竞赛培训专题5---指数函数、对数函数
指数函数与对数函数（讲义）
（一）基础知识回顾：1．二次函数：当¹a 0时，y =ax 2+bx +c 或f (x )=ax 2+bx +c 称为关于x 的二次函数，其对称轴为直线x =-a b 2，另外配方可得f (x )=a (x -x 0)2+f (x 0)，其中x 0=-ab 2，下同。
，下同。
2．二次函数的性质：当a >0时，f (x )的图象开口向上，在区间（-∞，x 0]上随自变量x 增大函数值减小（简称递减），在[x 0, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。
当a <0时，情况相反。
情况相反。
3．当a >0时，方程f (x )=0即ax 2+bx +c =0…①和不等式ax 2+bx +c >0…②及ax 2+bx +c <0…③与函数f (x )的关系如下（记△=b 2-4ac ）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x 1,x 2(x 1<x 2)，不等式②和不等式③的解集分别是{x |x <x 1或x >x 2}和{x |x 1<x <x 2}，二次函数f (x )图象与x 轴有两个不同的交点，f (x )还可写成f (x )=a (x -x 1)(x -x 2). 2）当△=0时，方程①有两个相等的实根x 1=x 2=x 0=ab2-,不等式②和不等式③的解集分别是{x |x ab2-¹}和空集Æ，f (x )的图象与x 轴有唯一公共点。
轴有唯一公共点。
3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R 和Æ.f (x )图象与x 轴无公共点。
共点。
当a <0时，请读者自己分析。
时，请读者自己分析。
4．二次函数的最值：若a >0，当x =x 0时，f (x )取最小值f (x 0)=ab ac 442-,若a <0，则当x =x 0=a b 2-时，f (x )取最大值f (x 0)=ab ac 442-.对于给定区间[m,n ]上的二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a >0)，当x 0∈[m, n ]时，f (x )在[m, n ]上的最小值为f (x 0); 当x 0<m 时。
指数函数和对数函数ppt课件
解法 2：a－b＝ln22－ln33＝3ln2－6 2ln3 ＝16(ln8－ln9)<0. ∴a<b.同理可得 c<a，∴c<a<b.故选 C.
[答案]C
4．考查函数的定义域 函数的定义域是历年高考中均考查的知识点，其难度 不大，属中低档题，但在求解时易漏掉部分约束条件造成错 解，因而也是易错题． [例 4] 函数 f(x)＝ 31x－2 x＋lg(3x＋1)的定义域是
[例 1] (1)化简
3 ÷(1－2
ba)×3 ab；
(2)求值：12lg3429－43lg 8＋lg 245.
(2)解法一 12lg3429－43lg 8＋lg 245 ＝lg472－lg4＋lg7 5 ＝lg(472×14×7 5) ＝lg 10＝12lg10＝12.
解法二 原式＝12(5lg2－2lg7)－43·32lg2＋12(2lg7＋lg5) ＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5 ＝12lg2＋12lg5 ＝12(lg2＋lg5) ＝12lg10＝12.
[例7]求不等式x－1<log6(x＋3)的所有整数解． [解析]设y1＝x－1，y2＝log6(x＋3)，在同一坐标系中作
出它们的图像如图所示，两图像有两个交点，一交点的横坐标
显然在－3和－2之间，另一个交点设为P.
因为x＝1时，log6(1＋3)－(1－1)>0，x＝2时， log6(2＋3)－(2－1)<0，所以1<xP<2.
2．指数函数的概念与性质 (1)指数函数的定义
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫作指数函数． (2)y＝ax(a>0，a≠1)的图像
0<a<1
a>1
指数函数与对数函数例题和知识点总结
指数函数与对数函数例题和知识点总结一、指数函数的定义与性质指数函数的一般形式为$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
其中，底数$a$决定了函数的性质。
当$a ＞ 1$时，函数单调递增；当$0 ＜ a ＜ 1$时，函数单调递减。
指数函数的定义域为$R$，值域为$（0, ＋＼infty)＄。
例如，函数$y ＝ 2^x$是一个底数为$2$（大于$1$）的指数函数，它在$R$上单调递增。
二、对数函数的定义与性质对数函数是指数函数的反函数，一般形式为$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）。
其中，对数的底数$a$同样决定了函数的性质。
当$a ＞ 1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增；当$0 ＜ a ＜1$时，函数在$（0, ＋＼infty)＄上单调递减。
对数函数的定义域为$（0, ＋＼infty)＄，值域为$R$。
例如，函数$y ＝＼log_2 x$是一个底数为$2$（大于$1$）的对数函数，它在$（0, ＋＼infty)＄上单调递增。
三、指数函数与对数函数的图象指数函数$y ＝ a^x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（0, 1)＄，从左到右逐渐下降。
对数函数$y ＝＼log_a x$（＄a ＞ 0$且$a ≠ 1$）的图象特点：当$a ＞ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐上升；当$0 ＜ a ＜ 1$时，图象过点$（1, 0)＄，从左到右逐渐下降。
四、指数运算与对数运算的性质指数运算性质：1、＄a^m ＼times a^n ＝ a^｛m ＋ n}＄2、＄＼frac{a^m}｛a^n} ＝ a^｛m n}＄3、＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄4、＄a^0 ＝ 1$（＄a ≠ 0$）对数运算性质：1、＄＼log_a （MN) ＝＼log_a M ＋＼log_a N$2、＄＼log_a ＼frac{M}｛N} ＝＼log_a M ＼log_a N$3、＄＼log_a M^n ＝ n ＼log_a M$4、＄＼log_a a ＝ 1$5、＄＼log_a 1 ＝ 0$五、例题分析例 1：比较大小比较$2^｛03}＄和$03^2$的大小。
(完整版)指数函数及对数函数复习(有详细知识点及习题详细讲解)
指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质（一）整数指数幂n 1．整数指数幂概念：a =a ⋅Λ⋅a (n ∈N )a 0=1(a ≠0)1⋅4a 243*n 个aa-n=1a ≠0,n ∈N *)n(a 2．整数指数幂的运算性质：（1）a m ⋅a n =a m +n (m ,n ∈Z )（2）a （3）(ab )=a ⋅b n n n ()mn=a mn(m ,n ∈Z )(n ∈Z )其中a ÷a =a ⋅a m n m -n =a m -n a n ⎛a ⎫-1nn -n ， ⎪=(a ⋅b)=a ⋅b =n ．b ⎝b ⎭n 3．a 的n 次方根的概念即：若x n 一般地，如果一个数的n 次方等于a n >1,n ∈N )，那么这个数叫做a 的n 次方根，=a ，则x 叫做a 的n 次方根，(n >1,n ∈N )**(说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ；若a >0则n a >0，若a <o 则n a <0；②若n 是偶数，且a >0则a 的正的n 次方根记作n a ，a 的负的n 次方根，记作：-n a ；（例如：8的平方根±8=±2216的4次方根±416=±2）③若n 是偶数，且a <0则n a 没意义，即负数没有偶次方根；④Θ0=0n >1,n ∈N nn (*)∴n 0=0；⑤式子a 叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。
∴(a )nn=a ．．4．a 的n 次方根的性质一般地，若n 是奇数，则n a n =a ；若n 是偶数，则n a n =a =⎨5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）3-8⎧a⎩-aa ≥0a <0．(3)（2）(-10)*2（3）4(3-π)（4）4例2．已知a <b <0,n >1,n ∈N ，化简：n (a -b )+n (a +b )．n n （二）分数指数幂1051231．分数指数幂：5a =a =a102(a >0)3a =a =a124(a >0)即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）a 3()kn=akn 对分数指数幂也适用，442255⨯3⨯4⎛2⎫⎛⎫2532例如：若a >0，则 a 3⎪=a 3=a ， a 4⎪=a 4=a ，∴a =a 3⎝⎭⎝⎭a =a ．545即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
高中数学竞赛培训专题5---指数函数、对数函数
竞赛培训专题5---指数函数、对数函数一、计算：例1.化简(1) (2)(3)解：(1)x的指数是所以原式=1(2)x的指数是=0所以原式=1(3)原式=例2.若，求解：因为所以f(x)+f(1-x)=1=例3.已知m,n为正整数，a>0,a¹1,且求m,n解：左边=原式为log a(m+n)=log a mn得m+n=mn即(m-1)(n-1)=1因为m,nÎN，所以从而m=n=2二、比较大小例1.试比较与的大小解：令121995=a>0则¸=所以>例2.已知函数f(x)=log a x (a>0,a¹1,xÎR+)若x1,x2ÎR+,试比较与的大小解：f(x1)+f(x2)=log a(x1x2)∵x1,x2ÎR+,∴ (当且仅当x1=x2时，取“=”号)，当a>1时，有，∴即 (当且仅当x1=x2时，取“=”号)当a>1时，有，∴即 (当且仅当x1=x2时，取“=”号)例3.已知y1=，y2=，当x为何值时(1)y1=y2 (2)y1>y2 (3)y1<y2解：由指数函数y=3x为增函数知(1)y1=y2的充要条件是：2x2-3x+1=x2+2x-5 解得x1=2,x2=3(2)y1>y2的充要条件是：2x2-3x+1>x2+2x-5 解得x<2或x>3(3)y1<y2的充要条件是：2x2-3x+1<x2+2x-5 解得2<x<3三、证明例1.对于自然数a,b,c (a£b£c)和实数x,y,z,w若a x=b y=c z=70w (1) (2) 求证：a+b=c证明：由(1)得：∴把(2)代入得：abc=70=2´5´7,a£b£c由于a,b,c均不会等于1，故a=2,b=5,c=7从而a+b=c例2.已知A=6lg p+lg q，其中p,q为素数，且满足q-p=29，求证：3<A<4证明：由于p,q为素数，其差q-p=29为奇数，∴p=2,q=31A=6lg2+lg31=lg(26×31)=lg19841000<1984<10000 故3<A<4例3.设f(x)=log a x(a>0,a¹1)且 (q为锐角)，求证：1<a<15 证明：∵q是锐角，∴，从而a>1又f(15)==sinq+cosq= 1故a<15 综合得：1<a<15例4.已知0<a<1,x2+y=0，求证：证：因为0<a<1，所以a x>0,a y>0由平均值不等式故四、图象和性质例1.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b解：在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x的图象，再作直线y=x和y= -x+3，由于y=2x和y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程log2x+x-3=0的根a 就是直线y= -x+3与对数曲线y=log2x的交点A的横坐标，方程2x+x-3=0的根b就是直线y= -x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标设y= -x+3与y=x的交点为M，则点M的横坐标为(1.5,1.5)，所以a+b=2x M=3 log2a+2b=2y M=3例6.设f(x)=min(3+，log2x),其中min(p,q)表示p、q中的较小者，求f(x)的最大值解：易知f(x)的定义域为(0,+¥)因为y1=3+在(0,+¥)上是减函数，y2=log2x在(0,+¥)上是增函数，而当y1=y2，即3+=log2x时，x=4，所以由y1=3+和y2=log2x的图象可知故当x=4时，得f(x)的最大值是2另解：f(x)£3+=3- (1) f(x)=log2x (2)(1)´2+(2)消去log2x，得3f(x)£6，f(x)£2又f(4)=2,故f(x)的最大值为2例7.求函数的最小值解：由1-3x>0得，x<0,所以函数的定义域为(-¥,0)令3x=t,则tÎ(0,1)，于是故当x= -1时，得y的最小值-2+2log23五、方程和不等式例1.解方程(1)x+log2(2x-31)=5(2) 2lg x×x lg2-3×x lg2-21+lg x+4=0解：(1)原方程即：log22x+log2(2x-31)=5log2[2x(2x -31)]=5 (2x)2-31×2x=32 解得：2x=32, ∴x=5(2)原方程即：(2lg x)2-5×2lg x+4=0 解得：x1=100,x2=1例2.设a>0且a¹1,求证：方程a x+a-x=2a的根不在区间[-1,1]内解：设t=a x,则原方程化为：t2-2at+1=0 (1) 由D=4a2-4³0得a³1,即a>1令f(t)= t2-2at+1 , f(a)=a2-2a2+1=1-a2<0所以f(t)的图象与横轴有的交点的横坐标在之外，故方程t2-2at+1=0在之外有两个实根，原方程有两实根且不在区间[-1,1]内例3.解方程：lg2x-[lg x]-2=0 (其中[x]表示不大于实数x的最大整数)解：由[x]的定义知，[x]£x，故原方程可变为不等式：lg2x-lg x-2£0即-1£lg x£2当-1£lg x<0时，[lg x]= -1，于是原方程为lg2x=1当0£lg x<1时，[lg x]=0，原方程为lg2x=2，均不符合[lg x]=0当1£lg x<2时，[lg x]=1，原方程为lg2x=3，所以lg x=，当lg x=2时，x=100所以原方程的解为x1=例4.当a为何值时，不等式有且只有一解解：易知：a>0且a¹1，设u=x2+ax+5，原不等式可化为(1)当0<a<1时，原不等式为 (1)由于当u³0时，与均为单调增函数，所以它们的乘积也是单增函数因为f(4)=log3(2+1)×log5(4+1)=1所以(1)等价于u³4,即x2+ax+5³4此不等式有无穷多解(2)当a>1时，不等式化为 (2)由f(4)=1知，(2)等价于0£u£4，即0£x2+ax+5£4从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解即D=a2-4=0，a=2时，不等式0£x2+ax+5£4有唯一解x= -1综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解例5.已知a>0且a¹1，试求使方程有解的k的取值范围解：原方程即即分别解关于的不等式、方程得： (k¹0时)所以解得k< -1或0<k<1又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾，故k的取值范围为(-¥,-1)U(0,1)。
指数函数与对数函数知识点总结
指数函数与对数函数知识点总结指数函数和对数函数是高中数学中的重要概念，它们在数学、物理、化学等科学中都有广泛的应用。
下面是关于指数函数和对数函数的知识点总结。
一、指数函数：1.含义：指数函数是以一个常数为底数的数的乘方的函数。
2.表达形式：指数函数可以表示为f(x)=a^x，其中a是底数，x是指数，a>0且a≠13.特点：-当x为正时，指数函数是递增的，在x轴右侧上升。
-当x为负时，指数函数是递减的，在x轴左侧下降。
-当x=0时，指数函数的值恒为1，即f(0)=1-当底数a>1时，指数函数是增长趋势的，图像像“开口向上”的U 形。
-当0<a<1时，指数函数是衰减趋势的，图像像“开口向下”的倒U 形。
-当a=1时，指数函数退化为常函数，即f(x)=14.常见指数函数：-自然指数函数：f(x)=e^x，其中e是自然对数的底数，约等于2.718-正常数指数函数：f(x)=a^x，a>0且a≠1-指数递减函数：f(x)=a^(-x)，a>0且a≠1- 指数增长函数：f(x) = e^(kx)，其中k为常数。
- 指数衰减函数：f(x) = e^(-kx)，其中k为常数。
二、对数函数：1.含义：对数函数是指数函数的逆运算。
2. 表达形式：对数函数可以表示为f(x) = log<sub>a</sub>(x)，其中a是底数，x是正实数，a>0且a≠13.特点：-对数函数的定义域是(0,+∞)，值域是(-∞,+∞)。
-对数函数的图像是递增的，在x轴右侧上升。
-当x=a^y时，有f(a^y)=y。
-当底数a>1时，对数函数是递增的，在x轴右侧上升。
-当0<a<1时，对数函数是递减的，在x轴右侧下降。
-当a=1时，对数函数是常函数，即f(x)=0。
4.常见对数函数：- 自然对数函数：f(x) = ln(x)，其中ln表示以e为底的对数。
第三章指数函数和对数函数5.1对数函数的概念5.2对数函数的图象和性质ppt课件
反思与感悟 比较两个同底数的对数大小，首先要根据底数来判断对 数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断 两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论. 对 于 不 同 底 的 对 数 ， 可 以 估 算 范 围 ， 如 log22<log23<log24 ， 即 1<log23<2，从而借助中间值比较大小.
学习目标
1.理解对数函数的概念. 2.掌握对数函数的性质. 3.了解对数函数在生产实际中的简单应用. 4.了解反函数的概念及它们的图像特点.
重、对数函数的概念
一般地，我们把
函数y＝logax(a>0，a≠1) 叫 作 对 数 函 数 ，
性质 (4)当x>1时，y>0，
(4)当x>1时，y<0，
0<x<1时，y<0
0<x<1时，y>0
(5)是(0，＋∞)上的增函数 (5)是(0，＋∞)上的减函数
三、反函数的概念 一般地，像y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)这样的两个函数互为反函数. (1)y＝ax的定义域R，就是y＝logax的值域，而y＝ax的值域(0，＋∞)就 是y＝logax的定义域. (2) 互 为 反 函 数 的 两 个 函 数 y ＝ ax(a ＞ 0 ， 且 a≠1) 与 y ＝ logax(a ＞ 0 ， 且 a≠1)的图像关于直线y＝x对称. (3)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同.
跟踪训练 3 设 a＝log3π，b＝log2 3，c＝log3 2，则
√A.a＞b＞c
B.a＞c＞b
C.b＞a＞c
D.b＞c＞a
解析 ∵a＝log3π＞1，b＝12log23，
第5讲-指数函数与对数函数
指数函数与对数函数学习目标1、了解反函数的概念，以及函数与其反函数的图像关系，会求简单函数的反函数。
2、掌握指数函数、对数函数的定义及相关性质3、会利用指数函数、对数函数的相关性质分析和解决常规问题1、 反函数：对于函数()y f x =，设其定义域为A ，值域为B ，我们知道，按照定义，对任意的a A ∈，都有唯一的b B ∈，满足()b f a =，即点(,)P a b 在()y f x =的图像上。
如果这里的对应关系f 比较特殊，即对于值域B 中的元素b ，在定义域A 中与b 对应的元素只有a 一个元素，这样的话，我们利用f 可得到另外一个从B A →的对应关系：1:fB A -→，满足1()a f b -=，易知1:f B A -→是一个函数，我们记为1()y f x -=，并称其为()y f x =的反函数。
易知1()y f x -=的定义域为B ，值域为A ，满足1()a f b -=，也即点(,)Q b a 在1()y f x -=的图像上，由于(,)a b 与(,)b a 关于直线y x =对称，故函数与其反函数的图像关于直线y x =对称。
从反函数的定义，我们实际上也得到了反函数的求解方法： （1） 从()y f x =中反解出x ，不妨假设的得到()x y ϕ=（2） 将()x y ϕ=中的,x y 交换位置，得到()y x ϕ=，此即为()y f x =的反函数。
很明显，并非每个函数都有反函数。
2、有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：n a a a a=⨯⨯⨯（n个a相乘，n∈N*)；②零指数幂：a0＝1(a≠0)；③负整数指数幂：1ppaa-=(a≠0，p∈N*)；④正分数指数幂：mn mna a=(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)；⑤负分数指数幂：11mnm n mnaaa-==(a＞0，m、n∈N*且n＞1)．⑥0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质 ①(0,,)r sr sa a aa r s Q +=>∈ ②()r s rs a a =(0,,)a r s Q >∈ ③()(0,0,)r r rab a b a b r Q =>>∈3、指数函数：形如(0,1)xy a a a =>≠的函数叫指数函数，其中a 叫底数，x 叫指数。
高中数学-指数函数对数函数知识点
高中数学-指数函数对数函数知识点指数函数、对数函数知识点知识点内容：1.整数和有理指数幂的运算：当a≠0时，aⁿ×aᵐ=aⁿ⁺ᵐ；aⁿ÷aᵐ=aⁿ⁻ᵐ；(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ2.指数函数y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.m，n∈N*,且n＞1)的性质：①解析式：y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.且a≠1)②图象：过点(0,1)，在a＞1时，在R上是增函数，在0＜a＜1时，在R上是减函数③单调性：在定义域R上当a＞1时，在R上是增函数当0＜a＜1时，在R上是减函数④极值：在R上无极值(最大、最小值)⑤奇偶性：非奇非偶函数典型题：1.把0.9017x=0.5化为对数式为log0.9017(0.5)=x2.把lgx=0.35化为指数式为x=10⁰.³⁵3.计算：2×6⁴³=6⁴⁴⁹4.求解：(2+1)⁻¹+(2-1)⁻²sin45°=0.5915.指数函数y=aᵐ⁄ⁿ(a＞0.m，n∈N*,且n＞1)的图象过点(3,π)，求f(0)、f(1)、f(-3)的值f(0)=a⁰⁄ⁿ=1f(1)=aᵐ⁄ⁿ=a³⁄ⁿf(-3)=a⁻⁹⁄ⁿ6.求下列函数的定义域：① y=2-x²，定义域为R② y=1⁄(4x-5)-2，定义域为R-{5⁄4}7.比较下列各组数的大小：① 1.2<2.5<1.2+0.5，0.4-0.1<0.4-0.2② 0.3=0.4=0.4=0.3，<2112③ (2³)²<(3²)³<(2²)³8.求函数y=(x²-6x+17)⁄2的最大值，最大值为159.函数y=(a-2)x在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围为a＞310.函数y=(a²-1)x在(-∞,+∞)上是减函数，则a的取值范围为|a|＞1x其中a为底数，x为真数，y为对数。
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数知识点总结一、指数函数1.定义：指数函数是以正数为底数、自变量为指数的函数。
一般形式为y=a^x，其中a>0且a≠12.特点：(1)当a>1时，指数函数呈递增趋势；(2)当0<a<1时，指数函数呈递减趋势；(3)a>1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐上升，称为“增长指数函数”；(4)0<a<1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐下降，称为“衰减指数函数”；(5)当x=0时，指数函数的值恒为1；(6)指数函数与直线y=0平行（若a>1）或经过点(0,1)（若0<a<1）。
3.基本性质：(1)a^m*a^n=a^(m+n)；(2) (a^m)^n = a^(mn)；(3) (ab)^m = a^m * b^m；(4)(a/b)^m=a^m/b^m。
二、对数函数1. 定义：对数函数是指以正数a(a>0且a≠1)为底数的对数。
一般形式为y=loga(x)，其中x>0。
2.特点：(1)对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)，值域为实数集；(2) 指数函数y=a^x和对数函数y=loga(x)是互逆运算，即y=loga(a^x) = x，x=loga(a^x) = y；(3)当x>1时，对数函数的值大于0；(4)当0<x<1时，对数函数的值小于0；(5)a>1时，对数函数呈递增趋势；(6)0<a<1时，对数函数呈递减趋势；(7)当x=1时，对数函数的值恒为0；(8)对数函数的图像与直线y=x交于点(1,1)。
三、常用公式与性质1.e与自然对数：(1) e的定义：e=lim(1+1/n)^n，其中n为正整数；(2) 自然对数：ln(x)表示以e为底数的对数函数；(3) 自然对数的性质：ln(e^x)=x，e^(lnx)=x；2.指数方程与对数方程：(1)指数方程：a^x=b，其中a>0且a≠1；(2) 对数方程：loga(x)=b，其中a>0且a≠1；(3)指数方程求解的一般步骤：将方程两边取对数，利用对数的性质求解；(4)对数方程求解的一般步骤：将方程两边以a为底取指数，利用指数函数的性质求解。
指数函数和对数函数知识点总结
指数函数和对数函数知识点总结一、指数函数的定义和性质1.定义：指数函数是以一些正数a为底数的函数，形式为f(x)=a^x，其中a>0且a≠1、指数函数的定义域为实数集R，值域为正数集(0,+∞)。
2.指数函数的性质：(1)当a>1时，指数函数是递增函数；当0<a<1时，指数函数是递减函数。
(2)指数函数的图像在直线y=0上方，且与y轴渐近。
(3) 指数函数的反函数是对数函数，即 f(x) = a^x 的反函数是 g(x) = logₐ(x)。
(4)指数函数的图像在(0,+∞)上是光滑的连续曲线。
3.常见的指数函数：(2)以10为底的指数函数：记作f(x)=10^x。
在计算科学领域中经常使用。
(3)以2为底的指数函数：记作f(x)=2^x。
在计算机科学和信息技术领域中广泛应用。
二、对数函数的定义和性质1. 定义：对数函数是指数函数的反函数，形式为 f(x) = logₐ(x)，其中 a>0 且a ≠ 1、对数函数的定义域为正数集(0,+∞)，值域为实数集 R。
2.对数函数的性质：(1)对数函数的图像与指数函数的图像关于直线y=x对称。
(2)当0<a<1时，对数函数是递增函数；当a>1时，对数函数是递减函数。
(3)对数函数的图像在x轴正半轴上方，且与x轴渐近。
(4) 对数函数的反函数是指数函数，即 f(x) = logₐ(x) 的反函数是g(x) = a^x。
(5) 对数函数的特殊性质：logₐ(1) = 0，logₐ(a) = 1，logₐ(a^x) = x。
3.常见的对数函数：(2) 以 10 为底的对数函数：记作 f(x) = log₁₀(x)。
在计算科学领域中经常使用。
(3) 以 2 为底的对数函数：记作 f(x) = log₂(x)。
在计算机科学和信息技术领域中广泛应用。
三、指数函数和对数函数的应用1.指数函数的应用：(1)复利计算：复利计算公式中的指数函数可以用来计算存款利息、投资收益等。
高中数学竞赛辅导试题指数函数与对数函数
第3节 指数函数、对数函数．指数函数y=a x与对数函数y=x a log ,(1,0≠>a a )是互为反函数即b x b a a x log =⇔=它是实现指数式与对数式相互转换的桥梁。
当a>1时，两个函数在定义域内都递增；当0<a<1时，两个函数在定义域内都递减。
[举例1]光线透过一块玻璃板，其强度要减弱101，要使光线的强度减弱到原来的31以下，至少需要这样的玻璃板 块。
（参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771） 解析：记光线原来的强度为a ，透过一块玻璃板后其强度变为109a ，透过n 块玻璃板后其强度变为：a n )109(，则a n )109(<31a ,即n )109(<31,⇒n (2lg3-1)<-lg3⇒3lg 213lg ->n ≈10.4,(注意：2lg3-1<0),∴n =11.[举例2] log a132<，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，32）⋃（1，+∞） （B ）（32，+∞） （C ）（1,32） （D ）（0，32）⋃（32，+∞） 解析：若a>1，则32<a,∴a>1；若0<a<1,则32>a, ∴0<a<32；综上，选A 。
（本题中视1为log a a 是化“数”为“对数”的通法）。
[巩固] 若[)1,,618.03+∈=k k a a，Z k ∈，则k =__________。
[提高] 方程x+lgx=3,x+10x =3的解分别为x 1,x 2,则x 1+x 2=____________3．关注对数函数的定义域，特别是在解对数不等式（留意对数变形的等价性）和研究对数函数的单调性（函数有意义才谈得上增减）时。
[举例1]函数f(x)的图像与函数g(x)=(21)x 的图像关于直线y=x 对称，则f(2x-x 2)的单调减区间为（ ）（A ）（0，1） （B ）[1，+∞] （C ）（-∞，1） （D ）[1，2]解析：f(x)与g(x)互为反函数，即f(x)=x 21log , f(2x-x 2)= )2(log 221x x -,记h(x)=2x-x 2, 则h(x)递增（“外层”递减）且h(x)>0(真数)，∴x ∈(0,1],故选A 。
指数函数和对数函数竞赛培训题
常德市六中高一数学竞赛培训资料——函数与方程（2）基础知识：指数、对数以及指数函数与对数函数，是高中代数非常重要的内容。
无论在高考及数学竞赛中，都具有重要地位。
熟练掌握指数对数概念及其运算性质，熟练掌握指数函数与对数函数这一对反函数的性质、图象及其相互关系，对学习好高中函数知识，意义重大。
一、指数概念与对数概念：指数的概念是由乘方概念推广而来的。
相同因数相乘a·a……a(n个)=a n导出乘方，这里的n为正整数。
从初中开始，首先将n推广为全体整数；然后把乘方、开方统一起来，推广为有理指数；最后，在实数范围内建立起指数概念。
欧拉指出：“对数源出于指数”。
一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，就是a b=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。
a b=N与b=logaN是一对等价的式子，这里a是给定的不等于1的正常数。
当给出b求N时，是指数运算，当给出N求b时，是对数运算。
指数运算与对数运算互逆的运算。
二、指数运算与对数运算的性质1．指数运算性质主要有3条：a x·a y=a x+y,(a x)y=a xy,(ab)x=a x·b x（a>0,a≠1,b>0,b≠1）2．对数运算法则（性质）也有3条：（1）loga(MN)=logaM+logaN（2）logaM/N=logaM-logaN（3）logaM n=nlogaM(n∈R)(a>0,a≠1,M>0,N>0)3．指数运算与对数运算的关系：X=a logax；m logan=n logam4．负数和零没有对数；1的对数是零，即loga1=0；底的对数是1，即logaa=15．对数换底公式及其推论：换底公式：logaN=logbN/logba推论1：loga m N n=(n/m)logaN推论2：三、指数函数与对数函数函数y=a x(a>0,且a≠1)叫做指数函数。
指数函数和对数函数复习课名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
(B) n < m < p
(C) p < m < n
(D) n < p < m
(4).log2
log2
32
log1
2
3 4
log4
36
__3_____
函数旳定义域值域：
.求函数旳定义域
(1)y
1
log 2 (5x 3)
(2)y log 1 (5x 3)
2
(3)
y
log
(
x
1)
观察图象归纳性质
y
y=ax
(0,1)
o
x
y
y=ax
(0,1)
o
x
a>1时
（1）图象过点（0，1） （2）在上 (,) 是增 函数 （3）x<0时 则 0<y<1
x>0时 则 y>1
0<a<1时
（1） 图象过点（0，1）
（2）在 (,)上是 减函数 （3）x<0时 则 y>1
x>0时 则 0<y<1
a，
并确定f (x）的单调性
5.已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)(a>0且a≠1) (1)求f(x)旳定义域
（2）判断f(x)旳奇偶性并予以证明
跟踪训练：
已知函数f (x) loga (1 x) loga (x 3) (a 0且a 1) 1)求函数f (x)的定义域; 2)求函数f (x)的单调区间; 3)当0 a 1时,求函数f (x)的最小值.
复合函数单调性
2
x u=g(x) y=f(u)
u=g(x)
高一数学竞赛辅导第五讲幂函数指数函数对数函数
高一数学竞赛辅导 第五讲 幂函数、指数函数、对数函数例1、 当k ∈（0，21）时，函数 y=|1|x -的图象与函数y=kx 的图象有多少个不同的交点？例2、 求下列函数的定义域：（1） y=log a [log a (log a )](a>0,a ≠1)（2） y=x lg lg lg -例3、 已知函数f(x)=log a (x-ka),g(x)=log a 2(x 2-a 2)(1) 用k,a 表示f(x),g(x)的公共定义域(2) 如果方程log a (x-ka)= log a 2(x 2-a 2)有解，k 的范围如何？(a>0,a ≠1)例4、 解下列方程（1） 24x +(2x -2)4-34=0（2） (625+)x +(625-)x =10（3） x6x =144,（x ∈N ）例5、解含参数a 的方程)lg(2lg a x x +=2例6、已知0<x<y<1，则下列不等式中成立的是（ ）（A ）x x <x y (B)y y <x y (C)y x < y y (D) y x > x x例7、求函数的单调增区间（1） y=(54)|23|2+-x x （2） y=log 54(-x 2+3x-2)例8、解方程4x +10x =25x ,并说明x 在数轴上所处的位置（即说明x 在哪两个相邻整数之间）。
练习题1.选择题（1）关于x 的方程a x =x x 3log 1有小于3的实根，则a 的范围是（ ）（A ）（1，33 ） (B) （33，+∞）(C) （33，3）∪（3，+∞） (D) （3，+∞）（2）若x,y 满足2lg(x-2y)=lgx+lgy,则yx 的值是（ ） （A ） 4（B ）1（C ）41 （D ）1或4 （3）设函数y=2x 的图象位C ，某函数的图象C 与与C 关于直线x=2对称，那么这个函数是（ ）(A) y=x -2 (B)y=22-x (C) y=24-x (D)y=2x-4(4)已知函数f(x)=|2x -1|,a<b<c,且f(a)>f(c)>f(b),则（ ）（A ） a<0,b<0c<0 (B) a<0,b ≥0c<0 (C) 2-a <2c (D)2a +2c <2(5)将5225)12(lg log -化简后，结果为（ ）（A ） lg 51 (B) lg5 (C) lg 251 (D) lg 25 2.填空题（1）已知奇函数f(x)满足f(2+x)=f(x),当x ∈(0,1)时，f(x)=2x ,则f(log 2123)（2）已知f(x)=x 2+(lga+2)x+lgb,且f(-1)=-2,又f(x)≥2对一切x ∈R 都成立，则a+b=（3）方程lgx=log 0.1x 的解为（4）若函数f(x)=log x 3,x ∈（1，+∞），则反函数f -1（x ）=（5）若0<a<21,且0<log a (b-a)<1,则b 的取值范围（用a 来表示）为 （6）若log a x=2,log b x=3,log c x=4,则log abc x=3（1）试画出由方程yx x x 2lg )2(lg )2lg()6lg(101-+-+-=21所确定的函数y=f(x)的图象 （2） 函数y=ax+21与函数y=f(x)的图象恰有一个公共点，求a 的取值范围。
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竞赛培训专题5---指数函数、对数函数一、计算：
例1.化简
(1) (2)
(3)
解：(1)x的指数是
所以原式=1
(2)x的指数是
=0
所以原式=1
(3)原式=
例2.若，求
解：因为
所以f(x)+f(1-x)=1
=
例3.已知m,n为正整数，a>0,a¹1,且
求m,n
解：左边=
原式为log a(m+n)=log a mn
得m+n=mn即(m-1)(n-1)=1
因为m,nÎN，所以从而m=n=2
二、比较大小
例1.试比较与的大小
解：令121995=a>0则
¸=
所以>
例2.已知函数f(x)=log a x (a>0,a¹1,xÎR+)若x1,x2ÎR+,试比较与
的大小
解：f(x1)+f(x2)=log a(x1x2)
∵x1,x2ÎR+,∴ (当且仅当x1=x2时，取“=”号)，
当a>1时，有，∴
即 (当且仅当x1=x2时，取“=”号)
当a>1时，有，∴
即 (当且仅当x1=x2时，取“=”号)
例3.已知y1=，y2=，当x为何值时
(1)y1=y2 (2)y1>y2 (3)y1<y2
解：由指数函数y=3x为增函数知
(1)y1=y2的充要条件是：2x2-3x+1=x2+2x-5 解得x1=2,x2=3
(2)y1>y2的充要条件是：2x2-3x+1>x2+2x-5 解得x<2或x>3
(3)y1<y2的充要条件是：2x2-3x+1<x2+2x-5 解得2<x<3
三、证明
例1.对于自然数a,b,c (a£b£c)和实数x,y,z,w若a x=b y=c z=70w (1) (2) 求证：a+b=c
证明：由(1)得：
∴
把(2)代入得：abc=70=2´5´7,a£b£c
由于a,b,c均不会等于1，故a=2,b=5,c=7从而a+b=c
例2.已知A=6lg p+lg q，其中p,q为素数，且满足q-p=29，求证：3<A<4
证明：由于p,q为素数，其差q-p=29为奇数，∴p=2,q=31
A=6lg2+lg31=lg(26×31)=lg1984
1000<1984<10000 故3<A<4
例3.设f(x)=log a x(a>0,a¹1)且 (q为锐角)，求证：1<a<15 证明：∵q是锐角，∴，从而a>1
又f(15)==sinq+cosq
= 1
故a<15 综合得：1<a<15
例4.已知0<a<1,x2+y=0，求证：
证：因为0<a<1，所以a x>0,a y>0由平均值不等式
故
四、图象和性质
例1.设a、b分别是方程log2x+x-3=0和2x+x-3=0的根，求a+b及log2a+2b
解：在直角坐标系内分别作出函数y=2x和y=log2x的图象，再作直线y=x和y= -x+3，由于y=2x和y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x对称，方程log2x+x-3=0的根a 就是直线y= -x+3与对数曲线y=log2x的交点A的横坐标，方程2x+x-3=0的根b就是直线y= -x+3与指数曲线y=2x的交点B的横坐标
设y= -x+3与y=x的交点为M，则点M的横坐标为(1.5,1.5)，
所以a+b=2x M=3 log2a+2b=2y M=3
例6.设f(x)=min(3+，log2x),其中min(p,q)表示p、q中的较小者，求f(x)的最大值
解：易知f(x)的定义域为(0,+¥)
因为y1=3+在(0,+¥)上是减函数，y2=log2x在(0,+¥)上是增函数，而当y1=y2，即3+=log2x时，x=4，所以由y1=3+和y2=log2x的图象可知
故当x=4时，得f(x)的最大值是2
另解：f(x)£3+=3- (1) f(x)=log2x (2)
(1)´2+(2)消去log2x，得3f(x)£6，f(x)£2又f(4)=2,故f(x)的最大值为2
例7.求函数的最小值
解：由1-3x>0得，x<0,所以函数的定义域为(-¥,0)
令3x=t,则tÎ(0,1)，于是
故当x= -1时，得y的最小值-2+2log23
五、方程和不等式
例1.解方程(1)x+log2(2x-31)=5(2) 2lg x×x lg2-3×x lg2-21+lg x+4=0
解：(1)原方程即：log22x+log2(2x-31)=5
log2[2x(2x -31)]=5 (2x)2-31×2x=32 解得：2x=32, ∴x=5
(2)原方程即：(2lg x)2-5×2lg x+4=0 解得：x1=100,x2=1
例2.设a>0且a¹1,求证：方程a x+a-x=2a的根不在区间[-1,1]内
解：设t=a x,则原方程化为：t2-2at+1=0 (1) 由D=4a2-4³0得a³1,即a>1
令f(t)= t2-2at+1 , f(a)=a2-2a2+1=1-a2<0
所以f(t)的图象与横轴有的交点的横坐标在之外，故方程t2-2at+1=0在之外有两个实根，原方程有两实根且不在区间[-1,1]内
例3.解方程：lg2x-[lg x]-2=0 (其中[x]表示不大于实数x的最大整数)
解：由[x]的定义知，[x]£x，故原方程可变为不等式：
lg2x-lg x-2£0即-1£lg x£2
当-1£lg x<0时，[lg x]= -1，于是原方程为lg2x=1
当0£lg x<1时，[lg x]=0，原方程为lg2x=2，均不符合[lg x]=0
当1£lg x<2时，[lg x]=1，原方程为lg2x=3，所以lg x=，
当lg x=2时，x=100
所以原方程的解为x1=
例4.当a为何值时，不等式
有且只有一解
解：易知：a>0且a¹1，设u=x2+ax+5，原不等式可化为
(1)当0<a<1时，原不等式为 (1)
由于当u³0时，与均为单调增函数，所以它们的乘积
也是单增函数
因为f(4)=log3(2+1)×log5(4+1)=1
所以(1)等价于u³4,即x2+ax+5³4此不等式有无穷多解
(2)当a>1时，不等式化为 (2)
由f(4)=1知，(2)等价于0£u£4，即0£x2+ax+5£4
从上式可知，只有当x2+ax+5=4有唯一解即D=a2-4=0，a=2时，不等式0£x2+ax+5£4有唯一解x= -1
综上所述，当a=2时原不等式有且只有一个解
例5.已知a>0且a¹1，试求使方程有解的k的取值范围解：原方程即
即
分别解关于的不等式、方程得： (k¹0时)
所以解得k< -1或0<k<1
又当k=0时，代入原式可推出a=0与已知矛盾，故k的取值范围为(-¥,-1)U(0,1)。