2017年广东省茂名市高考第二次模拟考试理科数学试题 及答案

试卷类型：A茂名市第二次高考模拟考试数学试卷（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，21小题，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答案的序号填在答题卡相应的位置上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卷的整洁. 考试结束后，将答题卷交回。

参考公式：锥体的体积公式是：13V S h =∙锥体底，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

第一部分 选择题（共40分）一、 选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 设集合{}1,4,5M =,{}0,3,5N =,则M N = （ ）. A ．{}1,4 B ．{}0,3 C ．{}0,1,3,4,5D ．{}52. 复数311(i i-为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标是（ ）.A ．(1,1)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)--3. 若离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望()E X ＝( ). A ．2 B ．2或21 C ．21D ．14. 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）. A ．23B ．43C ．83D ．45. 设变量y x ,满足约束条件203x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则y x z 2+=的最小值为（ ）.A. -3B. -1 C ．13 D ．-56. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12,242==S a ，则=3a ( ).A ． 2B ．3C ．4D ．57. 在△ABC 中,54sin =A ,6=∙AC AB ,则△ABC 的面积为（ ）. A ．3 B ．125C ．6D ．48. 若函数()y f x =在实数集R 上的图象是连续不断的，且对任意实数x 存在常数t 使得()()f t x tf x +=恒成立，则称()y f x =是一个“关于t 函数”．现有下列“关于t 函数”的结论：①常数函数是“关于t 函数”；②“关于2函数”至少有一个零点；③x x f )21()(=是一个“关于t 函数”．其中正确结论的个数是 ( ).A ．1B ．2C ．3D ．0第二部分 非选择题（共110分）二、填空题：（考生作答6小题，每小题5分，共30分） （一）必做题（9～13题）9. 不等式112≤+--x x 的解集为 . 10. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当x >0 时,()f x ＝1＋x )21(，则(2)f -＝ .11. 如图所示的流程图，若输入x 的值为2，则输出x 的值为 .12. 已知直线1y kx =+与曲线b ax x y ++=3相切于点(1，3)， 则b 的值为 .13. 已知抛物线x y 42=与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，O 是坐标原点，点A 、B 是两曲线的交点，若0)(=∙+AF OB OA ，则双曲线的实轴长为 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都答的，只计算第一题的得分）。

14．（坐标系与参数方程选做题）已知圆的极坐标方程为θρcos 2=,以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l 的参数方程为1x ty t ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数),则圆心到直线l 的距离为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC =060BCD ∠=，则圆O 的面积为 .三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，共80分）16. （本小题满分12分）已知函数)0,0)(6sin()(>>+=ωπωA x A x f 图象的一部分如图所示.（1）求函数)(x f 的解析式；（2）设]0,2[,πβα-∈，1310)3(=+παf ,56)253(=+πβf ,求sin()αβ-的值.17. （本小题满分12分）从某企业的某种产品中随机抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图： （1）求这500件产品中质量指标值落在区间[)205,185内的产品件数；（2）以这500件产品的样本数据来估计总体数据，若从该企业的所有该产品中任取2件，记产品质量指标值落在区间[]235,215内的件数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列.18. （本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中, AD ⊥平面PDC ,PD DC ⊥,底面ABCD 是梯形, AB ∥DC ，1,2AB AD PD CD ====（1）求证:平面PBC ⊥平面PBD ;（2）设Q 为棱PC 上一点,PQ PC λ=,试确定λ的值使得二面角Q BD P --为60º.19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且有 )(1*∈-=N n a S n n 错误！未找到引用源。

, 点),(n n b a 在直线nx y =上错误！未找到引用源。

. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试比较n T 与n n 22+的大小,并加以证明.20. （本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>过点2P ， 离心率为12，过直线4:=x l 上一点M引椭圆E 的两条切线，切点分别是A 、B . （1）求椭圆E 的方程；（2）若在椭圆()012222>>=+b a by a x 上的任一点()00,N x y 处的切线方程是12020=+by y a x x .求证：直线AB 恒过定点C ，并求出定点C 的坐标；（3）是否存在实数λ，使得BC AC BC AC ⋅=+λ恒成立？(点C 为直线AB 恒过的定点)若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.21. （本小题满分14分）设函数()ln ,f x x = ()()()()212.g x a x f x =--- （1）当1a =时，求函数()g x 的单调区间；（2）设()()1122,,,A x y B x y 是函数()y f x =图象上任意不同的两点，线段AB 的中点为C ()00,x y ，直线AB 的斜率为k . 证明：()0k f x '>；（3）设()()()01bF x f x b x =+>+，对任意(]1212,0,2,x x x x ∈≠，都有 ()()12121F x F x x x -<--，求实数b 的取值范围.绝密★启用前 试卷类型：A茂名市第二次高考模拟考试 数学试卷（理科）参考答案及评分标准一、 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）提示：8. ① ③正确，①对任一常数函数a x f =)(，存在1=t ,有a x f =+)1(a x f =∙)(1所以有)(1)1(x f x f ∙=+，所以常数函数是“关于t 函数”②“关于2函数”为)(2)2(x f x f ∙=+，当函数)(x f 不恒为0时有02)()2(>=+x f x f )2(x f +∴与)(x f 同号定义在实数集R 上的函数()y f x =的图象是连续不断的，)(x f y =∴图象与x 轴无交点，即无零点。

③对于x x f )21()(=设存在t 使得()()f t x tf x +=，即存在t 使得x x t t )21()21(=+，也就是存在t 使得x x t t )21()21()21(=∙，也就是存在t 使得t t =)21(，此方程有解，所以③正确。

二、填空题（本大题每小题5分，共30分，把答案填在题后的横线上）9. 错误！未找到引用源。

[)+∞,0； 10. 45-； 11. 7 ；12.3； 13. 222-； 14. 2 ； 15. 错误！未找到引用源。

提示:13. 抛物线x y 42=与双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 有相同的焦点F ，F ∴点的坐标为（1，0）， 0)(=∙+AF OB OA ，∴AF ⊥x 轴.设A 点在第一象限，则A 点坐标为（1，2）设左焦点为'F ，则'FF =2,由勾股定理得'AF 22=，由双曲线的定义可知2222'-=-=AF AF a .三、解答题（本大题共80分） 16.解：（1）由图象可知2=A ， (1)分,2921143πππ=-=Tωππ26==∴T 31=∴ω. ………………………3分)631sin(2)(π+=∴x x f . ………………………4分 （2）∵10(3)2sin()2cos ,213f παπαα+=+== ∴5cos 13α=，………………6分又∵56sin 2)sin(2)253(=-=+=+βπβπβf ∴53sin -=β，……………8分∵]0,2[,πβα-∈，,1312)135(1cos 1sin 22-=--=--=∴αα54)53(1sin 1cos 22=--=-=ββ. ………………………………………10分∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-.6533)53(13554)1312(-=-⨯-⨯-=………………………………12分17. 解：（1）产品质量指标值落在区间[)205,185内的频率为（0.022+0.033）×10=0.55∴质量指标值落在区间[)205,185内的产品件数为0.55×500=275 …………………4分（2）根据样本频率分布直方图，每件产品质量指标值落在区间[]235,215错误！未找到引用源。

内的概率为0.1， …………………………………………………………………………………6分由题意可得: ξ～B(2,0.1) ∴81.09.0)0(202===c P ξ ,18.09.01.0)1(12=⨯==c P ξ , 错误！未找到引用源。

01.01.0)2(222===c P ξ错误！未找到引用源。

.∴错误！未找到引用源。

的概率分布列为…………………………12分18. （1）证明：∵AD ⊥平面PDC ，,PD PCD DC PDC ⊂⊂平面平面∴,AD PD AD DC ⊥⊥在梯形ABCD 中，过点作B 作BH CD H ⊥于，在BCH ∆中，1,45.BH CH BCH ==∴∠=︒ 又在DAB ∆中，1,45.AD AB ADB ==∴∠=︒4590BDC DBC BC BD ∴∠=︒∴∠=︒∴⊥，.……3分,,PD AD PD DC AD DC D ⊥⊥= .,.AD ABCD DC ABCD ⊂⊂平面平面,,,PD ABCD BC ABCD PD BC ∴⊥⊂∴⊥ 平面平面 ………………………………5分,,BD PD D BD PBD PD PBD =⊂⊂ 平面平面.,BC PBD ∴⊥平面 …………………………………………………………………………6分,BC PBC PBC PBD ⊂∴⊥ 平面平面平面 ……………………………………………7分（2）法一：过点Q 作QM ∥BC 交PB 于点M ,过点M 作MN 垂直于BD 于点N ,连QN . ……8分由（1）可知BC ⊥平面PDB ,∴QM ⊥平面PDB ,∴QM BD ⊥, QM MN M =∴BD ⊥平面MNQ ,∴ BD QN ⊥，QNM ∴∠是二面角Q BD P --的平面角，60QNM ∴∠=︒ (10)分λ= λ=∴PCPQQM ‖BC ，λ===∴PBPMBC QM PC PQ BC QM λ=∴， 由（1）知BC =2,λ2=∴QM ，又 1PD =MN ∥PD PBBMPD MN =∴λ-=-=-==∴11PBPMPB PM PB PB BM MN (12)分MNQMMNQ =∠tan 312=-∴λλ， 63-=∴λ. …………………………………14分（2）法二：以D 为原点,,,DA DC DP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系 (如图)则()()()()0,0,10,2,01,0,01,1,0P C A B ，，，. 令()000,,Q x y z ,则000,10,2,1PQ x y z PC =-=-（，），（） 000,,10,2,1PQ PC x y z λλ=∴-=-（，）（）∴0,2,1Q λλ=-（）. …………………………………………………………………9分BC ⊥平面PBD , ∴1,1,0n =-（）是平面PBD 的法向量. ………………………10分设平面QBD 的法向量为m x y z =（，，）. 则00n DB n DQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即 02(1)0x y y z λλ+=⎧⎨+-=⎩ 即 21x y z y λλ=-⎧⎪⎨=⎪-⎩. 令1y =,得21,1,1m λλ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭………………………………………………………12分二面角Q BD P --为60︒,∴()1cos ,2m n m n m n ⋅===解得3λ= Q 在棱PC 上, 0λλ<<1, ∴=求. ……………………………………14分19. 解：(1)当1n =错误！未找到引用源。