线性规划问题中目标函数常见类型梳理
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用z表示。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性等式或者不等式，这些等式或者不等式称为约束条件。
3. 变量：线性规划中的变量是决策问题中需要确定的值，可以是实数或者非负实数。
4. 可行解：满足所有约束条件的变量取值称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将不等式约束转化为等式约束来转化为标准形式，标准形式的线性规划问题如下：最小化：z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数；aᵢₙ为约束条件的系数；b₁, b₂, ...,bₙ为约束条件的常数；x₁, x₂, ..., xₙ为变量。
四、解法线性规划问题的解法主要有下列两种方法：1. 图形法：适合于二维或者三维的线性规划问题，通过绘制约束条件的直线或者平面，找到可行域和最优解。
2. 单纯形法：适合于多维的线性规划问题，通过迭代计算，找到最优解。
单纯形法是一种高效的算法，广泛应用于实际问题中。
五、常见应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 生产计划：确定最佳的生产方案，以最大化利润或者最小化成本。
2. 运输问题：确定最佳的物流方案，以最小化运输成本。
3. 资源分配：确定最佳的资源分配方案，以最大化效益或者最小化浪费。
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。
1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。
步骤如下：画出直角坐标系。
画出约束条件所对应的直线。
确定可行域（满足所有约束条件的区域）。
画出目标函数的等值线。
移动等值线，找出最优解。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。
线性规划的常见题型
线性规划的常见题型一、基础能力【一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]【二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．技能掌握1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝ycx －d ，z ＝ay －b x ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．二、题型分解题型一：求线性目标函数的最值1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．403．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0D ．2题型二：求非线性目标的最值4．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－125．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围 ． 6．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]7．设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2题型三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是A ．73B ．37C ．43D ．3410．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－1211．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－112．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．题型四：线性规划的实际应用14．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．15．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？三、练习巩固一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．33．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎡⎭⎫53，5D ．⎣⎡⎭⎫－53，5 5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．06．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)7．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．149．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π11．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－313．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π214．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，43B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－53 15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)16．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4917．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)18．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．1019．当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－120．已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan ∠AOB 的最大值等于( )A ．94B ．47C ．34D ．12二、填空题21．不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．22．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．23．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____．24．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．25．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．26．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．27．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：________亩． 28．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．29．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．30．已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．31．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围 ．32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．33．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．34．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．35．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、工程学、管理学等。
本文将对线性规划的基本概念、模型构建、求解方法以及应用领域进行详细介绍。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，常用形式为a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b，其中ai为系数，b为常数。
3. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大值或者最小值的解称为最优解。
二、模型构建1. 决策变量：根据具体问题确定需要优化的变量，通常用xi表示。
2. 目标函数：根据问题要求确定目标函数的系数，进而确定是最大化还是最小化。
3. 约束条件：根据问题中给出的条件，建立约束条件方程。
4. 非负约束：决策变量通常需要满足非负约束条件，即xi ≥ 0。
三、求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
首先绘制约束条件的直线，然后确定可行域，最后在可行域内找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，常使用单纯形法进行求解。
单纯形法通过不断迭代，逐步接近最优解。
它基于线性规划的基本定理，即最优解一定在可行解的顶点上。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划问题通常更加复杂，求解时间较长。
四、应用领域1. 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，使得生产成本最小化或者利润最大化。
2. 运输问题：线性规划可以用于确定最佳的运输方案，使得运输成本最小化。
3. 资源分配：线性规划可以用于确定最佳的资源分配方案，使得资源利用率最高。
线性规划中目标函数的几种类型及解法
线性规划中目标函数的几种类型及解法作者：陈雄飞来源：《新课程学习·中》2013年第04期教学目标：1.知识目标：进一步掌握线性规划的基本概念和图解方法.2.能力目标：提高学生灵活运用线性规划的知识分析和解决相关问题；进一步培养学生的数形结合、化归与转化思想.3.情感目标：通过相同约束条件一题多变，激发学生的学习热情，增强创新意识，培养他们的探究精神，进一步提高知识迁移能力.教学重点：用图解法解决线性规划中目标函数的几种典型问题.教学难点：分析辨别线性规划中目标函数的几种类型.教学手段：多媒体辅助教学.教学方法：启发探究式.教学过程：一、知识复习，引入课题线性规划是指在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题.解决问题的基本思想是数形结合思想，即在约束条件所对应的可行域内根据目标函数的几何意义找出目标函数的最优解.下面我们回顾一下线性规划问题的一些基本概念：（1）线性约束条件：由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组.（2）目标函数：关于x，y的解析式，如z=x-y，z=x2+y2等.（3）可行解：满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.（4）可行域：所有可行解组成的集合叫做可行域.（5）最优解：使目标函数达到最大值或最小值的可行解.（6）用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；②设z=0，画出直线l0；③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解；④求得目标函数的最大值或最小值.今天我们复习的课题是线性规划中目标函数的几种类型及解法.二、例题讲授，合作探究下面我们结合一些例题，谈谈线性规划中目标函数的几种类型及解法.三、迁移训练，巩固提高四、课堂小结本节课我们复习了线性规划问题的基本概念，并利用图解法解决了线性规划中目标函数的四种典型问题——截距型、斜率型、距离型、面积型.再次体验了数形结合思想、化归与转化思想在解决一些复杂数学问题中的运用.五、课后作业，深入思考（作者单位湖北省孝感市第一高级中学）。
高中数学线性规划知识复习
高中必修5线性规划最快的方法简单的线性规划问题 一、知识梳理1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划． 二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验．3. 平 移 直 线 ｙ＝－k ｘ ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一． 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By 0+C=02. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By 0+C>0;当B<0时，Ax 0+By 0+C<03. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By 0+C<0;当B<0时，Ax 0+By 0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)>02.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C ≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
线性规划中目标函数的几种类型及解法
典型解法是代数几何并用 ， 确定范围， 伺机求 解 ． 面笔者将结合一些例题 ， 下 谈谈 目标 函
数 的几 种类 型及解 法 ． 类型 １ 形 如 ｚ＝ ａ ＋ ｂ 的 目标 函数 ｘ ｙ型
例 １ 已 知 点 Ｐ ｘ， ）在 不 等 式 组 （ Ｙ
詈将 看 直 在 轴 的 距 问 就 ，詈 作 线 上 截 ，题 化
中学 数学 杂志（ 中） ２０ 年第 ３ 高 ０６ 期
３ ５
类型 ２ 形如 ： 垒
甜 十
型 的 目标 函
ｆ ＋Ｙ 一２≥ ０ ２ 此 ３ ｏ 求 ｚ＝ ， ｚ一２ ＋４ ≥
【ｘ —Ｙ 一３≤ ０ ３
、
＋Ｙ 的最大值
数
ｚ
ｎ
例 ２
设 实 数 ．， 满 足 ２Ｙ ７
即 在 ，上 的投影 的 ｌ
绝对值 ． 中在求两条异面直线的距离时， 其 ， ｌ 为与两异面直线的方向向量都垂直的一个向 量， Ｂ分别 为两异 面直线上 的任 意两 点； Ａ， 在求直线 ａ 到平面ａ 的距离时， 为平面ａ的 ， ｌ
一
０， ）所以商 ＝（， ２０ ， ＝（，， ） ２ 一 ，） ２４ 一２ ，
维普资讯
中学数学杂志 （ 高中 ） ２ ０ ０６年第 ３ 期
例 ５ 已知 ＡＢ Ｄ 是 边 长 为 ４的正 方 Ｃ
注 在求解空 间距离 时， 若用 向量方 法， 由数量积的几何意义可得求距离 的统一
．
形Ｇ作 Ｇ 面 Ａ Ｃ ＣＪ ＿ Ｂ Ｄ于Ｃ， Ｇ ＝２ 且 Ｃ ，
解 如 图 ４ 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， ， 则
公 式 ｄ＝ Ｌ
—■妻
ｆ ｒ ｆ Ｉ
．
线性规划中目标函数的几种类型及解法
图 １
盈圆
６ １
课 例 交流
２ ０ １ ３年 ４月 １ ８日
囊 秘 万 富 凡 乌
文 例 、 兵
摘 要： 杜甫咏马之作为大家展 示 了大唐 帝国的兴衰成败 ， 犹如一座 挖不完的宝藏 ， 以其独特 的风格在诗歌史上保持 了恒 久不变 的 魅力 。 关键词 ： 杜甫； 人民性 ； 特色； 形象
祧 小 戳
： ｆ ＋ ｙ一 ２≥ ０
ｕ ｜ Ｊ ‘
能力．
教 学 重 点：
： 例２ ． 已 知｛ ｘ － ２ ｙ ＋ ４ ＞ Ｉ ０ ， 求ｚ ＝ ． ＿的 最 大 值． ．
教 学手段 ： 多 辅 助教学・
：化为
， 问题化归为求 可行域 内的点 Ｐ （ ， ｙ ） 与点 （ 一 １ ， ０ ） 连
（ ６ ） 用 图解法 解决简单 的线性规 划问题 的基本 步骤 ： ①根 据 ：
： 曼
＝
， ｙ ） 与点（ 一 ， 一 ） 连线 内 的点 （ 娴 挥 的 形 式 将 问 题 化 归 为 求 可 行 域 “， ’ ～ ” ” …… ｃ’ｏ… 一
譬 ② 设 约 束 篷 ， 芝 苎 妻 示 竺 曼 ： 斜 率 的 倍 的 范 围 、 最 值 等 问 题 ． ０ ， 画 出直 线 ｌ ｏ ； ③观察 、 分析 、 平移 直线 ｌ ｏ ， 从 而找 到最 优 ： … ～～ｃ ” 一… ’ 一… 。 。。
的形式 ， 将问题化归为求 直线 ｌ 在Ｙ 轴上 的截距 － ｚ・
ｘ ＋ ｙ － ２ － － ￣ ２ ， ３ ） ／ Ｉ ｌ － （
ｌ
圈 ３
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的范围．
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线性规划问题中目标函数常见类型梳理
山东 张吉林
线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。
本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。
一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）
例1.已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
，则24z x y =+的最小值为（ ）
A ．5
B ．-6
C ．10
D ．-10 分析：将目标函数变形可得124
z y x =-+，所求的目标函数的最小值即一组平行直线12
y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。
解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示：
当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =⨯+⨯-=-，答案选B 。
点评：深刻地理解目标函数的含义，正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键。
二 直线的斜率型
例2.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ⎧+≤⎨≥⎩
,求函数31y z x +=+的值域. 解析：所给的不等式组表示圆22
4x y +=的右半圆(含边界)，
31
y z x +=+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．则问题的几何意义为：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)50(1)
z --==--．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设切点为(,)B a b ，则过B 点的切线方程为4ax by +=．又B 在半圆周上，P 在切线上，则有22434
a b a b ⎧+=⎨--=⎩解
得65a b ⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩
因
此min z =。
综上可知函数的值域
为⎤⎥⎣⎦ 三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）
例3. 已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩
，则22448w x y x y =+--+的最值为___________.
解析：目标函数2222
448(2)(2)w x y x y x y =+--+=-+-，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。
由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示：
可行域为图中ABC V 内部（包括边界），易求B （-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点B 的距
离为其到可行域内点的最大值，22max (22)(12)25w =--+--=；点(2,2)到直线x+y-1=0
的距离为其到可行域内点的最小值，min 2w =
=。
四 点到直线的距离型 例4.已知实数x 、y 满足2
221,42x y u x y x y +≥=++-求的最小值。
解析：目标函数222242(2)(1)5u x y x y x y =++-=++--，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5。
由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右上方）：
点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求
得5d ==，故21695555d -=-=- 同步训练：已知实数x 、y 满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
,则目标函数22z x y =+的最大值是____。
答案：13；
五 变换问题研究目标函数
例5.（山东潍坊08届高三）已知⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2，且y x z +=2的最大值是最小值的3倍，则
a 等于（ ）
A ．31或3
B ．31
C ．52或2
D ．5
2 解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题， 准确画图找到可行域是关键.如图所示，A y x z 在+=2 点和B 点分别取得最小值和最大值. 由
),(•a a•A x y a x 得⎩⎨⎧==，由⎩⎨⎧==+y
x y x 2得 B (1，1). ∴a •z •z 3,3min max
==. 由题意 得.3
1•a =故答案B 。
六 综合导数、函数知识类
例6.（山东省日照市2008届高三第一次调研）．已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ，部分对
应值如下表，)()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如右图所示. 若两正数a ，b 满足331)2(++<+a b b a f ，则的取值范围是 （ ）
x
－2 0 4 )(x f
1 －1 1
A ．)3,7(
B ．)3,5(
C ．)56,32(
D ．)3,31(- 分析：本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找到原函数的基本性质，将其与所给的函数性质联系起来。
由导函数的图象可知，原函数在区间 [-2,0]为单调递减函数，在区间（0，∞+）为单调递增函数。
结合题中提供的函数的数据可得422<+<-b a ，另外注意到
3
3++a b 的几何意义，转化为线性规划问题可求解。
解析：由导函数的图象可知，原函数在区间 [-2,0]为单调递减函数，在区间（0，∞+）为单调递增函数，又1)4(,1)0(,1)2(=-==-f f f ，故422<+<-b a ，而b a ,均为正数，
可得可行域如图，
3
3++a b 的几何意义是可行域内的点和（-3，-3）连线的斜率的取值范围，故最大为点（0，4），此时为373034=++，最小为点（2，0），此时为5
33230=++，所以答案B.
如果实数,a b 满足条件：20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值是____________.
补充：1.如果实数,a b 满足条件：20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值是 ▲ ． 2.已知O 是坐标原点，(2,1),(,)A P x y 满足430352510x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，求||cos OP AOP ⋅∠u u u r 的最大值。