高一数学暑假作业必修二第一部分立体几何 8.平面的基本性质与推论 Word版含答案
近年高中数学第1章立体几何初步第二节点、直线、面的位置关系1平面的基本性质及推论习题苏教版必修2(
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平面的基本性质及推论（答题时间:40分钟）＊1。
（福州检测）下列说法正确的是________。
①三点可以确定一个平面②一条直线和一个点可以确定一个平面 ③四边形是平面图形④两条相交直线可以确定一个平面*2.(扬州检测）经过空间任意三点可以作________个平面.＊＊3.（1）三条直线两两平行，但不共面，它们可以确定______个平面。
(2)共点的三条直线可以确定________个平面. ＊4。
（宿迁检测)空间中可以确定一个平面的条件是________.（填序号） ①两条直线；②一点和一直线；③一个三角形;④三个点 ＊＊5。
（梅州检测)如图所示的正方体中，P 、Q 、M 、N 分别是所在棱的中点,则这四个点共面的图形是________。
（把正确图形的序号都填上）＊＊6。
（福建师大附中检测)三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有________条. **7。
证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.*＊8. 如图所示，已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ,H 分别是BC ，CD 上的点,且HCDHGC BG＝2。
(完整word版)高中数学必修二立体几何知识点总结
第一章 立体几何初步特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）ch S =直棱柱侧面积'21ch S =正棱锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积 rh S π2=圆柱侧 ()l r r S +=π2圆柱表rl S π=圆锥侧面积 ()l r r S +=π圆锥表 lR r S π)(+=圆台侧面积 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱13V Sh =锥'1()3V S S h =台 2V Sh r h π==圆柱h r V 231π=圆锥 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π第二章 直线与平面的位置关系2.11 2 三个公理：（1符号表示为A ∈LB ∈L => l α⊂ A ∈αB ∈α（2符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理（3公理 L A · α C · B · A · α2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
《新课程标准高中数学必修②复习讲义》第一、二章-立体几何
一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一)空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做顶点.旋转体--把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中,这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥,台，球的结构特征 1。
棱柱1。
1棱柱—-有两个面互相平行，其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1。
2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系： ①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等,侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1。
4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解)长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，,则，222sin sin sin 1αβγ++=222cos cos cos 2αβγ++=.1.5侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长,h 为棱柱的高)2.圆柱2。
1圆柱—-以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的母线截面（轴截面）是全等的矩形.2。
高一必修2数学立体几何知识点总结
立体几何一、平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行二、空间线面的位置关系共面平行—没有公共点(1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面 (既不平行，又不相交)直线在平面内—有无数个公共点(2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点(直线在平面外) 相交—有且只有一公共点(3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点)平行—没有公共点三、线面平行与垂直的判定(1)两直线平行的判定①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
③垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b（线面垂直的性质定理）④两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b（面面平行的性质公理）⑤中位线定理、平行四边形、比例线段……，α∩β=b,则a∥b.（线面平行的判定定理）⑥平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.（公理4）(2)两直线垂直的判定①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a⊥α,b⊂α，a⊥b.④利用勾股定理，等腰三角形三线合一。
(3)直线与平面平行的判定①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若a⊄α,b⊂α，a∥b,则a ∥α.（线面平行的判定定理）③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l∥β.(4)直线与平面垂直的判定①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.（线面垂直判定定理）③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α.⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.(面面垂直的性质定理)(5)两平面平行的判定①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b ⊂α，a ∩b=P,a ∥β,b ∥β,则α∥β.（面面平行判定定理）(6)两平面垂直的判定①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a －β=90°⇔α⊥β.②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l ⊥β,l ⊂α，则α⊥β. （面面垂直判定定理） 四、空间中的各种角定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 1、异面直线所成的角(1)定义：a 、b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ′∥a,b ′∥b,则a ′和b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 和b 所成的角.(2)取值范围： 0°＜θ≤90°. (3)求解方法①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ； ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小. 3、二面角及二面角的平面角(1)半平面 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.(2)二面角 一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是0°＜θ≤180°(3)二面角的平面角①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.②找(或作)二面角的平面角的主要方法. (i)定义法 (ii)三垂线法先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值. 五 表面积公式和体积公式=2 S =S rl rlππ圆柱侧圆锥侧12)=S r r lπ+圆台侧（''()1=2S c c h +正棱台侧'1=ch S =2S ch直棱柱侧正棱锥侧1= V =3V Sh Sh柱体锥体1=+3V S S h下台体上（234=4 V =3S R R ππ球面球。
人教B版数学高一必修2学案平面的基本性质与推论
数学人教B必修2第一章1.2.1 平面的基本性质与推论1．理解平面的三个基本性质与三个推论，并会用三种语言表示性质和推论．2．了解异面直线的概念，能用符号语言描述点、直线、平面之间的相互位置关系．3．能进行文字语言与数学图形语言和符号语言间的相互转化与应用．1．空间点和直线的基本性质(1)连接两点的线中，________最短．(2)过________有一条直线，并且只有一条直线．2【做一做1－1】若点B在直线b上，b在平面β内，则B，b，β之间的关系可以记作()．A．B∈b∈βB．B∈b⊂βC．B⊂b⊂βD．B⊂b∈β【做一做1－2】若两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是()．A．1个B．2个C．1个或无数个D．无数个且在同一条直线上【做一做1－3】如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b且M∈l，N∈l，那么()．A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N3．平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，__________个平面．推论2：经过两条______直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条______直线，有且只有一个平面．空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们________．【做一做2－1】下列命题正确的是()．①一条直线和一个点确定一个平面；②两条相交直线确定一个平面；③两条平行直线确定一个平面；④四个点确定一个平面．A．①③B．②③C．③④D．②③④【做一做2－2】由4条平行直线最多可以确定()．A．2个平面B．4个平面C．5个平面D．6个平面【做一做3】下列说法正确的是()．A．四边形是平面图形B．有三个公共点的两个平面必重合C．两两相交的三条直线必在同一个平面内D．三角形是平面图形5．异面直线(1)画法：画两条异面直线时，为了充分显示出它们既不________又不______的特点，即________的特点，通常采用平面衬托法，以加强直观性，常见的画法如下图．(2)判断方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线．【做一做4】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与棱AA1成异面直线的棱有__________条．1．对异面直线的理解剖析：若直线a，b是异面直线，则在空间中找不到一个平面，使其同时经过a，b两条直线．例如，如图所示的长方体ABCD－A1B1C1D1中，棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交，找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线．要注意分别在两个平面内的直线不一定是异面直线，可以平行，可以相交，也可以异面．2．平面的基本性质的作用剖析：(1)基本性质1的作用．利用基本性质1可以判断一条直线是否在一个平面内．基本性质1给出了判断直线在平面内的方法，引出了直线在平面内的定义，从而说明了在空间中的每个平面内都存在着各种平面图形，在每个平面内都可以用初中的平面几何知识．另外，该基本性质也是判断点在平面内的方法，还可借此用直线来检验平面．(2)基本性质2的作用．作用之一是确定平面，作用之二是可用它来证明点、线共面问题．(3)基本性质3的作用．平面的基本性质3主要说明了两个相交平面的特征，对我们确定两个平面的交线有着重要的作用．其一，它是判定两个平面是否相交的依据，也就是说，只要两个平面有公共点，则这两个平面就相交；其二，它可以证多点共线的问题．若点是某两个平面的公共点，则该点必定在这两个平面的交线上．3．教材中的“思考与讨论”已知两条直线相交，过其中任意一条直线上的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否都共面？为什么？剖析：都共面，如图所示，a∩b＝A，过b上任意一点B作c∥a，则a，c可确定一个平面α.因为A∈a，所以A∈α.又因为B∈c，所以B∈α，所以AB⊂α，即b⊂α.所以a，b，c 共面．同理在a上任取一点作b的平行线，都与a，b共面，所以这些平行线都共面．题型一文字语言、图形语言和符号语言的转换【例1】将下面用符号语言表示的关系改用文字语言予以叙述，并且用图形语言予以表示．α∩β＝l，A∈l，AB⊂α，AC⊂β.分析：本题实质是数学的三种语言：符号语言、文字语言、图形语言之间的互译．反思：符号语言简洁，层次感强．文字语言比较自然、生动，它能将问题所研究的对象的含义更加明白地叙述出来．教科书上的概念、定理等多以文字语言叙述．图形语言，易引起清晰的视觉形象，它能直观地表达概念、定理的本质以及相互关系，在抽象的数学思维面前起着具体化和加深理解的作用．各种数学语言间的互译可为我们在更广阔的思维领域里寻找问题解决的途径提供方便．题型二共线问题【例2】如图所示，已知△ABC的三边所在的直线分别与平面α交于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点共线．分析：证明P，Q，R三点均在平面ABC与平面α的交线上．反思：证明点共线，可先由两点确定一条直线，再证其他的点也在这一直线上，也可证明所有点都在一条特定直线(两平面交线)上．题型三共面问题【例3】如图所示，已知一直线a分别与两平行直线b，c相交．求证：a，b，c三线共面．分析：有两种方法．(1)先用两平行直线b，c确定一个平面，再证a也在这个平面内；(2)先由两条相交直线a，b确定一个平面，再证c也在这个平面内．反思：本题为我们证明共面问题提供了多角度的思维模式，但整体套路是先用部分对象确定一个平面，后证明剩余对象亦在其中．题型四共点问题【例4】三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行，求证：a，b，c三条直线必过同一点．分析：直线过同一点，我们可以这样来思考：先证明两线相交，得一交点，然后证明该点在其余的直线上(或其余的直线经过该点)．反思：证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，把问题化归到证明点在直线上的问题．题型五交线问题【例5】如图所示，G是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DD1延长线上一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1.分析：找两个平面的两个公共点，则过这两个公共点的直线为两平面的交线．反思：画截面截得正方体的截面图形，关键是利用好公理，找到两个平面上的公共点是解决此类问题的突破口．题型六易错辨析【例6】在空间中，可以确定一个平面的条件的序号有__________．①两两相交的三条直线②三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交③三个点④三条直线，它们两两相交，但不交于同一点错解：①②③④错因分析：不能正确理解确定一个平面所需的条件，往往是疏忽了其中的特殊要求，只记得性质和推论的大概致误．1与“直线l上两点A，B在平面α内”含义不同的是()．A．l⊂αB．平面α过直线lC．直线l上只有这两个点在α内D．直线l上所有点都在α内2平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，且C∉l，但C∈β，又AB∩l＝R，如图，过A，B，C三点确定的平面为γ，则β∩γ是()．A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR3在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q，R分别是AB，AD，B1C1的中点，那么在正方体中过P，Q，R的截面图形是()．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形4如图所示，请把下面的叙述用符号语言表示出来．(1)点A，B在直线a上：__________；(2)直线a在平面α内：__________，点C在平面α内：__________；(3)点D不在平面α内：__________，直线b不在平面α内：__________.5木匠师傅只需要用三只脚就能将一张圆桌面平稳地固定，为什么？答案：基础知识·梳理1．(1)线段(2)两点2．两点所有点在平面内经过直线l⊂α有且只有确定有一个公共点有且只有交线【做一做1－1】B关键是弄清点与直线是元素与集合之间的关系，直线与平面是集合与集合之间的关系．【做一做1－2】D利用基本性质3可知如果两个平面有一个公共点，则它们就一定有一条交线，而线是由无数个点构成的，所以这两个平面有无数个在同一直线上的交点．【做一做1－3】A因为M∈a，N∈b，a，b⊂α，所以M，N∈α，根据基本性质1可知l⊂α.故选A.3．有且只有一相交平行共面【做一做2－1】B【做一做2－2】D本题从确定平面的条件来考虑即可，要使四条平行直线确定的平面最多，只有当这四条直线中任两条所确定的平面互不相同时即为最多，从而得到结果．由确定平面的条件知，由四条平行直线最多可以确定六个平面，选D.4．有且只有一个在同一平面内异面直线【做一做3】D空间四边形不是平面图形，故选项A说法不正确；若三个公共点在一条直线上，则两个平面不一定重合，选项B也是错误的；选项C中两两相交的三条直线可能会经过同一点，此时三条直线不一定在同一个平面内．故选D.5．(1)平行相交不共面【做一做4】4典型例题·领悟【例1】解：文字语言叙述为：点A在平面α与平面β的交线l上，AB，AC分别在α，β内．图形语言如下图所示．【例2】证明：∵A，B，C是不在同一直线上的三点，∴过A，B，C有一个平面β.又∵AB∩α＝P，且AB⊂β，∴点P既在β内又在α内．设α∩β＝l，则P∈l.同理可证：Q∈l，R∈l.∴P，Q，R三点共线．【例3】证法一：∵b∥c，则b，c确定一个平面，设为α，如图，令a∩b＝A，a∩c＝B，∴A∈α，B∈α，∴AB⊂α，即直线a⊂α.∴a，b，c三线共面．证法二：∵a与b是相交直线，则a，b确定一个平面，设为α，如图，设a∩c＝A，过A点在α内作直线c′∥b，∵c∥b，c′∥b，∴c∥c′.又∵c与c′相交于点A，∴c与c′重合．∴a，b，c三线共面．【例4】证明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ.由于直线a和b不平行，∴a，b必相交，设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a，b，c三条直线相交于同一点．【例5】解：(1)画法：连接GA交A1D1于点M；连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．【例6】④正解：①中两两相交的三条直线，它们可能交于同一个点，也可能不交于同一个点，若交于同一个点，则三条直线不一定在同一个平面内，故排除①；②中的另外两条直线可能共面，也可能不共面，当另外两条直线不共面时，则三条直线不能确定一个平面，故排除②；对于③来说，三个点的位置可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能确定一个平面，故排除③；条件④中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，因而其三个交点不在同一直线上，由基本性质2知其确定一个平面．随堂练习·巩固1．C根据平面的基本性质1，可知只有选项C不正确．2．C由已知条件可知，C∈γ，A，B∈γ，所以AB⊂γ.而R∈AB，所以R∈γ.又因为C，R∈β，故CR＝γ∩β.3．D如图所示，延长PQ分别交CB，CD的延长线于M，N，连接MR，交BB1于E，交CC1的延长线于H，连接NH，分别交D1D，D1C1于F，G，则六边形QPERGF为截面图形．4．(1)A∈a，B∈a(2)a⊂αC∈α(3)D∉αb⊄α5．解：根据平面的基本性质2，经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质
公共点个数 有且只有一个 没有 没有
特别提醒
若直线 a,b 是异面直线,则在空间中找不到一个平面,使其同时经过 a,b 两条 直线.例如,如图所示的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱 AB 和 B1C1 所在的直线 既不平行又不相交,找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线.要注意 分别在两个平面内的直线不一定是异面直线,可以平行,可以相交,也可以异 面.
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探究一
探究二
探究三
探究四
解析:图(1)可以用几何符号表示为 α∩β=AB,a⊂ α,b⊂ β,a∥AB,b∥AB. 即平面 α 与平面 β 相交于直线 AB,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,直线 a 平行于直线 AB,直线 b 平行于直线 AB. 图(2)可以用几何符号表示为 α∩β=MN,△ABC 的三个顶点满足条件 A∈MN,B∈α,C∈β,B∉ MN,C∉ MN. 即平面 α 与平面 β 相交于直线 MN,△ABC 的顶点 A 在直线 MN 上,点 B 在 α 内但不在直线 MN 上,点 C 在平面 β 内但不在直线 MN 上. 答案:α∩β=AB,a⊂ α,b⊂ β,a∥AB,b∥AB α∩β=MN,△ABC 的三个顶 点满足条件 A∈MN,B∈α,C∈β,B∉ MN,C∉ MN
(2)在“A∈α,A∉ α,l⊂ α,l⊄ α”中“A”视为平面 α(集合)内的点(元素),直 线 l(集合)视为平面 α(集合)的子集.明确这一点,才能正确使用集合符号.
探究一
探究二
探究三
探究四
【典型例题 1】 如图所示,写出图形中的点、直线和平面之间的关系.
图(1)可以用几何符号表示为
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图(2)可以用几何符号表示为
经过不在同一条直线上的
人教B版高中数学必修二1.2.1平面的基本性质与推论
高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）1.2.1平面的基本性质与推论【目标要求】1.了解平面的概念，掌握平面的表示方法.2.掌握平面的基本性质和它们的作用.3.掌握平面的基本性质的推论，并能够简单的应用.【巩固教材——稳扎马步】1.下列几种说法中，正确的是（）A．四边形一定是面面图形 B.空间三点确定一个平面C.桌面是一个平面D.三角形一定是平面图形2.下列说法中正确的个数是（）①两点确定一个平面②三点确定一个平面③四点确定一个平面A.0B.1C.2D.33.已知直线l上的一点在平面内，另一个点不在α内，则（）A. l在平面α内B. l不在平面α内C.平面α可以经过lD.以上都不对4.两个平面公共点的个数可能是（）A.0B.1C.2D.0或无数【重难突破——重拳出击】5.空间三个平面两两相交，那么（）A.必相交于一点B.必相交于一条直线C.必相交于三条平行直线D.不可能有且只有两条直线6.如果经过三点有无数个平面，则这三点（）Ａ.不共线Ｂ.不共面Ｃ.共线Ｄ.以上均不对７．三条直线相交于一点，能确定几个平面（）A.1个B.2个C.无数个D.1个或3个8.在空间，下列说法错误的是（）A.圆上三点可确定一个平面B.圆心和圆上两点可以确定一个平面C.四条平行线不能确定五个平面D.不共面的四点中任意三点不共线9.下列说法中正确的是（）A.两个相交平面可以没有公共点B. 10个平面重叠在一起比一个平面厚C.平面ABCD就是四边形ABCD围起来的部分D.平面是向四周无限延展的10.点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为（）A.P⊂l⊂αB. P∈l∈αC. P⊂l∈αD. P∈l⊂α11.已知三条直线a、b c、两两平行且不共面，这三条直线可以确定m个平面，这m个平面把空间分成n个部分，则（）A.m=2 n=2B.m=2 n=6C.m=3 n=7D.m=3 n=812.空间三个平面把空间分成几个部分（）A.4个或7个B.4个或6个C.4个、6个或7个D.4个、6个、7个或8个【巩固提高——登峰揽月】13.如图，αβ＝BC,A∈α,D∈β,E、F、G、H分别是AB、AC、DB、CD上的点，求证：若EF GH＝P,则P点必在直线BC上.14.一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.【课外拓展——超越自我】15．已知αβ、是两个平面，且n个点P1、P2、…、P n既在平面α内又在平面β内求证：P1、P2、…、P n在一条直线上.1.2.1平面的基本性质与推论【巩固教材——稳扎马步】1.D2.B3.B4.D【重难突破——重拳出击】5.D6.C7.D8.B9.D 10.D 11.C 12.D【巩固提高——登峰揽月】13.证明：∵E∈AB,F∈AC ∴E∈α ,F∈α∴EF⊂α同理：GH⊂β又∵EF GH=P ∴αβ=P ∵αβ=AB ∴P∈AB即P点必在AB上。
人教版B版高中数学必修2平面的基本性质与推论
[解答] ∵E∈AB，H∈AD， ∴E∈平面 ABD，H∈平面 ABD，∴EH⊂平面 ABD. ∵EH∩FG＝O，∴O∈平面 ABD， 同理可证 O∈平面 BCD， ∴O∈平面 ABD∩平面 BCD，即 O∈BD， 所以 B、D、O 三点共线．
两个不全等的三角形 ABC、A1B1C1 不在同一平面内，如 图 37－4 所示，A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA，求证：AA1、 BB1、CC1 交于一点．
BA1，即寻找一条与BA1平行且恰与AC1相交的直线，把两条异
面直线所成的角转化为两条相交直线所成的平面角，把问题 化归为求解三角形的内角．
[解析] 方法 1：过 B 作 BD 綊 AC，连接 AD、C1D， ∵A1C1 綊 AC，即 A1C1 綊 BD， ∴四边形 A1C1DB 是平行四边形， 则 A1B∥C1D，即∠AC1D 是异面直线 BA1 与 AC1 所成的角， 设 AB＝AC＝AA1＝a，由∠ABD＝∠DCC1＝∠ACC1＝∠BAC
⑥如图四边形AD′B′C中，AD′＝D′B′＝B′C＝CA，
但它不是平行四边形，所以⑥也错. 正确的命题只有④.
► 探究点2 三点共线与三线共点问题
例 2 如图 37－3 所示，E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上的点，且 EH 与 FG 相交于点 O. 求证：B、D、O 三点共线．
平面的基本性质与推论
知识梳理
1．平面的概念及其表示 (1)平面的概念 几何里所说的“平面”就是从一些物体(课桌面、海平面等) 抽象出来的，平面有两个特征：①__无__限__延__展____________，即 平面是无边界且无限延展的；②___平__的__(_没__有__厚__度__)________， 即平面是无厚薄、无大小、无数个平面重叠在一起，仍然是一 个平面，平面是无所谓面积的． 一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部 分．
人教高中数学必修二1-2章立体几何证明题定理推论汇总
立体几何公理、定理推论汇总一、公理及其推论公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。
符号语言：,,,A l B l A B l a a a ÎÎÎÎÞÌ作用：作用： ① 用来验证直线在平面内；用来验证直线在平面内；② 用来说明平面是无限延展的。
用来说明平面是无限延展的。
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）（那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线）符号语言：P l P l a b a b ÎÞ=Î且作用：①作用：① 用来证明两个平面是相交关系；用来证明两个平面是相交关系；② 用来证明多点共线，多线共点。
用来证明多点共线，多线共点。
公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号语言：,,,,A B C A B C Þ不共线确定一个平面推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
符号语言：A a A a a a a ÏÞÎÌ有且只有一个平面，使，推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面。
经过两条相交直线，有且只有一个平面。
符号语言：a b P a b a a a Ç=ÞÌÌ有且只有一个平面，使，推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面。
经过两条平行直线，有且只有一个平面。
符号语言：//a b a b a a a ÞÌÌ有且只有一个平面，使，公理3及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
及其推论的作用：用来证明多点共面，多线共面。
高中数学必修二立体几何知识点总结(供参考)
第一章 立体几何初步特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）柱体、锥体、台体的体积公式（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π第二章 直线与平面的位置关系2.11 2 三个公理：（1符号表示为A ∈LB ∈L => l α⊂ A ∈α B ∈α（2符号表示为：A 、B 、C 三点不共线=> 有且只有一个平面α，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理（3公理1 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
3 4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点L A · α C · B· A · α =>a ∥c2π（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示a α a∩α=A a∥α2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。
高中数学第一章立体几何初步1.2.1平面的基本性质与推论学案新人教B必修2
1.2.1 平面的基本性质与推论[学习目标] 1.掌握平面的基本性质和三个推论，会用三种语言表述性质与推论.2.了解异面直线的概念，能用符号语言描述点、直线、平面之间的位置关系.[知识链接]1.在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、重合.2.点和直线的位置关系有点在直线上和点在直线外.[预习导引]1.平面的基本性质(1)基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内，这时我们说，直线在平面内或平面经过直线.(2)基本性质2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.也可简单说成，不共线的三点确定一个平面.(3)基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线.如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交.这条公共直线叫做两个平面的交线.2.平面基本性质的推论(1)推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.(2)推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.(3)推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.3.共面和异面直线(1)共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在同一平面内，我们就说它们共面.(2)异面直线：既不相交又不平行的直线.要点一三种语言的转换例1 用符号语言表示下列语句，并画出图形.(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图(1)(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图(2). 规律方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.跟踪演练1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.解(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图(1).(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图(2).(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图(3).要点二点线共面问题例2 证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内.证明方法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内.方法二(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内.∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内.规律方法在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)同一法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.跟踪演练2 已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面. 证明如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面.要点三点共线与线共点问题例3 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线.证明∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.∴M、N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q ∈直线AD ，即D 、A 、Q 三点共线. 规律方法 点共线与线共点的证明方法：(1)点共线：证明多点共线通常利用基本性质3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.跟踪演练3 如图所示，已知四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且BG GC ＝DHHC＝2.求证：直线EG ，FH ，AC 相交于同一点.证明 ∵E ，F 分别是AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD 且EF ＝12BD .又∵BG GC ＝DH HC ＝2，∴GH ∥BD 且GH ＝13BD ，∴EF ∥GH 且EF >GH ，∴四边形EFHG 是梯形，其两腰所在直线必相交， 设两腰EG ，FH 的延长线相交于一点P ，如图， ∵EG ⊂平面ABC ，FH ⊂平面ACD ， ∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ACD ， 又∵平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴P ∈AC ，故直线EG ，FH ，AC 相交于同一点.1.分别和两条异面直线都相交的两条直线一定( ).A.异面B.相交C.不相交D.不平行答案 D解析和两条异面直线都相交的两条直线可能相交，也可能异面，但一定不平行.2.下列四个选项中的图形表示两个相交平面，其中画法正确的是( )答案 D解析画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示.3.若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作( )A.Q∈b∈βB.Q∈b⊂βC.Q⊂b⊂βD.Q⊂b∈β答案 B解析∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴b ⊂β，∴Q∈b⊂β.4.设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.答案C解析∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.5.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面.答案(1)4 (2)7解析(1)可以想象三棱锥的确4个顶点，它们总共确定4个平面.(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个基本性质的作用，体会先部分再整体的思想.3.判断两条直线的位置关系时，若要判定直线平行或相交可用平面几何中的定义处理.判定异面直线的方法往往用定义和反证法.借助长方体模型判定两直线的位置关系，也是常用的一种方法，更直观.。
高中数学第一章立体几何初步1.2.1平面的基本性质与推论bb高一数学
跟踪训练2 已知：如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证： 直线l1，l2，l3在同一平面内.
12/13/2021
证明
命题角度2 点共线与线共点问题 例3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为 AA1的中点.求证：CE，D1F，DA三线交于一点.
么这条直线 判断直线是
图形
经过不在同一条
三点
直线上的 ，
基本
不共线的三点
有且只有一个平
性质2
面(即
确一定个一个平面)
确定平面及 两个平面重 合的依据
如果不重合的两
个平面有 12/13/2021
公 判断两平面
(2)平面基本性质的推论 推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个 平面. 推论2：经过两条相交 直线，有且只有一个平面. 推论3：经过两条平行 直线，有且只有一个平面.
12/13/2021
1 2 34 5
解析 答案
3.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，与AA1异面的是
A.AB C.DD1
B.BB1
√D.B1C1
解析 由异面直线的定义知，与AA1异面的直线应为B1C1.
12/13/2021
1 2 34 5
解析 答案
4.线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是_直__线__A_B_⊂__α_. 解析 由基本性质1知直线AB在平面α内.
解析 因为A∈平面α，B∈平面α，所以AB⊂α. 又因为C∈直线AB，所以C∈α.
12/13/2021
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解析 答案
2.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条
人教新课标版数学高一B版必修2课时作业 平面的基本性质与推论
第一章 1.2 1.2.1一、选择题1．下列命题中，正确命题的个数为()①平面的基本性质1可用集合符号叙述为：若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则必有l ∈α；②四边形的两条对角线必相交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四条边作为平面的边界线．A．0个B．1个C．2个D．3个A①中，l∈α不对，应为l⊂α；②中，当四边形的四个顶点不共面时，两条对角线不能相交；③中，平面是无限延展的，用平行四边形表示平面，平行四边形的边并不表示平面的边界线，故选A．2．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是()A．AB⊂αB．AB⊄αC．由线段AB的长度而定D．以上都不对A如果直线上有两点在平面内，则这条直线就在该平面内，故选A．3．(2015·陕西西安市一中高一期末测试)下列说法正确的是()A．梯形一定是平面图形B．四边形一定是平面图形C．三点确定一个平面D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点A梯形一定是平面图形．4．已知空间四点A、B、C、D确定惟一一个平面，那么这四个点中()A．必定只有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线B四点A、B、C、D确定惟一一个平面，则AB与CD相交或平行，AB∥CD时，选项A 、C 错，AB 与CD 相交于点A 时，D 错．5．文字语言叙述“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号表述是( )A ．⎭⎪⎬⎪⎫A ⊂αA ⊂a ⇒A ⊂α B ．⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂αA ∈a ⇒A ∈α C ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ⊂a ⇒A ∈α D ．⎭⎪⎬⎪⎫a ∈αA ∈a ⇒A ⊂α B点与线或面之间的关系是元素与集合的关系，用“∈”表示，线与面之间的关系是集合与集合的关系，用“⊂”表示．6．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( ) A ．1条或2条 B ．2条或3条 C ．1条或3条 D ．1条或2条或3条D如图①所示有1条交线．如图②所示有2条交线．如图③所示有3条交线．二、填空题7．四条线段顺次首尾相连，它们最多可以确定平面的个数为________．4如图，四条线段AB、BC、CD、DA顺次首尾相连，它们最多可以确定4个平面，分别是：平面ABC、平面BCD、平面ACD、平面ABD.8．如图所示，用集合符号表示下列图形中元素的位置关系．(1)图①可以用符号语言表示为______________________________________；(2)图②可以用符号语言表示为_____________________________________________．(1)α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，l∩n＝P，m∥l(2)α∩β＝l，m∩α＝A，m∩β＝B三、解答题9．如图所示正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为CC1和AA1的中点，画出平面BED1F和平面ABCD的交线．如图所示，在平面ADD1A1内延长D1F与DA，交于一点P，则P∈平面BED1F，∵DA⊂平面ABCD，∴P∈平面ABCD，∴P是平面ABCD与平面BED1F的一个公共点，又B是两平面的一个公共点，∴PB为两平面的交线.一、选择题1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、Q分别是AB、BB1、C1D1的中点，过M、N、Q的平面与正方体相交，截得的图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形D作出截面，如下图．2．下列说法正确的是()A．a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．a，b不同在平面α内，则a与b异面D．a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面D如图所示，a⊂α，b⊂β，但a∥b，故A错，C错；如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC异面，BC与DD1异面，但AA1与DD1平行，故B错，故只有D选项正确．二、填空题3．如图，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS是异面直线的一个图是________．③①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．4.如图，在正方体ABCD－EFMN中，①BM与ED平行；②CN与BM是异面直线；③CN与BE是异面直线；④DN与BM是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是________．②④观察图形，根据异面直线的定义可知，BM与ED是异面直线，CN与BM是异面直线，CN与BE不是异面直线，DN与BM是异面直线，故①、③错误，②、④正确．即正确命题的序号是②、④.三、解答题5．过直线l外一点P引两条直线PA、PB和直线l分别相交于A、B两点．求证：三条直线PA、PB、l共面．如图所示．∵P ∉l ，∴P 、l 确定一个平面α.∵A ∈l ，B ∈l ，A ∈α，B ∈α，P ∈α， ∴PA ⊂α，PB ⊂α， ∴PA 、PB 、l 共面．6．如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AA 1、D 1C 1的中点，过D 、M 、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l .(1)画出直线l ；(2)设l ∩A 1B 1＝P ，求PB 1的长．(1)设过D 、M 、N 三点的平面为α，α与平面AA 1D 1D 的交线为直线DM .设DM ∩D 1A 1＝Q .由于D 1A 1⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以Q ∈平面A 1B 1C 1D 1，所以α与平面A 1B 1C 1D 1的交线为QN ，则QN 即为所要画的直线l .如图所示．(2)设QN ∩A 1B 1＝P ， 因为△A 1MQ ≌△AMD ， 所以A 1Q ＝AD ＝A 1D 1， 即A 1是QD 1的中点，所以A 1P ＝12D 1N ＝14a ，故PB 1＝34a .。
人教新课标版数学高一必修2课时作业 平面的基本性质与推论
§1．2 点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论课时目标1．掌握平面的基本性质和三个推论，会用三种语言表述性质与推论．2．了解异面直线的概念，能用符号语言描述点、直线、平面之间的相互位置关系．1．平面的基本性质(1)基本性质1：如果一条直线上的______点在一个平面内，那么这条直线上的________点都在这个平面内，这时我们说直线在平面内或______________．(2)基本性质2：经过______________________的三点，有且只有一个平面．也可简单说成，__________三点确定一个平面．(3)基本性质3：如果不重合的两个平面有________公共点，那么它们有且只有______过这个点的公共直线．如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面________．这条公共直线叫做两个平面的________．2．平面基本性质的推论(1)推论1经过__________________________，有且只有一个平面．(2)推论2经过______________有且只有一个平面．(3)推论3经过______________有且只有一个平面．3．共面和异面直线如果两直线共面，那么它们________或者________，否则称它们为____________．一、选择题1．下列命题：①书桌面是平面；②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；③有一个平面的长是50 m，宽是20 m；④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为()A．1 B．2 C．3 D．42．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作()A．M∈b∈βB．M∈b⊂βC．M⊂b⊂βD．M⊂b∈β3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有()A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是()A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合5．空间中可以确定一个平面的条件是()A．两条直线B．一点和一直线C．一个三角形D．三个点6．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A．异面或平行B．异面或相交C．异面D．相交、平行或异面二、填空题7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．(1)A∉α，a⊂α________．(2)α∩β＝a，P∉α且P∉β________．(3)a⊄α，a∩α＝A________．(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．8．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．9．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．三、解答题10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．11．如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．能力提升12．已知空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，求证此三条直线必相交于一点．13．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面；(3)CE、D1F、DA三线共点．1．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公共点．或先由某两点作一直线，再证明其他点也在这条直线上．2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合．注意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用．3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线往往归结为平面与平面的交线．§1．2点、线、面之间的位置关系1．2．1平面的基本性质与推论答案知识梳理1．(1)两所有平面经过直线(2)不在同一条直线上不共线的(3)一个一条相交交线2．(1)一条直线和直线外的一点(2)两条相交直线(3)两条平行直线3．平行相交异面直线作业设计1．A2．B3．D4．C5．C6．D7．(1)C(2)D(3)A(4)B8．A∈m解析因为α∩β＝m，A∈a⊂α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线m上．9．③10．解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可证E∈平面SBD．∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．11．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，所以H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．12．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1l2，∴l1∩l2交于一点，记交点为P．∵P∈l1⊂β，P∈l2⊂γ，∴P∈β∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B．∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、C、D1、F四点共面．(3)由(2)可知：四点E、C、D1、F共面．又∵EF＝12A1B．∴D1F，CE为相交直线，记交点为P．则P∈D1F⊂平面ADD1A1，P∈CE⊂平面ADCB．∴P∈平面ADD1A1∩平面ADCB＝AD．∴CE、D1F、DA三线共点．。
【精编】高一数学暑假作业：必修二第一部分立体几何8.平面的基本性质与推论(1)
8．平面的基本性质与推论A 组1.若三条直线两两相交，则由这三条直线所确定的平面的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或3个2.已知空间四点A 、B 、C 、D 确定唯一一个平面，那么这四个点中（ ） A. 必定只有三点共线 B. 必有三点不共线 C. 至少有三点共线 D. 不可能有三点共线3.平行六面体ABCD - 1A 1B 1C 1D 中，既与AB 共面也与1CC 共面的棱的条数为( ) A ．3 B. 4 C.5 D. 64.下列叙述中,正确的是( )A. 因为,P Q αα∈∈，所以PQ α∈B.因为,P Q αβ∈∈，所以PQ αβ=C.因为,,AB C AB D AB α⊂∈∈，所以CD α∈D.因为,AB AB αβ⊂⊂，所以()A αβ∈且()B αβ∈5. 正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点，那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（ ）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形B 组6.设P 表示一个点，,a b 表示两条直线，,αβ表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ）①,P a P a αα∈∈⇒⊂ ②,a b P b a ββ=⊂⇒⊂③//,,,a b a P b P b ααα⊂∈∈⇒⊂ ④,,b P P P b αβαβ=∈∈⇒∈A ． ①② B.②③ C.①④ D.③④7.若把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的12条直线中,异面直线有( ) A.12对 B.24对 C.36对 D.48对8．对于四面体ABCD ，下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）。
①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线；②由顶点A 作四面体的高，其垂足是△BCD 的三条高线的交点； ③若分别作△ABC 和△ABD 的边AB 上的高，则这两条高的垂足重合； ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点。
人教版数学高一人教B必修2讲义平面的基本性质与推论
1.2 点、线、面之间的位置关系1.2.1 平面的基本性质与推论1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.(难点)2.掌握平面的基本性质及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.(重点)3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，并能解决空间线面的位置关系问题.(难点)[基础·初探]教材整理1平面阅读教材P35的内容，完成下列问题.1.平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如图1-2-1①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来.如图1-2-1②.①②图1-2-13.平面的表示法上图中图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.下列说法正确的是()A.生活中的几何体都是由平面组成的B.平面无厚薄，但有边界线C.任何一个平面图形都是一个平面D.平面多边形和圆都可以表示平面【解析】由平面的特性是无限延展性知，选项A、B错误；平面图形和平面是两个完全不同的概念，平面图形是有大小的，不能无限延展，选项C错误；选项D正确.【答案】 D教材整理2平面的基本性质及推论阅读教材P35～P37“思考”以上的内容，完成下列问题.公理内容图形符号基本性质1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本性质2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本性质3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l图1-2-2推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图1-2-2①).推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图1-2-2②).推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图1-2-2③).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三点可以确定一个平面.()(2)一条直线和一个点可以确定一个平面.()(3)四边形是平面图形.()(4)两条相交直线可以确定一个平面.()【解析】(1)错误.不共线的三点可以确定一个平面.(2)错误.一条直线和直线外一个点可以确定一个平面.(3)错误.四边形不一定是平面图形.(4)正确.两条相交直线可以确定一个平面.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√教材整理3共面与异面直线阅读教材P37～P38“练习”以上内容，完成下列问题.1.异面直线(1)定义：把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.(2)画法：(通常用平面衬托)图1-2-32.空间两条直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点.平行直线：同一平面内，没有公共点.异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行.()(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行.()(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线.()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.()【解析】(1)错误.空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面.(2)正确.因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面.(3)错误.过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线.(4)错误.和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×[小组合作型]文字语言、图形语言、符号语言的相互转化出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m⊄α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.【精彩点拨】解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”，“∩”的意义，在此基础上，由已知给出的符号表示语句，写出相应的点、线、面的位置关系，画出图形.【自主解答】(1)点A在平面α内，点B不在平面α内；(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1)，(2)，(3)所示.图(1)图(2)图(3)1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.2.要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示.3.由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.[再练一题]1.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.图1-2-4(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.【解】(1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.点、线共面问题内.【导学号：45722037】【精彩点拨】四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况.【自主解答】已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面.证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，∴经过d与点O有且只有一个平面α.∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，∴A、B、C三点在平面α内.由公理1知a、b、c都在平面α内，故a、b、c、d共面.(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，∵a∩b＝A，∴经过a、b有且仅有一个平面α，∴B、C∈α.由公理1知c⊂α.同理，d⊂α，从而有a、b、c、d共面.综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内.证明点线共面常用的方法1.纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内.2.重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.[再练一题]2.一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.【解】已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面.证明：法一∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故l⊂α.又∵a∥c，∴a，c确定一个平面β.同理可证l⊂β，∴α∩β＝a且α∩β＝l.∵过两条相交直线a、l有且只有一个平面，故α与β重合，即直线a，b，c，l共面.法二由法一得a、b、l共面α，也就是说b在a、l确定的平面α内.同理可证c在a、l确定的平面α内.∵过a和l只能确定一个平面，∴a，b，c，l共面.空间两直线位置关系的判定如图1-2-5，正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：图1-2-5①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________.【精彩点拨】判断两直线的位置关系，主要依据定义判断.【自主解答】根据题目条件知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”.同理，直线AB与直线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C 相交于D1点，所以③应该填“相交”.【答案】①平行②异面③相交④异面1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断.2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.[再练一题]3.若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A.a∥cB.a、c是异面直线C.a、c相交D.a、c平行或相交或异面【解析】若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面.【答案】 D[探究共研型]点共线与线共点问题探究1如图1-2-6，在正方体ABCD-A 1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？图1-2-6【提示】如图，连接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.∵A1C⊂平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1.探究2上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？【提示】由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线.如图1-2-7，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线.图1-2-7【精彩点拨】欲证D、A、Q三点共线，只需说明三点均在平面AD1和平面AC的交线DA上即可.【自主解答】∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.∴M、N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1，又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线.点共线与线共点的证明思路1.点共线的思路：证明这些点都分别在两个相交的平面内，因此也在两个平面的交线上.2.线共点的思路：先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上.[再练一题]4.如图1-2-8，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC 分别与平面α相交于点E，G，H，F.图1-2-8求证：E，F，G，H四点必定共线.【证明】∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，又∵AB∩α＝E，AB⊂β，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点.同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线.1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交【解析】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.【答案】 B2.下列说法中正确的个数为()①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面.A.1B.2C.3D.4【解析】圆上两点为直径端点时，它们与圆心共线，此时这三个点不能确定平面，故③不正确，①②④正确，故选C.【答案】 C3.设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.【导学号：45722038】【解析】∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.【答案】 C4.有以下三个说法：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交.其中正确的序号是________.【解析】若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故①正确；直线l在平面α内用符号“⊂”表示，即l⊂α，②错误；由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确.【答案】①③5.如图1-2-9，三个平面α，β，γ两两相交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，若直线a和b不平行.图1-2-9求证：a，b，c三条直线必过同一点.【证明】∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ.由于直线a和b不平行，∴a、b必相交.设a∩b＝P，如图，则P∈a，P∈b.∵a⊂β，b⊂α，∴P∈β，P∈α.又α∩β＝c，∴P∈c，即交线c经过点P.∴a、b、c三条直线相交于同一点.。
高中数学必修二立体几何知识点总结
第一章 立体几何初步特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，'h 为斜高，l 为母线）ch S =直棱柱侧面积'21ch S =正棱锥侧面积 ')(2121h c c S +=正棱台侧面积 rh S π2=圆柱侧 ()l r r S +=π2圆柱表rl S π=圆锥侧面积 ()l r r S +=π圆锥表 lR r S π)(+=圆台侧面积 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱13V Sh =锥'1()3V S S h =台 2V Sh r h π==圆柱h r V 231π=圆锥'2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=343R π ； S 球面=24R π第二章 直线与平面的位置关系2.11 2 三个公理：（1符号表示为A ∈LB ∈L => l α⊂ A ∈αB ∈α（2符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 =>有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理（3公理 1 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
L A · α C · B · A · α2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
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．平面的基本性质与推论
组
.若三条直线两两相交，则由这三条直线所确定的平面的个数是( )
. 个. 个. 个. 个或个
.已知空间四点、、、确定唯一一个平面，那么这四个点中（）
. 必定只有三点共线. 必有三点不共线
. 至少有三点共线. 不可能有三点共线
.平行六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为( )
．. .
.下列叙述中,正确的是( )
. 因为，所以
.因为，所以
.因为，所以
.因为，所以且
. 正方体中，、、分别是、、的中点，那么，正方体的过、、的截面图形是（）
．三角形．四边形．五边形．六边形
组
.设表示一个点，表示两条直线，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是（）
①②
③④
．①② .②③ .①④ .③④
.若把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的条直线中,异面直线有( )
对对对对
．对于四面体，下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）。
①相对棱与所在的直线是异面直线；
②由顶点作四面体的高，其垂足是△的三条高线的交点； ③若分别作△和△的边上的高，则这两条高的垂足重合； ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；
⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点。
．如图，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点。
如果将容器倒置，水面也恰好过点（图）。
有下列四个命题： ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点
．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 ．若往容器内再注入升水，则容器恰好能装满 其中真命题的代号是：（写出所有真命题的代号）． .若一个球的体积为
，则它的表面积为．
组
.在正方体中，，分别为棱，的中点，则在空间中与三条直线，，都相交的直线（ ）
．不存在
．有且只有两条
．有且只有三条
．有无数条
. 如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面
的
直线，与正方体表面相交于．设
，，则函数的图象大致
是
（
）。