向量公式性质总结
向量公式知识点总结
向量公式知识点总结一、向量的定义在空间直角坐标系中，向量是一个由起点和终点确定的有向线段。
向量常用a、b、c等字母表示，一般写作a = (a1, a2, a3)，其中a1、a2、a3分别表示向量在x、y、z轴的投影。
二、向量的性质1. 向量的模向量的模表示向量的长度，记作|a|，计算公式为|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
2. 向量的方向向量的方向由向量的起点指向终点的方向确定。
3. 零向量零向量是模为0的向量，通常表示为0。
4. 向量的方向余弦向量a的方向余弦分别表示为cosα、cosβ、cosγ，其中α、β、γ为向量a与x、y、z轴的夹角。
三、向量的运算1. 向量的加法向量a和向量b的和记作a + b，计算公式为a + b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)。
2. 向量的数乘向量a和标量k的乘积记作ka，计算公式为ka = (ka1, ka2, ka3)。
3. 向量的减法向量a和向量b的差记作a - b，计算公式为a - b = a + (-1)b。
四、线性相关性1. 线性相关对于n个向量a1、a2、...、an，存在一组不全为0的实数k1、k2、...、kn，使得k1a1 + k2a2 + ... + knan = 0，则称这n个向量线性相关。
2. 线性无关如果向量a1、a2、...、an不线性相关，则称它们线性无关。
五、内积1. 内积的定义向量a和向量b的内积记作a·b，计算公式为a·b = a1b1 + a2b2 + a3b3。
2. 内积的性质(1) 对称性：a·b = b·a(2) 分配律：a·(b + c) = a·b + a·c(3) 数乘结合：(ka)·b = k(a·b)(4) 对于非零向量a和b，a·b = 0当且仅当a与b垂直六、外积1. 外积的定义向量a和向量b的外积记作a×b，计算公式为a×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用和许多重要的性质。
接下来，我将结合向量的定义、基本运算、向量积、应用与公式等方面，进行一篇总结文章。
一、向量的定义与表示向量是有大小和方向的量，可以用有序的数对或列矩阵表示。
通常记作：A = (a1, a2, ..., an) 或 A = [a1, a2, ..., an]向量的大小和方向分别由模和方向角表示，其中模表示向量的长度，方向角表示向量与某一坐标轴的夹角。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，结果仍为一个向量。
表示为：A +B = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量的对应分量相减，结果仍为一个向量。
表示为：A -B = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个实数，结果仍为一个向量。
表示为：kA = (ka1, ka2, ..., kan)，其中k为实数。
4. 内积向量的内积也叫点乘，表示为A·B，定义为：A·B = a1b1 + a2b2 + ... + anbn5. 向量的模向量的模表示向量的长度，记作 ||A||，定义为：||A|| = √(a1² + a2² + ... + an²)三、向量积向量积又叫叉乘，是在三维空间中定义的二元运算。
向量积的结果是一个新的向量，其大小为原向量所构成的平行四边形的面积，并且垂直于原向量所在的平面。
表示为A × B，定义为：A ×B = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)四、向量的应用1. 物理学中的力和速度在物理学中，力和速度常常用向量表示。
力是有大小和方向的，所以可以看作是一个向量。
向量公式大全
向量公式设a= (x, y), b=(x' , y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则AB+BC=ACa+b=（x+x' ，y+y'）。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减”a=（x,y） b=（x',y'）则a-b=（x-x',y-y'）.4、数乘向量实数入和向量a的乘积是一个向量，记作入a，且I入a l =1X1 ? I a l。
当入〉0时，入a与a同方向；当XV 0时，入a与a反方向；当入=0时，X a=0,方向任意。
当a=0时，对于任意实数X,都有X a=0。
注：按定义知，如果X a=0，那么X =0或a=0。
实数X叫做向量a的系数，乘数向量X a的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当IXI> 1时，表示向量a的有向线段在原方向（X> 0）或反方向（XV 0）上伸长为原来的IXI倍；当IXI V 1时，表示向量a的有向线段在原方向（X> 0）或反方向（XV 0）上缩短为原来的IXI倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：（X a）?b= X （a ?b）=（a ?X b）。
向量对于数的分配律（第一分配律）：（X +卩）a= X a+卩a.数对于向量的分配律（第二分配律）：X （a+b）= X a+X b.数乘向量的消去律：① 如果实数入工0且X a=X b，那么a=b。
②如果a^0 .且X a=（1 a，那么X =卩。
3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0W〈a,b〉Wn定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a?b。
平面向量重要公式
平面向量重要公式平面向量是指在同一平面上定点两点之间的差。
在平面向量的运算中，存在许多重要的公式，这些公式对于解决数学问题具有重要的指导作用。
下面将介绍一些平面向量的重要公式。
1.向量的加法：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a+b=(a₁+b₁,a₂+b₂)向量的加法满足交换律和结合律。
2.向量的数乘：设向量a=(a₁,a₂)，k为实数，则有：k*a=(k*a₁,k*a₂)数乘与向量的顺序可以交换。
3.向量的模：设向量a=(a₁,a₂)，则有：a，=√(a₁²+a₂²)向量的模等于其坐标的平方和的平方根。
4.向量的数量积（点积）：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a·b=a₁*b₁+a₂*b₂向量的数量积满足交换律和分配律。
5.向量的平行性质：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a//b⇔a₁/b₁=a₂/b₂两个向量平行的充分必要条件是它们的坐标成比例。
6.向量的垂直性质：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a⊥b⇔a·b=0两个向量垂直的充分必要条件是它们的数量积为0。
7.向量的共线性质：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a、b共线⇔a₁/b₁=a₂/b₂=k（k为实数）两个向量共线的充分必要条件是它们的坐标成比例，且比例因子相同。
8.向量的二次共线性：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，c=(c₁,c₂)，则有：a、b共线两个向量共线的充分必要条件是它们的坐标成比例，且比例因子相同。
9.向量的夹角：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：cosθ = (a·b) / (，a，，b，)两个向量的夹角cosθ等于它们的数量积与它们的模的乘积之商。
10.平行四边形法则：设向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，则有：a+b=c+d一个平行四边形的对角向量相等。
总结向量公式定理知识点
总结向量公式定理知识点一、向量的基本概念和性质1. 向量的定义向量是一个有大小和方向的量，通常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在数学上，通常用有序数组或列向量表示一个向量，例如，向量a可以表示为(a1, a2, a3)或者[a1 a2 a3]。
2. 向量的性质向量有一些基本的性质，例如：（1）相等性：如果两个向量的大小和方向都相等，则它们是相等的；（2）共线性：如果两个向量的方向相同或者相反，则它们是共线的；（3）线性运算：向量可以进行加法和数乘运算，满足加法交换律、结合律和数乘结合律。
二、向量的运算和计算1. 向量的加法向量的加法是指两个向量相加，结果是一个新的向量。
两个向量的加法可以用三角法则或者平行四边形法则进行计算。
2. 向量的数乘向量的数乘是指一个向量乘以一个数，结果是一个新的向量。
向量的数乘可以用数乘的分配律和结合律进行计算。
3. 向量的点积向量的点积（也称为数量积或内积）是指两个向量相乘得到一个标量。
向量的点积有一些重要的性质，例如满足交换律、分配律和结合律。
4. 向量的叉积向量的叉积（也称为向量积或外积）是指两个向量相乘得到一个新的向量。
向量的叉积也有一些重要的性质，例如满足反交换律和结合律。
三、向量的公式和定理1. 向量的模长公式向量的模长表示向量的大小，通常用||a||表示。
向量的模长可以用勾股定理进行计算，即||a|| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。
2. 向量的角度公式两个向量的夹角可以通过它们的点积和模长进行计算，即cosθ = (a·b) / (||a|| · ||b||)。
3. 平面向量的基本定理平面向量的基本定理包括平面向量的线性组合和平面向量的共线定理。
平面向量的线性组合指的是两个向量的线性组合仍然是一个向量，满足封闭性和结合律。
平面向量的共线定理指的是如果两个向量共线，则它们的线性组合也是共线的。
向量的运算的所有公式
向量的运算的所有公式1.向量加法的定义对于两个向量a和b，它们的和被定义为两个向量的对应分量相加所得的向量，即：a +b = (a1+b1, a2+b2, ... , an+bn)2.向量减法的定义向量减法可以看作是向量加法的逆操作，即a减去b等于a加上-b 的结果，即：a -b = a + (-b) = (a1-b1, a2-b2, ... , an-bn)3.向量数量乘法的定义向量数量乘法是将一个标量与一个向量的每个分量相乘，即：k * a = (k*a1, k*a2, ... , k*an)其中，k为标量。
若数k≠0，且k·a=0，则a=0。
4.向量运算的性质a.交换律：a+b=b+a向量的加法满足交换律，即加法的顺序可以任意调换。
b.结合律：(a+b)+c=a+(b+c)向量的加法满足结合律，即几个向量相加的结果与加法的顺序无关。
c. 分配律：k(a + b) = ka + kb向量的数量乘法满足分配律，即向量加法与数量乘法相互关联。
d.向量加法的零元：a+0=a零向量0是唯一的，满足任何向量与0相加的结果等于它本身。
e.数量乘法的单位元：1·a=a数量乘法的单位元是1，满足任何向量与1相乘的结果等于向量本身。
另外,针对一些常见运算，还存在一些特殊的公式：5.内积的定义两个n维向量a=(a1, a2, ... , an)和b=(b1, b2, ... , bn)的内积被定义为：a·b = a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn6.内积的性质a.交换律：a·b=b·a内积满足交换律，即两个向量的内积与其顺序无关。
b.分配律：(a+b)·c=a·c+b·c内积满足分配律，即内积对于向量的加法满足分配律。
c.数量乘法结合律：(k*a)·b=k*(a·b)=a·(k*b)内积满足数量乘法的结合律。
向量知识点总结高中高三
向量知识点总结高中高三一、向量的概念和性质向量是指既有大小又有方向的量，通常用箭头表示。
记作→AB或AB。
向量的大小称为模，用|→AB|表示。
向量的方向可以用角度、方向角或单位向量表示。
二、向量的表示方法1. 自由向量表示：以起点为原点，终点为坐标，用坐标向量<AB>表示。
2. 定位向量表示：以某个点为原点，另一点为坐标，用坐标<AB>表示。
三、向量的基本运算1. 向量的加减法向量的加法满足交换律和结合律，即A＋B＝B＋A，(A＋B)＋C＝A＋(B＋C)。
向量的减法可以转化为加法，即A－B = A + (-B)。
2. 数乘将一个向量与一个实数相乘，得到的新向量与原向量的方向一致（同方向或反方向），大小为原向量的模与实数的乘积。
3. 数量积（点积）定义：两个向量的数量积等于它们模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
性质：数量积满足交换律和分配律，即A·B=B·A，A·(B+C)=A·B+A·C。
定理：若A·B=0，则向量A与向量B垂直。
4. 向量积（叉积）定义：两个向量的向量积等于以这两个向量为邻边的平行四边形的有向面积。
性质：向量积满足反交换律和分配律，即A×B=-(B×A)，A×(B+C)=A×B+A×C。
定理：向量A与向量B的向量积等于向量A、B、O组成的三角形的有向面积的二倍。
四、向量的线性相关与线性无关若存在不全为0的实数k1、k2、…、kn，使得k1A1+k2A2+…+knAn=0，那么向量组A1、A2、…、An线性相关；否则，它们线性无关。
五、向量的夹角和投影1. 夹角定义对于两个非零向量A和B，它们的夹角θ满足0≤θ≤π。
夹角θ的余弦称为方向余弦。
2. 向量的投影若A和B是两个非零向量，A在B上的投影为|(A·B)/|B||∥B∥。
六、平面向量的应用1. 平面向量的平移平面上的向量可以进行平移操作，即将向量A的起点与向量B的终点重合，得到一个新向量C，记作C=A+B。
向量性质知识点总结
向量性质知识点总结一、向量的基本性质1. 向量的表示在空间直角坐标系中，向量可以用有序数组表示，如向量a 可表示为(a1, a2, a3)，a1、a2、a3 分别代表向量 a 在 x 轴、y 轴、z 轴上的分量。
我们也可以用向量的形式表示，即使用箭头在字母上方，如→a，表示向量 a。
2. 向量的模向量的模表示了向量的大小，或者说向量的长度。
对于三维空间中的向量 a=(x, y, z)，其模可以表示为|a|=√(x^2 + y^2 + z^2)。
3. 零向量零向量是指各个分量均为零的向量，通常用 0 或 $\vec{0}$ 来表示。
4. 负向量负向量是指方向相反、大小相等的向量，与原向量形成一条共线反向的直线。
如果 a=(x, y, z)，则其负向量为-b=(-x, -y, -z)。
5. 向量的平行性与共线性两个向量平行指向量的方向相同或相反，但大小可能不同；共线是指两个向量所在的直线方向相同。
6. 向量的相等向量 a 与向量 b 相等，当且仅当它们的对应分量完全相等，即a1=b1, a2=b2, a3=b3。
7. 向量的加法向量加法满足交换律和结合律，即 a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c)，其中 a, b, c 是任意三个向量。
8. 向量的数量乘法向量数量乘法是将一个向量的每个分量乘以一个数量，结果是一个新的向量。
具体而言，如果 k 是一个实数，向量 a=(x, y, z)，则 ka=(kx, ky, kz)。
9. 向量的线性组合如果有向量 a 和向量 b，那么 c=ka+lb 就是向量 a、b 的线性组合，其中 k、l 是任意实数。
线性组合实际上是向量 a、b 的数量乘法和加法的组合。
二、向量的数量积性质向量的数量积（也称为点积或内积）是一种向量的运算，其结果为一个实数。
向量的数量积有以下性质：1. 定义向量 a=(x1, y1, z1) 和向量 b=(x2, y2, z2) 的数量积为a·b=x1x2+y1y2+z1z2。
向量定理七个公式
向量定理七个公式平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。
平面向量用a,b,c 上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
输入分数，查看能上的大学测一测能上的大学1向量的加法1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.2、向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3向量的的数量积1、定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.2、向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'.3、向量的数量积的运算律a•b=b•a(交换律);(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);4、向量的数量积的性质a•a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a•b=0.|a•b|≤|a|•|b|.5、向量的数量积与实数运算的主要不同点（1）向量的数量积不满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.（2）向量的数量积不满足消去律,即：由a•b=a•c (a≠0),推不出b=c.（3）|a•b|≠|a|•|b|（4）由|a|=|b| ,推不出a=b或a=-b.4数乘向量1、实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.当λ>0时,λa与a同方向;当λ<0时,λa与a反方向;当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.2、数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb).向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.5向量的向量积1、定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.2、向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a‖b〈=〉a×b=0.3、向量的向量积运算律a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.6向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.7定比分点定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数λ,使向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ).(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式8其他公式1、三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线2、三角形重心判断式在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心3、向量共线的重要条件若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb. a//b的重要条件是xy'-x'y=0.4、零向量0平行于任何向量.5、向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a•b=0.a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0.6、零向量0垂直于任何向量.。
向量定理七个公式
向量定理七个公式向量定理是线性代数中的重要内容，它涉及到向量的加法、减法、数量乘法、内积、外积等基本运算。
以下是向量定理的七个重要公式：1.向量的加法和减法：对于向量a和b，它们的和可以表示为a+b，差可以表示为a-b。
这两个运算满足交换律和结合律。
交换律：a+b=b+a，a-b≠b-a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，(a-b)-c≠a-(b-c)注意：向量的加法可以通过将两个向量的相应分量相加来实现，向量的减法可以通过将被减向量的分量取负后与减向量的分量相加来实现。
2.向量的数量乘法：对于向量 a 和标量 k，a 乘以 k 表示为 ka。
这个运算满足结合律、分配律和乘法单位元。
结合律：k(ka) = (k·k)a分配律：k(a + b) = ka + kb乘法单位元：1·a=a注意：向量的数量乘法可以通过将向量的每个分量乘以标量k来实现。
3.向量的数量积（内积）：对于向量a和b，它们的数量积表示为a·b。
数量积有以下性质：a·b = ，a，b，cosθ其中，a，和，b，分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角。
这个公式的含义是，两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值之积。
注意：向量的数量积可以通过将两个向量的相应分量相乘后相加来实现。
4.向量的向量积（叉积）：对于向量 a 和 b，它们的向量积表示为a×b。
它的模长等于，a，b，sinθ，方向垂直于 a 和 b 所在平面，按右手定则确定。
叉积有以下性质：a×b=-b×aa×(b+c)=a×b+a×c(ka)×b = a×(kb) = k(a×b)a×b=0当且仅当a和b共线注意：向量的叉积可以通过求得两个向量所在平行四边形的面积来实现。
5.向量的混合积：对于向量a、b和c，它们的混合积表示为a·(b×c)。
向量公式大全
向量公式之蔡仲巾千创作设a=（x,y）,b=(x',y').1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y').4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.当λ＞0时,λa与a同方向；当λ＜0时,λa与a反方向；当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对任意实数λ,都有λa=0.注：按界说知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将暗示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣＞1时,暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时,暗示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍.数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb).向量对数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.3、向量的的数量积界说：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π界说：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉；若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标暗示：a•b=x•x'+y•y'.向量的数量积的运算律a•b=b•a（交换律）；(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)；（a+b)•c=a•c+b•c（分配律）；向量的数量积的性质a•a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a•b=0.|a•b|≤|a|•|b|.向量的数量积与实数运算的主要分歧点1、向量的数量积不满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c)；例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.2、向量的数量积不满足消去律,即：由a•b=a•c (a≠0),推不出 b=c.3、|a•b|≠|a|•|b|4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b.4、向量的向量积界说：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin 〈a,b〉；a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次第构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a‖b〈=〉a×b=0.向量的向量积运算律a×b=-b×a；（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；（a+b）×c=a×c+b×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；① 当且仅当a、b反向时,左边取等号；② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.① 当且仅当a、b同向时,左边取等号；② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.定比分点定比分点公式（向量P1P=λ•向量PP2）设P1、P2是直线上的两点,P是l上分歧于P1、P2的任意一点.则存在一个实数λ,使向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.若P1（x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ).（定比分点坐标公式）我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心[编纂本段]向量共线的重要条件若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb. a//b的重要条件是 xy'-x'y=0.零向量0平行于任何向量.[编纂本段]向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a•b=0.a⊥b的充要条件是 xx'+yy'=0.零向量0垂直于任何向量.。
向量知识点与公式总结
向量知识点与公式总结向量是数学中的一个重要概念，广泛应用于数学、物理等领域。
下面是关于向量的知识点和公式总结：一、向量的定义：1.向量是具有大小和方向的量，用箭头上面一点标记，如A、B等。
2. 向量可以表示为坐标形式（a1, a2, ..., an）或分量形式ai。
二、向量的运算：1.向量加法：向量A+B的结果是一个新的向量C，C的坐标等于A和B坐标对应位置元素的和。
2.向量减法：向量A-B的结果是一个新的向量C，C的坐标等于A和B坐标对应位置元素的差。
3.数乘：向量A乘以一个实数k，结果是一个新的向量B，B的坐标等于A每个坐标位置的值乘以k。
4.内积（点积）：向量A和向量B的点积是一个实数，表示为A·B，等于A和B坐标对应位置元素的乘积和，再求和。
5.外积（叉积）：向量A和向量B的叉积是一个新的向量C，C垂直于A和B所在平面，其大小等于A和B构成的平行四边形的面积，方向由右手定则确定。
三、向量的性质：1.数乘分配律：k(A+B)=kA+kB2.数乘结合律：(k1k2)A=k1(k2A)3.负向量：-A=(-1)A4.零向量：所有分量均为0的向量，用0或O表示，满足A+0=A。
5.单位向量：长度为1的向量，用u表示。
6.平行向量：方向相同或相反的向量。
7.相等向量：长度相等且方向相同的向量。
四、向量的模和单位向量：1.向量的模（长度）：向量A的模表示为，A，定义为各个分量平方和的平方根。
A，= √(a1^2 + a2^2 + ... + an^22.单位向量：长度为1的向量，可将向量A除以其模得到单位向量u。
五、向量的投影：1.向量的投影是指在特定方向上的长度，用于量化向量在方向上的大小。
2.向量A在向量B上的投影等于A和B的内积除以B的模。
projB(A) = (A·B)/，B六、向量的夹角：1.向量的夹角是指两个向量之间的角度。
2.余弦公式：向量A和向量B的夹角θ满足如下关系：cosθ = (A·B)/(，A，B，)3. 内积性质：若A和B的夹角为θ，则cosθ = cos(θ+2πn)，其中n为整数。
向量知识点总结
向量知识点总结一、引言在学习数学的过程中，向量是一个非常重要的概念。
它不仅在几何和物理学中有着广泛的应用，还在计算机图形学和机器学习等领域中发挥着重要的作用。
本文将对向量的定义、性质、运算以及一些常用的向量公式进行总结和归纳。
二、向量的定义与表示向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示，例如AB→表示从点A到点B的向量。
向量可以用有序实数对表示，也可以用带方向的线段表示。
两个具有相同大小和方向的向量是相等的。
三、向量的性质1. 零向量：大小为0的向量，记作0。
2. 单位向量：大小为1的向量，记作u。
3. 负向量：与给定向量大小相等，方向相反的向量。
4. 平行向量：方向相同或相反的向量。
5. 共线向量：在同一直线上的向量。
6. 共面向量：在同一平面上的向量。
四、向量的运算1. 向量的加法向量加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C =A + (B + C)。
2. 向量的减法减去一个向量等于加上这个向量的负向量，即A - B = A + (-B)。
3. 数乘向量数与向量相乘，就是将向量的大小乘以这个数，方向不变。
4. 向量的数量积两个向量的数量积等于两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积两个非零向量的向量积是一个向量，它的大小等于两个向量的模的乘积与它们夹角的正弦值的乘积，方向垂直于这两个向量所在的平面。
五、常用的向量公式1. 向量的模公式向量A的模等于A的坐标的平方和的平方根。
2. 平行四边形面积公式平行四边形的面积等于两条对角线的向量的向量积的模。
3. 平面三角形面积公式平面三角形的面积等于底边长度与高的向量积的模的一半。
4. 向量的线性相关性若存在不全为0的实数使得向量的线性组合等于零向量，则这些向量线性相关。
否则，线性无关。
六、总结向量是在数学和应用学科中经常出现的概念。
了解向量的定义、性质、运算以及常用公式对于理解和应用向量具有重要意义。
高中数学向量公式大全
高中数学向量公式大全高中数学中，向量是一个非常重要的概念，它在几何、代数、物理等领域都有着广泛的应用。
在学习向量的过程中，掌握一些常见的向量公式是很重要的，下面就为大家整理了一份高中数学向量公式大全，方便大家复习和查阅。
一、向量基本概念1. 向量的模：向量的模是指向量的长度，记作 |AB| 或 ||AB||。
2. 向量的方向角：向量与坐标轴正方向之间的夹角。
3. 向量的方向余弦：与坐标轴正方向夹角的余弦值。
4. 平行向量：两个向量的方向相同或相反，则称它们是平行的。
5. 相等向量：两个向量既有相同的模，又有相同的方向，则称它们是相等的。
6. 零向量：模为0的向量，记作0。
7. 广义向量：在同一平面内有相同的大小、方向和作用线的向量组成的集合。
二、向量的坐标表示1. 坐标：向量终点在直角坐标系中的坐标。
2. 向量的坐标表示：向量终点坐标减去起点坐标得到的差。
3. 平移：坐标表示的向量平移时，只需将其起点的坐标平移得到新的向量。
三、向量的性质1. 加法交换律：A + B = B + A。
2. 加法结合律：(A + B) + C = A + (B + C)。
3. 数量积的分配率：k(A + B) = kA + kB。
4. 加法的存在性：对于任意的向量A，存在一个零向量0，使得 A + 0 = 0 + A = A。
5. 数量积的交换律：A·B = B·A。
6. 数量积的结合律：(kA)·B = k(A·B)。
7. 数量积分配律：(A + B)·C = A·C + B·C。
8. 共线定理：若 A·B = 0，则向量 A 和向量 B 共线。
9. 平行四边形法则：A + B = C + D时，向量 AD 和向量 B 共平行。
四、向量的运算1. 向量的加法：将两个向量的向量和的起点和终点分别与原向量的起点和终点相重合。
2. 向量的乘法：向量的乘法分为数量积和矢量积两种。
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1. 已知，,,OA a OB b OC c ===（如图），求证：A 、B 、C 三点在一直线上的充要条件是存在不全为0的实数l 、m 、n 使得00la mb nc l m n ++=++=且.
2.设OA 、OB 不共线，点P 在AB 上，则OP =λOA +μOB 且λ+μ=1，λ当λ=μ=
21时，OP =2
1
（OA +OB ），此时P 为AB 的中点，这是向量的中点公式. 3.与向量→
a 同向的单位向量：→
→
→
=
a
a e ；与向量→a 平行的单位向量：→
→
→
±
=a
a e 。
与向量y)(x,a =→
平行的单位向量为：)y x y ,
y x x (
2
2
2
2
++±
与向量y)(x,a =→
垂直的单位向量为：)y
x x ,
y
x y (-2
222++±。
4.三角形的五个“心”：
重心：三角形三条中线交点. O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. O 为ABC ∆的外心2
2
2
OA OB OC ⇔==. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅ 5.三角形中向量性质：
1）AB AC +过BC 边的中点.2）||
||
||
||
()(
)AB AC AB AC AB AC AB AC +
⊥-
；3）||
||
(
)(0)AB AC AB AC λλ+
≠所在直线过ABC ∆内心.
6.（1）)c b (a c )b a (→
→
→
→
→
→
∙∙≠
∙∙；（2）c b b a
⋅=⋅c a
=.但可以推出：→
→
→⊥b )
c -a (。
7.三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,：)3
,3(
3
21321y y y x x x ++++
例。
在等腰直角ΔABC 中，∠C=90°，|AB|=22.求（1）⋅的值；（2）⋅的值；（3）).(AB CA BC +⋅ 练习1：在ABC ∆中,︒===60,8,5C b a ,则CA BC ⋅的值为( )
A.20
B.20-
C.320
D.320- 练习2.已知ABC BC AB ABC ∆>⋅∆→
→
则中,0为（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
A
B
C
O
a
b
c。