z (Z －X )C.Y 2＝XZD.Y (Y －X )＝X (Z －X )(2)若a >b >0，则下列不等式中一定成立的是( ) A.a ＋1b >b ＋1aB.b a >b ＋1a ＋1C.a －1b>b －1aD.2a ＋b a ＋2b >ab点评 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.变式训练2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 均不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( ) A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24)方法三 排除法排除法也叫筛选法、淘汰法.它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法. 例3 函数f (x )＝sin x －13－2cos x －2sin x(0≤x ≤2π)的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，0 B.[－1,0] C.[－2，－1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，0 点评 排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案.变式训练3 (1)方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负根的充要条件是( ) A.0<a ≤1 B.a <1C.a ≤1D.0<a ≤1或a <0(2)(2015·青岛模拟)函数Y ＝x sin x 在[－π，π]上的图象是( )方法四 数形结合法根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法.有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略. 例4 设方程10x＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1、x 2，则( ) A.x 1x 2<0 B.x 1x 2＝1 C.x 1x 2>1D.0<x 1x 2<1点评 数形结合法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果.不过运用图解法解题一定要对有关的函数图象、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择.变式训练4 (2014·重庆)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－3， x ∈－1，0]，x ， x ∈0，1]，且g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－94，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－114，－2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，23 方法五 估算法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法.估算法的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义，估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次. 例5 已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5 (π2<θ<π)，则tan θ2等于( ) A.m －3q －m B.m －3|q －m |C.－15D.5点评 估算法的应用技巧：估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法.当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项.变式训练5 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于( ) A.1 B. 2 C.2－12D.2＋12高考题型精练1.(2015·蚌埠模拟)已知m1＋i＝1－n i ，其中m ，n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i 等于( ) A.1＋2i B.1－2i C.2＋iD.2－i2.函数Y ＝log 2(|x |＋1)的图象大致是( )3.设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x -2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A.{x |x ≥1}B.{x |1≤x <2}C.{x |0<x ≤1}D.{x |x ≤1}4.(2015·广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A. y ＝1＋x 2B.y ＝x ＋1xC. y ＝2x＋12xD. y ＝x ＋e x5.(2014·安徽)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A.12或－1 B.2或12C.2或1D.2或－16.函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于Y 轴对称，则f (x )等于( ) A.e x +1B.e x -1C.e-x +1D.e-x -17.已知非零向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，向量a ，b 的夹角为120°，且|b |＝2|a |，则向量a 与c 的夹角为( ) A.60° B.90° C.120°D.150°8.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B两点，O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p 等于( ) A.1 B.32 C.2D.39.函数y ＝2x－x 2的图象大致是( )10.(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A.e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B.e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C.e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)11.若动点P ，Q 在椭圆9x 2＋16Y 2＝144上，O 为原点，且满足OP ⊥OQ ，则O 到弦PQ 的距离|OH |必等于( ) A.203 B.234 C.125D.41512.如图所示，图中的图象所表示的函数的解析式为( )A.y ＝32|x －1| (0≤x ≤2)B. y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C. y ＝32－|x －1| (0≤x ≤2)D. y ＝1－|x －1| (0≤x ≤2)13.已知函数f (x )＝4x与g (x )＝x 3＋t ，若f (x )与g (x )的交点在直线y ＝x 的两侧，则实数t的取值范围是( ) A.(－6,0] B.(－6,6) C.(4，＋∞)D.(－4,4)14.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π的简图是( )15.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C2，C1上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A.52－4B.17－1C.6－2 2D.1716.设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是( )A.∀x∈R，f(x)≤f(x0)B.－x0是f(－x)的极小值点C.－x0是－f(x)的极小值点D.－x0是－f(－x)的极小值点17.在抛物线y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是( )A.(－2,1)B.(1,2)C.(2,1)D.(－1,2)18.(2015·广东)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( ) A.至多等于3 B.至多等于4 C.等于5D.大于519.(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1B.[0,1]C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.[1, ＋∞)20.若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( ) A.[1－22，1＋22] B.[1－2，3] C.[－1,1＋22] D.[1－22，3]答案精析技巧·规范·回扣篇第一篇 快速解答选择、填空题第1讲 五种策略搞定选择题 典例剖析例1 A [由(a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2＋2ab －c 2＝4，由C ＝60°，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4－2ab 2ab ＝12.解得ab ＝43.]变式训练1 (1)A (2)B解析 (1)∵cos A ＝13，∴sin A ＝223.又S △ABC ＝12bc sin A ＝2，∴bc ＝3.又sin C ＝3sin B ，∴c ＝3b ，∴b ＝1，c ＝3.(2)因为a >1，所以当x >0时，x <ax ，因为f (x )是R 上的增函数，所以f (x )<f (ax )，所以g (x )＝f (x )－f (ax )<0，sgn[g (x )]＝－1＝－sgn x ；同理可得当x <0时，g (x )＝f (x )－f (ax )>0，sgn[g (x )]＝1＝－sgn x ；当x ＝0时，g (x )＝0，sgn[g (x )]＝0＝－sgn x 也成立.故B 正确. 例2 (1)D (2)A解析 (1)由{a n }是任意等比数列， 不妨令n ＝1，a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4， 则X ＝1，Y ＝3，Z ＝7，验证A.X ＋Z ＝8,2Y ＝6，X ＋Z ＝2Y 不成立， B.Y (Y －X )＝3×2＝6，Z (Z －X )＝7×6＝42， 即Y (Y －X )＝Z (Z －X )不成立， C.Y 2＝9，XZ ＝7，Y 2＝XZ 不成立，D.Y (Y －X )＝3×2＝6，X (Z －X )＝1×(7－1)＝6， 即Y (Y －X )＝X (Z －X ).故选D.(2)取a ＝2，b ＝1，排除B 与D ；另外，函数f (x )＝x －1x是(0，＋∞)上的增函数，但函数g (x )＝x ＋1x在(0,1]上递减，在[1，＋∞)上递增，所以，当a >b >0时，f (a )>f (b )必定成立，即a－1a >b －1b ⇔a ＋1b >b ＋1a，但g (a )>g (b )未必成立，故选A.变式训练2 C [方法一 不妨设0<a <1<b ≤10<c ，取特例， 如取f (a )＝f (b )＝f (c )＝12，则易得a ＝10－12，b ＝1012，c ＝11，从而abc ＝11，故选C.方法二 不妨设a <b <c ，则由f (a )＝f (b )⇒ab ＝1， 再根据图象(图略)易得10<c <12.实际上a ，b ，c 中较小的两个数互为倒数. 故abc 的取值范围是(10,12).] 例3 B [令sin x ＝0，cos x ＝1， 则f (x )＝0－13－2×1－2×0＝－1，排除A ，D ；令sin x ＝1，cos x ＝0，则f (x )＝1－13－2×0－2×1＝0，排除C ，故选B.]变式训练3 (1)C (2)A解析 (1)当a ＝0时，x ＝－12，故排除A 、D.当a ＝1时，x ＝－1，排除B.(2)易判断函数y ＝x sin x 为偶函数，可排除D ； 当0<x <π2时，y ＝x sin x >0，可排除B ；当x ＝π时，y ＝0，可排除C.故选A. 例4 D [构造函数y ＝10x与y ＝|lg(－x )|， 并作出它们的图象，如图所示， 因为x 1，x 2是10x＝|lg(－x )|的两个根， 则两个函数图象交点的横坐标分别为x 1，x 2， 不妨设x 2<－1，－1<x 1<0，则10x 1＝－lg(－x 1)，10x 2＝lg(－x 2)， 因此10x 2－10x 1＝lg(x 1x 2)， 因为10x 2－10x 1<0，所以lg(x 1x 2)<0，即0<x 1x 2<1，故选D.]变式训练4 A [作出函数f (x )的图象如图所示，其中A (1,1)，B (0，－2).因为直线y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)恒过定点C (－1,0)，故当直线y ＝m (x ＋1)在AC 位置时，m ＝12，可知当直线y ＝m (x ＋1)在x 轴和AC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与AC 重合但不能与x 轴重合)，此时0<m ≤12，g (x )有两个不同的零点.当直线y ＝m (x ＋1)过点B 时，m ＝－2；当直线y ＝m (x ＋1)与曲线f (x )相切时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ＋1－3，y ＝m x ＋1，得mx 2＋(2m ＋3)x ＋m ＋2＝0，由Δ＝(2m ＋3)2－4m (m ＋2)＝0，解得m ＝－94，可知当y ＝m (x ＋1)在切线和BC 之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y ＝m (x ＋1)可与BC 重合但不能与切线重合)，此时－94<m ≤－2，g (x )有两个不同的零点.综上，m 的取值范围为(－94，－2]∪(0，12]，故选A.]例5 D [由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 一定为确定的值进而推知tan θ2也是一确定的值，又π2<θ<π，所以π4<θ2<π2，故tan θ2>1.所以D 正确.]变式训练5 C [由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1，最大为2，面积范围应为[1，2]，不可能等于2－12.] 高考题型精练1.C [由m1＋i＝1－n i ， 得m ＝(1＋i)(1－n i)＝(1＋n )＋(1－n )i ，根据复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1＋n ，0＝1－n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴m ＋n i ＝2＋i ，故选C.] 2.B [由f (0)＝0，排除C 、D ， 又log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋1＝log 232>log 22＝12.即0<x <1时，f (x )>x ，排除A.] 3.B [A ＝{x |2x (x －2)<1}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |x <1}.由题图知阴影部分是由A 中元素且排除B 中元素组成，得1≤x <2.故选B.]4.D [令f (x )＝x ＋e x，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而A 、B 、C 依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选D.]5.D [如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.]6.D [依题意，f (x )向右平移一个单位长度之后得到的函数是y ＝e －x，于是f (x )相当于y ＝e －x向左平移一个单位的结果，所以f (x )＝e－x －1.]7.B [如图，因为〈a ，b 〉＝120°，|b |＝2|a |，a ＋b ＋c ＝0，所以在△OBC 中，BC 与CO 的夹角为90°，即a 与c 的夹角为90°. ]8.C [由ca ＝2(c 为半焦距)，则b a＝3，即双曲线两条渐近线的倾斜角分别为60°和120°， 所以△AOB 的面积为3p24，又3p 24＝3，所以p ＝2为所求.]9.A [因为当x ＝2或x ＝4时，2x －x 2＝0，所以排除B ，C ；当x ＝－2时，2x －x 2＝14－4<0，排除D ，故选A.]10.B [由题意知，A 选项中e 1＝0，C 、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2).]11.C [选一个特殊位置(如图)，令OP 、OQ 分别在长、短正半轴上，由a 2＝16，b 2＝9得，|OP |＝4，|OQ |＝3，则|OH |＝125.根据“在一般情况下成立，则在特殊情况下也成立”可知，选项C 正确.故选C.]12.B [由图象过点(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)，代入选项验证即可.] 13.B [根据题意可得函数图象，g (x )在点A (2,2)处的取值大于2，在点B (－2，－2)处的取值小于－2，可得g (2)＝23＋t ＝8＋t >2，g (－2)＝(－2)3＋t ＝－8＋t <－2，解得t ∈(－6,6)，故选B.]14.A [f (π)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－32，排除B 、D ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，排除C.故选A.]15.A [作圆C 1关于x 轴的对称圆C ′1：(x －2)2＋(y ＋3)2＝1， 则|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|，由图可知当点C 2、M 、P 、N ′、C ′1在同一直线上时，|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|取得最小值，即为|C ′1C 2|－1－3＝52－4.]16.D [－f (－x )是f (x )的图象关于原点作变换，(x 0，f (x 0))是极大值点，那么(－x 0，－f (－x 0))就是极小值点.]17.B [如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|， 当且仅当A 、P 、N 三点共线时取等号. ∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1， 则可排除A 、C 、D ，故选B.]18.B [当n ＝3时显然成立，故排除C ，D ；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n ＝4时成立，故选B.] 19.C [由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.]20.D [y＝3－4x－x2变形为(x－2)2＋(y－3)2＝4(0≤x≤4,1≤y≤3)，表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示.若直线y＝x＋b与曲线y＝3－4x－x2有公共点，只需直线y＝x＋b在图中两直线之间(包括图中两条直线)，y＝x＋b与下半圆相切时，圆心到直线y＝x＋b的距离为2，即|2－3＋b|2＝2，解得b＝1－22或b＝1＋22(舍去)，所以b的取值范围为1－22≤b≤3.故选D.]。
浙江高考考前三个月数学文二轮复习冲刺训练1基础小题保分练(含答案详析)
高考题型冲刺练12＋4分项练 训练1 基础小题保分练内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数 一、选择题1． (2013·浙江)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T 等于( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)答案 C解析 T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}＝{x |－4≤x ≤1}． S ＝{x |x >－2}，∁R S ＝{x |x ≤－2}， ∴(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}＝(－∞，1]．2． (2013·陕西)设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，则有cos 〈a ，b 〉＝±1.即〈a ，b 〉＝0或π，所以a ∥b .由a ∥b ，得向量a 与 b 同向或反向，所以〈a ，b 〉＝0或π，所以|a ·b |＝|a ||b |.3． 设集合A ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤1}，B ＝{(x ，y )|(y －x )(y ＋x )≤0}，M ＝A ∩B ，若动点P (x ，y )∈M ，则x 2＋(y －1)2的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，52B.⎣⎡⎦⎤22，52C.⎣⎡⎦⎤12，102D.⎣⎡⎦⎤22，102答案 A解析 在同一直角坐标系中画出集合A ，B 所在区域，取交集后 可得M 所表示的区域如图中阴影部分所示，而d ＝x 2＋(y －1)2表示的是M 中的点到(0,1)的距离，从而易知所求范围是⎣⎡⎦⎤12，52， 选A.4． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0.若f (α)＝4，则实数α等于( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2答案 B解析 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，α＝－4；当α>0时，f (α)＝α2＝4，α＝2. 5． 下列有关命题的说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题是真命题D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题 答案 D解析 A 中原命题的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 错；B 中，“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 错；C 中，当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；D 中，逆否命题与原命题共真假，易知原命题为真命题，则其逆否命题也为真命题，因此D 正确．6． 设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝⎝⎛⎭⎫12 2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >b >c答案 D解析 ∵y ＝2x 是增函数， ∴22.5>20＝1＝2.50.又y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫12 2.5<⎝⎛⎭⎫120＝1， ∴a >b >c .7． 若f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是 ( )A ．t ≤－1B ．t >－1C ．t ≥3D ．t >3答案 D解析 P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )<f (2)}，Q ＝{x |f (x )<－4}＝{x |f (x )<f (－1)}，因为函数f (x )是R 上的增函数，所以P ＝{x |x ＋t <2}＝{x |x <2－t }，Q ＝{x |x <－1}，要使“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则有2－t <－1，即t >3，选D.8． 已知f (x ＋1)＝f (x －1)，f (x )＝f (－x ＋2)，方程f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，则f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为 ( )A ．2 011B ．1 006C ．2 013D ．1 007答案 C解析 由f (x ＋1)＝f (x －1)，可知f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是2，由f (x )＝f (－x＋2)可知函数f (x )关于直线x ＝1对称，因为函数f (x )＝0在[0,1]内有且只有一个根x ＝12，所以函数f (x )＝0在区间[0,2 013]内根的个数为2 013个，选C. 9． 若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x ，则有( )A ．x ＋y ≥0B ．x ＋y ≤0C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0答案 B解析 设函数f (x )＝2x －5－x ，易知f (x )为增函数，f (－y )＝2－y －5y ，由已知得f (x )≤f (－y )，∴x ≤－y ，∴x ＋y ≤0.10．若变量x ，y 满足|x |－ln 1y＝0，则y 关于x 的函数图象大致是( )答案 B解析 由|x |－ln 1y ＝0，有y ＝1e |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x，x ≥0e x，x <0，利用指数函数图象可知答案选B.11．(2013·陕西)设[x ]表示不大于x 的最大整数，则对任意实数x ，y 有( )A ．[－x ]＝－[x ]B ．[2x ]＝2[x ]C ．[x ＋y ]≤[x ]＋[y ]D ．[x －y ]≤[x ]－[y ] 答案 D解析 特殊值法．令x ＝1.5，∵[－1.5]＝－2，－[1.5]＝－1，故A 错；[2×1.5]＝3,2[1.5]＝2，故B错；令x＝1.5，y＝0.5，[x＋y]＝2，[x]＋[y]＝1＋0＝1，故C错．12．已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y ＝|lg x|的图象的交点共有() A．10个B．9个C．8个D．1个答案 A解析根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下可验证当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；0＜x＜10时，|lg x|＜1；x＞10时，|lg x|＞1.因此结合图象及数据特点y＝f(x)与y＝|lg x|的图象交点共有10个．二、填空题13．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|kx－y－2≤0}，其中x，y∈R.若A⊆B，则实数k的取值范围是__________．答案[－3，3]解析要使A⊆B，只需直线kx－y－2＝0与圆相切或相离，2≥1，解得：－3≤k≤ 3.∴d＝1＋k214．已知函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)为f(x)的导函数，函数y＝f′(x)的图象如图所示，且f(－2)＝1，f(3)＝1，则不等式f(x2－6)>1的解集为______________．答案(2,3)∪(－3，－2)解析由图象知，当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0.∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．又f(－2)＝1，f(3)＝1，∴由f(x2－6)>1得f(x2－6)>f(－2)或f(x2－6)>f(3)，∴－2<x2－6<0或0≤x2－6<3，则4<x2<9，∴2<x<3或－3<x<－2.15．有一种垫片，其中外购的单价是每个1.10元，若自己生产，则每月需投资固定成本800元，并且每生产一个垫片还需材料费和劳务费共0.60元．设该厂每月所需垫片x个，则自己生产垫片比外购垫片较合算的条件是________．答案x>1 600解析由题意知：800＋0.60x<1.10x时，自己生产垫片比外购垫片合算，解之得x>1 600.16．已知函数f (x )＝ln x －ax.若f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立，则a 的取值范围为________．答案 [－1，＋∞)解析 ∵f (x )<x 2，∴ln x －ax <x 2.又x >1，∴a >x ln x －x 3.令g (x )＝x ln x －x 3，h (x )＝g ′(x )＝1＋ln x －3x 2， h ′(x )＝1x －6x ＝1－6x 2x ，∵当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0， ∴h (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴h (x )<h (1)＝－2<0，即g ′(x )<0， ∴g (x )在(1，＋∞)上也是减函数， ∴g (x )<g (1)＝－1.∴当a ≥－1时，f (x )<x 2在(1，＋∞)上恒成立．。
高考数学 考前三个月复习冲刺 小题精练1 理
【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习 考前三个月 小题精练1 理1．下列各组集合中表示同一集合的是( )A ．M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}B ．M ＝{2,3}，N ＝{3,2}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}2．已知i 为虚数单位，集合P ＝{－1,1}，Q ＝{i ，i 2}，若P ∩Q ＝{z i}，则复数z 等于( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i 3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B. p ∨(綈q ) C ．(綈p )∧(綈q ) D ．p ∨q4．已知函数f (x )＝2＋log 2x ，x ∈[1,2]，则函数y ＝f (x )＋f (x 2)的值域为( )A ．[4,5] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，112 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤4，132 D ．[4,7]5．函数f (x )＝22|log |x 的图象大致是( )6．若平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )A ．平行B ．相交但不垂直C ．垂直D ．重合7．设a ，b ，c 是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a ⊥b 的一个充分不必要条件是( )A ．a ⊥c ，b ⊥cB ．α⊥β，a ⊂α，b ⊂βC ．a ⊥α，b ∥αD ．a ⊥α，b ⊥α8．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 D ．(0,2] 9．已知函数g (x )＝2x ，且有g (a )g (b )＝2，若a >0且b >0，则ab 的最大值为( )A.12B.14 C ．2 D ．410．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n(n ≥2)，则x n 等于( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23n C.n ＋12D.2n ＋111．如图所示，PA ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论，其中错误的是( )A ．AF ⊥PBB ．EF ⊥PBC ．AF ⊥BCD ．AE ⊥平面PBC12．若椭圆x 2m ＋y 2n＝1(m >0，n >0)与曲线x 2＋y 2＝|m －n |无交点，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1D.⎝⎛⎭⎪⎫0，22 二、填空题13．已知数列{a n }的首项为a 1＝12，其前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥1)，则数列{a n }的通项公式为__________．14．函数y ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为______． 15．下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x的判断正确的是________．①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}；②f (－2)是极小值，f (2)是极大值；③f (x )既没有最小值，也没有最大值．16．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于________.答案精析小题精练小题精练11．B 2.C 3.A 4.B 5.C 6.C 7.C8．A [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω(k ∈Z )． 由题意，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减， 故⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z )， 又4k ＋12<2k ＋54，∴k <38. ∴当k ＝0时，12≤ω≤54.] 9．B 10.D 11.D 12.D13．a n ＝1n n ＋1解析 由a 1＝12，S n ＝n 2a n ，① ∴S n －1＝(n －1)2a n －1.②①－②，得a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1，即a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1，亦即a n a n －1＝n －1n ＋1 (n ≥2)． ∴a n a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13＝2n n ＋1.∴a n ＝1n n ＋1. 14．(0,1]解析 根据题意可知， ⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x>0，x ≠0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x>0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1， 故定义域为(0,1]． 15．①②③ 解析 若f (x )＝(2x －x 2)e x>0，则0<x <2，①正确； ∵f ′(x )＝－e x (x ＋2)(x －2)，∴f (x )在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递减，在(－2，2)上单调递增．∴f (－2)是极小值，f (2)是极大值，②正确；易知③也正确． 16. 3解析 由二倍角公式可得sin 2α＋1－2sin 2α＝14，即－sin 2α＝－34，sin 2α＝34. 又因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝32， 即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3.。
数学考前三个月考前抢分必做 考前回扣1 Word版含解析
考前回扣回扣1集合与常用逻辑用语1．集合(1)集合的运算性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁U A⊇∁U B.(2)子集、真子集个数计算公式：对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.(3)数轴和Venn图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘记集合本身和空集这两种特殊情况．补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题．2．四种命题及其相互关系(1)(2)互为逆否命题的两命题同真同假．3．含有逻辑联结词的命题的真假(1)命题p∨q：若p、q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真．(2)命题p∧q：若p、q中至少有一个为假，则命题为假命题，p、q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真．(3)命题綈p与命题p真假相反．4．全称命题、存在性命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为存在性命题綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．(2)存在性命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题綈p：∀x∈M，綈p(x)．5．充分条件和必要条件(1)若p⇒q且qD⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(2)若pD⇒/q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件；(3)若p⇔q，则称p是q的充要条件；(4)若pD⇒/q且qD⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．4．空集是任何集合的子集．由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况．5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”．6．在对全称命题和存在性命题进行否定时，不要忽视对量词的改变．7．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．1．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m的可能取值组成的集合为________．答案{0,3}解析∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m∈{1,3，m}，∴m＝1或m＝3或m＝m，由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.2．(2016·鹰潭一中月考)设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是________．答案{a|a≥2}解析若A⊆B，则a≥2.3．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于________．答案{x|x<－5或x>－3}解析在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．4．满足条件{a}⊆A⊆{a，b，c}的所有集合A的个数是________．答案 4解析 满足题意的集合A 可以为{a }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，b ，c }，共4个．5．已知集合U ＝R (R 是实数集)，A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x <0}，则A ∪(∁U B )等于________．答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 B ＝{x |x 2－2x <0}＝(0,2)，A ∪(∁UB )＝[－1,1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)．6．下列命题正确的序号是________．(1)命题“∀x ∈R,2x >0”的否定是“∃x 0∈R,2x 0≤0”；(2)l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；(3)给定命题p ，q ，若“p ∧q 为真命题”，则綈p 是假命题；(4)“sin α＝12”是“α＝π6”的充分不必要条件． 答案 (1)(3)解析 命题“∀x ∈R,2x >0”的否定是“∃x 0∈R,2x 0≤0”；l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α或l ⊂α；给定命题p ，q ，若“p ∧q 为真命题”，则p 和q 都是真命题，綈p 和綈q 都是假命题；“sin α＝12”是“α＝π6”的必要不充分条件，因此(1)(3)为真． 7．已知命题p ：在△ABC 中，若AB <BC ，则sin C <sin A ；命题q ：已知a ∈R ，则“a >1”是“1a<1”的必要不充分条件．在命题p ∧q ，p ∨q ，(綈p )∨q ，(綈p )∧q 中，真命题的个数为________．答案 1解析 由题意得，在△ABC 中，若AB <BC ，即c <a ，由正弦定理可得sin C <sin A ，所以p真，又已知a ∈R ，则“a >1”是“1a<1”的充分不必要条件，所以q 假，只有p ∨q 为真命题． 8．已知命题p ：∀m ∈[0,1]，x ＋1x≥2m ，则綈p 为__________________． 答案 ∃m 0∈[0,1]，x ＋1x<2m 0 解析 根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题p ：∀m ∈[0,1]，x ＋1x≥2m ，则綈p 为“∃m 0∈[0,1]，x ＋1x<2m 0”． 9．下列结论正确的是________．(1)f (x )＝a x －1＋2(a >0，且a ≠1)的图象经过定点(1,3)；(2)已知x ＝log 23,4y ＝83，则x ＋2y 的值为3； (3)若f (x )＝x 3＋ax －6，且f (－2)＝6，则f (2)＝18；(4)f (x )＝x (11－2x －12)为偶函数； (5)已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |mx ＝1}，且B ⊆A ，则m 的值为1或－1.答案 (1)(2)(4)解析 (1)当x ＝1时，f (1)＝a 0＋2＝1＋2＝3，则函数的图象经过定点(1,3)，故(1)正确；(2)已知x ＝log 23,4y ＝83，则22y ＝83，2y ＝log 283，则x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 2(83×3)＝log 28＝3，故(2)正确；(3)若f (x )＝x 3＋ax －6，且f (－2)＝6，则(－2)3－2a －6＝6，即a ＝－10，则f (2)＝23－2×10－6＝－18，故(3)错误；(4)函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，f (x )＝x (11－2x －12)＝x ·1＋2x －2x， 则f (－x )＝－x ·1＋2－x－2－x ＝－x ·2x ＋1x －＝x ·1＋2x －2x＝f (x )， 即有f (x )为偶函数，则f (x )＝x (11－2x －12)为偶函数，故(4)正确； (5)已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |mx ＝1}，且B ⊆A ，当m ＝0时，B ＝∅，也满足条件，故(5)错误，故正确的是(1)(2)(4)．10．已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5∉M ，则a 的取值范围是________________． 答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)解析 若5∈M ，则5a ＋105a －25≤0， ∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a ＜5，∴5∉M 时，a <－2或a ≥5.11．若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝2c，则称a ，b ，c 是调和的；若满足a ＋c ＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的．若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合M ＝{x ||x |≤2 014，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ，则(1)“好集”P 中的元素最大值为________；(2)“好集”P 的个数为________．答案 2 012 1 006解析 因为a ＝－2b ，c ＝4b ，若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则1a ＋1b＝2c且a ＋c ＝2b ，故满足条件的“好集”为形如{－2b ，b,4b }(b ≠0)的形式，则－2 014≤4b ≤2 014，解得－503≤b ≤503，且b ≠0，P 中元素的最大值为4b ＝4×503＝2 012.符合条件的b 值可取1 006个，故“好集”P 的个数为1 006.12．(2016·淄博六中期末)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－4]解析 由命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，由命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，得(x －3a )(x －a )<0，∵a <0，∴3a <x <a ，∵q 是p 的必要不充分条件，∴a ≤－4，∴a ∈(－∞，－4]．13．已知命题p ：⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 ∵⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1⇔－1≤x ＋12－1≤1⇔0≤x ＋12≤2⇔－1≤x ≤3，∴p ：－1≤x ≤3； ∵x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]<0⇔1－m <x <1＋m ，∴q ：1－m <x <1＋m .∵p 是q 的充分不必要条件，∴[－1,3]是(1－m,1＋m )的真子集，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－1，1＋m >3， 解得m >2.。
高考数学 考前三个月 必考题型过关练 第1练 小集合,大
第1练小集合，大功能题型一单独命题独立考查例1 已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为________．破题切入点弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键．答案10解析∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，∴B中所含元素的个数为10.题型二与函数定义域、值域综合考查例2 设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为________．破题切入点弄清“集合”代表的是函数的定义域还是值域，如何求其定义域或值域．答案(－∞，－1]∪(0,1)解析因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1<x<1}．∁R A＝(－∞，－1]∪[1，＋∞)．则u＝1－x2∈(0,1]，所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}，∁R B＝(0，＋∞)，所以题图阴影部分表示的集合为(A∩∁R B)∪(B∩∁R A)＝(0,1)∪(－∞，－1]．题型三与不等式综合考查例3 若集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－2<x<a}，则“A∩B≠∅”的充要条件是________．破题切入点弄清“集合”代表不等式的解集，“A∩B≠∅”说明两个集合有公共元素．答案a>－1解析 A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |－2<x <a }， 如图所示：∵A ∩B ≠∅，∴a >－1.总结提高 (1)集合是一个基本内容，它可以与很多内容综合考查，题型丰富．(2)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(3)对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、Venn 图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解．1．已知集合A ＝{x |0＜log 4x ＜1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝________.答案 (1,2]解析 A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |1＜x ≤2}．2．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a ＝________.答案 －12或0或1 解析 依题意可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A .因为集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12； 当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0.所以a 的取值为－12或0或1. 3．设集合M ＝{y |y －m ≤0}，N ＝{y |y ＝2x－1，x ∈R }，若M ∩N ≠∅，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1，＋∞)解析 M ＝{y |y ≤m }，N ＝{y |y >－1}，结合数轴易知m >－1.4．(2014·浙江改编)设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A ＝________. 答案 {2}解析 因为A ＝{x ∈N |x ≤－5或x ≥5}，所以∁U A ＝{x ∈N |2≤x <5}，故∁U A ＝{2}．5．已知M ＝{y |y ＝2x }，N ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，则M ∩N 中元素个数为________． 答案 0解析 集合M 是数集，集合N 是点集，故其交集中元素的个数为0.6．(2014·徐州模拟)设集合S ＝{x |x >2}，T ＝{x |x 2－3x －4≤0}，则(∁R S )∩(∁R T )＝________. 答案 (－∞，－1)解析 因为T ＝{x |－1≤x ≤4}，所以(∁R S )∩(∁R T )＝∁R (S ∪T )＝(－∞，－1)．7．若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝________.答案 4解析 当a ＝0时，显然不成立；当a ≠0时，由Δ＝a 2－4a ＝0，得a ＝4.8．已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________． 答案 3解析 A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}，集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}．故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.9．已知集合A ＝{3，m 2}，B ＝{－1,3,2m －1}．若A ⊆B ，则实数m 的值为________． 答案 1解析 ∵A ⊆B ，∴m 2＝2m －1或m 2＝－1(舍)．由m 2＝2m －1得m ＝1.经检验m ＝1时符合题意．10．对于E ＝{a 1，a 2，...，a 100}的子集X ＝{1i a ，2i a ，...，k i a }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，...，x 100，其中1i x ＝2i x ＝...＝k i x ＝1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0,1,1,0,0， 0(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和为________；(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1,1≤i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1,1≤j ≤98，则P ∩Q 的元素个数为________．答案 (1)2 (2)17解析 (1)由题意，可得子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0，…，0，所以前3项和为1＋0＋1＝2.(2)由题意，可知P 的“特征数列”为1,0,1,0,1,0， 0则P ＝{a 1，a 3，a 5，…，a 99}，有50个元素．即集合P 中的元素的下标依次构成以1为首项，2为公差的等差数列，即这些元素依次取自集合E 中的项a 2n －1(1≤n ≤50，n ∈N *)． Q 的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1， (1)则Q ＝{a 1，a 4，a 7，a 10，…，a 100}，有34个元素．即集合Q 中的元素的下标依次构成以1为首项，3为公差的等差数列，即这些元素依次取自集合E 中的项a 3n －2(1≤n ≤34，n ∈N *)．而P ∩Q 中的元素是由这两个集合中的公共元素构成的集合，所以这些元素的下标依次构成首项为1，公差为2×3＝6的等差数列，即这些元素依次取自集合E 中的项a 6n －5，由1≤6n －5≤100，解得1≤n ≤352， 又n ∈N *，所以1≤n ≤17，即P ∩Q 的元素个数为17.11．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 (1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，又A ＝{x |－1<x ≤5}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，故4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时B＝{x|－2<x<4}，符合题意．因此实数m的值为8.12．(2014·泰州模拟)已知集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，C＝{x|x<a}，全集为实数集R.(1)求A∪B；(2)(∁R A)∩B；(3)如果A∩C≠∅，求a的取值范围．解(1)因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，所以A∪B＝{x|2<x<10}．(2)因为A＝{x|3≤x<7}，所以∁R A＝{x|x<3或x≥7}．所以(∁R A)∩B＝{x|x<3或x≥7}∩{x|2<x<10}＝{x|2<x<3或7≤x<10}．(3)如图，当a>3时，A∩C≠∅.。
高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题1 集合与常用逻辑用语 第4练 用好
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第4练用好基本不等式［题型分析·高考展望］基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查．题目难度为中等偏上．应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时,才可应用，否则可能会导致结果错误．体验高考1．（2015·四川)如果函数f(x)＝错误!（m－2）x2＋（n－8)x＋1(m≥0，n≥0）在区间错误!上单调递减，那么mn的最大值为( )A．16 B．18 C．25 D.错误!答案B解析①当m＝2时，∵f（x)在[12，2]上单调递减，∴0≤n＜8，mn＝2n＜16。
②m≠2时，抛物线的对称轴为x＝－错误!.据题意得，当m＞2时，－错误!≥2，即2m＋n≤12，∵错误!≤错误!≤6,∴mn≤18，由2m＝n且2m＋n＝12得m＝3，n＝6。
当m＜2时，抛物线开口向下，据题意得，－错误!≤错误!，即m＋2n≤18，∵错误!≤错误!≤9,∴mn≤812，由2n＝m且m＋2n＝18得m＝9＞2，故应舍去．要使得mn取得最大值，应有m＋2n＝18(m＜2，n＞8)．∴mn＝（18－2n）n＜（18－2×8）×8＝16，综上所述,mn的最大值为18,故选B.2．（2015·陕西）设f（x）＝ln x，0＜a＜b,若p＝f(错误!），q＝f错误!,r＝错误!（f（a)＋f （b）），则下列关系式中正确的是( ）A．q＝r＜p B．q＝r＞pC．p＝r＜q D．p＝r＞q答案C解析∵0＜a＜b，∴错误!＞错误!，又∵f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，故f错误!＞f（错误!)，即q＞p.又r＝错误!（f（a)＋f(b））＝错误!(ln a＋ln b)＝错误!ln a＋错误!ln b＝ln（ab）错误!＝f(ab）＝p.故p＝r＜q.选C.3．（2015·天津)已知a＞0，b＞0,ab＝8，则当a的值为________时,log2a·log2（2b)取得最大值．答案4解析log2a·log2（2b）＝log2a·（1＋log2b）≤错误!2＝错误!2＝错误!2＝4，当且仅当log2a＝1＋log2b，即a＝2b时，等号成立，此时a＝4，b＝2。
新高考数学二轮专题检测【1】小集合,大功能(含答案解析)
1小会合，大功能1．已知会合 A ＝ {x|0 ＜log4 x＜1} ， B＝ {x|x ≤ 2} ，则 A ∩ B ＝________.答案(1,2]分析 A ＝ {x|1 ＜ x＜ 4} ， B＝ {x|x ≤ 2} ，∴A ∩B ＝ {x|1 ＜ x≤ 2} ．2．已知会合 A ＝ {x|x2＋ x－ 2＝ 0} ， B ＝{x|ax ＝ 1} ，若 A ∩ B＝ B，则 a＝ ________.答案－1或 0或1 2分析依题意可得 A ∩ B＝ B?B? A.由于会合 A ＝ {x|x 2＋ x－ 2＝ 0}＝{ －2,1} ，当 x＝－ 2 时，－ 2a＝ 1，解得 a＝－1；2当 x＝ 1 时， a＝ 1；又由于 B 是空集时也切合题意，这时a＝ 0.所以 a 的取值为－1或 0 或 1. 23．设会合M ＝ {y|y － m≤ 0} ，N ＝ {y|y ＝2 x－ 1， x∈ R} ，若 M ∩ N≠ ?，则实数m 的取值范围是 ________．答案(－ 1，＋∞ )分析M ＝ {y|y ≤ m} ， N＝ {y|y> － 1} ，联合数轴易知m>－ 1.4． (2014 ·江改编浙 )设全集 U＝ {x ∈ N|x ≥ 2} ，会合 A＝ {x ∈ N|x2≥ 5} ，则 ?U A＝ ________.答案{2}分析由于 A ＝ {x ∈ N|x ≤－5或x≥5} ，所以 ?U A ＝ {x ∈ N|2≤ x<5} ，故 ?U A ＝ {2}．5．已知 M＝ {y|y ＝ 2x} ，N ＝ {(x ， y)|x 2＋ y2＝ 4} ，则 M ∩ N 中元素个数为________．答案0分析会合 M 是数集，会合N 是点集，故其交集中元素的个数为0.6． (2014 ·州模拟徐 )设会合 S＝ {x|x>2} ， T＝ {x|x 2－3x－ 4≤ 0} ，则 (?R S)∩ (?R T)＝ ________.答案(－∞，－ 1)分析由于 T ＝ {x| － 1≤ x≤ 4} ，所以 (?R S)∩ (?R T)＝ ?R(S∪ T)＝ (－∞，－ 1)．7．若会合 A ＝{x ∈ R|ax2＋ ax＋ 1＝ 0} 中只有一个元素，则a＝________.答案4分析当 a＝ 0 时，明显不建立；当 a≠ 0 时，由＝ a2－ 4a＝0，得 a＝ 4.8．已知会合 A ＝ {x ∈ R||x－ 1|<2} ，Z 为整数集，则会合 A ∩ Z 中全部元素的和等于________．答案3分析 A ＝ {x ∈ R||x－ 1|<2} ＝ {x ∈ R|－ 1<x<3} ，会合 A 中包括的整数有0,1,2 ，故 A ∩ Z＝ {0,1,2} ．故 A ∩ Z 中全部元素之和为0＋1＋ 2＝ 3.9．已知会合 A ＝ {3 ，m2} ， B ＝{ － 1,3,2m－ 1} ．若 A ? B ，则实数 m 的值为 ________．答案 1分析∵A ? B，∴ m2＝ 2m－ 1 或 m2＝－ 1(舍 )．由 m2＝ 2m－ 1 得 m＝ 1.经查验 m＝ 1 时切合题意．10．关于 E＝ {a 1， a2，， a100} 的子集 X ＝{a， a，， a} ，定义 X 的“特点数列”12k为 x1， x2，， x100，此中x＝ x i＝＝ x i＝ 1，其他项均为0.比如：子集 {a 2， a3} 的“特12k征数列”为 0,1,1,0,0，， 0.(1) 子集 {a 1， a3， a5} 的“特点数列”的前 3 项和为 ________；(2)若 E 的子集 P 的“特点数列” p1，p2，， p100知足 p1＝ 1，p i＋p i＋1＝1,1≤ i≤ 99；E 的子集Q 的“特点数列” q1， q2，， q100知足 q1＝ 1， q j＋ q j＋1＋q j＋2＝1,1≤ j ≤ 98，则 P∩ Q 的元素个数为 ________．答案 (1)2 (2)17分析 (1)由题意，可得子集{a 1， a3， a5} 的“特点数列”为1,0,1,0,1,0，， 0，所从前 3 项和为 1＋ 0＋ 1＝ 2.(2) 由题意，可知 P 的“特点数列”为1,0,1,0,1,0，， 0，则 P＝ {a 1， a3，a5，， a99} ，有 50 个元素．即会合 P 中的元素的下标挨次组成以 1 为首项， 2 为公差的等差数列，即这些元素挨次取自会合 E 中的项 a2n－1(1≤ n≤ 50，n∈ N * )．Q 的“特点数列”为 1,0,0,1,0,0,1，， 1，则 Q＝ {a 1， a4， a7， a10，， a100} ，有 34 个元素．即会合 Q 中的元素的下标挨次组成以 1 为首项，3为公差的等差数列，即这些元素挨次取自会合 E 中的项 a3n－2(1≤ n≤ 34，n∈ N * )．而 P∩ Q 中的元素是由这两个会合中的公共元素组成的会合，所以这些元素的下标挨次组成首项为1，公差为 2×3＝ 6 的等差数列，即这些元素挨次取自会合 E 中的项a6n－5，由 1≤ 6n－5≤ 100，解得 1≤ n≤352，又 n∈ N*，所以 1≤ n≤ 17，即 P∩ Q 的元素个数为 17.11．已知函数 f(x) ＝6－1的定义域为会合 A ，函数 g(x) ＝ lg(－ x2＋ 2x＋ m)的定义域x＋ 1为会合 B.(1)当 m＝3 时，求 A ∩ (?R B) ；(2)若 A ∩ B＝ {x| － 1<x<4} ，务实数 m 的值．解 (1)当 m＝ 3 时， B＝ {x| － 1<x<3} ，则 ?R B＝{x|x ≤－ 1 或 x≥3} ，又 A ＝ {x| － 1<x≤ 5} ，∴ A ∩( ?R B) ＝ {x|3 ≤ x≤ 5} ．(2) ∵ A ＝ {x| － 1<x ≤5} ， A ∩ B＝ {x| － 1<x<4} ，故 4 是方程－ x2＋ 2x＋ m＝ 0 的一个根，∴有－ 42＋ 2× 4＋ m＝ 0，解得 m＝ 8.此时 B＝ {x| －2<x<4} ，切合题意．所以实数m 的值为 8.12．(2014 ·州模拟泰 )已知会合 A ＝ {x|3 ≤ x<7} ，B ＝ {x|2<x<10} ，C＝ {x|x<a} ，全集为实数集R.(1)求 A∪B；(2)( ?R A) ∩B ；(3)假如 A ∩C≠ ?，求 a 的取值范围．解 (1)由于 A＝ {x|3 ≤ x<7} ， B ＝{x|2<x<10} ，所以 A ∪ B＝ {x|2<x<10} ．(2)由于 A ＝ {x|3 ≤x<7} ，所以 ?R A＝ {x|x<3 或 x≥ 7} ．所以 (?R A) ∩B ＝ {x|x<3 或 x≥ 7} ∩ {x|2<x<10} ＝ {x|2<x<3 或 7≤ x<10} ．(3) 如图，当a>3 时， A ∩ C≠?.。
高考数学 考前三个月抢分训练1 集合与常用逻辑用语 试题
智才艺州攀枝花市创界学校填空题模块练训练1集合与常用逻辑用语1．(2021·改编)全集U＝R，集合M＝{x||x－1|≤2}，那么∁U M＝________.2．给出以下结论：p，那么q或者rp，那么綈q且綈r〞；p，那么qp，那么綈q〞；∃n∈N*，n2＋3n∀n∈N*，n2＋3n不能被10整除〞；∀x，x2－2x＋3＞0”∃x，x2－2x＋3＜0”．其中正确结论的个数是________．p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”p且qa的取值范围为________．∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”a的取值范围是________．5．全集U＝{－2，－1,0,1,2}，集合A＝{－1，0,1}，B＝{－2，－1,0}，那么A∩(∁U B)＝______.6．(2021·)集合A＝{x∈R||x－1|<2}，Z为整数集，那么集合A∩Z中所有元素的和为________．①假设A∩B＝∅，那么A＝∅或者B＝∅；P的否认就是P③A∪B＝U(U为全集)，那么A＝U，或者B＝U；④A B等价于A∩B＝A.8．集合A＝{x|y＝lg(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x>0}，R是实数集，那么(∁R B)∩A＝________.9．以下四项中，p是q的必要不充分条件的是________(填序号)．①p：a＋c>b＋d，q：a>b且c>d；②p：a>1，b>1，q：f(x)＝a x－b(a>0，且a≠1)的图象不过第二象限；③p：x＝1，q：x2＝x；④p：a>1，q：f(x)＝log a x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上为增函数．A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，假设B⊆A，那么实数m的取值集合为________．①每个二次函数的图象都开口向上；②对于任意非正数c，假设a≤b＋c，那么a≤b；③存在一条直线与两个相交平面都垂直；④存在一个实数x使不等式x2－3x＋6<0成立．12．函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R a＋b≥0，那么f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)〞，有以下结论：p：a2<aq：对任意的x∈R，都有x2＋4axp与q中有且仅有一个成立，那么实数a的取值范围是________．①“α，β，γ成等差数列〞是“sin(α＋γ)＝sin2β〞成立的充分而不必要条件；②“a＝0”是“复数z＝a＋b i(a，b∈R)为纯虚数〞的必要而不充分条件；③“函数f(x)在定义域内对任意实数x都有f(－x)＝－f(x)成立〞是“函数f(x)是奇函数〞的充分必要条件；④“一个棱柱的各侧面是全等的矩形〞是“这个棱柱是正棱柱〞的既不充分又不必要条件.答案1．{x|x<－1或者x>3}2．23．a>14．(－1,3)5．{1}6．37．38．(0,1]9．①10．{0，－，}11．112．①②③13.∪14．④。
2021年高考数学三轮冲刺 集合与函数课时提升训练(1)
2021年高考数学三轮冲刺集合与函数课时提升训练（1）1、已知定义在R上的函数满足：①②当时，；③对于任意的实数均有。
则．2、定义域为R的函数的值域为，则m+n=__________．3、已知定义在R上的函数=__________．4、已知定义在R上的奇函数，且在区间上是增函数，若方程=________．5、若函数的定义域为，则的取值范围为_______.6、设函数，则实数a的取值范围为。
7、设定义在上的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，。
则___________.8、已知集合,且若则集合最多会有_ __个子集.9、设、分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时且，则不等式的解集为10、设是定义在上的奇函数，当时，，则A. B. C.１ D.３11、已知上的减函数，那么a的取值范围是（）A． B． C．（0，1） D．12、已知是（）上是增函数，那么实数的取值范围是A.(1,+)B.C.D.(1,3)13、已知函数是奇函数，是偶函数，且=A.-2B.0C.2D.314、函数的图象关于（）A．y轴对称 B．直线对称 C．点（1，0）对称 D．原点对称15、定义行列式运算：所得图象对应的函数是偶函数，的最小值是（） A． B．1 C． D．216、用表示以两数中的最小数。
若的图象关于直线对称，则t的值为（）A．—2 B．2 C．—1 D．117、若函数分别是R上的奇函数、偶函数，且满足，则有（）A．B． C．D．18、已知函数，则下列四个命题中错误的是（）A．该函数图象关于点（1，1）对称；B．该函数的图象关于直线y=2-x对称；C．该函数在定义域内单调递减；D．将该函数图象向左平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度后与函数的图象重合19、已知=tan-sin+4(其中、为常数且0),如果,则(xx-3)的值为 ( )A.-3B. -5C. 3D.520、如图所示，单位圆中弧AB的长为x，f（x）表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f（x）的图象是（）21、已知函数f(x)是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a3＞0，则f(a1)+f(a3)+f(a5)的值( )A．恒为正数 B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负22、f（x）是定义域为R的增函数，且值域为R＋，则下列函数中为减函数的是（）A．f（x）+ f（－x） B．f（x）－f（－x） C．f（x）·f（－x） D．23、若非空集合S{1,2,3,4,5}，且若a∈S，则必有6－a∈S，则所有满足上述条件的集合S共有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个24、已知是上最小正周期为2的周期函数，且当时,,则函数的图象在区间[0,6]上与轴的交点的个数为（）A．6 B．7 C．8 D．925、设则的值为（）26、若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是（）27、若函数, 则该函数在上是( )单调递减无最小值单调递减有最小值单调递增无最大值单调递增有最大值28、设函数是定义在R上的奇函数，若当时，，则满足的的取值范围是（）A． B．（1，+∞） C． D．（-1，+∞）29、已知二次函数满足条件：①对任意x∈R,均有②函数的图像与y=x相切．(1)求的解析式；(2) 若函数，是否存在常数t (t≥0)，当x∈[t,10]时，的值域为区间D，且D的长度为12－t，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由(注：的区间长度为)．30、设函数f（x）＝ka x－a－x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．⑴若f（1）＞0，试求不等式f（x2＋2x）＋f（x－4）＞0的解集；⑵若f（1）＝，且g（x）＝a2x＋a－2x－2mf（x）在[1，＋∞）上的最小值为－2，求m的值．31、已知函数为偶函数．(1)求的值;(2)若方程有且只有一个根, 求实数的取值范围．32、已知函数，（为正常数），且函数与的图象在轴上的截距相等。
(冲刺回归)高考数学三轮练习基础知识梳理--第一部分集合与函数.doc
(冲刺回归)高考数学三轮练习基础知识梳理--第一部分集合与函数1、在集合运算中一定要分清代表元的含义.[举例1]集},2|{},,|{2R x y y Q R x x y y P x ∈==∈==，求Q P .分析：集合P 、Q 分别表示函数2x y =与xy 2=在定义域R 上的值域，所以),0[+∞=P ，),0(+∞=Q ，),0(+∞=Q P .[举例2]函数⎩⎨⎧∈-∈=)()()(M x x P x x x f ，其中P 、M 是实数集R 的两个非空子集，又规定：(){|(),},(){|(),}F P y y f x x P F M y y f x x M ==∈==∈.给出以下四个判断： 〔1〕假设∅=M P ，那么()()F P F M =∅；〔2〕假设∅≠M P ，那么()()F P F M ≠∅；〔3〕假设,R M P = 那么()()F P F M R =；〔4〕假设,R M P ≠ 那么()()F P F M R ≠. 其中正确的判断有----------------------------------------------------------------------------------〔 〕A 、1个；B 、2个；C 、3个；D 、4个.分析：这是一道比较难的题，涉及到函数的概念，集合的意义.()F P 是函数)(P x x y ∈=的值域，()F M 是函数)(M x x y ∈-=的值域.取),0[+∞=P ，)0,(-∞=M 可知〔1〕、〔3〕不正确.由函数的定义可知，函数定义域内的任意一个值只能与一个函数值对应，所以假设设,a P M ∉那么a P ∉且a M ∉，假设0a =，显然有0()F P ∉且0()F M ∉，所以有()()F P F M R ≠；假设0a ≠，由a P ∉那么()a F P ∉，由a M ∉，那么()a F M -∉.假设有()a F M ∉，那么a M -∉，所以a P -∉，那么()a F P -∉，所以()()a F P F M -∉，那么()()F P F M R ≠.同理可证，假设()a F P -∈，那么有()()a F P F M ∉.〔4〕也正确，选B.2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.[举例]假设}2|{},|{2>=<=x x B a x x A 且∅=B A ，求a 的取值范围.分析：集合A 有可能是空集.当0≤a 时，∅=A ，此时∅=B A 成立；当0>a 时，),(a a A -=，假设∅=B A ，那么2≤a ，有40≤<a .综上知，4≤a . 注意：在集合运算时要注意学会转化B A A B A ⊆⇔= 等.3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定：假设B A ⊆，那么∈x A 是∈x B 的充分条件；假设B A ⊇，那么∈x A 是∈x B 的必要条件；假设B A ⊆且B A ⊇即B A =，那么∈x A 是∈x B 的充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分〔必要〕条件；注意区分：“甲是乙的充分条件〔甲⇒乙〕”与“甲的充分条件是乙〔乙⇒甲〕”，是两种不同形式的问题.［举例］设有集合}2|),{(},2|),{(22>-=>+=x y y x N y x y x M ，那么点M P ∈的＿＿＿＿＿＿＿条件是点N P ∈；点M P ∈是点N P ∈的＿＿＿＿＿＿＿条件.分析：集合M 是圆222=+y x 外的所有点的集合，N 是直线2+=x y 上方的点的集合.显然有M N ⊆.〔充分不必要、必要不充分〕4、掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假.［举例］命题：“假设两个实数的积是有理数，那么此两实数都是有理数”的否命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，它是＿＿＿＿〔填真或假〕命题.5、假设函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称，那么有)()(x a f x a f +=-或)()2(x f x a f =-等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数)(x f y =的图像关于直线a x =的对称曲线是函数)2(x a f y -=的图像，函数)(x f y =的图像关于点),(b a 的对称曲线是函数)2(2x a f b y --=的图像.[举例1]假设函数)1(-=x f y 是偶函数，那么)(x f y =的图像关于＿＿＿＿＿＿对称. 分析：由)1(-=x f y 是偶函数，那么有)1()1(-=--x f x f ，即)1()1(x f x f +-=--，所以函数)(x f y =的图像关于直线1-=x 对称.或函数)1(-=x f y 的图像是由函数)(x f y =的图像向右平移一个单位而得到的，)1(-=x f y 的图像关于y 轴对称，故函数)(x f y =的图像关于直线1-=x 对称.[举例2]假设函数)(x f y =满足对于任意的R x ∈有)2()2(x f x f -=+，且当2≥x 时x x x f +=2)(，那么当2<x 时=)(x f ＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：由)2()2(x f x f -=+知，函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，因而有)4()(x f x f -=成立.2<x ，那么24>-x ，所以)4()4()4()(2x x x f x f -+-=-=.即2<x 时209)(2+-=x x x f .6、假设函数)(x f y =满足：)0)(()(≠-=+a a x f a x f 那么)(x f 是以a 2为周期的函数.注意：不要和对称性相混淆.假设函数)(x f y =满足：)0)(()(≠-=+a x f a x f 那么)(x f 是以a 2为周期的函数.〔注意：假设函数)(x f 满足)(1)(x f a x f ±=+，那么)(x f 也是周期函数〕 ［举例］函数)(x f y =满足：对于任意的R x ∈有)()1(x f x f -=+成立，且当)2,0[∈x 时，12)(-=x x f ，那么=++++)2006()3()2()1(f f f f ＿＿＿＿＿＿.分析：由)()1(x f x f -=+知：)()1(]1)1[()2(x f x f x f x f =+-=++=+，所以函数)(x f y =是以2为周期的周期函数.1)0()2()2004()2006(-=====f f f f ，1)1()3()2003()2005(=====f f f f ，故意原式值为0.7、奇函数对定义域内的任意x 满足0)()(=+-x f x f ；偶函数对定义域内的任意x 满足0)()(=--x f x f .注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量x 的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y 轴对称；假设函数)(x f y =是奇函数或偶函数，那么此函数的定义域必关于原点对称；反之，假设一函数的定义域不关于原点对称，那么该函数既非奇函数也非偶函数.假设)(x f y =是奇函数且)0(f 存在，那么0)0(=f ；反之不然.［举例1］假设函数a x f x -+=121)(是奇函数，那么实数=a ＿＿＿＿＿＿＿； 分析：注意到)0(f 有意义，必有0)0(=f ，代入得21=a .这种特值法在解填空、选择题时假设能灵活运用，那么事半功倍. [举例2]假设函数3)2()(2+-+=xb ax x f 是定义在区间]2,12[a a --上的偶函数，那么此函数的值域是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：函数是偶函数，必有0)2()12(=-+-a a ，得1-=a ；又由()y f x =是偶函数，因而2=b .即]3,3[(3)(2-∈+-=x x x f ，所以此函数的值域为]3,6[-.8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.假设函数)(x f y =的图像关于直线a x =对称，那么它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式〔即函数不等式〕”多用函数的单调性，但必须注意定义域.［举例］假设函数)(x f y =是定义在区间]3,3[-上的偶函数，且在]0,3[-上单调递增，假设实数a 满足：)()12(2a f a f <-，求a 的取值范围.分析：因为)(x f y =是偶函数，)()12(2a f a f <-等价于不等式)(|)12(|2a f a f <-，又此函数在]0,3[-上递增，那么在]3,0[递减.所以2|12|3a a >-≥，解得211+-<≤-a .9、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数)(x f y =的图像，作出函数a x f y a x f y x f y x f y x f y +=+===-=)(),(|,)(||),(|),(的图像.〔注意：图像变换的本质在于变量对应关系的变换〕；要特别关注|)(||),(|x f y x f y ==的图像. ［举例］函数|1|12|log |)(2--=x x f 的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：函数|1|12|log |)(2--=x x f 的图像是由函数x y 2log =的图像经过以下变换得到的：先将函数x y 2log =的图像上各点的横坐标缩短到原来的21〔或将函数x y 2log =的图像向上平移1个单位〕得到函数x y 2log 2=的图像，再将函数x y 2log 2=的图像作关于y 轴对称得到函数|2|log 2x y =的图像，再将函数|2|log 2x y =的图像向右平移21个单位，得到函数|12|log 2-=x y 的图像，再将函数|12|log 2-=x y 的图像向下平移1个单位得到函数1|12|log 2--=x y ，最后将函数1|12|log 2--=x y 的图像在x 轴下方部分翻折到x 轴上方得到函数|1|12|log |)(2--=x x f 的图像.注意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化〔尤其是与x 轴的交点不要搞错〕，从图像上可以看出此函数的单调递增区间是)1,21[-与),23[+∞.需要注意的是：函数图像变化过程：|)(||)(|)(a x f y x f y x f y -=⇒=⇒=与变化过程：|)(|)()(a x f y a x f y x f y -=⇒-=⇒=不同.前者是先作关于y 轴对称后平移，而后者是先平移后再作关于直线a x =对称.10、研究方程根的个数、超越方程〔不等式〕的解〔特别是含有参量的〕、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质〔包括值域〕、含有绝对值的函数及分段函数的性质〔包括值域〕等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点〔函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等〕、递增递减的区间、最值等. ［举例1］函数1)(,12)(+=-=ax x g x x f ，假设不等式)()(x g x f >的解集不为空集，那么实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：不等式)()(x g x f >的解集不为空集，亦即函数)(x f y =的图像上有点在函数)(x g y =的图像的上方. 函数12)(-=x x f 的图像是x 轴上方的半 支抛物线，函数1)(+=ax x g 的图像是过点 )1,0(斜率为a 的直线.当1a =时直线与抛物线相切，由图像知：12-<a .〔注意图中的虚线也满足题义〕[举例2]假设曲线1||2+=x y 与直线b kx y +=没有公共点，那么b k ,应当满足的条件是.分析：曲线1||2+=x y 是由)0(12≥+=x x y 与)0(12<+-=x x y 组成，它们与y 轴的交点为)1,0(和)1,0(-，图像如图〔实线部分〕.可以看出假设直线b kx y +=曲线1||2+=x y直线必与x 轴平行，所以0=k ，11<<-b .11个交点.一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应，反应在图像上平行于x 轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗？〔是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数〕.还应注意的是：有反函数的函数不一定是单调函数，你能举例吗？［举例］函数12)(2+-=ax x x f ，〔]4,3[]1,0[ ∈x 〕，假设此函数存在反函数，那么实数a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：由函数存在反函数的充要条件是定义域与值域中的元素一一对应，平行于x 轴的直线与函数的图像至多只有一个交点.又由二次函数12)(2+-=ax x x f 图像的对称轴为直线a x =知：0≤a 或4≥a 必存在反函数，10<<a 或43<<a 必不存在反函数.当]3,1[∈a 时如何讨论？注意到函数在区间]1,0[上递减，在]4,3[上递增，所以只要)1()4(f f <或)0()3(f f >即可.亦即325≤<a 或231<≤a .综上知，实数a 的取值范围是 ]0,(-∞ ),4[]3,25()23,1[+∞ . 12、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解，而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解〔关于x 的〕方程的过程.注意：函数的反函数是唯一的，尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定.［举例］函数])2,((),22(log )(22--∞∈++=x x x x f 的反函数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：令)22(log 22++=x x y ，那么12)1(22222-=+⇒=++y y x x x .因为2-≤x ，所以11-≤+x ，那么121--=+y x ，121---=y x .又原函数的值域为),1[+∞，所以原函数的反函数为)1(121)(1≥---=-x x f x .〔假设是从反函数表达式得012≥-x 求得0≥x 就不是反函数的定义域〕.13、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图像关于直线x y =对称；假设函数)(x f y =的定义域为A ，值域为C ，C b A a ∈∈,,那么有a a f f b b f f ==--))((,))((11.)()(1b fa a fb -=⇔=.需要特别注意一些复合函数的反函数问题.如)2(x f y =反函数不是)2(1x fy -=. ［举例1］函数)(x f y =的反函数是)(1x f y -=，那么函数)43(21+=-x f y 的反函数的表达式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.分析：求函数的反函数是解方程的过程，即用y 表示,x 然后将y x ,互换即得反函数的表达式.由)43(21+=-x f y 可得]4)2([31)2(432)43(1-=⇒=+⇒=+-y f x y f x y x f .所以函数)43(21+=-x f y 的反函数为]4)2([31-=x f y . [举例2]⎩⎨⎧<<--≥=02,)(log 0,2)(2x x x x f x ，假设3)(1=-a f，那么=a ＿＿＿＿. 分析：由3)(1=-a f 得)3(f a =，所以8=a .14、判断函数的单调性可用有关单调性的性质〔如复合函数的单调性〕，但证明函数单调性只能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数)0,(,>+=b a xb ax y 的单调性.[举例]函数)0(1)(>+=a x ax x f 在),1[+∞∈x 上是单调增函数，求实数a 的取值范围. 分析：函数)0,(,>+=b a xb ax y 称为“耐克”函数，由基本不等式知：当0>x 时，函数的最小值是ab 2，当a b x =时等号成立.],0(a b x ∈时，函数递减；),[+∞∈a b x 时，函数递增.记住此结论在解选择、填空等小题时用起来比较方便.函数)0(1)(>+=a xax x f 在),1[+∞上递增，那么11≤a，得1≥a .但假设是大题推理就不能这样描述性的说明，必需要按函数单调性的定义有严格的论证.任设),,1[,21+∞∈x x 且21x x <.)1)(()()(212121x x a x x x f x f --=-，由函数)(x f 是单调增函数，那么0)()(21<-x f x f ，而021<-x x ，那么0121>-x x a .所以211x x a >对于),,1[,21+∞∈x x 且21x x <恒成立，因1121<x x ，故1≥a . 需要说明的是：在考试中假设“小题大做”那么浪费时间，因为“小题”只要结果；而“大题小做”那么失分，因为“大题”需要严格的论证过程.15、一元二次函数是最基本的初等函数，要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在闭区间上一定存在最大值与最小值，应会结合二次函数的图像求最值.［举例］求函数12)(2+-=ax x x f 在区间]3,1[-的最值.分析：求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要根据二次函数的对称轴与区间的位置关系分三种情况进行讨论，但求开口向上的二次函数在闭区间上的最大值只要根据区间端点与对称轴之间的距离分两种情况进行讨论即可.⎩⎨⎧>+≤-=)1(22)1(610)(max a a a a x f ，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<+=)1(610)31(1)1(22)(2min a a a a a a x f .16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是；一般地，不等式解集区间的端点值是对应方程的根〔或增根〕.[举例1]关于x 的不等式5|3|≤+ax 的解集是]4,1[-，那么实数a 的值为.分析：假设是从解不等式入手，还应考虑常数a 的正负进行讨论.如合理利用方程与不等式之间的关系那么可迅速得到答案：解集端点值4,1-是方程5|3|=+ax 的根.那么⎩⎨⎧=+=+-5|34|5|3|a a 得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=21282或或a a ，知2-=a .［举例2］解关于x 的不等式：)(0122R a ax ax ∈>++.分析：首先要注意的是此不等式是否是一元二次不等式.当0=a 时，此不等式是恒成立的，那么其解集为R .当0≠a 时，才是二次不等式.与其对应的方程为0122=++ax ax ，根判别式a a 442-=∆.当0>∆，即1>a 或0<a 时，方程两根为aa a a x -±-=22,1；当0=∆，即1=a 时，方程有等根1-=x ；当0<∆，即10<<a 时，方程无实根.结合二次函数的图像知：1>a 时不等式的解集为),(),(22+∞-+-----∞aa a a a a a a ；当1=a 时，不等式的解集为),1()1,(+∞---∞ ；当10<≤a 时，不等式的解集为R ；当0<a 时，不等式的解集为),(22aa a a a a a a ----+-.。
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第1练小集合，大功能[题型分析·高考展望] 集合是高考每年必考内容，题型基本都是选择题、填空题，题目难度大多数为最低档，有时候在填空题中以创新题型出现，难度稍高．在二轮复习中，本部分应该重点掌握集合的表示、集合的性质、集合的运算及集合关系在常用逻辑用语、函数、不等式、三角函数、解析几何等方面的应用．同时注意研究有关集合的创新问题，研究问题的切入点及集合知识在相关问题中所起的作用．常考题型精析题型一单独命题独立考查常用的运算性质及重要结论：(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U；(4)A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B.例1 (1)(2015·山东)已知集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2<x<4}，则A∩B等于( ) A．(1,3) B．(1,4) C．(2,3) D．(2,4)(2)(2014·湖北)设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.答案(1)C (2)C (3)4解析(1)∵A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|(x－1)(x－3)}＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2＜x＜4}，∴A∩B＝{x|2＜x＜3}＝(2,3)．(2)若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由Venn图(如图)可知，存在A＝C，同时满足A⊆C，B⊆∁U C.故“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的充要条件． (3)由log 2x ≤2，得0<x ≤4，即A ＝{x |0<x ≤4}，而B ＝(－∞，a )， 由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.点评 (1)弄清集合中所含元素的性质是集合运算的关键，这主要看代表元素，即“|”前面的表述．(2)当集合之间的关系不易确定时，可借助Venn 图或列举实例．变式训练1 (1)(2015·浙江)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁RP )∩Q 等于( )A ．[0,1)B ．(0,2]C ．(1,2)D ．[1,2] 答案 C解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}， ∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}，故选C.(2)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |0≤ax ＋1≤3}．若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．解 ∵A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}， 又∵B ＝{x |0≤ax ＋1≤3}＝{x |－1≤ax ≤2}， ∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B .①当a ＝0时，B ＝R ，满足题意． ②当a >0时，B ＝{x |－1a ≤x ≤2a}，∵A ⊆B ，∴2a≥2，解得0<a ≤1.③当a <0时，B ＝{x |2a ≤x ≤－1a}，∵A ⊆B ，∴－1a ≥2，解得－12≤a <0.综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.题型二 集合与其他知识的综合考查集合常与不等式、向量、解析几何等知识综合考查．集合运算的常用方法：(1)若已知集合是不等式的解集，用数轴求解； (2)若已知集合是点集，用数形结合法求解； (3)若已知集合是抽象集合，用Venn 图求解．例2 (2014·安徽)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b )．曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( ) A ．1<r <R <3 B ．1<r <3≤R C ．r ≤1<R <3 D ．1<r <3<R答案 A解析 ∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，又∵OQ →＝2(a ＋b )， ∴|OQ →|2＝2(a ＋b )2＝2(a 2＋b 2＋2a ·b )＝4， ∴点Q 在以原点为圆心，半径为2的圆上．又OP →＝a cos θ＋b sin θ，∴|OP →|2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θ＝1. ∴曲线C 为单位圆．又∵Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }，要使C ∩Ω为两段分离的曲线，如图，可知1<r <R <3，其中图中两段分离的曲线是指AB 与CD .故选A.点评 以集合为载体的问题，一定要弄清集合中的元素是什么，范围如何．对于点集，一般利用数形结合，画出图形，更便于直观形象地展示集合之间的关系，使复杂问题简单化． 变式训练2 (2014·天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0,1,2，…，q －1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n －1，x i ∈M ，i ＝1,2，…，n }．(1)当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A ； (2)设s ，t ∈A ，s ＝a 1＋a 2q ＋…＋a n qn －1，t ＝b 1＋b 2q ＋…＋b n qn －1，其中a i ，b i ∈M ，i ＝1,2，…，n .证明：若a n <b n ，则s <t .(1)解当q＝2，n＝3时，M＝{0,1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，x i∈M，i＝1,2,3}，可得，A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．(2)证明由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋a n q n－1，t＝b1＋b2q＋…＋b n q n－1，a i，b i∈M，i＝1,2，…，n及a n<b n，可得s－t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(a n－1－b n－1)q n－2＋(a n－b n)q n－1≤(q－1)＋(q－1)q＋…＋(q－1)q n－2－q n－1＝q－－q n－11－q－q n－1＝－1<0.所以s<t.题型三与集合有关的创新问题与集合有关的创新题目，主要以新定义的形式呈现，考查对集合含义的深层次理解．在新定义下求集合中的元素、确定元素个数、确定两集合的关系等．例3 (2015·湖北)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x ，y∈Z}，定义集合A B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A B中元素的个数为( )A．77 B．49 C．45 D．30答案 C解析如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合A B显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A B表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个．故A B中元素的个数为45.故选C.点评解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．变式训练3 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z，k＝0,1,2,3,4}．给出如下四个结论：①2 016∈[1]；②－3∈[3]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一类”的充要条件是“a－b∈[0]”．其中，正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4答案 C解析对于①：2 016＝5×403＋1，∴2 016∈[1]，故①正确；对于②：－3＝5×(－1)＋2，∴－3∈[2]，故②不正确；对于③：∵整数集Z被5除，所得余数共分为五类．∴Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；对于④：若整数a，b属于同一类，则a＝5n1＋k，b＝5n2＋k，∴a－b＝5n1＋k－(5n2＋k)＝5(n1－n2)＝5n，∴a－b∈[0]，若a－b＝[0]，则a－b＝5n，即a＝b＋5n，故a与b被5除的余数为同一个数，∴a与b属于同一类，所以“整数a，b属于同一类”的充要条件是“a－b∈[0]”，故④正确，∴正确结论的个数是3.高考题型精练1．(2015·天津)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁U B)等于( )A．{2,5} B．{3,6}C．{2,5,6} D．{2,3,5,6,8}答案 A解析由题意知，∁U B＝{2,5,8}，则A∩(∁U B)＝{2,5}，选A.2．(2014·安徽)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析∵ln(x＋1)<0，∴0<x＋1<1，∴－1<x<0.∵x<0是－1<x<0的必要不充分条件，故选B.3．(2015·陕西)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N等于( )A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]答案 A解析由题意得M＝{0,1}，N＝(0,1]，故M∪N＝[0,1]，故选A.4．(2014·山东)设集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0,2]}，则A∩B等于( ) A．[0,2] B．(1,3)C ．[1,3)D ．(1,4)答案 C解析 由|x －1|<2，解得－1<x <3，由y ＝2x，x ∈[0,2]，解得1≤y ≤4，∴A ∩B ＝(－1,3)∩[1,4]＝[1,3)．5．设常数a ∈R ，集合A ＝{x |(x －1)(x －a )≥0}，B ＝{x |x ≥a －1}，若A ∪B ＝R ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 B解析 方法一 代值法、排除法． 当a ＝1时，A ＝R ，符合题意；当a ＝2时，因为B ＝[1，＋∞)，A ＝(－∞，1]∪[2，＋∞)． 所以A ∪B ＝R ，符合题意． 综上，选B.方法二 因为B ＝[a －1，＋∞)，A ∪B ＝R ， 所以A ⊇(－∞，a －1)，又(x －1)(x －a )≥0. 所以当a ＝1时，x ∈R ，符合题意；当a >1时，A ＝(－∞，1]∪[a ，＋∞)，1≥a －1，解得1<a ≤2； 当a <1时，A ＝(－∞，a ]∪[1，＋∞)，a ≥a －1，∴a <1. 综上，a ≤2.6．设集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 答案 C解析 x －y 的取值分别为－2，－1,0,1,2.7．已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若N ∩(∁I M )＝∅，则M ∪N 等于( ) A ．M B ．N C ．I D ．∅ 答案 A解析 如图，因为N ∩(∁I M )＝∅，所以N ⊆M ， 所以M ∪N ＝M .8．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x2－y，若关于x 的不等式(x －a )⊗(x ＋1－a )>0的解集是集合{x |－2≤x ≤2}的子集，则实数a 的取值范围是( ) A ．－2≤a ≤2 B ．－1≤a ≤1 C ．－2≤a ≤1 D ．1≤a ≤2答案 C解析 因为(x －a )⊗(x ＋1－a )>0，所以x －a1＋a －x>0，即a <x <a ＋1，则a ≥－2且a ＋1≤2，即－2≤a ≤1.9．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,1)D ．(1，＋∞) 答案 B解析 A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)} ＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )，因为A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.应选B.10．已知a ，b 均为实数，设集合A ＝{x |a ≤x ≤a ＋45}，B ＝{x |b －13≤x ≤b }，且A 、B 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集．如果把n －m 叫做集合{x |m ≤x ≤n }的“长度”，那么集合A ∩B 的“长度”的最小值是________． 答案215解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＋45≤1，∴0≤a ≤15，∵⎩⎪⎨⎪⎧b －13≥0，b ≤1，∴13≤b ≤1，利用数轴分类讨论可得集合A ∩B 的“长度”的最小值为13－15＝215. 11．对任意两个集合M 、N ，定义：M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M *N ＝(M －N )∪(N －M )，设M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，N ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R }，则M *N ＝__________. 答案 {y |y >3或－3≤y <0}解析 ∵M ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，N ＝{y |y ＝3sin x ，x ∈R }＝{y |－3≤y ≤3}，∴M －N ＝{y |y >3}，N －M ＝{y |－3≤y <0}，∴M *N ＝(M －N )∪(N －M )＝{y |y >3}∪{y |－3≤y <0}＝{y |y >3或－3≤y <0}．12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}．命题p ：A ∩B ≠∅；命题q ：A ⊆C . (1)若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围； (2)若命题p ∧q 为真命题，求实数a 的取值范围． 解 (1)A ＝[1,2]，B ＝[a －1，＋∞)， 若p 为假命题，则A ∩B ＝∅， 故a －1>2，即a >3. (2)命题p 为真，则a ≤3.命题q 为真，即转化为当x ∈[1,2]时，f (x )＝x 2－ax －4≤0恒成立，方法一 ⎩⎪⎨⎪⎧f＝1－a －4≤0，f ＝4－2a －4≤0，解得a ≥0.方法二 当x ∈[1,2]时，a ≥x －4x恒成立，而x －4x在[1,2]上单调递增，故a ≥⎝⎛⎭⎪⎫x －4x max ＝0.故实数a 的取值范围是[0,3]．。