专题复习：概率 陈德斌
必修3第三章《概率》复习课
数学
年级
高二
备课组组长
主备人
授课时间
2020年 月 日
单元
（第几单元）第三章总复习
课题
必修3第三章《概率》复习课
教材分析
随机事件的概率，随机现象的产生，频率与概率的关系与区别
课程标准
要求
通过本节课学习使学生掌握必然事件，不可能事件，确定事件，随机事件，频数与频率，概率的六种基本性质，古典概型，几何概型，互斥事件，对立事件等内容。
课前3分钟教育
课前三分钟防疫情及爱国主义教育
课型
复习课
教学目标
1、随机事件的概率；随机现象的发生；频率与概率的区别。
2、利用古典概型与几何概型可以求一些随机事件的概率；随机模拟。
教学重点
应用概率解决实际问题
教学难点
应用概率解决实际问题
教学方法
讲授法，归纳、总结、讨论、交流
学习方法
自主学习，合作学习
教学用具
教材书，课件，班班通，粉笔
课时数
2课时
设计
意图
师生
活动
师生 们共 同讨 论实 例， 提出 自己
的观 点， 老师， 学生进行 讨论。
首先
学生
们对
每一
个实
例提
出自
己的
观点，
然后
在老
师的
引导
下解
决问
题。
首先
学生
们对
每一
个实
例提
出自
己的
观点，
题。
首先第三章的有关内容与定义提问的形式来让学生想起。
（1）频率本身是随机的，在试验前___________确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同。
第六章 概率初步(单元小结)-北师大版数学七年级下册
【要点指导】随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐稳定在一个常数附近, 可以用这个数估计概率. 概率是反映事件发生可能性大小的数值, 它表示事件发生的可能性的大小, 机会大也不一定发生.
考点专练
例3：如图一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域, 并涂上了相应的颜色, 转动转盘, 转盘停止后, 指针指向蓝色区域的概率是( ).A． B． C． D．
要点梳理
4、概率的计算及其应用
等可能事件的概率计算公式：
一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，事件A包含其中的m个结果，那么事件A发生的概率为：
与面积相关的等可能事件概率的求法：事件A的概率等于事件A所包含的图形面积m与图形总面积n的比. P(A)=
图6-Z-3
D
考点专练
D
考点专练
A． 袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球, 从中随机取1个, 取到红球B． 掷一枚质地均匀的正六面体骰子, 向上的面的点数是偶数C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币, 两次都出现反面D． 先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子, 两次向上的面的点数之和是7或超过9
考点专练
分析：A项, 袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球, 从中随机取1个, 取到红球的概率为 , 不符合题意；B项, 掷一枚质地均匀的正六面体骰子, 向上的面的点数是偶数的概率为 ,不符合题意；C项, 先后两次掷一枚质地均匀的硬币, 两次都出现反面的概率为 , 不符合题意；D项, 先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子, 两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为 , 符合题意.
单元复习
数学（北师大版）
七年级 下册
第六章 概率初步
本
章
知
识
2023-2024学年六年级下学期数学总复习统计与概率《可能性》(教案)
20232024学年六年级下学期数学总复习统计与概率《可能性》（教案）一、教学内容：本节课的教材章节为《可能性》。
详细内容包括随机事件的定义、概率的计算方法以及如何运用概率解决实际问题。
二、教学目标：通过本节课的学习，学生能够理解随机事件的含义，掌握概率的基本计算方法，并能够运用概率解决实际问题。
三、教学难点与重点：教学难点是概率的计算方法，特别是如何正确地计算事件的概率。
教学重点是让学生能够理解和运用概率解决实际问题。
四、教具与学具准备：为了更好地进行教学，我准备了一些教具和学具，包括黑板、粉笔、教学卡片、计算器以及与概率相关的实际问题实例。
五、教学过程：1. 引入：以一个简单的抽奖活动引入本节课的主题，让学生亲身体验随机事件和概率的概念。
2. 讲解：通过讲解教材中的例题，让学生理解随机事件的定义和概率的计算方法。
同时，结合实例进行讲解，让学生更加深入地理解概率的运用。
3. 练习：在讲解后，给出一些随堂练习题，让学生运用所学的概率计算方法进行解答。
及时给予学生反馈，帮助他们在实践中巩固知识。
4. 应用：通过解决实际问题，让学生将所学的概率知识运用到实际生活中，培养他们的解决问题的能力。
六、板书设计：板书设计将包括随机事件的定义、概率的计算方法以及实际问题的解答过程。
通过清晰的板书，帮助学生理解和记忆概率的知识。
七、作业设计：2. 答案：硬币正面向上的概率为1/2，因为硬币有两面，正面和反面，每次抛掷只有两种可能的结果；红桃牌的概率为1/48，因为一副扑克牌中有52张牌，其中红桃牌有13张，所以随机抽取一张红桃牌的概率是13/52，即1/4。
八、课后反思及拓展延伸：在课后，我将反思本节课的教学效果，看看是否达到了教学目标，并针对学生的掌握情况做出相应的调整。
同时，我会给学生提供一些拓展延伸的材料，让他们进一步深入研究概率的奥秘，激发他们对数学的兴趣和热爱。
重点和难点解析：在上述教学计划中，我认为有几个重点和难点需要特别关注。
第25章 概率初步 核心素养整合与提升-2022-2023学年九年级全一册初三数学(人教版)
第25章概率初步核心素养整合与提升-2022-2023学年九年级全一册初三数学(人教版)引言概率是数学中的一门重要分支，它被广泛应用于各个领域，如统计学、物理学、经济学等。
学习概率不仅可以提高我们的数学思维能力，还能帮助我们更好地理解世界。
在初三数学课程中，概率初步的学习与应用将成为我们的重点。
本文档将介绍概率初步的核心素养，并提供相关练习和习题。
一、理论基础1.概率的定义概率是描述一个事件发生可能性大小的数字。
在数学中，概率用一个介于0和1之间的数来表示，0表示不可能发生，1表示一定发生。
2.基本事件与样本空间在概率的研究中，我们将可能发生的事件称为基本事件，而所有可能的基本事件组成的集合称为样本空间。
3.事件的运算在概率的计算中，我们经常需要对事件进行运算，如求并集、交集、补集等。
4.频率与概率的关系频率和概率是概率论的基本概念。
频率是指在重复试验中某个事件发生的次数与重复试验的总次数的比值。
当重复试验次数趋于无穷大时，频率会接近概率值。
二、概率的计算方法1.古典概型古典概型是指在满足一定条件的随机试验中，样本空间中的每个基本事件发生的可能性相等。
2.几何概型几何概型是指通过几何图形的面积或长度等来计算概率的方法。
常见的几何概型包括长方形、圆形、三角形等。
3.相对频率法相对频率法是指通过实验的方式来估计概率。
通过重复进行相同的试验并记录事件发生的次数，可以得到一个近似的概率值。
4.事件的互斥与相容互斥事件是指两个事件不能同时发生，而相容事件是指两个事件可以同时发生。
三、概率的应用1.排列与组合排列与组合是概率应用中常见的问题类型。
排列是指从一组对象中按照一定顺序选择对象，组合是指从一组对象中无序选择对象。
2.事件的独立性与非独立性独立事件是指一个事件的发生不受其他事件发生与否的影响，非独立事件是指一个事件的发生受其他事件发生与否的影响。
3.条件概率与贝叶斯定理条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。
2024九年级数学下册第4章概率集训课堂测素质概率及其应用习题课件新版湘教版
7 如图，电路图上有4个开关A，B，C，D和1个小灯泡， 同时闭合开关A，B或同时闭合开关C，D都可以使小 灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随 机事件的是( ) A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关 C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关
【点拨】 A.只闭合1个开关，小灯泡不会发光，是不可能事
15 (16分)为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好 一件家务”主题活动，要求全班同学人人参与．经统计， 同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭”“刷碗”． 班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示.
家务类型 洗衣 拖地 煮饭 刷碗 人数(人) 10 12 10 m
根据上面图表信息，回答下列问题： (1)m＝____8____； (2)在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角பைடு நூலகம்数为__1_0_8_°___； (3)班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的4名
【答案】A
6 [2023·泸州]从 1，2，3，4，5，5 六个数中随机选取一
个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为( )
A．16 C．12
B．13 D．23
【点拨】 ∵1，2，3，4，5，5 六个数中，众数是 5，有 2 个，
∴随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为 26＝13.故选 B. 【答案】B
字不同的两位数，其中是偶数的概率为____9____．
【点拨】
0不能在最高位，而且个位数字与十位数字不同，列
表如下：
十位
个位
123
0
10 20 30
1
21 31
2
12
32
3
13 23
∴一共有可以组成符合要求的 9 个数字，偶数有 10，12， 20，30，32，∴是偶数的概率为59.
高考数学概率统计专题复习(专题训练)完整版.doc
高考数学《概率统计》复习知识结构1.注意：互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件。
2.（1）试验的所有可能结果为有限个，每次试验只出现其中的一个结果；（2）每一个试验结果出现的可能性相等。
（3）古典概型的概率公式：P(A)＝事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数＝mn.3.几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（或面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概型。
几何概型的概率公式：设某一事件（也是S中的某一区域），S包含A，它的量度大小（长度、面积或体积）为()Aμ，考虑到均匀分布性，事件A发生的概率() ()()A P ASμμ=.4.统计学中的几个基本概念：（1）样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
（2）平均数计算公式：一般地，如果有n 个数n x x x ,,,21⋅⋅⋅，则n21n x x x x +⋅⋅⋅++=. （3）加权平均数：如果n 个数中，出现次，出现次，…，出现次（这里n f f f k =+⋅⋅⋅++21），那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为n2211n n f x f x f x x +⋅⋅⋅++=，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中k f f f ,,,21⋅⋅⋅叫做权。
（4）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
（5）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
（6）方差：在一组数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，通常用“s 2”表示。
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定。
（7）方差计算公式：])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=. 简化计算公式，有：])[(122222212x n x x x ns n -+⋅⋅⋅++= 也可写成22222212])[(1x x x x n s n -+⋅⋅⋅++=. 此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。
《概率论与数理统计》复习资料要点总结
《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则（1）BAAB A B B A =⋃=⋃ （2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃（4）BA AB B A B A ⋃==⋃ 3．概率)(A P 满足的三条公理及性质：（1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP （3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）（4）0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤（7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率6．条件概率（1）定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2）乘法公式：)|()()(B A P B P AB P =若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有（3）全概率公式：∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4）Bayes 公式：∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性：B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分布1．离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2．连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P 3．几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布),1(p B p X P ==)1(，pq X P -===1)0(p pq 二项式分布),(p n B n k q p C k X P kn k k n ,2,1,0,)(===-，npnpqPoisson 分布)(λP,2,1,0,!)(===-k k e k X P kλλλλ几何分布)(p G,2,1 ,)(1===-k p qk X P k p 12p q 均匀分布),(b a U b x a a b x f ≤≤-= ,1)(，2b a +12)(2a b -指数分布)(λE 0,)(≥=-x e x f x λλλ121λ正态分布),(2σμN 222)(21)(σμσπ--=x ex f μ2σ4．分布函数)()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续；（4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>；（5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5．正态分布的概率计算以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有（1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==>6．随机变量的函数)(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇专题6概率与统计第1讲概率核心考点2相互独立事件的概率正
核心考点2 相互独立事件的概率、正态分布核心知识· 精归纳1.概率的几个性质(1)如果A ⊆B ，则P (A )≤P (B )；(2)设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )． 2.正态分布①P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈_0.682_7__； ②P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈_0.954_5__； ③P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈_0.997_3__.多维题组· 明技法角度1：相互独立事件的概率1. (2023·西安二模)已知从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，现从两袋中各摸出一个球，下列结论错误的是( C )A ．两个球都是红球的概率为16B ．两个球中恰有1个红球的概率为12C ．两个球不都是红球的概率为13D ．至少有1个红球的概率为23【解析】 两个球都是红球的概率为13×12＝16，故A 正确；两个球中恰有1个红球的概率为13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×12＝12，故B 正确；两个球不都是红球的对立事件为两个球都是红球，所以概率为1－16＝56，故C 错误；至少有1个红球包含两个球都是红球、两个球中恰有1个红球，所以概率为16＋12＝23，故D 正确．故选C.2. (2023·咸阳模拟)某中学举行疾病防控知识竞赛，其中某道题甲队答对该题的概率为34，乙队和丙队答对该题的概率都是23.若各队答题的结果相互独立且都进行了答题．则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率为( C )A.12B ．13C ．736D ．16【解析】 记“甲队答对该题”为事件A ，“乙队答对该题”为事件B ，“丙队答对该题”为事件C ，则甲、乙、丙三支竞赛队伍中恰有一支队伍答对该题的概率P ＝P (A B －C －＋A－B C －＋A －B －C )＝P (A B －C －)＋P (A －B C －)＋P (A －B －C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736.故选C.角度2：正态分布3. (2023·雁塔区校级三模)我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗—拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量Y ～B (n ，p )，当n 充分大时，二项随机变量Y 可以由正态随机变量X 来近似，且正态随机变量X 的期望和方差与二项随机变量Y 的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了p ＝12的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的p 进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为( B )(附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5，P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.997 3)A ．0.158 7B ．0.022 8C ．0.002 7D ．0.001 4【解析】 抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为X ，则X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫100，12，故E (X )＝np ＝100×12＝50，D (X )＝np (1－p )＝100×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝25，由题意可得，X ～N (μ，σ2)，且μ＝E (X )＝50，σ2＝D (X )＝25，∵P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.954 5，∴用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为P (X ＞60)＝P (X ＞50＋2×5)＝1－0.954 52≈0.022 8.故选B. 4. (2023·宁波二模)设随机变量ξ服从正态分布，ξ的分布密度曲线如图所示，若P (ξ＜0)＝p ，则P (0＜ξ＜1)与D (ξ)分别为( C )A.12－p ，12 B ．p ，12C.12－p ，14D ．p ，14【解析】 根据题意，且P (ξ＜0)＝p ，则P (0＜ξ＜1)＝1－2p 2＝12－p ，由正态曲线得ξ～N ⎝⎛⎭⎪⎫1，⎝ ⎛⎭⎪⎫122，所以D (ξ)＝14.故选C.方法技巧· 精提炼1.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．2.利用正态密度曲线的对称性研究概率问题正态密度曲线关于x ＝μ对称，正态密度曲线与x 轴之间的面积为1，注意下面两个结论的活用：(1)P (X <a )＝1－P (X ≥a )；(2)P (X ≤μ－σ)＝P (X ≥μ＋σ)．加固训练· 促提高1. (2023·茂名模拟)甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲、乙两人平局的概率为0.2.若甲、乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为( C )A ．0.36B ．0.49C ．0.51D ．0.75【解析】 甲、乙两人进行象棋比赛，甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲、乙两人平局的概率为0.2.甲、乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，由乙至少赢甲一局是指两局比赛中乙两局全胜或第一局乙胜第二局乙不胜，或第一局乙不胜第二局中乙胜，乙至少赢甲一局的概率为：P ＝0.3×0.3＋0.3×0.7＋0.7×0.3＝0.51.故选C.2. (2023·江西模拟)某地市在2023年全市一模测试中，全市高三学生数学成绩X 服从正态分布N (90，σ2)，已知P (88<X <92)＝0.32，P (X <85)＝m ，则下列结论正确的是( A )A ．0<m <0.34B ．m ＝0.34C ．0.34<m <0.68D ．m ＝0.68【解析】 因为X 服从正态分布N (90，σ2)，所以μ＝90，已知P (88<X <92)＝0.32，且x ＝88与x ＝92关于x ＝90对称，P (X <85)＝m <P (X <88)＝12[1－P (88<X <92)]＝0.34，所以0<m <0.34.故选A.。
第8章概率(考点串讲)高二数学下学期期末考点大串讲(2019选择性)
考点7 .两点分布（或0－1分布） 如果随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
其中0＜p＜1，则称离散型随机变量X服从两点分布或0－1分布.其中p＝P（X＝ 1）称为成功概率.
考点8.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件 （不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为
【例题5】(多选)已知随机变量X的概率分布如表(其中a为常数)：
X0 1 2 34 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的是
√A.a＝0.1
C.P(X≥3)＝0.4
√B.P(X≤2)＝0.7 √D.P(X≤1)＝0.3
题型5. 概率分布的性质
X0 1 2 34 P 0.1 0.2 0.4 0.2 a 因为0.1＋0.2＋0.4＋0.2＋a＝1，解得a＝0.1，故A正确； 由概率分布知P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝0.1＋0.2＋0.4 ＝0.7，故B正确； P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.2＋0.1＝0.3，故C错误； P(X≤1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.1＋0.2＝0.3，故D正确.
考点9. 正态分布
若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a<X≤b)是__正__态__密__度__曲___ 线下方 和 x轴上(a，b]上方 所围成的图形的面积，我们就称随机变量X 服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为 X～N(μ，σ2) . 4.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 (1)落在区间(μ－σ，μ＋σ)内的概率约为 68.3% . (2)落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内的概率约为 95.4% . (3)落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率约为 99.7% . 5.正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝ μ ，D(X)＝ σ2 .
精品同步讲义 数学(选择性必修第三册 人教A版2019)：条件概率
的是（ ）
A． P B A P A B 1
B． P AB P A PB
C． P B P B A
D． P AB P B A
【答案】D
【详解】A：由 P B
A P A
B
1，而 0
PB
A,P A
B 1，则 P B
A
P( AB) P( A)
PA
B
P( AB) P(B)
1，
③设 B 和 B 互为对立事件，则 P(B | A) 1 P(B | A) ． ④任何事件的条件概率都在 0 和 1 之间，即： 0 P(B | A) 1 .
知识点 04：事件的相互独立性
（1）事件 A 与事件 B 相互独立：对任意的两个事件 A 与 B ,如果 P( AB) P( A)P(B) 成立，则称事件 A 与
第二次取出红球设为事件 B ，
则 P A 8 4 ，则 P B A 2 ，
10 5
9
所以第二次才取出红球的概率是 P AB P A P B A 4 2 8 . 5 9 45
故答案为： 8 45
【典例 3】（2024·全国·高三专题练习）某厂产品的废品率为 4%，而合格品中有 75%是一等品，求一等品率．
A． 5 6
B． 6 7
C． 7 8
D． 5 9
【答案】B
【详解】甲、乙两名大学生从四个社区中随机选择一个社区的情况共有 42 16 （种），
事件 M 发生的情况共有16 32 7 （种），事件 M 和事件 N 同时发生的情况共有 6 种，
6
所以 P N
|
M
P MN PM
16 7
6 7
A．
2 3
B． 5 9
2020版高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第3节随机事件的概率、古典概型与
第三节随机事件的概率、古典概型与几何概型［考纲传真］ 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别。
2。
了解两个互斥事件的概率加法公式.3。
理解古典概型及其概率计算公式.4.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率。
5.了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率.6。
了解几何概型的意义．1．频率与概率的关系在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率f n(A）＝错误!会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作P(A）,称为事件A的概率，简称为A的概率．2．事件的关系与运算名称定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B）B⊇A（或A⊆B)相等事件若B⊇A，且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B并(和)事件若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）A∪B（或A＋B）交（积)事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件）A∩B(或AB）互斥事件若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅且A∪B＝U（U为全集）3（1）任何事件A的概率都在[0,1］内，即0≤P(A)≤1,不可能事件∅的概率为0，必然事件Ω的概率为1。
(2)如果事件A，B互斥，则P（A∪B)＝P(A)＋P(B）．(3)事件A与它的对立事件错误!的概率满足P(A）＋P（错误!)＝1.4．古典概型与几何概型名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等不同点基本事件有有限个基本事件有无限个计算公式[常用结论]如果事件A1，A2,…，A n两两互斥，则称这n个事件互斥,其概率有如下公式:P(A1∪A2∪…∪A n）＝P（A1)＋P（A2)＋…＋P(A n）．[基础自测]1．(思考辨析）判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)（1）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（ )（2）在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．（）(3）对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( ）(4）概率为0的事件一定为不可能事件．( )［答案］（1)√（2）√(3)√（4)×2．某射手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数102050100200500击中靶心次数8194492178455A．0。
选择性必修第三册7.1.1条件概率课件(人教版)(1)
（2）样本空间不同，在P(B|A)中，事件A成为样本
空间；在P（AB）中，样本空间仍为
因而有
P( B A) P( AB)
。
典例在5道题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题,
抽出的题不再放回.（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率;
（2）第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率.
＝ ＝ .
15
15
10
PA 4 8
1
2
15
1.若 P( A | B) ， P( A) ，则事件 A 与 B 的关系是( C )
3
3
A.事件 A 与 B 互斥
B.事件 A 与 B 对立
C.事件 A 与 B 相互独立
D.事件 A 与 B 互斥又相互独立
2 1
P
(
A
)
1
P
(
A
)
1
P( A | B) ， 事件 A 与 B 相互独立.故选 C.
P(A)=P(A1)+P( A2)= P(A1)+P()P(A2|)= + × =
因此，任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率为 .
(2)设B=“最后1位密码为偶数”，则P(A|B)=P(A1|B)+P( A2|B)=
+
因此，如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率为 .
n() 20 10
（2）“第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题”的概率就是
事件 A 产生的条件下，事件 B 产生的概率.又 P ( A)
第08讲《概率初步》单元总结及考点例题剖析问题(原卷版)
1. 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率。
2. 知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率。
1．确定事件（1）必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。
（2）不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。
必然事件和不可能事件都是确定的。
2．随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。
（1）有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；（2）有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件；（3）有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为不确定事件2.概率的统计定义：一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率m n 会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。
即．概率各种情况出现的次数某一事件发生的次数= 3．确定事件概率（1）当A 是必然发生的事件时，P （A ）=1（2）当A 是不可能发生的事件时，P （A ）=04．古典概型的定义某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。
我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
5．古典概型的概率的求法一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 中结果，那么事件A 发生的概率为P （A ）=nm 6．列表法：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
7．列表法的应用场合当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
8．树状图法：就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
9．运用树状图法求概率的条件当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
2024年高考数学专题复习第22讲概率
-6-
第22讲
概率
课标导引
知识聚焦
知识聚焦
核心考点
5.基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的.
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.
6.古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型.
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
(2)每个基本事件出现的可能性相等.
第22讲
考点一
概率
考点二
课标导引
知识聚焦
核心考点
核心考点
考点三
◆角度2.互斥与对立事件
例2把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人,每
人分得一张,事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是(
)
A.对立事件
B.互斥但不对立事件
C.不可能事件
D.以上都不对
-10-
第22讲
考点一
概率
考点二
课标导引
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;
(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”.
其中互为互斥事件的是
,互为对立事件的是
.
-13-
第22讲
考点一
概率
考点二
答案 (1)(3)
课标导引
知识聚焦
核心考点
核心考点
考点三
(3)
解析 (1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不能同时发生,但能同时不
7.古典概型的概率公式
包含的基本事件的个数
P(A)=
基本事件的总数
.
-7-
第22讲
考点一
概率
考点二
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考点3 两个因素的等可能概率
命题方向：（1）摸球问题（有放回）； （2）摸球问题（不放回）．
6．（2013山东济南）在一个不透明的袋子中，装有两个红球和1个白球，这 些球除了颜色外都相同. （1）搅匀后从中随机摸出一球，请直接写出摸到红球的概率； （2）如果第一次随机摸出一个小球(不放回)，充分搅匀后，第二次再从剩余 的两球中随机摸出一个小球，求两次都摸到红球的概率.(用树状图或列表法求 解)
1．知道各种事件发生的可能性大小不同， 能判断一些随机事件发生的可能事件的大小 并排出大小顺序； 2．知道概率的含义和表示符号，了解必然 事件、不可能事件的概率和随机事件概率的 取值范围； 3．理解随机事件发生的频率之间的区别和 联系，会根据大数次试验所得频率估计事件 的概率.
难度
中等
一、课标解读，把握中考
） A
考点2
一个因素的等可能概率
命题方向：（1）求简单事件发生的概率；
（2）列举法求事件发生的概率．
3．（2013北京）在一个不透明的口袋中装 有5个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球， 其标号大于2的概率为（ C ）．
4．（2013浙江义乌）为支援雅安灾 区，小慧准备通过爱心热线捐款， 他只记得号码的前5位，后三位由5 ，1，2这三个数字组成，但具体顺 序忘记了．他第一次就拨通电话的 概率是（ C ）．
四、考场报告，误区警示
例 1 ：小明抛一枚硬币 10 次，有 7 次正面朝上，当他抛第 11 次 1 时，正面向上的概率为________．
2
【解题思路】抛出一枚硬币有两种可能：正面向上和反面向上 ，而且出现折两种结果的可能的机会均等的，所以这两种事件发 1 生的概率都是 2
7 【易错点睛】错将频率当作概念，得到错误答案 ． 10
7．（2013广东湛江）把大小和形状完全相同的6张卡片分 成两组，每组3张，分别标上数字1、2、3，将这两组卡片 分别放入两个盒子中搅匀，再从中各随机投取一张． （1）试求取出的两张卡片数字之和为奇数概率； （2）若取出的两张卡片数字之和为奇数，则甲胜；取出 的两张卡片数字之和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是 否公平？请说明理由．
例2：一个袋中有4个珠子，其中2个红色，2个蓝色，除颜色外 其余特征均相同，若从这个袋中任取 2 个珠子，都是蓝色的概率 是（ D ）
【解题思路】用1代表红球，用2代表蓝色，画用树状图如下： 可知总可能性为12，两次都是蓝色的有两种可能．所以两次抽取 的都是蓝球的概率是 1 1 1 2 2 6 【易错点睛】本题中取出的珠子 没有再放回去，因此取出一个珠 子后，再取第2棵珠子就剩三种 情况，而不是四种情况．
1 2 21 2 2 1 1 21 1 2
解：（1）用树状图列出所有的可能的情形如下： 从树状图可看出一共有9种 等可能事件，和为偶数有4 种情形，所以
考点4 频率估计概率
命题方向： （1）频率估计概率； （2）由摸球概率估计球的个数．
9．（2013四川资阳）在一个不透明的盒子里 ，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外 没有任何其他区别．摇匀后从中随机摸出一个 球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复， 共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子 中大约有白球（ A ） A．12个 B．16个 C．20个 D．30个
列表法
画树状图法
三、考向突破、全真演练
考点1 概率的意义
命题方向：（1）必然事件和可能事件； （2）事件发生可能性的大小； （3）概率的意义． 1．（2013湖南衡阳）“a是实数，│a│≥0”这一事件是（
A．必然事件 B．不确定事件 C．不可能事件 D．随机事件 2．（2013甘肃兰州，2，4分）“兰州市明天降水概率 是30%”，对此消息下列说法中正确的是（ C ） A．兰州市明天将有30%的地区降水 B．兰州市明天将有30%的时间降水 C．兰州市明天降水的可能性较小 D．兰州市明天肯定不降水
白柳初中：陈德斌一、课标解读，Fra bibliotek握中考考点
确定 事件 和随 机事 件
课标要求
1．理解必然事件、不可能事件、随机事件 的概念，知道确定事件与必然事件、不可能 事件的关系； 2．能区分简单生活事件中的必然事件、不 可能事件、随机事件．
难度
易
一、课标解读，把握中考
考点
事件 发生 的可 能性 大小
课标要求
难度
中等
一、课标解读，把握中考
题型规律与展望： 1、概率的计算，近8年来解答题 第22题必考内容。 2、均以游戏为出题背景。 3、考查形式包含：列表法或画 树状图法计算概率、用概率估计总体、 游戏公平性问题等。 4、预计2016年仍会在22题考察 概率的计算。
二、知识链接（考点梳理，夯实基础）
1 0
考点
等可 能试 验中 事件 的概 率问 题及 概率 计算
课标要求
1．理解等可能试验的概念，会用等可能试 验中事件概率计算公式来计算简单事件的概 率； 2．会用枚举法或画“树形图”方法求等可能事 件的概率，会用区域面积之比解决简单的概 率问题； 3．形成对概率的初步认识，了解机会与风 险、规则公平性与决策合理性等简单概率问 题.