对一道高考最值问题的多元解读_白雪峰
第25届-清华附中
清华附中第二十五届教育教学论文年会一、论文评审组委会：1、评委会名单：组长：王殿军成员：方妍、施平、周兆玉、杜毓贞、解巨钊、赵鸿雁、孟卫东2、分组评委：（共172篇）文科1组：语文（36篇）组长：徐慧琳成员：崔琪、王俊婷、白雪峰、高慧娟、刘建钰文科2组：英语（19篇）组长：程惠云成员：周兆玉、刘辉、黄丽梅、李文平、王英民文科3组：政、史、地（10篇）组长：陈红成员：田佩淮、刘慧霞、周建国、朱培、张颖理科1组：数学（29篇）组长：徐文兵成员：尹粉玉、何晨丽、赵鸿雁、张小英、张苏理科2组：理、化、生（30篇）组长：张观成成员：俞家新、潘天俊、胡雷、韩星、陈新福德育组：班主任管理：（30篇）组长：辛颖成员：陈冬梅、徐海鹰、鞠红、郎艳、邱晓云管理组：教务、体、技、网、国际部等：（18篇）组长：解巨钊成员：张洁、孙书明、范秀玲、李伟明、林冬梅二、论文奖项评审原则一等奖：（占20%）文章属教育教学范围。
论文中对教育教学现象或问题的分析有理有据，紧密结合实际发表个人观点；课题研究报告或教育教学调查报告中体现科学的研究过程，所得结论有借鉴意义；文章结构完整，文笔流畅。
二等奖：（占60%——70%）文章或偏重理论分析、或偏重实践描述，理论与实践结合稍有欠缺，但内容新颖，对他人有值得学习和借鉴的观点。
文章结构比较完整，文字通顺。
三等奖：（占10%—20%）文章或是自己工作内容的简单描写、论述不够充分，或是离教育和教学工作较远的专论。
注：教案不在参评范围之列。
三、论文题目一览表四、论文统计本届年会共收到论文172篇五、论文评审结果一等奖：（35篇）刘建钰、邱道学/汤莉、崔琪、宋美娜、赵岩/白沁文、陈晓秋、徐海鹰、孙晓佳、徐文兵、张小英、何晨丽、范永春/周俊、卢静、陈彦竹、易春丽/吴玥、刘辉、李佳亮、隋玲玲、宋兆爽、张敏、白建娥/张观成、武敬泉、张林/陈桂芬、周建国、陈华、张颖、宋薇、杜毓贞/辛颖、辛颖、王英民、吴雅蒂、方妍/赵鸿雁、段晨、施平/王英民、刘慧霞二等奖：（116篇）胡静、杜珂、余中樑、宫睿哲、白雪峰、徐慧琳、邹明、朱亮、王丽丽、杨玲、张锦、张伟、唐洁、武晓青、王俊婷、叶春芳、邱晓云、张彪、高慧娟、陈冬梅、龚卉、周欣、刘慧、倪斯杰、曾建川/周俊、曾建川、尹粉玉、张博、解礁、孙星姬、杨锦、周建军、李劲松、齐亚超、罗长文、徐蓉、王太华、党胜军、张钦、朱延玲、张波、李娜、刘文斌、张晓明、向永红、张苏、黄丽梅、吕娜、周喆、黄珊、冯婧琨、刘海燕、尹然、熊学勤、周萍、赵琼、苗琳达、侯彩、王君、朱莹、高继美、陈淑珍、鲁碧珍、赵思晨、王伟芳、张河桥、郎君轶、罗雷生、陈桂芬、赵艳波、王田、潘天俊、祁丽萍、杨桦、李玉国、陈新福、李书霞、郭慧玲、吴长虹、张观成/白建娥、吴琼英/白建娥、白传江、房鹏/韩星、赵行星、吴丹丹、雷红娟、吕宏娟/吴丹丹/徐丹、马培梅/胡雷、罗霞、邱磊、陈红、王静、张馨月、黄文静、张伟、高昕、陈强、刘改伟、杜磊、胡军、孙玉梅、范秀玲、钟健华、曹洁、王宇路韩、周逢春、杜毓贞/辛颖/陈明秋、谭晨、金国华、王晓旭、祝芳、白文婷/吴哲、吴哲/白文婷、卞岩/赵燕、卞岩三等奖：（21篇）谢玄、寇晓东、马雯、张娜、牛艳红、黄莹、王歆、林静姿、杨彦华/张观成、赵洪英、蒋兆华、唐秀梅、陈媛媛、陈敏、张国梅、黎颖、师玫、王丽君、陈卫东、林冬梅、王俊林。
数学高考综合能力题选讲24
数学高考综合能力题选讲24信息迁移型综合问题100080 北京中国人民大学附中梁丽平题型预测一般来说，信息迁移题指的是不便于直接运用所学数学知识解决问题，而需要从所给材料中获取信息，并用于新问题解决的一类问题．这一类问题，往往出现在一个较新的背景之下，题型新颖，形式多样，融综合性、应用性、开放性、创新性于一体．可以较好的考查学生的学习能力，阅读理解能力，数学思维能力等．由于突出体现了“考能力”这一特色，所以，在近几年的高考中，备受命题者的青睐．范例选讲例1．据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．左下图表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况．由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在右下图中图示为：讲解：本题考察读图的能力．从1950年到2000年的土地沙化总面积为一条折线，说明这一段的土地沙化总面积不是匀速增长的．但相应于这条折线的每一段线段，都代表其对应年份的土地沙化总面积匀速增长，即这一段的年平均土地沙化面积为定值．因此，分三段计算，不难得出结论，如图．点评：函数三种表示法（解析式、列表、图像表示法）中，学生较为熟悉的是解析式表示法．然而，由于另外两种表示法具有直观、形象的特点，在实际应用中较为常见．因此，学会读图非常重要．例2．这是一个计算机程序的操作说明：（1）初始值为1,1,0,0====；x y z n（2）1n+的值赋予新的n）；n n=+（将当前1（3）2x+的值赋予新的x）；=+（将当前2x x（4）2=（将当前2y的值赋予新的y）；y y（5）z z xy =+（将当前z xy +的值赋予新的z ）；（6）如果7000z >，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行； （7）打印,n z ；（8）程序终止．由语句（7）打印出的数值为_____________，_____________ ． 请写出计算过程：讲解：不难看出，这是一个循环、迭代的过程．所谓程序，就是一步一步的操作．因此，为了更好的理解题意，我们不妨按照这个程序操作几次：就此操作下去，并不难得出答案，这也是本题的一种计算方法． 从另一个角度考虑，本题中我们比较难以理解的是这样的语句：“1n n =+；2x x =+；……”，虽然题目中已经给出很好的解释，但是，按照我们通常的认识，应该用不同的符号来分别表达新值与旧值，如何从数学上较好的体现新值与旧值之间的不同，以及它们之间的联系？注意到在整个计算的过程中，一方面，n 的值似乎只起到一个计算第几轮的作用，另一方面，随着n 的变化，,,x y z 的值随之变化．从这一个角度，不难想到，数列是一种较好的表示方法．设n i =时，,,x y z 的值分别为,,i i i x y z ．依题意，011,2n n x x x -==+．所以，数列{}n x 是等差数列，且21n x n =+．011,2n n y y y -==．所以，数列{}n y 是等比数列，且2n n y =． 010,n n n n z z z x y -==+．所以，()231122325272212n n n n z x y x y x y n =+++=⋅+⋅+⋅+++⋅ ． 所以，()23412325272212n n z n +=⋅+⋅+⋅+++⋅ ．以上两式相减，得()23132222222212n n n z n +=-⋅-⋅-⋅--⋅++⋅()()211222122122n n n n n +++=-+++⋅=-⋅+依题意，程序终止时，17000, 7000n n z z ->≤，即()()12122700023227000n nn n +⎧-⋅+>⎪⎨-⋅+≤⎪⎩，可求得：8,7682n z ==．点评：从简单的做起，试一试；抓住关键点，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，都是解决问题的途径．例3．根据指令),(θr (0, 180180)r θ≥-<≤ ，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转－θ），再朝其面对的方向沿直线行走距离r ．（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）．（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）．讲解：（1） 45,24==θr ，得指令为) ．（2）机器人最快截住小球时，机器人和小球应该同时到达相遇点，另外，机器人所走的应该是一条直线．根据以上分析，可设机器人最快在点)0,(x P 处截住小球，则因为小球速度是机器人速度的2倍，所以在相同时间内有|17|x -=即2321610x x +-=，得323-=x 或7=x ， ∵ 要求机器人最快地去截住小球，即小球滚动距离最短，7=∴x ，故机器人最快可在点)0,7(P 处截住小球，所给的指令为)13.98,5( -． 点评：通过阅读，正确理解和运用新定义，是解决问题的关键．高考真题1．（2002年上海高考题）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系．图（1）表示某年12个月中每月的平均气温，图（2）表示某家庭在这年12个月中每月的用电量．根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是：（ ）（A ） 气温最高时，用电量最多． （B ） 气温最低时，用电量最少．（C ） 当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加． （D ） 当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加． 2．（2002年北京高考题）在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：用计算机求n 个不同的数12,,,n v v v 的和121ni n i v v v v ==+++∑ ．计算开始前，n 个数存贮在n台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其它机器中读数据，并与自己原有的数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的单位时间，使各台机器都得到这n 个数的和，需要设计一种读和加的方法．比如n ＝2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：n ＝4（Ⅱ）当n ＝128时，要使所有机器都得到1ni i v =∑，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要求证明）．[。
对一道高考最值问题的多元解读
４ ｏ
中。擞・ （１ － １ 高 版 ７ ？ ２１ ｇ ２ 中 ） ０ ＃ 期・
． 解题研究 ．
解析 由 ＋ ＝ ， ＋ １ 整理得 １ （ ＋ ） ｘ． ： ｘ ｙ ｙ： ＋ ≤１ ｙ 。 １ ＋
．
㈤＝
（ ÷ ９ ）
・ ． ．
切 方 为 ） （ ）ｙ 一） 线 程 ，÷＝ ： ÷ ， 一 ÷
２
只有观点 高 了， 物才能显得 明 了而简单 ； 事 一个称 职的
教师应 当掌握或 了解数学的各种概 念、 方法及其发 展与 完善的过程 以及数学教育演化的经过． 也是笔 者撰写 这
当联想． 上述解法 充分 利用 了正 、 弦定 理 和三 角 函数 余 的相关知识 ， 不仅 从代 数上 给 出了答案 ， 时从几 何 上 同 进行 了直观的解 释 ， 可以说是对数形 结合思想 的精彩演
＋ ＝ 转 化为关于“ ” ＋ １ 的一元二 次方 程 ， 进而利用该
行 变形 ， 可将本题转化关于“ ” 的二次不等 式问题 ， 再 解不等式 即可．
下面结合一个最值 问题谈谈这方 面的认识． 问题 若实数 ｘｙ满足 ， ＝１则 ｘ ｙ的最大 ， ＋
・
．
．
当０ｘ ｌ ， ＜ ＜ 时 上述不等式恒成 立 ，
・一 一一（ ） 。 了 万 １１一 ＋＝一 了 ÷ ２３ 丁
而 ≥（ ） － 一 ｃ＜ ｏ ÷
・ ‘
．
≥（ ）（ 一 （ ） 一 甘 ）÷ ÷ 一
本 文的初衷 ， 旨在介 绍一种 看待 不等式 问题 的新视 角 ，
一
ｇｏ ２）一） （ （ ）０ ｐ Ｘ （ ≥ ）一 （ － ０ １ ３÷ ≤ ÷
一类同源高考压轴题的背景分析
ｎ
＝ ＝
ｌ ｎ １一 ｌ ｎ ２ ２— —ａ
Ｘ
１ 一 Ｘ２
则必 有 １ ｎ ＿ｌ ｎ 若存在ａ ， 使得 ＝２ 一ａ ，
Ｘｌ— —Ｘ ２
１ 成立．
当 ｎ ＞ ２ 时 ， （ ） 在 （ 。 ，
） 为 增
因为Ｘ ｌ Ｘ ２ ＝ｌ ， 所 以有
一
题４ （ ２ ０ １ １ 年高考 陕西 卷理科 试题 ） 设函 数， （ ） 定 义在 （ ０ ， ＋。 。 ） 上， Ｉ 厂 （ １ ） ＝０ ， 导函数Ｉ 厂 （ ） ＝ １ 夕 （ ） ＝‘ 厂 （ ） 十． 厂 （ ） ．
，
２ １ ｎ ２ ：０ 矛盾， 以满足条件 的 ０ 不存 题２ （ ２ ０ １ ０ 年高 湖北 卷理 科试 题） 已知
函数ｌ 厂 （ ）： ａ ｘ＋ ＋ｃ （ ０＞ ０ ） 的 图像 在
（ １ ） 求夕 （ ） 的单调 问和最小值；
点 （ １ ， ． 厂 （ １ ） ） 处 的 切 线 芳 程 为 ＝ ｚ 一 １ ．
０ （ Ｘ ２ － ａ 下 ＋ ｘ ／ ａ ｚ ＂ － ４ ＞ １ ） ．
由 文第ｌ 部 的说 明町 一 ＞２ ｌ ｎ ｚ
—
即 一 。 ＋ １ ＞ ｌ Ｉ ｌ ２ ．
一 Ｆ 面几道题 不再具 体分析， 读者可 自行解
伏 ．
（ ＞１ ） ， 于是 ２ 一 １ ２ １ ｎ ２ ＞０ ． 与 ２ 一 １
问：是否存在 ａ ， 使得 ＝ ２—０ ７ 若存 在， 求 出ａ 的值 ； 若不存在 ， 请说明理 由． 分析： （ １ １ 略；
（ 三 一 １ ） ＞ ／ ０ ， 所 以 函 数 ） 在（ ０ ， ＋ ｏ ｏ ） 上 为增函数， 又ｆ （ １ ） ＝０ ， 所 以不等
探寻数学建模素养落地生根的有效路径
学科教育与教学探寻数学建模素养落地生根的有效路径1●孔志文 白雪峰*《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“课标”）中指出：数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。
[1]数学建模素养是数学学科六大核心素养之一，基于数学建模活动有效培养学生发现问题、提出问题、分析问题、建立模型、确定参数、计算求解、验证结果、改进模型，最终解决实际问题的能力，是发展学生数学建模素养、提升数学解决问题能力的重要途径。
下面，笔者基于教学实践与同行分享这方面的经验，希望引发大家的思考。
一、优化情境设置，强化模型基本思想数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。
课标明确要求“通过高中数学课程的学习，让学生认识数学的应用价值，学会用数学模型解决实际1本文系北京市教育科学“十三五”规划2017年度一般课题“中学生数学核心素养培养的教学关键问题的案例研究——以北京市朝阳区为例”（课题编号：CDDB17192）系列论文之一。
*孔志文，北京市朝阳外国语学校教师，北京市骨干教师；白雪峰，北京教育学院朝阳分院教师，北京市特级教师。
□ 数学摘 要：数学建模素养作为数学学科六大核心素养之一，对发展学生的学科素养具有重要作用。
笔者结合自身指导学生开展数学建模活动的教学实践，提出了基于优化问题情境设置、有效应用信息技术和体验完整建模过程，强化学生模型基本思想、提高学生模型求解能力和发展学生数学建模素养的有效路径。
关键词：数学建模 数学学科核心素养 素养培育路径问题，积累数学实践的经验”。
在数学建模活动中，关键而基础的一环是对现实问题进行数学抽象，也就是要培养学生基于现实世界中的问题情境，能够从数学的视角对问题情境进行数学抽象，利用数学语言表达问题，利用数学知识和数学思想方法构建数学模型，转化形成并提炼概括出数学问题。
可以说，情境与问题是数学建模活动的灵魂，将现实问题数学化是学生发展数学建模素养的第一步。
加强题后反思 促进深度理解
［责任编辑 ：杨惠民 ］
加强 题 后 反 思 促 进 深 度 理 解
张 可 馨
（浙 江省新 昌中学高 一 （１）班 ３１２５００）
摘 要 ：做题 的 目的不能只停 留在拿 到正确 的答案 ，我们 应该在做 完题后加 强题后反 思．加 强题后反 思 ，
通过对题 目特征 、解题 思路 、解题途径 、题 目结论及 解题 中所反 映 出的数 学 思想方法 、特殊 问题 所 包含 的一般
了１
，
求角
＋２， ｅ的大小．
错解 由于 ｔａｎ ＝Ｉ＿２二ｔａｎ ／３ ＝ ３ ， 所 以 有 ｔａｎ（ ＋
ｔ
示问题的本质 ，探索一般规律 ，沟通知识间的相互联系，进而 ２／３）＝
＝１．又 由 于 、 均 为 锐 角 ，所 以 ＋２／３
开发我们 的解题智慧．下面从三个角度进行说明．
数理化 解题研究
暑
再计 算得 ｔａｎ（ＯＬ＋ ）＝１，
的和为 １００，则它 的前 ３ｍ项 的和为一
寻． ·
． ．
＋ ＝
．
｜
－
可以看出，通过对解题结果的反总，能够有效地防止
方法 一 将 Ｓ ＝３０，Ｓ２ ＝１００代 人 Ｓ ＝眦 。＋
ｄ，
’
因马虎 、粗 心等造 成 的错误 ，从 而提 高解 题 的正 确 率 ，提 高 解 题 质 量 ．
要求ｓ ，只需求ｍ【。。＋ 】＿
将 （２）－（１）得 ｍｎ ＋
ｄ：７０’．．．Ｓ ：２ｌ０．
式求函数最值 的思 想方 法 ，但 要想 利 用基 本不 等式 求 最
方法 三 根据等差 数列性质 知 Ｓ ，Ｓ： 一Ｓ ，Ｓ， 一．ｓ：
用换元法解一类最值问题
一
在［ １ ， ］ 上是增 函数 ， 所 以
～ 一 ，
丢 ＋ 詈 的 最 小 值 是 （ ） ．
（ Ａ ） 专 （ Ｂ ） ４ （ ｃ ） 专 （ Ｄ ） ５
分析 由题 意 ， 令
口一 ２ ｃ ｏ ｓ 。 ａ， ６— ２ ｓ ｉ ｎ。 ．
一
５
十
１ ｔ ａｎ２
ａ ＋２ ｃ ｏ ｔ ２ ａ
－ ｚ — ｔ ａ ｎ ａ ， ａ ∈ （ 一 号 ， － ４ － ） ｕ （ 号 ， 号 ） ，
则 ， （ ｚ ） 一 ｓ ｅ ｃ ａ 一 １
≥ 专 ＋ ２ 一 专 ．
故选 Ｃ
一
—
—
Ｌ
．
ｓ ｉ ｎ（ ａ 一 ）
即 所 求 最 大 值 为 辱 ， 选 Ｂ ．
类 题 ５函 数 厂 （ ） 一 耋 的 值 域 为
分析 如果真正熟悉 了这一换元法的涵
义， 注意 到 、 这一 形式 ， 容 易想 到令
则 一 十 号 一 ＋
＝＝ ＝
＿ 去 － （ ｔ ａ ｎ 。 ａ ＋１ ） ＋２ （ ｃ ｏ ｔ 。 ＋１ ）
。 ’ — —
ｓ ｉ ｎ 。 。 。 。 ａ 。 。 ＋ 。 。 。 ’ ｃ ｏ ‘ 。 。 ｓ 。 。 。 — ａ
收 稿 日期 ： ２ ０ ｔ ６ — ０ ５ — １ ６
第３ ５ 卷第 １ ｏ 期
２ ０ １ ６年 ｌ Ｏ月
数学教学研究
６ ７
：
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± Ｑ 垡 ２ ： 二 一三 一
（ 上接 第 ６ ５页）
例 ７ 若 实 数 ， ，Ｐ，ｑ 满 足 ： ￣ ／ （ ７ ７ ｚ 一１ ） 。 ＋（ 咒 一１ ） ～１ 十ｌ Ｐ＋ ｑ ＋１ ｌ 一０ ， 则（ 一户 ） 。 ＋（ ７ ２ 一ｑ ） 。 的最小值为— — ． 策略 （ 解析 几何 思想 ） 由 已知得
西藏自治区日喀则市南木林高中高三第二次模拟考试新高考语文试卷及答案解析
西藏自治区日喀则市南木林高中高三第二次模拟考试新高考语文试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．1、阅读下面的文字,完成下面小题。
昨晚中西音乐歌舞大会里“中西丝竹和唱”的三曲清歌,真令我神迷心醉了。
仿佛一个暮春的早晨，霏霏的毛雨默然洒在我脸上，引起润泽、轻松的感觉。
新鲜的微风吹动我的衣袂。
像爱人的鼻息吹着我的手一样。
我立的一条白矾石的甬道上，① ，正如涂了一层薄薄的乳油。
踏着只觉越发滑腻可爱了。
这是在花园里。
群花都还做她们的清梦。
那微雨偷偷洗去她们的尘垢，她们的甜软的光泽便自焕发了。
在那被洗去的浮艳下，我能看到她们在有日光时所深藏着的恬静的红，冷落的紫，和苦笑的白与绿。
以前锦绣般在我眼前的，现在都带了黯淡的颜色——是愁着芳春的销歇么?是感着芳春的困倦么?大约也因那蒙蒙的雨，园里没了浓郁的香气。
涓涓的东风只吹来一缕缕饿了似的花香，夹带着些潮湿的草丛的气息和泥土的滋味。
园外田亩和沼泽里，又时时送过些新插的秧、少壮的麦和成荫的柳树的清新的气息。
这些虽非甜美，却能强烈地刺激我的鼻观，使我有愉快的倦怠之感。
看啊，那都是歌中所有的：②，也用眼，鼻吗，舌，身，听着；也用心唱着。
我终于被一种健康的麻痹袭取了。
于是为歌所有。
此后只由歌独自唱着，听看，世界上便只有歌声了。
1．文中使用了哪些修辞手法A．比喻反问借代B．拟人借代反复C．比喻拟人排比D．排比设问比喻2．文中画波浪线的句子可改写成:“园外田亩不时送来新插的秧的清新的气息、少壮的麦的清新的气息,沼泽里也不时送来成荫的柳树的清新的气息。
挖掘试题育人功能提升学生思维品质——以一道平面几何试题及其变式的解法探究为例
挖掘试题育人功能提升学生思维品质——以一道平面几何试
题及其变式的解法探究为例
白雪峰
【期刊名称】《中国数学教育（初中版）》
【年(卷),期】2017(000)007
【摘要】中学数学教育要培养学生的数学思维品质,而学习解题是提升学生思维品质、发挥数学学科育人功能的重要途径.文章以一道平面几何题为例,通过对试题多种证法的探索、多维变化的探究和问题本质的挖掘,阐述了培养学生思维品质的具体策略,即通过一题多证培养学生思维的发散性,通过一题多变培养学生思维的灵活性,通过深度挖掘问题本质培养学生思维的深刻性.在思维品质培养的过程中,学生涵养了数学学习习惯,锻炼了数学学习能力,提升了数学核心素养.
【总页数】4页(P99-102)
【作者】白雪峰
【作者单位】北京教育学院朝阳分院
【正文语种】中文
【相关文献】
1.变中求道:培养学生创新思维——以一道椭圆试题的变式探究为例 [J], 南爱玲
2.推进思辨活动提升思维品质——以一道中考试题的教学运用为例 [J], 蔡卫兵
3.浅谈语文学科思维品质培养与提升\r——以一道古代诗歌鉴赏试题为例 [J], 余昆仑
4.推进思辨活动提升思维品质——以一道中考试题的教学运用为例 [J], 蔡卫兵
5.激发学生问题意识发展数学核心素养——以一道江苏高考试题解法探究和拓展为例 [J], 郭建华;于健;张云飞
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明晰内涵领悟本质r——以一道中考数学试题的证明及其本质的挖掘为例
明晰内涵领悟本质r——以一道中考数学试题的证明及其本质的挖掘为例白雪峰【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2016(000)014【总页数】2页(P86-87)【作者】白雪峰【作者单位】北京教育学院朝阳分院【正文语种】中文学生的几何素养是指学生在解决具有一定背景的问题的过程中，面对不同形式的几何对象，以及在使用适当的几何知识和技能进行探究过程中所表现出的几何思维水平、几何推理能力和应用能力.［1］几何推理能力在国际数学教育界被一致视为基础且重要的能力之一，在平面几何教学中，教师要特别重视几何直观和多样表征对于学生几何学习的影响，关注图形直观对于学生理解几何推理过程的重要价值，从而不断发展学生的几何推理能力.［2］下面笔者以2014年北京市中考数学第24题的证明及其本质的挖掘为例，谈谈通过改变问题已知条件，探求几何图形本质，拓宽几何思维空间，引导学生透过问题的证明和拓展过程，明晰几何问题内涵，领悟几何问题本质，以此发挥几何教学育人功能的实践与思考.［3］在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE、DE，其中DE交直线AP于点F.（1）依题意补全图1；（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度数；（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB、FE、FD之间的数量关系，并证明.本题的（1）和（2），利用轴对称图形、等腰三角形的性质等知识，是比较容易得到答案的，这两问的主要目的是让考生认识和熟悉试题的已知条件、图形特征，并为解决（3）铺路.本题重点是（3），需要先猜想出结论，然后还要证明结论的正确性，这也是本题的难点所在.直接解决（3），并挖掘图形和问题的本质特征，将问题进行变化和一般化推广.解：（1）和（2）略.（3）猜想：FE2+FD2=2AB2.证明：如图3，连接AE、BF和BD.由轴对称性质可得：FE=BF，AB=AE=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF.所以A、F、B、D四点共圆.在正方形ABCD中，因为∠BAD=90°，，所以∠BFD=∠BAD= 90°.在Rt△BFD中，由勾股定理得BF2+FD2=BD2.所以FE2+FD2=2AB2.点评反思：回顾（3）的证明过程，不难发现本问的结论只与正方形ABCD中的等腰直角△BAD有关，而与等腰直角△BDC无关，因此，可以去掉等腰直角△BDC，从而可以将图3变成图4.笔者认为，在平时的几何教学中，教师还要进一步引导学生进行探究，将上述问题的已知条件弱化，其结论是否还能成立或结论会发生怎样的变化？事实上，通过研究不难发现，我们可以将本问题变化到更一般的情形，即将已知条件中的△BAD为等腰直角三角形改变为△BAD为等腰三角形，原问题的结论只会发生细微变化，同样也是一个比较漂亮的结论.下面，我们先将等腰直角三角形变化为一个特殊的等腰三角形，即等边三角形，然后将其变化到一般的等腰三角形的情形.变化问题1：已知：在等边△ABD的外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.求证：FE2+FD2=AB2+FE·FD.证明：如图5，连接FB、AE.由轴对称性质可得：FE=FB，AB=AE=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF.所以A、F、B、D四点共圆.在等边△A BD中，∠BAD=60°，AB=BD.所以∠BFD=∠BAD=60°.过点B作BG⊥FD于G.在Rt△BGF中，∠BFG=60°，∠FBG=30°.从而在Rt△BGD中，由勾股定理得：当△ABD为一般的等腰三角形时，则有下面的问题.变化问题2：已知：在等腰△ABD（AB=AD）外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE、DE，其中DE交直线AP于点F.求证：FE2+FD2=BD2+2FE·FD·cos∠BAD.（为使结论简明，我们就不用AB表示BD了.）证明：如图6，连接FB、AE.由轴对称性质可得：FE=BF，AB=AE=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF.所以A、B、D、F四点共圆.所以∠BFD=∠BAD.在△FBD中，由余弦定理得；BD2=BF2+FD2-2BF·FD· cos∠BFD.所以FE2+FD2=BD2+2FE·FD· cos∠BAD.当∠BAD=30°时，FE2+FD2=当∠BAD=45°时，当∠BAD=60°时，FE2+FD2=BD2+FE·FD；当∠BAD=90°时，FE2+FD2=BD2=2AB2；当∠BAD=120°时，FE2+FD2=BD2-FE·FD；……从以上的特殊情况可以知道，原中考试题是上述特殊情况之一.反思上述问题已知条件的改变过程可以看到，从正方形到等腰直角三角形，再到等边三角形，最后变化为等腰三角形，所得结论也随之更加一般化，但问题论证的基本过程和基本方法是一致的，其中的不变之处就是A、B、D、F四点共圆，只要能抓住这一问题解决的根本，也就掌握了本问题的实质.初中平面几何中的推理证明既是教学中的重点也是难点，笔者认为，在平面几何学习中，学生最重要的任务是学会用科学、准确的数学符号语言正确地表达逻辑思维过程.因此，在课堂教学中，教师要通过精良的几何问题，培养学生通过图形直观发现问题的几何特征，正确运用图形记号、数学符号语言和逻辑推理的方法表达平面几何中的演绎推理过程.［4］从而指导学生掌握逻辑推理证明的方法，培养他们的数学思维能力，改变学生单纯模仿教科书上几何推理证明的学习现状，提高数学学科的直观想象和逻辑推理素养.【相关文献】1.苏洪雨.学生几何素养的内涵与评价研究［D］.上海：华东师范大学，2009.2.綦春霞，王瑞霖.中英学生数学推理能力的差异分析［J］.上海教育科研，2012（6）.3.白雪峰，王敬如.追根溯源揭示本质——一道有背景的中考试题的证明和拓展［J］.中国数学教育，2015（5）.4.刘京莉.学会用数学语言表达几何逻辑思维过程［J］.数学通报，2007（5）.Z。
10年一遇高考难题高考试题能不能标准化
6⽉13⽇，中央电视台报道，由于今年⾼考考题偏难，很多考⽣都⾮常关⼼今年分数线会不会下降。
清华⼤学招⽣办公室主任宗俊峰解答说，由于今年试题⽐较难，总体的分数线可能会往下降。
另据新华社电，据南开⼤学招⽣办公室的⼀位⽼师介绍，由于今年⾼考考题偏难，预计该校的⽂科招⽣录取分数线会下降20分左右。
6⽉14⽇，北京青年报报道，北京⼀⼤学招办负责⼈接受记者采访时说，确实有许多考⽣在咨询中反映今年⾼考试题偏难，⾃⼰估计成绩较低现象，但这只是学⽣的估计成绩，⽽不是最后的确定成绩，因此不能就得出录取分数线降低的预测结论。
⾮常时期遭遇⾼考难题 “学⽣出来脸⾊都变了，男⽣脸⾊不好看，⼥⽣回家的路上边⾛边哭……”重点中学，哈尔滨市第6中学⾼三⽼师刘红霞在电话⾥描述她的学⽣⾛出⾼考数学考场的情景。
“数学是⾼考第⼀天的第⼆科考试，出来⼤家都说考砸了。
⼼情当然不好，接下来的考试是强打精神。
” “⾼三复习了⼀年也没见过这样的考题，顺序就不⼀样，先是物理，然后化学、⽣物，之后⼜是物理，脑⼦都乱了。
我⼀边答题，⼀边⽣⽓。
”北师⼤附中⾼三⼀位佟姓的⼥⽣告诉记者，她做理综试卷时⼼⾥特别别扭。
“以往⾼考的难度是有梯度的，由基础的题逐渐到难题，但是今年感觉不到这个变化。
”海淀区重点中学⼀位⾼三⼥⽣说。
6⽉10⽇，⾦陵晚报报道，南京优等⽣被⾼考数学题考哭。
“中国的学⽣学得苦，归根结底是考得苦。
”武汉某重点中学⾼三毕业⽣在上留⾔。
“我带了10年毕业班，1999年⽐较难，但今年⽐1999年还要难。
”教数学的刘红霞⽼师说。
为何难，考⽣家长不明⽩ “没有⼼理准备。
”哈尔滨剑桥中学⾼三学⽣袁⽅在学校是名列前茅的学⽣。
她说：“本来今年就⽐较特殊：提前⼀个⽉考试，⼜遇上‘⾮典’这个⾮常时期，⽽且⼀直说抓基础，没想到出得这么难。
” “所有的难题都没有超出教学⼤纲的要求。
”刘红霞⽼师认为，“仔细看每道题，出得都很好，考察学⽣的综合能⼒。
但计算量确实⽐较⼤。
发展灵动深刻与锐意创新的思维品质r——谈一道平面几何问题探究的心路历程
发展灵动深刻与锐意创新的思维品质r——谈一道平面几何问题探究的心路历程白雪峰【摘要】本文从"一题多解"和"一题多变"两个方面阐述了平面几何教学与研究的基本方式.前者强调在多解过程中,综合调用几何知识,灵活运用多种数学思想方法解决问题;后者关注基于问题的遗传不变性和变异性,进行变式拓展研究.二者紧密联系,相辅相成,相互促进,都聚焦于学生"四能"提升、创新意识增强以及数学核心素养的培养.【期刊名称】《数学教学通讯：中教版》【年(卷),期】2017(000)017【总页数】3页(P71-73)【关键词】灵动深刻;锐利创新;思维品质;探究历程【作者】白雪峰【作者单位】北京教育学院朝阳分院 100026【正文语种】中文“一题多解”和“一题多变”两个方面阐述了平面几何教学与研究的基本方式.“一题多解”强调的是在多解过程中，在综合调用几何知识的基础上，灵活运用多种数学思想方法解决数学问题的过程；“一题多变”则关注的是对能够保持“遗传不变性”和发生“遗传变异性”的问题开展深入探究，进行变式和拓展的研究过程.二者紧密联系，相辅相成，相互促进，都聚焦于学生“四能”提升、创新意识增强以及数学核心素养的培养.下面就以一道平面几何试题的研究为例，谈谈这方面的思考与实践.试题如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC交 BC 于点E，交OB于点F，求证：EC=2OF.为使多解过程更为简洁，证明方法更加突出，笔者将多次证明中都需要用到的条件先行证明，避免在多解过程中反复赘述.如图1，在正方形ABCD中，因为对角线AC，BD相交于点O，所以有AB=BC=CD=AD，（Ⅰ）AB∥DC，AD∥BC，（Ⅱ）AO⊥BD，AO=OC，即点O为AC的中点，（Ⅲ）△AOB和△BCO为等腰直角三角形.（Ⅳ）因为AE为∠BAC的平分线，所以∠1=∠2.（Ⅴ）因为∠3=∠1+∠4，∠5=∠2+∠6，又∠4=∠6=45°，所以∠3=∠5.（Ⅵ）所以BE=BF.（Ⅶ）说明（1）以上结论（Ⅰ）至（Ⅶ）将在下面的证明中直接使用；（2）欲样的变形处理可以使证明思路更为开阔.方法1 （直接折半法）如图2，取EC的中点G，连接OG，因为AO=OC，CG= 方法2 （间接折半法）如图3，取AEEC①.因为OG∥BE，所以∠5=∠8.又∠3=∠7，注意到∠3=∠5，所以∠7=∠8.所以OG=OF②.由①②可知EC=2OF.方法3 （直接加倍法）如图4，在OD上截取OG=OF，连接GC.因为AO=OC，OF=OG，∠AOF=∠COG，所以△AOF≌△COG.所以∠FAO=∠GCO.所以AE∥CG.所以∠3=∠9，∠5=∠10.注意到∠3=∠5，所以∠9=∠10.所以BG=BC.又因为BF=BE，所以EC=FG.所以EC= 2OF.方法4 （间接加倍法）如图5，过点C作CG∥OF交AE的延长线于点G，因为BF∥CG，所以∠3=∠CGE.又∠3=∠5，∠5=∠CEG，所以∠CGE=∠CEG.所以CG=CE.所以EC=2OF.方法5 （平行相似法）如图6，过点B作BG∥AC，与AE的延长线交于点G，则说明上述七种证明方法，从本质上说都是作“辅助平行线”.其中，前四种证法都用到了中位线定理或其逆定理，学生对此比较熟悉，而后三种证明方法则都采用了“平行相似法”，同时，需要学生观察到两次或三次三角形相似.如果从另一种方向进行思考，可以看出其中的第5和第6两种方法都是证明著名的梅涅劳斯定理的方法，下面我们直接利用该定理证明这个问题.方法8 （应用梅涅劳斯定理）如图9，△OBC被直线EFA所截，由梅涅劳斯CA=2AO，所以EC=2OF.说明方法8应用梅涅劳斯定理证明上述问题，可以不必添加任何辅助线，由一个式子便达到证明目标，过程简单明了，在推广过程中，为了减少篇幅，笔者就采用梅涅劳斯定理证法.方法9 （应用等腰三角形）如图10，过点A作AG∥DB，交CB的延长线于点G，则有四边形AGBD为平行四边形.所以AG=BD=AC，GB=AD=BC，∠GAE=∠3.注意到∠3=∠5，所以∠GAE=∠5.所以GA=GE.又GA=AC=2AO=2OB=2OF+2FB，GE=GB+BE=BC+BE=BE+ EC+BE=2BE+EC，BF=BE，所以EC=2OF.说明在方法9中，应用△GAE为等腰三角形，GA=GE，然后利用线段的等量代换得到结论，由此我们又可以想到一种证明方法.方法10 （应用等腰三角形）如图11，因为AD∥BC，所以∠5=∠DAF.又∠3=∠DFA，∠5=∠3，所以∠DAF=∠DFA.所以DA=DF.因为DA=BC=BE+ EC，DF=DO+FO=OB+OF=OF+BF+OF= 2OF+BF，又BE=BF，所以EC=2OF.方法11 （应用角平分线的性质定理）如图12，延长AE，DC交于点G，因为∠1=∠2，∠1=∠G，所以∠2=∠G.所以AC=CG.又∠AOF=∠ECG=90°，所以Rt△AOF∽Rt△GCE.方法12 （应用角平分线的性质定理）如图13，过点E作EG⊥AC于点G，因为AE为∠BAC的平分线，易证Rt△ABE≌方法13 （应用角平分线的性质定理）如图14，过点F作FP⊥AB于点P，延长PF交AC于点Q，则有PQ∥BC，FP=FO.易证Rt△FPB≌Rt△FOQ，所以FB=FQ=BE2=EC·OF①.因为∠ABD=45°，所以Rt△BPF是等腰直角三角形.所以BF2=P B2+PF2=2PF2=2OF2②.由①②可得2OF2=EC·OF，所以EC=2OF.方法14 （应用角平分线的性质定理）如图15，在△ABO中，AF为∠BAO的BF，所以EC=2OF.点评在以上14种证明方法中，有三种没有添加任何辅助线而证得结论，而这三种方法又都比较简便.认真观察图形，分析图形特征，力争不用添加辅助线进行证明，这样的证明方法往往比较优雅.在原题中，AE为∠BAC的平分线，我们分裂AE得到∠BAC的等角线，即点E1，E2在BC上，且∠BAE1=∠CAE2.用这种方法来拓展原问题，得到具有保持遗传不变性的结论，也会得到发生遗传变异性的结论.拓展1 如图16，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E1，E2在BC 上，且∠BAE1=∠CAE2，AE1，AE2分别与BO交于点F1和点F2.求证：（1）E1C·E2C=4OF1·OF2；证明如图16，因为∠AOF2=∠ABE1= 90°，∠BAE1=∠CAE2，所以∠AF2D=∠AE1B.因为∠AF2O=∠F1F2E2，所以∠AE1B=∠F1F2E2.所以F1，E1，E2，F2四点（1）△OBC被直线E1F1A所截，由梅BE所以E1C·E2C=4OF1·OF2.当等角线AE1，AE2重合为∠BAC的平分线AE（点F1与点F2重合为点F）时，EC2=4OF2，即EC=2OF.（2）由①+②可内等角线重合为它的平分线时取“=”.当∠BAC的平分线分裂为它的外等角线时，图形变化奇异，得到下面的问题.拓展2 如图17，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E1，E2在CB，BC的延长线上，且∠BAE1=∠CAE2，直线AE1与DB的延长线交于点F1，直线AE2与DB交于点F2.参照拓展1的证明，有兴趣的读者可以尝试证明，这里不再赘述.。
一道平面几何试题的解法赏析
一道平面几何试题的解法赏析
白雪峰
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2015(0)3
【摘要】平面几何是指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学,也称欧几里得几何或欧氏几何.平面几何的学习是训练学生逻辑推理技能、提高学生逻辑思维能力的有效途径.本文通过对一道高考几何试题多角度的解读,不仅展现了数学发散性思维的魅力,同时也充分体现了数学教学中对简洁美的执着追求.
【总页数】2页(P14-15)
【关键词】欧几里得几何;几何证明选讲;相似三角形;数学教学;发散性思维;《几何原本》;欧氏几何;高考数学;射影定理;全等三角形
【作者】白雪峰
【作者单位】北京教育学院朝阳分院
【正文语种】中文
【中图分类】G633.63
【相关文献】
1.挖掘试题育人功能提升学生思维品质——以一道平面几何试题及其变式的解法探究为例 [J], 白雪峰
2.赏析多元解法优化教学策略——一道中考试题的解法分析及其教学启示 [J],
3.一道导数与三角函数"联姻"模考试题的解法赏析 [J], 王瑞萍
4.注重由"形"构"型"解法水到渠成
——一道中考试题的解法赏析、变式拓展及思考 [J], 戴承惠
5.一道高三质检试题的解法赏析 [J], 彭梦;李红春
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2020年北京师范大学第三附属中学高三语文第一次联考试卷及答案
2020年北京师范大学第三附属中学高三语文第一次联考试卷及答案一、现代文阅读（36分）(一)现代文阅读I(9分)阅读下面的文字，完成下面小题。
2020年8月3日，香港大学向江苏高考生白湘菱发放了录取通知。
虽然“江苏高考文科第一名无缘清北”事件暂告一段落，但事件引发社会对实行到最后一年的江苏高考乃至教育模式的关注和讨论仍在继续。
更重要的是，讨论开始回归高考改革，关注计分原则、录取方式等环节对于人才选拔的影响，以及究竟如何做到惜才又公平。
贺佳雯：你如何看江苏高考文科第一名因历史科等级无缘多所名校一事？孙干：这一事件是由于考生本人某一门学科的失利，影响了录取。
这不是不公平，是制度本身导致可能流失一部分人才。
制度希望学生能成为全才，不要偏科，这对一些偏才或是选测有失误的考生的高考录取有桎梏。
在当前制度下，高考招生录取必须严格依法依规进行，既看总分又看选测科目等级是现行规则决定的。
贺佳雯：回到高考制度本身，江苏高考08方案的争议点究竟何在？有哪些利弊？孙干：08方案主要争议在于可能会导致部分高分人才选不到最一流的高校。
这是等级计分原则的一个弊端。
如果白湘菱的历史科按照分数计入总分，那总成绩可能在语数英高分的弥补下也会取得不错的排名。
简单以等级划分容易出现一个显而易见的问题，可能虽然一个等级，实际中间差了很多分。
对人才选拔也不公平。
张端鸿：江苏高考08方案最大的争议点在于，学生只有做到参考科目没有短板，才能录取到最理想的学校。
这可能导致学生选考科目的单科全省排名如果不理想，就会影响学生的全局；高校在招生录取过程中，也缺少自主权。
江苏省教育厅相关人士：过去十年，我们一边改，一边有意见反馈过来，于是再调整。
从宏观角度来看，我们不建议学生偏科严重，因为选测科目本身，已经是学生自选的相对擅长的科目。
贺佳雯：08方案改革的初衷是什么？江苏省教育厅相关人士：初衷在于强调语数英三门主科的学习，夯实基础，同时减轻其他副科的学习压力。
新疆兵团农二师华山中学2025届高考考前模拟语文试题含解析
新疆兵团农二师华山中学2025届高考考前模拟语文试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
1、阅读下面的文字，完成下面小题。
生命是美丽的李永康举目远眺，没有绿色，天是黄的，地是黄的，路两边的蒿草也是焦黑的。
尽管来这之前我有充分的心理准备，可眼前的景象还是让我大吃一惊。
最难的是给乡村孩子们上课，书上好多外面世界的精彩，他们闻所未闻。
一些新鲜的词汇，我往往旁征博引设喻举例讲得口干舌燥，他们却是一脸陌生。
有一天上自然课讲到鱼，我问同学们鲫鱼和鲤鱼的区别，他们一个个都摇头。
他们压根就没走出大山见到过鱼呀﹗我和学校领导商量，买几条回来做活体解剖，校领导露出一脸难色。
我只好借了辆自行车利用星期天骑了三十多里路到一个小镇上，自掏腰包买了几条回来。
那节课同学们高兴得像过节一样，我却流下了热泪。
听当地的老师讲，这里的学生有个最大的缺点，就是上课爱迟到。
但开学两个月来，我教的班还未发现过这样的现象。
为此，我非常得意。
我当初读初中的时候，不喜欢哪位老师的课，就常常采取这种极端的行为来“报复”。
虽然最终受伤害的是我，可当时就是不明白。
现在我也为人师表了，如果我的学生这样对待我，我又作何感想呢？世界上的事就是怪，不想发生的事偏发生了。
我把那位迟到的学生带到办公室了解情况。
原来他家离学校有二十多里路，他如果要准时到校的话，早晨五点钟就得起床，还要摸黑走上十几里山路。
夏天还可以对付，可眼下是深冬——寒风刺骨。
我要求他住校，他说他回家和父母说说。
第二天，他却没来上课。
我非常着急，找了个与他家相隔几个山头的同学去通知他，他还是没来。
我在当地老乡的带领下，来到了他家。
忽然间“家徒四壁”这个成语从我的记忆深处冒了出来。
面对他的父母，我哽咽着对他说，老师不要求你住校，每天坚持来上课就行。
高考题解分析1
竞赛园地
一道经典不等式试题的证法与引伸、 应用— — —蔡玉书 ０． １ +( 对一道有趣不等式的深入探究— — —秦庆雄 范花妹 -. １． １ 五种构造 同解一题— — —刘再平 -' ２． １ 《 数学通讯》 问题 １ — —李宁 -３． ６ ５ 的证明及联想— １ 再谈一类分式对称不等式的证法— — —程汉波 -( ４． １
（
）
— １ —
第 １ 期（ 总第 １ 期） 形能力 ， 降 低 难 度 的 一 个 策 略 是 用 换 元 法， 如 例 １， 可 设 ˇ＝
２ （ ） （ ） ２ ˇ －１ ＋６ ˇ －１ ＋７ ＝ ˇ ＋ ＋４． ˇ ˇ 分离方式二 ： 分离参数 ２．
， 则原函数改写为 ＋１（ ˇ＞０）
（ ＝ ˇ）
１
变形为只在分子或分母中含有变 量的形式 ， 所说的 “ 分离常数 ” 事实上指两种处理 ： （ ） 经过恒等变形 ， 使 （） １
∰ （， ； （ ） 将 （） 如 （） 变形为 ∭ ∰∈Ｒ） ２ ＝∭ （ ） ＋ （） ２
２
（） ＝∭ ＋
（） 形 式 的 函 数， 这两种处理 （ ∭ ∈Ｒ） ２（ ）
的结果 ， 往往会使新函数的性态 （ 如单调性 、 奇偶性等 ） 比较容易判断 ． ＋６ ＋７（ ） 的值域 ． ＞ －１ ＋１ ２ ２ ） （ ＋１ ） ＋６ ＋７ （ ＋１ ＋４ ＋２ （ ２ 解： （ ） 由 ＞ －１， 得 ＋１＞０， ） 则 （ ＋１ ） ＝ ＝ ＋１ ＋４， ＋ ＋ ＝ ＋１ ＋１ ＋１ 例 １ 求函数 （ ） ＝ ２ ＋４≥２ ＋１ ） · 当且仅当 （ ＋１ ＋４＝２槡 ２＋４， ） （ ＋１ 槡
［
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的范围 ， 我们 最 熟 悉 的 也 是 最 简 单 的 情 况 就 为主元而不含其他变量 ， 所以要把 与
【高考复习】2021级北大学霸分享高考数学如何的高分
【高考复习】2021级北大学霸分享高考数学如何的高分我是来自吉林省一个小县城的文科生，高中就读于通榆县第一中学，高考以658分的成绩成为北京大学法学院新生，数学是150分。
事实上，在高考之前，数学对我来说是最麻烦的科目。
老师说我的数学思维很好，但我总是在考试中犯各种各样的小错误，导致我的数学成绩总是落后于竞争对手。
当时，我们从全国各地的名校发了许多难度不同的试题。
然而，由于我的学习方法和时间的限制，我提出的问题远少于我的竞争对手。
老师认为这是因为我没有做足够的问题，我没有得到好的数学成绩，但我不同意这种说法。
每天刷过一张张的卷子不能让我的心里充实，反而让我觉得浪费。
我并不否认刷题可以获得好成绩，我的方法中也的确需要一定的题量作为基础。
但是刷题不是我方法的核心。
所以我以下介绍的方法，适合的是喜欢在巩固，整理上花费大量时间并能找到乐趣的同学。
我相信，我的方法如果能被仔细理解，便可以帮助发现学习的乐趣，甚至获得一种可以广泛使用的学习技巧。
一、核心理念其实我觉得，和学习指导思想比起来，学习方法的传递反而是次要的。
对于文科生，这个道理尤其明显。
我觉得我还是比较有资格谈学习方法的，因为我有很多大家都会有的毛病，比如贪玩，管不住自己，没有毅力，经常马虎，而且我也不属于聪明的学生。
但是我就是用先进的思想把我的学习管理得井井有条。
第一个想法是目的性。
对于数学，我不拒绝做很多问题，但我拒绝做没有目标和明确收入的问题。
当我想做一组问题时，我会先考虑为什么，或者我想要什么，然后分配相应的书籍和问题。
比如新学的一课要做题，因为我要熟悉关于这个知识点的题型，通过运用来巩固并且更好地理解这个知识点。
这也就包含了回归源头的思想，就是做题是为了更好地理解书。
另一个例子是，我最近总是在某个知识点上出错，所以我必须采取一系列措施：首先复习相关定义，然后在手中的空闲练习中找到此类问题，进行集中培训，每十个问题检查一次答案，直到准确率达到100%。
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1 当且仅当 x = 时上述不等式取到等号 ． 3 2 1 1 ∴ a + b + c ≥ （ a + b + c） － = ， 当且仅当 a = b = c 9 9 3
3 3 3
=
1 时等号成立 ． 3 （ 2 ） 构造函数 f ( x) = 求函数 f ( x) = ∵ f ' ( x) = 3 x2 － x ( 0＜ x ＜1 ) ， 1+ x2
2 2 2 2 2 2 2
40
解析
2 2 2 由 x + y + xy = 1 ， 整理得 1 = （ x + y） － xy．
（ 2011 年第 12 期x = 同理得
∴ （ x + y） 2 = 1+ xy≤1+
( x +y) 2 ， 4
2 sin ( 60 ° － A) ． 3 槡
二次方程 ， 利用求根公式可得到 y 的两个根 ， 进而通过消 元得到 u 关于 x 的函数 ， 并将问题转化为可以利用导数 的知识求解的闭区间上的最值问题 ． 解析
2 2 2 由 y + xy + x －1 = 0 ， 当 Δ = －3 x +4 ≥0 ，
方程为 x0 x + y0 y + 整理得 y = －
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结束语 哥廷根学派的创始人德国数学家菲利克斯 · 克莱
3 x2 － x 1 ( 0＜ x ＜1 ) 在 x = 处的切线方程 3 1+ x2
“高观点下的初等数学 ” ， 因倡导 在克莱因看来 ， 一个数 ： “应使学生了解数学并不是孤立的各 学教师的职责是 ； 基础数学的教师应该站 门学问 ， 而是一个有机的整体 ” 在更高的视角 （ 高等数学 ） 来审视 、 理解初等数学问题 ， 只有观点高了 ， 事物才能显得明了而简单 ； 一个称职的 教师应当掌握或了解数学的各种概念 、 方法及其发展与 完善的过程以及数学教育演化的经过 ． 这也是笔者撰写 本文的初衷 ， 旨在介绍一种看待不等式问题的新视角 ， 一种处理轮换对称式的新方法 ．
2 3 2 3 解得 － 槡 ≤x + y≤ 槡 ， 3 3 2 3 所以 x + y 的最大值是 槡 ． 3 点评 利用基本不等式达到消去 xy 项的目的 ， 并将
y 1 2 = ， 化简得 y = sinA． sin A sin120 ° 3 槡
2 3 ∴ x + y = 槡 [ sin（ 60 ° － A） +sinA] 3 2 3 1 2 3 3 = 槡 sinA +槡 cosA = 槡 sin（ A +60 ° ） ． 3 2 3 2 ∵ 0 ° ＜ A ＜60 ° ， ∴ 当且仅当 A = 30 ° ， x + y 取得最大值 ， 即△ABC 为等腰三角形时 ， 3 2 3 x + y 取得最大值为 槡 ． 此时 x = y = 槡 ， 3 3 点评 “构造法 ” 源于对已知条件的认真审查和恰 当联想 ． 上述解法充分利用了正 、 余弦定理和三角函数 不仅从代数上给出了答案 ， 同时从几何上 的相关知识 ， 可以说是对数形结合思想的精彩演 进行了直观的解释 ，
图2
x ± －3 x2 +4 ， 设 u = x +y， 则 u= 槡 2 ∴ u1 = x+ 槡 －3 x2 +4 x － －3 x2 +4 ， 或 u2 = 槡 2 2 3x 3x 1 1 － ． 或 u' 2 = + 2 2 －3 x2 +4 2 2 －3 x2 +4 槡 槡
∴ u' 1 =
则 y0 = x0 . 即 x0 + y0 + x0 y0 = 1 ．
“x + y” 行变形 ， 可将本题转化关于 的二次不等式问题 ， 再 解不等式即可 ．
櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧櫧
又 ∵ 0＜ x ＜1 ， ∴ x3 － = （ x－ = （ x－ 1 2 1 1 1 x + = x3 － － （ x － ） 3 27 27 3 3 1 1 1 1 1 ） （ x2 + x + ） － （ x － ） 3 3 9 3 3 1 1 2 1 2 ） （ x2 + x － ） = （ x － ） （ x + ） ≥0 ． 3 3 9 3 3
图1
x “ ” 这是一个关于 的一元二次方程 ， 其有解的充要 y
2 2 2 2 4 2 条件是 Δ = ( u －2 ) －4 ( u －1 ) ≥0 ， 即 Δ = －3 u +4 u ≥0 ．
“x + y ” 式子 变形为关于三角形一内角的三角函数来求 解． 解析 构造 △ABC． 如图 1 ， 其中 AB = x，
2 3 2 3 即 － 槡 ≤x≤ 槡 时 3 3 解得 y = －3 x2 +4 －3 x2 +4 －x + 槡 －x － 槡 ． 或 y= 2 2
1 ( x y + xy0 ) = 1 ． 2 0 2 x0 + y0 2 x+ ． x0 +2 y0 x0 +2 y0
设 u = x + y， 则 y = －x+u 可以看成是一族斜率为 －1 ， 纵 截 距 为 u 的 平 行 直 线． （ 如图 2 ） 因此令 2 x0 + y0 = 1， x0 +2 y0 ①
· 解题研究 ·
（ 2011 年第 12 期·高中版）
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对一道高考最值问题的多元解读
100026 北京教育学院朝阳分院
值是
白雪峰
．
最值问题存在于中学数学的函数 、 数列 、 三角 、 不等 式和解析几何等各章知识的学习过程中 ， 是中学数学的 重要内容之一， 也是历年高考的热点和学生学习过程中 不仅 的难点 ． 以求解或讨论最值为载体所设计的问题 ， 可以考查学生在中学数学中所学的核心概念与重要知 考查学生对函数与方程 、 分类与整合 、 转化与化归 、 识， 数形结合 、 运动变化等诸多数学思想和方法的认识与理 还可以有效考查学生的思维能力 、 实践和创新能力 ． 解， 下面结合一个最值问题谈谈这方面的认识 ． 问题 y 满足 x2 + y2 + xy = 1 ， 若实数 x， 则 x + y 的最大
2
∴ 当 0＜ x ＜1 时， 上述不等式恒成立 ， 当 x= 1 时， 取到等号 ， 3
+
b， c∈ R 且 a + b + c = 1 ， b， c∈ ( 0 ， 1) 又 a， 则 a， 1 3 b2 － b 9 1 3 c2 － c 9 3 a2 － a 9 a － b － ， ， 2≥ 故 ≥ ≥ 3 3 10 1+ a2 10 1+ b2 10 1+ c 1 ( c－ 3 ) 因此将以上三个不等式同向相加得 3 a 2 － a 3 b 2 － b 3 c2 － c 9 + + ≥ ( a + b + c －1 ) = 0 ， 即当且仅 1+ a2 1+ b2 1+ c2 10 当 a=b=c= 1 时， 取到最小值 0 ． 3
式” 这个重要特征 ， 于是通过对已知和所求式子的恰当 变形构造出二次齐次方程 ， 进而利用方程的知识使问题 得以解决 ． 事实上 ， 上述方法更具有普遍意义 ．
· 解题研究 ·
方法 4 分析 求导法
（ 2011 年第 12 期·高中版）
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分析
2 2 实际上 ， 方程 x + y + xy = 1 是一条二次曲线 ，
2 2 将已知等式 x + y + xy = 1 看成关于 y 的一元
利用以前高中课本中旋转变换的知识可知它是一个椭 y0 ) 的切线的知识 ， 圆 ． 根据过曲线上一点 P ( x0 ， 并利用 线性规划问题解决的思想方法进行求解 ． 解析
2 2 y0 ) 的切线 过曲线 x + y + xy = 1 上一点 P ( x0 ，
（ 收稿日期： 20110919 ）
9 ， ( ) = 10 1 1 1 9 9 ∴ 切线方程为 y － f ( ) = ( x － ) y = ( x － ) 3 3 3 10 10 1 3 x －x 9 而 ≥ ( x － ) ( 0＜ x ＜1 ) 3 10 1+ x 3x 9 1 1 3 x －x 9 － x－ ∵ ≥ ( x － ) ( ≥0 ， 3 10 1+ x 10 ) ( 3 ) 1+ x 1 1 即 ( 10 x －3 x －3 ) ( x － ) ≥0 3 ( x －3 ) ( x － ) ≤0 3 3 1 x2 +6 x －1 f ' 3 （ 1+ x2 ） 2
2 2 2
绎． 2 构造齐次方程 分析
2 2 已知等式 x + y + xy = 1 的左边是一个二次齐
2 2 化简整理得 x － ux + u －1 = 0 ，
根据 （ * ） 式有解的充要条件得到 Δ = （ － u ） －4 （ u － 1 ） = －3 u2 +4 ≥0 ， 2 3 2 3 2 3 解得 － 槡 ≤u ≤ 槡 ， 所以 x + y 的最大值是 槡 ． 3 3 3 ， “化归 点评 “换元法 ” 是数学解题中的基本方法 是基本的数学思想方法 ． 上述解法通过引参转化 ， 思想 ” 将问题化归为一元二次方程有解情况的判别问题 ， 方程 思想的恰当运用使解题过程自然简洁 ． 方法 3 1 构造法 u2 ，
次式 ， 若将所求式子“x + y ” 平方 ， 也会得到类似的式子 ， 于是可以利用齐次方程有解的条件进行求解 ． 解析