理科数学数列 函数 解析几何 后三道大题专项训练 及答案 9
高考数学《解析几何》专项训练及答案解析
高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A ．B ．±C ．2±D ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =uu u r uu u r，则直线AB 的斜率为（ ） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．163．已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）AB ．C 1D 2+4．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（ ）A ．78B ．1C ．76D6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2-BC ．2D7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =8．已知离心率为2的椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ，则2F 到直线1F A ，y 轴的距离之比为（ ）A ．5B ．35C ．2D二、多选题9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,110．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =uuu r uu rC ．2BD BF = D ．4BF =三、填空题11．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．12．已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点，过A 、B 分别作x 轴的垂线，且与x轴分别交于C 、D 两点，若CD =m =_____．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，()2,3A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________.14．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： （1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.16．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值． 【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题． 2．B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时， 设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题. 4．D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确． 5．C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长． 【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 3cos 7BNB '∴∠=-，tan 43BNB '∠=又()23,0M ，AB ∴的方程为2343y x =-， 取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =． 联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 6．D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点， 由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再表示出MD ，利用5sin 7MFA ∠=，得到0x 和p 之间的关系，将M 点坐标，代入到抛物线中，从而解出p 的值，得到答案.【详解】抛物线C ：22(0)y px p =>， 其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点， 所以02p MF x =+AB所在直线2p x =， 设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-， 因为5sin 7MFA ∠=，所以57 MD MF=，即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程，得()26623p p=⨯，0p>解得6p=，所以抛物线方程为212y x=故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8．A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设2AF x=，用x表示112,AF F F,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。
高三数学 高考大题专项训练 全套 (15个专项)(典型例题)(含答案)
1、函数与导数（1）2、三角函数与解三角形3、函数与导数（2）4、立体几何5、数列（1）6、应用题7、解析几何8、数列（2）9、矩阵与变换10、坐标系与参数方程11、空间向量与立体几何12、曲线与方程、抛物线13、计数原理与二项式分布14、随机变量及其概率分布15、数学归纳法高考压轴大题突破练(一)函数与导数(1)1．已知函数f (x )＝a e x x＋x . (1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值；(2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极大值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2， ∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1.∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线方程为y －(a e ＋1)＝x －1，又直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1，解得a ＝－1e. (2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(－∞，0)上无极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成立，函数在(0,1)上无极值．方法一 当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0，则00000200201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ⎛ > +> -+ = ⎝①②③ 由③得0e x a ＝－x 20x 0－1，代入②得－x 0x 0－1＋x 0>0， 结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0e x a x ＋x 0>0，得a >－020e x x ， 设h (x )＝－x 2e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x， 当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数，∴a >h (x 0)>h (2)＝－4e 2.又a <0，故当极大值为正数时，a ∈⎝⎛⎭⎫－4e 2，0， 从而不存在负整数a 满足条件．方法二 当x ∈(1，＋∞)时，令H (x )＝a e x (x －1)＋x 2，则H ′(x )＝(a e x ＋2)x ，∵x ∈(1，＋∞)，∴e x ∈(e ，＋∞)，∵a 为负整数，∴a ≤－1，∴a e x ≤a e ≤－e ，∴a e x ＋2<0，∴H ′(x )<0，∴H (x )在(1，＋∞)上单调递减．又H (1)＝1>0，H (2)＝a e 2＋4≤－e 2＋4<0，∴∃x 0∈(1,2)，使得H (x 0)＝0，且当1<x <x 0时，H (x )>0，即f ′(x )>0；当x >x 0时，H (x )<0，即f ′(x )<0.∴f (x )在x 0处取得极大值f (x 0)＝0e x a x ＋x 0.(*) 又H (x 0)＝0e x a (x 0－1)＋x 20＝0， ∴00e x a x ＝－x 0x 0－1，代入(*)得f (x 0)＝－x 0x 0－1＋x 0＝x 0(x 0－2)x 0－1<0， ∴不存在负整数a 满足条件．2．已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )<g (x ). (1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )＝xf ′(x )，且∃x ∈[1,2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∴f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a， ∵a >0，∴x 1<x 2，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (0)＝1，极小值为f ⎝⎛⎭⎫2a ＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2. (2)g (x )＝xf ′(x )＝3ax 3－6x 2，∵∃x ∈[1,2]，使h (x )＝f (x )，∴f (x )≥g (x )在[1,2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在[1,2]上有解，即不等式2a ≤1x 3＋3x在[1,2]上有解， 设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x3(x ∈[1,2])， ∵y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成立， ∴y ＝1x 3＋3x在[1,2]上单调递减， ∴当x ＝1时，y ＝1x 3＋3x的最大值为4， ∴2a ≤4，即a ≤2.高考中档大题规范练(一)三角函数与解三角形1．(2017·江苏宿迁中学质检)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和值域；(2)若x ＝x 0⎝⎛⎭⎫0≤x 0≤π2为f (x )的一个零点，求sin 2x 0的值． 解 (1)易得f (x )＝sin 2x ＋3sin 2x ＋12(sin 2x －cos 2x ) ＝1－cos 2x 2＋3sin 2x －12cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＋12＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12， 所以f (x )的最小正周期为π，值域为⎣⎡⎦⎤－32，52. (2)由f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＋12＝0，得 sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＝－14<0，又由0≤x 0≤π2，得－π6≤2x 0－π6≤5π6， 所以－π6≤2x 0－π6<0，故cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＝154， 此时sin 2x 0＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0－π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2x 0－π6sin π6＝－14×32＋154×12＝15－38. 2．(2017·江苏南通四模)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫sin x 2，1，n ＝⎝⎛⎭⎫1，3cos x 2，函数f (x )＝m ·n . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝23，求f ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝sin x 2＋3cos x 2＝2⎝⎛⎭⎫12sin x 2＋32cos x 2 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x 2cos π3＋cos x 2sin π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π12＝4π. (2)由f ⎝⎛⎭⎫α－2π3＝23，得2sin α2＝23，即sin α2＝13. 所以f ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝2cos α ＝2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2α2＝149. 3．(2017·江苏南师大考前模拟)已知△ABC 为锐角三角形，向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3，n ＝(cos B ，sin B )，并且m ⊥n .(1)求A －B ； (2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长． 解 (1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3cos B ＋sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π3sin B＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π3－B ＝0. 因为0<A ，B <π2，所以－π6<A ＋π3－B <5π6， 所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6. (2)因为cos B ＝35，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin B ＝45， 所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6＝sin B cos π6＋cos B sin π6＝45×32＋35×12＝43＋310， 由正弦定理可得BC ＝sin A sin B×AC ＝43＋3. 4．(2017·江苏镇江三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B .(1)求角A ；(2)若f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A )，求f (x )的单调递增区间．解 (1)由(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B 及正弦定理，得(a －c )(a ＋c )＝(b －3c )b ，即a 2＝b 2＋c 2－3bc . 由余弦定理，得cos A ＝32， 因为0<A <π，所以A ＝π6. (2)f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π6 ＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π32－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π32＝12cos 2x ， 令π＋2k π≤2x ≤2π＋2k π，k ∈Z ，得π2＋k π≤x ≤π＋k π，k ∈Z . 则f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤π2＋k π，π＋k π，k ∈Z .(二)函数与导数(2)1．设函数f (x )＝2(a ＋1)x (a ∈R )，g (x )＝ln x ＋bx (b ∈R )，直线y ＝x ＋1是曲线y ＝f (x )的一条切线．(1)求a 的值；(2)若函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点x 1，x 2.①试求b 的取值范围；②证明：g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12. 解 (1)设直线y ＝x ＋1与函数y ＝f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝2(a ＋1)x 0，a ＋1x 0＝1，解得a ＝0. (2)记h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )＝2x －ln x －bx .①函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点的必要条件是h ′(x )有两个正零点．h ′(x )＝1x －1x－b ＝－bx ＋x －1x ， 令h ′(x )＝0，得bx －x ＋1＝0(x >0)．令x ＝t ，则t >0.问题转化为bt 2－t ＋1＝0有两个不等的正实根t 1，t 2，等价于⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝1－4b >0，t 1t 2＝1b >0，t 1＋t 2＝1b >0，解得0<b <14. 当0<b <14时，设h ′(x )＝0的两正根为x 1，x 2，且x 1<x 2， 则h ′(x )＝－bx ＋x －1x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x (x ＋x 1)(x ＋x 2). 当x ∈(0，x 1)时，h ′(x )<0；当x ∈(x 1，x 2)时，h ′(x )>0；当x ∈(x 2，＋∞)时，h ′(x )<0. 所以x 1，x 2是h (x )＝f (x )－g (x )的极值点，∴b 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，14. ②由①知x 1x 2＝x 1＋x 2＝1b.可得g (x 1)＋g (x 2)＝－2ln b ＋1b －2，f (x 1)＋f (x 2)＝2b， 所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)＝12－b ln b －b . 记k (b )＝12－b ln b －b ⎝⎛⎭⎫0<b <14， 则k ′(b )＝－ln b －2，令k ′(b )＝0，得b ＝1e 2∈⎝⎛⎭⎫0，14， 且当b ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 2时，k ′(b )>0，k (b )单调递增； 当b ∈⎝⎛⎭⎫1e 2，14时，k ′(b )<0，k (b )单调递减，且当b ＝1e 2时，k (b )取最大值1e 2＋12， 所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12. 2．设函数f (x )＝2ax ＋b x＋c ln x . (1)当b ＝0，c ＝1时，讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6且函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2. ①求a 的取值范围；②求f (x 2)的取值范围．解 (1)f (x )＝2ax ＋b x＋c ln x ，x >0， f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2＋cx －b x 2. 当b ＝0，c ＝1时，f ′(x )＝2ax ＋1x. 当a ≥0时，由x >0，得f ′(x )＝2ax ＋1x>0恒成立， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，令f ′(x )＝2ax ＋1x >0，解得x <－12a； 令f ′(x )＝2ax ＋1x <0，解得x >－12a， 所以，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． 综上所述，①当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a <0时，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－12a上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－12a ，＋∞上单调递减． (2)①函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6，所以f (1)＝2a ＋b ＝3a －3，f ′(1)＝2a ＋c －b ＝3，所以b ＝a －3，c ＝－a ，f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2－ax ＋3－a x 2， 函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1<x 2，则方程2ax 2－ax ＋3－a ＝0有两个大于0的解，⎩⎨⎧ Δ＝(－a )2－8a (3－a )>0，a 2a >0，3－a 2a >0，解得83<a <3. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫83，3.②2ax 22－ax 2＋3－a ＝0，x 2＝a ＋9a 2－24a 4a ＝14⎝⎛⎭⎫1＋ 9－24a ， 由83<a <3，得x 2∈⎝⎛⎭⎫14，12， 由2ax 22－ax 2＋3－a ＝0，得a ＝－32x 22－x 2－1. f (x 2)＝2ax 2＋a －3x 2－a ln x 2 ＝a ⎝⎛⎭⎫2x 2＋1x 2－ln x 2－3x 2＝－32x 2＋1x 2－ln x 22x 22－x 2－1－3x 2. 设φ(t )＝－32t ＋1t －ln t 2t 2－t －1－3t ，t ∈⎝⎛⎭⎫14，12， φ′(t )＝－3⎝⎛⎭⎫2－1t 2－1t (2t 2－t －1)－⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t2 ＝－31t 2(2t 2－t －1)2＋3⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t 2＝3⎝⎛⎭⎫2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2. 当t ∈⎝⎛⎭⎫14，12时，2t ＋1t－ln t >0,4t －1>0，φ′(t )>0，所以φ(t )在⎝⎛⎭⎫14，12上单调递增，φ(t )∈⎝⎛⎭⎫163ln 2，3＋3ln 2， 所以f (x 2)的取值范围是⎝⎛⎭⎫163ln 2，3＋3ln 2. (二)立体几何1．(2017·江苏扬州调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为梯形，CD ∥AB ，AB ＝2CD ，AC 交BD 于O ，锐角△P AD 所在平面⊥底面ABCD ，P A ⊥BD ，点Q 在侧棱PC 上，且PQ ＝2QC .求证：(1)P A ∥平面QBD ；(2)BD ⊥AD .证明 (1)如图，连结OQ ，因为AB∥CD，AB＝2CD，所以AO＝2OC.又PQ＝2QC，所以P A∥OQ.又OQ⊂平面QBD，P A⊄平面QBD，所以P A∥平面QBD.(2)在平面P AD内过P作PH⊥AD于点H，因为侧面P AD⊥底面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PH⊂平面P AD，所以PH⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD，所以PH⊥BD.又P A⊥BD，P A∩PH＝P，所以BD⊥平面P AD.又AD⊂平面P AD，所以BD⊥AD.2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，E为PB上一点，G为PO的中点．(1)若PD∥平面ACE，求证：E为PB的中点；(2)若AB＝2PC，求证：CG⊥平面PBD.证明(1)连结OE，由四边形ABCD是正方形知，O为BD的中点，因为PD∥平面ACE，PD⊂平面PBD，平面PBD∩平面ACE＝OE，所以PD∥OE.因为O为BD的中点，所以E为PB的中点．(2)在四棱锥P－ABCD中，AB＝2PC，因为四边形ABCD是正方形，所以OC＝22AB，所以PC＝OC.因为G为PO的中点，所以CG⊥PO.又因为PC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以PC⊥BD.而四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，因为AC，PC⊂平面P AC，AC∩PC＝C，所以BD⊥平面P AC，因为CG⊂平面P AC，所以BD⊥CG.因为PO，BD⊂平面PBD，PO∩BD＝O，所以CG⊥平面PBD.3．(2017·江苏怀仁中学模拟)如图，在四棱锥E－ABCD中，△ABD为正三角形，EB＝ED，CB＝CD.(1)求证：EC⊥BD；(2)若AB⊥BC，M，N分别为线段AE，AB的中点，求证：平面DMN∥平面BCE.证明(1)取BD的中点O，连结EO，CO.∵CD＝CB，EB＝ED，∴CO⊥BD，EO⊥BD.又CO∩EO＝O，CO，EO⊂平面EOC，∴BD⊥平面EOC.又EC⊂平面EOC，∴BD⊥EC.(2)∵N是AB的中点，△ABD为正三角形，∴DN⊥AB，∵BC⊥AB，∴DN∥BC.又BC⊂平面BCE，DN⊄平面BCE，∴DN∥平面BCE.∵M为AE的中点，N为AB的中点，∴MN∥BE，又MN⊄平面BCE，BE⊂平面BCE，∴MN∥平面BCE.∵MN∩DN＝N，∴平面DMN∥平面BCE.4．(2017·江苏楚水中学质检)如图，在三棱锥P－ABC中，点E，F分别是棱PC，AC的中点．(1)求证：P A∥平面BEF；(2)若平面P AB⊥平面ABC，PB⊥BC，求证：BC⊥P A.证明(1)在△P AC中，E，F分别是棱PC，AC的中点，所以P A∥EF.又P A⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，所以P A∥平面BEF.(2)在平面P AB内过点P作PD⊥AB，垂足为D.因为平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，PD ⊂平面P AB ，所以PD ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BC ，又PB ⊥BC ，PD ∩PB ＝P ，PD ⊂平面P AB ，PB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ， 又P A ⊂平面P AB ，所以BC ⊥P A .(三)数 列(1)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝4，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知c n ＝2n ＋3(n ∈N *)，记d n ＝c n ＋log C a n (C >0且C ≠1)，是否存在这样的常数C ，使得数列{d n }是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由．(3)若数列{b n }，对于任意的正整数n ，均有b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋22成立，求证：数列{b n }是等差数列． (1)解 a 1＝4－a 1，所以a 1＝2，由S n ＋a n ＝4，得当n ≥2时，S n －1＋a n －1＝4， 两式相减，得2a n ＝a n －1，所以a n a n －1＝12，数列{a n }是以2为首项，公比为12的等比数列，所以a n ＝22－n (n ∈N *)． (2)解 由于数列{d n }是常数列， d n ＝c n ＋log C a n ＝2n ＋3＋(2－n )log C 2 ＝2n ＋3＋2log C 2－n log C 2＝(2－log C 2)n ＋3＋2log C 2为常数， 则2－log C 2＝0， 解得C ＝2，此时d n ＝7.(3)证明 b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1 ＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋22，①当n ＝1时，b 1a 1＝12－32＝－1，其中a 1＝2，所以b 1＝－12.当n ≥2时，b 1a n －1＋b 2a n －2＋b 3a n －3＋…＋b n －1a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －1－n ＋12，② ②式两边同时乘以12，得b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n －1a 2＝⎝⎛⎭⎫12n －n ＋14，③ 由①－③，得b n a 1＝－n －34，所以b n ＝－n 8－38(n ∈N *，n ≥2)，且b n ＋1－b n ＝－18，又b 1＝－12＝－18－38，所以数列{b n }是以－12为首项，公差为－18的等差数列．2．在数列{a n }中，已知a 1＝13，a n ＋1＝13a n －23n ＋1，n ∈N *，设S n 为{a n }的前n 项和．(1)求证：数列{3n a n }是等差数列； (2)求S n ；(3)是否存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列？若存在，求出p ，q ，r 的值；若不存在，说明理由．(1)证明 因为a n ＋1＝13a n －23n ＋1，所以3n ＋1a n ＋1－3n a n ＝－2. 又因为a 1＝13，所以31·a 1＝1，所以{3n a n }是首项为1，公差为－2的等差数列． (2)解 由(1)知3n a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝3－2n ，所以a n ＝(3－2n )⎝⎛⎭⎫13n，所以S n ＝1·⎝⎛⎭⎫131＋(－1)·⎝⎛⎭⎫132＋(－3)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ， 所以13S n ＝1·⎝⎛⎭⎫132＋(－1)·⎝⎛⎭⎫133＋…＋(5－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋1， 两式相减，得23S n ＝13－2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫133＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －(3－2n )·⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝13－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤19×1－⎝⎛⎭⎫13n －11－13＋(2n －3)·⎝⎛⎭⎫13n ＋1＝2n ·⎝⎛⎭⎫13n ＋1， 所以S n ＝n 3n .(3)解 假设存在正整数p ，q ，r (p <q <r )，使S p ，S q ，S r 成等差数列，则2S q ＝S p ＋S r ，即2q3q ＝p 3p ＋r 3r. 当n ≥2时，a n ＝(3－2n )⎝⎛⎭⎫13n<0，所以数列{S n }单调递减． 又p <q ，所以p ≤q －1且q 至少为2， 所以p 3p ≥q －13q －1，q －13q －1－2q 3q ＝q －33q .①当q ≥3时，p 3p ≥q －13q －1≥2q 3q ，又r 3r >0，所以p 3p ＋r 3r >2q3q ，等式不成立． ②当q ＝2时，p ＝1，所以49＝13＋r 3r ，所以r 3r ＝19，所以r ＝3({S n }单调递减，解惟一确定)． 综上可知，p ，q ，r 的值为1,2,3.(三)应用题1．已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内(含7天)，无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．(1)当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P 是多少元？(2)设该厂x 天购买一次配料，求该厂在这x 天中用于配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？ 解 (1)当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用 P ＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．(2)①当x ≤7时，y ＝360x ＋10x ＋236＝370x ＋236，②当x >7时，y ＝360x ＋236＋70＋6[(x －7)＋(x －6)＋…＋2＋1]＝3x 2＋321x ＋432，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧370x ＋236，x ≤7，3x 2＋321x ＋432，x >7，∴设该厂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为f (x )元．f (x )＝⎩⎨⎧370x ＋236x，x ≤7，3x 2＋321x ＋432x，x >7.当x ≤7时，f (x )＝370＋236x ，当且仅当x ＝7时，f (x )有最小值2 8267≈404(元)；当x ＞7时，f (x )＝3x 2＋321x ＋432x ＝3⎝⎛⎭⎫x ＋144x ＋321≥393.当且仅当x ＝12时取等号．∵393<404，∴当x ＝12时f (x )有最小值393元．2．南半球某地区冰川的体积每年中随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年的数据，冰川的体积(亿立方米)关于t 的近似函数的关系式为V (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 3＋11t 2－24t ＋100，0<t ≤10，4(t －10)(3t －41)＋100，10<t ≤12.(1)该冰川的体积小于100亿立方米的时期称为衰退期．以i －1<t <i 表示第i 月份(i ＝1,2，…，12)，问一年内哪几个月是衰退期？ (2)求一年内该地区冰川的最大体积．解 (1)当0<t ≤10时，V (t )＝－t 3＋11t 2－24t ＋100<100，化简得t 2－11t ＋24>0，解得t <3或t >8.又0<t ≤10，故0<t <3或8<t ≤10，当10<t ≤12时，V (t )＝4(t －10)(3t －41)＋100<100， 解得10<t <413，又10<t ≤12，故10<t ≤12.综上得0<t <3或8<t ≤12.所以衰退期为1月，2月，3月，9月，10月，11月，12月共7个月． (2)由(1)知，V (t )的最大值只能在(3,9)内取到．由V ′(t )＝(－t 3＋11t 2－24t ＋100)′＝－3t 2＋22t －24， 令V ′(t )＝0，解得t ＝6或t ＝43(舍去)．当t 变化时，V ′(t )与V (t )的变化情况如下表：由上表，V (t )在t ＝6时取得最大值V (6)＝136(亿立方米)． 故该冰川的最大体积为136亿立方米．3．如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB .位于该市的某大学M 与市中心O 的距离OM ＝313 km ，且∠AOM ＝β.现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M .其中tan α＝2，cos β＝313，AO ＝15 km.(1)求大学M 与站A 的距离AM ； (2)求铁路AB 段的长AB .解 (1)在△AOM 中，AO ＝15，∠AOM ＝β且cos β＝313，OM ＝313， 由余弦定理，得AM 2＝OA 2＋OM 2－2OA ·OM ·cos ∠AOM ＝152＋(313)2－2×15×313×313＝13×9＋15×15－2×3×15×3＝72.∴AM ＝62，即大学M 与站A 的距离(2)∵cos β＝313，且β为锐角，∴sin β＝213， 在△AOM 中，由正弦定理，得AM sin β＝OMsin ∠MAO ，即62213＝313sin ∠MAO ，sin ∠MAO ＝22， ∴∠MAO ＝π4，∴∠ABO ＝α－π4，∵tan α＝2，∴sin α＝25，cos α＝15， ∴sin ∠ABO ＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝110， 又∠AOB ＝π－α，∴sin ∠AOB ＝sin(π－α)＝25. 在△AOB 中，OA ＝15，由正弦定理，得 AB sin ∠AOB ＝OA sin ∠ABO，即AB 25＝15110，∴AB ＝302，即铁路AB 段的长为30 2 km.4．(2017·江苏苏州大学指导卷)如图，某地区有一块长方形植物园ABCD ，AB ＝8(百米)，BC ＝4(百米)．植物园西侧有一块荒地，现计划利用该荒地扩大植物园面积，使得新的植物园为HBCEFG ，满足下列要求：E 在CD 的延长线上，H 在BA 的延长线上，DE ＝0.5(百米)，AH ＝4(百米)，N 为AH 的中点，FN ⊥AH ，EF 为曲线段，它上面的任意一点到AD 与AH 的距离的乘积为定值，FG ，GH 均为线段，GH ⊥HA ，GH ＝0.5(百米)．(1)求四边形FGHN 的面积；(2)已知音乐广场M 在AB 上，AM ＝2(百米)，若计划在EFG 的某一处P 开一个植物园大门，在原植物园ABCD 内选一点Q 为中心建一个休息区，使得QM ＝PM ，且∠QMP ＝90°，问点P 在何处时，AQ 最小．解 (1)以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系如图所示．则E ⎝⎛⎭⎫－12，4，因为E 到AD 与AH 距离的乘积为2， 所以曲线EF 上的任意一点都在函数y ＝－2x 的图象上．由题意，N (－2,0)，所以F (－2,1)．四边形FGHN 的面积为12×⎝⎛⎭⎫12＋1×2＝32(平方百米)． (2)设P (x ，y )，则MP →＝(x －2，y )，MQ →＝(y ，－x ＋2)，AQ →＝(y ＋2，－x ＋2)，因为点Q 在原植物园内，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤y ＋2≤8，0≤2－x ≤4，即－2≤x ≤2.又点P 在曲线EFG 上，x ∈⎣⎡⎦⎤－4，－12， 所以－2≤x ≤－12，则点P 在曲线段EF 上，AQ ＝(y ＋2)2＋(2－x )2， 因为y ＝－2x ，所以AQ ＝⎝⎛⎭⎫－2x ＋22＋(2－x )2＝ x 2＋4x 2－4x －8x＋8＝⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2－4⎝⎛⎭⎫x ＋2x ＋4＝⎝⎛⎭⎫x ＋2x －22＝－x ＋2－x＋2≥22＋2. 当且仅当－x ＝－2x，即x ＝－2时等号成立．此时点P (－2，2)，即点P 在距离AD 与AH 均为2百米时，AQ 最小．(四)解析几何1．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1x 2≠0)，O 是坐标原点，P 是线段AB 的中点，若C 是点A 关于原点的对称点，Q 是线段BC 的中点，且OP ＝OQ ，设圆P 的方程为x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0.(1)证明：线段AB 是圆P 的直径；(2)若存在正数p 使得2p (x 1＋x 2)＝y 21＋y 22＋8p 2＋2y 1y 2成立，当圆P 的圆心到直线x －2y ＝0的距离的最小值为255时，求p 的值．(1)证明 由题意知，点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，点A (x 1，y 1)关于原点的对称点为C (－x 1，－y 1)，那么点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫－x 1＋x 22，－y 1＋y 22，由OP ＝OQ ，得OP 2＝OQ 2， 即⎝⎛⎭⎫x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222＝⎝⎛⎭⎫－x 1＋x 222＋⎝⎛⎭⎫－y 1＋y 222，得(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， 从而x 1x 2＋y 1y 2＝0，由此得OA ⊥OB ，由方程x 2＋y 2－(x 1＋x 2)x －(y 1＋y 2)y ＝0知，圆P 过原点，且点A ，B 在圆P 上， 故线段AB 是圆P 的直径．(2)解 由2p (x 1＋x 2)＝y 21＋y 22＋8p 2＋2y 1y 2，得x 1＋x 2＝12p [(y 1＋y 2)2＋8p 2]，又圆心P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22到直线x －2y ＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪x 1＋x 22－(y 1＋y 2)5＝⎪⎪⎪⎪14p [(y 1＋y 2)2＋8p 2]－(y 1＋y 2)5＝[(y 1＋y 2)－2p ]2＋4p 245p ≥4p 245p，当且仅当y 1＋y 2＝2p 时，等号成立，所以4p 245p ＝255，从而得p ＝2.2.如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，O 是坐标原点，OF ＝5，过点F 作OF 的垂线交椭圆C 于P 0，Q 0两点，△OP 0Q 0的面积为453.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点M (－5，0)的直线l 与上、下半椭圆分别交于点P ，Q ，且PM ＝2MQ ，求直线l 的方程．解 (1)由题设条件，P 0F ＝00OP Q S OF∆＝4535＝43.易知P 0F ＝b 2a ，所以b 2a ＝43.又c ＝OF ＝5，即a 2－b 2＝5，因此a 2－43a －5＝0，解得a ＝3或a ＝－53，又a >0，所以a ＝3，从而b ＝2. 故所求椭圆的标准方程为x 29＋y 24＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意y 1>0，y 2<0， 并可设直线l ：x ＝ty －5， 代入椭圆方程得(ty －5)29＋y 24＝1，即(4t 2＋9)y 2－85ty －16＝0. 从而y 1＋y 2＝85t 4t 2＋9，y 1y 2＝－164t 2＋9.又由PM ＝2MQ ，得y 1－y 2＝PMMQ＝2，即y 1＝－2y 2.因此y 1＋y 2＝－y 2，y 1y 2＝－2y 22， 故－164t 2＋9＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 4t 2＋92，可解得t 2＝14.注意到y 2＝－85t 4t 2＋9且y 2<0，知t >0，因此t ＝12.故满足题意的直线l 的方程为2x －y ＋25＝0.3.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，直线l ：y ＝－12x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB ＝210，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点P ，直线AD ，BC 相交于点Q .(1)求椭圆E 的标准方程； (2)求证：直线PQ 的斜率为定值． (1)解 因为e ＝c a ＝32，所以c 2＝34a 2，即a 2－b 2＝34a 2，所以a ＝2b .所以椭圆方程为x 24b 2＋y 2b2＝1.由题意不妨设点A 在第二象限，点B 在第四象限，由⎩⎨⎧y ＝－12x ，x 24b 2＋y2b 2＝1，得A (－2b ，22b )． 又AB ＝210，所以OA ＝10， 则2b 2＋12b 2＝52b 2＝10，得b ＝2，a ＝4.所以椭圆E 的标准方程为x 216＋y 24＝1.(2)证明 由(1)知，椭圆E 的方程为x 216＋y 24＝1，A (－22，2)，B (22，－2)．①当直线CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在，且不为零时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C (x 0，y 0)，显然k 1≠k 2.从而k 1·k CB ＝y 0－2x 0＋22·y 0＋2x 0－22＝y 20－2x 20－8＝4⎝⎛⎭⎫1－x 2016－2x 20－8＝2－x 204x 20－8＝－14，所以k CB ＝－14k 1.同理k DB ＝－14k 2.所以直线AD 的方程为y －2＝k 2(x ＋22)，直线BC 的方程为y ＋2＝－14k 1(x －22)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝－14k 1(x －22)，y －2＝k 2(x ＋22)， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，y ＝2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1，从而点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1，2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1.用k 2代替k 1，k 1代替k 2得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1，2(－4k 1k 2＋4k 1＋1)4k 1k 2＋1.所以k PQ ＝2(－4k 1k 2＋4k 2＋1)4k 1k 2＋1－2(－4k 1k 2＋4k 1＋1)4k 1k 2＋122(－4k 1k 2－4k 1＋1)4k 1k 2＋1－22(－4k 1k 2－4k 2＋1)4k 1k 2＋1＝42(k 2－k 1)82(k 2－k 1)＝12.即直线PQ 的斜率为定值，其定值为12.②当直线CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，由题意得，至多有一条直线的斜率不存在，不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (－22，－2)． 设DA 的斜率为k ，由①知，k DB ＝－14k.因为直线CA ：x ＝－22，直线DB ：y ＋2＝－14k (x －22)，得P ⎝⎛⎭⎫－22，－2＋2k . 又直线BC ：y ＝－2，直线AD ：y －2＝k (x ＋22)， 得Q ⎝⎛⎭⎫－22－22k ，－2， 所以k PQ ＝12.由①②可知，直线PQ 的斜率为定值，其定值为12.4．(2017·江苏预测卷)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，右准线的方程为x ＝433.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点P ⎝⎛⎭⎫12，2，过x 轴上的一个定点M 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若三条直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列，求点M 的坐标． 解 (1)因为椭圆的离心率为32，右准线的方程为x ＝433， 所以e ＝c a ＝32，a 2c ＝433，则a ＝2，c ＝3，b ＝1，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m,0)，当直线l 为y ＝0时，A (－2,0)，B (2,0)， P A ，PM ，PB 的斜率分别为 k P A ＝45，k PM ＝41－2m，k PB ＝－43，因为直线P A ，PM ，PB 的斜率成等差数列， 所以81－2m ＝45－43，m ＝8.证明如下：当M (8,0)时，直线P A ，PM ，PB 的斜率构成等差数列， 设AB ：y ＝k (x －8)，代入椭圆方程x 2＋4y 2－4＝0， 得x 2＋4k 2(x －8)2－4＝0，即(1＋4k 2)x 2－64k 2x ＋256k 2－4＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝64k 21＋4k 2，x 1x 2＝256k 2－41＋4k 2，又k PM ＝0－28－12＝－415， 所以k P A ＋k PB ＝y 1－2x 1－12＋y 2－2x 2－12＝kx 1－8k －2x 1－12＋kx 2－8k －2x 2－12＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－12＋1x 2－12 ＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －2(x 1＋x 2)－1x 1x 2－12(x 1＋x 2)＋14＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －264k 21＋4k 2－1256k 2－41＋4k 2－12×64k 21＋4k 2＋14＝2k ＋⎝⎛⎭⎫－152k －260k 2－1154(60k 2－1)＝－815＝2k PM ，即证． (四)数 列(2)1．已知{a n }，{b n }，{c n }都是各项不为零的数列，且满足a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，{c n }是公差为d (d ≠0)的等差数列． (1)若数列{a n }是常数列，d ＝2，c 2＝3，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＝λn (λ是不为零的常数)，求证：数列{b n }是等差数列；(3)若a 1＝c 1＝d ＝k (k 为常数，k ∈N *)，b n ＝c n ＋k (n ≥2，n ∈N *)，求证：对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减．(1)解 因为d ＝2，c 2＝3，所以c n ＝2n －1. 因为数列{a n }是各项不为零的常数列， 所以a 1＝a 2＝…＝a n ，S n ＝na 1.则由c n S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 及c n ＝2n －1，得 n (2n －1)＝b 1＋b 2＋…＋b n ，当n ≥2时，(n －1)(2n －3)＝b 1＋b 2＋…＋b n －1， 两式相减得b n ＝4n －3.当n ＝1时，b 1＝1也满足b n ＝4n －3. 故b n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)证明 因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝c n S n ， 当n ≥2时，c n －1S n －1＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1， 两式相减得c n S n －c n －1S n －1＝a n b n ， 即(S n －1＋a n )c n －S n －1c n －1＝a n b n ， S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ， 所以S n －1d ＋λnc n ＝λnb n .又S n －1＝λ＋λ(n －1)2(n －1)＝λn (n －1)2，所以λn (n －1)2d ＋λnc n ＝λnb n ，即(n －1)2d ＋c n ＝b n ，(*) 所以当n ≥3时，(n －2)2d ＋c n －1＝b n －1，两式相减得b n －b n －1＝32d (n ≥3)，所以数列{b n }从第二项起是公差为32d 的等差数列．又当n ＝1时，由c 1S 1＝a 1b 1，得c 1＝b 1. 当n ＝2时，由(*)得b 2＝(2－1)2d ＋c 2＝12d ＋(c 1＋d )＝b 1＋32d ，得b 2－b 1＝32d .故数列{b n }是公差为32d 的等差数列．(3)证明 由(2)得当n ≥2时，S n －1(c n －c n －1)＋a n c n ＝a n b n ，即S n －1d ＝a n (b n －c n )． 因为b n ＝c n ＋k ，所以b n ＝c n ＋kd ， 即b n －c n ＝kd ， 所以S n －1d ＝a n ·kd ， 即S n －1＝ka n ，所以S n ＝S n －1＋a n ＝(k ＋1)a n . 当n ≥3时，S n －1＝(k ＋1)a n －1， 两式相减得a n ＝(k ＋1)a n －(k ＋1)a n －1， 即a n ＝k ＋1k a n －1，故从第二项起数列{a n }是等比数列， 所以当n ≥2时，a n ＝a 2⎝⎛⎭⎫k ＋1k n －2，b n ＝c n ＋k ＝c n ＋kd ＝c 1＋(n －1)k ＋k 2＝k ＋(n －1)k ＋k 2＝k (n ＋k )， 另外由已知条件得(a 1＋a 2)c 2＝a 1b 1＋a 2b 2. 又c 2＝2k ，b 1＝k ，b 2＝k (2＋k )， 所以a 2＝1，因而a n ＝⎝⎛⎭⎫k ＋1k n －2.令d n ＝b na n ，则d n ＋1d n ＝b n ＋1a n a n ＋1b n ＝(n ＋k ＋1)k (n ＋k )(k ＋1).因为(n ＋k ＋1)k －(n ＋k )(k ＋1)＝－n <0， 所以d n ＋1d n<1，所以对任意的n ≥2，n ∈N *，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 单调递减．2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a 2＝2，设b n ＝a n ＋a n ＋1，c n ＝a n ·a n ＋1(n ∈N *)． (1)若数列{b 2n －1}是公比为3的等比数列，求S 2n ； (2)若数列{b n }是公差为3的等差数列，求S n ；(3)是否存在这样的数列{a n }，使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立，若存在，求出{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由． 解 (1)b 1＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 3＋…＋b 2n －1＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32.(2)∵b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＝3，∴{a 2k －1}，{a 2k }均是公差为3的等差数列，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·3＝3k －2，a 2k ＝a 2＋(k －1)·3＝3k －1，当n ＝2k (k ∈N *)时，S n ＝S 2k ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2k －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2k )＝k (1＋3k －2)2＋k (2＋3k －1)2＝3k 2＝3n 24；当n ＝2k －1(k ∈N *)时，Sn ＝S 2k －1＝S 2k －a 2k ＝3k 2－3k ＋1＝3×⎝⎛⎭⎫n ＋122－3·n ＋12＋1＝3n 2＋14.综上可知，S n＝⎩⎨⎧3n 24，n ＝2k ，k ∈N *，3n 2＋14，n ＝2k －1，k ∈N *.(3)∵{b n }成等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，即2(a 2＋a 3)＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)，a 2＋a 3＝a 1＋a 4，① ∵{c n }成等比数列，∴c 22＝c 1c 3. 即(a 2a 3)2＝(a 1a 2)·(a 3a 4)， ∵c 2＝a 2a 3≠0，∴a 2a 3＝a 1a 4，②由①②及a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝1，a 4＝2，设{b n }的公差为d ，则b n ＋1－b n ＝(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝d ，即a n ＋2－a n ＝d ，即数列{a n }的奇数项和偶数项都构成公差为d 的等差数列， 又d ＝a 3－a 1＝a 4－a 2＝0， ∴数列{a n }＝1,2,1,2,1,2，…，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *.此时c n ＝2，{c n }是公比为1的等比数列，满足题意．∴存在数列{a n }，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝2k －1，k ∈N *，2，n ＝2k ，k ∈N *， 使得{b n }成等差数列和{c n }成等比数列同时成立．高考附加题加分练 1.矩阵与变换1．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 0，点A (1,0)在矩阵M 对应的变换作用下变为A ′(1,2)，求矩阵M 的逆矩阵M －1. 解 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， ∴a ＝1，b ＝2.∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 120，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 121 －12.2．(2017·江苏徐州一中检测)已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程．解 设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0， 设P (x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P (x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2y ′ x ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝y ，y ′＝－12x .又点P (x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12x 上，∴⎝⎛⎭⎫－12x 2＝12y ，即x 2＝2y .3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量． 解 矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4.因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1. 由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1. 设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，得x ＝－y . 令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.4．(2017·江苏江阴中学质检)若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．解 M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0.由M －1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－10. 2.坐标系与参数方程1．(2017·江苏兴化中学调研)已知曲线C 1的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－1，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4，判断两曲线的位置关系． 解 将曲线C 1，C 2化为直角坐标方程，得 C 1：x ＋3y ＋2＝0，C 2：x 2＋y 2－2x －2y ＝0， 即C 2：(x －1)2＋(y －1)2＝2. 圆心到直线的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝∴曲线C 1与C 2相离．2．(2017·江苏金坛一中期中)已知在极坐标系下，圆C ：ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π2与直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2，点M 为圆C 上的动点，求点M 到直线l 的距离的最大值． 解 圆C 化为直角坐标方程，得x 2＋(y ＋1)2＝1. 直线l 化为直角坐标方程，得x ＋y ＝2. 圆心C 到直线l 的距离d ＝|－1－2|2＝322，所以点M 到直线l 的距离的最大值为1＋322.3．已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝m ＋2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，m 为常数． (1)当m ＝0时，求线段AB 的长；(2)当圆C 上恰有三点到直线的距离为1时，求m 的值． 解 (1)直线l ：x ＋y －1＝0，曲线C ：x 2＋y 2＝4， 圆心到直线的距离d ＝12， 故AB ＝2r 2－d 2＝14.(2)圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －m )2＝4， 直线l ：x ＋y －1＝0，由题意，知圆心到直线的距离d ＝|m －1|2＝1，∴m ＝1± 2.4．(2017·江苏昆山中学质检)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x 轴的正半轴重合．曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝3，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3t ，y ＝1＋t(t 为参数，t ∈R )．试在曲线C 上求一点M ，使它到直线l 的距离最大． 解 曲线C 的普通方程是x 23＋y 2＝1，直线l 的普通方程是x ＋3y －3＝0.设点M 的直角坐标是(3cos θ，sin θ)，则点M 到直线l 的距离是d ＝|3cos θ＋3sin θ－3|2＝3⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－12.因为－2≤2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4≤2，所以当sin ⎝⎛⎭⎫ θ＋π4＝－1，即θ＝2k π－3π4(k ∈Z )时，d 取得最大值．此时3cos θ＝－62，sin θ＝－22. 设点M 的极角为φ，则⎩⎨⎧ρcos φ＝－62，ρsin φ＝－22，所以⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2，φ＝7π6. 综上，当点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，7π6时，该点到直线l 的距离最大． 3.空间向量与立体几何1．(2017·江苏南通中学月考)如图，已知三棱锥O －ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝OC ＝2，E 是OC 的中点．(1)求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； (2)求二面角A －BE －C 的正弦值．解 (1)以O 为原点，分别以OB ，OC ，OA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,1)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，E (0,1,0)． EB →＝(2，－1,0)，AC →＝(0,2，－1)， ∴cos 〈EB →，AC →〉＝－25，即异面直线BE 与AC 所成角的余弦值为25.(2)AB →＝(2,0，－1)，AE →＝(0,1，－1)， 设平面ABE 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则由n 1⊥AB →，n 1⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝0，y －z ＝0，取n 1＝(1,2,2)， 平面BEC 的法向量为n 2＝(0,0,1)， ∴cos 〈n 1，n 2〉＝23，∴二面角A －BE －C 的余弦值cos θ＝23，∴sin θ＝53， 即二面角A －BE －C 的正弦值为53.2．(2017·江苏宜兴中学质检)三棱柱ABC －A 1B 1C 1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB ＝2，AC ＝4，AA 1＝3，D 是BC 的中点．(1)求直线DB 1与平面A 1C 1D 所成角的正弦值； (2)求二面角B 1－A 1D －C 1的正弦值．解 (1)由题意知，B (2,0,0)，C (0,4,0)，D (1,2,0)，A 1(0,0,3)，B 1(2,0,3)，C 1(0,4,3)，则A 1D →＝(1,2，－3)，A 1C 1→＝(0,4,0)，DB 1→＝(1，－2,3)． 设平面A 1C 1D 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 由n ·A 1D →＝x ＋2y －3z ＝0，n ·A 1C 1→＝4y ＝0， 得y ＝0，x ＝3z ，令z ＝1，得x ＝3，n ＝(3,0,1)．设直线DB 1与平面A 1C 1D 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos 〈DB 1→，n 〉|＝|3＋3|10×14＝33535.(2)设平面A 1B 1D 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )，A 1B 1→＝(2,0,0)． 由m ·A 1D →＝a ＋2b －3c ＝0，m ·A 1B 1→＝2a ＝0， 得a ＝0,2b ＝3c ，令c ＝2，得b ＝3，m ＝(0,3,2)． 设二面角B 1－A 1D －C 1的大小为α， |cos α|＝|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝265， sin α＝3765＝345565.所以二面角B 1－A 1D －C 13．(2017·江苏运河中学质检)PCD ⊥底面ABCD ，PD ⊥CD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，∠ADC ＝π2，AB ＝AD ＝PD ＝1，CD ＝2.设Q 为侧棱PC 上一点，PQ →＝λPC →.试确定λ的值，使得二面角Q －BD －P 为π4.解 因为侧面PCD ⊥底面ABCD ， 平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，PD ⊥CD ， 所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD ⊥AD ， 又∠ADC ＝π2，故DA ，DC ，DP 两两互相垂直．如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,2,0)，P (0,0,1)，则平面PBD 的一个法向量为n ＝(－1,1,0)，PC →＝(0,2，－1)，PQ →＝λPC →，λ∈(0,1)， 所以Q (0,2λ，1－λ)．设平面QBD 的一个法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由m ·BD →＝0，m ·DQ →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，2λb ＋(1－λ)c ＝0， 所以取b ＝1，得m ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，2λλ－1，所以cos π4＝|m ·n ||m ||n |，即22·2＋⎝⎛⎭⎫2λλ－12＝22. 注意到λ∈(0,1)，解得λ＝2－1.4．在三棱锥S －ABC 中，底面是边长为23的正三角形，点S 在底面ABC 上的射影O 是AC 的中点，侧棱SB 和底面成45°角．(1)若D 为棱SB 上一点，当SDDB为何值时，CD ⊥AB ； (2)求二面角S －BC －A 的余弦值的大小．解 以O 点为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OS 为z 轴建立空间直角坐标系． 由题意知∠SBO ＝45°，SO ＝3.。
数列、导数、解析几何大题综合练习(含答案)
1、已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1=2a n +1(n∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若数列{b n }满足112144--b b (1)4-n b =n bn a )1(+(n∈N *),证明{b n }是等差数列;(3)证明2n -31＜21a a +32a a +…+1+n n a a ＜2n (n∈N *).2、设n S 为数列}{n a 的前n 项和，对任意的∈n N *，都有()1n n S m ma =+-m (为常数，且0)m >．（1）求证：数列}{n a 是等比数列；（2）设数列}{n a 的公比()m f q =，数列{}n b 满足()1112,n n b a b f b -== (2n ≥，∈n N *)，求数列{}n b 的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求数列12n n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．3、已知函数)0,()(≠+=a b a bax xx f 为常数且满足1)2(=f 且x x f =)(有唯一解。
（1）求)(x f 的表达式 ；（2）记)1)((1>∈=-n N n x f x n n 且，且1x ＝()f 1，求数列{}n x 的通项公式。
（3）记 1n y +⋅=n n x x ，数列｛n y ｝的前 n 项和为 n S ，求证 34<n S4、已知数列}{n a ，其前n 项和S n 满足λλ(121+=+n n S S 是大于0的常数），且a 1=1，a 3=4. （1）求λ的值；（2）求数列}{n a 的通项公式a n ；（3）设数列}{n na 的前n 项和为T n ，试比较2nT 与S n 的大小.5、已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(,数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S -1-n S =n S +1+n S （2n ≥）.（1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >20091000的最小正整数n 是多少? .6、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ，，其中0λ>．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；（Ⅲ）证明存在k *∈N ，使得11n k nk a a a a ++≤对任意n *∈N 均成立．7、已知{}n a 是等差数列,其前n 项和为n S .已知24=a ,205=S . (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设n n a a a T +++=...21,求n T ;(3)设)()12(1*∈-=N n a n b n n ,n n b b b R +++=...21,是否存在最大的整数m ,使得对任意*∈N n ,均有32m R n >成立?若存在,求出m 值;若不存在,请说明理由.8、设数列).(3,3,3}{},{*111N n n P P P b b P b n n n n nn n n ∈+===++且满足 （1）求数列}{n b 的通项公式；（2）若存在实数t ，使得数列})21({,1)41(n C n n n C n n t b C ⋅++⋅-=记数列成等差数列的前n 项和为n T ，证明：3(1)nn n T b -<（3）设25,}{,)1(1<+=n n n n n S S n A T n n A 求证项和为的前数列9、已知数列｛n a ｝中，11122n n a n a a +=-、点（、）在直线y=x 上，其中n=1,2,3… (Ⅰ)令11,n n n b a a +=--求证{}n b 是等比数列；(Ⅱ)求数列{}的通项；n a(Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列？若存在，试求出λ 若不存在,则说明理由10、已知各项均为正数的数列{n a }前n 项和满足1>n S ，且*),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=（1）求{n a }的通项公式； （2）设数列{n b }满足1)12(=-nb n a ，并记n T 为{n b }的前n 项和，求证：*2),3(log 13N n a T n n ∈+>+11、已知函数32()3f x x ax x =--.(1)若()f x 在区间[1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若13x =-是()f x 的极值点，求()f x 在[1,]a 上的最大值；(3)在(2)的条件下，是否存在实数b ，使得函数()g x bx =的图象与函数()f x 的图象恰有3个交点？若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，试说明理由．12、已知函数(),()2ln mf x mxg x x x=-=. （1）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）当m=1时，求方程f(x)=g(x)实数根个数 ；（3）若(1,]x e ∈时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围.13、设函数()xe f x x=(1) 求函数()f x 的单调区间；(2) 若0k >，求不等式'()(1)()0f x k x f x +->的解集．14、设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )＜1a对任意x ＞0成立．15、已知ln ()ln ,(0,],()xf x ax x x eg x x=-∈=，其中e 是自然常数，a R ∈． （1）讨论1a =时, ()f x 的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，1()()2f xg x >+； （3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.16、已知函数2(2)()().xx x x e f x g x e e-==, （Ⅰ） 求函数()f x 的极值；（Ⅱ） 求证：当1x >时，()()f x g x >；（Ⅲ） 如果21x x <，且12()()f x f x =，求证：12()(2)f x f x >-．17、设函数()e xf x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!nn x x x g x x n =+++++L （*n ∈N ）． （1）证明：()f x 1()g x ≥；（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；（3）证明：()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤L （*n ∈N ）．18、设a ＞0，讨论函数f (x )＝ln x ＋a (1－a )x 2－2(1－a )x 的单调性．19、设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠． （Ⅰ）当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数()f x 的极值点；（Ⅲ）证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n n n⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．20、已知函数f (x )=ln(1+x )-x 1 （Ⅰ）求f (x )的单调区间；（Ⅱ）记f (x )在区间[]0,n （n ∈N*）上的最小值为b n 令a n =ln(1+n )-b n .（i ）如果对一切n，不等式<恒成立，求实数c 的取值范围；(ⅱ)求证：1313211224242 1.n na a a a a a a a a a a a -+++<21、已知定点A （-l ，0），动点B 是圆F ：（x-1）2+y 2=8（F 为圆心）上一点，线段AB 的垂直平分线交线段BF 于点P ． （I ）求动点P 的轨迹方程；（II ）是否存在过点E （0，2）的直线l 交动点P 的轨迹于点R 、T ，且满足OR • OT =0（O 为原点），若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．22、设圆C 与两圆2222(4,(4x y x y ++=+=中的一个内切，另一个外切。
理科数学数列 函数 解析几何 后三道大题专项训练 及答案 8
湖北省教育考试院 保留版权 数学（理工类） 第1页（共6页）八18．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足：23||10a a -=，123125a a a =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由. 21．（本小题满分13分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别 为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从 大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S . （Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．第21题图第2页（共6页）22．（本小题满分14分）设n 是正整数，r 为正有理数.（Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值； （Ⅱ）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++； （Ⅲ）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥.令S S ⎡⎤⎢⎥的值.（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）第3页（共6页）18．（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩ 解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 或15,1.a q =-⎧⎨=-⎩ 故1533n n a -=⋅，或15(1)n n a -=-⋅-.（Ⅱ）若1533n n a -=⋅，则1131()53n n a -=⋅，故1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]111031013m mm n na =⋅-==⋅-<<-∑. 若1(5)(1)n n a -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--，故1{}n a 是首项为15-，公比为1-的等比数列，从而11,21(),1502().mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑N N , 故111mn n a =<∑.综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑.故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥ 成立. 21．依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=. 其中0a m n >>>， 1.mnλ=>（Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则 111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =. 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-， 于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=. 解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-；111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=.第4页（共6页）所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--. 若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=. 由1λ>，可解得1λ=. 故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=.（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=. 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是||1||1AD BC λλ+=-. ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x，B x =.根据对称性可知C B x x =-，D A x x =-，于是第21题解答图1第21题解答图2第5页（共6页）2||||2A Bx AD BC x === ② 从而由①和②式可得1(1)λλλ+-. ③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-.因为0k ≠，所以20k >. 于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，等价于2221(1)()0t t λ--<. 由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>当11λ<≤l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=. 解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=. 根据对称性， 不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则因为1d ==，2d ==12d d =.又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==.因为||||A B A B x x BD AB x x λ+===-，所以11A Bx x λλ+=-.由点(,)A A A x kx ，(,)B B B x kx 分别在C 1，C 2上，可得222221A A x k x a m +=，222221B B x k x a n +=，两式相减可得22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22AB x x >. 所以由上式解得22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-.因为20k >，所以由2222222()0()A B B A m x x a x x λ->-，可解得1A Bx x λ<<.从而111λλλ+<<-，解得1λ>当11λ<≤l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=.22．第6页（共6页）（Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =.当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数； 当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数.故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x >-且0x ≠时，有1(1)1(1)r x r x ++>++. ①在①中，令1x n =（这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r n n+++>+. 上式两边同乘1r n +，得11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即 11(1).1r r rn n n r +++-<+ ②当1n >时，在①中令1x n =-（这时1x >-且0x ≠），类似可得11(1).1r r rn n n r ++-->+ ③且当1n =时，③也成立. 综合②，③得1111(1)(1).11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++ ④（Ⅲ）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得44443333338180(8281)44-<-（），44443333338281(8382)44--（），44443333338382(8483)44-<<-（）， ………4444333333125124(126125)44-<-（）. 将以上各式相加，并整理得 444433333312580(12681)44S -<<-（）. 代入数据计算，可得4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）.由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥.。
高三数列专题练习30道带答案(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】高三数列专题训练二学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =．（1）求数列{}n a 的通项公式； 若对任意*n N ∈，不等式恒成立，求λ的取值范围． n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =，24b a =，313b a =． 的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ；的前n 项和为n T ，求n T ．5的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-=．（1（2满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式；（3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n项和n T ．6．已知差数列等{}n a 的前n 项和n S ，且对于任意的正整数n 满（1）求数列{}n a 的通项公式；（2求数列{}n b 的前n 项和n B .7．对于数列}{n a 、}{n b ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，且n a S n S n n n ++=+-+)1(1，111==b a ，231+=+n n b b ，*∈N n .（1（2，求数列}{n c 的前n 项和n T . 8．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 前n 项和为n S ，且1210n n S S n +---=（*n ∈N ）.（Ⅰ） 求证：数列{1}na +为等比数列；（Ⅱ） 令n n b na =，求数列{}n b 的前n项和nT . 10．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，的前n 项和n T ．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,2121,2n n n a S a a ==+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2na nb =,求13521...n b b b b +++++．12．设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1n n b a ++=求{}n b 的前n 项和n T ． 13．是等比数列，满足数列{}n b 满足144,22b b ==，且（I （II 1412n n a -++=（1（2，求数列{}n b 的前n 项和n S . 15满足12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列．（1（2，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列的的前n 项和n T . 满足21=a ，11=b ，n n a a 21=+（*∈N n ），（*∈N n ）. ）求n a 与n b ；（2）记数列}{n n b a 的前n 项和为，求n T .18．已知数列}{n a 中，21=a ，数列}{n b 中，其中*∈N n . （1（2）设n S 是数列的前n 项和，求19．已知各项均为正数的数n S ,满足2123724,1,,n n a S n a a a +=++-恰为等比数列（1）求数列 {}n a ,{}n b 的通项公式；（2的前n 项和为n T . 20公比1q < （1（2T n ，若对于任数m 21．已知等差数列{}n a 满足：25a =,前4项和428S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()1n n n b a =-,求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．22．已知公差不为零的等差数列}{n a 中，11a =，且139,,a a a 成等比数列。
高考数学解析几何专题练习及答案解析版之欧阳理创编
高考数学解析几何专题练习解析版82页1．一个顶点的坐标()2,0，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ）A.19422=+y xB.14922=+y xC.113422=+y xD.141322=+y x2．已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过左焦点F 1作斜率为的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ．3B ．32+C ． 31+D ． 323．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ）A ．1B ． 2C ．3D ．44．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( )（Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q都不在曲线C 上（Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ）A ．)65,2(π B ．)6,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π7．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ）A 、线段B 、直线C 、圆D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ）A ． 54 B ．45 C ．254D ．4259． 圆06422=+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13C.)3,2(--、13D.)3,2(-、1310．椭圆12222=+by x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( ) A.1222=+y x B.13222=+y x C.12222=+y x D.13222=+y x11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若MAB ∆是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为 （ ）A ．32B ．2C ．2D ．312．已知)0(12222>>=+b a b y a x ，NM ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，021≠k k ，则21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为( ). (A)22 (B)42 (C)23 (D)43 13．设P为双曲线11222=-y x 上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则△PF 1F 2的面积为（ ） A ．36 B ．12C ．123D ．2414．如果过点()m P ,2-和()4,m Q 的直线的斜率等于1,那么m 的值为( ) A ．4B ．1C ．1或3D ．1或415．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =,且0PM AM ⋅=则||PM 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．316．直线l 与抛物线交于A,B 两点;线段AB 中点为，则直线l 的方程为 A 、B 、、C 、D 、17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =（ ）（A ）1 （B 2（C 3 （D ）218．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离19．已知点P 在定圆O 的圆内或圆周上,动圆C 过点P 与定圆O 相切,则动圆C 的圆心轨迹可能是( ) (A)圆或椭圆或双曲线 (B)两条射线或圆或抛物线 (C)两条射线或圆或椭圆 (D)椭圆或双曲线或抛物线20．若直线l ：y ＝kx 32x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[6π，3π) B ．(6π，2π)C ．(3π，2π) D ．[6π，2π]21．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23 B ．32C ．32-D ．23-22．已知点()()0,0,1,1O A -，若F 为双曲线221x y -=的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP ⋅的取值范围为（ ） A ．()21,1-B ．()21,2-C ．()1,2D ．()2,+∞23．若ba ,满足12=+b a ，则直线3=++b y ax 过定点（ ）.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,61B .⎪⎭⎫ ⎝⎛-61,21C .⎪⎭⎫ ⎝⎛61,21.D ⎪⎭⎫⎝⎛-21,6124．双曲线1922=-y x 的实轴长为 ( )A. 4B. 3C. 2D. 1 25．已知F 1 、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ． 3C ．4D ． 526．过A(1，1)、B(0，-1)两点的直线方程是( ) A. B.C.D.y=x27．抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点横坐标是（ ）A ．1B ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 28．已知圆22:260C x y x y +-+=，则圆心P 及半径r 分别为（ ）A 、圆心()1,3P ，半径10r =；B 、圆心()1,3P ，半径r =C 、圆心()1,3P -，半径10r =；D 、圆心()1,3P -，半径r =。
高考数学数列大题训练50题含答案解析
高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+.（1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n =1211123(1)na a n a ++++.2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线0121=+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）函数)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数xab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，81）和Q （4，8）(1) 求函数)(x f 的解析式；(2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。
4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数.（1）求证: {}n a 为等比数列；（2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++的结果.6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322a a a +++ (1)2n n a -+8n =对任意的∈n N*都成立，数列1{}n n b b +-是等差数列．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）问是否存在k ∈N *，使得(0,1)k k b a -∈？请说明理由．8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数}3{,nn a λλ+使得为等差数列，试求λ的值. 9 ．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1,211++=⋅=+n n S a n a n n ，（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）令n nn S T 2=，∈当n 为何正整数值时，1+>n n T T ：∈若对一切正整数n ，总有m T n ≤，求m 的取值范围。
高三数学解析几何专题(含解析)
高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。
2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。
I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。
Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。
4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。
5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。
6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。
高三数学-理科解析几何-专题练习 (含答案与解析)
3．在平行四边形ABCD 60，AD ，若P 是平0xAB y AD PA ++=(,x y ∈在以A 为圆心，||BD 为半径的圆上时，实数系式为（ ）．22421x y xy ++= 21xy -= ．22421x y xy +-=21xy +=是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点的直线与抛物线交于点(Ⅰ)求曲线C 方程；(Ⅱ)设点A 为直线l ：20x y --=上任意一点，过A 作曲线C 的切线，切点分别为P ，Q ，求APQ △面积的最小值及此时点A 的坐标．8．如图，已知点1F ，2F 是椭圆1C ：2212x y +=的两个焦点，椭圆2C ：222x y λ+=经过点1F ，2F ，点P 是椭圆2C 上异于1F ，2F 的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆1C 的交点分别是A ，B 和C ，D ．设AB ，CD 的斜率分别为k ，k '．(Ⅰ)求证kk '为定值； (Ⅱ)求||||AB CD 的最大值．9．在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，D 为垂足，点M 在线段PD 上，且||2||DP DM =，点P 在圆上运动．(1)求点M 的轨迹方程；(2)过定点(1,0)C -的直线与点M 的轨迹交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在N ，使NA NB 为常数，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．121244x kx b+==-，且1112k y ==为切点的切线方程为2y y -01)(1)y x - 是椭圆2C 上的点，故联合①②两式得kk '=-PF 的方程可表示为：212()x x + 24[41|||4(114CD k =++当且仅当k =±|||AB CD 的最大值等于【解析】(Ⅰ)设00(,)P x y 在2x +2224x y ∴+=即(Ⅱ)假设存在．当直线1+212212k x x k -=+12(,)NA NB x n y ∴=--=2(412412k n n k-++ 21(21)(4(41)421k n n +--NA NB 是与k 7202n ∴+= 74n ∴=-即(4N -此时1516NA NB =-当直线AB 与x 轴垂直时，若则1516NA NB =-综上所述，在x 轴上存在定点，使NA NB 为常数．。
高三数学专项训练：函数与导数,解析几何解答题(二)(理科)
（2）过右焦点 的直线与椭圆交于不同的两点 、 ，则 内切圆的圆面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.
35．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中 、 是过抛物线 焦点 的两条弦，且其焦点 ， ，点 为 轴上一点，记 ，其中 为锐角．
（3）求证： .
4．已知函数 .
（Ⅰ）若函数 的值域为 ，若关于 的不等式 的解集为 ，求 的值；
（Ⅱ）当 时， 为常数，且 ， ，求 的取值范围.
5．已知函数 ，函数 ．
(I)试求f(x)的单调区间。
(II)若f(x)在区间 上是单调递增函数，试求实数a的取值范围：
(III)设数列 是公差为1．首项为l的等差数列，数列 的前n项和为 ，求证：当 时， .
41．（13分） 已知椭圆C的中心在原点，离心率等于 ，它的一个短轴端点点恰好是抛物线 的焦点。
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是椭圆上的两点，A,B是椭圆上位于直线ＰＱ两侧的动点，
①若直线ＡＢ的斜率为 ，求四边形ＡＰＢＱ面积的最大值；
②当Ａ、B运动时，满足 ＝ ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由。
(2)点Q(x0，y0)(－2<x0<2)是曲线C上的动点，曲线C在点Q处的切线为 ，点P的坐标是(0，－1)， 与PA，PB分别交于点D，E，求△QAB与△PDE的面积之比．
27．已知两点 及 ，点 在以 、 为焦点的椭圆 上，且 、 、 构成等差数列．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)如图，动直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，点 是直线 上的两点，且 ，
． 求四边形 面积 的最大值．
解析几何专项训练试题答案
解析几何专项训练试题答案一、选择题1. 若点A(2,3)关于直线x=3的对称点为A'，则A'的坐标为：A. (4,3)B. (2,3)C. (1,3)D. (5,3)答案：D解析：点A(2,3)关于直线x=3的对称点A'的横坐标为3-(2-3)=4，纵坐标不变，因此A'的坐标为(4,3)。
2. 已知圆的标准方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，则其圆心坐标为：A. (a, b)B. (a, r)C. (b, r)D. (r, a)答案：A解析：根据圆的标准方程$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，可知圆心坐标为(a, b)。
3. 直线2x-3y=6的斜率为：A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/2答案：B解析：直线方程2x-3y=6可以转化为y=(2/3)x-2，其斜率为2/3，因此答案为-2/3。
4. 已知三角形ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(4,6)，C(7,2)，求三角形ABC的面积。
A. 4B. 6C. 8D. 10答案：C解析：首先计算线段AB和AC的斜率，分别为1和-1，说明AB和AC 垂直。
然后计算AB的长度为3，由于AC与AB垂直，所以三角形ABC 为直角三角形，其面积为1/2 * AB长度 * BC长度 = 1/2 * 3 * 5 = 7.5。
选项中没有7.5，但最接近的是8，因此选择C。
5. 已知椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，则其焦点坐标为：A. (a, 0)B. (0, b)C. (a, b)D. (0, 0)答案：D解析：椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其焦点位于y轴上，且焦距为2c，因此焦点坐标为(0, c)或(0, -c)。
由于题目未给出具体数值，无法确定c的值，但焦点坐标的形式为(0, c)，因此答案为D。
2020年高考数学(理数)选择题强化专练——解析几何、立体几何、三角函数与解三角形、函数与导数含答案
（理数）选择题强化专练——解析几何、立体几何、三角函数与解三角形、函数与导数一、选择题（本大题共20小题，共100.0分）1.若双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被曲线x2+y2-4x+2=0所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.2.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T（5，0），则S△AOB=（）A. B. C. D.3.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点为M，上顶点为N，右焦点为F，若•=0，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.4.若直线x-my+m=0与圆（x-1）2+y2=1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m的取值范围是（）A. （0，1）B. （0，2）C. （-1，0）D. （-2，0）5.已知P为双曲线C：（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2为双曲线C的左、右焦点，若|PF1|=|F1F2|，且直线PF2与以C的实轴为直径的圆相切，则C的渐近线方程为（）A. B. C. D.6.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）A. 若m∥α，n∥α，则m∥nB. 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC. 若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α∥βD. 若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n7.如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA=AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（）A.B.C.D.8.已知正方体的棱长为1，平面α过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在平面α内的正投影面积是（）A. B. C. D.9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=8，AD=6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（）A. 98πB. 196πC. 784πD.10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的堑堵，AC⊥BC，若A1A=AB=2，当阳马B-A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC-A1B1C1的外接球的体积为（）A.B.C.D.11.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.12.将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数f（x）的一个单调减区间为（）A. B. C. D.13.△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a=，b cos A=sin B，则A=（）A. B. C. D.14.如图所示，函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数为g（x），则g（0）=（）A. 1B. 1C. 1或1D.15.在△ABC中，AB+AC=8，BC=4，D为BC的中点，当AD长度最小时，△ABC的面积为（）A. B. 4 C. D.16.若，则的大小关系为（）A. B. C. D.17.已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=，则函数g（x）=8f2（x）-6f（x）+1的零点个数为（）A. 20B. 18C. 16D. 1418.设函数f（x）的定义域为R，满足2f（x+1）=f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=-x（x-1）．若对任意x∈[m，+∞），都有，则m的取值范围是（）A. B. C. D.19.已知曲线在区间内存在垂直于轴的切线，则的取值范围为（）A. B. C. D.20.已知f（x）=（ax+ln x+1）（x+ln x+1）与g（x）=x2的图象至少有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.答案和解析1.【答案】B【解析】解：双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆x2+y2-4x+2=0即为（x-2）2+y2=2的圆心（2，0），半径为，双曲线的一条渐近线被圆x2+y2-4x+2=0所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：=1=，，解得：e==，故选：B．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应用，考查计算能力．2.【答案】A【解析】【分析】如图所示，F（1，0）．设直线l的方程为：y=k（x-1），（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点E（x0，y0）．线段AB的垂直平分线的方程为y=-（x-5）.直线l的方程与抛物线方程联立化为：ky2-4y-4k=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式、可得E坐标．把E代入线段AB的垂直平分线的方程可得：k．再利用S△OAB==即可得出．本题考查了抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：如图所示，F（1，0）．设直线l的方程为：y=k（x-1），（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点E（x0，y0）．线段AB的垂直平分线的方程为：y=-（x-5）．联立，化为：ky2-4y-4k=0，∴y1+y2=，y1y2=-4，∴y0=（y1+y2）=，x0=+1=+1，把E（，+1）代入线段AB的垂直平分线的方程：y=-（x-5）．可得：=-（+1-5），解得：k2=1．S△OAB====2．故选：A．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的简单性质的应用，向量的垂直，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．利用椭圆的性质，通过•=0，推出a、c关系，求解即可．【解答】解：椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点为M（-a，0），上顶点为N（0，b），右焦点为F（c，0），若•=0，可知NM⊥NF，可得：a2+b2+b2+c2=（a+c）2，又a2=b2+c2，所以a2-c2=ac，即e2+e-1=0，e∈（0，1），解得e=，故选：D．4.【答案】D【解析】解：根据题意，圆（x-1）2+y2=1的圆心为（1，0），半径r=1，与x轴的交点为（0，0），（2，0），设B为（2，0）；直线x-my+m=0，即x-m（y-1）=0，恒经过点（0，1），设A（0，1）；当直线经过点A、B时，即m=-2，若直线与圆相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，必有-2＜m＜0，即m的取值范围为（-2，0）；故选：D．根据题意，分析圆的圆心与半径，进而可得圆与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0），设交点（2，0）为B，求出同时过点（0，1）与（2，0）时的m值，结合直线与圆的位置关系即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析直线所过的定点，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：设直线PF2与圆x2+y2=a2相切于点M，则|OM|=a，OM⊥PF2，取PF2的中点N，连接NF2，由于|PF1|=|F1F2|=2c，则NF1⊥PF2，|NP|=|NF2|，由|NF1|=2|OM|=2a，则|NP|==2b，即有|PF2|=4b，由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=2a，即4b-2c=2a，即2b=c+a，4b2-4ab+a2=b2+a2，4（c-a）=c+a，即3b=4a，则=．则C的渐近线方程为：．故选：A．设直线PF2与圆x2+y2=a2相切于点M，取PF2的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF2|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系，计算即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法．中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，α与β相交或平行；在C中，α与β相交或平行；在D中，由线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n．【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m∥α，n∥α，且m⊂β，n⊂β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则线面垂直、面面垂直的性质定理得m⊥n，故D正确．故选D．7.【答案】C【解析】解：如图，取BC的中点G，连结FG，EG，则BD∥FG，通过异面直线所成角的性质可知∠EFG是异面直线EF与BD所成的角，设AD=2，则EF==，同理可得EG=，又FG==，∴在△EFG中，cos∠EFG==，∴异面直线EF与BD所成角的余弦值为．故选：C．取BC的中点G，连结FG，EG，则BD∥FG，∠EFG是异面直线EF与BD所成的角，由此能求出异面直线EF与BD所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，如图：所示的正三角形所在平面或其平行平面为平面α时，满足平面α与正方体每条棱所成的角均相等，并且如图所示的正三角形，为平面α截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大者．因为正三角形的边长为，正方体ABCD-A1B1C1D1的三个面在平面α内的正投影是三个全等的菱形（如图所示），可以看成两个边长为的等边三角形，所以正方体在平面α内的正投影面积是S=2×=．故选：B．利用正方体棱的关系，判断平面α所成的角都相等的位置，正方体ABCD-A1B1C1D1的三个面在平面α内的正投影是三个全等的菱形，可以看成两个边长为的等边三角形，由此求出正方体在平面α内的正投影面积．本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能力，属于难题．9.【答案】B【解析】解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系，DA为x轴，DC为y轴DD1为z轴，D为坐标原点，由题意知A（6，0，0），B（6，8，0），D（0，0，0），设D（0，0，a），则C1（0，8，a），∴=（6，8，0），=（-6，8，a），∴cos===，由题意可得：=，解得：a2=96，由题意长方体的对角线等于外接球的直径，设外接球的半径为R，则（2R）2=82+62+a2=196，所以该长方体的外接球的表面积S=4πR2=196π，故选：B．由题意建立空间直角坐标系，由异面直线的余弦值求出长方体的高，由题意长方体的对角线等于外接球的直径，进而求出外接球的半径，求出外接球的表面积．考查异面直线的夹角即外接球的表面积公式，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：设AC=x，BC=y，由题意得x＞0，y＞0，x2+y2=4，∵当阳马B-A1ACC1体积最大，∴V=×2x×y=xy取最大值，∵xy≤=2，当且仅当x=y=时，取等号，∴当阳马B-A1ACC1体积最大时，AC=BC=，以CA、CB、CC1为棱构造长方体，则这个长方体的外接球就是堑堵ABC-A1B1C1的外接球，∴堑堵ABC-A1B1C1的外接球的半径R==，∴堑堵ABC-A1B1C1的外接球的体积V==．故选：B．设AC=x，BC=y，由阳马B-A1ACC1体积最大，得到AC=BC=，由此能求出堑堵ABC-A1B1C1的外接球的体积．本题考查几何体的外接球的体积的求法，考空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了根据角终边过点可得出角的正弦和余弦值,再利用二倍角公式计算可得,属于基础题．【解答】解：∵角的终边经过点，∴，∴.故选D.12.【答案】A【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．利用三角函数的平移变换的应用和正弦型函数的整体思想的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，即：把函数的图象，向左平移个单位，即得到f（x）的图象，故：=sin（2x+），∴令：（k∈），解得：（k∈），当k=0时，，故选A．13.【答案】D【解析】解：∵a=，b cos A=sin B，∴b cos A=a sin B，∴由正弦定理可得sin A sin B=sin B cos A，∵B是三角形内角，sin B≠0，∴tan A=，∴由A是三角形内角，可得：A=．故选：D．利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解A的大小即可．本题考查正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．14.【答案】A【解析】解：∵函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点，且在递减区间内，2×+φ=π+2k，，，∴φ=，f（x）=sin（2x+）．若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，可得y=sin（2x-+）=sin（2x+）的图象，然后再向上平移1个单位长度，可得y=sin（2x+）+1的图象．故所得图象对应的函数为g（x）=sin（2x+）+1，则g（0）=sin（0+）+1=1+，故选：A．根据函数的图象经过点，求得φ的值，再利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（0）的值．本题主要考查正弦函数的图象和性质，函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．15.【答案】D【解析】解：在△ABC中，设AB=x，AC=y，AD=m，∠ADB=θ，则∠ADC=π-θ，在△ABD中，由余弦定理得：m2+4-4m cosθ=x2（1），在△ACD中，由余弦定理得：m2+4-4m cos（π-θ）=y2，即m2+4+4m cosθ=y2（2），由（1）（2）得：2m2+8=x2+y2，又x+y=8，所以2m2+8=（8-y）2+y2=2y2-16y+64，所以m2=y2-8y+28，所以当y=4时，m的最小值为，即AD长度的最小值为，此时AB=AC=BC=4，△ABC是等边三角形，易得其面积为．故选D．另解：由BC=4，AB+AC=8，则点A在以B，C为焦点，焦距2c=4，长轴长2a=8的椭圆上运动，易知当点A运动到短轴端点时，AD最短为，此时AD⊥BC，．故选：D．法一：由已知结合余弦定理及二次函数的性质可求面积的最小值；法二：由已知结合椭圆的定义及椭圆的性质可求面积的最小值．本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，要注意解法二中椭圆定义的灵活应用．16.【答案】B【解析】【分析】本题考查对数值的大小比较，考查指数函数、对数函数的性质，是基础题．对a、b、c三个数，利用指数函数、对数函数的性质进行估算，和0、1比较即可．【解答】解：,,,所以.故选B.17.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数与方程的关系，分段函数的应用，函数的解析式的应用，考查计算能力．利用分段函数画出函数的图象，利用数形结合转化求解即可．【解答】解：∵x∈（0，2]时，f（x）=（x-1）2，又，∴当x∈（0，+∞）时，即将f（x）在区间（0，2]图象依次向右移2个单位的同时再将纵坐标缩短为原来的倍，得到函数f（x）在（0，+∞）上的图象．关于y轴对称得到（-∞，0）的图象．如图所示：令g（x）=0，得或，即与两条直线截函数y=f（x）图象共16个交点，所以函数g（x）共有16个零点．故选：C．18.【答案】D【解析】解：作出当x∈（0，1]时，f（x）=-x（x-1）的图象，由2f（x+1）=f（x），可得将y=f（x）在（0，1]的图象向左平移1个，2个，3个单位，同时点的纵坐标伸长到原来的2倍，4倍，8倍，将y=f（x）在（0，1]的图象每向右平移1个，2个，3个单位，同时点的纵坐标缩短到原来的倍，倍，倍，作出直线y=，如图所示：对任意x∈[m，+∞），都有，可得只要找直线y=与f（x）（-2＜x＜-1）的右边的交点，由-4（x+1）（x+2）=，解得x=-（-舍去），则m≥-，故选：D．作出当x∈（0，1]时，f（x）=-x（x-1）的图象，由图象变换，作出y=f（x）的图象，以及直线y=，通过图象观察，解方程可得所求m的最小值．本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用数形结合思想和图象变换，考查运算能力和观察能力、推理能力，属于中档题．19.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了导数的几何意义，属于中档题.依题意可得在区间内有解，求出的值域即可得解.【解答】解：依题意，可得，即在区间内有解，设，由题意函数为增函数，且所以，故选D.20.【答案】B【解析】解：方程f（x）=g（x）即为（ax+ln x+1）（x+ln x+1）=x2，则方程至少有三个不相等的实根，令得t2+（a+1）t+a-1=0①，且，∴函数t（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，故t（x）max=t（1）=1，且t→+∞时，t（x）→0，∴方程①的两个根t1，t2的情况是：（i）若t1，t2∈（0，1），t1≠t2，则f（x）与g（x）的图象有四个不同的公共点，则，此时无解；（ii）若t1∈（0，1）且t2=1或t2=0，则f（x）与g（x）的图象有三个不同的公共点，则a无解；（iii）若t1∈（0，1）且t2＜0，则f（x）与g（x）的图象有三个不同的公共点，令h（t）=t2+（a+1）t+a-1，则，解得．故选：B．依题意，方程至少有三个不相等的实根，令，利用导数研究函数t（x）的单调性及最值情况，再分类讨论得解．本题考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论思想，旨在锻炼学生的推理论证能力，属于中档题．。
高考数学 解析几何 专题练习及答案解析版
高考数学解析几何专题练习解析版82页1．一个顶点的坐标()2,0，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 141322=+y x2．已知双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过左焦点F 1双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ．3 B ．32+ C ． 31+ D ． 323．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点，且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1B ． 2C ．3D ．44．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( )（Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65,2(π B ．)6,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π7．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ．54 B ．45C ．254 D ．4259． 圆06422=+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ）A.)3,2(-、13B.)3,2(-、13C.)3,2(--、13D.)3,2(-、1310．椭圆12222=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )A.1222=+y x B. 13222=+y x C.12222=+y x D.13222=+y x 11．过双曲线的右焦点F 作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A ，B 两点，设双曲线的左顶点M ，若MAB ∆是直角三角形，则此双曲线的离心率e 的值为 （ ）A ．32B ．2C ．2D ．312．已知)0(12222>>=+b a by ax ，N M ,是椭圆上关于原点对称的两点，P 是椭圆上任意一点且直线PN PM ,的斜率分别为21,k k ，021≠k k ，则21k k +的最小值为1,则椭圆的离心率为( ). (A)22 (B) 42 (C) 23 (D)43 13．设P 为双曲线11222=-y x 上的一点，F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若2:3:21=PF PF ，则△PF 1F 2的面积为（ ）A ．36B ．12C ．123D ．2414．如果过点()m P ,2-和()4,m Q 的直线的斜率等于1,那么m 的值为( ) A ．4B ．1C ．1或3D ．1或415．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =u u u u r ,且0PM AM ⋅=u u u u r u u u u r则||PM u u u u r 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3 16．直线l 与抛物线交于A,B 两点;线段AB 中点为，则直线l 的方程为A 、B 、、C 、D 、17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞3过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =u u u r u u u r，则k =（ ）（A ）1 （B 2 （C 3 （D ）218．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离 19．已知点P 在定圆O 的圆内或圆周上,动圆C 过点P 与定圆O 相切,则动圆C 的圆心轨迹可能是( )(A)圆或椭圆或双曲线 (B)两条射线或圆或抛物线 (C)两条射线或圆或椭圆 (D)椭圆或双曲线或抛物线20．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[6π，3π) B ．(6π，2π) C ．(3π，2π) D ．[6π，2π] 21．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（ ）A ．23B ．32 C ．32- D ． 23- 22．已知点()()0,0,1,1O A -，若F 为双曲线221x y -=的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP uu r uu r⋅的取值范围为（ ）A ．()21,1- B ．()21,2- C ．()1,2 D ．()2,+∞23．若b a ,满足12=+b a ，则直线03=++b y ax 过定点（ ）.A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,61 B .⎪⎭⎫ ⎝⎛-61,21 C .⎪⎭⎫ ⎝⎛61,21 .D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,6124．双曲线1922=-y x 的实轴长为 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 125．已知F 1 、F 2分别是双曲线1by a x 2222=-（a>0,b>0）的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若︒=∠9021PF F ,且21PF F ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B ． 3C ． 4D ． 526．过A(1，1)、B(0，-1)两点的直线方程是(??? )A.?????????????????????????????????????? ?B.C.???????????????????????????????D.y=x27．抛物线x y 122=上与焦点的距离等于6的点横坐标是（ ）A ．1B ．2 Ｃ．3 Ｄ．428．已知圆22:260C x y x y +-+=，则圆心P 及半径r 分别为 （ ） A 、圆心()1,3P ，半径10r =； B 、圆心()1,3P ，半径10r =；C 、圆心()1,3P -，半径10r =；D 、圆心()1,3P -，半径10r =。
立体几何、解析几何、数列-高中数学经典好题解析版
2024年数学立体几何、解析几何、数列学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．高中数学试卷满分是150分，其中成绩在[]130,150内的属于优秀.某数学老师为研究某次高三联考本校学生的数学成绩，随机抽取了200位学生的数学成绩（均在[]90,150内）作为样本，并整理得到如下频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，求样本的中位数，并估计本次高三联考该校学生的数学成绩的优秀率；（结果保留两位小数）(2)从样本数学成绩在[)120,130，[)130140,的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求这2人来自两组的概率.【答案】(1)中位数为116.43分，22%(2)35【分析】（1）由题意得到0.010x =，求出前三组的频率，分析得到中位数落在[)110,120内，设中位数为m ，列方程求解即可；（2）用分层抽样的方法求出在[)120130,，[)130140,中分别抽取的人数，再列举随机选出2人的所有结果，求这2人来自两组的概率即可.【详解】（1）由频率分布直方图可知()20.0120.0180.0220.028101x ++++⨯=，解得0.010x =，样本中数学成绩在[)90,100内的频率10.10P =，在[)100,110内的频率20.22P =，在[)110,120内的频率为30.28P =，∵120.320.5P P +=<，1230.600.5P P P ++=>，∴样本的中位数落在[)110,120内，设样本的中位数为m ，则()0.50.321100.028m -=-⨯，解得116.43m ≈，故样本的中位数为116.43分.由样本估计总体，得本次高三联考该校学生的数学成绩的优秀率约为()0.120.10100%22%+⨯=；（2）由频率分布直方图可知，按分层抽样的方法，抽取5名学生中成绩在[)120130,内的有3名，分别记为A ，B ，C ，在[)130140,内的有2名，分别记为D ，E ，则从5人中抽取2人的所有抽取情况有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，共10种，其中2人来自两组的有AD ，AE ，BD ，BE ，CD ，CE ，共6种，故所求概率63105P ==.所以这2人来自两组的概率为35.2．如图，在三棱锥A BCD -中，点E ，F ，G ，H 分别在棱AC ，BC ，BD ，AD 上．(1)若四边形EFGH 为平行四边形，证明：AB ∥平面EFGH ；(2)若E ，F ，G ，H 均为所在棱的中点，三棱锥A BCD -的体积为V ，多面体CDGFEH 的体积为1V ，求1V V．【答案】(1)证明见解析(2)12【分析】（1）由四边形EFGH 为平行四边形得EF GH ∥，由线面平行的判定定理得//EF 平面ABD ，再根据线面平行的性质得EF AB ∥，即可得证；（2）连接ED ，EG ，将三棱锥E DHG -的体积和四棱锥E CDGF -的体积用V 表示出来，相加得1V ，即可求出1V V．【详解】（1） 四边形EFGH 为平行四边形，EF GH ∴∥，又EF ⊂/平面ABD ，GH Ì平面ABD ，EF ∴∥平面ABD ．EF ⊂ 平面ABC ，平面ABC ⋂平面ABD AB =，EF AB ∴∥，又EF ⊂平面EFGH ，AB ⊂/平面EFGH ，AB ∴∥平面EFGH ．（2）连接ED ，EG ，E 为棱AC 的中点，∴点E 到平面DHG 的距离E DHG d -等于点C 到平面DHG 的距离C DHG d -的一半，点E 到平面CDGF 的距离E CDGF d -等于点A 到平面CDGF 的距离A CDGF d -的一半，则三棱锥E DHG -的体积21111133248E DHG DHG C DHG ABD V d S d S V --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭ ，四棱锥E CDGF -的体积31113333248E CDGF A CDGF BCD CDGH V d S d S V --⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎝⎭四边形，故12312V V V V V +==．【点睛】3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22319232n S S S n n S n ++++⋅⋅⋅+=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若415n n nS b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)23n a n =+(2)26n T n n=+【分析】（1）由方程组法得24n S n n =+，然后再根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求通项公式即可；（2）先根据（1）求出25n b n =+，然后利用等差数列求和公式求解即可.【详解】（1）当1n =时，115a S ==.当2n ≥时，由22319232n S S S n n S n ++++⋅⋅⋅+=，得()22311(1)912312n n n S S S S n --+-+++⋅⋅⋅+=-，则()22(1)919422n n n S n n n n -+-+=-=+，因为151S =满足4n S n n =+，所以24n S n n =+.当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=+.因为15a =满足23n a n =+，所以23n a n =+.（2）由（1）可知，2415416152523n n n S n n b n a n +++===++，则{}n b 是以7为首项，2为公差的等差数列，所以()1262n n b b n T n n +==+.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*51225,21n n S a a a n ==+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若14(1)n n n n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =-，*n ∈N (2)1(1)121n n +---+，*n ∈N 【分析】（1）根据已知条件求得数列的首项和公差，由此求得通项n a .（2）由（1）可得{}n b 的通项，根据裂项相消法求得结果.【详解】（1）531525S a a == ，即1125a d a +=，12d a ∴=，又21121a a a d =+=+，11a ∴=，2d =，21n a n ∴=-，*n ∈N .（2）由（1）可得()()()()()()121214(1)(1)(1)(1)212121212121n n nn n n n n b n n n n n n +-++--=-⨯=-⨯=--+-+-+，12n nT b b b ∴=+++ 111111(1)(1)1335572121n n n n +⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1(1)121n n +-=--+，*n ∈N .5．我国某西部地区要进行沙漠治理，已知某年（第1年）年底该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠．从第2年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造成绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设第n 年绿洲面积为n a 万平方千米．(1)求第n 年绿洲面积n a （单位：万平方千米）与上一年绿洲面积1n a -（单位：万平方千米）之间的数量关系（2n ≥）；(2)求数列{}n a 的通项公式；(3)至少经过()*N n n ∈年，绿洲面积可超过60%，求n 的值．（参考数据：lg 20.301≈）【答案】(1)144(2,N ).525n n a a n n *-=+≥∈(2)1144255n n a -⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭(3)6【分析】（1）由题意，列出第n 年绿洲面积与上一年绿洲面积1n a -的关系，即可得到答案；（2）利用递推数列，构造新数列145n a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为12-，公比为45的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可；（3）由题意，列出不等关系，然后利用指数与对数的运算性质求解即可.【详解】（1）由题意得，1111(14%)(1)16%0.960.160.16n n n n n a a a a a ----=-+-⨯=+-11440.80.16,525n n a a --=+=+144(2,N ).525n n a a n n *-∴=+≥∈（2）由（1）知，144(2,N )525n n a a n n *-=+≥∈，可变形为：1444555n n a a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又14411(170%)552a -=⨯--=-，所以数列145n a -⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12-为首项，45为公比的等比数列，所以1414525n n a -⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭，故1144255n n a -⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭.（3）由（2）知，1144255n n a -⎛⎫=-⨯+ ⎪⎝⎭，令1144160%255n n a -⎛⎫=-⨯+>⨯ ⎪⎝⎭，即14255n -⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以4521log 5n ->，因为452lg 2lg 5lg 2(1lg 2)2lg 2120.3011log 4.152lg 2lg 52lg 2(1lg 2)3lg 2130.3011----⨯-==≈=----⨯-，则1 4.1n ->，所以 5.1n >，因为N n *∈，所以至少经过6年，绿洲面积可超过60%.6．已知一次函数()f x 的图象过点(1,1)和(2,3)．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()n n S f a =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知数列{}n b 满足()()111n n n n a b a a +=++，证明：1212n b b b +++< ．【答案】(1)12n n a -=(2)证明见解析【分析】（1）利用待定系数法求出()21f x x =-，再代入，然后升次作差即可得到{}n a 为等比数列，求出其通项即可；（2）利用裂项求和法即可得到121112212n n b b b +++=-<+ .【详解】（1）设()f x kx b =+，0k ≠，则123k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得21k b =⎧⎨=-⎩，所以()21f x x =-．故21n n S a =-，当1n =时，11a =，又1121n n S a ++=-，故作差得1122n n n n a S a S ++--=，所以12n n a a +=，所以{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，故12n n a -=．（2）由（1）得()()11121121212121n n n n n n b ---==-++++，故1211111111111123355921212212n n n n b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，11335n n n n S a S a +++=+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n na 的前n 项和为n T ，证明：2n T <.【答案】(1)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)证明见解析【分析】（1）直接由,n n S a 的关系结合等比数列的定义即可得解.（2）直接用错位相减法求和即可，进一步即可得证.【详解】（1）由题意得1113335n n n n n n S S a a a a +++-+=+=，得112n n a a +=，则{}n a 是首项为12，公比为12的等比数列，所以{}n a 的通项公式为1111222n n n a -⎛⎫⎛⎫=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）由题意得231111232222n n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2341111112322222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，两式相减，得23411111221111111112222222212n n n n n T n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++++-⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 111122n n n +⎛⎫⎛⎫=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1222nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为()1202n n ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以2n T <.8．已知各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为11,n S b =，且()()1111n n n n S b S b +++=+对一切N n *∈都成立.若{}n a 是公差为2的等差数列，22332a b b a -=-.(1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)求数列()1nn n n c a b =-+的前2n 项和2n T .【答案】(1)121,2n n n a n b -=-=；(2)22221n n T n =+-.【分析】（1）利用,n n S b 的关系结合条件及等比数列的定义可得n b ，再根据等差数列的概念计算求n a ；（2）利用分组求和及等比数列求和公式计算即可.【详解】（1）由11,0n b b =>，且()()1111n n n n S b S b +++=+对一切N n *∈都成立，可得1111n n n n S S b b ++++=，又1111121S b ++==，所以()111111212,122n n n n n n n n S S S b S b n b b +--+++==⇒+=+=≥，则111222n n n n n n n b S S b b b b ---=-=-⇒=，所以数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，则12n n b -=.又{}n a 是公差为2的等差数列，22332a b b a -=-，所以()2224423a a a -=-+⇒=，则()22221n a a n n =+-=-.综上121,2n n n a n b -=-=.（2）由上可知()()()111212n nn n n n c a b n -=-+=-⨯-+，故()()101232112132152172n T =-⨯++⨯++-⨯++⨯++ ()()()222114321412n n n n ---⨯-++⨯-+()()()()012113574341222n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-++-+++-++-++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 2212222112n n n n -=+=+--.9．如图，在四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥底面ABCD ，π3SAD ∠=，在AD 边上取一点E ，使得BCDE 为矩形，22SA AE DE ===．(1)证明：BC ⊥平面SBE ；(2)若(R)SF FC λλ=∈ ，且//SA 平面BEF ，求λ的值．【答案】(1)证明见解析(2)12λ=【分析】（1）先求出SE =SE AD ⊥，进而SE CB ^，BE CB ⊥，由此能证明BC ⊥平面SBE ；（2）连接AC 交BE 于点M ，连接FM ，由已知得//FM AS ，由//EM CD ，//FM AS ，能求出λ．【详解】（1）因为2,1SA AE ==，π3SAD ∠=，所以SE =SE AD ⊥，SE ⊂平面SAD ，又平面SAD ⊥平面ABCD ，且平面SAD ⋂平面ABCD AD =，所以SE ⊥平面ABCD ，CB ⊂平面ABCD ，所以SE CB ^，又BE CB ⊥，且SE BE E =∩，SE ⊂平面SBE ，BE ⊂平面SBE ，所以BC ⊥平面SBE ．（2）连接AC 交BE 于点M ，连接FM ，因为//SA 平面BEF ，SA ⊂平面SAC ，平面SAC 平面BEF FM =，所以//FM AS ，因为//EM CD ，所以12AM AE MC ED ==，因为//FM AS ，所以12SF AM FC MC ==，结合已知，所以12λ=．10．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，已知AB //,2CD DA DC ==，11111,60,,AB C D BAD D D AD AB BD ∠===︒⊥⊥.(1)证明：1D D ⊥平面ABCD ；(2)若四棱台1111ABCD A B C D -的体积为218，求二面角1B CC D --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）根据线面垂直的定义证明即可；（2）建立空间直角坐标系，根据四棱台1111ABCD A B C D -的体积写出各点坐标即可计算出二面角1B CC D --的余弦值.【详解】（1）在四边形ABCD 中，2,1,60AD AB BAD ∠=== ，BD ∴=222AB BD AD ∴+=，AB BD ∴⊥，又11,,AB BD BD BD B ⊥⋂= 1,BD BD ⊂平面1BDD ，AB ∴⊥平面1,BD D 而1DD ⊂平面1BD D ，1AB DD ∴⊥.又1,,D D AD AB AD A ⊥⋂= ,AB AD ⊂平面1ABCD DD ∴⊥平面ABCD ；（2）()1112122ABCD S C D CD +== 四边形，111114A B C D S =四边形11121·3288V DD DD ⎛ ∴=⋅+=⇒= ⎝四棱台如图建系，)()(()1,0,2,0,0,1,,0,0,0BC CD ∴，()(12,0,0,BC CC ∴==- ，设平面1BCC 的一个法向量()1,,n x y z =，1·0·0n BC n CC ⎧=⎪⎨=⎪⎩⇒200y y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取1z =，则()1n = ，平面1CC D 的一个法向量()21,0,0n =，设二面角1B CC D --的平面角为θ，显然θ为锐角，1212cos 2n n n n θ⋅∴===⋅ .11．已知抛物线2:4C y x =，F 为C 的焦点，直线l 与C 交于不同的两点A 、B ，且点A 位于第一象限.(1)若直线l 经过C 的焦点F ，且6AB =，求直线l 的方程；(2)若直线l 经过点()2,0E ，O 为坐标原点，设AOB 的面积为1S ，BOF 的面积为2S ，求12S S +的最小值.【答案】(1)y =或y =(2)【分析】（1）分析可知，直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式求出m 的值，即可得出直线l 的方程；（2）分析可知，直线l 不与x 轴重合，设直线l 的方程为1x ty =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，可得出218y y =-，利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得12S S +的最小值.【详解】（1）解：依题意知，()1,0F .若直线l 与x 轴重合，此时，直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩，可得2440y my --=，则216160m ∆=+>，由韦达定理可得124y y m +=，所以，()212121221124446AB x x my my m y y m =++=++++=++=+=，解得2m =±，所以，直线l的方程为12x y =+或12x y =-+，即y =y =+（2）解：若直线l 与x 轴重合，此时，直线l 与抛物线C 只有一个交点，不合乎题意，设直线l 的方程为2x ty =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立224x ty y x=+⎧⎨=⎩，可得2480y ty --=，则216320t ∆=+>，由韦达定理可得124y y t +=，则128y y =-，即218y y =-.不妨设10y >，则20y <，所以，AOB 的面积为1121212S OE y y y y =⋅-=-，BOF 的面积为2221122S OF y y =⋅=-，所以，121221*********S S y y y y y y +=--=-=+≥，当且仅当()111120y y y =>时，即1y =.所以12S S +的最小值为【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．12．已知椭圆1C ：22221x y a b+=(0)a b >>，F 为左焦点，A 为上顶点，(2,0)B 为右顶点，2AB =，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F ．(1)求1C 椭圆的离心率；(2)是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 的交点分别是P ，Q 和M ，N ，使得12OPQ OMN S S =若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)12(2)存在，10x y +=或10x y +=【分析】（1）2AB ==从而求得2a =，进而即可求得1C 椭圆的离心率；（2）结合（1）可得1C 椭圆的标准方程为22143x y +=，由题可知2C 的方程为24y x =-，假设存在符合题意的直线，设该直线为1x ky =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，分别联立直线与1C 和2C ，再利用韦达定理，面积关系，进而即可求解．【详解】（12AB = =又右顶点()2,0B ，得2a =，则23b =，所以1c =，所以1C 椭圆的离心率为12c e a ==．（2）存在．结合（1）可得1C 椭圆的标准方程为22143x y +=，由题可知2C 的方程为24y x =-，假设存在符合题意的直线，设该直线为1x ky =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，联立221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消x 整理得()2234690k y ky +--=，则122634k y y k +=+，122934y y k -=+，所以12y y -=联立214x ky y x=-⎧⎨=-⎩，消x 整理得2440y ky +-=，则344y y k +=-，344y y =-，所以34y y -=若12OPQ OMN S S =，则123412y y y y -=-，解得k =所以符合题意的直线为103x y ++=或103x y -+=．13．设点M 是直线1y =-上的一个动点，O 为坐标原点，过点M 作x 轴的垂线l ．过点O 作直线OM 的垂线交直线l 于P .(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)过曲线C 上的一点P （异于原点O ）作曲线C 的切线1l 交椭圆22143y x +=于A ，B 两点，求AOB 面积的最大值.【答案】(1)2xy =【分析】（1）设出P 点坐标，根据垂直关系写出对应向量关系式，由此可得轨迹C 的方程；（2）设出直线1l 的方程，根据直线1l 与曲线C 相切得到关于,k m 的表达式，然后通过联立方程结合韦达定理以及弦长公式表示出AOB 的面积，最后利用基本不等式求解出最大值.【详解】（1）设(),P x y ，则(),1M x -，所以()(),,,1OP x y OM x ==-，因为OP OM ⊥，所以0OP OM ⋅=，所以20x y -=，所以点P 的轨迹C 的方程为2x y =；（2）设()()1122,,,A x y B x y ，1:l y kx m =+，因为1l 为曲线C 的切线，联立2y kx m x y=+⎧⎨=⎩可得20x kx m --=，所以240k m D =+=，联立224312y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得()2223463120k x kmx m +++-=，所以21212226312,3434km m x x x x k k -+=-=++，且()()()222Δ64343120km k m =--+->，即2234k m +>，所以AB ==又因为原点到直线AB的距离d =所以2121OABm S k =⨯⨯=+⎝⎭222223423434m k m k k ++-=≤++，当且仅当22223440k m m k m ⎧+-=⎨+=⎩即2312m k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩（此时满足2234k m +>）时取等号，综上可知，AOB【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求解三角形面积的常用方法：（1）利用弦长以及点到直线的距离公式，结合12⨯底⨯高，表示出三角形的面积；（2）根据直线与圆锥曲线的交点，利用公共底或者公共高的情况，将三角形的面积表示为1212AB x x ⋅⋅-或1212EF y y ⋅⋅-；（3）借助三角形内切圆的半径，将三角形面积表示为()12a b c R ⋅++⋅（R 为内切圆半径）.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(1,0)M 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线10x y -+=相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点(3,2)N ，和平面内一点(,)(3)P m n m ≠，过点M 任作直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为123,,k k k ，1323k k k +=，试求m ，n 满足的关系式．【答案】(1)2213x y +=(2)32n m=【分析】（1）由点到直线的距离公式，列出方程求得1b =，再由椭圆的几何性质，求得a 的值，即可求得椭圆C 的标准方程；（2）当直线斜率不存在时，求出A ，B 的坐标，得到直线AN ，BN 的斜率，进一步得到NP 的斜率，可得m ，n 满足的关系式．当直线的斜率存在时，设点1111(,),(,)A x y B x y ，设直线:(1)l y k x =-，代入椭圆方程，利用根与系数的关系求得直线AN ，BN 的斜率和，进一步得到NP 的斜率，可得m ，n 满足的关系式．【详解】（1）解：由椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点在x 轴上，则点(1,0)M 到直线10x y -=的距离为1d =，解得1b d ==，又由椭圆的离心率为3c e a =，解得a =所以椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）解：①当直线斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1,3x y ==±，不妨设(1,A B ，因为(3,2)N ，且直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为123,,k k k ，满足1323k k k +=，可得132********k k -++=+=--，所以22233n k m -==-，所以,m n 的关系式为32n m =.②当直线的斜率存在时，设点1111(,),(,)A x y B x y ，直线():1AB y k x =-，联立方程组22(1)13y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得2222(31)6330k x k x k +-+-=，可得22121222633,3131k k x x x x k k -+==++，所以()()12122112121222[2(10](3)[2(10](3)3333y y k x x k x x k k x x x x -----+---+=+=----21212212122(42)()6122(126)23()9126kx x k x x k k x x x x k -+++++==-+++，因为1323k k k +=，所以22233n k m -==-，综上可得，,m n 的关系式为32n m =.【点睛】方法点睛：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；3、涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.15．设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>已知直线l 过点()0,1-，直线l 与双曲线C 的左，右两支的交点分别为,M N ，直线l 与双曲线C 的渐近线的交点为,P Q ，其中点Q 在y 轴的右侧.设,,OMP OPQ OQN 的面积分别是123,,S S S .(1)求双曲线C 的方程；(2)求213S S S +的取值范围.【答案】(1)22148x y -=(2)1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据双曲线的离心率以及顶点到渐近线的距离，列式计算，求出2,b a 的值，即得答案；（2）将213S S S +转化为||||||PQ PM QN +，利用直线和双曲线的方程联立，求出弦长||MN 的表达式，联立直线和渐近线方程求得||PQ 的表达式，即可得||||||||||||PQ PQ PM QN MN PQ =+-的表达式，结合参数范围，即可求得答案.【详解】（1）由题意可得双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为0bx ay -=，ca=(,0)a=，即得3ab c =，故b =，结合222+=a b c ，解得24a =故双曲线C 的方程为22148x y -=；（2）由题意得213||||||S PQ S S PM QN =++，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =-，设()()1122,,,M x y N x y ，由22128y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得()222290k x kx -+-=，则()22222Δ43620902k k k k ⎧⎪≠⎪⎪=+->⎨⎪-⎪<⎪-⎩，即得k <<则21212229,22x k x k x x k +==--，且12MN x x -===由22120y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得()()22222210,Δ44280k x kx k k '-+-==+-=>，则2221,22P Q P Qx x x x k k k +==--,得22PQ k==-，故213||||1||||||||||1||S PQ PQ MN S S PM QN MN PQ PQ ===++--，而k <，(]21311,3,,2MN S PQS S ∞⎡⎫=∴∈+⎪⎢+⎣⎭.【点睛】关键点睛：解答第二问面积比的范围问题时，关键是利用弦长公式，表示出213||||||||||||S PQ PQ S S PM QN MN PQ ==++-的表达式，进而结合参数范围，求得答案.16．某班同学利用春节进行社会实践，对本地[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，将生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图．序号分组（岁）本组中“低碳族”人数“低碳族”人数在本组所占的比例1[25,30)1200.62[30,35)195p 3[35,40)1000.54[40,45)a 0.45[45,50)300.36[55,60)150.3（一）人数统计表（二）各年龄段人数频率分布直方图(1)在答题卡给定的坐标系中补全频率分布直方图，并求出n 、p 、a 的值；(2)从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动．若将这6个人通过抽签分成甲、乙两组，每组的人数相同，求[45,50)岁中被抽取的人恰好又分在同一组的概率．【答案】(1)频率分布直方图见解析；1000n =，0.65p =，60a =；(2)2.5【分析】（1）先根据频率分布直方图中所有小长方形面积和为1得第二组的频率，除以组距得高，再补全直方图，根据频率等于频数除以总数求得n 、p 、a（2）先根据分层抽样确定两区间抽取人数，利用列举法确定总的基本事件数，以及[)45,50岁中被抽取的人恰好又分在同一组的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.【详解】（1）结合频率分布直方图可知，第二组的频率为()10.040.040.030.020.0150.3-++++⨯=，所以第二组高为0.30.065=．故补全频率分布直方图如下：结合人数统计表与频率分布直方图，可知第一组的人数为1202000.6=，频率为004502..⨯=，所以20010000.2n ==；因为第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为10000.3300⨯=，所以1950.65300p ==；因为第四组的频率为0.0350.15⨯=，所以第四组的人数为10000.15150⨯=，所以1500.460a =⨯=．（2）因为[)40,45岁年龄段的“低碳族”与[)45,50岁年龄段的“低碳族”的比为60:302:1=，所以采用分层抽样法抽取6人，则在[)40,45岁中抽取4人，在[)45,50岁中抽取2人．设年龄在[)40,45中被抽取的4个人分别为：1234,,,A A A A ；年龄在[)45,50岁中被抽取的2个人分别为：12,B B ；则总的基本事件有：123412A A A A B B -,124312A A A A B B -,121342A A B A A B -,122341A A B A A B -,134212A A A A B B -,……412123A B B A A A -，共20个；记“[)45,50岁中被抽取的人恰好有分在同一组”为事件C ，而事件C 包含的基本事件有8个；所以()82205P C ==.【点睛】频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1;频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数;频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.17．为增强学生的环保意识，让学生掌握更多的环保知识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”.为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为n ）进行统计，按照[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[)50,60，[]90,100的数据），如下图所示.(1)求样本容量n 和频率分布直方图中x ，y 的值；(2)试估测本次竞赛学生成绩的平均数、中位数；(3)在[)70,80，[)80,90内按分层抽样的方法抽取5名学生的成绩，从这5名学生中随机抽取2人，求2人成绩都在[)70,80的概率.【答案】(1)50n =，0.030x =，0.004y =(2)平均数为70.6，中位数为71(3)35【分析】（1）利用[)50,60的频数8及频率0.16可得出样本容量，进而求出x ，y 的值；（2）中点值以及占比计算出平均值，面积法得到中位数；（3）使用列举法得出2人成绩都在[)70,80的概率.【详解】（1）由题意可知，样本容量8500.01610n ==⨯，20.0045010y ==⨯，0.10.0040.0100.0160.040.030x =----=.（2）550.16650.3750.4850.1950.0470.6x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；设中位数为m ，则(70)0.040.50.160.3m -⨯=--，所以71m =.（3）在[70,80)，[80,90)成绩分组的学生分别为20人，5人，现要按分层抽样抽取5人，则在[70,80)，[80,90)成绩分组中各抽取4人，1人；记成绩在[70,80)的学生为A ，B ，C ，D ，成绩在[80,90)的学生为E .则从这5人中抽取2人有(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),A E ，(),B C ，(),B D ，(),B E ，(),C D ，(),C E ，(),D E 共10种情况.2人成绩都在[70,80)的有(),A B ，(),A C ，(),A D ，(),B C ，(),B D ，(),C D 共6种情况.所以从这5名学生中随机抽取2人，2人成绩都在[70,80)的概率35P =.18．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是公比不为1的等比数列，26a =，4522a a +=，1134a b =，且22b 是13b 与3b 的等差中项．(1)求：数列{}n a 和{}n b 的通项公式．(2)设()21,283636,n n n n n a b n d n n n b ⎧-⎪⎪=⎨-+-⎪⎪⎩为奇数为偶数，求21ni i d =∑.(3)若对于数列{}n a 、{}n b ，在k a 和1k a +之间插入k b 个()*2k ∈N ，组成一个新的数列{}n c ，记数列{}n c 的前n 项和为n T ，求2024T ．【答案】(1)22n a n =+,3nn b =;(2)()2324934329n nn n --+(3)4104【分析】（1）根据等差等比数列的通项公式，计算可得；（2）结合两个数列的通项公式，可判断的前项中两个数列的项数，然后分组和错位相减求和可得；（3）求出{}n a 的项数和总共有多少个2，利用分组求和可得.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，1q ≠由2456,22a a a =+=，则222322a d a d +++=，故2d =，所以()()2262222n a a n d n n =+-=+-=+，则14a =，由1134a b =，则13b =，又由22b 是13b 与3b 的等差中项，所以213223b b b ⨯=+，即21293q q =+，解得3q =或1q =（舍去），故111333n n n n b b q --==⋅=，（2）由()21,283636,n n n n n a b n d n n n b ⎧-⎪⎪=⎨-+-⎪⎪⎩为奇数为偶数，则()()231,83636,3n n nn n d n n n ⎧-+⎪=⎨-+-⎪⎩为奇数为偶数1212212n nnii dd d d d -==++++∑ ()()1321242n n n n d d d d d d P Q -=+++++++=+ ，则()()()()321234323n n P n -=⋅-+-++- ，()()()()35219234323n n P n +=⋅-+-++- ，两式相减得，()()()()()32121823232323n n n P n -+-=⋅-+-++--- ，()()()221313822319nn n P n +⎡⎤---⎣⎦-=⋅---，则()3249332n n n P --=，()222242828284333n n n Q ⎡⎤--⨯-⨯=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦242362363643636236=836333n nn n M N ⨯-⨯-⨯-⎡⎤++++=-+⎢⎥⎣⎦其中()()2222222422222424333999n n nn n M =+++=+++①，422213211321339939n n nn n N --=+++=++ ()22223121249999n n n M +=+++ ②①-②相减可得，()()()22221218422821213214999999999n n n n n n n n n M ++--⎛⎫=+++-=+++- ⎪⎝⎭ 则2221321448363699999n n n n nn n n M N -⎛⎫=+++-=- ⎪⎝⎭ 所以249n nQ n =则()221324934329n nini n n d =--=+∑；（3）根据题意可得，1231,2,2,2,,2,2,2,2,2,2,2,2,2,,,,,k k a a a a a + 则213332024k k +++++≤ ，故()3131202413k k -++≤-，则131202422k k ++-≤，故当6k =时，73161099202422+-=≤成立，当7k =时，8317202422+->成立，所以{}n a 共有7项，共有2017个2，则()2024742722201741042T +⨯+=⨯+=19．已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且121n n S S -=+，其中2n ≥．(1)求证：数列{}n a 是等比数列；(2)当2n ≥时，求证：12311111212n n S S S S ⎛⎫+++⋅⋅⋅+<- ⎪⎝⎭．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用n S 与n a 的关系证明{}n a 是等比数列（2）求得21n n S =-，利用放缩得()11122n n n S -<≥，再求1n S ⎧⎫⎨⎩⎭的和即可证得结论.【详解】（1）由()1212n n S S n -=+≥，得121n n S S +=+，两式相减，得()()1122n n n n S S S S n +--=-≥，又当2n ≥时，1n n n a S S -=-，11n n n a S S ++=-，所以12n n a a +=，()122n na n a +=≥，又2121S S =+，11a =，所以22a =，212a a =，（注意验证1n =是否符合12n n a a +=）因此数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）知12n n a -=，所以122112nn n S -==--．当2n ≥时，121n ->，所以11212220n n n n n S --=->-=>，所以1111212n n n S -=<-，所以当2n ≥时，21123111111111121211222212nn n n S S S S -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭+++⋅⋅⋅+<+++⋅⋅⋅+==- ⎪⎝⎭-．【点睛】数列型不等式问题的求解过程中常用到放缩法，一般有两种情况：一是先放缩，再求和；二是先求和，再放缩．常用的放缩技巧如下：（1）对21n的放缩，根据不同的要求，大致有三种情况：①()22111121n n n n n n <=-≥--；②()221111121211n n n n n ⎛⎫<=-≥ ⎪--+⎝⎭；③2211112121214n n n n ⎛⎫<=- ⎪-+⎝⎭-．（2>=)2n <≥．（3）对121n -的放缩，为111212n n -≤-．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =-，2112n n n n S S a na n n +++=+-+，*N n ∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()3123n an n a k a ++≤⋅-对任意的*N n ∈恒成立，求实数k 的最小值．【答案】(1)3n a n =-(2)281【分析】（1）利用退一相减法可得数列{}n a 为等差数列，进而可得通项公式；（2）代入，分离参数可得3823nn k -≥⨯，再设3823nn n b -=⨯，根据数列{}n b 的单调性可得最大项及k 的最小值.【详解】（1）由已知2112n n n n S S a na n n +++=+-+①，则当2n ≥时，()()()2112111n n n n S S a n a n n --+=+---+-②，①-②得()()111212122n n n n n a a a n a n a n ++-+=+----+，即11n n a a --=，所以数列{}n a 是以2-为首项，1为公差的等差数列，所以213n a n n =-+-=-；（2）由（1）得3n a n =-，即不等式()2233nn k n -≤⋅-+对任意的*N n ∈恒成立，所以3823nn k -≥⨯，设3823n nn b -=⨯，又()11131838619232323n n n n n n n n b b ++++---+-=-=⨯⨯⨯，所以当3n ≤时，10n n b b +->，当4n ≥时，10n n b b +-<，所以当4n ≤时，数列{}n b 单调递增，当4n ≥时，数列{}n b 单调递减，所以43822381n n n b b -=≤=⨯，所以282k ≥，即实数k 的最小值为282.21．已知点(4,7)A ，集合22(,)11612x y S x y ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭∣，点P S ∈，且对于S 中任何异于P 的点Q ，都有0AP PQ ⋅>．(1)证明：P 在椭圆2211612x y +=上；(2)求P 的坐标；(3)设椭圆2211612x y +=的焦点为12,F F ，证明：12APF APF ∠=∠．参考公式：()()222222()()ad bc ac bd a b c d -++=++．【答案】(1)证明见解析(2)()2,3P (3)证明见解析【分析】（1）分析当P 在22:11612x y C +=内时，设线段PA 与C 有一交点Q 推导出矛盾即可；（2）记AQ 在AP上的投影向量为AQ ' ，可推导P 是C 上与A 距离最小的点，再设()00,P x y ，结合椭圆的方程与所给方程得出不等式求解最值即可；（3）设直线AP 与x 轴交于(),0B b ，根据,,A B P 共线可得1,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，再结合112253PF BF PF BF ==与正弦定理，转证12BPF BPF ∠=∠即可.【详解】（1）记22:11612x y C +=，若P 不在C 上，则在C 内.因为224711612+>，所以A 在C 外，设线段PA 与C 有一交点Q ，此时AP 和PQ 共线反向，0AP PQ ⋅<，不合题意，因此P 在C 上.（2）0AP PQ ⋅>等价于2AP PQ AP AP AP ⋅>⋅= .记AQ 在AP上的投影向量为AQ ' ，则条件等价于2AP AQ AP '⋅> ，AQ AP '> ，这表明P 是C 上与A 距离最小的点.设()00,P x y ，则22003448x y +=，()()2220047AP x y =-+- .因为()()222222()()ad bc ac bd a b c d -++=++，故()()22222()ac bd a b c d +≤++，当且仅当ad bc =时取等号.所以()()()()()()2222200000011147414214182545x y x y x y ⎡⎤-+-=-+-+≥--⎢⎥⎣⎦，又()()222000012341643x y x y ⎛⎫+≤++= ⎪⎝⎭，故00828x y -≤+≤，故()221188205AP ≥-= ，当且仅当0028x y +=且()()002417x y -=⨯-时取等号，解得002,3x y ==，故此时()2,3P .（3）因为()4,7A ，()2,3P ，设直线AP 与x 轴交于(),0B b ，则7330422b--=--，解得12b =.故1,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，则要证12APF APF ∠=∠即证12BPF BPF ∠=∠.又()()122,0,2,0F F -，故2PF x ⊥轴，故112253PF BF PF BF ==.在1PF B △和2PF B ，由正弦定理，1212sin sin sin sin PBF PBF BPF BPF ∠∠=∠∠，又1PBF ∠和2PBF ∠互补，所以12sin sin PBF PBF ∠=∠，所以12sin sin BPF BPF ∠=∠，从而有12BPF BPF ∠=∠.22．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T .已知1212n n S n +=-+，1n nb a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求证：()131622n n T n ≤-+⋅.【答案】(1)12221n nn a n n +=-++(2)证明见解析【分析】（1）根据112221n nn n n a S S n n +-=-=-++，注意验证当1n =时也成立，即可求解；（2）由由（1）和1n n b a =得11232n n n b n a n ⎛⎫==⋅++ ⎪⎝⎭，讨论当1n =时，13b =，当2n ≥时，()142n nb n ≤⋅+，得123234678432222nn n T n b b b b +=++++≤+++++ ，再利用错位相减即得.【详解】（1）当1n =时，1111211123a S +==-=+，当2n ≥时，1112222112121n n n n n n n a S S n n n n ++-⎛⎫=-=---=- ⎪++++⎝⎭，经验证：当1n =时也成立.所以{}n a 的通项公式为：12221n nn a n n +=-++.（2）由（1）得12221n nn a n n +=-++，又()()111112212232221n nn n n n n n n n b n a n n +⎛⎫===⋅⎪++-++=⋅++ ⎝⎭，当1n =时，13b =，当2n ≥时，()142n nb n ≤⋅+，所以当2n ≥时，123234678432222n nn T n b b b b +=++++≤+++++ ，令23467842222n n M +=++++ ，则34511678422222n n M ++=++++ ，两式相减得：223451111116111143482122222222212n n n n n n M -++⎛⎫- ⎪++⎝⎭=+++++-=+-- 2111311431147612422242242n n n n n n n n -++++++⎛⎫=+--=+--=- ⎪⎝⎭，所以7622n n M +=-，所以76136332222n n n T n n M ++≤+=+-=-，即()131622n n T n ≤-+⋅.【点睛】本题证明数列不等式，其常用方法有：（1）利用二项式定理的展开式，进行简单的放缩；（2）利用放缩法，注意放缩技巧和放缩的适度；比如：添项或舍去一些项；将分子和分母放大或缩小；真分数的性质；利用基本不等式；函数的有界性；绝对值不等式.（3）利用导数法，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.（4）利用数学归纳法与放缩法结合.23．设m 为大于零的常数，双曲线22122:12x yC m m-=，抛物线2C 的顶点为坐标原点O ，焦点为双曲线1C 的左焦点1F ．(1)曲线1C 与2C 是否总存在交点？(2)是否存在过抛物线2C 的焦点1F 的弦AB ，使AOB 的面积有最大值或最小值？若存在，请给出弦AB 所在的直线方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)是(2)存在最小值，方程为x =【分析】（1）由抛物线2C 的顶点为坐标原点O ，焦点为双曲线1C 的左焦点1F ，求出抛物线方程，通过联立方程组判断曲线1C 与2C 是否总存在交点.（2）设直线方程，通过联立方程组，借助韦达定理，求AOB 的面积，并判断最值是否存在.【详解】（1）双曲线()22122:102x y C m m m-=>的左焦点1F 的坐标为(),0．而抛物线2C 的顶点为坐标原点O ，焦点为1F ，则2p=，从而p =，且抛物线的开口向左，于是抛物线2C 的方程为：2y =-．联立1C 与2C 的方程，即2222,22.y x y m ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩消去y 得，22220x m +-=，即220x m +-=．因为判别式()()222Δ4160m m =--=>，所以曲线1C 与2C 总有两个不同的交点．（2）若过焦点1F 的直线斜率存在，设直线斜率为k ，则直线方程为()y k x =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，由()2,.y y k x ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩消去x ，得22120y m -=．由韦达定理知，12y y k+=-，21212y y m =-，则124y y -=⋅于是AOB 的面积()111121.2AOB AOF BOF S S S OF yy =+=+ 因为12y y 、异号，所以1212y y y y +=-，则211211622AOB S OF y y m =-=⋅= 从而AOB S 无最大值，并且因为2111k +>，所以26AOB S m >△．若过焦点1F 的直线斜率不存在，则此直线的方程为x =，代入抛物线方程2y =-，得12,y y ==-．于是211211116222AOB S AB OF y y OF m =⋅=-⋅=⋅= ．综上所述，AOB S 无最大值，有最小值为26m ，此时弦AB 所在的直线方程为x =．【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．24．已知数列{}n a ,()11ππ1,2cos 2sin N .22n n n n a a a n *+==-+∈(1)求23,a a .(2)求{}n a 的通项公式；(3)设(){}2nn n a -的前n 项和为n T ,若()2024N m T m *=∈,求m .【答案】(1)234,9a a ==(2)π2sin2nn n a =-(3)4048【分析】(1)将1,2n n ==分别代入关系式运算即可.(2)考查等比数列的构造,通过构造等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可.(3)考查数列的周期性，通过对πsin2n 的周期性取值讨论求解即可.【详解】（1）当1n =时,得21ππ2cos 2sin 422a a =-+=；当2n =时,得322π2π2cos2sin 9.22a a =-+=（2）设()()11π1πππsin cos 2sin cos ,2222n n n n n n a a αβαβ+++⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭整理得()()1ππ22cos 2sin ,22n n n n a a βααβ+=+-++又1ππ2cos2sin ,22n n n n a a +=-+21,22,βααβ-=-⎧∴⎨+=⎩解得1,0,αβ=⎧⎨=⎩()11ππsin2sin ,22n n n n a a++⎛⎫∴+=+ ⎪⎝⎭又1πsin 2,2a +=。
数学高考解析几何解答题专题训练(附解析)
数学2019高考解析几何解答题专题训练（附解析）解析几何是很多考生最头疼的题目了，查字典数学网整理了解析几何解答题专题训练，其中是一些典型题型，希望考生可以好好研究。
1.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC=OA+OB，求的值.解(1)直线AB的方程是y=22x-p2，与y2=2px联立，从而有4x2-5px+p2=0，所以x1+x2=5p4.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9，所以p=4，从而抛物线方程是y2=8x.(2)由p=4，知4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0，从而x1=1，x2=4，y1=-22，y2=42，从而A(1，-22)，B(4,42).设OC=(x3，y3)=(1，-22)+(4,42)=(4+1,42-22)，又y23=8x3 ，所以[22(2-1)]2=8(4+1)，即(2-1)2=4+1，解得=0，或=2.2.已知圆心为C的圆，满足下列条件：圆心C位于x 轴正半轴上，与直线3x-4y+7=0相切，且被y轴截得的弦长为23，圆C的面积小于13.(1)求圆C的标准方程;(2)设过点M(0,3)的直线l与圆C交于不同的两点A，B，以OA，OB 为邻边作平行四边形OADB.是否存在这样的直线l，使得直线OD 与MC恰好平行?如果存在，求出l的方程;如果不存在，请说明理由. 解(1)设圆C：(x-a)2+y2=R2(a0)，由题意知|3a+7|32+42=R，a2+3=R解得a=1或a=138，又S=13，a=1，R=2.圆C的标准方程为(x-1)2+y2=4.(2)当斜率不存在时，直线l为x=0，不满足题意.当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又l与圆C相交于不同的两点，联立得y=kx+3x-12+y2=4，消去y得(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0，=(6k-2)2-24(1+k2)=12k2-24k-200，解得k 1-263或k1+263.x1+x2=-6k-21+k2，y1+y2=k(x1+x2)+6=2k+61+k2，OD=OA+OB=(x1+x2，y1+y2)，MC=(1，-3)，假设OD∥MC，则-3(x1+x2)=y1+y2，36k-21+k2=2k+61+k2，解得k=34-，1-2631+263，+，假设不成立，不存在这样的直线l.3.已知A(-2,0)，B(2,0)，点C，点D满足|AC|=2，AD=12(AB+AC).(1)求点D的轨迹方程;(2)过点A作直线l交以A，B为焦点的椭圆于M，N两点，线段MN 的中点到y轴的距离为45，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的方程.解(1)设C ，D点的坐标分别为C(x0，y0)，D(x，y)，则AC=(x0+2，y0)，AB=(4,0)，则AB+AC=(x0+6，y0)，故AD=12(AB+AC)=x02+3，y02.又AD=(x+2，y)，故x02+3=x+2，y02=y.解得x0=2x-2，y0=2y.代入|AC|=x0+22+y20=2，得x2+y2=1，即所求点D的轨迹方程为x2+y2=1.(2)易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为y=k(x+2)，①设椭圆方程为x2a2+y2a2-4=1(a24).②将①代入②整理，得(a2k2+a2-4)x2+4a2k2x+4a2k2-a4+4a2=0.③因为直线l与圆x2+y2=1相切，故|2k|k2+1=1，解得k2=13.故③式可整理为(a2-3)x2+a2x-34a4+4a2=0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=-a2a2-3.由题意有a2a2-3=245(a24)，解得a2=8，经检验，此时0.故椭圆的方程为x28+y24=1.4.已知点F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a0)的左、右焦点，P 是椭圆C上的一点，且|F1F2|=2，F1PF2=3，△F1PF2的面积为33.(1)求椭圆C的方程;(2)点M的坐标为54，0，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C相交于A，B两点，对于任意的kR，MAMB是否为定值?若是，求出这个定值;若不是，说明理由.解(1)设|PF1|=m，|PF2| =n.在△PF1F2中，由余弦定理得22=m2+n2-2mncos3，化简得，m2+n2-mn=4.由S△PF1F2=33，得12mnsin3=33.化简得mn=43.于是(m+n)2=m2+n2-mn+3mn=8.m+n=22，由此可得，a=2.又∵半焦距c=1，b2=a2-c2=1.因此，椭圆C的方程为x22+y2=1.(2)由已知得F2(1,0)，直线l的方程为y=k(x-1)，由y=kx-1，x22+y2=1消去y，得(2k2+1)x2-4k2x+2(k2-1)=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2-12k2+1.∵MAMB=x1-54，y1x2-54，y2=x1-54x2-54+y1y2=x1-54x2-54+k2(x1-1)(x2-1)=(k2+1)x1x2-k2+54(x1+x2)+2516+k2=(k2+1)2k2-22k2+1-4k2k2+542k2+1+2516+k2=-4k2-22k2+1+2516=-716.由此可知MAMB=-716为定值.5.已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a0，b0)的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线x-y+6=0相切.(1)求双曲线E的方程;(2) 已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M，过点M任意作一条直线交双曲线E于P，Q两点(P在Q点左侧)，使FPFQ为定值?若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标;若不存在，请说明理由.解(1)由题意知|6|12+-12=a，a=3.又∵2c=4，c=2，b=c2-a2=1.双曲线E的方程为x23-y2=1.(2)当直线为y=0时，则P(-3，0)，Q(3，0)，F(-2,0)，FPFQ=( -3+2,0)(3+2,0)=1.当直线不为y=0时，可设l：x=ty+m(t3)，代入E：x23-y2=1，整理得(t2-3)y2+2mty+m2-3=0(t3).(*)由0，得m2+t23.设方程(*)的两个根为y1，y2，满足y1+y2=-2mtt2-3，y1y2=m2-3t2-3，FPFQ=(ty1+m+2，y1)(ty2+m+2，y2)=(t2+1)y1y2+t(m+2)(y1+y2)+(m+2)2=t2-2m2-12m-15t2-3.当且仅当2m2+12m+15=3时，FPFQ为定值，解得m1=-3-3，m2=-3+3(舍去).要练说，得练听。
十年高考理科数学真题 专题九 解析几何 二十九 曲线与方程及答案
专题九 解析几何第二十九讲 曲线与方程2019年1.（2019北京理8）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C :x 2+y 2=1+x y 就是其中之一（如图）。
给出下列三个结论：① 曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ② 曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2; ③ 曲线C 所围城的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（A ）① （B ）② （C ）①② （D ）①②③2．（2019浙江15）已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方， 若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______.3．（2019江苏17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）求点E 的坐标．4.（2019全国III 理21（1））已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积.5.（2019北京理18）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程； (II)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =-1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点.6.（2019全国II 理21）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.7. （2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .（1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标. 8.（2019天津理18）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为5. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.2010-2018年解答题1．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程． 2．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．3．(2016年山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的离心率是2，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上；（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标．4．(2016年天津)设椭圆13222=+y ax (a >的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠∠≤，求直线l 的斜率的取值范围．5．(2016年全国II)已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．6．（2015湖北）一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不动时，N也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．7．（2015江苏）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率为22，且右焦点F 到左准线l 的距离为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过F 的直线与椭圆交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点,P C ，若2PC AB =，求直线AB 的方程．8．（2015四川）如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b=>>的离心率是22，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为22（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2015北京）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为22，点()01P ，和点 ()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．10．（2015浙江）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点,A B 关于直线12y mx =+对称． （Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．11．（2014广东）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为5,0)，5（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．12．（2014辽宁）圆224x y +=的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如图），双曲线22122:1x y C a b-=过点P 3．（1）求1C 的方程；（2）椭圆2C 过点P 且与1C 有相同的焦点，直线l 过2C 的右焦点且与2C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程．13．（2013四川）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点分别为1(10)F -，，210F （，），且椭圆C 经过点），3134(P ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率（Ⅱ）设过点），（20A 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，点Q 是MN 上的点，且 222112ANAMAQ+=，求点Q 的轨迹方程．14．（2012湖南）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的点均在2C ：22(5)9x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值. （Ⅰ）求曲线1C 的方程；（Ⅱ）设00(,)P x y （3y ≠±）为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A ，B 和C ，D.证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值．15．（2011天津）在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动点，12,F F 分别为椭圆22221x y a b+=的左右焦点．已知△12F PF 为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；（Ⅱ）设直线2PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是直线2PF 上的点，满足2AM BM ⋅=-u u u u r u u u u r ，求点M 的轨迹方程．16．（2009广东）已知曲线2:C y x =与直线:20l x y -+=交于两点(,)A A A x y 和(,)B B B x y ，且A B x x <．记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D ．设点(,)P s t 是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合． （1）若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；（2）若曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=与D 有公共点，试求a 的最小值． 专题九 解析几何第二十九讲 曲线与方程答案部分1. 由221x y x y +=+可得221y x y x -=-.配方得2230241x x y ⎛⎫-≥ ⎪ ⎪⎝⎭-=，解得234x ≤.所以x 可取的整数值为-1，0，1，则曲线经过()()()()()()1,0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,1,----这6个整点，结论①正确；当x ＞0时，由221x y xy +=+得222212x y x y xy ++-=≤（当x=y 时取等号），所以222x y +≤，所以222x y +≤，即曲线C 上y 轴右边的点到原点的距离不超过2，结论②正确；根据对称性可得：曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2；故②正确．如图所示，()()()()0,1,1,0,1,1,0,1A B C D -13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=， 根据对称性可知23ABCD S S >=心形. 即心形区域的面积大于3，故③错误． 正确结论为①②. 故选C ．2．解析 设椭圆的右焦点为F '，连接PF '，线段PF 的中点A 在以原点O 为圆心，2为半径的圆， 连接AO ，可得24PF AO '==，设P 的坐标为（m,n ），可得2343m -=，可得32m =-，15n =，由(2,0)F -，可得直线PF 的斜率为15215322=-+．3.解析 （1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(-1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1. 又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2222211253()222DF F F -=-=， 因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4). 又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2.由22()22116y x x y =+-+=⎧⎨⎩，得256110x x +-=， 解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得 125y =-， 因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-.由221433(1)4x y x y ⎧⎪⎪⎨⎪+=-⎩=⎪，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图所示，联结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ， 从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ， 所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221431x x y ⎧⎪⎨+==-⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-. 因此3(1,)2E --. 4. 解析（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y x x t+=- ，整理得112 2 +1=0. tx y -设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.故直线AB 的方程为2210tx y -+=. 所以直线AB 过定点1(0,)2.5.解析（I ）由抛物线2:2C x py =-经过点()2,1-，得2p =.所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =. （II ）抛物线C 的焦点为()0,1-，设直线l 的方程为()10y kx k =-≠.由241x y y kx ⎧=-⎨=-⎩，得2440x kx +-=. 设()()1122,,,,Mx y N x y 则124x x=-.直线OM 的方程为11y y x x =，令1y =-，得点A 的横坐标为11A x x y =- 同理可得点B 的横坐标22B x x y =-.设点()0,Dn ，则()()2212122212121144x x x x DA DB n n y yx x ⋅=++=++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r()()221216141n n x x =++=-++. 令0,DA DB ⋅=uu u r uu u r 即()2410n -++=，得1n =或3n =-.综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点()()0,10,-3和．6．解析（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =．记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得 22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uk y k =+．从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =||PG =，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号．因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169．因此，△PQG 面积的最大值为169．7．解析 （I ）由题意得12p=，即p =2.所以，抛物线的准线方程为x =−1.（Ⅱ）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t-=+，代入24y x =，得 ()222140t y y t---=，故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t-=-，得()21,0Q t-.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23A c t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-. 令22m t =-，则m >0，1221222134324S m S m m m m =-=-=+++++….当m =12S S取得最小值1+G （2，0）.8.解析 （Ⅰ）设椭圆的半焦距为c ，依题意，24,c b a ==，又222a b c =+，可得a =2,b =1c =.所以，椭圆的方程为22154x y +=. （Ⅱ）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，.设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222154y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P kx k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P p y k x k-=-.在2y kx =+中，令0y =，得2M x k =-.由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k -.由OP MN ⊥，得2451102k k k-⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而k =所以，直线PB或. 2010-2018年1．【解析】(1)因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．(2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)44364(48)20x x y y y x =--+-=-=∆． 因为00,0x y >，所以001x y ==． 因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=7AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为y =+2．【解析】（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)N x ，0(,)NP x x y =-u u u r ，0(0.)NM y =u u u u r．由NP =u u u r u u u r得 0x x =，02y y =． 因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y +=． 因此点P 的轨迹方程为222x y +=．（2）由题意知(1,0)F -．设(3,)Q t -，(,)P m n ，则(3,)OQ t =-u u u r ，(1,)PF m n =---u u u r ，33OQ PF m tn ⋅=+-u u u r u u u r， (,)OP m n =u u u r ，(3,)PQ m t n =---u u u r，由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=．所以0OQ PF ⋅=u u u r u u u r ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r．又过点P 存在唯一直线垂直与OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 3．【解析】(Ⅰ) 由离心率是23，有224=b a ， 又抛物线y x 2=2的焦点坐标为)21,0(F ，所以21=b ，于是1=a ，所以椭圆C 的方程为1=4+22y x ．(Ⅱ) （i ）设P 点坐标为2,),(0)2m Pm m >（， 由y x 2=2得x y =′，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ， 因此切线l 的方程为2=2m mx －y ，设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，将2=2m mx －y 代入1=4+22y x ，得0=1+4)4+12322－m x m －x m （．于是23214+14=+m m x x ，232104+12=2+=m m x x x ， 又2200222(14)m m y mx m -=-=+， 于是 直线OD 的方程为x m－y 41=． 联立方程x m －y 41=与m x =，得M 的坐标为1(,)4M m -． 所以点M 在定直线41=y －上．（ii ）在切线l 的方程为2=2m mx －y 中，令0x =，得22m y =－，即点G 的坐标为2(0,)2m G -，又2(,)2m P m ，1(0,)2F ， 所以4)1+(=×21=S 21m m GF m ；再由32222(,)412(41)m m D m m -++，得 )1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 2222322m m m m m m m于是有 222221)1+2()1+)(1+4(2=S S m m m ． 令1+2=2m t ，得222111+2=)1+)(21(2=S S t －t t t t － 当21=1t时，即2=t 时，21S S 取得最大值49．此时21=2m ，22=m ，所以P 点的坐标为)41,22P(． 所以21S S 的最大值为49，取得最大值时点P的坐标为1()24P ． 4．【解析】（Ⅰ）设(,0)F c ，由113||||||c OF OA FA +=，即113()cc a a a c +=-， 可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=． （Ⅱ）解：设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k ．解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B ，从而34122+-=k k y B． 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k BF . 由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以034123449222=+++-k ky k k H，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=．设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=)2(124912x k y k k x k y 消去y ，解得)1(1292022++=k k x M . 在MAO ∆中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即1)1(1292022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k ． 所以，直线l 的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞Y ． 5．【解析】（I ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >．当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，， 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π． 因此直线AM 的方程为2y x =+．将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=． 解得0y =或127y =，所以1127y =． 所以AMN △的面积为21112121442227749AMN S AM ∆==⨯⨯⨯=． （Ⅱ）由题意知3,0,(t k A >>，则直线AM的方程为(y k x =，联立()2213x y t y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222223230tk x t tk x t k t +++-=解得x t =-或23t tk tx -=-，所以2223611t tk t t AM k t k -=+-+=+⋅ 由题意MA NA ⊥，所以AN 的方程为1()y x t k=-+， 同理可得26(1)||k t k AN +=由2AM AN =,得22233k tk k t=++，即3(2)3(21)k t k k -=- 当32k =时上式成立，因此23632k kt k -=-． 因为3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<- 即3202k k -<-，解得322k <<． 6．【解析】（Ⅰ）设点(,0)D t (||2)t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =u u u u r u u u r，且||||1DN ON ==u u u r u u u r ，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且2200220()11x t y x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 即00222t x x ty y -=-⎧⎨=-⎩，且0(2)0t t x -=．由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42x y x y ==-，代入22001x y +=，可得221164x y +=，即所求的曲线C 的方程为221164x y +=．（Ⅱ）（1）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有14482OPQ S ∆=⨯⨯=．（2）当直线l 的斜率存在时，设直线1:()2l y kx m k =+≠±，由22416y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ ，消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=． 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以2222644(14)(416)0k m k m ∆=-+-=，即22164m k =+． ① 又由,20,y kx m x y =+⎧⎨-=⎩可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m Q k k -++．由原点O 到直线PQ 的距离为d =和|||P Q PQ x x =-，可得22111222||||||||222121214OPQP Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-．② 将①代入②得，222241281441OPQk m S k k ∆+==--． 当214k >时，2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--；当2104k ≤<时，2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--．因2104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以228(1)814OPQ S k∆=-+≥-， 当且仅当0k =时取等号．所以当0k =时，OPQ S ∆的最小值为8．综合（1）（2）可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8．7．【解析】（1）由题意，得c a =且23a c c +=，解得a =1c =，则1b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）当AB ⊥x 轴时，AB =C 3P =，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ，将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210k x k x k +-+-=，则1,2x=C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且)22112k AB k+===+．若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而0k ≠，故直线C P 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，则P 点的坐标为()22522,12k k k ⎛⎫+ ⎪- ⎪+⎝⎭，从而(()2223112k PC k k +=+． 因为2PC AB=，所以(())222223111212k k k k k++=++，解得1k =±．此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+． 8．【解析】（1）由已知，点在椭圆E 上．因此，22222211,,2a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2a =，b =所以椭圆的方程为22142x y +=． （2）当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点． 如果存在定点Q 满足条件，则||||1||||QC PC QD PD ==，即||||QC QD =． 所以Q 点在y 轴上，可设Q 点的坐标为0(0,)y ．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M、N 两点．则M ，(0,N ， 由||||||||QMPM QN PN ==，解得01y =或02y =． 所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q ． 下面证明：对任意的直线l ，均有||||||||QA PA QB PB =．当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．联立221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=． 其判别式22168(21)0k k ∆=++>， 所以，12122242,2121k x x x x k k +=-=-++． 因此121212112x x k x x x x ++==． 易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为22(,)B x y '-．又121122122111,QA QB y y k k k k k x x x x x '--==-==-+=--， 所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线． 所以12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='．故存在与P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立． 9．【解析】（Ⅰ）由题意得2221,,.b caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2a =2．故椭圆C 的方程为2212x y +=． 设M (N x ，0)．因为0m ≠，所以11n -<<．直线PA 的方程为11n y x m--=， 所以M x =1m n -，即(,0)1mM n-．（Ⅱ）因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以(,)B m n -， 设(,0)N N x ，则N x =1mn+． “存在点(0,)Q Q y 使得OQM ∠=ONQ ∠等价”，“存在点(0,)Q Q y 使得OM OQ=OQ ON”即Q y 满足2Q M N y x x =．因为1M m x n =-，1N mx n=+，2212m n +=， 所以22221Q MN m y x x n ===-．所以Q y或Q y =故在y 轴上存在点Q ，使得OQM ∠=ONQ ∠． 点Q的坐标为或(0,．10．【解析】（Ⅰ）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+． 由22112y x b m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y ，得222112()102b x x b m m +-+-=．因为直线1y x b m=-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点， 所以224Δ220b m=-++>，① 设M 为AB 的中点，则2222(,)22mb m bM m m ++， 代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=-．②由①②得3m <-或3m >．（Ⅱ）令1((0,)22t m =∈-U ，则2||2AB t =+且O 到直线AB的距离21t d +=． 设ΔAOB 的面积为()S t ，所以1()||2S t AB d =⋅= 当且仅当212t =时，等号成立． 故ΔAOB． 11．【解析】（Ⅰ）可知c =c a =，3a ∴=，2224b a c =-=，椭圆C 的标准方程为22194x y +=； （Ⅱ）设两切线为12,l l ，①当1l x ⊥轴或1//l x 轴时，对应2//l x 轴或2l x ⊥轴，可知(3,2)P ±±②当1l 与x 轴不垂直且不平行时，03x ≠±，设1l 的斜率为k ，则0k ≠，2l 的斜率为1k-，1l 的方程为00()y y k x x -=-，联立22194x y +=，得2220000(94)18()9()360k x y kx kx y kx ++-+--=，因为直线与椭圆相切，所以0∆=，得222200009()(94)[()4]0y kx k k y kx --+--=，2200364[()4]0k y kx ∴-+--=，2220000(9)240x k x y k y ∴--+-=所以k 是方程2220000(9)240x x x y x y --+-=的一个根，同理1k-是方程2220000(9)240x x x y x y --+-=的另一个根，1()k k ∴⋅-=202049y x --，得220013x y +=，其中03x ≠±， 所以点P 的轨迹方程为2213x y +=（3x ≠±），因为(3,2)P ±±满足上式，综上知：点P 的轨迹方程为2213x y +=． 12．【解析】（Ⅰ）设圆的半径为r ，P 点上下两段分别为,m n ，24r =，由射影定理得2r mn =，三角形的面积s ==≥=当2m n ==时，s取得最大，此时P∵222cc b a a==+，P 在双曲线上 ∴222321c b a ===，，，∴双曲线的方程为22-12y x = （Ⅱ）由（Ⅰ）知2C的焦点为，由此设2C 的方程为22221113x y b b +=+，其中10b >，由P 在2C 上，得213b =，∴2C 的方程为22163x y +=， 显然，l 不是直线0y =，设l的方程为x my =+1122(,),(,)A x y B x y ，由22163x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得22(2)-30m y ++=，∴12122-32y y y y m +==+①11220(PA PB x y x y =•=u u u r21212(1))m y y m y y =++++由①②得220m +=，解得12m m ==因此直线l的方程02x y -=或02x y -= 13．【解析】（Ⅰ）由椭圆定义知，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|=所以a =c ＝1.所以椭圆C的离心率2c e a ===． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，椭圆C 的方程为22x ＋y 2＝1．设点Q 的坐标为(x ，y )．(ⅰ)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为0,2⎛ ⎝⎭． (ⅱ)当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋2． 因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(1x ，k 1x ＋2)，(2x ，k 2x ＋2)， 则|AM |2＝(1＋k 2)21x ，|AN |2＝(1＋k 2)22x ． 又|AQ |2＝x 2＋(y －2)2＝(1＋k 2)2x ． 由222211||||||AQ AM AN =+，得22222212211111k x k x k x =+(+)(+)(+)，即212122222212122211x x x x x x x x x (+)-=+=.① 将y ＝kx ＋2代入22x ＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2＋8kx ＋6＝0.②由Δ＝(8k )2－4×(2k 2＋1)×6＞0，得k 2＞32.由②可知，12x x +＝2821k k -+，12x x ＝2621k +， 代入①中并化简，得2218103x k =-.③因为点Q 在直线y ＝kx ＋2上， 所以2y k x-=，代入③中并化简，得10(y －2)2－3x 2＝18.由③及k 2＞32，可知0＜x 2＜32，即x ∈⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∪⎛ ⎝⎭.又0,25⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭满足10(y －2)2－3x 2＝18，故x ∈,22⎛- ⎝⎭. 由题意，Q (x ，y )在椭圆C 内，所以－1≤y ≤1.又由10(y －2)2＝18＋3x 2有(y －2)2∈99,54⎡⎫⎪⎢⎣⎭且－1≤y ≤1，则y ∈1,225⎛- ⎝⎦. 所以，点Q 的轨迹方程为10(y －2)2－3x 2＝18，其中x ∈⎛⎝⎭，y ∈1,22⎛- ⎝⎦. 14．【解析】（Ⅰ）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为220y x =．解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =．（Ⅱ）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.于是3.=整理得 2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y yk k +=-=- ② 由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则12,y y 是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤于是由②，④，⑤三式得010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=22001212400[16]6400y y k k k k -+==.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值6400． 15．【解析】（Ⅰ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，由题意，可得212||||,PF F F =2.c = 整理得22()10,1cc c aa a +-==-得（舍），或1.2c a =所以1.2e =（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知2,,a c b ==可得椭圆方程为2223412,x y c +=直线PF 2方程为).y x c =-A ，B两点的坐标满足方程组2223412,).x y c y x c ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩消去y 并整理，得2580.x cx -= 解得1280,.5x x c ==得方程组的解21128,0,5,.x c x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎪⎨⎨=⎪⎪⎩=⎪⎩不妨设8(),(0,)5A c B 设点M的坐标为8(,),(,),(,)55x y AM x c y c BM x y =--=+u u u u r u u u ur 则，由),.3y x c c x y =-=-得于是38(,),15555AM y x y x =--u u u u r().BM x =u u u u r 由2,AM BM ⋅=-u u u u r u u u u r即38()()215555y x x y x -⋅+-=-，化简得218150.x --=将22105,0.316x y c x y c x +==-=>得所以0.x >因此，点M的轨迹方程是218150(0).x x --=>16．【解析】（1）联立2x y =与2+=x y 得2,1=-=B A x x ，则AB 中点)25,21(Q ，设线段PQ 的中点M 坐标为),(y x ，则225,221ty s x +=+=，即252,212-=-=y t x s ，又点P 在曲线C 上，∴2)212(252-=-x y 化简可得21128y x x =-+，又点P 是L 上的任一点，且不与点A 和点B 重合，则22121<-<-x ，即4541<<-x ，∴中点M 的轨迹方程为21128y x x =-+（4541<<-x ）． （2）曲线22251:24025G x ax y y a -+-++=，即圆E ：2549)2()(22=-+-y a x ，其圆心坐标为)2,(a E ，半径57=r ，设圆G 与直线l ：20x y -+=相切于点(,)T T T x y ，75=，即5a =±．过点(,2)N a 与直线l 垂直的直线l '的方程是21()y x a -=-⨯-，即20x y +-=．由2020x y x y a -+=⎧⎨+--=⎩，解得2T a x =，22T ay =+．当5a =-时，1210T x -<<-<． ∵1,2-分别是D 上的点的最小和最大横坐标，∴切点T D ∈，故min 5a =-．。
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九
16．(本小题满分12分) 在等差数列{}n a 中，218a a -=，且4a 为2a 和3a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和．
17．(本小题满分12分) 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且
23
2c o s c o s s i n ()s i n 25A B
B A B B ---=-．
（Ⅰ）求cos A 的值；
（Ⅱ）若a =5b =，求向量BA 在BC 方向上的投影．
20．(本小题满分13分) 已知椭圆C ：22
221,(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆C 经过点41(,)33
P ． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率；
（Ⅱ）设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222
211||||||AQ AM AN =+，求点Q 的轨迹方程．
21．(本小题满分14分)已知函数22,0()ln ,0
x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，其中a 是实数．设11(,())A x f x ，
22(,())B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <．
（Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值； （Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围．。