线性代数复习5
线性代数复习要点
线性代数复习要点线性代数是数学中的一个分支，其研究对象包括向量空间、线性变换、矩阵、线性方程组等。
线性代数广泛应用于各个领域，如物理学、计算机科学、工程学等。
下面是线性代数复习的要点：1.向量和向量空间-向量是指具有大小和方向的量，用箭头表示。
-向量空间是指由一组向量生成的集合，满足加法和数乘运算的封闭性。
-基是一个向量空间中独立且能够生成该向量空间的向量组。
-向量组的线性组合是指对向量组中的向量进行加法和数乘运算的结果。
-向量组的生成子空间是指向量组的所有线性组合所形成的空间。
2.矩阵和线性变换-矩阵是一个按照矩形排列的数。
矩阵的大小由行数和列数确定。
-矩阵的加法和数乘运算定义为对应元素的运算。
-矩阵的转置是指行变为列，列变为行的操作。
-矩阵的乘法是指矩阵的行与列的对应元素相乘后求和的运算。
-线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换，保持线性关系。
3.行列式和特征值特征向量-行列式是一个与矩阵相关的数，用于描述矩阵的性质。
-二阶和三阶矩阵的行列式可以通过对应元素相乘后求和的方式计算。
-行列式的值为0表示矩阵不可逆，即不存在逆矩阵。
-特征值是指矩阵对一些向量进行线性变换后，仍然与原向量方向相同的结果。
-特征向量是指通过线性变换后，与其特征值对应的向量。
4.线性方程组的求解-线性方程组是一组线性方程的集合，其中未知量的次数等于方程的个数。
-列向量和矩阵可以表示线性方程组的系数和常数项。
-线性方程组的解可以通过高斯消元法、矩阵的逆等方法进行求解。
-高斯消元法是将方程组化为行阶梯形式，再通过回代求解。
-线性方程组的解可以有唯一解、无解或者无穷多解。
5.特殊矩阵和矩阵的分解-单位矩阵是指主对角线上的元素为1，其余元素为0的矩阵。
-零矩阵是指所有元素均为0的矩阵。
-对角矩阵是指主对角线以外的元素均为0的矩阵。
-逆矩阵是指一个矩阵与其逆矩阵相乘得到单位矩阵。
-矩阵的分解包括LU分解、QR分解、特征值分解等。
线性代数复习题带参考答案(5)
线性代数考试题库及答案一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分）1.在111()111111x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ）(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 22.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且()r C r <，则 （ ）(A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A)A B = (B) ,0A B A B ≠-=但(C) AB (D) A B 与不一定相似，但A B =4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则222A B C ++= （ ）(A) O (B) E (C) 2E (D) 3E5．设1010,0203A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分）1．已知1112223330a b c a b c m a b c =≠，则111122223333232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。
2．设101020101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。
3．已知β为n 维单位列向量，T β为β的转置，若T C ββ= ，则2C = 。
4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则12T αα= 。
5考研基础复习(线性代数)特征值
由于 (λE A) x = 0 存在非零解的充分必要 条件为 | λE A |= 0 ， 所以 | λE A |= 0 为 A 的特征 方程， 的特征值（ 方程，它的根就是 A 的特征值（根）.
一、特征值的基本内容
1、方阵的特征值和特征向量 、
特征值的性质 性质： （2）特征值的性质： ① 若 x ≠ 0 使 ： Ax = λx ， 则对 于 常 数 k （ k ≠ 0 ）有： A( kx ) = λ ( kx ) ；
k 1η 1 + + k n r η n r ，
为不全为零的任意常数. 其中 k 1 , , k n r 为不全为零的任意常数.
一、特征值的基本内容
2、方阵特征值和特征向量的计算 、
特别： 则知: 特别：若 | A |= 0 ，则知: λ = 0 是 A 的一 特征值， 个特征值，且：
Ax = 0 的基础解系就是 A 的属于特
Ax = λ x
非零列向量 x 称为 A 的属于特征值 λ 的 特征向量. 特征向量.
一、特征值的基本内容
1、方阵的特征值和特征向量 、
Ax = λx 等价于 ： (λE A) x = 0 . 称矩阵 等价于：
λE A 为 A 的特征矩阵， 的特征矩阵， 的特征多项式. 行列式 f A (λ ) =| λE A | 称为 A 的特征多项式.
此时, 为正交矩阵, 此时 , 令 P = ( β 1 , β 2 , , β n ) 则 P 为正交矩阵 , P 1 AP = P T AP = diag{λ1 , λ 2 , , λ n } . 使:
一、特征值的基本内容
5、实对称矩阵及其性质 、
② 当 A 的特征值有重根 λ 时，需要先将重 根对应的特征向量正交化，再单位化， 根对应的特征向量正交化，再单位化， 则由所有特征值对应的单位正交化的特 征向量可构造得所求正交矩阵 P .
线性代数重点复习(16页)
齐次线性方程组给出系数矩阵，
1
非齐次线性方程组给出增广矩阵 。
对矩阵进行初等行变换得到行最
2
简形。
3
把行最简形矩阵写回线性方程 组的形式。
4
给出方程组的通解。
若线性方程组的系数带有未知数，需分各种情况讨论，灵活处理。
相似矩阵与二次型 05 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
交向量组，由此便可得到相应的正交变换矩阵和相似对
角矩阵。
2025
马到成功！
XXX大学2025年期末考试指导
2025
公众号:安全生产管理
线性代数复习重点
第一章 行列式 01 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
容易出选择填空题的内容：
(1)求逆序数； (2)含某个因子的项（注意正负号）； (3)与余子式或代数余子式相关的内容； (4)已知 |A| 求某个与A相关的行列式。。
第三章 向量空间 03 Guidance for Final Exams at XXX University in 2025 2025
向量空间
本章提到的的性质和定理较多，需要灵活运用。
容易出选择填空题的内容： 二 (1)向量的加法、数乘和内积运算； (2)线性相关和线性无关的定义，以及它们与向量组秩的关系（线性无关意
容易出大题的内容：行列式的计算。 其中，若已知行列式的阶数和每个元素的数值， 则问题很简单，但要注意，对于2阶和3阶行列式， 可用划斜线的方式（对角线法则）来计算。而对于4 阶或更高阶的行列式，不能采用对角线法则计算， 此时必须利用行列式的性质将其化为上三角行列式 从而得出结果，或者当某一行（列）非零元很少时， 运用展开定理将该行（列）展开从而得到经过降阶 的行列式计算。 对于n阶行列式的情形或者行列式元素中出现未 知数，求解的难度较大，需要灵活的结合运用行列 式的性质和展开定理。一般来说，考试中都会出课 本中已有的例题、习题，或者非常相似的题目。
线性代数--总复习
可见, 当λ=-4/5时, R(A)=2, R(A|b)=3, 方程组无解. 当λ≠-4/5, 且λ≠-1时 R(A)=R(A|b)=3, 方程组有唯一解.
当λ=-1时, 有
1 −1 −2 1 1 −1 0 3 ( A | b) → 0 0 1 1 → 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0
第三章 向量 线性关系 秩
1. 理解n维向量的概念以及向量的线性运算; 2. 理解向量组的线性组合与线性表示的概念; 3. 理解向量组线性相关, 线性无关的定义, 了解并会用 向量组线性相关, 线性无关的有关性质及判别法; 4. 理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念, 会求向量组的极大无关组和秩，理解向量组等价的概念; 5. 理解矩阵秩的概念及与向量组秩的关系及其计算．
0 2/3 0 B = 6 0 3/ 4 0 0 0 6/ 7
−1
0 3 0 0 1/ 3 0 = 0 2 0 0 1/ 4 0 0 0 1/ 7 0 0 1
49页：10, 11, 12, 18
第六章 矩阵的特征值与特征向量
1. 了解矩阵的特征值和特征向量的概念及其求法; 2. 了解矩阵的特征值和特征向量的性质; 3. 了解相似矩阵的概念及性质; 4. 掌握将(实对称)矩阵(正交)相似对角化的方法.
第七章 二次型
1. 掌握二次型及其矩阵表示, 了解二次型秩的概念, 了解合同变换与合同矩阵的概念, 了解二次型的标准形和 规范形的概念以及惯性定理; 2. 掌握用正交变换化二次型为标准形的方法, 会用 配方法化二次型为标准形; 3. 理解正定二次型和正定矩阵的概念, 掌握其判别法.
线性代数课件PPT复习四五章
0 0 0
1
a1 a2
1
an
0 0 0
0 0 0
a1 a2
1
1
an
a1
a2 a1
a3 a2
an an1
此即 在基底
1,
2
,
,
n
下的坐标.8
例3 在R3中取两组基
1 (1,2,1)T ,2 (2,3,3)T ,
1 (3,1,4)T , 2 (5,2,1)T ,
对应.
17
0 1 0
0
故在该基底下的矩阵为
0
A
0
1
0
0
0
0
1
0 0 0
0
A的特征多项式为
1 0
0
0 1
0
| E A |
n
00 0
1
00 0
故A的特征根为 ＝0 (n重)
把＝0 代入 ( E A)X 0 得基础解系1 (1,0, ,0)T
因此，A的属于特征根＝0的特征向量为
20
1. 计算A的特征多项式 | E−A| ; 2. 求特征方程 |E−A| = 0的全部根1, 2, ···, n, 也就
是A的全部特征值;
3. 对于特征值i, 求齐次方程组(iE−A)x = 0 的非零 解, 也就是对应于i 的特征向量.
[求出一组基础解系，它们就是对应于该特征根的线性无关
特征向量，它们的所有非零线性组合即为属于该特征根的
全部特征向量.]
注意：一般说求特征向量是求全部的特征向量，而 且要保证特征向量不为零. 如 k1X1+k2X2 (k1, k2不同时为0)
16
4. 掌握相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化 的充要条件及方法.
线性代数复习
线性代数复习一、行列式1、概念：余子式，代数余子式（对方阵而言）2、重要性质：|k A|=k n|A|（A为n阶矩阵）；行列式的倍加行（列）变换其值不变；3、克拉默法则：※方程组Ax=B，x j=D j/D（D是系数矩阵行列式，D j是常数项替换系数矩阵第j列后得到的矩阵的行列式）二、矩阵1、概念：系数矩阵、增广矩阵、单位矩阵（I、E）、对角矩阵、上（下）三角矩阵、转置矩阵、（反）对称矩阵、伴随矩阵、逆矩阵2、重要性质：(k A)-1=k-1A-1|A-1|=|A|-1(A*)*=|A|n-2A A*A=|A|E矩阵的初等变换：初等矩阵前乘为行变换；后乘为列变换。
初等倍乘矩阵E i(c)，表示将A的第i行（列）乘c。
初等倍加矩阵E ij(c)，表示将A的第i行（列）乘c加至第j行（列）。
初等对换矩阵E ij表示将A的第i和第j行互换。
A可逆，（A,E）--------对A,E同时做同样的初等行变换--------（E,A-1）3、分块矩阵求行列式A 0 其中A，B为方阵。
|Q|=|A||B|。
0 B0 A 其中A，B为m，n阶方阵。
|Q|=(-1)mn|A||B|。
B 0A B |Q|=|A||D-CA-1B|。
C D三、线性方程组1、概念：线性相关（线性无关）、秩、极大线性无关组、自由未知量2、重要性质：①判断多个向量间的线性相关关系：系数k i不全为零，∑k i a i=0（定义）向量组有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关。
各向量组成的矩阵A=(a T1,a T2,…,a T n)的行列式为0。
向量组b1,b2,…,b t能被a1,a2,…,a s线性表示且t>s，则b1,b2,…,b t线性相关。
②a4能否被a1,a2,a3（或更多向量）向量组线性表示？(a T1,a T2,a T3)(x1,x2,x3)T= a T4，有解即能线性表示，解即为对应各向量系数。
③矩阵的秩矩阵A m*n的秩等于行秩、等于列秩、恒不大于min{m,n}。
线性代数期末复习要点
注：一般而言， 1o ( AB)k Ak Bk ， 正确： ( AB)k (AB)(A B)( AB) ；
k个
2o ( A B)(A B) A2 B2， 正确： ( A B)(A B) A2 AB BA B2 ；
3o ( A B)2 A2 2AB B2 ， 正确： ( A B)2 A2 AB BA B2 。
A22
An
2
A2n
Ann
称为
A
的伴随矩阵。
2、n 阶方阵可逆的充要条件：
A
0
A 可逆，且 A1
1 A
A 。
3、逆矩阵的性质： 1o ( A1 )1 A ； 3o ( AT )1 ( A1 )T ；
4、伴随矩阵的性质：
2o ( AB)1 B1 A1 ；
4o
(kA)1
1 k
A1
（k
1、 Ax 0的基础解系：解向量组的一个极大无关组。
2、 Ax 0解的定理：只有当 R( A) r n 时，才存在基础解 系，且 n r 个线性无关的解向量组成的向量组 v1、v2、、vnr 是 Ax 0的基础解系，其线性组合
v c1v1 c2v2 cnrvnr 是 Ax 0的全部解。 3、基础解系的求法：
组有且仅有唯一解，且
xj
Dj D
（ j 1,2,, n ）
注：齐次线性方程组有非零解 D 0。 （逆否命题：齐次线性方程组仅有零解 D 0。）
第二章 矩阵
一、矩阵的定义：矩形数表。
二、矩阵的运算
1、矩阵的加法、减法：只有同型矩阵才可以进行加减运算。
2、数与矩阵的乘法：数与矩阵的乘法是数与矩阵每一个元 素相乘；而数与行列式的乘积是数与行列式中某一行（列） 的每一个元素相乘。
线性代数课后答案_习题5和习题6复习课程
线性代数课后答案_习题 5 和习题6习题五1 1解: 1)24( 2)( 3)'特征值2,32时，1 ( 1,1)，故属于 2的特征向量为k 1 1( k 1 0) 3时，2( 1,2)，故属于3的特征向量为k 2 2( k 2 0)由于线性无关的特征向量个数为 3，故可以对角化。
0 13) 01 0 ( 1)(1)2，特征值 1,1。
1 0当 1时，1 (0,1,0) ，2(1,0,1)。
故属于 1的特征向量为1 k2 2( k 1, k 2 不全为零)。
当 1时，3 ( 1,0,1)，故属于1的特征向量为k 3 31 2 30 0 11 11)；2) 2 1 3 ； 3) 0 1 02 43 3 6 1 0 01.求下列矩阵的特征值和特征向量:31 0 4)4 10 482并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。
由于线性无关的特征向量个数为 2,故可以对角化。
2) 1)( 9)，特征值 0, 1,9 。
0时,1, 1,1)， 故属于0的特征向量为k 1 11时,(1,1,0)， 故属于1的特征向量为k 2 29时, (1,1,2)，故属于 9的特征向量为k s 3( k s 0 )。
(k3 0 )。
由于线性无关的特征向量个数为3，故可以对角化3 1 04) 4 1 0(1)2( 2)，特征值1, 2。
4 8 2当1时，1 ( 3,6,20)，故属于1的特征向量为k1 1(k1 0)。
当2时，2 (0,0,1)，故属于2的特征向量为k2 2(k20 )。
由于线性无关的特征向量个数为2，故不可以对角化。
2.已知方阵A满足A2 3A 2E 0，求A的所有可能的特征值。
解：设是A的特征值，则有非零向量X满足AX X。
于是A2X 2X，(A2 3A 2E)X ( 2 3 2)X 0。
因为X 非零，所以2 3 2 0。
即A的特征值只能为1或2。
3.设是A的特征值，证明：1)2是A2的特征值，i( i为正整数)是A，的特征值；2)设f()是多项式，则f()是f(A)的特征值；3)如果A可逆，贝U 1是A1的特征值。
线性代数期末复习知识点参考
行列式1. 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等T D D =.性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.如111213111213212223212223313233313233a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.如111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.如111213111213212223212223313233311132123313a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++例1 已知，那么（ ）A.-24B.-12C.-6D.12 答案 B解析2. 余子式与代数余子式在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i jij ij A (1)M +=-叫做元素ij a 的代数余子式．3. 行列式按行（列）展开法则定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即1122i i i i in in D a A a A a A =+++或 1122j j j j nj nj D a A a A a A =+++()1,2,,;1,2i n j n ==定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即12120,j j i i jn i n a A a A a A +++=或,11220.j j j j nj nj a A a A a A i j +++=≠()1,2,,;1,2i n j n ==例.设3阶矩阵()ij A a =的行列式12A =,ij A 为ij a 的代数余子式.那么313132323333a A a A a A ++=___12____; 213122322333a A a A a A ++=___0___.4. 行列式的计算（1）二阶行列式1112112212212122a a a a a a a a =- （3）对角行列式1212n nλλλλλλ=，n(m 1)21212n n(1)λλλλλλ-=-（4）三角行列式1111121n 2122222n 1122nn n1n2nnnna a a a a a a a a a a a a a a ==（5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值.（6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）(一般选择有0元素的行或列)只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值.（7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值.例：思路：将有0的第三行化为只有一个非0元素a 33=1，按该行展开,D=a 33A 33,不用忘记a 33。
《线性代数》期末复习要点
《线性代数》期末复习要点第一章行列式1、行列式的计算（略）2、Cramer法则：系数行列式D≠0,则方程租有唯一解。
齐次方程租有非零解，则D＝0。
3、Vandermonde行列式。
（略）第二章矩阵1、矩阵的计算（略）2、对称矩阵：A∧T=A。
反称矩阵A∧T=-A。
3、矩阵可逆，则｜A｜≠0。
4、分块矩阵（略）5、初等变换与初等矩阵（略）6、m×n阶矩阵A，B等价，则当且仅当存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q使PAQ＝B。
7、（1）可逆矩阵一定满秩，即r=n。
（2）若A的一个r阶子式不等于零，则r（A）≥r，若A的r+1阶子式都为零，则r（A）≤r。
8、矩阵秩的不等式：（1）r（AB）≤min｛r（A），r（B）｝。
（2）A，B分别为m×n阶和n×k 阶矩阵，r（AB）≥r（A）+r（B）-n。
特别的，当AB=0时，r（A）+r（B）≤n。
（3）A，B 均为m×n阶矩阵，则r（A+B）≤r（A）+r（B）。
第三章n维向量空间1、线性相关：（1）k1，k2，kn不全为0且能使kiα1+k2α2+……+knαn＝0成立，则α1，α2，……，αn线性相关。
（2）至少一个向量是其余向量的线性组合。
（3）含零向量的向量组是线性相关的。
（4）n维向量中的两个向量组T1＝｛α1,α2,α3,……,αr｝，T2=｛β1,β2,β3,……βs｝，若T1可由T2线性表示，且r＞s，则T1线性相关。
若T1可由T2线性表示但T1线性无关，则r≤s。
（5）n+1个n维向量一定线性相关。
2、（1）零向量自身线性相关。
非零向量自身线性无关。
（2）向量组中一部分线性相关，则整体线性相关，若向量组整体线性无关，则向量组的一部分线性无关。
3、向量组的任意极大线性无关组都与之等价，向量组的任意两个极大线性无关组都等价。
4、矩阵的秩等于其行（列）向量组的秩。
5、向量空间的基与维数，空间向量的坐标（略）6、基变换和坐标变换：｛α1,α2,α3,……,αr｝，｛β1,β2,β3,……βsr｝是向量空间V的两组基，若有r维方阵C，使［β1,β2,β3,……βs］=［α1,α2,α3,……,αr］C，则称C为从基｛α1,α2,α3,……,αr｝到基｛β1,β2,β3,……βs｝的过渡矩阵（基变换矩阵）。
线性代数总复习知识点
M
M
am1 L amm
0L 0
M
M
0L 0
0L0
M 0 b11 M
L L
Ma
0 b1n
=
11
M am1
L L
a1m
b 11
MM
amm bn1
L L
b1n
M bnn
bn1 L bnn
∗L∗
M ∗
b11 M
L L
Ma
∗ b1n
=
11
M am1
L L
a1m
b 11
MM
amm bn1
L b1n
M L bnn
)
=
1 det
A
2)分块上下三角阵的行列式
det CA
O B
=
det
A
⋅
det
B
，
det
A O
C B
=
det
A
⋅
det
B
3)利用
det A = λ1λ2 Lλn
其中 λ1,λ2 ,L,λn 是A的n个特征值。
四、求逆矩阵★★★
1．具体矩阵：
① 2阶矩阵——伴随阵法(公式法)
对
A
=
a11 a21
n(n−1)
= (−1) 2 a1na2,n−1Lan1
a1n
a2,n−1 NM
a2n M
n(n−1)
= (−1) 2 a1na2,n−1Lan1
an1 L an,n−1 ann
③范德蒙行列式
1 1L1
x 1
x 2
L
xn
Dn =
x2 1
M
∏ x2 2
线性代数 综合复习资料
《线性代数（经）》综合复习资料第一章 n 阶行列式一、判断题 1.1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++ ）． （ ） 3、如果行列式0=D ，则D 中必有一行为零。
4. 设A 为n 级方阵：|A|=2 ，则|-3A|= -6 ( ) 5．ij ijA a D ,33⨯=为ij a 的代数余子式,则0231322122111=++A a A a A a . ( )二.填空题：2、设行列式1112132122233132333a a a a a a a a a =，则313233213122322333111213222222222222a a a a a a a a a a a a +++= 。
3、n 个方程、n 个未知量的齐次线性方程组0Ax =有非零解的充要条件是 。
4、设,A B 均为3阶方阵，且2,3A B ==-，则13A B *-= 。
5.设行列式30402222075322D =--，则41424344A A A A +++=____________.三.选择题1、设A 为3阶矩阵且行列式0A =，则下列说法正确的是（ ） （A ）矩阵A 中元素都等于0；（B ）矩阵A 中必有两列元素对应成比例；（C ）矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D ）矩阵A 中任一列向量是其余列向量的线性组合。
2、一个n 级方阵的行列式的值不为零，经若干次初等变换后，其行列式的值（ ）(A) 保持不变； (B ) 保持不为零； (C) 可变成任何值； ( D)保持相同的符号。
4. 已知4阶行列式D 的第三行元素分别是1，0，2，-3；第四行元素对应的代数余子式依次是5，10，t ，5，则t=( )(A) 3 (B) 4 (C)5 (D) 65.下列说法错误的是（ ）（A ）若n 阶线性方程组Ax b =的系数矩阵行列式0A ≠，则该方程组存在唯一解； （B ）若n 阶线性方程组0Ax =的系数矩阵行列式0A ≠，则该方程组只有零解； （C ）一个行列式交换两列，行列式值不变；（D ）若一个行列式的一列全为零，则该行列式的值为零。
线性代数总复习
性质1
例5---相似矩阵 设3阶矩阵A、B相似，A-1的特征值分别为1,2,3, 求 (1)A的特征值; (2) 解 (1)因为A-1的特征值分别为1,2,3,所以A的特征值
分别为 (2) 因为A、B相似,所以A,B的特征值相同,所以B的 特征值分别为 所以6B-E的特征值为
3---特征向量的性质 1）方阵A的不同特征值所对应的特征向量必线性无关。
1、定义 由m×n个数
排成的m行n列数表
(i=1,2, …,m ; j=1,2, …,n)
称为一个m行n列矩阵， 简称为m×n矩阵，
矩阵的秩（续） 3、关于秩的重要结论：
例题2 ---(矩阵3)
解
例题3---(逆阵2)
解
2）
例题3---(逆阵3) 3、设方阵 A满足2A2-5A-8E = 0，证明 A-2E 可逆，
6---例8（1）---几个证明1 1、设A～B,证明: A2～B2; tA－E～tB-E, t是实数
2. 设1，2 是A的两个不同的特征值，1， 2 是相应的 特征向量, 证明：1， 2必线性无关；
3. 设1，2 是A的两个不同的特征值，1， 2 是相应的 特征向量, 证明：1 2 必不是 A的特征向量
3）正交向量组必是线性无关组。
4---n阶方阵A可对角化的条件、方法 1、一个充分必要条件： n阶方阵A可对角化 A有n个线性无关的特征向量 2、两个充分条件： 1）如果A有n个互不相同的特征值，则A必可对角化 2）如果A是实对称矩阵，则A必可用正交矩阵对角化。
3、对角化方法：
4、正交对角化
5---例6---对角化 分别求可逆矩阵P、正交矩阵Q， 将矩阵A对角化。 解 1）
向量4---例题4
线性代数复习
《线性代数》期末复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）1． 四阶行列式的计算；2． N 阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；3． 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；4． 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；5． 含参数的线性方程组解的情况的讨论；6． 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；7． 讨论一个向量能否用和向量组线性表示；8． 讨论或证明向量组的相关性；9． 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；10．将无关组正交化、单位化；11．求方阵的特征值和特征向量；12．讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；13．通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；14．写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；15．判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用2n 个元素ij a 组成的记号nnn n n n a a a a a a a a a212222111211称为n 阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n 个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算1． 一阶行列式a a ，二、三阶行列式有对角线法则；2． N 阶（n 3）行列式的计算：降阶法定理：n 阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
3． 特特情况（1） 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ 行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ 行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ 行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ 奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB ＝BA ，称A 、B 是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A 、B 为同阶方阵，则B A AB ； ④n kA k A3．矩阵的秩（1）定义 非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法 一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
线性代数复习总结(重点精心整理)
线性代数复习总结大全第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。
（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。
推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。
③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。
推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。
④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij ji ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。
克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。
化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=矩阵：对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的， B A=-1(非|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 倍加到另 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr 矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n nija k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
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一、判断正误（每题2分） 1. 有相同特征值的n 阶不同矩阵A 、B 有相同的
特征向量。
（ ） 2. A 为3阶矩阵，已知E ,3E ,A A E A --+
都不可逆，则A 相似对角矩阵。
（ ） 3. A 为m n ⨯型矩阵，则当m <n 时，线性方程AX b =必有非零解。
（ ） 4.
A 为n 阶矩阵，当0A =时，A 的列向量中必有一个向量是其余列向量的线性
组合。
( )
5. A ，B 为n 阶方阵，则有22()()A B A B A B +-=-。
（ ）
6. *A 是A 的伴随矩阵，则n
A A *=。
（ ）
7.
5415432132a a a a a 是行列式的项，则它前面的符号为“-”。
（ ） 8. 1402
3
k k -=-的充要条件是5k =。
（ ）
9.
A 与对角矩阵合同，则A 必与对角矩阵相似。
（ ）
10. 二次型T
f X A X
=通过可逆线性变换X PY =，化为标准形222
1122n n
f y y y λλλ=+++ ，则i λ必为A 的特征值。
（ ）
二、填空题（每题3分）
1. 五阶行列式的项32214514r s a a a a a 前面的符号为“-”， s = 。
2. Q 为正交矩阵，则Q = 。
3.
A ，
B 皆为三阶矩阵，已知2,3A B ==，求13AB -= 。
4. 已知A 为3阶矩阵且2A =，则*A = 。
5. 已知A 为n 阶矩阵且2
A A =，则()()R A R A E +-= 。
6. A 为 n 阶方阵，若()1R A n =-，则*()R A = 。
7.
A 为 n 阶对称多项式，且111A ξλξ=，222A
ξλξ=，12λλ≠，则12T ξξ= 。
8. 设A 为3阶矩阵，且E ,3E ,A A E A --+都不可逆，则A = 。
9. A 为 3阶对称矩阵，T f X AX =通过正交变换X PY =，化为22
12
2f y y =+，则A 的特征根为 。
10. A 为3阶实对称矩阵，且2
20A A +=，()2R A =，若A kE +是正定矩阵，则k 的
取值为 。
三、计算（每题8分）。
1. 二次型2
221
2
3
121323
23448f x tx x x x x x x x =++++-为正定二次型，求t 的值。
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2. 已知A 为3阶矩阵且A 的特征值为0,1,1-，求32
248A A A E +++。
3. 求齐次线性方程组的基础解系1234123412
34030240
x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪
--+=⎨⎪--+=⎩
4. 用初等变换解矩阵方程AX B =，其中123221343A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭
，253143B ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
5. 计算：1
33333
23333
3
3
3
33333n D n
=
四、证明题（每题5分）
1. A 为n 阶方阵，()R A r =，若0AB =，证明：
()R B n r ≤-。
2. 若向量123,,ααα线性无关，证明：122331,,αααααα+++也线性无关。