线性规划问题中目标函数常见类型梳理
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结一、概述线性规划是运筹学中的一种数学方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值。
二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
通常用z表示。
2. 约束条件：线性规划的变量需要满足一系列线性等式或者不等式，这些等式或者不等式称为约束条件。
3. 变量：线性规划中的变量是决策问题中需要确定的值，可以是实数或者非负实数。
4. 可行解：满足所有约束条件的变量取值称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大（或者最小）值的变量取值称为最优解。
三、标准形式线性规划问题可以通过将不等式约束转化为等式约束来转化为标准形式，标准形式的线性规划问题如下：最小化：z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙ约束条件：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，c₁, c₂, ..., cₙ为目标函数的系数；aᵢₙ为约束条件的系数；b₁, b₂, ...,bₙ为约束条件的常数；x₁, x₂, ..., xₙ为变量。
四、解法线性规划问题的解法主要有下列两种方法：1. 图形法：适合于二维或者三维的线性规划问题，通过绘制约束条件的直线或者平面，找到可行域和最优解。
2. 单纯形法：适合于多维的线性规划问题，通过迭代计算，找到最优解。
单纯形法是一种高效的算法，广泛应用于实际问题中。
五、常见应用线性规划在实际问题中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：1. 生产计划：确定最佳的生产方案，以最大化利润或者最小化成本。
2. 运输问题：确定最佳的物流方案，以最小化运输成本。
3. 资源分配：确定最佳的资源分配方案，以最大化效益或者最小化浪费。
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。
1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。
步骤如下：画出直角坐标系。
画出约束条件所对应的直线。
确定可行域（满足所有约束条件的区域）。
画出目标函数的等值线。
移动等值线，找出最优解。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。
线性规划的常见题型
线性规划的常见题型一、基础能力【一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]【二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．技能掌握1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距zb 的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝ycx －d ，z ＝ay －b x ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．二、题型分解题型一：求线性目标函数的最值1．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．22．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．403．若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0D ．2题型二：求非线性目标的最值4．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－125．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围 ． 6．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]7．设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2题型三：求线性规划中的参数9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是A ．73B ．37C ．43D ．3410．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－1211．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－112．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32，则a 的值为________．题型四：线性规划的实际应用14．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．15．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？三、练习巩固一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．33．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎡⎭⎫53，5D ．⎣⎡⎭⎫－53，5 5．如果点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( ) A ．2 B ．1 C ．3D ．06．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)7．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所表示的平面区域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．149．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π11．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－313．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定的平面区域的面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π214．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，43B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－53 15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)16．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4917．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)18．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．1019．当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时，z ＝x －3y 的最大值为8，则实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－120．已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan ∠AOB 的最大值等于( )A ．94B ．47C ．34D ．12二、填空题21．不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________．22．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1，则x ＋y 的取值范围是________．23．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为____．24．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．25．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所表示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．26．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．27．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：________亩． 28．若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．29．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．30．已知动点P (x ，y )在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y (k >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．31．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围 ．32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．33．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．34．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为__________．35．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多个点(x ，y )使目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在各个领域都有广泛的应用，包括经济学、工程学、管理学等。
本文将对线性规划的基本概念、模型构建、求解方法以及应用领域进行详细介绍。
一、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为系数，xi为决策变量。
2. 约束条件：线性规划的决策变量需要满足一系列线性约束条件，常用形式为a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b，其中ai为系数，b为常数。
3. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。
4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数取得最大值或者最小值的解称为最优解。
二、模型构建1. 决策变量：根据具体问题确定需要优化的变量，通常用xi表示。
2. 目标函数：根据问题要求确定目标函数的系数，进而确定是最大化还是最小化。
3. 约束条件：根据问题中给出的条件，建立约束条件方程。
4. 非负约束：决策变量通常需要满足非负约束条件，即xi ≥ 0。
三、求解方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
首先绘制约束条件的直线，然后确定可行域，最后在可行域内找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：对于多维线性规划问题，常使用单纯形法进行求解。
单纯形法通过不断迭代，逐步接近最优解。
它基于线性规划的基本定理，即最优解一定在可行解的顶点上。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划问题通常更加复杂，求解时间较长。
四、应用领域1. 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，使得生产成本最小化或者利润最大化。
2. 运输问题：线性规划可以用于确定最佳的运输方案，使得运输成本最小化。
3. 资源分配：线性规划可以用于确定最佳的资源分配方案，使得资源利用率最高。
线性规划中目标函数的几种类型及解法
线性规划中目标函数的几种类型及解法作者：陈雄飞来源：《新课程学习·中》2013年第04期教学目标：1.知识目标：进一步掌握线性规划的基本概念和图解方法.2.能力目标：提高学生灵活运用线性规划的知识分析和解决相关问题；进一步培养学生的数形结合、化归与转化思想.3.情感目标：通过相同约束条件一题多变，激发学生的学习热情，增强创新意识，培养他们的探究精神，进一步提高知识迁移能力.教学重点：用图解法解决线性规划中目标函数的几种典型问题.教学难点：分析辨别线性规划中目标函数的几种类型.教学手段：多媒体辅助教学.教学方法：启发探究式.教学过程：一、知识复习，引入课题线性规划是指在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题.解决问题的基本思想是数形结合思想，即在约束条件所对应的可行域内根据目标函数的几何意义找出目标函数的最优解.下面我们回顾一下线性规划问题的一些基本概念：（1）线性约束条件：由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组.（2）目标函数：关于x，y的解析式，如z=x-y，z=x2+y2等.（3）可行解：满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解.（4）可行域：所有可行解组成的集合叫做可行域.（5）最优解：使目标函数达到最大值或最小值的可行解.（6）用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；②设z=0，画出直线l0；③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解；④求得目标函数的最大值或最小值.今天我们复习的课题是线性规划中目标函数的几种类型及解法.二、例题讲授，合作探究下面我们结合一些例题，谈谈线性规划中目标函数的几种类型及解法.三、迁移训练，巩固提高四、课堂小结本节课我们复习了线性规划问题的基本概念，并利用图解法解决了线性规划中目标函数的四种典型问题——截距型、斜率型、距离型、面积型.再次体验了数形结合思想、化归与转化思想在解决一些复杂数学问题中的运用.五、课后作业，深入思考（作者单位湖北省孝感市第一高级中学）。
高中数学线性规划知识复习
高中必修5线性规划最快的方法简单的线性规划问题 一、知识梳理1. 目标函数: Ｐ ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变 量 ｘ 和ｙ 的 函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划． 二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务. 1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若 直 线 不 过 原点，通 常 选 择 原 点 代入检验．3. 平 移 直 线 ｙ＝－k ｘ ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一． 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By 0+C=02. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By 0+C>0;当B<0时，Ax 0+By 0+C<03. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By 0+C<0;当B<0时，Ax 0+By 0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)>02.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C ≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。
线性规划中目标函数的几种类型及解法
典型解法是代数几何并用 ， 确定范围， 伺机求 解 ． 面笔者将结合一些例题 ， 下 谈谈 目标 函
数 的几 种类 型及解 法 ． 类型 １ 形 如 ｚ＝ ａ ＋ ｂ 的 目标 函数 ｘ ｙ型
例 １ 已 知 点 Ｐ ｘ， ）在 不 等 式 组 （ Ｙ
詈将 看 直 在 轴 的 距 问 就 ，詈 作 线 上 截 ，题 化
中学 数学 杂志（ 中） ２０ 年第 ３ 高 ０６ 期
３ ５
类型 ２ 形如 ： 垒
甜 十
型 的 目标 函
ｆ ＋Ｙ 一２≥ ０ ２ 此 ３ ｏ 求 ｚ＝ ， ｚ一２ ＋４ ≥
【ｘ —Ｙ 一３≤ ０ ３
、
＋Ｙ 的最大值
数
ｚ
ｎ
例 ２
设 实 数 ．， 满 足 ２Ｙ ７
即 在 ，上 的投影 的 ｌ
绝对值 ． 中在求两条异面直线的距离时， 其 ， ｌ 为与两异面直线的方向向量都垂直的一个向 量， Ｂ分别 为两异 面直线上 的任 意两 点； Ａ， 在求直线 ａ 到平面ａ 的距离时， 为平面ａ的 ， ｌ
一
０， ）所以商 ＝（， ２０ ， ＝（，， ） ２ 一 ，） ２４ 一２ ，
维普资讯
中学数学杂志 （ 高中 ） ２ ０ ０６年第 ３ 期
例 ５ 已知 ＡＢ Ｄ 是 边 长 为 ４的正 方 Ｃ
注 在求解空 间距离 时， 若用 向量方 法， 由数量积的几何意义可得求距离 的统一
．
形Ｇ作 Ｇ 面 Ａ Ｃ ＣＪ ＿ Ｂ Ｄ于Ｃ， Ｇ ＝２ 且 Ｃ ，
解 如 图 ４ 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， ， 则
公 式 ｄ＝ Ｌ
—■妻
ｆ ｒ ｆ Ｉ
．
线性规划中目标函数的几种类型及解法
图 １
盈圆
６ １
课 例 交流
２ ０ １ ３年 ４月 １ ８日
囊 秘 万 富 凡 乌
文 例 、 兵
摘 要： 杜甫咏马之作为大家展 示 了大唐 帝国的兴衰成败 ， 犹如一座 挖不完的宝藏 ， 以其独特 的风格在诗歌史上保持 了恒 久不变 的 魅力 。 关键词 ： 杜甫； 人民性 ； 特色； 形象
祧 小 戳
： ｆ ＋ ｙ一 ２≥ ０
ｕ ｜ Ｊ ‘
能力．
教 学 重 点：
： 例２ ． 已 知｛ ｘ － ２ ｙ ＋ ４ ＞ Ｉ ０ ， 求ｚ ＝ ． ＿的 最 大 值． ．
教 学手段 ： 多 辅 助教学・
：化为
， 问题化归为求 可行域 内的点 Ｐ （ ， ｙ ） 与点 （ 一 １ ， ０ ） 连
（ ６ ） 用 图解法 解决简单 的线性规 划问题 的基本 步骤 ： ①根 据 ：
： 曼
＝
， ｙ ） 与点（ 一 ， 一 ） 连线 内 的点 （ 娴 挥 的 形 式 将 问 题 化 归 为 求 可 行 域 “， ’ ～ ” ” …… ｃ’ｏ… 一
譬 ② 设 约 束 篷 ， 芝 苎 妻 示 竺 曼 ： 斜 率 的 倍 的 范 围 、 最 值 等 问 题 ． ０ ， 画 出直 线 ｌ ｏ ； ③观察 、 分析 、 平移 直线 ｌ ｏ ， 从 而找 到最 优 ： … ～～ｃ ” 一… ’ 一… 。 。。
的形式 ， 将问题化归为求 直线 ｌ 在Ｙ 轴上 的截距 － ｚ・
ｘ ＋ ｙ － ２ － － ￣ ２ ， ３ ） ／ Ｉ ｌ － （
ｌ
圈 ３
＼ ｒ Ｉ ｌ ／ ／
＼
的范围．
鬯± 坐 兰 三
线性规划知识点归纳总结
线性规划知识点归纳总结一、知识梳理1 目标函数：P=2x＋y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数。
2 可行域：约束条件表示的平面区域称为可行域。
3 整点：坐标为整数的点叫做整点。
4 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题。
只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决。
5 整数线性规划：要求量整数的线性规划称为整数线性规划。
二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科，主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定和条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。
1 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线。
2 确定二元一次不等式所表示的平面区域有种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一端为所求的平面区域。
若直线不过原点，通常选择原点代入检验。
3 平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域。
4 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点。
5 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等于表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解。
积储知识：一、1．占P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+ y0+C=02．点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上方（左上或右下），则当B>0时，Ax0+ y0+C >0；当B<0时，Ax0+ y0+C<0 3．点P（x0+，y0）D在直线Ax0+ y0+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+ y0+C<0；当B>0时，Ax0+ y0+C>0 注意：（1）在直线Ax+ By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标（x，y）代入Ax+ By+C=0，所得实数的符号都相同。
线性规划中的目标函数
线性规划中的目标函数。
线性规划是一种在组合优化中广泛应用的解决方案。
它是使用数学技术来解决这类问题时的首要工具，通过判断和解决系统问题，使系统能够获得最优化的效果。
简单来说，线性规划问题涉及将目标函数最大化或最小化，而且必须满足所有的约束条件。
线性规划的目标函数是求解优化问题的重要组成部分。
它用来表示被优化的总体行为，即任务的目的或受限环境的要求，多数线性规划问题的目标是要最大化或最小化函数值。
典型的目标函数可以定义为最小化求解变量在约束条件下的加权和，即最小化某一函数的结果，以实现最优效果。
最小化目标函数的目的是求出一个最优解。
实际上，它定义了优化问题的目标，其中包括最小或最大某种效果的实现。
它的设计可以非常复杂，因为它往往都有许多限制条件和变量。
不同的线性规划问题可以有不同的目标函数，其中可以明确表达出问题的要求和限制条件。
这些不同的目标函数都是为了获得最优解，即实现最小化或最大化某种特定效果而设计。
无论问题复杂与否，目标函数都是最优解的核心，所以通常会加以仔细考虑，以便最终获得较为满意的结果。
线性规划的十种类型
线性规划的十种类型线性规划是一种优化问题的数学方法，其目标是找到一组决策变量的最佳值，以使目标函数在一组约束条件下达到最大（最小）值。
线性规划问题可以分为以下十种类型。
1.单目标线性规划：在单目标线性规划中，只有一个目标函数需要最大化或最小化。
例如，最大化营销利润或最小化生产成本。
2.多目标线性规划：多目标线性规划包含两个或更多个目标函数，需要在多个目标之间进行权衡。
例如，同时最大化销售额和最小化生产成本。
3.约束线性规划：在约束线性规划中，问题除了目标函数外，还有一些约束条件需要满足。
例如，生产项产品所需的原材料数量不能超过供应商的可用数量。
4.混合整数线性规划：在混合整数线性规划中，决策变量可以为实数或整数。
该问题既包含线性约束条件，又包含整数约束条件。
例如，在生产计划中考虑到机器的整数需求。
5.二次线性规划：在二次线性规划中，目标函数为二次函数，但约束条件为线性函数。
例如，在市场分析中，为了最大化利润，需要考虑产品价格和销售量之间的二次关系。
6.敏感性分析：敏感性分析用于确定目标函数和约束条件的变化情况下，最优解如何随之变化。
例如，在成本或需求变化时，优化生产或库存计划。
8.资源分配：资源分配问题涉及到如何最优地分配有限资源，以满足不同的需求。
例如，在项目管理中，如何分配时间、金钱和人力资源以最大化项目成功。
9.增益线性规划：增益线性规划是在优化问题中引入风险和不确定性的一种方法。
例如，在金融领域，如何在市场波动和风险条件下最大化回报。
10.竞争性线性规划：竞争性线性规划涉及到多个参与者之间的竞争和博弈。
例如，在拍卖和竞标过程中，如何确定最佳投标策略以赢取项目并最大化利润。
以上是线性规划的十种类型，每种类型都涉及不同的问题和应用领域。
线性规划的方法可以帮助企业、组织和个人做出最佳的决策，以实现其目标并最大化效益。
线性规划中目标函数的几种类型
乙— s in x
则原函数可看成 由函数
y=
/ 4 、 . 。，_
一i t十丁少十乙Tw
t = 2- sinx复合而成，
': sinx E 〔一1，1] ，…t= 2一sinx E [ 1,3] ，结 合图 2 可以看出当 t = 2 时，yma二二一2，当t= 1
时，y二一3，当 t = 3 时，y =
以上 4 种 目标 函数类型的处理方法对于限 制条件为非一次不等式 时 ，原则上也是可行 的 ， 只要能画出(x , y) 满足的可行域.
求值域
护 一4x + 5
例 5 求函数 y = log!' x 一 2 的值域 .
解:原函数可以变形为 y =
log,
护 一4x +
x 一2
5
(x 一2) 2+ 1
. 二， _ 、 . 1 ，
= logy, x 一 2
109 2 LCx 一 G) 十 丁一一7 j ， J— 乙
则原函 可以看成由 y = 1og2 t 与 t = u十
求 z = Ix + 2y- 4 1的最大值.
解 :先 画 出满足 条
件的可行域，如图 4 阴
，理
况分、节岭
少.洲 训么
影部 分. 将 目标 函数
,, ,
黝一倒
z= Ix + 2y- 4 1转化为
z= 万 · }x + 2y- 4 }
12+ 22
问题 化归 为求 可行 域
图4
内的点(x ,y) 到直线 x + 2y - 4 = 0 距离者倍的 最大值，观察知 c 点到直线x + 2y - 4= 0 距离
高中数学线性规划知识点汇总
高中数学线性规划知识点汇总一、知识梳理1 目标函数：P=2x＋y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数。
2 可行域：约束条件表示的平面区域称为可行域。
3 整点：坐标为整数的点叫做整点。
4 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题。
只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决。
5 整数线性规划：要求量整数的线性规划称为整数线性规划。
线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科，主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定和条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。
1 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线。
2 确定二元一次不等式所表示的平面区域有种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一端为所求的平面区域。
若直线不过原点，通常选择原点代入检验。
3 平移直线y=-kx+P时，直线必须经过可行域。
4 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点。
5 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等于表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解。
积储知识：一、1．占P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+ y0+C=02．点P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上方（左上或右下），则当B>0时，Ax0+ y0+C >0；当B<0时，Ax0+ y0+C<03．点P（x0+，y0）D在直线Ax0+ y0+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+ y0+C<0；当B>0时，Ax0+ y0+C>0注意：（1）在直线Ax+ By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标（x，y）代入Ax+ By+C=0，所得实数的符号都相同。
目标函数的几种类型
目标函数的几种类型目标函数是数学优化问题中的一个重要概念，目的是通过数学表达式来描述优化问题的目标。
目标函数主要分为以下几种类型：1. 线性目标函数线性目标函数是最简单也是最常见的一种目标函数形式，其数学表达式为：f(x) = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn其中，x1, x2, ..., xn为决策变量，c1, c2, ..., cn为常数系数。
线性目标函数的优化问题称为线性规划问题，其特点是目标函数和约束条件均为线性。
线性规划问题在供应链管理、运输调度等领域有广泛的应用。
2. 非线性目标函数非线性目标函数是目标函数中存在非线性项的情况，其数学表达式为：f(x) = h(x) + Σ g(x)其中，h(x)为非线性项，g(x)为线性或非线性项。
非线性目标函数的优化问题被称为非线性规划问题。
非线性规划问题在经济学、管理学等领域中常用于描述复杂的现实问题。
3. 凸函数目标函数凸函数目标函数是指目标函数满足凸性质的函数形式。
凸性质是指函数的图像位于函数的上方，即图像上任意两点之间的连线均位于函数图像的上方。
凸函数在优化问题中具有较好的性质，可以保证全局最优解的存在和唯一性，是一类重要的目标函数类型。
4. 二次型目标函数二次型目标函数是一种特殊的非线性目标函数形式，其数学表达式为：f(x) = x^T Ax + b^T x + c其中，x是n维向量，A为一个n×n的矩阵，b和c为常向量。
二次型目标函数在数学建模和最优化问题中应用广泛，例如，在物流领域中可以用于描述最小化运输成本的问题。
5. 目标函数约束目标函数约束是指在目标函数中添加一些约束条件来限制决策变量的取值范围，使其满足一定的约束条件。
例如，可以在目标函数中添加等式约束、不等式约束、非线性约束等。
目标函数约束广泛应用于各个领域的最优化问题中，可以用于调整优化问题的解空间。
综上所述，目标函数具有不同的类型，包括线性目标函数、非线性目标函数、凸函数目标函数、二次型目标函数以及目标函数约束等。
线性规划中目标函数的几种类型及其向量解法
线性规划中目 标函数的几种类型及其向量解法
宁夏大学数学计算机学院 750021 刘崇林
线性规划初步是高中数学新增内容 , 由于其理 论和方法在实际中有广泛应用 , 因此越来越引起人 们的重视 1这类问题难点是把实际问题转化为线性 规划问题并给出解答 1解决难点的关键是根据实际 问题中的已知条件 ,找出约束条件和目标函数 ,利用 图解法求得最优解 1值得说明的是 : 利用这种方法 不仅能解决线性约束条件下线性目标函数的最值 , 原则上也能解决线性约束条件下非线性目标函数的 最值 ,还能解决非线性约束条件下线性 (非线性 ) 目 标函数的最值 1
例 2 已知 x, y ∈ R+ ,且满足 xy ≥ x + y + 3,
解 作出可行域如图 3, 设 N ( x, y) 为可行域内
的任意一点 , M ( 0, 0 ) 1则向量 MN = ( x, y) 与向量
( 1, 0) 夹角的余弦
co sθ =
x·1
+
y·0 ,
显然当
N点
x2 + y2
在 A (1, 3 ) 时 , co sθ取得最小值 2 ,而此时 tanθ则
设 N ( x, y) 为可行 域内的 任意 一点 , M (1, 1) 1
同上 , 当 N 点在 B (3, 3 ) 时 , z = x + y取得最小值 61
2 形如 z = a y + b ( a c ≠ 0 ) 型的目标函数 cx + d
形如
z
=
ay + b cx + d
高三数学线性规划知识点
高三数学线性规划知识点线性规划是数学中的一个重要分支，广泛应用于经济、管理、工程等领域。
它通过建立数学模型，寻找一组最佳决策方案，以实现特定的目标。
在高三数学学习中，线性规划是一个重要的知识点，本文将介绍线性规划的基本概念、常见问题类型以及解题方法。
一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是在一组约束条件下，最大化或最小化一个线性函数，这个线性函数就是目标函数。
通常用Z表示目标函数的值。
2. 变量：目标函数中的每个变量都代表一个决策变量，这些变量的取值将影响目标函数的计算结果。
3. 约束条件：线性规划的一个重要特点是存在一组约束条件，这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
约束条件通常是由一组线性不等式或等式表示。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
5. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数达到最大值或最小值的解称为最优解。
二、线性规划的问题类型1. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。
它通过不断优化目标函数的值，逐步接近最优解。
单纯形法通过迭代计算一系列基础可行解，直到找到最优解为止。
2. 对偶性定理：线性规划中的对偶性定理是指对于一个标准型的线性规划问题，它与其对偶问题具有相同的最优解。
3. 整数线性规划：当决策变量要求为整数时，这就是一个整数线性规划问题。
整数线性规划的求解更加困难，常常需要借助于分支定界等特殊算法。
4. 网络流线性规划：网络流线性规划是线性规划与图论相结合的一种问题类型。
它通常用于解决最小费用流、最大流等网络优化问题。
三、线性规划的解题方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
首先绘制出约束条件所构成的区域，然后绘制目标函数的等高线，并找到最优解所在的点。
2. 单纯形法：对于高维的线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
单纯形法通过迭代计算一系列基础可行解，直到找到最优解为止。
3. 对偶问题：通过建立原始问题与对偶问题之间的关系，可以将原始问题的求解转化为对偶问题的求解。
三类线性规划问题及其解法
方法集锦线性规划问题是指在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，重点考查同学们的建模、运算、分析能力.本文主要探讨三种不同类型目标函数的线性规划问题及其解法.一、z =ax +by 型若目标函数为z =ax +by 型（直线型），我们一般需先将目标函数变形为：y =-a b x +zb，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值，这样便将求目标函数最值问题转化为求直线的截距的最值.①若b >0，当y =-a b x +z b截距最大时z 最小，当截距最小时z 最大；若b <0，当y =-a b x +zb截距最大时z 最大，当截距最小时z 最小.例1.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïïï2x +y ≤40,x +2y ≤50,x ≥0,y ≥0,则z =3x +2y 的最大值为_____.解：将z =3x +2y 变形为y =-32x +z2.作出如图1所示的可行域，由图可知当y =-32x +z 2过点A 时，直线的截距最大，则{2x +y =40，x +2y =50，解得ìíîx =10,y =20，此时z max =70.在画出可行域后，我们通过观察图形便能很快确定当直线经过A 点时y =-32x +z2的截距最大，此时z 最大，解方程组便可求得z 的最值.图1图2图3二、z =y -bx -a型对于目标函数为z =y -bx -a （斜率型）的线性规划问题，我们一般要依据y -bx -a的几何意义来求解.首先，根据线性约束条件画出可行域，将z 看作是可行域内的动点P (x ,y )与定点A (a ,b )连线的斜率，求得斜率的最值便可求出z 的最值.例2.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïx -y +1≤0,x >0,x ≤1,求z =yx的最大值.解析：该目标函数为斜率型，可将z 看作是可行域内的动点P (x ,y )与原点连线的斜率，求出斜率的最值即可.解：作出如图2所示的可行域，将z =yx变形为z =y -0x -0，可将z 看作可行域内任意一点P (x ,y )与原点的连线的斜率.由图2可知当直线过交点A 时，PO 的斜率最大，{x -y +1=0,x =1,解得ìíîx =1,y =2，所以z max =2.三、z =(x -a )2+(y -b )2型当遇到目标函数为z =(x -a )2+(y -b )2（距离型）的线性规划问题时，我们可以把z 看作可行域内动点P (x ,y )与定点A (a ,b )的距离的平方，结合可行域找到最值点，利用两点间的距离公式便能求出z 的最值.例3.已知x ,y 满足约束条件ìíîïïx -y +1≤0,2x -y -2≤0,x ≥1,则z =x 2+y 2的最小值为_____.解析：该目标函数为距离型，可将z 看作是可行域内任意一点P (x ,y )到原点的距离的平方，求得PO 两点间距离的最小值，便可求得z 的最小值.解：将z =x 2+y 2变形为z =（x -0）2+(y -0)2，作出如图3所示的可行域，由图可知点A 到原点的距离最小，{x -y +1=0,x =1,解得ìíîx =1,y =2，所以z min =5.可见，解答线性规划类问题的基本思路是，（1）根据线性约束条件画出可行域；（2）将目标函数变形为直线型、斜率型、距离型；（3）在可行域内移动直线、点，找出最值点；（4）联立交点处的直线方程，求出最值点的坐标；（5）将点的坐标代入目标函数中求得最值.（作者单位：中国烟台赫尔曼·格迈纳尔中学）44。
例谈线性规划中目标函数非线性问题的解法
2012-01教学实践高中数学线性规划问题中，经常出现目标函数非线性问题，解决此类问题的关键是充分把握其目标函数的几何意义.一、目标函数为：z =ay+b cx+d （ac ≠0）型几何意义：z =ay+b cx+d =a c ·y-（-b a ）x-（-d c ）表示点（x ，y ）与点（-d c ，-b a ）连线的斜率的a c 倍.例1.已知x 、y 满足约束条件2x+y -2≥0x -2y +4≥0，3x-y -3≤0求z =y+1x+2的最值.解：可行域为：∵z =y+1x+2=y-（-1）x -（-2）表示点（x ，y ）与点（-2，-1）的连线的斜率，∴Z min =13，Z max =32.例2.如果实数x 、y 满足条件x-y +1≥0y +1≥0x+y +1≤0{，求z =y -1x -1的取值范围.解：可行域为:z =y -1x -1表示点（x ，y ）与点M （1，1）的连线的斜率，∵k MA =2，k MB =12∴z =y -1x -1的取值范围是［12，2］.二、目标函数为：Z =Ax+By+C （A 、B 不同时为0）型几何意义：Z =A 2+B 2√·Ax+By+C A 2+B 2√表示点（x ，y ）到直线Ax+By+C =0的距离的A 2+B 2√倍.例3.实数x 、y 满足不等式组x-y +2≥02x-y -5≤0，x+y -4≥0{求Z =x +2y -4的最大值.解：可行域为：（如下图）∵Z =x +2y -4=5√·x +2y -45√表示点（x ，y ）到直线x +2y -4=0的距离的5√倍，∴Z max =5√·7+2×9-45√=21.y -4=0三、）几何意义：Z =（x-a ）2+（y-b ）2=［（x-a ）2+（x-b ）2√］2表示点（x ，y ）与点（a ，b ）间的距离的平方.例4.已知实数x 、y 满足不等式组2x+y -2≥0x -2y +4≥03x-y -3≤0{，求x 、y 取何值时，Z =x 2+y 2取得最大、最小值.解：可行域为:Z=x 2+y 2表示原点O （0，0）与点（x ，y ）的距离的平方.点O （0，0）到直线2x+y -2=0的距离d 1=25√.可行域内垂足为（45，25），点O （0，0）与点B （2，3）的距离为d 2=13√.∴当x =45y =25⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐时Z min =45；当x =2y =3{时Z max =13.例5.已知实数x 、y 满足不等式组x-y +2≥0x+y -4≥02x-y -5≤0{，求Z=x 2+y 2-10y+25的最小值.解：可行域为：Z=x 2+y 2-10y x 2+（y -5）2√］2求点M （0，5）到点（x ，y ）的距离的平方.过M （0，5）作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上.∴Z min =MN 2=92.非线性目标函数问题在高考中还经常出现，教学中应给以足够重视.（作者单位云南省建水第一中学）例谈线性规划中目标函数非线性问题的解法文/王云峰82--Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
线性规划问题中目标函数常见类型梳理
线性规划问题中目标函数常见类型梳理必须做并保管好——王永富一、直线的斜率型例1.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ⎧+≤⎨≥⎩,求函数31y z x +=+的值域. 注意：当目标函数形如y a z x b-=-时,可把z 看作是动点(,)P x y 与定点(,)Q b a 连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。
例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则 y x 的取值X 围是（ ）. （A ）[95，6] （B ）（－∞，95]∪[6，＋∞） （C ）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D ）[3，6]解析 y x是可行域内的点M （x ，y ）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM 过点（52，92）时，y x取得 最小值95；当直线OM 过点（1，6）时，y x取得最大值6. 答案A二、平面内两点间的距离型（或距离的平方型） 例3. 已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则22448w x y x y =+--+的最值为___________.同步训练：已知实数x ，y 满足,则的最大值是分析，目标函数的几何意义是表示可行域内的点到点（1，1）的距离的平方，画出可行域可求得三、 点到直线的距离型例4.已知实数x 、y 满足2221,42x y u x y x y +≥=++-求的最小值。
同步训练：已知实数x 、y 满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则目标函数22z x y =+的最大值是____。
四、变换问题研究目标函数例5.已知⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2，且y x z +=2的最大值是最小值的3倍，则a 等于（ ）A ．31或3B ．31 C ．52或2 D ．52 五、求可行域的面积例6、不等式组260302x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 （ ）A 、4B 、1C 、5D 、无穷大六、求可行域中整点个数例7、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ）A 、9个B 、10个C 、13个D 、14个七、求线性目标函数中参数的取值X 围例8、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ）A 、－3B 、3C 、－1D 、1八、求非线性目标函数的最值例9、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ）A 、13，1B 、13，2C 、13，45D、例9：已知实数满足，求的最大值．分析：这个目标函数就显得有点“隐蔽”了，注意到目标函数有个绝对值符号，联想到点到直线的距离公式的结构特点，那么就可顺利解决了．，也是说表示为可行域内的点到直线距离的倍．。
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线性规划问题中目标函数常见类型梳理
山东 张吉林
线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。
本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。
一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）
例1.已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
，则24z x y =+的最小值为（ ）
A ．5
B ．-6
C ．10
D ．-10 分析：将目标函数变形可得124
z y x =-+，所求的目标函数的最小值即一组平行直线12
y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。
解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示：
当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =⨯+⨯-=-，答案选B 。
点评：深刻地理解目标函数的含义，正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键。
二 直线的斜率型
例2.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ⎧+≤⎨≥⎩
,求函数31y z x +=+的值域. 解析：所给的不等式组表示圆22
4x y +=的右半圆(含边界)，
31
y z x +=+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．则问题的几何意义为：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)50(1)
z --==--．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设切点为(,)B a b ，则过B 点的切线方程为4ax by +=．又B 在半圆周上，P 在切线上，则有22434
a b a b ⎧+=⎨--=⎩解
得65a b ⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩
因
此min z =。
综上可知函数的值域
为⎤⎥⎣⎦ 三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）
例3. 已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩
，则22448w x y x y =+--+的最值为___________.
解析：目标函数2222
448(2)(2)w x y x y x y =+--+=-+-，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。
由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示：
可行域为图中ABC V 内部（包括边界），易求B （-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点B 的距
离为其到可行域内点的最大值，22max (22)(12)25w =--+--=；点(2,2)到直线x+y-1=0
的距离为其到可行域内点的最小值，min 2w =
=。
四 点到直线的距离型 例4.已知实数x 、y 满足2
221,42x y u x y x y +≥=++-求的最小值。
解析：目标函数222242(2)(1)5u x y x y x y =++-=++--，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5。
由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右上方）：
点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求
得5d ==，故21695555d -=-=- 同步训练：已知实数x 、y 满足220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩
,则目标函数22z x y =+的最大值是____。
答案：13；
五 变换问题研究目标函数
例5.（山东潍坊08届高三）已知⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x x y 2，且y x z +=2的最大值是最小值的3倍，则
a 等于（ ）
A ．31或3
B ．31
C ．52或2
D ．5
2 解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题， 准确画图找到可行域是关键.如图所示，A y x z 在+=2 点和B 点分别取得最小值和最大值. 由
),(•a a•A x y a x 得⎩⎨⎧==，由⎩⎨⎧==+y
x y x 2得 B (1，1). ∴a •z •z 3,3min max
==. 由题意 得.3
1•a =故答案B 。
六 综合导数、函数知识类
例6.（山东省日照市2008届高三第一次调研）．已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ，部分对
应值如下表，)()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如右图所示. 若两正数a ，b 满足331)2(++<+a b b a f ，则的取值范围是 （ ）
x
－2 0 4 )(x f
1 －1 1
A ．)3,7(
B ．)3,5(
C ．)56,32(
D ．)3,31(- 分析：本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找到原函数的基本性质，将其与所给的函数性质联系起来。
由导函数的图象可知，原函数在区间 [-2,0]为单调递减函数，在区间（0，∞+）为单调递增函数。
结合题中提供的函数的数据可得422<+<-b a ，另外注意到
3
3++a b 的几何意义，转化为线性规划问题可求解。
解析：由导函数的图象可知，原函数在区间 [-2,0]为单调递减函数，在区间（0，∞+）为单调递增函数，又1)4(,1)0(,1)2(=-==-f f f ，故422<+<-b a ，而b a ,均为正数，
可得可行域如图，
3
3++a b 的几何意义是可行域内的点和（-3，-3）连线的斜率的取值范围，故最大为点（0，4），此时为373034=++，最小为点（2，0），此时为5
33230=++，所以答案B.
如果实数,a b 满足条件：20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值是____________.
补充：1.如果实数,a b 满足条件：20101a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩，则22a b a b ++的最大值是 ▲ ． 2.已知O 是坐标原点，(2,1),(,)A P x y 满足430352510x y x y x -+≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，求||cos OP AOP ⋅∠u u u r 的最大值。