高中数学必修4知识点总结第二章平面向量
高一数学必修4知识点梳理：平面向量
2、零向量：长度为0第二章平面向量1、向量定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量都可用同一平面内的有向线段表示．的向量叫零向量，记作0；零向量的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫单位向量；与向量a 平行的单位向量：e =±a a ||4、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量也叫共线向量，记作//ab ；规定0与任何向量平行．5、相等向量：长度相同且方向相同的向量叫相等向量，零向量与零向量相等.注意：任意两个相等的非零向量，都可以用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关。
6、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相接⑵平行四边形法则的特点：起点相同baCBA -=A -AB =B a bC Cc高一数学必修4知识点梳理：平面向量⑶运算性质：①交换律：+=+a b b a ；②结合律：++=++a b c a b c ()()；③+=+=a a a 00．⑷坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则+=++a b x x y y ,1212)(． 7、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则-=--a b x x y y ,1212)(．设A 、B 两点的坐标分别为x y ,11()，x y ,22()，则AB =--x x y y ,2121)(．8、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作λa ． ①=λλa a ；②当>λ0时，λa 的方向与a 的方向相同；当<λ0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当=λ0时，=λa 0．⑵运算律：①=λμλμa a ()()；②+=+λμλμa a a ()；③+=+λλλa b a b ()． ⑶坐标运算：设=a x y ,()，则==λλλλa x y x y ,,()()．9、向量共线定理：向量≠a a 0()与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使=λb a ． 设=a x y ,11()，=b x y ,22()，其中≠b 0，则当且仅当-=x y x y 01221时，向量a 、≠b b 0()共线．10、平面向量基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使=+λλa e e 1122．（不共线的向量e 1、e 2作为这一平面内所有向量的一组基底）11、分点坐标公式：设点P 是线段P P 12上的一点，P 1、P 2的坐标分别是x y ,11()，x y ,22()，当P P =PP λ12时，点P 的坐标是⎝⎭++ ⎪⎛⎫++λλλλx x y y 11,1212． 12、平面向量的数量积：⑴定义：≠≠≤≤⋅=θθa b a b a b cos 0,0,0180)(．零向量与任一向量的数量积为0． ⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①⊥⇔⋅=a b a b 0．②当a 与b 同向时，⋅=a b a b ；当a 与b 反向时，⋅=-a b a b ；⋅==a a a a 22或=⋅a a a ．③⋅≤a b a b ．⑶运算律：①⋅=⋅a b b a ；②⋅=⋅=⋅λλλa b a b a b ()()()；③+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ()．⑷坐标运算：设两个非零向量=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⋅=+a b x x y y 1212． 若=a x y ,()，则=+a x y 222，或=+a x y 22．设=a x y ,11()，=b x y ,22()，则⊥⇔+=a b x x y y 01212．设a 、b 都是非零向量，=a x y ,11()，=b x y ,22()，θ是a 与b 的夹角，则++==⋅+θx yx ya ba b x x y y cos 112222221212．第三章 三角恒等变形1、同角三角函数基本关系式（１）平方关系：αα=+221cos sin （２）商数关系：=tan sin cos ααα（３）倒数关系：αα=1cot tan=+sin tan tan 1222ααα ； =+co s 1t an 122αα注意： tan ,cos ,sin ααα 按照以上公式可以“知一求二”2、两角和与差的正弦、余弦、正切S +βα)(：=++sin cos cos sin )sin(βαβαβα S -βα)(：=--sin cos cos sin )sin(βαβαβα C +βα)(：a =+-sin sin cos cos )cos(βαβαβ C -βα)(：a =-+sin sin cos cos )cos(βαβαβ T +βα)(： =++-)tan(tan tan tan tan 1βαβαβαT -βα)(： =--+)tan(tan tan tan tan 1βαβαβα正切和公式：-⋅+=+βαβαβα)tan tan 1()tan(tan tan3、辅助角公式：222222cos sin sin cos b a x b x a a b a x b b a x +=++++⎛⎝⎫⎭⎪⎪ x b a x x b a +⋅+=⋅+⋅+=ϕϕϕ2222)sin cos cos (sin )sin(（其中ϕ称为辅助角，ϕ的终边过点b a ),(，tan ϕ=b a）4、二倍角的正弦、余弦和正切公式： S 2α： =cos sin 22sin αααC 2α： -=sin cos 2cos 22ααααα-=-=221cos 2sin 21 T 2α： =-2tan tan 2tan 12ααα*二倍角公式的常用变形：①、=-αα|sin |22cos 1，=+αα|cos |22cos 1；②、=-αα1212|sin |2cos ， =+αα1212|cos |2cos③-=+-=ααααα442221cos sin 21cos sin 2sin 2；=-442cos sin cos ααα；*降次公式：=cos sin 122sin ααα ααα=-+-=2sin 2cos 12122cos 12 ααα=++=2cos 2cos 12122cos 125、*半角的正弦、余弦和正切公式：±=-ααsin2cos 12 ； ±=+ααcos 2cos 12， ±=-+tan2cos 1cos 1ααα=-=+cos 1sin sin cos 1αααα6、同角三角函数的常见变形：（活用“1”）① -=cos 1sin 22αα； -±=cos 1sin 2αα；-=sin 1cos 22αα； -±=sin 1cos 2αα； ②=++=22cot tan sin cos cos sin 22sin θθθθθθθ，αααααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=-③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±； |cos sin |2sin 1ααα±=± 7、补充公式：*①万能公式2tan12tan2sin 2ααα+=； 2t a n12t a n1c o s 22ααα+-=； 2t a n12t a n2t a n 2ααα-=*②积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=*③和差化积公式2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+； 2sin2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2co s 2co s 2co s co s βαβαβα-+=+；2sin2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 注：带*号的公式表示了解，没带*公式为必记公式。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学必修4之平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a；坐标表示法),(y x yj xi a向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a大小相等，方向相同),(),(2211y x y x 2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC u u u r（1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a =a ； (ii) a +(a )=(a )+a =0；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差， 记作：)(b a b a求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =a6平面向量的基本定理：如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点例1 给出下列命题：① 若|a r |＝|b r |，则a r =b r；② 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC u u u r u u u r是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③ 若a r =b r ，b r =c r ，则a r =c r ，④a r =b r 的充要条件是|a r |=|b r |且a r //b r；⑤ 若a r //b r ，b r //c r ，则a r //c r ，解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．② 正确．∵ AB DC u u u r u u u r ，∴ ||||AB DC u u u r u u u r且//AB DC u u u r u u u r ，又 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴ 四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则，//AB DC u u u r u u u r 且||||AB DC u u u r u u u r，因此，AB DC u u u r u u u r．③ 正确．∵ a r =b r ，∴ a r ，b r的长度相等且方向相同；又b r ＝c r ，∴ b r ，c r的长度相等且方向相同，∴ a r ，c r 的长度相等且方向相同，故a r ＝c r ．④ 不正确．当a r //b r 且方向相反时，即使|a r |=|b r |，也不能得到a r =b r，故|a r |=|b r |且a r //b r 不是a r =b r的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤ 不正确．考虑b r =0r这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③．点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．例2 设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简： ①AB BC CD u u u r u u u r u u u r ，②DB AC BD u u u r u u u r u u u r ③OA OC OB CO u u u r u u u r u u u r u u u r解：①原式= ()AB BC CD AC CD AD u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r②原式= ()0DB BD AC AC AC u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r③原式= ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r例3设非零向量a r 、b r 不共线，c r =k a r +b r ，d r =a r +k b r (k R)，若c r∥d r ，试求k解：∵c r∥d r∴由向量共线的充要条件得：c r=λd r (λ R) 即 k a r +b r =λ(a r +k b r ) ∴(k λ) a r+ (1 λk ) b r = 0r又∵a r 、b r不共线∴由平面向量的基本定理 1010k k k二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a r可表示成a xi yj r r r ，由于a r 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a r的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr(2) 若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r(3) 若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1212a b x x y y rr若a b rr ，则02121 y y x x3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算运算类型几何方法 坐标方法 运算性质向 量 的 加 法1平行四边形法则 2三角形法则 1212(,)a b x x y y r r a b b a)()(c b a c b aAB BC AC u u u r u u u r u u u r向 量 的 减 法 三角形法则 1212(,)a b x x y y rr )(b a b aAB BA u u u r u u u r OB OA AB u u u r u u u r u u u r向 量 的 乘 法a是一个向量,满足:>0时,a 与a同向;<0时,a 与a异向;=0时, a =0),(y x a a a)()(a a a)( b a b a )(a ∥b a b向 量的 数量 积b a•是一个数 0 a 或0b 时, b a•=0 0 a 且0 b 时,•b a b a b a,cos |||| 1212a b x x y y • rra b b a • •)()()(b a b a b a • • • c b c a c b a • • • )(22||a a ,22||y x a||||||b a b a •例1 已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b r r r r r ，2v a b rr r ，且//u v r r ，求实数x 的值解：因为(1,2),(,1),2a b x u a b r r r r r，2v a b r r r所以(1,2)2(,1)(21,4)u x x r ，2(1,2)(,1)(2,3)v x x r又因为//u v r r所以3(21)4(2)0x x ，即105x解得12x例2已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB （O 为坐标原点）交点P 的坐标解：设(,)P x y ，则(,),(4,)OP x y AP x y u u u r u u u r因为P 是AC 与OB 的交点所以P 在直线AC 上，也在直线OB 上即得//,//OP OB AP AC u u u r u u u r u u u r u u u r由点)6,2(),4,4(),0,4(C B A 得，(2,6),(4,4)AC OB u u u r u u u r得方程组6(4)20440x y x y解之得33x y故直线AC 与OB 的交点P 的坐标为(3,3)三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos叫做a r 与b r的数量积（或内积） 规定0a r r2向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r5乘法公式成立： 2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a r r r r②对实数的结合律成立：a b a b a b R r r r r r r③分配律成立： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意：（1）结合律不成立： a b c a b c r r r r r r；（2）消去律不成立a b a cr r r r 不能得到b c r r（3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r，则a r ·b r =1212x x y y8a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800 ）叫做向量a r 与b r的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r =当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r10两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x 平面向量数量积的性质例1 判断下列各命题正确与否：（1）00a r；（2）00a r r ；（3）若0,a a b a c r r r r r，则b c r r ；⑷若a b a c r r r r ，则b c r r 当且仅当0a rr 时成立； （5）()()a b c a b c r r r r r r 对任意,,a b c r r r向量都成立；（6）对任意向量a r，有22a a r r解：⑴错； ⑵对； ⑶错； ⑷错； ⑸ 错；⑹对例2已知两单位向量a r 与b r 的夹角为0120，若2,3c a b d b a r r r r r r ，试求c r 与d r的夹角解：由题意，1a b r r ，且a r 与b r的夹角为0120，所以，01cos1202a b a b r r r r ，2c c c r r rQ (2)(2)a b a b r r r r 22447a a b b r r r r ，c r同理可得d r而c d r r 2217(2)(3)7322a b b a a b b a r r r r r r r r ，设 为c r与d r 的夹角， 则1829117137217cos1829117arccos点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例3 已知 4,3a r， 1,2b r ，,m a b r r r 2n a b r r r ，按下列条件求实数的值（1）m n r r ；（2）//m n r r；(3)m n r r 解： 4,32,m a b r r r 27,8n a b rr r （1）m n r r 082374 952；（2）//m n r r 072384 21 ；(3)m n r r 088458723422222点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算。
高中数学必修(4)第二章平面向量(知识点汇总)
必修4第二章 平面向量1、向量的有关概念：(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）。
(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的。
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量。
与a 同向且长度为1的向量，叫做a 的单位向量，记作0a ，||0a a a =。
(4)平行向量：方向相同或相反的两非零向量叫做平行向量。
任一组平行向量经过平移都可以移到同一条直线上，平行向量又叫做共线向量。
规定：0 与任一向量平行。
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量。
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量。
2、向量的表示法：（1）字母表示法：如a ，AB 等；（2）几何表示法：用一条有向线段表示向量；（3）代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA 的起点O 在坐标原点，终点坐标为（x ，y ），则（x ，y ）称为OA 的坐标，记为OA =（x ，y ）；3、向量的线性运算法则：（1）平行四边形法则（2）三角形法则4、向量的线性运算性质： a b b a +=+(交换律))()(c b a c b a ++=++（结合律）a a a =+=+0000 =a 00=⋅a 00 =λ||||||a a λλ=a a)()(λμμλ=a a a μλμλ+=+)(b a b a λλλ+=+)(⇔+=)(21OB OA OM M 是线段AB 的中点非零向量a 的单位向量为||a a ± 5、共线向量定理：如果b a λ=，则b a //；反之，如果b a //，且0 ≠b ，则一定存在唯一一个实数λ使b a λ=。
6、两个向量平行的充要条件：若a 与b 不共线且b a μλ=，则0==μλ；若a 与b 是两个非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数μλ、，使0 =+b a μλ。
7、平面向量基本定理：如果21,e e 是同一平面的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21a a 、，使得2211e a e a a += ，我们把不共线的向量21,e e 叫做表示这个平面内所有向量的一组基底。
(完整版)高中数学必修4平面向量知识点总结
高中数学必修 4 知识点总结平面向量知点一 .向量的基本看法与基本运算1向量的看法：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用 a, b, c ⋯⋯来表示，或用有向段的起点与uuur uuurxi yj ( x, y)点的大写字母表示，如：AB 几何表示法AB ，a；坐表示法 a向uuur量的大小即向量的模（度），作 | AB | 即向量的大小，作｜a｜向量不可以比大小，但向量的模能够比大小．②零向量：度 0 的向量，0，其方向是随意的，0与随意愿量平行零向量 a ＝0｜r ra ｜＝0因为0的方向是随意的，且定0 平行于任何向量，故在有关向量平行（共）的中必看清楚能否有“非零向量” 个条件．（注意与 0 的区）③ 位向量：模 1 个位度的向量向量 a0位向量｜ a0｜＝1④平行向量（共向量）：方向同样或相反的非零向量随意一平行向量都能够移到同一直上方向同样或相反的向量，称平行向量作a∥ b因为向量能够行随意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量能够平移到同向来上，故平行向量也称共向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个因素，起点能够随意取，在必划分清楚共向量中的“共” 与几何中的“共”、的含，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一的．⑤相等向量：度相等且方向同样的向量相等向量平移后能够重合， a b 大x1x2小相等，方向同样(x1, y1 )(x2 , y2 )y1y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuur r uuur r r uuur uuur uuurAB a, BC b ，a+ b = AB BC =AC（1）0 a a 0 a ；（2）向量加法足交律与合律；向量加法有“三角形法”与“平行四形法”：（1）用平行四形法，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条角，而差向量是另一条角，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法的特色是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法例；当两向量是首尾连结时，用三角形法例．向量加法的三角形法例可推行至多个向量相加：uuur AB uuurBCuuurCD LuuurPQuuurQRuuurAR ，但这时一定“首尾相连”．3 向量的减法①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做记作 a ,零向量的相反向量还是零向量a 的相反向量对于相反向量有：（ i）( a)= a；(ii) a +( a )=( a )+ a =0；(iii) 若a、b是互为相反向量，则 a = b , b= a , a +b= 0②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与 b的差，记作： a b a ( b) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量（ a 、 b 有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与 a 的方向同样；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是随意的②数乘向量知足互换律、联合律与分派律5两个向量共线定理：向量 b 与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b=a6平面向量的基本定理：假如e1 , e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一直量 a ，有且只有一对实数 1 , 2 使：a1e1 2 e2 ，此中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内全部向量的一组基底7特别注意 :（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有差别，向量平行是向量相等的必需条件（3）向量平行与直线平行有差别，直线平行不包含共线（即重合），而向量平行则包含共线（重合）的状况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详细地点没关，只与其相对地点有关学习本章主要建立数形转变和联合的看法，以数代形，以形观数，用代数的运算办理几何问题，特别是办理向量的有关地点关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量能否垂直等 因为向量是一新的工具，它常常会与三角函数、数列、不等式、解几等联合起来进行综合考察，是知识的交汇点例 1 给出以下命题：① 若 | r r r ra | ＝ |b | ，则 a = b ；② 若 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则uuur uuur AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；r rr rr r ③ 若 a = b ， b = c ，则 a = c ，rrrrr r④ a =b 的充要条件是 | a |=| b | 且 a // b ；r r r r r r⑤ 若 a // b ， b // c ，则 a //c，此中正确的序号是解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不必定同样．uuur uuur uuur uuur uuur uuur ② 正确．∵AB DC ，∴ | AB| |DC |且 AB// DC ，又 A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形； 反之，若四边形 ABCDuuuruuur uuur uuur 为平行四边形，则，AB//DC 且|AB| |DC |，uuur uuur所以， AB DC ．③ 正确．∵r r r ra =b ，∴ a ， b 的长度相等且方向同样；r r r r 又 b ＝ c ，∴ b ， c 的长度相等且方向同样，r r r r ∴ a ， c 的长度相等且方向同样，故 a ＝ c ．r rr r r r r r ④ 不正确．当 a // b 且方向相反时，即便 | a |=| b | ，也不可以获得 a =b ，故 | a |=| b | r r r r 且 a // b 不是 a =b 的充要条件，而是必需不充足条件．r r⑤ 不正确．考虑 b = 0 这类特别状况．综上所述，正确命题的序号是②③．评论：本例主要复习向量的基本看法．向量的基本看法许多，因此简单忘记．为此，复习一方面要建立优秀的知识构造， 另一方面要擅长与物理中、 生活中的模型进行类比和联想．例 2 设 A 、B 、 C 、 D 、 O 是平面上的随意五点，试化简：uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ① AB BC CD ，② DB AC BD ③OAOCOBCO解：①原式 = uuur uuur uuur uuur uuur uuur( AB BC ) CD AC CD AD ②原式 = uuur uuur uuur r uuur uuur ( DBBD) AC 0 AC AC③原式=uuur (OBuuurOA)uuur ( OC uuurCO)uuurAB uuur(OCuuurCO) uuurAB ruuurAB例 3 设非零向量rrrrrrrrrra 、b 不共线，c =k a + b ，d = a +k b(k R)，若 c ∥ d ，试求 kr r解：∵ c ∥ d∴由向量共线的充要条件得：r r (λ R) c =λ d r r r rr r r 即 k a +b =λ( a +k b ) ∴ (k λ ) a + (1 λ k) b = 0r r又∵ a 、 b 不共线∴由平面向量的基本定理k 0 k11 k二 .平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示： r r在直角坐标系中， 分别取与 x 轴、y 轴方向同样的两个单位向量 i , j作为基底 由平面向量的基本定理知， 该平面内的任一直量 r r r rr a 可表示成 a xi yj ，因为 a 与r rr 数对 (x,y)是一一对应的，所以把 (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，此中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做在 y 轴上的坐标(1) 相等的向量坐标同样，坐标同样的向量是相等的向量(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详细地点没关，只与其相对位置有关 2 平面向量的坐标运算：(1) rx 1, y 1 rr rx 1 x 2 , y 1 y 2若 a ,bx 2 , y 2 ，则 a b uuur(2) 若 A x 1, y 1 , B x 2 , y 2 ，则 ABx 2 x 1 , y 2 y 1 (3) r r x, y)若 a =(x,y)，则 a =((4) rx 1, y 1 rx 2 , y 2 r rx 1 y 2 x 2 y 1 0若 a,b，则 a // b(5) rx 1, y 1 r x 2 , y 2 r r x 1 x 2 y 1 y 2若 a,b，则 a br r y 1 y 2 0若 a b ，则 x 1 x 23 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性质运几何方法坐标方法运算性质算 类型向 1 平行四边形法例 r rx,y 21 y)2a bb a量 2 三角形法例a b (x 1的 (a b) c a (b c)加法uuur uuur uuurAB BC AC向 三角形法例r ra b a ( b )量a b (x 1 x 2,y 1 y 2)的 uuur uuur减ABBA法uuur uuur uuurOB OA AB 向a 是一个向量 ,a( x, y)(a)() a量 知足 :的>0 时, a 与 a 同向 ;()aaa 乘<0 时, a 与 a 异向 ;法=0 时,a = 0( a b ) a ba ∥ bab向 a ? b 是一个数r rx 1x 2 y 1y 2a ?b b ? a量a?b的a0 或 b 0时 ,( a) ba ( b)(a b)数???量 a?b =0(ab) ?ca ?cb ?c积a 0且b 0 时 ,a 2 | a |2 , |a | x 2 y 2a?b |a||b|cos a,b| a ? b | | a || b | r r r r r r r r r r例 1 已知向量 a (1,2), b (x,1), u a 2b ， v 2a b ，且 u // v ，务实数 x 的值r r r r r r r r解：因为 a (1,2), b (x,1),u a 2b ， v 2a br 2( x,1) (2 x 1,4) r 2(1,2) ( x,1) (2 x,3)所以 u (1,2) ， vr r又因为 u // v所以 3(2 x 1) 4(2 x) 0 ，即 10x 5解得 x12AC 和 OB （ O 为坐标原点）交例 2 已知点 A(4,0), B(4,4),C(2,6) ,试用向量方法求直线点 P 的坐标uuur uuur(x 4, y)解：设 P(x, y) ，则 OP ( x, y), AP因为 P 是 AC 与OB 的交点 所以 P 在直线 AC 上，也在直线 OB 上uuur uuur uuur uuur即得 OP // OB, AP // ACuuur uuur由点 A(4,0),B(4,4),C(2,6) 得， AC ( 2,6), OB (4, 4)6( x 4) 2 y 0得方程组4x 4 y 0x 3解之得y 3故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3) 三．平面向量的数目积1 两个向量的数目积：r rrrr r 已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，则 a ·b =︱ a ︱ ·︱ b ︱ cosr r r r叫做 a 与 b 的数目积（或内积） 规定 0 a 0r r rr r2 = a b向量的投影： ︱ b ︱ cos r ∈R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影 投影的绝对值称为射| a |影3 数目积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系： r r r 2 r 2 a aa | a |5 乘法公式建立：r r r r r 2 r 2 r a b a b a bar r 2 r 2r r r 2 r a ba2a b b a2 r 2b ；2 r rr 22a bb6 平面向量数目积的运算律：①互换律建立： rrr r a b b a②对实数的联合律建立： r r r r r r Ra ba b a b③分派律建立：r r r r r r r rr r a bc a cb cca b特别注意 ：（ 1）联合律不建立： r r rr r r；a b ca b cr r r rr r（2）消去律不建立 a ba c不可以获得 b crr不可以获得r r r r （3） a b =0a = 0 或b =07 两个向量的数目积的坐标运算：rrrr已知两个向量a ( x 1 , y 1),b ( x 2 , y 2 ) ，则 a ·b = x 1x 2 y 1 y 2rr uuur ruuur r8 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB=（ 000）叫做向量r r180 a 与b的夹角r rr rx1 x2y1 y2cos= cosa ?b=a, b r r2222? ba x1y1x2y2当且仅当两个非零向量r r r r r a 与b同方向时，θ=00，当且仅当 a 与b反方向时θ=1800，同时0与其余任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r900r r r r9 垂直：假如a与b的夹角为则称 a 与b垂直，记作 a ⊥b10 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b＝O x1 x2y1 y20平面向量数目积的性质例 1判断以下各命题正确与否：r r r0 ；（1）0 a0 ；（2）0 ar r r r r r r（3）若a0, a b a c ，则 b c ；r r r r r r r r⑷若 a b a c ，则 b c当且仅当 a0 时建立；r r r r r r r r r（5）( a b )c a(b c ) 对随意 a,b , c 向量都建立；（6）对随意愿量r r2r2 a，有 a a解：⑴错；⑵对；⑶错；⑷错；⑸ 错；⑹对例 2 已知两单位向量r r120，若r r r r r r r r a 与b的夹角为c2a b, d3b a ，试求c 与d的夹角解：由题意，r r r r0，a b 1 ，且a与 b 的夹角为 120r r r r01，所以， a b a b cos1202r r r r r r r r2r r r 227 ，Q c c c(2 a b) (2 a b)4a4a b b r7 ，cr13同理可得dr r r r r r r r r 2r217，而 c d(2a b ) (3b a)7a b3b2a2 rr设为 c 与d的夹角，则 cos2 171317 91 arccos17917 182182评论：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例 3r4,3 r1,2 rr r r r r的已知 a， b， mab , n2a b ，按以下条件务实数值r r r r r r（ 1） m n ；（ 2） m // n ； (3) m nr r r4,32 r r r 7,8解： m a b, n 2a br r 47 3 28 052（ 1） m n；r r9483 27 01 ；（ 2） m// n2r r 423 227 28 25 2488 0(3) mn2 2 115评论：此例展现了向量在座标形式下的基本运算。
高二必修4数学第二章平面向量复习要点梳理
高二必修4数学第二章平面向量复习要点梳理数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。
小编准备了高二必修4数学第二章平面向量复习要点，希望你喜欢。
1.向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：字母表示(注：印刷体是粗体字母，书写体是字母上面加个) 坐标表示法a=xi+yj=(x，y)注：i、j是单位向量。
(3)向量的长度：即向量的大小，记作|a|.(4)特殊的向量：零向量a=0|a|=0.单位向量aO为单位向量|aO|=1.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(x1，y1)=(x2，y2)(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a//b.平行向量也称为共线向量.(8)两个非零向量夹角的概念：已知非零向量a与b，作OA=a，OB=b，则AOB=(0≦≦)叫a与b的夹角说明：①当=0时，a与b同向;②当时，a与b反向;③当/2时，a与b垂直，记a规定零向量和任意向量都垂直。
④注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0q(9)向量的投影：定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量;观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。
随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。
我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。
看得清才能说得正确。
在观察过程中指导。
我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：乌云像大海的波浪。
高中数学必修4知识点总结：第二章-平面向量
高中数学必修4知识点总结第二章 平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+r r rr r r ．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+r r r r ；②结合律：()()a b c a b c ++=++r r r r rr ；③00a a a +=+=r r r r r ．⑸坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y +=++rr ．18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，则()1212,a b x x y y -=--rr ． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--u u u r ．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a r 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λr． ①a a λλ=r r；②当0λ>时，a λr 的方向与a r 的方向相同；当0λ<时，a λr 的方向与a r的方向相反；当0λ=时，0a λ=r r ．⑵运算律：①()()a a λμλμ=r r ；②()a a a λμλμ+=+r r r；③()a b a b λλλ+=+r r r r ．⑶坐标运算：设(),a x y =r ，则()(),,a x y x y λλλλ==r．20、向量共线定理：向量()0a a ≠rr r 与b r 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=r r ．设()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，其中0b ≠r r ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a r 、()0b b ≠r r r共线．21、平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+u r u u r r．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基b ra rCBAa b C C -=A -AB =B u u ur u u u r u u u r r r底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP u u u r u u u r时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。
高中数学必修4平面向量知识点总结
高中数学必修4 平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a；坐标表示法),(y x yj xi a向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a大小相等，方向相同),(),(2211y x y x 2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC u u u r（1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a =a ； (ii) a +(a )=(a )+a =0；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差， 记作：)(b a b a求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =6平面向量的基本定理：如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点例1 给出下列命题：① 若|a r |＝|b r |，则a r =b r；② 若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB DC u u u r u u u r是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；③ 若a r =b r ，b r =c r ，则a r =c r ， ④ar =br 的充要条件是|ar |=|br |且a rb r a r b r b rc r a r c r AB DC u u ur u u u r ||||AB DC u u u r u u u r //AB DC u u u r u u u r //AB DC u u u r u u u r ||||AB DC u u u r u u u r AB DC u u u r u u u r a r br a r b r b r c r b r c r a r c r a r c r a r b r a r b r a r b r a r b r a r b r a r b r b r 0r AB BC CD u u ur u u u r u u u r DB AC BD u u u r u u u r u u u r OA OC OB COu u u r u u u r u u u r u u u r ()AB BC CD AC CD ADu u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()0DB BD AC AC ACu u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r ()()()0OB OA OC CO AB OC CO AB AB u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r a r b r c r a r b r d r a r b r c r d r c r dr c r d r a r b r a r b r a r b r 0r a r b r 1010k k k 面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r 作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a r可表示成a xi yj r r r ，由于a r 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a r的坐标，记作a r =(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr(2) 若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r(3) 若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5) 若 1122,,,a x y b x y r r ，则1212a b x x y y rr若a b rr ，则02121 y y x x3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算运算类型几何方法 坐标方法 运算性质 向 量 的 加法1平行四边形法则 2三角形法则 1212(,)a b x x y y r r a b b a)()(c b a c b aAB BC AC u u u r u u u r u u u r向 量 的 减 法 三角形法则 1212(,)a b x x y y rr )(b a b aAB BA u u u r u u u r OB OA AB u u u r u u u r u u u r向 量 的 乘 法a是一个向量,满足:>0时,a 与a同向;<0时,a 与a异向;=0时, a =0),(y x a a a)()(a a a)( b a b a )(a ∥b a b向 量的 数量 积b a•是一个数 0 a 或0b 时, b a•=0 0 a 且0 b 时,•b a b a b a,cos |||| 1212a b x x y y • rra b b a • •)()()(b a b a b a • • • c b c a c b a • • • )(22||a a ,22||y x a||||||b a b a •例1 已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b r r r r r ，2v a b rr r ，且//u v r r ，求实数x 的值解：因为(1,2),(,1),2a b x u a b r r r r r，2v a b r r r所以(1,2)2(,1)(21,4)u x x r ，2(1,2)(,1)(2,3)v x x r又因为//u v r r所以3(21)4(2)0x x ，即105x解得12x例2已知点)6,2(),4,4(),0,4(C B A ,试用向量方法求直线AC 和OB （O 为坐标原点）交点P 的坐标解：设(,)P x y ，则(,),(4,)OP x y AP x y u u u r u u u r因为P 是AC 与OB 的交点所以P 在直线AC 上，也在直线OB 上即得//,//OP OB AP AC u u u r u u u r u u u r u u u r由点)6,2(),4,4(),0,4(C B A 得，(2,6),(4,4)AC OB u u u r u u u r得方程组6(4)20440x y x y解之得33x y故直线AC 与OB 的交点P 的坐标为(3,3)三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos叫做a r 与b r的数量积（或内积） 规定00a r r2向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：2||a a a a r r r r5乘法公式成立： 2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a r r r r②对实数的结合律成立：a b a b a b R r r r r r r③分配律成立： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意：（1）结合律不成立： a b c a b c r r r r r r；（2）消去律不成立a b a cr r r r 不能得到b c r r（3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r，则a r ·b r =1212x x y y已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800 ）叫做向量a r 与b r的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r10两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x 平面向量数量积的性质例1 判断下列各命题正确与否：（1）00a r；（2）00a r r ；（3）若0,a a b a c r r r r r，则b c r r ；⑷若a b a c r r r r ，则b c r r 当且仅当0a rr 时成立； （5）()()a b c a b c r r r r r r 对任意,,a b c r r r向量都成立；（6）对任意向量a r，有2a a r r解：⑴错； ⑵对； ⑶错； ⑷错； ⑸ 错；⑹对例2已知两单位向量a r 与b r 的夹角为0120，若2,3c a b d b a r r r r r r ，试求c r 与d r的夹角解：由题意，1a b r r ，且a r 与b r的夹角为0120，所以，01cos1202a b a b r r r r ，2c c c r r rQ (2)(2)a b a b r r r r 22447a a b b r r r r ，c r同理可得d r而c d r r 2217(2)(3)7322a b b a a b b a r r r r r r r r ，设 为c r与d r 的夹角， 则1829117137217cos1829117arccos点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例3 已知 4,3a r， 1,2b r ，,m a b r r r 2n a b r r r ，按下列条件求实数的值（1）m n r r ；（2）//m n r r；(3)m n r r 解： 4,32,m a b r r r 27,8n a b rr r （1）m n r r 082374 952；（2）//m n r r 072384 21 ；(3)m n r r 088458723422222点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算（七）向量中一些常用的结论：1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.||||||||||||a b a b a b r r r r r r ，特别地，当 a b r r、同向或有 0r ||||||a b a b r r r r ||||||||a b a b r r r r ；当 a b r r、反向或有0r ||||||a b a b r r r r ||||||||a b a b r r r r ； 当 a b r r、不共线 ||||||||||||a b a b a b r r r r r r (这些和实数比较类似).3.在ABC 中，①若 112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为123123,33x x x y y y G。
数学必修四第二章平面向量知识点
数学必修四第二章平面向量知识点第二章平面向量1. 平面向量的概念：平面上具有大小和方向的箭头。
2. 向量的表示：向量通常用小写字母加上一个箭头表示，如a→。
3. 平行向量：具有相同或相反的方向的向量。
4. 向量的加法：向量a→与向量b→相加得到向量c→，其坐标分别相加，即c→ = a→ + b→。
5. 向量的减法：向量a→与向量b→相减得到向量c→，其坐标分别相减，即c→ = a→ - b→。
6. 向量的数量积：向量a→与向量b→的数量积，用a·b表示，满足a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a→和向量b→的模，θ为两个向量夹角的大小。
7. 向量的数量积的性质：具有交换律、结合律和分配律。
8. 向量的夹角：向量a→与向量b→的夹角可以通过向量的数量积来计算夹角的余弦值。
9. 向量的夹角的性质：两个向量夹角为0°，当且仅当它们是同一向量或其中一个向量是另一个向量的相反向量。
10. 向量的共线与垂直：两个向量共线，当且仅当它们的夹角为0°或180°；两个向量垂直，当且仅当它们的数量积为0。
11. 平面向量的坐标表示：平面上的向量可以用坐标表示，即向量a→可以表示为(a,b)。
12. 平面向量的数量积的坐标表示：向量a→(a1, a2)与向量b→(b1, b2)的数量积为a1b1 + a2b2。
13. 向量的数量积与坐标表示的关系：向量a→(a1, a2)与向量b→(b1, b2)的数量积等于它们的坐标相乘的和。
14. 平移向量：平面上的一点A沿着一条向量a→移动到另一点B，其位置关系可以用带箭头的线段→AB表示，这条线段就是向量a→。
15. 平面向量的模运算：给定向量a→(a1, a2)，有|a→| = √(a1^2 + a2^2)。
这些是数学必修四第二章平面向量的核心知识点。
必修4知识点总结：第二章_平面向量
高中数学必修4知识点总结第二章 平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． 18、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y A B=--．19、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。
(完整版)高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳.docx
平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。
记作：uuur rAB 或 a 。
uuur r2.向量的模：向量的大小（或长度），记作： | AB |或 | a |。
r r3. 单位向量：长度为 1 的向量。
若e是单位向量，则| e| 1。
r r4.零向量：长度为 0 的向量。
记作：0。
【0方向是任意的，且与任意向量平行】5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6.相等向量：长度和方向都相同的向量。
7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。
8.三角形法则：uuur uuur AB BA。
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC AC；AB BC CD DE AE； AB AC CB （指向被减数）9.平行四边形法则：r r r r r r以 a, b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b ， a b 。
r r r r r r r r10. 共线定理：a b a / /b 。
当0 时，a与b同向；当0 时，a与b反向。
11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.r rx2y 2r 2r r r r r2向量的模：若 a(x, y) ，则| a |， a| a |2， | a b |( a b)r r r rr rcos ra br13.数量积与夹角公式： a b| a | | b | cos；| a || b |r r r r r r r r14.平行与垂直： a / / b a b x1 y2x2 y1； a b a b0x1 x2y1 y2 0题型 1. 基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（ 3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（ 4）四边形 ABCD是平行四边形的条件是uuur uuurAB CD 。
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高中数学必修4平面向量知识点总结高中数学必修4平面向量知识点坐标表示法平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y 轴方向相同的两个单位向量作为基底。
由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x 轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。
来表示平面内的各个方向在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向.在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作a=b.零向量与零向量相等.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.向量的运算1、向量的加法：AB+BC=AC设a=(x,y) b=(x ,y )则a+b=(x+x ,y+y )向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量加法的性质：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)a+0=0+a=a2、向量的减法AB-AC=CBa-b=(x-x ,y-y )若a//b则a=eb则xy`-x`y=0若a垂直b则ab=0则xx`+yy`=03、向量的乘法设a=(x,y) b=(x ,y )a b(点积)=x x +y y =|a| |b|*cos夹角4、向量有关概念：(1)向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
高中数学必修4平面向量知识点总结
⾼中数学必修4平⾯向量知识点总结 平⾯向量是⾼中数学中基本内容，必修四课本的难点，有哪些知识点需要学习?下⾯是店铺给⼤家带来的⾼中数学必修4平⾯向量知识点，希望对你有帮助。
⾼中数学必修4平⾯向量知识点 坐标表⽰法 平⾯向量的坐标表⽰：在直⾓坐标系中，分别取与x轴、y轴⽅向相同的两个单位向量作为基底。
由平⾯向量的基本定理知，该平⾯内的任⼀向量可表⽰成，由于与数对(x,y)是⼀⼀对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。
来表⽰平⾯内的各个⽅向在数学中，我们通常⽤点表⽰位置，⽤射线表⽰⽅向.在平⾯内，从任⼀点出发的所有射线，可以分别⽤ 向量的表⽰向量常⽤⼀条有向线段来表⽰，有向线段的长度表⽰向量的⼤⼩，箭头所指的⽅向表⽰向量的⽅向.向量也可⽤字母a①、b、c等表⽰，或⽤表⽰向量的有向线段的起点和终点字母表⽰. 向量的⼤⼩，也就是向量的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量. ⽅向相同或相反的⾮零向量叫做平⾏向量.向量a、b、c平⾏，记作a∥b∥c.0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其⽅向不确定，我们规定0与任⼀向量平⾏. 长度相等且⽅向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作a=b.零向量与零向量相等.任意两个相等的⾮零向量，都可⽤同⼀条有向线段来表⽰，并且与有向线段的起点⽆关. 向量的运算 1、向量的加法： AB+BC=AC 设a=(x,y) b=(x',y') 则a+b=(x+x',y+y') 向量的加法满⾜平⾏四边形法则和三⾓形法则。
向量加法的性质： 交换律： a+b=b+a 结合律： (a+b)+c=a+(b+c) a+0=0+a=a 2、向量的减法 AB-AC=CB a-b=(x-x',y-y') 若a//b 则a=eb 则xy`-x`y=0 若a垂直b 则ab=0 则xx`+yy`=0 3、向量的乘法 设a=(x,y) b=(x',y') a·b(点积)=x·x'+y·y'=|a|·|b|*cos夹⾓ 4、向量有关概念： (1)向量的概念：既有⼤⼩⼜有⽅向的量，注意向量和数量的区别。
2022数学必修四第二章平面向量知识点
2022数学必修四第二章平面向量知识点数学必修四第二章平面向量知识点1.平面向量基本概念有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作或AB;向量的模：有向线段AB的长度叫做向量的模，记作|AB|;零向量：长度等于0的向量叫做零向量，记作或0。
(注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有区别的，书写时要在实数“0”上加箭头，以免混淆);相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量;平行向量(共线向量)：两个方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量，零向量与任意向量平行，即0//a;单位向量：模等于1个单位长度的向量叫做单位向量，通常用e表示，平行于坐标轴的单位向量习惯上分别用i、j 表示。
相反向量：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，-(-a)=a，零向量的相反向量仍然是零向量。
2.平面向量运算加法与减法的代数运算：(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。
向量加法有如下规律：+ = + (交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量。
(1)| |=| |·| |;(2) 当a0时，与a的方向相同;当a0时，与a的方向相反;当a=0时，a=0.两个向量共线的充要条件：(1) 向量b与非零向量共线的充要条件是有且仅有一个实数，使得b= .(2) 若=( ),b=( )则‖b .3.平面向量基本定理若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使得= e1+ e2.4.平面向量有关推论三角形ABC内一点O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，则点O是三角形的垂心。
若O是三角形ABC的外心,点M满足OA+OB+OC=OM，则M是三角形ABC的垂心。
必修4 平面向量知识点总结
必修4 平面向量知识点总结一、向量的基本概念1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别、向量常用有向线段来表示、注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移、举例1 已知，，则把向量按向量平移后得到的向量是_____、结果：2、零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，规定：零向量的方向是任意的；3、单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）；4、相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5、平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定：零向量和任何向量平行、注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有)；④三点共线共线、6、相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量、的相反向量记作、举例2 如下列命题：（1）若，则、（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同、（3）若，则是平行四边形、（4）若是平行四边形，则、（5）若，，则、（6）若，则、其中正确的是、结果：（4）（5）二、向量的表示方法1、几何表示：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；2、符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；3、坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示、结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同、三、平面向量的基本定理定理设同一平面内的一组基底向量，是该平面内任一向量，则存在唯一实数对，使、（1）定理核心：；（2）从左向右看，是对向量的分解，且表达式唯一；反之，是对向量的合成、（3）向量的正交分解：当时，就说为对向量的正交分解、举例3 （1）若，，，则、结果：、（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA、，B、，C、，D、，（3）已知分别是的边，上的中线,且，,则可用向量表示为、结果：、（4）已知中，点在边上，且，，则的值是、结果：0、四、实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：（1）模：；（2）方向：当时，的方向与的方向相同，当时，的方向与的方向相反，当时，，注意：、五、平面向量的数量积1、两个向量的夹角：对于非零向量，，作，，则把称为向量，的夹角、当时，，同向；当时，，反向；当时，，垂直、2、平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即、规定：零向量与任一向量的数量积是0、注：数量积是一个实数，不再是一个向量、举例4 （1）中，，，，则_________、结果：、（2）已知，，，，与的夹角为，则 ____、结果：1、（3）已知，，，则____、结果：、（4）已知是两个非零向量，且，则与的夹角为____、结果：、3、向量在向量上的投影：，它是一个实数，但不一定大于0、举例5 已知，，且，则向量在向量上的投影为______、结果：、4、的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积、5、向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：（1）；（2）当、同向时，，特别地，；是、同向的充要分条件；当、反向时，，是、反向的充要分条件；当为锐角时，，且、不同向，是为锐角的必要不充分条件；当为钝角时，，且、不反向；是为钝角的必要不充分条件、（3）非零向量，夹角的计算公式：；④、举例6 （1）已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______、结果：或且；（2）已知的面积为，且，若，则，夹角的取值范围是_________、结果：；（3）已知，，且满足（其中）、①用表示；②求的最小值，并求此时与的夹角的大小、结果：①；②最小值为，、六、向量的运算1、几何运算（1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则、运算形式：若，，则向量叫做与的和，即；作图：略、注：平行四边形法则只适用于不共线的向量、（2）向量的减法运算法则：三角形法则、运算形式：若，，则，即由减向量的终点指向被减向量的终点、作图：略、注：减向量与被减向量的起点相同、举例7 （1）化简：① ；② ；③ 、结果：①；②；③；（2）若正方形的边长为1，，，，则、结果：；（3）若是所在平面内一点，且满足，则的形状为、结果：直角三角形；（4）若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为、结果：2；（5）若点是的外心，且，则的内角为、结果：、2、坐标运算：设，，则（1）向量的加减法运算：，、举例8 （1）已知点，，，若，则当____时，点在第一、三象限的角平分线上、结果：；（2）已知，，且，，则、结果：或；（3）已知作用在点的三个力，，，则合力的终点坐标是、结果：、（2）实数与向量的积：、（3）若，，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标、举例9 设，，且，，则的坐标分别是__________、结果：、（4）平面向量数量积：、举例10 已知向量，，、（1）若，求向量、的夹角；（2）若，函数的最大值为，求的值、结果：（1）；（2）或、（5）向量的模：、举例11 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么＝、结果：、（6）两点间的距离：若，，则、举例12 如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若，其中分别为与轴、轴同方向的单位向量，则点斜坐标为、（1）若点的斜坐标为，求到的距离；（2）求以为圆心，1为半径的圆在斜坐标系中的方程、结果：（1）2；（2）、七、向量的运算律1、交换律：，，；2、结合律：，，；3、分配律：，，、举例13 给出下列命题：① ；② ；③ ；④ 若，则或；⑤若则；⑥；⑦；⑧；⑨、其中正确的是、结果：①⑥⑨、说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？八、向量平行(共线)的充要条件、举例14 (1)若向量，，当_____时，与共线且方向相同、结果：2、（2）已知，，，，且，则、结果：4、（3）设，，，则 _____时，共线、结果：或11、九、向量垂直的充要条件、特别地、举例15 (1)已知，，若，则、结果：；（2）以原点和为两个顶点作等腰直角三角形，，则点的坐标是、结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知向量，且，则的坐标是、结果：或、、线段的定比分点1、定义：设点是直线上异于、的任意一点，若存在一个实数，使，则实数叫做点分有向线段所成的比，点叫做有向线段的以定比为的定比分点、2、的符号与分点的位置之间的关系（1）内分线段，即点在线段上；（2）外分线段时，①点在线段的延长线上，②点在线段的反向延长线上、注：若点分有向线段所成的比为，则点分有向线段所成的比为、举例16 若点分所成的比为，则分所成的比为、结果：、3、线段的定比分点坐标公式：设，，点分有向线段所成的比为，则定比分点坐标公式为、特别地，当时，就得到线段的中点坐标公式说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确，、的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标、（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比、举例17 （1）若，，且，则点的坐标为、结果：；（2）已知，，直线与线段交于，且，则、结果：２或、一、平移公式如果点按向量平移至，则；曲线按向量平移得曲线、说明：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18 （1）按向量把平移到，则按向量把点平移到点______、结果：；（2）函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，则________、结果：、二、向量中一些常用的结论1、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2、模的性质：、（1）右边等号成立条件：同向或中有；（2）左边等号成立条件：反向或中有；（3）当不共线、3、三角形重心公式在中，若，，，则其重心的坐标为、举例19 若的三边的中点分别为、、，则的重心的坐标为、结果：、5、三角形“三心”的向量表示（1）为△的重心，特别地为△的重心、（2）为△的垂心、（3）为△的内心；向量所在直线过△的内心、6、点分有向线段所成的比向量形式设点分有向线段所成的比为，若为平面内的任一点，则，特别地为有向线段的中点、7、向量中三终点共线存在实数，使得且、举例20 平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点，，若点满足,其中且,则点的轨迹是、结果：直线、。
数学必修四知识点总结总结平面向量
数学必修四知识点总结总结平面向量数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描述的一种通用手段，可以应用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。
下面是整理的数学必修四知识点总结平面向量，仅供参考希望能够帮助到大家。
数学必修四知识点总结平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(_+_，y+y)。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(_,y) b=(_,y) 则a-b=(_-_,y-y).3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向;当λ0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.向量的数量积的坐标表示：a•b=_•_+y•y.向量的数量积的运算律a•b=b•a(交换律);(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);向量的数量积的性质a•a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a•b=0.|a•b|≤|a|•|b|.向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)≠a•b.2、向量的数量积不满足消去律,即：由a•b=a•c (a≠0),推不出b=c.3、|a•b|≠|a|•|b|4、由|a|=|b| ,推不出a=b或a=-b.5、向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b 的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a‖b〈=〉a×b=0.向量的向量积运算律a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.6、向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.7、定比分点定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数λ,使向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.若P1(_1,y1),P2(_2,y2),P(_,y),则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)_=(_1+λ_2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ).(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式8、三点共线定理若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中，若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的重心[编辑本段]向量共线的重要条件若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
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高中数学必修 4知识点总结
第二章平面向量
16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量. 有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0的向量. 单位向量:长度等于 1个单位的向量. 平行向量(共线向量 :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量.
17、向量加法运算:
⑴三角形法则的特点:首尾相连.
⑵平行四边形法则的特点:共起点.
a b a b a b -≤+≤+
. ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+ ;
②结合律:((
a b c a b c ++=++
;③ 00a a a +=+= .
⑸坐标运算:设 (11, a x y = , (22, b x y = ,则 (1212, a b x x y y +=++
.
18、向量减法运算:
⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量.
⑵坐标运算:设 (11, a x y = , (22, b x y = ,则 (1212, a b x x y y -=--
. 设 A、 B两点的坐标分别为 (11, x y , (22, x y , 则 (1
212
, x x y y A
B=--
.
19、向量数乘运算:
⑴实数λ与向量 a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ
.
① a a λλ= ;
②当0λ>时, a λ 的方向与 a 的方向相同; 当0λ<时, a λ 的方向与 a 的方向相反; 当0λ=时, 0a λ=
.
⑵运算律:① ((a a λμλμ= ;② (a a a λμλμ+=+ ;③ (
a b a b λλλ+=+
.
⑶坐标运算:设 (, a x y = ,则((, , a x y x y λλλλ==
.
20、向量共线定理:向量 (
0a a ≠
与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ= .
设 (11, a x y = , (22, b x y = ,其中0b ≠ ,则当且仅当 12210x y x y -=时,向量 a
、 (
0b b ≠ 共线.
21、平面向量基本定理:如果 1e 、 2e 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任意向量 a
, 有且只有一对实数1λ、2λ,使1122a e e λλ=+
. (不共线的向量 1e 、 2e 作为这一平面内所有向量的一组基
b
a
C
B
A
a b C C -=A-AB=B
底
22、分点坐标公式:设点 P是线段 12PP上的一点, 1P、 2P的坐标分别是 (11, x y , (22, x y , 当 12
λPP=PP
时,点 P的坐标是 12
12,
11x x y y λλλ
λ++⎛⎫
⎪++⎝⎭
.
(当时,就为中点公式。
1=λ
23、平面向量的数量积:
⑴ (
cos 0, 0, 0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤
.零向量与任一向量的数量积为 0.
⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① 0a b a b ⊥⇔⋅= .②当 a 与 b 同向时, a b a b ⋅=
;当 a 与 b 反向时, a b a b ⋅=-
; 22a a a a ⋅==
或 a =
a b a b ⋅≤ .
⑶运算律:① a b b a ⋅=⋅ ;② (((
a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ ;③ (
a b c a c b c +⋅=⋅+⋅
.
⑷坐标运算:设两个非零向量 (11, a x y = , (22, b x y = ,则 1212a b x x y y ⋅=+ .
若 (, a x y = , 则 2
22
a x y
=+ ,
或 a =
. 设 (11, a x y =
, (22, b x y = , 则
1
21
2
0a b x x y y ⊥⇔
+
=
. 设 a
、 b 都是非零向量, (11, a x y = , (22, b x y = , θ
是 a
与 b 的夹角 ,
则
cos x x y y a b
a b
θ+⋅==
.
第三章三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴ (cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+;⑵ (cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-; ⑶ (sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-;⑷ (sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+; ⑸ (tan tan tan 1tan tan
αβαβαβ--=
+ ⇒ (((tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+
; ⑹ (tan tan tan 1tan tan αβαβαβ
++=
- ⇒ (((tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- .
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴ sin 22sin cos ααα=. 2
22 cos (sincos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒
⑵ 2222
cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-
⇒升幂公式 2
sin
2cos 1, 2
cos 2cos 12
2
α
αα
α=-=+ ⇒降幂公式 2
cos 21
cos 2
αα+=
, 21cos 2sin 2
α
α-=
.
⑶ 2
2tan tan 21tan ααα
=
-.
26、
⇒(后两个不用判断符号,更加好用
27、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数, 一个角, 一次方” 的 B x A y ++= sin(ϕϖ形式。
(sin cos αααϕA+B=
+,其中 tan ϕB=
A
.
28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:
(1角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,
倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如: ① α2是α的二倍; α4是α2的二倍; α是
2
α
的二倍; 2
α
是
4
α
的二倍;
② 2
3045
60
30
4515
o
o
o
o
o o
=-=-=;问:=12 sin π
=12
cos π
③ ββαα-+= (;④4
(
2
4
απ
π
απ
--=
+;
⑤ 4
(
4
(
( (2απ
απ
βαβαα--+=-++=;等等
(2函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。
如在三角函数中正余弦是基础,通常化切为弦,变异名为同名。
(3常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“ 1”的
代换变形有:
o
o
45tan 90
sin cot tan cos sin 12
2
===+=αααα
(4幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。
常用
降幂公式有: ; 。
降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式
αcos +常用升幂化为有理式,常用升幂公式有:;
(5公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。
如:
_______________tan 1tan 1=-+αα; ______________tan 1tan 1=+-α
α
; ____________
tan tan =+βα; ___________
tan tan 1=-βα;
ααααααα
半角公式 cos 1cos 12tan 2cos 12sin ; 2cos 12cos :
+-±=-±=+±=2
tan
12
tan
1
cos ; 2tan 12tan
2
sin :22
2αα
ααα
α万能公式 +-=+=
____________tan tan =-βα; ___________tan tan 1=+βα;
=αtan 2; =-α2tan 1;
=++o
o o
o
40
tan 20tan 340
tan 20
tan
=+ααcos sin = ;
=+ααcos sin b a = ; (其中
=ϕtan =+αcos 1=-αcos 1;
(6三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;
基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值
与特殊角的三角函数互化。
如:=+
10tan 31(50sin o
o
=-ααcot tan 。