线性规划常见题型及解法
例谈线性规划的常见题型及其解法
线性规划是高考数学必考的内容，侧重于考查同学们的数学建模、数学运算、数学分析等能力.线性规划问题的类型有很多，在本文中笔者总结了几类常见的线性规划题型及其解法，以帮助同学们加深对线性规划题型及其解法的了解.类型一：求目标函数的最值求目标函数的最值是线性规划中的一类常见题型，主要有两种形式：（1）求线性目标函数的最值；（2）求非线性目标函数的最值.无论是哪一种，解题的基本思路都是：（1）画出约束条件所确定的平面区域；（2）将目标函数变形为斜截式直线方程、两点间的距离、直线的斜率等；（3）在可行域内寻找取得最优解的对应点的位置；（4）解方程组求出对应点的坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.例1.已知x、y满足以下约束条件ìíîïï2x+y-2≥0,x-2y+4≥0,3x-y -3≤0,则z=x2+y2的最大值和最小值分别是_____.解：作出如图1所示的可行域，将z=x2+y2可以看作点()x,y到原点的距离的平方，由图可知，在可行域内点A到原点的距离的平方最大，即||AO2=13,直线2x+y-2=0到原点的距离的平方最小，为d2=æèççöø÷÷||0-222+122=45，所以z=x2+y2的最大值和最小值分别是13和45.在求目标函数的最值时，同学们要注意将目标函数进行适当的变形，深入挖掘其几何意义，将其看作直线的斜率、截距、两点间的距离等，然后在可行域内寻找取得最值的点.类型二：求可行域的面积求可行域的面积的关键在于根据约束条件画出正确的图形，然后将可行域拆分、补充为规则的几何图形，如三角形、平行四边形、矩形等，再利用三角形、平行四边形、矩形等的面积公式进行求解.例2.已知不等式组ìíîïï2x+y-6≥0,x+y-3≤0,y≤2,则该不等式表示的平面区域的面积为_____.解：根据所给的不等式组作出可行域，如图2所示，由图2可知△ABC的面积即为所求.显然S△ABC=S梯形OMBC-S梯形OMAC，S梯形OMBC=12×()2+3×2=5，S梯形OMAC=12×()1+3×2=4，所以S△ABC=S梯形OMBC-S梯形OMAC=5-4=1.本题中的可行域为三角形，而该三角形的面积很难直接求得，于是将其看作梯形OMAB的一部分，将梯形OMAB的面积减去梯形OMAC的面积，便可得到三角形ABC的面积.类型三：求参数的取值或者范围很多线性规划问题中含有参数，要求其参数的取值或范围，首先要确定可行域，然后结合题意寻找符号条件的最优解，建立相对应的关系式，便可求得参数的取值或者范围.例3.已知x、y满足以下约束条件ìíîïïx+y≥5,x-y+5≤0,x≤3,使z=x+ay()a>0取得最小值的最优解有无数个，则a的值为_____.解：根据约束条件作出可行域，如图3所示，作出直线l:x+ay=0，要使目标函数z=x+ay()a>0取得最小值的最优解有无数个，可将直线l向右上方平移，使之与直线x+y=5重合，故a=1.通常含有参数的目标函数图象是不确定的，因此正确绘制出可行域十分关键，只有对问题中的所给条件进行正确的分析，才能快速找到正确的解题思路.通过对上述三类题型的分析，同学们可以发现线性规划问题都比较简单，按照基本的解题步骤：画图—变形目标函数—寻找最优解对应的点—求值便能得到答案.同学们在解答线性规划问题时还需重点关注特殊点、直线，这些特殊的点、位置常常是取得最优解的点或者位置.（作者单位：江苏省江阴市第一中学）承小华图1图2图３方法集锦45。
八种经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 （ ）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D 、5解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选 C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于寻觅最优解决方案。
在实际生活和工作中，线性规划问题时常浮现，通过对问题进行建模和求解，可以得到最优的决策方案。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出详细的答案解析。
一、生产规划问题1.1 生产规划问题描述：某工厂生产两种产品A和B，产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
每天工厂有8小时的生产时间，产品A每单位需要2小时，产品B每单位需要3小时。
问工厂每天应该生产多少单位的产品A 和产品B，才干使利润最大化？1.2 生产规划问题答案：设产品A的生产单位为x，产品B的生产单位为y，则目标函数为Max Z=100x+150y，约束条件为2x+3y≤8，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=2，y=2，最大利润为400元。
二、资源分配问题2.1 资源分配问题描述：某公司有两个项目需要投资，项目A每万元投资可获得利润2万元，项目B每万元投资可获得利润3万元。
公司总共有100万元的投资额度，问如何分配投资额度才干使利润最大化？2.2 资源分配问题答案：设投资项目A的金额为x万元，投资项目B的金额为y万元，则目标函数为Max Z=2x+3y，约束条件为x+y≤100，x≥0，y≥0。
通过线性规划方法求解，得出最优解为x=40，y=60，最大利润为240万元。
三、运输问题3.1 运输问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个销售点的需求量分别为100、150、200，每一个仓库的库存量分别为80、120。
仓库到销售点的运输成本如下表所示，问如何安排运输方案使得总成本最小？3.2 运输问题答案：设从仓库i到销售点j的运输量为xij，则目标函数为Min Z=∑(i,j) cij*xij，约束条件为每一个销售点的需求量得到满足，每一个仓库的库存量不超出。
通过线性规划方法求解，得出最优的运输方案，使得总成本最小。
四、投资组合问题4.1 投资组合问题描述：某投资者有三种投资标的可选择，预期收益率和风险如下表所示。
线性规划经典例题
线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种运筹学方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍几个经典的线性规划例题，以帮助读者更好地理解和应用线性规划方法。
一、生产计划问题1.1 最大利润问题在生产计划中，一个常见的线性规划问题是最大利润问题。
假设一个公司有多个产品，每个产品的生产和销售都有一定的成本和利润。
我们需要确定每个产品的生产数量，以最大化整体利润。
1.2 生产能力限制另一个常见的问题是生产能力限制。
公司的生产能力可能受到设备、人力资源或原材料等方面的限制。
我们需要在这些限制下，确定每个产品的生产数量，以实现最大化的利润。
1.3 市场需求满足除了考虑利润和生产能力，还需要考虑市场需求。
公司需要根据市场需求确定每个产品的生产数量，以满足市场需求，并在此基础上最大化利润。
二、资源分配问题2.1 资金分配问题在资源分配中，一个常见的线性规划问题是资金分配问题。
假设一个公司有多个项目，每个项目需要一定的资金投入，并有相应的回报。
我们需要确定每个项目的资金分配比例，以最大化整体回报。
2.2 人力资源分配另一个常见的问题是人力资源分配。
公司的人力资源可能有限，而各个项目对人力资源的需求也不同。
我们需要在人力资源有限的情况下，确定每个项目的人力资源分配比例，以实现最大化的效益。
2.3 时间分配除了资金和人力资源，时间也是一种有限资源。
在资源分配中，我们需要合理安排时间，以满足各个项目的需求，并在此基础上实现最大化的效益。
三、运输问题3.1 最小成本运输问题在运输领域，线性规划可以用于解决最小成本运输问题。
假设有多个供应地和多个需求地，每个供应地和需求地之间的运输成本不同。
我们需要确定每个供应地和需求地之间的货物运输量，以实现最小化的总运输成本。
3.2 运输能力限制另一个常见的问题是运输能力限制。
运输公司的运输能力可能受到车辆数量、运输距离或运输时间等方面的限制。
八种经典线性规划例题(超实用)
线性规划常见题型及解法由条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、假设x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，那么z=x+2y的取值范围是〔〕A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、〔3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A〔2,0〕时，有最小值2，过点B〔2,2〕时，有最大值6，应选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为〔〕A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点〔x，y〕中整点〔横纵坐标都是整数〕有〔〕A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部〔包括边界〕，容易得到整点个数为13个，选D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，那么a 的值为 〔 〕 A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay (a>0)取得最小值的最优解有无数个，那么将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D五、求非线性目标函数的最值例5、x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，那么z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是〔 〕A 、13，1B 、13，2C 、13，45 D、解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点〔x ，y 〕到原点的距离的平方，故最大值为点A 〔2,3〕到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C 六、求约束条件中参数的取值范围例6、|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点〔0,0〕和〔－1,1〕，那么m 的取值范围是 〔 〕 A 、〔-3,6〕 B 、〔0,6〕 C 、〔0,3〕 D 、〔-3,3〕解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩ ,故0＜m ＜3，选C七·比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
线性规划基本题型
例5
(2023年北京-7)设不等式组
3x表x达y旳y平1面13
0 0
区(A域)(1为，D3，] 若(B指)数[2，函3数] y=(aCx旳) (1图，像2上] 存在(D区)[域35D，x上+旳∞3]点y，则9a旳0取值范围是
解：作出可行域如右图所示绿色
区域． 0<a<1 时 ， x>0 时 ， 0<ax<1 ， y=ax
离旳平方旳最值问题．
题型三 求非线性目旳函数旳最值—斜率型
例3
x＋y－6≥0， 已知实数 x，y 满足4x－3y＋12≥0，
x≤4.
求xy的最大值与最小值.
【解】
x＋y－6≥0， 作出不等式组4x－3y＋12≥0，
x≤4
平面区域，如图所示．
表示的
(1)令 z＝xy，则 y＝zx.故求xy的最大值与最小值就是求 不等式组所表示的平面区域内的点与原点连线的斜率的 最大值与最小值，由图易知，kOC 最小，kOA 最大．
联立2x＋x＋2yy＝ ＝4500 ，得xy＝＝2100 ， ∴A(10,20)． ∴z＝3x＋2y 的最大值为 z＝3×10＋2×20＝70.
题型二 求非线性目旳函数旳最值—距离型
若目旳函数不是线性函数，我们可先将目旳函数变形找 到它旳几何意义，再利用解析几何知识求最值．
例2
x－y＋2≥0 已知x＋y－4≥0 ，求：
的交点(4,6)时，目标函数 z＝ax＋by(a>0，
b>0)取得最大值 12，即 4a＋6b＝12，即 2a＋3b＝6，而2a＋3b＝(2a＋3b)2a＋6 3b＝163＋(ba＋ab)≥163＋2＝ 265，故2a＋3b的最小值为265.
检测：
高考线性规划必考题型非常全)
线性规划专题一、命题规律讲解1、 求线性（非线性）目标函数最值题2、 求可行域的面积题3、 求目标函数中参数取值范围题4、 求约束条件中参数取值范围题5、 利用线性规划解答应用题一、线性约束条件下线性函数的最值问题线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标(),x y 即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即简单线性规划的最优解。
例1 已知4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，2z x y =+，求z 的最大值和最小值例2已知,x y 满足124126x y x y x y +=⎧⎪+≥⎨⎪-≥-⎩，求z=5x y -的最大值和最小值二、非线性约束条件下线性函数的最值问题高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。
它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。
例3 已知,x y 满足，224x y +=，求32x y +的最大值和最小值例4 求函数4y x x=+[]()1,5x ∈的最大值和最小值。
三、线性约束条件下非线性函数的最值问题这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。
它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。
例5 已知实数,x y 满足不等式组10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，求22448x y x y +--+的最小值。
线性规划经典例题
线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于求解线性约束条件下的最优解。
它在实际问题中有着广泛的应用，如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将介绍几个经典的线性规划例题，并详细阐述每个例题的解题思路和步骤。
一、最大化利润问题1.1 目标函数的建立首先，我们需要确定目标函数。
假设有两种产品A和B，每个单位的利润分别为x和y。
令x表示产品A的产量，y表示产品B的产量，我们的目标是最大化总利润。
1.2 约束条件的建立其次，我们需要确定约束条件。
假设产品A和B的生产所需的资源有限，分别为资源1和资源2。
我们需要考虑资源的限制以及产品的需求量。
1.3 求解最优解根据目标函数和约束条件，我们可以建立线性规划模型。
通过线性规划求解器，我们可以得到最优解，即产量x和y的数值，以及最大化的利润。
二、最小化成本问题2.1 目标函数的建立假设有n种原材料，每种原材料的价格为c1、c2、...、cn。
我们需要确定购买每种原材料的数量，以最小化总成本。
2.2 约束条件的建立每种原材料的数量要满足一定的约束条件，如总量限制、质量要求等。
此外，我们还需要考虑生产过程中的限制条件，如生产能力、工时等。
2.3 求解最优解根据目标函数和约束条件，我们可以建立线性规划模型。
通过线性规划求解器，我们可以得到最优解，即每种原材料的购买数量，以及最小化的成本。
三、资源分配问题3.1 目标函数的建立假设有m个任务需要分配给n个人员，每个人员的效率不同。
我们需要确定每个任务分配给哪个人员，以最大化总效率。
3.2 约束条件的建立每个任务只能由一个人员完成，每个人员只能执行一个任务。
此外，我们还需要考虑人员的可用时间、技能匹配等约束条件。
3.3 求解最优解根据目标函数和约束条件，我们可以建立线性规划模型。
通过线性规划求解器，我们可以得到最优解，即每个任务分配给哪个人员，以及最大化的总效率。
四、运输问题4.1 目标函数的建立假设有m个供应地和n个需求地，每个供应地的供应量和每个需求地的需求量已知。
线性规划问题常见题型及解法
ｒ ＋， ， ≥５
茹 一 ， ， ≤２ （ ＜ｏ ， ） ， ． ＜ ０ ） 域如 右 图 １ ， 是正 方形 内部 （ 包 括边界 ） 如 图所 示 ， 阴影 区域 为所 求 面积 ， 面积 为 ４ 。
ｙ Ｊ Ｉ
●～ 、
６ ． 已知ｘ ． ｙ 满足以下约束条件｛ 一 Ｙ ＋ ５ ≤ ０ ， 而使 ＝ ＋ ａ ｙ
分析 ： ‘ ． ‘ 点 在直 线 的两 侧符 号 不 同 ’ ． ． ． 只需 将 点 代 入 使 乘 积 小于 ０即可 。若 改为 同侧后 应使乘积 大于 ０ 。 三、 求区域 所表 示的面 积
最小 值为 原 点到 直线２ ｘ ＋ ， ， 一 ２ ＝ ０ 的 距 离的 平 方， 即 为 ÷。
，Hale Waihona Puke ５ —ｌ ｌ ｙ￣ ＞ 一２２
件』 ＋ ３ ｙ ＞ ￣ ９
， 求ｚ ＝ １ ０ ｘ ＋ １ ０ ｙ 的最大值？
【 ２ ｘ ＜ ￣ ｌ １
分析： 如 图 ６所 示作 出可 行 域 ， 由 Ｚ ＝１ ０ ｘ＋１ ０ ｙ ， ， ＝一 ＋
ｚ
，
当 直 线 Ｚ ＝ １ ０ ｘ ＋ １ ０ ， ， 通 过 Ａ （ ， 羊） 时 ， ｚ 取 得 最 大 值 。 因
Ｃ．一７ ＜Ｄ ＜２ ４ ． Ｄ．一２ ４ ＜ｏ ＜７
／ ｖ ＋ ４ ＝ Ｏ ／ 三
一
／ ｙ 、 《
２ ＝０
－
＼
＼
＿
－
－
一
－＂ Ｚ
Ｌ．
． ． ．
．
． ＿ ．
．
一
０
＼ ｆ
ｘ－ ｙ－３ ＝Ｏ Ｊ
八种经典线性规划例题最全总结(经典)
线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选 A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x、y满足以下约束条件220240330x yx yx y+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、5解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选 C六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230 230x y mx y m-++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330mm+>⎧⎨-<⎩,故0＜m＜3，选 C七、比值问题当目标函数形如y az x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
线性规划经典例题
线性规划经典例题引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
本文将介绍几个经典的线性规划例题，以匡助读者更好地理解和应用线性规划的原理和方法。
一、问题一：生产计划问题1.1 生产目标：某公司希翼最大化其利润。
1.2 生产约束：公司有两种产品A和B，每周生产时间有限，每一个产品的生产时间和利润有限制。
1.3 数学建模：设产品A和B的生产时间分别为x和y，利润分别为p和q，则目标函数为Maximize p*x + q*y，约束条件为x + y ≤ 40，3x + 2y ≤ 120，x ≥ 0，y ≥ 0。
二、问题二：资源分配问题2.1 目标：某公司希翼最大化其销售额。
2.2 约束：公司有三个部门，每一个部门需要的资源不同，且资源有限。
2.3 建模：设三个部门分别为A、B和C，资源分别为x、y和z，销售额为p、q和r，则目标函数为Maximize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ 100，2x + y + 3z ≤ 240，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。
三、问题三：投资组合问题3.1 目标：某投资者希翼最大化其投资组合的收益。
3.2 约束：投资者有多个可选的投资项目，每一个项目的收益和风险不同，且投资金额有限。
3.3 建模：设投资项目分别为A、B和C，收益分别为p、q和r，风险分别为a、b和c，投资金额为x、y和z，则目标函数为Maximize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ 100，a*x + b*y + c*z ≤ 50，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。
四、问题四：运输问题4.1 目标：某物流公司希翼最小化运输成本。
4.2 约束：公司有多个供应地和多个销售地，每一个供应地和销售地之间的运输成本和需求量不同，且供应量和销售量有限。
4.3 建模：设供应地和销售地分别为A、B和C，运输成本为p、q和r，需求量为x、y和z，供应量为a、b和c，则目标函数为Minimize p*x + q*y + r*z，约束条件为x + y + z ≤ a + b + c，x ≤ a，y ≤ b，z ≤ c，x ≥ 0，y ≥ 0，z ≥ 0。
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在一组线性约束条件下寻觅使目标函数取得最大（最小）值的变量值。
在实际生活和工作中，线性规划往往被用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出相应的答案。
一、资源分配问题1.1 问题描述：某公司有两个生产部门A和B，每天生产产品X和Y。
部门A 每天生产产品X需要消耗3个单位的资源，生产产品Y需要消耗2个单位的资源；部门B每天生产产品X需要消耗2个单位的资源，生产产品Y需要消耗4个单位的资源。
公司每天有20个单位的资源可供分配，如何分配资源才干使得产出最大化？1.2 解答：设部门A每天生产产品X的数量为x，生产产品Y的数量为y；部门B每天生产产品X的数量为u，生产产品Y的数量为v。
根据题目描述，可以建立如下线性规划模型：Maximize Z = 3x + 2y + 2u + 4vSubject to:3x + 2y + 2u + 4v <= 20x, y, u, v >= 0通过线性规划求解器可以得到最优解。
二、生产计划问题2.1 问题描述：某工厂有两个生产车间，每天生产产品P和Q。
车间1每天生产产品P需要花费5个单位的时间，生产产品Q需要花费3个单位的时间；车间2每天生产产品P需要花费4个单位的时间，生产产品Q需要花费6个单位的时间。
工厂每天有40个单位的时间可供分配，如何安排生产计划才干使得产量最大化？2.2 解答：设车间1每天生产产品P的数量为x，生产产品Q的数量为y；车间2每天生产产品P的数量为u，生产产品Q的数量为v。
根据题目描述，可以建立如下线性规划模型：Maximize Z = 5x + 3y + 4u + 6vSubject to:5x + 3y + 4u + 6v <= 40x, y, u, v >= 0通过线性规划求解器可以得到最优解。
三、运输问题3.1 问题描述：某公司有两个仓库和三个销售点，每一个仓库有一定数量的产品可供销售点购买。
线性规划习题精选精讲含答案
O
x=3 x
习题精选精讲
方 平 移 后 与 直 线 x+y＝ 5 重 合 ， 故 a=1， 选 D 五、求非线性目标函数的最值
2 x y 2 0 例 5、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 x 2 y 4 0 3 x y 3 0
是 （ A、 13， 1 C、 13， ） B、 13， 2 D、
3
0.18 x 0.09 y 72 0.08 x 0.28 y 56 解：设生产圆桌 x 只,生产衣柜 y 个,利润总额为 z 元,那么 x 0 y 0
2
而 z=6x+10y.
习题精选精讲
如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域. 作直线 l:6x+10y=0,即 l:3x+5y=0,把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过可行域上点 M,且与原点 距离最大,此时 z=6x+10y 取最大值解方程组
x 2 例 1、 若 x、 y 满 足 约 束 条 件 y 2 x y 2
， 则 z=x+2y 的 取 值 范 围 是
（
）
A、 [2,6] B、 [2,5] C、 [3,6] D、 （ 3,5] 解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线 l： x+2y＝ 0， 将 l 向 右 上 方 平 移 ， 过 点 A（ 2,0） 时 ， 有 最 小 值 2， 过 点 B（ 2,2） 时 ， 有 最 大 值 6， 故 选 A 二、求可行域的面积
所以,谷物饲料和动物饲料应按 5:1 的比例混合,此时成本最低. 指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它 ,这是线性规划中最常 见的问题之一.
线性规划题及答案
线性规划题及答案引言概述：线性规划是一种数学优化方法，用于在给定约束条件下寻找使目标函数最大或最小的变量值。
在实际生活和工作中，线性规划经常被应用于资源分配、生产计划、运输问题等方面。
本文将介绍一些常见的线性规划题目，并给出相应的答案。
一、资源分配问题1.1 约束条件：某公司有两种产品A和B，生产一单位产品A需要耗费2个单位的资源X和1个单位的资源Y，生产一单位产品B需要耗费1个单位的资源X和3个单位的资源Y。
公司每天可用资源X和资源Y分别为10个单位和12个单位。
假设产品A的利润为3万元，产品B的利润为4万元，问如何分配资源才能使公司利润最大化？1.2 目标函数：设生产产品A的单位数为x，生产产品B的单位数为y，则目标函数为Maximize 3x + 4y。
1.3 答案：通过线性规划计算，最优解为生产产品A 4个单位，生产产品B 2个单位，公司利润最大化为20万元。
二、生产计划问题2.1 约束条件：某工厂生产两种产品C和D，生产一单位产品C需耗费2个单位的资源M和3个单位的资源N，生产一单位产品D需耗费4个单位的资源M和2个单位的资源N。
工厂每天可用资源M和资源N分别为8个单位和10个单位。
产品C的利润为5万元，产品D的利润为6万元，问如何安排生产计划以最大化利润？2.2 目标函数：设生产产品C的单位数为x，生产产品D的单位数为y，则目标函数为Maximize 5x + 6y。
2.3 答案：经过线性规划计算，最佳生产计划为生产产品C 2个单位，生产产品D 2个单位，工厂利润最大化为22万元。
三、运输问题3.1 约束条件：某公司有三个仓库分别存储产品E、F和G，每个仓库的存储容量分别为100、150和200个单位。
产品E、F和G的单位运输成本分别为2元、3元和4元，需求量分别为80、120和150个单位。
问如何安排运输计划以最小化总成本？3.2 目标函数：设从仓库i运输产品j的单位数为xij，则目标函数为Minimize2x11 + 3x12 + 4x13 + 2x21 + 3x22 + 4x23 + 2x31 + 3x32 + 4x33。
线性规划的常见题型及其解法(教师版,题型全,归纳好)
线性规划的常见题型及其解法答案■書步趋绍丹祈・・・・・线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数 列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题探究角度有： 1.求线性目标函数的最值. 2 .求非线性目标函数的最值. 3 .求线性规划中的参数. 4 .线性规划的实际应用.本节主要讲解线性规划的常见基础类题型.x + y > 3,【母题一】已知变量x ,y 满足约束条件 x -y >- 1, 则目标函数z = 2x + 3y 的取值范围为（）2x — y w 3,A. [7 , 23]B. [8 , 23]C. [7 , 8]D. [7 , 25]aI ' i I 」 求这类目标函数的最值常将函数z = ax + by 转化为直线的斜截式：y = — bx + b ，通过求直线的截距£的最值，间接求出z 的最值.bx + y > 3,【解析】画出不等式组 x — y >— 1,表示的平面区域如图中阴影部分所示,2x — y w 3,由目标函数z = 2x + 3y 得y =— |x + £,平移直线y = — /知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组x + y= 3, x = 2,得所以B(2,1) , Z min= 2X 2+ 3X 1= 7,在点A处目标函数取到最大值，解方程2x—y = 3, y = 1,9°1 z == X _2x — 11 2⑵z = x 2 + y 2的几何意义是可行域上的点到原点0的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min = | 0C = _'2 , d max = | 0B =29.• 2< z <29.(3) z = x 2 + y 2 + 6x — 4y + 13= (x + 3)2+ ( y — 2)2的几何意义是:x - y = —1,x yx = 4,得y = 5,所以 A (4,5) , Z max = 2X 4+ 3X 5= 23.【答案】Ax — 4y + 3< 0,【母题二】变量x , y 满足3x + 5y — 25W 0,x > 1,(1) 设z =^7，求z 的最小值；(2) 设z = x 2 + y 2,求z 的取值范围；2 2(3) 设z = x + y + 6x — 4y + 13,求z 的取值范围.I '■ i 7」 点(x , y )在不等式组表示的平面区域内,y 1 y — 01=2 •Y 表示点(x , y )和夕连线 x — 2的斜率；x 2+ y 2表示点(x , y )和原点距离的平方; x 2 + y 2 + 6x — 4y + 13= (x + 3)2+ (y — 2)2表示点(x , y )和点(一3,2)的距离的平方.x — 4y + 3< 0,【解析】(1)由约束条件 3x + 5y — 25W 0,作出(x , y )的可行域如图所示.x > 1,x = 1,由3x + 5y — 25= 0, 由 x = 1,x — 4y + 3 = 0,22解得A 1,-.解得Q1,1).x — 4y + 3 = 0,由解得B (5,2)3x + 5y — 25= 0, ••• z 的值即是可行域中的点与2 0连线的斜率，观察图形可知Z min =2 - 0 1X -=1 2 5—2可行域上的点到点(一3,2)的距离的平方.结合图形可知，可行域上的点到(一3,2)的距离中, d min = 1 —( —3) = 4,d max=一3 —5 + 2 —2 = 8••• 16W z w 64.=75:5 •技15============== = ========= i•求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求•其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义.2 .常见的目标函数有：⑴截距型：形如z= ax+ by.求这类目标函数的最值常将函数z = ax+ by转化为直线的斜截式：y=—器+乍，通过求直线的截距乍的最值，间接求出z的最值.(2) 距离型：形一：如z = ''(x —a)2+ (y —b)2,z = ；X + y2+ Dx+ Ey+ F,此类目标函数常转化为点(x,y) 与定点的距离；2 2 2 2形二：z = (x—a) + (y—b) , z= x + y + Dx+ Ey+ F,此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方.(3) 斜率型：形如z= y, z = _b, z= J, z = ay_b，此类目标函数常转化为点(x, y)与定点所在x cx —d cx—d x直线的斜率.【提醒】注意转化的等价性及几何意义.■题里丹斫■■■■■角度一：求线性目标函数的最值1. (2014 •新课标全国n卷)设x ,y满足约束条件A. 10B. 8C. 3D. 2 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，x+y —7w 0,x —3y + 1w 0, 则z = 2x—y的最大值为（）由z = 2x —y 得y = 2x — z ,作出直线y = 2x ,平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点 时，对应的Z 值最大.故 Z max = 2X 5— 2= &【答案】B3. （2013 •高考陕西卷）若点（x , y ）位于曲线y = | x |与y = 2所围成的封闭区域，贝U 2x — y 的最小值为 ( )A .— 6C. 0【解析】如图，曲线 y = |x |与y = 2所围成的封闭区域如图中阴影部分, 令z = 2x — y ，则y = 2x — z ,作直线y = 2x ，在封闭区域内平行移动直线 y = 2x ，当经过点（一2,2）时,z 取得最小值，此时 z = 2X ( — 2) — 2 = — 6.A (5,2)2. (2015 ••高考天津卷）设变里x , y满足约束条件 x — y + 3> 0, 2x + y — 3< 0,值为（)A . 3B. 4C. 18D. 40则目标函数Z = X + 6y 的最大B.— 2D. 2X + 2>0,【答案】C（0,3）时，z 取得最大值18.【答案】A角度二：求非线性目标的最值上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A. 21C—3【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示,显然当点M与点A重合时直线—1），故OM斗率的最小值为一1.【解析】COM勺斜率最小，由直线方程x+ 2y—1 = 0和3x + y—8= 0，解得A（3 ,0< x w 25•已知实数x, y满足y w2,x w ；'2y,2x + y—1则z=P-的取值范围【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示,d® M 4 5.目标函数z=空芒!二=2+片的取值范围可转化为点（x, y）与（1 , —1）所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A点坐标为（.2 , 1），则点（1 , —1）与（2,1）所在直线的斜率为 2 2 + 2,点（0,0）与（1 , —1）所在直线的斜率为—1,所以z的取值范围为（—R,1] U [2 , 2+ 4,+^).【答案】(―汽1] U [2,2+ 4 ,+^°)4. （2013 •高考山东卷）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x—y—2>0,x + 2y—1> 0,3x+ y—8W0所表示的区域B.D.28 5x +y <26. （2015 •郑州质检）设实数x , y 满足不等式组 y — x < 2,y > 1,A . [1，2] C. [ '2, 2]【解析】如图所示,的平方.从图中可知最短距离为原点到直线 BC 的距离，其值为1;最远的距离为 AO 其值为2，故x 2+ y 2 的取值范围是[1,4]【答案】Bx > 0,7. （2013 •高考北京卷）设D 为不等式组 2x — y < 0,x +y —3<0之间的距离的最小值为【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示,不等式组表示的平面区域是△ ABC 的内部（含边界），x 2+ y 2表示的是此区域内的点 （x , y ）到原点距离则根据图形可知，点 耳1,0）到直线2x — y = 0的距离最小，d =|2% 1- 0|— 巒22+ 1，故最小距离为2-^. 5 5【答案】2 ,5 5x > 1,&设不等式组 x — 2y + 3> 0, y > x 所表示的平面区域是 Q 1,平面区域 Q 2与Q 1关于直线3x — 4y —9= 0对称.对于 Q 1中的任意点A 与Q 2中的任意点B, |AB 的最小值等于（ ） A.B. 4则x 2+ y 2的取值范围是（）B. [1 , 4] D [2 , 4]所表示的平面区域，区域D 上的点与点（1,0）x>1【解析】不等式组x—2y+ 3>0y> x解方程组X 1，得X 1.点A(I,I)到直线3x —4y—9= 0的距离d= |3—：—9| = 2,则| AEB的最小y= x y = 1 5值为4.【答案】B角度三：求线性规划中的参数【解析】不等式组表示的平面区域如图所示.1 5 4 1 5 5 k 4 7甌,4)，所以AB中点D^, 2 •当y=kx+3过点2，2时，2= 2+3所以k=3•【解析】A12D. 2，所表示的平面区域如图所示,9.若不等式组x > 0,x + 3y > 4,3x+ y <4值是（)7A.34C.34所表示的平面区域被直线y = kx + 3分为面积相等的两部分，则k的B.D.由于直线y = kx + 4过定点0,3 •因此只有直线过AB中点时，直线y= kx + £能平分平面区域.因为A(1,1),x+y —2> 0,10. (2014 •咼考北京卷)若x, y满足kx —y + 2》0,y> 0,且z = y —x的最小值为一4,贝U k的值为A.B.—2C.x + y —2> 0,【解析】D作出线性约束条件kx—y + 2>0, 的可行域.当k > 0时,图②^-2=0 (- £昭直线x + y —2= 0的右上方、直线kx —y+ 2= 0的右下方的区域，显然此时z= y —x无最小值.当k v—1时，z= y —x取得最小值2；当k=—1时，z= y—x取得最小值—2,均不符合题意.当一1v k v 0时，如图②所示，此时可行域为点A（2,0）, B —£ 0 , qo,2）所围成的三角形区域，当直线z = y—x经过点B —£ 0时，有最小值，即——k =—4?【答案】Dx + y —2<0,11. (2014 •高考安徽卷)x, y满足约束条件x —2y —2<0,2x —y+ 2> 0.若z = y—ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（） 1A. §或—11 B.2 或C. 2 或1D. 2 或一1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2) , B(2,0) , C —2, —2),则Z A= 2, Z B=— 2a, z c= 2a—2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要Z A=Z B>Z C或Z A=Z C>Z B 或Z B= z c>Z A,解得a=— 1 或a= 2.意，故a =- 1或a = 2.【答案】D当4W s <5时，可行域是△ OAC 及其内部，此时，z max = &【答案】Dy > 0,13. (2015 •通化一模)设x , y 满足约束条件x y+ 丄< 1, 3a 4a '法二：目标函数 z = y — ax 可化为 y = ax + z ,令 I o ： y = ax ,平移I o ,则当I 。
三类线性规划问题及其解法
方法集锦线性规划问题是指在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，重点考查同学们的建模、运算、分析能力.本文主要探讨三种不同类型目标函数的线性规划问题及其解法.一、z =ax +by 型若目标函数为z =ax +by 型（直线型），我们一般需先将目标函数变形为：y =-a b x +zb，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值，这样便将求目标函数最值问题转化为求直线的截距的最值.①若b >0，当y =-a b x +z b截距最大时z 最小，当截距最小时z 最大；若b <0，当y =-a b x +zb截距最大时z 最大，当截距最小时z 最小.例1.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïïï2x +y ≤40,x +2y ≤50,x ≥0,y ≥0,则z =3x +2y 的最大值为_____.解：将z =3x +2y 变形为y =-32x +z2.作出如图1所示的可行域，由图可知当y =-32x +z 2过点A 时，直线的截距最大，则{2x +y =40，x +2y =50，解得ìíîx =10,y =20，此时z max =70.在画出可行域后，我们通过观察图形便能很快确定当直线经过A 点时y =-32x +z2的截距最大，此时z 最大，解方程组便可求得z 的最值.图1图2图3二、z =y -bx -a型对于目标函数为z =y -bx -a （斜率型）的线性规划问题，我们一般要依据y -bx -a的几何意义来求解.首先，根据线性约束条件画出可行域，将z 看作是可行域内的动点P (x ,y )与定点A (a ,b )连线的斜率，求得斜率的最值便可求出z 的最值.例2.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïx -y +1≤0,x >0,x ≤1,求z =yx的最大值.解析：该目标函数为斜率型，可将z 看作是可行域内的动点P (x ,y )与原点连线的斜率，求出斜率的最值即可.解：作出如图2所示的可行域，将z =yx变形为z =y -0x -0，可将z 看作可行域内任意一点P (x ,y )与原点的连线的斜率.由图2可知当直线过交点A 时，PO 的斜率最大，{x -y +1=0,x =1,解得ìíîx =1,y =2，所以z max =2.三、z =(x -a )2+(y -b )2型当遇到目标函数为z =(x -a )2+(y -b )2（距离型）的线性规划问题时，我们可以把z 看作可行域内动点P (x ,y )与定点A (a ,b )的距离的平方，结合可行域找到最值点，利用两点间的距离公式便能求出z 的最值.例3.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïx -y +1≤0,2x -y -2≤0,x ≥1,则z =x 2+y 2的最小值为_____.解析：该目标函数为距离型，可将z 看作是可行域内任意一点P (x ,y )到原点的距离的平方，求得PO 两点间距离的最小值，便可求得z 的最小值.解：将z =x 2+y 2变形为z =（x -0）2+(y -0)2，作出如图3所示的可行域，由图可知点A 到原点的距离最小，{x -y +1=0,x =1,解得ìíîx =1,y =2，所以z min =5.可见，解答线性规划类问题的基本思路是，（1）根据线性约束条件画出可行域；（2）将目标函数变形为直线型、斜率型、距离型；（3）在可行域内移动直线、点，找出最值点；（4）联立交点处的直线方程，求出最值点的坐标；（5）将点的坐标代入目标函数中求得最值.（作者单位：中国烟台赫尔曼·格迈纳尔中学）44。
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线性规划常见题型及解法线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。
一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyx y≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A二、求可行域的面积例2、不等式组260302x yx yy+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC的面积即可，选 B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0) x y x yx y x yx y x yx y x y+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪⎨-+≤≥⎪⎪--≤⎩作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选 D四、求线性目标函数中参数的取值范围例4、已知x、y满足以下约束条件5503x yx yx+≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选 D五、求非线性目标函数的最值例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，45 D、，5解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选 C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3） 解：|2x －y ＋m|＜3等价于230230x y m x y m -++>⎧⎨-+-<⎩由右图可知3330m m +>⎧⎨-<⎩,故0＜m ＜3，选C线性规划的实际应用在科学研究、工程设计、经济管理等方面，我们都会碰到最优化决策的实际问题，而解决这类问题的理论基础是线性规划。
利用线性规划研究的问题，大致可归纳为两种类型：第一种类型是给定一定数量的人力、物力资源，问怎样安排运用这些资源，能使完成的任务量最大，的效益最大，第二种类型是给定一项任务，问怎样统筹安排，能使完成这项任务的人力、物力资源量最小。
例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m 3，第二种有56m 3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+005628.008.07209.018.0y x y x y x 而z =6x +10y .如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z =6x +10y 取最大值解方程组⎩⎨⎧=+=+5628.008.07209.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答:应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一例2、某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的51.动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg ,问饲料怎样混合,才使成本最低.解:设每周需用谷物饲料x kg ,动物饲料y kg ,每周总的饲料费用为z 元,那么 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≥≥+05000005135000y x x y y x ,而z =0.28x +0.9y如下图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作一组平行直线0.28x +0.9y =t ,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线x +y =35000和直线x y 51=的交点)317500,387500(A ,即387500=x ,317500=y 时,饲料费用最低. 所以,谷物饲料和动物饲料应按5:1的比例混合,此时成本最低.指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.(例3图) (例4图)例3营养师想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A 不少于4400单位,维生素B 不少于4800单位,问三种食物各购多少时,成本最低?最低成本是多少?解:设所购甲、乙两种食物分别为x 千克、y 千克,则丙种食物为(10-x -y )千克.x 、y 应满足线性条件为⎩⎨⎧≥--++≥--++4800)10(4002008004400)10(400600400y x y x y x y x ,化简得⎩⎨⎧≥-≥422y x y 作出可行域如上图中阴影部分目标函数为z =7x +6y +5(10-x -y )=2x +y +50,令m =2x +y ,作直线l :2x +y =0,则直线2x +y =m 经过可行域中A(3,2)时,m 最小,即m min =2⨯3+2=8，∴z min =m min +50=58答: 甲、乙、丙三种食物各购3千克、2千克、5千克时成本最低,最低成本为58元.指出:本题可以不用图解法来解,比如,由⎩⎨⎧≥-≥422y x y 得z =2x +y +50=(2x -y )+2y +50≥4+2⨯2+50=58,当且仅当y =2,x =3时取等号总结：(1)设出决策变量,找出线性规划的约束条件和线性目标函数;(2)利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(或最小).2.线性规划问题的一般数学模型是:已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+++≤+++≤+++nm nm n n m m m m b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212*********(这n 个式子中的“≤”也可以是“≥”或“=”号)其中a ij (i =1,2,…,n , j =1,2,…,m ),b i (i =1,2,…,n )都是常量,x j (j =1,2,…,m ) 是非负变量,求z =c 1x 1+c 2x 2+…+c m x m 的最大值或最小值,这里c j (j =1,2,…,m )是常量.(3)线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.线性规划中整点最优解的求解策略在工程设计、经营管理等活动中，经常会碰到最优化决策的实际问题，而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。
然而在实际问题中，最优解 (x,y) 通常要满足x,y ∈N ，这种最优解称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解 .1．平移找解法作出可行域后，先打网格，描出整点，然后平移直线l ，直线l 最先经过或最后经过的那个整点便是整点最优解. 例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m 3，第二种有56m 3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最解：设生产圆桌x 只,生产衣柜y 个,利润总额为z 元,那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+005628.008.07209.018.0y x y x y x 而z =6x +10y .如图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l :6x +10y =0,即l :3x +5y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z =6x +10y 取最大值。
解方程组⎩⎨⎧=+=+5628.008.07209.018.0y x y x ,得M 点坐标(350,100).答：应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.点评：本题的最优点恰为直线0.18x +0.09y =72和0.08x +0.28y =56的交点M 。
例 2 有一批钢管，长度都是4000mm ，要截成500mm 和600mm 两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小于31配套，怎样截最合理？解：设截500mm 的钢管x 根，600mm 的y 根，总数为z 根。
根据题意，得，目标函数为，作出如图所示的可行域内的整点，作一组平行直线x+y=t ，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B （8，0）的直线，这时x+y=8.由于x,y 为正整数，知（8，0）不是最优解。
显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使x+y=7，可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．答：略．点评：本题与上题的不同之处在于，直线x+y=t 经过可行域内且和原点距离最远的点B （8，0）并不符合题意，此时必须往下平移该直线，在可行域内找整点，比如使x+y=7，从而求得最优解。
从这两例也可看到，平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数又较少，但作图要求较高。
二、整点调整法先按“平移找解法”求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．例3．已知,x y 满足不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，求使x y +取最大值的整数,x y ．解：不等式组的解集为三直线1l ：230x y --=，2l ：2360x y +-=，3l ：35150x y --=所围成的三角形内部（不含边界），设1l 与2l ，1l 与3l ，2l 与3l 交点分别为,,A B C ，则,,A B C 坐标分别为153(,)84A ，(0,3)B -，7512(,)1919C -， 作一组平行线l ：x y t +=平行于0l ：0x y +=，当l 往0l 右上方移动时，t 随之增大， ∴当l 过C 点时x y +最大为6319，但不是整数解，又由75019x <<知x 可取1,2,3，当1x =时，代入原不等式组得2y =-， ∴1x y +=-；当2x =时，得0y =或1-， ∴2x y +=或1；当3x =时，1y =-， ∴2x y +=，故x y +的最大整数解为20x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩．3.逐一检验法ABCx yO1l 3l2l由于作图有时有误差，有时仅有图象不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将若干个可能解逐一校验即可见分晓．例4 一批长4000mm 的条形钢材，需要将其截成长分别为518mm与698mm的甲、乙两种毛坯，求钢材的最大利用率．解：设甲种毛坯截x 根，乙种毛坯截y 根，钢材的利用率为P ，则①，目标函数为②，线性约束条件①表示的可行域是图中阴影部分的整点．②表示与直线518x+698y=4000平行的直线系。