证明异面直线的几种方法

证明异面直线的几种方法

范文哲

异面直线在立体几何中占有重要地位，很多同学在证明两条直线是异面直线时往往只证不共面的一面，或只证无公共点的一面，这样的证明是不全面的，必须根据异面直线的定义，证明这两条直线无公共点，同时不在任何一个平面内，这样才算完整。在这里讲几种常用的方法，供同学们学习。

一. “判定定理”法

判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。

例1. 如图1，空间四边形ABCD，，AE是的边BC上的高，DF是的边BC上的中线，求证：AE和DF是异面直线。

图1

证明：由题设条件可知点E、F不重合，设所在的平面为。因为，所以AE和DF 是异面直线。

二. 反证法

例2. 已知a排除法

例3. 如图2，已知，求证：a，b是异面直线。

图2

证明：（1）因为，所以b与只有一个公共点。

而，

故a与b无公共点。

（2）上只有一个点在平面内，其他点都在平面内，不在内，上的点都在平面内，又故a，b不在同一平面内。

综合（1）（2）可知，a，b是异面直线。