2015年国家公务员数量关系备考：两集合容斥
考公数量容斥问题
考公数量容斥问题容斥问题在公务员考试中是一种常见的数学问题，它涉及到集合和计数原理的应用。
在数量关系和资料分析中，容斥问题通常涉及到两个或多个集合，以及它们的交集和并集。
解决容斥问题时，首先需要明确各个集合的元素和范围，然后根据题目要求选择适当的集合运算方法。
常见的集合运算包括并集、交集、差集等。
下面是一个简单的容斥问题示例：一个班里有30个学生，其中10个是数学爱好者，8个是物理爱好者，5个是化学爱好者。
有些学生同时喜欢数学和物理，有些学生同时喜欢数学和化学，有些学生同时喜欢物理和化学。
请问这个班里有多少学生同时喜欢数学、物理和化学？首先，我们可以使用集合的概念来描述这个问题。
设A表示数学爱好者的集合，B表示物理爱好者的集合，C表示化学爱好者的集合。
根据题目，我们有以下信息：A = 10（数学爱好者的人数）B = 8（物理爱好者的人数）C = 5（化学爱好者的人数）A ∩ B（同时喜欢数学和物理的人数）A ∩ C（同时喜欢数学和化学的人数）B ∩ C（同时喜欢物理和化学的人数）我们需要求解的是同时喜欢数学、物理和化学的学生人数，即A ∩ B ∩ C。
根据容斥原理，我们有：A ∩B ∩C = A + B + C - A ∩ B - A ∩ C - B ∩ C + A ∩ B ∩ C将已知数值代入公式中，我们得到：A ∩B ∩C = 10 + 8 + 5 - A ∩ B - A ∩ C - B ∩ C + A ∩ B ∩ C由于题目没有给出同时喜欢数学、物理和化学的学生人数，我们需要使用其他方法来求解。
常用的方法是使用韦恩图来直观地表示集合之间的关系，从而得出结果。
两个集合的容斥关系公式
两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B (∩:重合的部分）三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C详细推理如下：１、等式右边改造 = ｛【（A+B - A∩B）+C - B∩C】 - C∩A ｝+ A∩B∩C２、文氏图分块标记如右图图：１２４５构成Ａ，２３５６构成Ｂ，４５６７构成Ｃ３、等式右边（）里指的是下图的１+２+３+４+５+６六部分：那么A∪B∪C还缺部分７。
４、等式右边【】号里+Ｃ（４+５+６+７）后，相当于A∪B∪C多加了４+５+６三部分，减去B∩C（即５+６两部分）后，还多加了部分４。
５、等式右边｛｝里减去C∩A （即４+５两部分）后，A∪B∪C又多减了部分５，则加上A∩B∩C（即５）刚好是A∪B∪C。
编辑本段容斥原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人分析依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
答案15+12-4=23试一试电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。
两个频道都没看过的有多少人100-(62+34-11)=15编辑本段容斥原理2如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
2015国家公务员考试备考：两集合容斥问题【陕西华图】
2015国家公务员考试备考：两集合容斥问题【陕西华图】在2015国家公务员考试备考过程中，很多考生反映在国考行测的数量题中遇到了困难。
的确，数量关系类题目是考生们普遍的难点。
因此陕西华图近期总结了部分数量关系的答题技巧，希望有助于考生们的备考。
容斥原理是行测数学运算中一个常考的题型，出现的频率比较高，这部分题目难度适中，是得分的一个重点。
对于容斥原理我们解题的关键在于排除重复部分，可以利用公式法和图示法解答。
公式法：满足条件Ⅰ的个数+满足条件Ⅱ的个数-既满足Ⅰ又满足Ⅱ的个数=总数-两者都不满足的个数【例1】某班有56 名学生，在第一次测验中有24 人得满分，在第二次测验中有33 人得满分。
如果两次测验中都没有得满分的学生有14人，那么两次测验中都获得满分的人数是多少?（）A.13人B.14 人C.15 人D.16人解析：设两次测验中都获得满分的人数是X，代入公式得，24+33-X=56-14，解得X=15，答案选择C项。
对于这种“条件和提问”都可以直接代入公式的题目直接利用公式进行求解即可。
陕西公务员 | 事业单位招聘 | 大学生村官 | 卫生医疗 | 党政公选 | 军转干 | 政法干警考试图示法：【例2】工厂组织职工参加周末公益劳动，有80%的职工报名参加。
其中报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2∶1，两天的活动都报名参加的人数为只报名参加周日活动的人数的50%。
问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的：A.20%B.30%C.40%D.50%解析：不能直接代入公式求解的话就要考虑利用图示法求解。
设只参加周日活动的人数为X，那么两天活动都参加就是2X，参加周日活动的人数就是X+2X=3X，参加周六的人数就是6X，如图所示，只报名参加周日的有2X人，两天都报名的有X，只报名参加周六活动的有5X，所以是X+2X+5X=80%，X=10%，那么未报名的是1-80%=20%，只报名周六的是50%，所以是20%/50%=40%。
2015国家公务员考试行测：数量关系——高频考点之容斥问题
【导读】国家公务员考试网为您提供：2015国家公务员考试行测：数量关系——高频考点之容斥问题，更多信息请关注安徽人事考试网容斥问题在历年省考、国考中的出镜频率都很高，预计2015国家公务员考试也会继续采用该题型，考生们需引起足够重视。
中公教育专家认为，对于容斥问题，考生只要认真读题就一定能够正确地解出此题。
接下来，我们一起来看一下有关容斥问题的解法。
一、两者容斥的解法对于容斥问题，解题关键是首先找到各个集合，然后理清各集合之间的关系，然后通过两大核心方法便可解决问题，两大核心方法为：1、将所有区域化为一层2、画文氏图容斥问题考察的题型包括求定值、求极值，求定值通常考察两种题型——两者容斥、三者容斥，首先来看两者容斥问题：例：大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人，全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学是多少?A.6B.7C.8D.9中公解析：第一步：根据题意画文氏图，描述出题中所涉及到的几个集合之间的容斥关系：第二步：在集合当中把每一个独立的封闭区间，都用一个单独的字母来表示：A表示是奥运会自愿者B表示是全运会志愿者I表示是全班人数X表示全运会且奥运会志愿者Y表示非奥运会且非全运会志愿者第三步：根据题意建立等量关系，根据把重复数的次数变为只数1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则。
I=A+B-X+Y，所以X=A+B+Y-I=7(利用尾数法)。
结论：两者容斥问题，画图之后可知，两个圆相交的地方有1层、2层两种情况，当将两个集合相加的时候，2层部分多计算一次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故两者容斥问题的公式为：全集I=A+B-X+Y(I代表全集，A、B分别代表两个集合，X代表两个集合的交集，Y代表集合之外的部分)二、三者容斥的解法接下来看三者容斥问题，三者容斥问题所给的已知条件不同，导致其公式不同。
首先来看第一种三者容斥问题：例：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影都看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是多少人?A、69B、65C、57D、46中公解析：第一步：根据题意描述出题中所涉及的几个集合之间的容斥关系第二步：在集合当中把具有相似属性的封闭区间，都用一个单独的字母来表示。
容斥问题
一、两集合容斥问题两集合容斥问题根据能否直接套用公式，又可以细分为标准型(直接套公式)和非标准型(不能直接套公式)。
(一)标准型两集合容斥问题的公式：满足条件A的情况数+满足条件B的情况数-两者都满足的情况数=总的情况数-两者都不满足的情况数。
对于两集合的容斥问题，如果能用公式我们直接套公式。
解题技巧：两集合容斥问题关键是匹配题型，这也是很多同学头疼的地方。
如果出现了两者都或者两者都不，就考虑两集合的容斥问题;如果两者都，两者都不同时出现，则往往能直接套公式(满足标准型)。
【例1】某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都没有参加的有20人。
同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人( )A.28人B.26人C.24人D.22人【答案】D【解析】题干中出现了同时参加两科竞赛，即出现了两者都，又出现了两科都没有参加，即出现了两者都不，综合考虑满足两集合标准型公式。
参加物理竞赛30人，数学竞赛32人，都未参加20人，总人数60人，设两个竞赛都参加的有x人，参加数学+参加物理-都参加的人数=总人数-都未参加，30+32-x=60-20，x=22。
选择D。
两集合标准型题型特征非常明显，难度不大。
为了增加难度，有时题目特征不明显，这就需要我们发现特征，解决问题。
【例2】一名外国游客到北京旅游，他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息，要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都待在屋里。
期间，不下雨的天数是12天，他上午待在旅馆的天数为8天，下午待在旅馆的天数为12天，他在北京共待了( )A.16天B.20天C.22天D.24天【答案】A【解析】此题咋一看，没有出现两者都，两者都不这样的字眼，不符合两集合容斥问题的特征。
但细想此题出现了上午待在旅馆，下午待在旅馆，即出现了满足条件A,B，想到容斥问题。
同时题干中出现了不下雨，有不下雨自然就有下雨，下雨其实就是上下午都在旅馆，即出现了两者都，从而判断出是两集合的容斥问题。
带你了解公务员容斥问题
带你了解容斥问题二集合容斥两集合容斥公式：A∪B=A+B-A∩B=总数-一个都不满足的1. 某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都没有参加的有20人。
同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人：A.28人B.26人C.24人D.22人【答案】D【解析】两集合容斥公式：A∪B=A+B-A∩B=总数-一个都不满足的。
根据题意有：30+32-x=60-20，尾数法，x的尾数为2。
因此，本题答案为D。
2.车间共有50名工人，年底进行考核，有12人业务能力为优，10人政治表现为优，没有一项考核成绩为优的有34人，车间要向上级单位推荐2名两项考核均为优的工人作为先进个人的候选人。
问有多少种推荐方案？A.12B.15C.18D.21【答案】B【解析】总人数为50人，没有一项为优的为34人，则至少一项考核为优的：50-34=16人，12人业务能力为优，10人政治表现为优，则两项全部为优的人数：10+12-16=6人。
从中任选两人，则有C62=15种。
因此，本题答案为B。
三集合容斥①三集合容斥标准公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-一个都不满足的3.针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢泰山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有多少人：A.20B.18C.15D.12【答案】A【解析】设不喜欢这三个景点中任何一个的有x，根据三集合容斥原理标准型公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-一个都不满足的，代入数据求得：28+30+42-8-10-5+3=100-x，尾数法，x尾数为0。
因此，本题答案为A。
4.某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：A.7人B.8人C.5人D.6人【答案】A【解析】设同时报乙、丙职位人数为x，根据三集合标准型容斥公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-一个都不满足的，由题意可知，满足三个条件和一个都不满足的人数均为0，代入数据求得：22+16+25-8-6-x+0=42-0，尾数法，x尾数为7。
最新完美版国考笔试资料数量关系之容斥问题
行测高频考点技巧荟萃第6期：数量关系之容斥问题在公务员、政法干警、选调生等行测考试中会经常考察到容斥问题，所以考生一定要给予重视。
通常情况下容斥问题的解题思路都是比较清晰且简单的，只要经过一段时间的复习，解容斥问题的正确率一定会有所提高哦数量关系容斥问题知识点储备一、考情分析容斥问题在最近几年的国家公务员考试中出现的频率逐渐增大，尤其是最近两年国家公务员中都有出现。
难度也逐渐增大，不再拘泥于最常规的两个集合和三个集合的考查方式。
在各省市的公务员考试中，容斥问题仍然出现活跃。
因此，这一题型还是需要重点关注。
二、基本概念涉及多个相互关联的集合，要求根据集合间的相互关系计算集合中元素个数的问题称为“容斥原理”问题。
三、技巧方法(一)公式法解两个集合容斥问题两个集合的容斥问题公式：A∪B=A+B-A∩B三个集合的容斥问题公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C一、考情分析容斥问题在最近几年的国家公务员考试中出现的频率逐渐增大，尤其是最近两年都有出现。
难度也逐渐增大，不再拘泥于最常规的两个集合和三个集合的考查方式。
在各省市的公务员考试中，容斥问题仍然出现活跃。
因此，这一题型还是需要重点关注。
二、基本概念涉及多个相互关联的集合，要求根据集合间的相互关系计算集合中元素个数的问题称为“容斥原理”问题。
三、技巧方法(一)公式法解两个集合容斥问题两个集合的容斥问题公式：A∪B=A+B-A∩B三个集合的容斥问题公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C(二)文氏图法解两个集合容斥问题四、例题精讲例题1：某班有56人，每人至少参加一个兴趣小组，参加生物组的有46人，参加科技组的有28人，两组都参加的有多少人?A.10B.18C.24D.30解析：集合A={参加生物组的人｝、集合B={参加科技组的人｝，由A∪B=A+B-A∩B知两组都参加的有A∩B=46+28-56=18人。
国考行测三集合容斥原理
国考行测三集合容斥原理
集合容斥原理是组合数学中的一种常用原理，常用于解决集合问题。
在国家公务员考试中，行测部分经常涉及与集合相关的题目，而集合容斥原理则是解决这类问题的一种有效方法。
集合容斥原理描述了多个集合之间的差集和交集的关系。
具体来说，对于给定的n个集合A1、A2、...、An，集合容斥原理
可以帮助我们计算出这些集合的并集的元素个数。
集合容斥原理的公式为：
|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = |A1| + |A2| + ... + |An| - |A1 ∩ A2| - |A1
∩ A3| - ... + (-1)^n-1 |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|
其中，|A|表示集合A的元素个数。
在国考行测中，集合容斥原理常常可以用于解决关于人员分组、选修课程、考试通过等问题。
通过运用集合容斥原理，我们可以得到相应的计算式，从而求得准确的答案。
需要注意的是，在实际运用中，对于给定的具体问题，我们需要根据情况决定要包含哪些集合以及如何计算交集和差集。
并且，根据具体情况，可能需要结合其他的解题方法进行综合运用。
总的来说，集合容斥原理在国考行测中是一种非常有用的解题方法，能够帮助我们清晰地分析问题，准确地求解答案。
因此，对集合容斥原理的理解和掌握对于国考行测的备考非常重要。
考公容斥问题公式
考公容斥问题公式考公中的容斥问题公式，那可是个有趣又有点小复杂的家伙！咱先来说说啥是容斥问题。
简单来讲，就是在一个集合里面，有各种子集合，然后要算它们之间的重叠部分或者不重叠部分的数量。
比如说，一个班级里，喜欢数学的有多少人，喜欢语文的有多少人，既喜欢数学又喜欢语文的有多少人，那通过容斥问题的公式就能算出只喜欢数学的、只喜欢语文的，还有都不喜欢的分别有多少人。
容斥问题的公式主要有两个常见的：一是两集合容斥公式：A∪B = A + B - A∩B 。
比如说一个班有 50 个人，参加数学竞赛的有 20 人，参加语文竞赛的有 30 人，其中 10 人两个竞赛都参加了，那参加竞赛的总人数就是 20 + 30 - 10 = 40 人。
二是三集合容斥公式：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C 。
就像一个公司搞活动，喜欢唱歌的有 30 人，喜欢跳舞的有25 人，喜欢表演小品的有 20 人，既喜欢唱歌又喜欢跳舞的有 10 人，既喜欢跳舞又喜欢表演小品的有 8 人，既喜欢唱歌又喜欢表演小品的有 5 人，三种都喜欢的有 3 人。
那参加活动的总人数就是 30 + 25 + 20 - 10 - 8 - 5 + 3 = 50 人。
我记得之前给学生们讲容斥问题的时候，有个学生一直搞不明白，愁得小脸都皱起来了。
我就给他举了个特别生活化的例子。
咱就说去超市买水果，苹果区有一堆人，香蕉区有一堆人，还有既买了苹果又买了香蕉的人。
让他自己去想想怎么算一共多少人买了水果。
这孩子后来恍然大悟，那种突然开窍的表情，真让人觉得特有成就感。
容斥问题在考公里可重要啦，好多题目都跟它有关。
像那种给出各种条件，让你算人数或者数量的题目，要是不会容斥问题公式，那可就抓瞎啦。
比如说一个单位，会英语的有多少，会日语的有多少，两种都会的有多少，然后问你至少会一种语言的有多少人。
这时候，容斥问题公式就能派上大用场。
公考容斥原理公式
公考容斥原理公式容斥原理是公务员考试中一个挺有意思的知识点。
咱们先来看看啥是容斥原理。
打个比方，咱就说学校组织活动，参加数学竞赛的有 A 个人，参加语文竞赛的有 B 个人，既参加数学又参加语文的有 C 个人。
那参加这两个竞赛的总人数咋算呢？这时候容斥原理就派上用场啦！两集合的容斥原理公式是：A∪B = A + B - A∩B 。
用咱上面说的例子，参加竞赛的总人数就是参加数学竞赛的人数加上参加语文竞赛的人数，再减去两项都参加的人数。
再比如说，有一个班级，喜欢语文的同学有 20 个，喜欢数学的同学有 30 个，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 个。
那喜欢语文或者喜欢数学的同学一共有多少个呢？咱就用 20 + 30 - 10 = 40 个。
那要是有三个集合呢？比如说参加英语竞赛的有 D 个人。
这时候的容斥原理公式就变成了：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - A∩C - B∩C + A∩B∩C 。
我之前给学生讲这个知识点的时候，有个学生特别迷糊，一直搞不清楚为啥要加上A∩B∩C 。
我就给他举了个例子，比如说咱们班组织看电影、唱歌和聚餐。
看电影的有 25 人，唱歌的有 30 人，聚餐的有20 人，既看电影又唱歌的有 10 人，既看电影又聚餐的有 8 人，既唱歌又聚餐的有 6 人，三样都参加的有 3 人。
那咱们来算算一共多少人参加了活动。
按照公式就是 25 + 30 + 20 - 10 - 8 - 6 + 3 = 54 人。
这个学生还是有点晕乎，我就给他画了个大大的图，把看电影、唱歌、聚餐的区域标出来，然后一点点给他解释，哪些地方被重复计算了，哪些地方被漏掉了。
最后这学生恍然大悟，还跟我说：“老师，我这下可算搞明白了！”其实啊，容斥原理在公考中经常出现，而且形式多样。
可能是人员参加活动，可能是商品的选购，还可能是各种不同条件的组合。
比如说有一道题，一个公司里会编程的有 50 人，会设计的有 40 人，两种都会的有 20 人，问至少会一种的有多少人。
行测备考辅导：容斥问题基础知识及精选习题
行测备考辅导：容斥问题基础知识及精选习题容斥问题作为职业能力测试需要考生掌握的内容，要求学习应用。
下面中公事业单位招聘考试网为大家带来相关内容。
容斥问题基础知识及精选习题
1.基础知识
容斥问题讲的就是不同集合之间元素的相容与相斥问题。
分为两集合容斥问题和三集合容斥问题。
2.必背公式
(1)两个集合的容斥关系公式：A+B=A∪B-A∩B
(2)三个集合的容斥关系公式：A+B+C=A∪B∪C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
3.精选例题
【例题】
旅行社对120人的调查显示，喜欢爬山的与不喜欢爬山的人数比为5∶3，喜欢游泳的与不喜欢游泳的人数比为7∶5，两种活动都喜欢的有43人。
对这两种活动都不喜欢的人数是( )。
A.18人
B.27人
C.28人
D.32人
【解析】
A。
这是一道两集合容斥问题。
依题意可知，喜欢爬山的有75人，喜欢游泳的有70人，根据两集合公式可得，两种活动都不喜欢的有120-(75+70-43)=18(人)。
【例题】
某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )
A.22
B.18
C.28
D.26
【解析】
设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显
然,A+B=26+24=50;A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。
答案为A。
国考笔试资料数量关系之容斥问题
行测高频考点技巧荟萃第6期：数量关系之容斥问题在公务员、政法干警、选调生等行测考试中会经常考察到容斥问题，所以考生一定要给予重视。
通常情况下容斥问题的解题思路都是比较清晰且简单的，只要经过一段时间的复习，解容斥问题的正确率一定会有所提高哦数量关系容斥问题知识点储备一、考情分析容斥问题在最近几年的国家公务员考试中出现的频率逐渐增大，尤其是最近两年国家公务员中都有出现。
难度也逐渐增大，不再拘泥于最常规的两个集合和三个集合的考查方式。
在各省市的公务员考试中，容斥问题仍然出现活跃。
因此，这一题型还是需要重点关注。
二、基本概念涉及多个相互关联的集合，要求根据集合间的相互关系计算集合中元素个数的问题称为“容斥原理”问题。
三、技巧方法(一)公式法解两个集合容斥问题两个集合的容斥问题公式：A∪B=A+B-A∩B三个集合的容斥问题公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C一、考情分析容斥问题在最近几年的国家公务员考试中出现的频率逐渐增大，尤其是最近两年都有出现。
难度也逐渐增大，不再拘泥于最常规的两个集合和三个集合的考查方式。
在各省市的公务员考试中，容斥问题仍然出现活跃。
因此，这一题型还是需要重点关注。
二、基本概念涉及多个相互关联的集合，要求根据集合间的相互关系计算集合中元素个数的问题称为“容斥原理”问题。
三、技巧方法(一)公式法解两个集合容斥问题两个集合的容斥问题公式：A∪B=A+B-A∩B三个集合的容斥问题公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C(二)文氏图法解两个集合容斥问题四、例题精讲例题1：某班有56人，每人至少参加一个兴趣小组，参加生物组的有46人，参加科技组的有28人，两组都参加的有多少人?A.10B.18C.24D.30解析：集合A={参加生物组的人｝、集合B={参加科技组的人｝，由A∪B=A+B-A∩B知两组都参加的有A∩B=46+28-56=18人。
2015安徽公务员考试行测两个与三个集合的容斥原理
【容斥原理之两个集合的容斥原理】如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
如图所示：公式：A∪B=A+B-A∩B总数=两个圆内的-重合部分的【例】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?中公解析：数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
【容斥原理之三个集合的容斥原理】如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C 被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
即得到：公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C总数=三个圆内的-重合两次的+重合三次的【例】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人?中公解析：参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。
三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
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公务员行测考试容斥问题速解宝典题集
公务员行测考试容斥问题速解宝典题集IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】公务员行测考试容斥问题速解宝典题集一、两集合类型1.解题技巧题目中所涉及事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式题目，如下：A∪B=A+B-A∩B快速解题：总数=两集合之和+两集合之外数-两集合公共数。
2.真题示例【例1】现有50名学生都做物理，化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对有：A27人B25人C19人D10人【解析】B。
50=31+40+4-A∩B，得A∩B=25。
二、三集合类型1.解题步骤解题步骤分三步：①画文氏图；②弄清图形中每一部分所代表含义；③代入公式(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C)进行求解。
2.解题技巧解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。
总数=各集合数之和-两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数3.真题示例【例2】某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加任何一种考试的有15人。
问接受调查问卷的学生共有多少人？【解析】A。
填充三个集合公共部分数字24；根据每个区域含义应用公式：总数=各集合之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数=63+89+47-{(x+24)+(z+24)+(y+24)｝+24+15=199-{(x+y+z)+24+24+24｝+24+15。
x+y+z只属于两集合数之和，该题所讲只选择两种考试参加人数，所以x+y+z值为46人；得本题答案为120。
【例3】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人?人人人人【解析】A。
两个集合的容斥关系公式
两个集合的容斥关系公式:A∪B = A+B —A∩B (∩:重合的部分）三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C —C∩A + A∩B∩C详细推理如下:１、等式右边改造 = ｛【（A+B —A∩B)+C - B∩C】—C∩A ｝+ A∩B∩C２、文氏图分块标记如右图图：１２４５构成Ａ，２３５６构成Ｂ，４５６７构成Ｃ３、等式右边（）里指的是下图的１+２+３+４+５+６六部分：那么A∪B∪C还缺部分７。
４、等式右边【】号里+Ｃ（４+５+６+７）后，相当于A∪B∪C多加了４+５+６三部分，减去B∩C（即５+６两部分）后，还多加了部分４。
５、等式右边｛｝里减去C∩A (即４+５两部分）后，A∪B∪C又多减了部分５，则加上A∩B∩C（即５）刚好是A∪B∪C。
编辑本段容斥原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
例1一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?分析依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分"称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数"的总和.答案15+12—4=23试一试电视台向100人调查前一天收看电视的情况,有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。
两个频道都没看过的有多少人？100-（62+34—11）=15编辑本段容斥原理2如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数-既是A类又是C类的元素个数-既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数.很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。
两集合容斥标准公式
两集合容斥标准公式在咱们学习数学的这个奇妙旅程中，有一个叫做“两集合容斥标准公式”的小家伙，可别小瞧它，它在解决很多问题的时候都能派上大用场呢！先来说说什么是两集合容斥。
比如说，咱们班有喜欢语文的同学，有喜欢数学的同学。
那既喜欢语文又喜欢数学的同学，还有只喜欢语文或者只喜欢数学的同学，把这些人数关系弄清楚，就是两集合容斥要做的事儿。
两集合容斥标准公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开这扇复杂的人数关系之门。
这个公式是：A∪B = A + B - A∩B 。
这里的 A 和B 呢，就分别代表两个集合。
我给您举个例子哈。
假设学校组织了一场知识竞赛，参加语文竞赛的有 30 个同学，参加数学竞赛的有 25 个同学，其中有 10 个同学既参加了语文竞赛又参加了数学竞赛。
那咱们来算算，参加竞赛的同学总共有多少人？按照公式，A 就是参加语文竞赛的 30 人，B 就是参加数学竞赛的25 人，A∩B 就是既参加语文又参加数学竞赛的 10 人。
咱们来算算，30 + 25 - 10 = 45（人），所以参加竞赛的同学总共有45 人。
再比如说，咱们学校组织了运动会，报名跑步项目的有40 个同学，报名跳远项目的有 35 个同学，其中有 15 个同学既报名了跑步又报名了跳远。
那用两集合容斥标准公式就能轻松算出参加这两个项目的同学总数：40 + 35 - 15 = 60（人）您看，这个公式是不是特别好用！其实啊，在生活中也有很多类似两集合容斥的情况。
就像我上次去超市买水果，我想买苹果和香蕉。
超市里一共有 50 种水果，其中苹果有 20 种，香蕉有 18 种，而既属于苹果又属于香蕉的水果，比如说苹果香蕉混合果干，有 8 种。
那我能选择的苹果或者香蕉的种类，用这个公式就能算出来：20 + 18 - 8 = 30（种）所以说，两集合容斥标准公式不仅在数学题里有用，在咱们的日常生活中也能帮咱们理清很多复杂的关系呢。
咱们再深入地想一想，这个公式背后反映的其实是一种分类和整合的思想。
容斥问题两个集合的公式
容斥问题两个集合的公式容斥问题在我们的数学学习中可算是个有趣但又有点小“调皮”的家伙。
咱们今天就来好好聊聊容斥问题中两个集合的公式。
先给大家举个小例子哈。
比如说，在一个班级里，喜欢数学的同学有 20 个，喜欢语文的同学有 15 个，但是呢，其中有 5 个同学既喜欢数学又喜欢语文。
那到底喜欢数学或者喜欢语文的同学一共有多少个呢？这时候，咱们的容斥问题两个集合的公式就派上用场啦！这个公式就是：A∪B = A + B - A∩B 。
这里的 A 就好比是喜欢数学的同学的集合，B 就是喜欢语文的同学的集合，A∪B 表示喜欢数学或者喜欢语文的同学的集合，A∩B 就是既喜欢数学又喜欢语文的同学的集合。
把咱们刚才班级里的数字带进去算算，喜欢数学的同学（A）有 20 个，喜欢语文的同学（B）有 15 个，既喜欢数学又喜欢语文的同学（A∩B）有 5 个。
那喜欢数学或者喜欢语文的同学（A∪B）就等于 20 + 15 - 5 = 30 个。
是不是一下子就清楚啦！我之前在给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙特别可爱。
他一直皱着眉头，嘴里还嘟囔着：“老师，这也太复杂啦，我脑袋都要转不过来了！”我就笑着跟他说：“别着急，咱们慢慢来。
”然后我又给他举了个例子，比如说学校组织运动会，参加跑步比赛的同学有 18 个，参加跳远比赛的同学有 12 个，其中有 3 个同学既参加了跑步又参加了跳远。
那参加跑步或者跳远比赛的同学一共有多少个呢？我带着他一步步地用公式去计算，先确定 A 是参加跑步比赛的同学集合，有 18 个；B 是参加跳远比赛的同学集合，有 12 个；A∩B 是既参加跑步又参加跳远的同学集合，有 3 个。
然后用公式 A∪B = A + B - A∩B ，算出 18 + 12 - 3 = 27 个。
这小家伙眼睛一下子亮了，兴奋地说：“老师，我懂啦！原来这么简单！”其实啊，容斥问题的两个集合公式在生活中也有很多用处呢。
比如说，咱们去超市买水果，喜欢吃苹果的有 30 个人，喜欢吃香蕉的有 25 个人，两种都喜欢的有 10 个人。
2015安徽省公务员考试——行测数量关系特殊容斥问题解题技巧
公务员行测数量关系特殊容斥问题解题技巧为大家分享数量关系容斥问题解题技巧，下面是具体应用：安徽省考在即，很多考生对容斥问题，头疼不已，因这类题型最大的特点就是形式灵活，考点繁多，并且又是公务员考试行测数量关系部分的高频考点。
下面安徽行政学院大科公考就对容斥问题的各种不同题型及解题思路做分析，以助考生备考。
一、工具的应用容斥问题研究的是集合与集合之间关系，对应于不同的题型，我们往往要选择不同的工具展示题目中的关系，简化分析过程。
题型不同时要借助的工具也不一样。
普通二者或三者容斥借助文氏图分析；四者容斥往往借助表格；而一些有比较或排序类的容斥题目往往借助线段。
考生要区分不同题型、考点，明确做题工具。
二、结论的不同不同题型不但解题工具不同，结论、公式也是不同的。
普通的二者和三者容斥考生往往都比较熟悉，下面几个特殊容斥的题目一样值得考生注意：1、四者容斥例：有100件衬衫，其中白色和黑色的各50%,大号有25%,小号占75%,白色大号的有10件，请问黑色小号的有几件？分析：这是一道四者容斥的题目，用表格法解决。
依据比例将白色、黑色衬衣的件数和大小号衬衣的件数写在表格最右列和最下行。
大号白色10件，标在大号一列和白色一行的交叉格中。
则大号黑色有25-10=15件，小号黑色有50-15=35件。
总结：四者容斥的题目一般都是描述某一事务在两个不同方面的四个不同属性。
利用表格可以快速解题。
2、容斥全极值N者容斥问N者重合部分的最值即为容斥全极值问题。
考试很少考最大值，一般都是问N者重合部分最小的时候，直接利用结论做：N者极值=N个大集合的和减去（N-1）个全集。
例：某班有100人，其中语文好的有80人，数学好的有78人，英语好的有82人，请问三个科目都好的至少有几人？分析：此题属于三者全极值的问题，带入公式：80+78+82-100×2=40.即三个科目都好的人至少40人。
3、三者容斥二者最多三者容斥求其中二者重复部分最多，直接三个大集合之和除以2,求整数部分。
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【北京华图】2015年国家公务员数量关系备考：两集合容斥
【北京华图】2015年国家公务员考试将在2014年10月发布招考公告，有志于参加2015年国家公务员考试的考生们现在已经进入了备考阶段,本文总结华图教育名师关于数学运算的内容,为2015年国家公务员考试考生备考给予帮助。
容斥原理是行测数学运算中一个常考的题型，出现的频率比较高，这部分题目难度适中，是得分的一个重点。
对于容斥原理我们解题的关键在于排除重复部分，可以利用公式法和图示法解答。
公式法：
满足条件Ⅰ的个数+满足条件Ⅱ的个数-既满足Ⅰ又满足Ⅱ的个数=总数-两者都不满足的个数
【例1】某班有56 名学生，在第一次测验中有24 人得满分，在第二次测验中有33 人
得满分。
如果两次测验中都没有得满分的学生有14人，那么两次测验中都获得满分的人数
是多少?（）
A.13人
B.14 人
C.15 人
D.16人
解析：设两次测验中都获得满分的人数是X，代入公式得，24+33-X=56-14，解得X=15，答案选择C项。
对于这种“条件和提问”都可以直接代入公式的题目直接利用公式进行求解即可。
图示法：
【例2】工厂组织职工参加周末公益劳动，有80%的职工报名参加。
其中报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2∶1，两天的活动都报名参加的人数为只报名参加周日活动的人数的50%。
问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的：
A.20%
B.30%
C.40%
D.50%
解析：不能直接代入公式求解的话就要考虑利用图示法求解。
设只参加周日活动的人数为X，那么两天活动都参加就是2X，参加周日活动的人数就是X+2X=3X，参加周六的人数就是6X，如图所示，只报名参加周日的有2X人，两天都报名的有X，只报名参加周六活动的有5X，所以是X+2X+5X=80%，X=10%，那么未报名的是1-80%=20%，只报名周六的是50%，所以是20%/50%=40%。
通过这两个题目看出，对于两集合容斥问题，既可以利用公式求解，也可以利用图示法求解，公式法不能代入就利用图示法求解，但是一定要注意一些特殊的字，比如，“只”“仅”等。