2014年河南省高考数学适应性试题(理科)及答案

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2014年河南省郑州市高考理科综合三模试题及答案解析

2014年河南省郑州市高考理科综合三模试题及答案解析理综试题本试卷分选择题和非选择题两部分。

考试时间150分钟，满分300分。

考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。

交卷时只交答题卡。

可能用到的相对原子质量：H-10-12 N-14 O-16 Na-23第I卷（选择题共126分）本卷共21小题，每小题6分，共126分。

一、选择题：本大题共13小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列对物质跨膜运输的说法，错误的是A．糖蒜变甜主要是细胞主动选择吸收糖类并进行积累形成的B．维生索D能以自由扩散方式进入细胞，是因为其属于脂质C．饭后消化道中的葡萄糖浓度大于小肠上皮细胞中的浓度，此时小肠上皮细胞吸收葡萄糖的方式是协助扩散D．肾小管上皮细胞能将原尿中的葡萄糖全部吸收，其吸收过程需要消耗能量2．下列关于A TP和酶的说法，正确的是A．产生酶的细胞一定能产生ATPB．ATP含有核糖结构，酶中不会含有该结构C．细胞内酶的催化作用都需要ATP提供能量D．ATP的合成与分解都需要同一种酶催化3．有一种人工合成的微小RNA，不能编码蛋白质，当其进入小鼠细胞后，会号小鼠Lin-4基因产生的mRNA 结合，并抑制它的功能，最终引起机体患病。

下列说法，正确的是A．微小RNA与小鼠mRNA结合很可能是借助细胞内的DNA连接酶B．微小RNA不能编码蛋白质，很可能是因为它缺乏终止密码子C．Lin-4基因所产生的mRNA在细胞中的功能一定是产生某种酶D．微小RNA是通过阻止Lin-4基因的翻译过程来抑制该基因的功能4．下列有关生物变异的叙述中，错误的是A．单倍体植株的细胞中可含有一到多个染色体组B．观察细胞有丝分裂中期染色体形态可判断基因突变发生的位置C．非同源染色体之间交换一部分片段，会导致染色体结构变异D．低温可抑制纺锤体的形成，导致植物细胞染色体数目发生变化5．氨基丁酸和某种局部麻醉药在神经兴奋传递过程中的作用杌理如下图所示。

2014年河南省商丘市高考理科综合三模试题及答案解析

2014年河南省商丘市高考理科综合三模试题及答案解析理科综合能力试题注意事项：1．本试题卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，总分300分，考试时间150分钟。

2．答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号、座号填写在答题卡指定的位置上。

3．选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

4．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答。

超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效：在草稿纸、本试题卷上答题无效。

5．可能用到的相对原子质量：H=1 0=16 Na=23 S=32第I卷（选择题，共126分）一、选择题：（本大题共13小题，每小题6分，共78分，每题只有一个选项符合题意）1．在细胞和生物体的生命活动中，不可能发生的是A．DNA→RNA→氨基酸B．内质网膜→囊泡膜→高尔基体膜C．性激素→下丘脑，性激素→垂体D．生长素→果实发育，生长素→发芽2．下列关于建构模型或科学研究方法的相关叙述错误的是A．摩尔根用类比推理的方法证明了“基因在染色体上”B．孟德尔用豌豆进行杂交实验发现遗传定律时，运用了假说一演绎法C．沃森和克里克研究DNA分子结构时，建构了物理模型D．生态学家高斯在研究种群的数量变化规律时，建构了数学模型3．下列现象的出现与减数分裂过程中同源染色体联会行为无直接关系的是A．白菜与甘蓝有性杂交后的杂种植株不可育B．正常男性产牛了含有两条Y染色体的精子C．三倍体西瓜植株一般不能形成正常种子D．基因型AaBb植株自交后代出现9：3：3：1性状分离比4．生长素对植物生长的作用具有两重性。

右图中虚线表示对植物牛长既不促进也不抑制的浓度。

据此分析下列说法正确的是A．该图可表示水平放置的根近地侧生长素浓度的变化B．该图可表示水平放置的茎近地侧生长素浓度的变化C．该图可表示正常放置的胚芽鞘尖端向光侧生长素浓度的变化D．该图可表示去掉顶芽后侧芽处生长素浓度的变化5．下图表示某生态系统中三种牛物CO2消耗量（相对值）的曲线图，请据图判断下列叙述不正确的是A．a曲线代表的生物属于某种生产者，其同化作用n寸能量的来源与绿色植物并不相同B．若a生物能被人巨噬细胞吞噬，则其一定能引发人体的细胞免疫C．若b曲线代表某种正常生存的植物，则18时植物内有机物积累量最多D．若c足某种哺乳动物，则其呼吸作用消耗的氧气量值是相对稳定的6．高中生物学实验中，以下操作对估测结果的数值准确性影响最大的一项是A．估测细胞周期各期时长，可统计多个视野中各时期细胞数量所占比例B．估测狭长样地中蒲公英数量，可用等距取样法选取样方C．估测培养液中酵母菌的种群数量，可用滴管从静置培养液的中层取样D．估测某地域灰地鼠的数量，可采用标志重捕法7．分子式为C5H12O的醇与和它相对分子质量相同的一元羧酸进行酯化反应，生成的酯共有（不考虑立体异构）A．15种B．16种C．17种D．18种8．下列说法不正确的是A．除去乙酸乙酯中残留的乙酸，可加过量饱和Na2CO3溶液振荡后，静置分液B．某烷烃主链4个碳原子数的同分异构体有2种，则与其碳原子个数相同的且主链4个碳原子的单烯烃有4种C．Imol有机物与NaOH溶液反应，最多消耗5mol NaOHD．有机物分子中所有原子在同一平面内9．食品包装中常见的脱氧剂组成为还原性铁粉、氯化钠、炭粉等，其脱氧原理与钢铁的吸氧腐蚀相同。

2014河南省普通高中毕业班高考适应性测试数学理科答案

= 3，
3 6. = AH 2
所以当 AH 最短时， ∠MHA 最大，……………………………………………………………………7 分即当 AH
⊥ PD 时， ∠MHA 最大，此时 tan ∠MHA = AM =
AH
因此 AH
= 2 .又 AD = 2 ，所以 ∠ADH = 45o ，于是 PA = 2 .………………………………8 分
N
A B
H
D
y
tan ∠MHA =
因此
AM 3 6 = = . AH AH 2
. 又
M
x
C
AH = 2
AD = 2
，所以
∠ADH = 45o
，于是
PA = 2 .……………………………8 分
如图建立空间直角坐标系，则 P(0,0, 2) ，
D(0,2,0) ， M ( 3,0,0) ， B( 3, −1,0) ， C ( 3,1,0) ， E ( 3 , 1 ,0) . 2 2
x2 = 2y
（16）
14 4
3a − 4 3a − 6 3 1 1 1 1 1 − = − = n − = n = . an+1 − 2 an − 2 8an − 12 − 2 an − 2 2an − 4 an − 2 2an − 4 2 3an − 4 1 1 3 = ，公差为的等差数列， a1 − 2 3 2
因为 PA ⊥ 平面 ABCD ， PA ⊂ 平面 PAC ，所以平面 PAC ⊥ 平面 ABCD .……………………………………………………………………………9 分
理数答第 2 页（共 7 页）
过 M 作 MO ⊥ AC 于 O ，则由面面垂直的性质定理可知： MO ⊥ 平面 PAC ，所以 MO ⊥ AN ，过 M 作 MS ⊥ AN 于 S ，连接 OS ， AN ⊥ 平面 MSO ，所以 AN ⊥ SO 则 ∠MSO 为二面角 M − AN − C 的平面角. ……………………………………………………………………………………………………10 分在 Rt ∆AOM 中，

备战2014年高考数学全国统考区精选理科试题(详解)分类汇编2：函数

备战2014年高考之2013届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选理科试题（大部分详解）分类汇编2：函数一、选择题1 ．（云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理科数学）定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是（）A ．)22,0(B ．)33,0(C ．)55,0(D ．)66,0( 【答案】B 【解析】因为函数是偶函数，所以(2)()(1)()(1)f x f x f f x f -+=--=-，即(2)(2)f x f x +=-+，所以函数()f x 关于直线2x =对称，又(2)(2)(2)f x f x f x +=-+=-，所以(4)()f x f x +=，即函数的周期是4.由()log (||1)0a y f x x =-+=得，()log (||1)a f x x =+，令()log (||1)a y g x x ==+，当0x >时，()log (||1)log (1)a a g x x x =+=+，过定点(0,1).由图象可知当1a >时，不成立.所以01a <<.因为(2)2f =-，所以要使函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则有(2)2g >-，即2(2)log 32log a a g a -=>-=，所以23a -<，即213a <，所以03a <<，即a 的取值范围是(0,3，选B,如图 2 ．（云南省部分名校2013届高三第一次统一考试理科数学（玉溪一中、昆明三中、楚雄一中））函数()()ax x f a -=6log 在[]2,0上为减函数，则a 的取值范围是（）A.()1,0B.()3,1C.(]3,1D. [)+∞,3【答案】B 【解析】当02a ≤≤时，函数()6t g t ax ==-单调递减，所以要使函数()f x 为减函数，所以函数log a y x =为增函数，所以有1a >且(2)620g a =->，即13a <<，所以a 的取值范围是(1,3)，选B.3 ．（甘肃省兰州一中2013届高三上学期12月月考数学（理）试题）设()f x 是定义在R 上的增函数，且对任意x ，都有()()0f x f x -+=恒成立，如果实数,m n 满足不等式22(621)(8)0f m m f n n -++-<，那么22m n +的取值范围是.A （9，49） .B （13，49） .C （9，25） .D （3，7）【答案】A 【解析】对任意x ，都有()()0f x f x -+=恒成立，所以函数()f x 是奇函数，又因为()f x 是定义在R 上的增函数，所以由22(621)(8)0f m m f n n -++-<得：()222(621)(8)8f m m f n n f n n -+<--=-+，所以226218m m n n -+<-+，即()()22344m n -+-≤，所以22m n +的最大值为()22r +，即49；因此最小值为()22r -，即9，22m n +的取值范围是（9，49），故选A 。

备战2014年高考数学全国统考区精选理科试题(详解)分类汇编8：直线与圆

备战2014年高考之2013届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选理科试题（大部分详解）分类汇编8：直线与圆一、选择题1 ．（云南省玉溪一中2013届高三第五次月考理科数学）1by +=与圆221x y +=相交于A,B两点(其中a,b 是实数),且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点),则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为（）A 1B ．2C D 1【答案】A 【解析】因为△AOB 是直角三角形，所以圆心到直线的距离为2，2=，即2222a b +=。

所以2212b a =-，由22102b a =-≥，得22,b b ≤≤≤所以点P(a,b)与点(0,1)之间距离为d ====，即d ==，因为b ≤，所以当b =时，1d ====+A ． 2 ．（云南省昆明三中2013届高三高考适应性月考（三）理科数学）若直线20ax by -+=(a ＞0，b ＞0)被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则11a b+的最小值为（）A ．14B C ．32+D ．32+【答案】C 【解析】圆的标准方程为22(1)(2)4x y ++-=，所以圆心坐标为(1,2)-，半径为2r =.因为直线被圆截得的弦长为4，所以线长为直径，即直线20ax by -+=过圆心，所以220a b --+=，即22a b +=，所以12ab +=，所以222a b =，a =时取等号，所以11a b +的最小值为32+C ．3 ．（贵州省遵义四中2013届高三第四月考理科数学）过点(1,3)P 且在x 轴上的截距和在y 轴上的截距相等的直线方程为（）A ．40x y +-=B ．30x y -=C ．40x y +-=或30x y +=D ．40x y +-=或30x y -=【答案】D 【解析】若直线过原点，设直线方程为y kx =，把点(1,3)P 代入得3k=，此时直线为3y x =，即30x y -=。

【旋风逆袭】2014年普通高等学校招生全国统一考试数学高考考前适应性训练第17题【A组】【A卷】【PDF版】

李炳璋（原名李东升），为人低调，和蔼亲切，耐心细致。全国唯一．．．．．．．．．．．．．．一位曾经连续三年命中过高考试题中一些理科和文科试题的人，高考研究专家﹑高考辅导名师，擅长高考专业﹑个性辅导，英语四六级专业﹑个性辅导。本人始终坚信“金杯银杯不如大家的口碑，金奖银奖．．．．．．．．．．．．．．．．不如大家的夸奖！ ”被广大学生亲切地誉为“提分帝” ！让很多辅导过．．．．．．．的高中生受益，使其在高考中取得较为理想的成绩！让一些大学生顺利通过英语四六级考试！本人一直都在辅导中学生，曾经为近万名学子免费辅导过，曾经为 2013 届全国各个省市自治区直辖市的一些考生免费指导过填报志愿。对各省的高考一些事情比较了解。 2013 年本人所有亲自教授﹑多次辅导的学生均顺利考上一二本大学！21 时就被大家誉为当之无愧
高三是一个传奇,每个人都可能成为一匹黑马!
2
造福考生
给力奋斗
让飞翔的梦想在六月张开翅膀,让雄心与智慧在六月绽放光芒! 的名师!一直在教九科，非常辛苦，虽然常常是一对一的教授，但是教授过程中一直充满着挑战......我说过，虽然本人不是师范生，但对教育事业有一份独特的热爱！网络上所有文档课件等有如下标识的均为本人发表在网络上的资料：【恒心】﹑【跃渊风暴】﹑【旋风逆袭】﹑【圣经】
胆性卓然骨硬志坚不留乌江之憾；风华正茂豪气冲天应建定鼎之功。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。
【李炳璋前言】随着2013年高考的结束，2014年高考也“马不停蹄”的赶来，由于2013年普通高等学校招生全国统一考试高考考前适应性训练（数学）试题广受好评，再加之本人也不再一个人忙碌高考9科的研究，不再对广大考生进行免费的辅导与指导，故付高考题。本人第一时间做了2013年各个省份的高考数学文理试题，充分调研了2013届考生在数学复习冲刺过程中所遇到的问题及在2013年6月7日在高考考场遇到的实际状况，在2014年编写过程中充分做了新的调整，在难度上也是根据2013年高考数学试题的实际难度进行增加。尤其在数学试题的选题上更加大胆，原创试题更加与时俱进， “母题”意识更加强化，夯实基础，提升能力，我还是在一套试卷中命制所有省份的数学题，命制的难点在于 ①如何在一套试卷中把握好所有省份高考数学试卷的难度； ②如何在一套试卷中处理好文理数学试题的差异问题； ③如何在一套试卷中处理好突出核心高频考点、 “规律轮换”与较为低频考点兼顾的问题；

2014年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科综合能力测试参考答案及评分说明

绝密 ★ 启用前2014年河南省普通高中毕业班高考适应性测试理科综合能力测试参考答案及评分说明第Ⅰ卷一、选择题：每小题6分，共78分。

1．C 2．D 3．A 4．C 5．D 6．C 7．A 8．A 9．D 10．B 11．B 12．C 13．C 二、选择题：每小题6分，共48分。

14．D 15．B 16．A 17．C 18．A 19．AD 20．BC 21．A D 三、非选择题：包括必考题和选考题两部分。

（一）必考题（11题，共129分） 22．（7分）（1）乙（2分）（2）丙（2分）（3）0.06（3分） 23．（8分）（1）左（2分）（2）01()g E R r R R KI K'-+++（2分）（3）电路图如图所示（4分） 24．（13分）（1）当轻杆被拉至竖直位置时，设物块的速度为v ，小球的速度为v′，由于物块此时的速度与轻杆中点的线速度大小相等，根据杆上各点线速度与角速度的关系可知：小球的速度v′=2v ，则v ：v′=1：2 （3分）（2）根据几何关系可知，物块下滑的距离为4s L = （1分）对m 和M 组成的系统，根据机械能守恒定律，2211sin 622Mg s mg L Mv mv θ'⋅-⋅=+ （2分）解得v （1分）小球在最高点，由牛顿第二定律 26v mg F m L'+= （1分）解得 12F mg =（1分）根据牛顿第三定律，小球对轻杆在竖直方向的作用力大小为：12F mg '= （1分）（3）对小球和轻杆，由动能定理 2162W mg L mv '-⋅= （2分）解得：212W mgL = （1分）25．（19分）（1）设带电粒子在磁场中偏转，轨迹半径为r由2v qvB m r =得mvr qB= （2分）代入数据解得 00.2m mv r qB== （2分）（2）由几何关系得圆形磁场的最小半径R 对应：2R = （3分）则圆形磁场区域的最小面积为：22π0.02π m S R ==（或0.0628m 2）（2分）（3）粒子进入电场后做类平抛运动，设它出电场时的位移为L ，则有： L cos θ = v 0t (1分) L sin θ =212at （1分） qE = ma （1分）代入数据解得，20E qL= （3分）若出电场时不打在挡板上，则L <0.32m 或L >0.48m （2分）代入解得：E >10N/C 或 E <6.67N/C（2分）26．（14分）（1）CH 3COOH ＋(CH 3)2CHCH 2CH 2OH CH 3COOCH 2CH 2CH(CH 3)2＋H 2O（2分）（2）圆底烧瓶（1分）（3）提高反应物的转化率或生成物的产率（1分） b （1分）浓硫酸 △v oE（4）便于控制反应温度，使圆底烧瓶受热均匀等（共2分，每空1分）（5）水面高度（体积、刻度）不再变化（答案合理均给分）（2分）（6）a d （2分）（7）作干燥剂（1分）（8）44%（2分） 27．（15分）（1）H 2－2e －＋2OH¯ = 2H 2O （2分）（2）CdO ＋H 2= Cd↑+H 2O （2分）（3）Al 2O 3＋2OH －= 2AlO 2－＋H 2O （2分）（4）Fe 、Ni （2分）氨水消耗了H +，溶液中c (OH¯)增大，促使Fe 3+形成Fe(OH)3沉淀（答案合理均给分）（2分）（5）阴（1分） KNO 3、NH 4NO 3（2分）（6）2CN －＋5ClO －＋2OH －= 2CO 32－＋N 2↑＋5Cl －＋H 2O （2分）28．（14分）（1）2CO 2＋6H 2 ≒ C 2H 5OH ＋3H 2O （2分） 32522622c(C H OH)c (H O)c (CO )c (H )⋅⋅（1分）（2）a 、b （2分）（3）0.22（2分）（4）①正反应（或右）（2分） ②40%（2分） ③1.5a mol·L -1（3分） 29．（10分。

2024年高考八省联考数学适应性试卷附答案解析全文

2024年高考八省联考数学适应性试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣8≤0}，B＝{x|log2x＞1}，则A⋂B＝（）A．{2，4}B．{1，4}C．{3，4}D．{2，3，4} 2．（5分）若（1+2i）＝4+3i，则z＝（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i3．（5分）2023年10月12日，环广西公路自行车世界巡回赛于北海市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行，线路总长度达958.8公里，共有全球18支职业车队的百余名车手参加．主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A、B两个路口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为（）A．15B．30C．25D．164．（5分）已知函数f（x）＝log a（3﹣x）+log a（x+1）（0＜a＜1），若f（x）的最小值为﹣2，则a＝（）A．B．C．D．5．（5分）已知椭圆C：，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，直线与椭圆交于A、B两点，若F1、A、F2、B四点共圆，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．6．（5分）已知直线l：x+y+m＝0和圆C：x2+y2+4y＝0相交于M，N两点，当△CMN的面积最大时，m＝（）A．m＝0或m＝2B．m＝﹣4或m＝4C．m＝0或m＝4D．m＝0或m＝﹣4 7．（5分）在数列{a n}中，a1＝1．若命题，命题是等比数列，则p是q的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要8．（5分）设，若，则tanθ＝（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知一组样本数据x i＝2i（1≤i≤10，i∈N+），由这组数据得到另一组新的样本数据y1，y2，…，y10，其中y i＝x i﹣20，则（）A．两组样本数据的平均数相同B．两组样本数据的方差相同C．样本数据y1，y2，…，y10的第30百分位数为﹣13D．将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为10（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）的图象关于直线对称B．函数f（x）的图象关于点对称C．函数f（x）在的值域为[﹣，2]D．将函数f（x）的图象向右平移个单位，所得函数为g（x）＝2sin2x（多选）11．（5分）已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），且，f（0）≠0，则以下结论一定正确的有（）A．f（0）＝1B．f（x）是奇函数C．f（x）关于中心对称D．f（1）+f（2）+⋯+f（2023）＝0（多选）12．（5分）如图，透明塑料制成的直三棱柱容器ABC﹣A1B1C1内灌进一些水，，AC＝AA1＝4，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（）A．当底面AA1C1C水平放置后，固定容器底面一边CC1于水平地面上，将容器绕着CC1转动，则没有水的部分一定是棱柱B．转动容器，当平面AA1C1C水平放置时，容器内水面形成的截面与各棱的交点都是所在棱的中点C．在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数f（x）＝a•e x﹣e﹣x是奇函数，则a＝．14．（5分）已知向量，满足，，，则＝．15．（5分）已知圆台轴截面的面积为6，轴截面有一个角为120°，则该圆台的侧面积为．16．（5分）已知直线与抛物线x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，抛物线的焦点为F，且，OD⊥AB于点D，点D的坐标为（﹣2，1），则|AF|+|BF|＝．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cos B＝﹣．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．18．（12分）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．（1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；（2）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．19．（12分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）经过点，其渐近线方程为y＝±x．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（1，1）的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．20．（12分）如图，三棱台ABC﹣DEF，H在AC边上，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACD＝60°，CH＝2，CD＝4，BC＝，BH⊥BC．（1）证明：EF⊥BD；（2）若，△DEF面积为，求CF与平面ABD所成角的正弦值．21．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，在数列{d n}中是否存在3项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝1时，求证：．2024年高考八省联考数学适应性试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合A＝{x∈Z|x2﹣2x﹣8≤0}，B＝{x|log2x＞1}，则A⋂B＝（）A．{2，4}B．{1，4}C．{3，4}D．{2，3，4}【解答】解：由x2﹣2x﹣8≤0，解得﹣2≤x≤4，又因为x∈Z，所以A＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4}，又由log2x＞1，解得x＞2，所以B＝{x|x＞2}，所以A⋂B＝{3，4}．故选：C．2．（5分）若（1+2i）＝4+3i，则z＝（）A．2﹣i B．2+i C．﹣2﹣i D．﹣2+i【解答】解：（1+2i）＝4+3i，则＝＝2﹣i，所以z＝2+i．故选：B．3．（5分）2023年10月12日，环广西公路自行车世界巡回赛于北海市开赛，本次比赛分别在广西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行，线路总长度达958.8公里，共有全球18支职业车队的百余名车手参加．主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到A、B两个路口进行支援，每个志愿者去一个路口，每个路口至少有一位志愿者，则不同的安排方案总数为（）A．15B．30C．25D．16【解答】解：5名志愿者分为两组，当两组人数分别为1和4时，此时有种情况，当两组人数分别为2和3时，此时有种情况，综上，不同的安排方案总数为10+20＝30．故选：B．4．（5分）已知函数f（x）＝log a（3﹣x）+log a（x+1）（0＜a＜1），若f（x）的最小值为﹣2，则a＝（）A．B．C．D．【解答】解：由，得﹣1＜x＜3，所以函数f（x）＝log a（3﹣x）+log a（x+1）（0＜a＜1）定义域为（﹣1，3），因为y＝log a（3﹣x）+log a（x+1）＝log a[（3﹣x）（x+1）]由外层函数y＝log a t（0＜a＜1）和内层函数t＝（3﹣x）（x+1）复合而成，当﹣1＜x＜1时，内层函数单调递增，外层函数单调递减，所以f（x）单调递减，当1＜x＜3时，内层函数单调递减，外层函数单调递减，所以f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝log a4＝﹣2，所以，又因为0＜a＜1，所以．故选：C．5．（5分）已知椭圆C：，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，直线与椭圆交于A、B两点，若F1、A、F2、B四点共圆，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，由对称性可知，四边形F1AF2B为平行四边形，又F1、A、F2、B四点共圆，可得四边形F1AF2B为矩形，∵直线与椭圆交于A、B两点，∴，∴|BF2|＝c，可得|BF1|＝2a﹣c，在Rt△F1BF2中，由勾股定理可得：（2a﹣c）2+c2＝4c2，整理得：e2+2e﹣2＝0，解得e＝（负值舍去）．故选：C．6．（5分）已知直线l：x+y+m＝0和圆C：x2+y2+4y＝0相交于M，N两点，当△CMN的面积最大时，m＝（）A．m＝0或m＝2B．m＝﹣4或m＝4C．m＝0或m＝4D．m＝0或m＝﹣4【解答】解：圆C：x2+y2+4y＝0，圆心为（0，﹣2），半径为r＝2，则圆心到直线l：x+y+m＝0的距离为，则弦长为，则△CMN的面积为＝，令（m﹣2）2＝t，t≥0，则，取得最大值，则当t＝4时，S△CMN此时（m﹣2）2＝4，解得m＝0或m＝4．故选：C．7．（5分）在数列{a n}中，a1＝1．若命题，命题是等比数列，则p是q的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要【解答】解：充分性：若，得，则数列是以为首项，﹣1为公比的等比数列，则p能推出q；必要性：若是等比数列，则，则，则t为不为0的常数，故q不能推出p，必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件．8．（5分）设，若，则tanθ＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得，所以，即，又因为，所以，则，所以．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）已知一组样本数据x i＝2i（1≤i≤10，i∈N+），由这组数据得到另一组新的样本数据y1，y2，…，y10，其中y i＝x i﹣20，则（）A．两组样本数据的平均数相同B．两组样本数据的方差相同C．样本数据y1，y2，…，y10的第30百分位数为﹣13D．将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，该样本数据的平均数为10【解答】解：由题意可得：，∵y i＝x i﹣20，则，，故A错误，B正确；由于求y i第30百分位数：10×0.3＝3，故为第3个数和第4个数的平均数，y i的排列为：﹣18，﹣16，﹣14，﹣12，﹣10，⋯，0，因此，第30百分位数为，C正确；将两组数据合成一个样本容量为20的新的样本数据，新样本的平均数为，D错误．（多选）10．（5分）已知函数f（x）＝A cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）的图象关于直线对称B．函数f（x）的图象关于点对称C．函数f（x）在的值域为[﹣，2]D．将函数f（x）的图象向右平移个单位，所得函数为g（x）＝2sin2x【解答】解：由图可知，A＝2，周期T＝4×（﹣）＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝2cos（2x+φ），因为函数f（x）的图象过点（，﹣2），所以f（）＝2cos（2•+φ）＝﹣2，即cos（+φ）＝﹣1，所以+φ＝π+2kπ，k∈Z，即φ＝﹣+2kπ，k∈Z，因为|φ|＜，所以φ＝﹣，所以f（x）＝2cos（2x﹣），选项A，f（）＝2cos（2•﹣）＝2，所以函数f（x）的图象关于直线对称，即选项A正确；选项B，f（）＝2cos（2•﹣）＝﹣1≠0，所以函数f（x）的图象不关于点对称，即选项B错误；选项C，当x∈时，2x﹣∈[﹣，]，所以cos（2x﹣）∈[﹣，1]，2cos（2x﹣）∈[﹣，2]，所以函数f（x）在的值域为[﹣，2]，即选项C正确；选项D，将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到y＝2cos[2（x﹣）﹣]＝2sin2x ＝g（x），即选项D正确．故选：ACD．（多选）11．（5分）已知定义域为R的函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），且，f（0）≠0，则以下结论一定正确的有（）A．f（0）＝1B．f（x）是奇函数C．f（x）关于中心对称D．f（1）+f（2）+⋯+f（2023）＝0【解答】解：对A，令x＝y＝0可得，f（0）+f（0）＝2f（0）f（0），因为f（0）≠0，所以f（0）＝1，A正确；对B，因为f（0）≠0，所以f（x）不是奇函数，B错误；对C，令，则有，所以，所以f（x）关于中心对称，C正确；对D，令x＝0可得，f（y）+f（﹣y）＝2f（0）f（y），即f（﹣y）＝f（y），所以函数f（x）是偶函数，由f（x）关于中心对称，可得f（x）＝﹣f（1﹣x），结合函数为偶函数，可得f（x）＝﹣f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1）＝﹣[﹣f（2﹣x）]＝﹣[﹣f （x﹣2）]＝f（x﹣2），所以函数f（x）的周期为2，令，可得，所以f（0）+f（1）＝0，所以f（1）＝﹣1，所以f（1）+f（2）＝0，所以f（1）+f（2）+⋯+f（2023）＝1011×[f（1）+f（2）]+f（2023）＝f（2023）＝f（1）＝﹣1，D错误．故选：AC．（多选）12．（5分）如图，透明塑料制成的直三棱柱容器ABC﹣A1B1C1内灌进一些水，，AC＝AA1＝4，若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（）A．当底面AA1C1C水平放置后，固定容器底面一边CC1于水平地面上，将容器绕着CC1转动，则没有水的部分一定是棱柱B．转动容器，当平面AA1C1C水平放置时，容器内水面形成的截面与各棱的交点都是所在棱的中点C．在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为【解答】解A：当平面AA1C1C水平放置时（CC1始终保持水平），则平面ABC∥平面A1B1C1，所以有水的部分是棱柱，由图可知，没有水的部分也是棱柱，故A正确；B：当平面AA1C1C水平放置时，假设D，E，F，G都为所在棱的中点，设水面到底面的的距离为h，AB＝a，BC＝b，所以水的体积为＝2ab﹣＝ab，又转动前水的体积为，所以D，E，F，G不为所在棱的中点，故B错误；C：在翻滚、转动容器的过程中，当平面ABC水平放置时，三棱锥A1﹣ABC的体积取到最大值，如图，此时，而水的体积为，所以有水的部分不可能是三棱锥，故C错误；D：取AC，A1C的中点D，D1，连接DD1，取DD1的中点O，连接OA，则D为Rt△ABC的外接圆圆心，O为三棱柱ABC﹣A1B1C外接球的球心，所以OA为外接球的半径，且，所以直三棱柱外接球体积，由选项B可知，容器中水的体积为V＝ab，又a2+b2＝42＝16，所以16＝a2+b2≥2ab⇒ab水＝ab≤8，≤8，当且仅当时等号成立，所以V水则水的体积与直三接柱外接球体积之比为≤＝，即容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为，故D正确．故选：AD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数f（x）＝a•e x﹣e﹣x是奇函数，则a＝1．【解答】解：∵f（x）＝a•e x﹣e﹣x，∴f（﹣x）＝a•e﹣x﹣e x，又f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即a•e x﹣e﹣x＝﹣（a•e﹣x﹣e x），∴（a﹣1）（e x﹣e﹣x）＝0，解得a＝1．故答案为：1．14．（5分）已知向量，满足，，，则＝．【解答】解：因为，所以，又因为，，所以，即，所以，所以．故答案为：．15．（5分）已知圆台轴截面的面积为6，轴截面有一个角为120°，则该圆台的侧面积为4π．【解答】解：设圆台的上、下底面圆的半径分别为r，R，高为h，母线长为l，则h＝（R﹣r）•tan60°＝（R﹣r），所以圆台的轴截面面积为×（2R+2r）×h＝（R+r）×（R﹣r）＝（R2﹣r2）＝6，所以R2﹣r2＝2；所以圆台的侧面积为π（R+r）l＝π（R+r）×2（R﹣r）＝2π（R2﹣r2）＝4π．故答案为：4π．16．（5分）已知直线与抛物线x2＝2py（p＞0）交于A，B两点，抛物线的焦点为F，且，OD⊥AB于点D，点D的坐标为（﹣2，1），则|AF|+|BF|＝．【解答】解：∵OD⊥AB于点D，点D的坐标为（﹣2，1），∴，∴k AB＝2，∴AB直线方程为y﹣1＝2（x+2），即y＝2x+5，联立，可得x2﹣4px﹣10p＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∵，∴x1x2+y1y2＝＝﹣10p+＝﹣10p+25＝20，∴p＝，∴抛物线方程为x2＝y，∴|AF|+|BF|＝p+y1+y2＝p+2x1+5+2x2+5＝2（x1+x2）+5+p＝9p+5＝．故答案为：．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在△ABC中，a＝3，b﹣c＝2，cos B＝﹣．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B+C）的值．【解答】解：（1）∵a＝3，b﹣c＝2，cos B＝﹣．∴由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝，∴b＝7，∴c＝b﹣2＝5；（2）在△ABC中，∵cos B＝﹣，∴sin B＝，由正弦定理有：，∴sin A＝＝，∴sin（B+C）＝sin（π﹣A）＝sin A＝．18．（12分）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元．ChatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，概率就被广泛应用于ChatGPT中．某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球．（1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；（2）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱子中随机抽出1个球．若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率．【解答】解：（1）记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”，则，，故．（2）设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”，事件D表示“抽到红球”，，，，，＝＝，故．19．（12分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）经过点，其渐近线方程为y＝±x．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（1，1）的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．【解答】解：（1）因为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）经过点，其渐近线方程为y＝±x，所以，解得a2＝1，b2＝2，c2＝3，所以双曲线C的方程为x2﹣＝1．（2）当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x＝1，此时与双曲线只有一个交点，不成立，当直线AB的斜率存在时，直线AB的方程为y＝k（x﹣1）+1，联立，得（2﹣k2）x2+（2k2﹣2k）x﹣k2+2k﹣3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以Δ＝（2k2﹣2k）2﹣4（2﹣k2）（﹣k2+2k﹣3）＝﹣16k+24＞0，即k＜，所以x1+x2＝，x1x2＝，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+2＝k•﹣2k+2＝，所以＝，＝，所以AB的中点坐标为（，），若P时AB的中点，则，解得k＝2，不符合k＜，所以k无解，所以P不能为AB的中点．20．（12分）如图，三棱台ABC﹣DEF，H在AC边上，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACD＝60°，CH＝2，CD＝4，BC＝，BH⊥BC．（1）证明：EF⊥BD；（2）若，△DEF面积为，求CF与平面ABD所成角的正弦值．【解答】证明：（1）在△ADH中，∠ACD＝60°，CH＝2，CD＝4，由余弦定理得，解得，所以CD2＝CH2+DH2，所以DH⊥AC，又因为平面ACFD⊥平面ABC，平面ACFD∩平面ABC＝AC，DH⊂平面ACFD，所以DH⊥平面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以DH⊥BC，又因为BH⊥BC，BH∩DH＝H，BH⊂平面BDH，DH⊂平面BDH，所以BC⊥平面BDH，因为DB⊂平面BDH，所以BC⊥DB，又因为BC∥EF，所以EF⊥DB；解：（2）在Rt△BCH中，BH⊥BC，CH＝2，，所以，所以∠ACB＝30°，因为，ADEF面积为，所以，所以，又因为，解得AC＝3，则AC＝3＝AH+HC，所以AH＝1，由（1）知DH⊥平面ABC，则以H为原点，，的方向分别为y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），，，C（0，2，0），，所以，，，设平面ABD法向量为，则，令，得平面ABD的一个法向量为，设CF与平面ABD所成角为θ，则sinθ＝＝＝＝，所以CF与平面ABD所成角的正弦值为．21．（12分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）求数列{a n}的通项公式．（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列，在数列{d n}中是否存在3项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由a n+1＝2S n+2，可得a n＝2S n﹣1+2（n≥2），两式相减可得a n+1＝3a n （n≥2），由于{a n}为等比数列，可得a2＝3a1＝2S1+2＝2a1+2，解得a1＝2，所以a n＝2×3n﹣1；（2）由（1）可知a n＝2×3n﹣1，a n+1＝2×3n．因为a n+1＝a n+（n+2﹣1）d n，所以d n＝，假设在数列{d n}中存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，则（d k）2＝d m d p，即（）2＝•，化简得＝（*）因为m，k，p成等差数列，所以m+p＝2k，从而（*）可以化简为k2＝mp．联立，可得k＝m＝p，这与题设矛盾．所以数列{d n}中不存在三项d m，d k，d p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．22．（12分）已知函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当a＝1时，求证：．【解答】解：（1）由已知条件得函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）＝x﹣+1﹣a＝＝，因为x＞0，x+1＞0，①当a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上为单调递增．②当a＞0时，当x＞a时，f′（x）＞0，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0故f（x）在（0，a）上为单调递减，在（a，+∞）上为单调递增；综上所述：当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上为单调递增，当a＞0时，f（x）在（0，a）上为单调递减，在（a，+∞）上为单调递增；（2）证明：当a＝1时，f（x ）＝x2﹣lnx+1，要证原式成立，需证lnx+1≤x（e x﹣1）成立，即需证xe x﹣lnx﹣x﹣1≥0成立，令g（x）＝xe x﹣lnx﹣x﹣1（x＞0），则g′（x）＝e x+xe x ﹣﹣1＝（x+1）（e x ﹣），令u（x）＝e x﹣，则u′（x）＝e x +＞0，故u（x）在（0，+∞）上单调递增，u （）＝﹣2＜0，u（1）＝e﹣1＞0，由零点存在性定理可知，存在x0使u（x0）＝0，则在（0，x0）上u（x）＜0，在（x0，+∞）上u（x）＞0，即在（0，x0）上g′（x）＜0，在（x0，+∞）上g′（x）＞0，则g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）单调递增，在x＝x0处取得最小值，由u（x0）＝0可得u（x0）＝﹣＝0，即x0＝1，两边同取对数ln （x0）＝ln1，即x0+lnx0＝0，g（x）的最小值为g（x0）＝x0﹣lnx0﹣x0﹣1＝0，即xe x﹣lnx﹣x﹣1≥0成立，故当a＝0时，成立．第21页（共21页）。

河南职高对口升学数学高考适应性考试试题六(含答案)

数学试题第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.全集U R =，{}12A x x =->，{}2680B x x x =-+<，则()UA B =（）A.[)1,4-B.()2,3C.(]2,3D.()1,4-2.已知命题Rx p ∈∃0:，200220x x ++≤，则p ⌝为（）A.0x R ∃∈，200220x x ++> B.0x R∃∈，200220x x ++<C.0x R∀∈，200220x x ++≤ D.0x R∀∈，200220x x ++>3.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的对边长分别为a 、b 、c ，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，且2c a =，则cos B 的值为（）A.41B.43C.42D.324.设函数()()2,211,22xa x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为（） A.(),2-∞ B.13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C.()0,2 D.13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭5.函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期是π，若其图像向右平移3π个单位后得到的函数为奇函数，则函数()f x 的图像（）A. 关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B.关于直线12x π=对称C.关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称D.关于直线512x π=对称6.已知函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有()()2f x f x +=-，且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20112012f f -+=（）A.1-B.21log 3-+C.21log 3+D.17.某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A.5B.6C.27D.42DCBA8.在R 上定义运算():1x y x y ⊗⊗=-，若对任意2x >，不等式()2x a x a -⊗≤+都成立，则实数a 的取值范围是（）A.(],7-∞B.(],3-∞C.[]1,7-D.(][),17,-∞-+∞第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本题共7小题，每小题5分，共35分.）9.已知函数()2log ,03,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是 .10.若函数()()()22f x x x c =-+在2x =处有极值，则函数()f x 的图象在1x =处的切线的斜率为 .11.由曲线()f x x =与x 轴及直线()0x m m =>围成的图形面积为163，则m 的值为 .12.若关于x 的不等式()2121x x a a x R ---≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 .13.定义在R 上的函数()f x 满足：()11f =，且对于任意的x R ∈，都有()12f x '<，则不等式 ()22log 1log 2x f x +>的解集是 .14.已知曲线()()1n f x x n N +*=∈与直线1x =交于点P ，若设曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则201212012220122011log log log x x x +++的值为 .15.函数()f x 的定义域为D ，若存在闭区间[],a b D ⊆，使得函数()f x 满足：（1）()f x 在[],a b 内是单调函数；（2）()f x 在[],a b 上的值域为[]2,2a b ；则称区间[],a b 为()y f x =的“美丽区间”．下列函数中存在“美丽区间”的是（只需填符合题意的函数序号）.①()()20f x x x =≥； ②()()x f x e x R =∈； ③()()10f x x x =>； ④()()2401xf x x x =≥+.三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，2C A =，3cos 4A =. （1）求cosB 、cosC 的值；（2）若272BA BC ⋅=，求边AC 的长.17.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()132f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭.18.已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的图像与y 轴的交点为()0,1，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和()02,2x π+-. （1）求()f x 的解析式及0x 的值；（2）若锐角θ满足1cos 3θ=，求()4f θ的值.19.如图1，O 的直径4AB =，点C 、D 为O 上两点，且45CAB ∠=，60DAB ∠=，F 为弧BC 的中点．沿直径AB 折起，使两个半圆所在平面互相垂直，如图2.（1）求证：//OF 平面ACD ；（2）求二面角C AD B --的余弦值；（3）在弧BD 上是否存在点G ，使得//FG 平面ACD ？若存在，试指出点G 的位置；若不存在，请说明理由.AB C D ⋅O ⋅F G EαβA B CD ⋅O ⋅FG xyzαβ20.某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为803π立方米，且2l r≥．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为()3c c>千元，设该容器的建造费用为y千元．（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的r.21.已知函数()ln f x x =，()2122g x x x =-. （1）设()()()1h x f x g x '=+-（其中()g x '是()g x 的导函数），求()h x 的最大值；（2）求证：当0b a <<时，有()()22b a f a b f a a-+-<；（3）设k Z ∈，当1x >时，不等式()()()134k x xf x g x '-<++恒成立，求k 的最大值.。

河南省普通高中毕业班2024年高考适应性测试数学试题(含解析)

2024年河南省普通高中毕业班高考适应性测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号､姓名､考点学校､考场号及座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{4},{23,Z}M N x x x =<=-<≤∈∣，则M N ⋂=（）A ．{13}xx <≤∣B ．{}13x x ≤≤∣C ．{}2,3D ．{}1,2,32．在复平面内，复数1z 对应的点与复数2i1iz =+对应的点关于实轴对称，则1z =（）A ．11i22-B ．11i22+C ．11i22--D ．11i22-+3．已知lg20.3010,lg30.4771≈≈，则4log 12的值大约为（）A ．1.79B ．1.81C ．1.87D ．1.894．已知一个圆柱和一个圆锥的底面半径和高分别相等，圆柱的轴截面是一个正方形，则这个圆柱的侧面积和圆锥的侧面积的比值是（）A B C D 5．函数()y f x =的图象由函数1π2sin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度得到，若函数()y f x =的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．3π26．已知抛物线22y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，若AOF 的面积是BOF 的面积的两倍，则AB =（）A ．2B ．52C ．94D ．1147．已知ππtan tan 444αα⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan4α的值为（）A ．43-B ．43C ．85D ．28．对于数列{}n a ，定义11233n n n A a a a -=+++ 为数列{}n a 的“加权和”．设数列{}n a 的“加权和”3nn A n =⋅，记数列{}1n a pn ++的前n 项和为n T ，若5≤n T T 对任意的*n ∈N 恒成立，则实数p 的取值范围为（）A ．167,73⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．127,53⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．512,25⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D ．169,74⎡⎤--⎢⎥⎣⎦二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．约翰逊多面体是指除了正多面体､半正多面体（包括13种阿基米德多面体､无穷多种侧棱与底棱相等的正棱柱､无穷多种正反棱柱）以外，所有由正多边形面组成的凸多面体．其中，由正多边形构成的台塔是一种特殊的约翰逊多面体，台塔，又叫帐塔､平顶塔，是指在两个平行的多边形（其中一个的边数是另一个的两倍）之间加入三角形和四边形所组成的多面体．各个面为正多边形的台塔，包括正三､四､五角台塔．如图是所有棱长均为1的正三角台塔，则该台塔（）A ．共有15条棱B ．表面积为3+C D ．外接球的体积为4π310．已知定义在R 上的函数()f x ，满足()()()()222f x y f x y f x f y +-=+，且()11f =-，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．()f x 为偶函数C ．()()2f x f x =D ．2是函数()f x 的一个周期11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅．已知点()2,0F ，直线9:2l x =，动点P 到点F 的距离是点P 到直线l 的距离的23．若某直线上存在这样的点P ，则称该直线为“最远距离直线”．则下列结论中正确的是（）A ．点P 的轨迹方程是22195x y +=B ．直线1:195x yl +=是“最远距离直线”C ．点P 的轨迹与圆22:20C x y x +-=没有交点D ．平面上有一点()1,1A -，则23PA PF +的最小值为332三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆221:4410C x y x y ++--=，圆222:2690C x y x y +--+=，直线l 分别与圆1C 和圆2C 切于,M N 两点，则线段MN 的长度为．13．7122x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数为．14．已知正实数a ，b 满足：1a b +=，则222a ba b a b +++的最大值是.四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．15．已知ABC 中，角,,A B C的对边分别是,,,a b c c =22cos 1C C -=．(1)求角C 的大小；(2)若向量()1,sin m A = 与向量()sin ,2n B =-垂直，求a 的值．16．在如图所示的四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面,ABCD E 为线段PD 上的动点．(1)若//PB 平面AEC ，求PEPD的值；(2)在（1）的条件下，若1,2PA AD AB ===，求平面ABC 与平面AEC 夹角的余弦值．17．已知函数()2e ,R mxf x x mx m =+-∈．(1)求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若对于任意[]1,1x ∈-，都有()e f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围．18．已知12,A A 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右顶点，122A A =，动直线l 与双曲线C 交于,P Q 两点．当//PQ x 轴，且4PQ =时，四边形12PQA A的面积为．(1)求双曲线C 的标准方程．(2)设,P Q 均在双曲线C 的右支上，直线1A P 与2A Q 分别交y 轴于,M N 两点，若2ON OM =，判断直线l 是否过定点．若过，求出该定点的坐标；若不过，请说明理由．19．甲､乙､丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．(1)设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；(2)投掷n 次骰子后()*n ∈N ，记球在乙手中的概率为np，求数列{}n p 的通项公式；(3)设2231n n d p =--，求证：()*122311232n n d d d n nn d d d +-<+++<∈N ．【分析】首先求集合M ，再求M N ⋂.4<，即0116x ≤-<，得117x ≤<，即{}117M x x =≤<，且{}23,Z N x x x =-<≤∈,所以{}1,2,3M N = .故选：D 2．A【分析】根据复数的除法运算求得2i1iz =+对应的点，即可得1z 对应的点的坐标，从而可得答案.【详解】由题意得复数2i i(1i)1i 1i (1i)(1i)2z -+===++-，对应的点为11()22,，则复数1z 对应的点为11()22,-，则111i 22z =-，故选：A 3．A【分析】借助对数运算法则计算即可得.【详解】()22422211lg 30.4771log 12log 232log 2log 311 1.79222lg 220.3010=⨯=⨯+=+≈+≈⨯.故选：A.4．B【分析】设出底面半径，由题意可得高，即可计算圆柱的侧面积和圆锥的侧面积，即可得解.【详解】设这个圆柱和圆锥的底面半径为r ，由圆柱的轴截面是一个正方形，故其高2h r =，则圆柱的侧面积212π24πS r r r =⨯=，圆锥的侧面积22πS r =，则212S S ==故选：B.5．D【分析】首先利用平移规律求函数()f x 的解析式，再根据函数是奇函数的性质，即可求解ϕ【详解】由题意可知，()()1π2sin 24f x x ϕ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦，因为函数()f x 关于原点对称，所以()1π02sin 024f ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，则1ππ24k ϕ+=，Z k ∈,得π2π,Z 2k k ϕ=-+∈，且0ϕ>，所以3π2ϕ=.故选：D 6．C【分析】有AOF 的面积是BOF 的面积的两倍可得122A B x x -=，设出直线方程联立曲线，得到相应韦达定理即可计算出A x 、B x ，即可得解.【详解】令d 为点O 到直线AB 的距离，则12AOF S d AF =⋅ ，12BOF S d BF =⋅ ,由12212AOFBOFd AF AF S S BF d BF ⋅===⋅ ，故2AF BF =，由抛物线定义可知，12A AF x =+，12B BF x =+，则有11222A B x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即122A B x x -=，设直线AB 方程为12x my =+，联立抛物线方程2212y xx my ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，有2210y my --=，2440m ∆=+>，故2A B y y m +=，1A B y y =-，则()2144A BA By y x x ==，则有122B A x x =，故11222A B A A x x x x -=-=，有2210A A x x --=，故1A x =或12A x =-（负值舍去），则1144B A x x ==，故1119112244A B A x x B =+++=++=.故选：C.7．A【分析】首先利用两角和差的正切公式化解，并求得tan 2α，再根据二倍角的正切公式，即可化解求值.【详解】由条件可知，1tan 1tan 41tan 1tan αααα+--=-+，即22tan 21tan αα=-，则tan 22α=，所以22tan 244tan 41tan 2143ααα===---.故选：A 8．B【分析】借助n a 与n S 的关系可计算出数列{}n a 的解析式，即可得()()2226n p n p T n+++=，则分2p =-及2p ≠-两种情况分类讨论，当2p ≠-时，n T 为有特殊定义域的二次函数，结合二次函数的性质可得()2096112222p p p +<⎧⎪+⎨≤-≤⎪+⎩，解出即可得.【详解】当2n ≥时，()1113n n A n --=-⋅，则()()111313213n n n n n A n A n n ----=⋅-⋅⋅-=+，即()113213n n n a n --=+⋅，故21n a n =+，当1n =时，111133A a ===⋅，符合上式，故21n a n =+，则()122n a pn p n ++=++，故()()()22422226n p T p n n p n p n ++⎡⎤++++=+⎣⎦=，因为5≤n T T 对任意的*n ∈N 恒成立，当2p =-时，有210n ≤，即5n ≤，不符合要求，当2p ≠-时，则有()2096112222p p p +<⎧⎪+⎨≤-≤⎪+⎩，解得12753p -≤≤-.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键点在得到()()2226n p n p T n+++=后，可知当2p ≠-时，n T 为有特殊定义域的二次函数，即可结合二次的函数的性质解题.9．ACD【分析】由台塔的结构特征，数棱的条数，计算表面积和高，由外接球半径计算体积.【详解】台塔下底面6条棱，上底面3条棱，6条侧棱，共15条棱，A 选项正确；台塔表面有1个正六边形，3个正方形，4个正三角形，由所有棱长均为1，表面积为11611311411322222S =⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，B 选项错误；上底面正三角形ABC 在下底面正六边形DEFGHI 内的投影为A B C ''' ，则O 点是正六边形DEFGHI 的中心，也是A B C ''' 的中心，A B C ''' 和ODE 都是正三角形，C '是ODE 的中心，由棱长为1，则3EC '=，所以台塔的高3CC '===，C 选项正确；设上底面正三角形ABC 的外接圆圆心为1O ，则半径1r =下底面正六边形DEFGHI 的外接圆圆心为2O ，则半径21r =，设台塔的外接球半径为R ，2OO a =，则有2222133a a ⎛⎫⎛+=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭或2222133a a ⎫⎛+=-+⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得0a =，所以21R r ==，台塔的外接球体积344ππ33V R ==，D 选项正确.故选：ACD 10．ABD【分析】对A ：借助赋值法，令12x y ==，计算即可得；对B ：借助赋值法，令y x =-，结合偶函数定义即可得；对C ：计算出12f ⎛⎫⎪⎝⎭，其与()1f 不满足该关系即可得；对D ：借助赋值法，令12y x =-，结合12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值与周期函数的定义计算即可得.【详解】对A ：令12x y ==，则有()()()()21011f f f f =+，又()11f =-，故有()202f -=-，故()01f =，故A 正确；对B ：令y x =-，则有()()()()20222f f x f x f x =+-，又()01f =，故有()()22f x f x =-，即()()f x f x =-，又其定义域为R ，故()f x 为偶函数，故B 正确；对C ：令12x =，0y =，则有()()1121011022f f f f ⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，又()11f =-，不符合，故C 错误；对D ：令12y x =-，则有()()112222122f x f f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()()2210f x f x +-=，则()()10f x f x +-=，故()()10f x f x ++=，两式作差并整理得()()11f x f x +=-，故2是函数()f x 的一个周期，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，对D 选项，需借助102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再令12y x =-，从而消掉所给式子中的一项，再结合周期函数的定义得解.11．AC【分析】对A ：设出(),P x y ，结合题意计算即可得；对B 、C ：联立两方程，借助∆判断有无交点即可得；对D ：借助题目定义，将PF 转化为点P 到直线l 的距离，从而得到2322PA PF PA PB +=+，计算出PA PB +的最小值即可得.【详解】对于A ，设(),P x y 2932x =-，整理可得22195x y +=，故点P 的轨迹方程是22195x y +=，故A 正确；对于B ，联立直线1l 与点P 的轨迹方程，有22195195x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，可得27451620x x -+=，24547162202545360∆=-⨯⨯=-<，故直线1l 与点P 的轨迹方程没有交点，则直线1:195x yl +=不是“最远距离直线”，故B 错误；对于C ，联立圆C 与点P 的轨迹方程，有222220195x y x x y ⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，可得2418450x x -+=，21844453247200∆=-⨯⨯=-<，故点P 的轨迹与圆22:20C x y x +-=没有交点，故C 正确；对于D ，过点P 作PB ⊥直线9:2l x =于点B ，由题意可得23PF PB =，故()23222PA PF PA PB PA PB +=+=+，则当A 、P 、B 三点共线，即AB ⊥直线9:2l x =时，有()min 911122PA PB +=+=，故23PA PF +的最小值为112112⨯=，故D 错误.故选：AC..【点睛】关键点点睛：本题中D 选项的判断需要注意结合题目所给定义，将PF 转化为点P 到直线l 的距离，从而得到2322PA PF PA PB +=+.12【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解.【详解】圆()()221:229C x y ++-=，圆心()12,2C -，半径13r =，圆()()222:131C x y -+-=，圆心()21,3C ，半径21r =，圆心距12C C3131-<<+，所以两圆相交，则MN =13．560-【分析】首先将12x x+看成一个整体，再结合23x y 的形式，利用二项式定理的通项公式求解.【详解】7122x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的通项公式为()7171C 22r rr r T x y x -+⎛⎫=⋅+⋅- ⎪⎝⎭，当3r =时，()43333171C 22T x y x +⎛⎫=⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭中，含2x 项的系数为13241C 22x x x ⋅⋅=，所以展开式中23x y 的系数为()337C 22560⋅-⋅=-.故答案为：560-14．33.【详解】试题分析：2222222111(1)1a b a a a a b a b a a a a a a -++=+=+++-+--+，由题意得，01a <<，令1(1,2)a t +=∈，∴221131(1)(1)13a t a a t t t t+==-+---++-1t a =⇒=-，2b =33，故填：33+.考点：基本不等式求最值.15．(1)π3C =(2)2【分析】（1）利用二倍角公式化解，再结合三角形内角的范围，即可求解角C 的大小；（2）根据向量垂直的坐标表示，再结合正弦定理边角互化，得到2b a =，再根据条件和（1）的结果，利用余弦定理，即可求解.【详解】（122cos 1C C -=()1cos21C C -+=，即12cos2222C C ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭．所以sin 216πC ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为C 是ABC 的内角，所以π3C =．（2）因为向量()1,sin m A = 与向量()sin ,2n B =- 垂直，所以sin 2sin 0B A -=．由正弦定理可得20b a -=．所以2b a =，由余弦定理可得2222cos ,c a b ab C c =+-=即22112(2)222a a a a =+-⋅⋅⋅．解得2312,2a a ==．所以a 的值为2．16．(1)12PE PD =(2)23【分析】（1）借助线面平行的性质定理可得线线平行，结合中位线的性质即可得；（2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量计算即可得.【详解】（1）如图1，连接BD ，交AC 于点O ，连接EO ．//PB 平面,AEC PB ⊂平面PBD ，平面PBD 平面AEC EO =，//EO PB ∴，又O 为BD 的中点，E ∴为PD 的中点，即12PE PD =，（2）如图2，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．则()()()110,0,0,2,1,0,2,0,0,0,,22A C B E ⎛⎫ ⎪⎝⎭．()112,1,0,0,,22AC AE ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭PA ⊥ 平面ABCD ，∴平面ABC 的一个法向量可为()0,0,1m = ．设平面AEC 的法向量为(),,n x y z =r ，则2011022n AC x y n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令=2y -，得()1,2,2n =-r ，2cos ,3m n m n m n ⋅∴== ，∴平面ABC 与平面AEC 的夹角的余弦值为23．17．(1)1y =(2)[]1,1-【分析】（1）求出导数以及切点坐标，根据导数的几何意义，即可求得答案.（2）将原问题转化为对于任意[]1,1x ∈-，都有()e f x ≤恒成立，即需max ()e f x ≤；从而结合函数的单调性，确定函数的最值在哪里取到，由此列出不等式e 1e e 1e m m m m -⎧+-≤⎨++≤⎩，构造函数()e e 1x h x x =--+，利用导数即可求解.【详解】（1）由于()2e ,R mx f x x mx m =+-∈，故()01f =，切点为()()0,1,e 2mx f x m x m =+'-，()00e 200f m m =+⨯-='，所以切线的斜率为0，()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为1y =．（2）令()()e 2mx g x f x m x m +'==-，则()2e 20mx g x m =+>'，所以()g x 为R 上单调递增函数，因为()()000g f '==，所以[)1,0x ∈-时，()(]0;0,1f x x <∈'时，()0f x ¢>，所以()f x 在[)1,0-单调递减，在(]0,1单调递增．若对于任意[]1,1x ∈-，都有()e f x ≤恒成立，即只需max ()e f x ≤．因为()f x 在[)1,0-单调递减，在(]0,1单调递增，所以()f x 的最大值为()1f -和()1f 中最大的一个，所以()()1e e 1e ,1e e 1e m m f m f m -⎧≤⎧+-≤⎪∴⎨⎨-≤++≤⎪⎩⎩，设()()e e 1,e 1x x h x x h x =+'--=-，当0x <时，()0h x '<，当0x >时，()0h x '>，所以()h x 在(),0∞-单调递减，在()0,∞+单调递增．()()110,12e 0eh h =-=+-<，故当[]1,1x ∈-时，()0h x ≤．当[]1,1m ∈-时，()()0,0h m h m ≤-≤，则e 1e e 1e m m m m -⎧+-≤⎨++≤⎩成立．当1m >时，由()h x 的单调性，得()0h m >，即e 1e m m -+>，不符合题意．当1m <-时，()e e 1(1)0m h m m h --=+-+>=，即e 1e m m -++>，也不符合题意．综上，m 的取值范围为[]1,1-.【点睛】关键点睛：本题考查了导数几何意义的应用以及利用导数解决恒成立问题，解答的关键是将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题.18．(1)2212y x -=(2)直线PQ 恒过定点()3,0【分析】（1）首先求点(),P P P x y 的坐标，根据坐标表示梯形的面积，即可求解双曲线方程；（2）首先根据条件设()()()0,,0,20M t N t t ≠，并利用方程联立求点,P Q 的坐标，并求直线PQ 的方程，化简后即可求定点坐标.【详解】（1）由122A A =知，()()121,0,1,0,1A A a -=．当//PQ x 轴时，根据双曲线的对称性，不妨设点(),P P P x y 在第一象限，则由4PQ =，可得2P x =．代入双曲线C 的方程，得p y ==．因为四边形12PQA A 的面积为，所以122422P PQ A A y ++⨯==解得b =所以双曲线C 的标准方程为2212y x -=．（2）因为2ON OM = ，所以可设()()()0,,0,20M t N t t ≠．直线1A P 的方程为()1y t x =+，直线2A Q 的方程为()21y t x =--．又双曲线C 的渐近线方程为y =，显然直线1A P 与双曲线C 的两支各交于一点，直线2A Q 与双曲线C 的右支交于两点，则有2t t ⎧⎪⎨⎪⎩t <<由()22112y t x y x ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩消去y ，得()()22222220t x t x t -+++=．设点(),P P P x y ，则()22212P t x t +⋅-=-．解得2222P t x t +=--．所以22224122P t t y t t t ⎛⎫+=-+=- ⎪--⎝⎭．由()222112y t x y x ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩消去y ，得()()2222214210t x t x t --++=．设点(),Q Q Q x y ，则2221121Q t x t +⋅=-．解得222121Q t x t +=-．所以222214212121Q t t y t t t ⎛⎫+=--=- ⎪--⎝⎭．当直线PQ 不垂直于x 轴时，21P QPQ P Q y y t k x x t -==--．所以直线PQ 的方程为222242212t t t y x t t t ⎛⎫++=+ ⎪---⎝⎭．所以222242212t t t y x t t t ⎛⎫-+=++ ⎪---⎝⎭，也即()231t y x t =--．显然直线PQ 恒过定点()3,0．当直线PQ 垂直于x 轴时，由P Q x x =，得21t =．此时3P Q x x ==．直线PQ 的方程为3x =，恒过定点()3,0．综上可知，直线PQ 恒过定点()3,0．【点睛】思路点睛：一般求直线过定点问题，需求出直线方程，转化为含参直线过定点问题.19．(1)分布列见解析；期望为118(2)111332n n p ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭(3)证明见解析【分析】（1）根据传球游戏的规则，可得0,1,2,3X =，再根据独立事件概率公式，求解概率，再结合分布列公式，即可求数学期望；（2）首先题意，可得关于数列{}n p 的递推公式，()1112n n p p +=-，再通过构造求数列的通项公式；（3）首先根据（2）的结果，求1n n d d +，并利用放缩法证明不等式.【详解】（1）由题意知，0,1,2,3X =．()12110,2326P X ==⨯⨯=()11211112151,22323223212P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=()3111111172,223222324P X ⎛⎫==+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭()3113.28P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以随机变量X 的分布列为X0123P 1651272418随机变量X 的数学期望为()15711101236122488E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）由于投掷n 次骰子后球不在乙手中的概率为1n p -，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有3162=的概率传给乙，故有()1112n n p p +=-．变形为1111323n n p p +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．又112p =，所以数列13n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为11136p -=，公比为12-的等比数列．所以11111136232n n n p -⎛⎫⎛⎫-=⨯-=-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以数列{}n p 的通项公式111332n n p ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭．（3）由（2）可得1222231n n n d p +=-=--，则12112221211122212222n n n n n n n n d d ++++---===<--⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以122312n n d d d n d d d ++++< ．又因为()()*11121111111121223222232221n n n n n n n n d n d +++-==-=-≥-⋅∈-⋅+--N ，所以122231111111112322223223n n n n d d d n n n d d d +⎛⎫⎛⎫+++≥-+++=-->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．综上，()*122311232n n d d d n n n d d d +-<+++<∈N ．【点睛】关键点点睛：本题的关键是找到关于数列{}n p 的递推公式，从而可以利用数列的知识解决问题，第三问的关键是对通项合理的放缩，从而可以求和，证明不等式.。

【解析版】河南省普通高中2014届高三高考适应性模拟练习数学(理)试题

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.函数()lg(31)f x x =++ 的定义域是（）A ．（- 13,1）B ．（- 13,+∞）C ．（- 13 , 13）D ．(-∞,- 13)2. ） A ．-1+i B ．-1-i C ．1+i D ．1-i3.抛物线24y x =的焦点到准线的距离是（） A ．2 B ．4C ．18 D ．14【答案】C 【解析】试题分析：由抛物线的方程24y x =可化为214x y =，知18p =，所以焦点到准线的距离为1228p p d p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，故正确答案为C. 考点：抛物线的方程、焦点、准线.4.一个几何体的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个几何体的体积为（） A.12 3B.36 3C.27 3D.6【答案】B5.22)nx +展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是（） A. 180 B. 90 C. 45D.360 【答案】A 【解析】试题分析：因为22nx ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项二项式系数最大，所以10n =，则由10510211010222rrrrr rr T C C x x --+⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭，令10502r -=，解得2r =，所以展开式中的常数项是22102180C ⋅=，故正确答案选A.考点：二项式理及展开式通项公式.6.设有算法如图所示：如果输入A=144，B=39，则输出的结果是（）A ．144B ．3C ．0D ．12【答案】B7.已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 的一个可能的值是（） A. 52B. 12C. 2D. 328.已知直线l 和双曲线22194x y -=相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M.设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OM 的斜率为k 2,则k 1k 2=（）A. 23B. -23C. -49D. 499.已知命题p:∃,ln 20x R x x ∈+-=,命题q:∀2,2xx R x ∈≥,则下列命题中为真命题的是（） A ．p ∧qB ．⌝p ∧qC ．p ∧⌝qD ．⌝p ∧⌝q10.对于下列命题：①在∆ABC 中，若cos2A=cos2B, 则∆ABC 为等腰三角形； ②∆ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ,若2,5,6a b A π===，则∆ABC 有两组解；③设201420142014sin,cos ,tan ,333a b c πππ=== 则;a b c << ④将函数2sin(3)6y x π=+的图象向左平移π6个单位，得到函数y =2cos(3x +π6)的图象.其中正确命题的个数是（） A.0 B.1 C.2D.311.四面体ABCD 中，已知AB=CD=29，AC=BD=34，AD=BC=37，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（） A ．25πB ．45πC ．50πD ．100π12.设3,0,()(1),0.x xf xf x x-⎧≤=⎨->⎩若()f x x a=+有且仅有三个解，则实数a的取值范围是A. [1,2]B.(-∞,2)C.[1,+∞)D.(-∞,1)【答案】B第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.20(sin) x x dxπ+=⎰.【答案】21 8π+【解析】试题分析：()()222211sin cos cos 0cos 0122228x x dx x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-=---=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰,所以正确答案为218π+.考点：微积分基本定理.14.已知实数,x y 满足2268230(3)x y x y x +--+<> ，则z x y =-的取值范围是15.已知P 为三角形ABC 内部任一点（不包括边界），且满足(→PB -→P A )·(→PB +→P A -2→PC )=0，则∆ABC 的形状一定为___________.16.已知对于任意的自然数n, 抛物线22()(21)1y n n x n x =+-++与x 轴相交于A n ,B n 两点，则|A 1B 1|+|A 2B 2|+|A 3B 3|…+|A 2014B 2014|=。

河南省南阳等六地市2014届高三第二次联考理综试题及答案

2014年河南省六市高三第二次联考高三理科综合能力测试（三科全）有答案生物试题本试题卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第1卷1至6页，第Ⅱ卷7至16页，共300分。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写(涂）在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．第1卷每小题选出答案后．用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题上作答，答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

可能用到的相对原子质量：H -1 C- 12 N- 14 0- 16 Fe -56 S-32 CI - 35.5 Cu -64 Mn -55 Zn -65 Br - 80一、选择题：本题共13，J、题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

的和产生1．当呼吸底物不是糖或氧气不充足时，呼吸作用消耗O的CO2的体积并不相等。

设置两套如右图所示实验装置（甲、乙），测定单位质量小麦种子呼吸时CO2释放量与O2消耗量的比值，下列构思可以达到实验目的的是A．甲装置烧杯中盛清水，在光照下测定O2释放量；乙装置烧杯中盛清水，在黑暗下测定CO2释放量B．甲装置烧杯中盛清水，测定CO2释放量；乙装置烧杯中换成CO2吸收剂测定O2消耗量C．甲装置烧杯中盛清水，测定气体体积变化量；乙装置烧杯中换成CO2吸收剂，测定O2消耗量D．甲装置烧杯中盛放CO2缓冲剂（可吸收和放出CO2），测定氧气消耗量；乙装置中放人死亡种子作对照2．德国科学家Mellor的学生用蛙的坐骨神经——腓肠肌标本做了一个非常简单的实验（如下图)，从而测量出坐骨神经冲动的传导速度。

下列说法正确的是A．坐骨神经——腓肠肌的连接相当于一种突触，则突触前膜是轴突膜，突触后膜为树突膜B．甲图刺激1至肌肉发生收缩，测得所需时间为3×10 3-s，刺激2至肌肉发生收缩，测得所需时间为2×103-s，刺激点离肌肉中心距离分别为13cm和10cm，则坐骨神经冲动的传导速度是30 cm/s。

备战2014年高考数学全国统考区精选理科试题(详解)分类汇编13：简易逻辑

备战2014年高考之2013届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选理科试题（大部分详解）分类汇编13：简易逻辑一、选择题1 ．（云南省玉溪一中2013届高三第四次月考理科数学）已知:p “,,a b c 成等比数列”，:q “acb =”，那么p 成立是q 成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又非必要条件【答案】D 【解析】,,a b c 成等比数列,则有2b ac =，所以b =p 成立是q 成立不充分条件.当==0a b c =时，有ac b =成立，但此时,,a b c 不成等比数列，所以p 成立是q 成立既不充分又非必要条件，选D ．2 ．（贵州省遵义四中2013届高三第四月考理科数学）下列命题：①在ABC ∆中，若B A >，则B A sin sin >；②已知)1,2(),4,3(--==CD AB ，则AB 在CD 上的投影为2-；③已知1cos ,:=∈∃x R x p ，01,:2>+-∈∀x x R x q ，则“q p ⌝∧”为假命题；④已知函数2)6sin()(-π+ω=x x f )0(>ω的导函数的最大值为3，则函数)(x f 的图象关于3π=x 对称．其中真命题的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】①根据正弦定理可知在三角形中。

若B A >，则a b >，所以B A sin sin >，正确。

AB 在CD 上的投影为cos ,AB AB CD <> 10AB CD =-，所以cos ,AB CD AB AB CD CD<>===-p 为真，q 为真，所以q p ⌝∧为假命题，所以正确。

④中函数的导数为'()cos()6f x x πωω=+，最大值为3ω=，所以函数()sin(3)26f x x π=+-。

所以3()sin(3)2sin()233662f πππππ=⨯+-=+-=-不是最值，所以错误，所以真命题有2个选 B ．3 ．（贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理科数学试题）给出下列四个命题：①命题“若4πα=，则1tan =α”的逆否命题为假命题；②命题1sin ,:≤∈∀x R x p ．则R x p ∈∃⌝0:，使1sin 0>x ；③“()2k k Z πϕπ=+∈”是“函数)2sin(ϕ+=x y 为偶函数”的充要条件；④命题:p “R x ∈∃0，使23cos sin 00=+x x ”；命题:q “若sin sin αβ>，则αβ>”，那么q p ∧⌝)(为真命题．其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】①中的原命题为真，所以逆否命题也为真，所以①错误.②根据全称命题的否定式特称命题知，②为真.③当函数为偶函数时，有2k πϕπ=+，所以为充要条件，所以③正确.④因为sin cos )4x x x π+=+32<，所以命题p 为假命题，p ⌝为真，三角函数在定义域上不单调，所以q 为假命题，所以q p ∧⌝)(为假命题，所以④错误.所以正确的个数为2个，选B ．4 ．（云南省部分名校（玉溪一中、昆明三中、楚雄一中）2013届高三下学期第二次统考数学（理）试题）给出两个命题p :x x =的充要条件是x 为正实数;q :命题“0x R ∃∈,2000x x ->”的否定是“x R ∀∈,20x x -≤”.则下列命题是假命题的是（）A ．p 且qB ．p 或qC ．p ⌝且qD ．p ⌝或q【答案】A ．5 ．（【解析】贵州省四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知x 为实数，条件p ：x x <2，条件q ：x12>，则p 是q的（）A ．充要条件B ．必要不充分条C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由x x <2得01x <<。

2014年高考杭州二中数学模拟试卷(含答案)

绝密★考试结束前2014年普通高等学校招生适应性考试数学（理科）姓名准考证号本试题卷分选择题和非选择题两部分。

全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。

满分150分，考试时间120分钟。

请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分 (共50分)注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式：球的表面积公式柱体的体积公式 S =4πR 2 V =Sh球的体积公式其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =34πR 3 台体的体积公式其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， V =31Sh h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高如果事件A ，B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．（5分）设复数，其中a 为实数，若z 的实部为2，则z 的虚部为（）2．（5分）命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（），，α≠5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数4．（5分）设a=（3x2﹣2x）dx，则（ax2﹣）6的展开式中的第4项为（）B={y|框图中输出的y值}；当x=﹣1时，（∁uA）∩B=（）6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，B7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）8．（5分）某工厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．若生产该产品900千克，则该工厂获得最大利润时的9．（5分）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，B10．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若关于x的方程（a ．．．D．二、填空题（本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分）（一）必考题（11-14题）11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为_________．12．（5分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为_________（结果用数值表示）．13．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=_________．14．（5分）在圆中有如下结论：“如图1，AB是圆O的直径，直线AC，BD是圆O过A、B的切线，P是圆O上任意一点，CD是过P的切线，则有PC•PD=PO2”．类比到椭圆：“如图2，AB是椭圆的长轴（其中O为椭圆的中心，F1、F2为椭圆的两个焦点），直线AC，BD是椭圆过A、B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有PC•PD=_________．选考题（在第15、16两题中任选一题作答）选修4-1：几何证明选讲15．（5分）如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF 的长为_________．选修4-4：坐标系与参数方程16．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=_________．三、解答题（本大题共6小题，共75分）17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．18．（12分）已知数列{a n}是正项数列，{b n}是等差数列，b n，，b n+2成等比数列，且a1=3，a3=15．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，证明S n＜．19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，点A1在底面ABC 的投影是线段BC的中点O．（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的正弦值．20．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为x的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．21．（13分）在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．22．（14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=k•．（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，函数f（x）＞g（x）恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）设正实数a1，a2，a3，…，a n满足a1+a2+a3+…+a n=1，求证：ln（1+）+ln（1+）+…+ln （1+）＞．详细解答一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设复数，其中a为实数，若z的实部为2，则z的虚部为（）求解虚部．Z=Z===的虚部为=2．（5分）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（），，α≠α≠3．（5分）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数4．（5分）设a=（3x2﹣2x）dx，则（ax2﹣）6的展开式中的第4项为（）=4﹣的通项为﹣=5．（5分）已知全集U=Z，Z为整数集，如图程序框图所示，集合A={x|框图中输出的x值}，B={y|框图中输出的y值}；当x=﹣1时，（∁uA）∩B=（）6．（5分）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA=b，BsinAsinBcosC+sinCsinBcosA==sinB=B=7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）=8．（5分）某工厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100（5x+1﹣）元．若生产该产品900千克，则该工厂获得最大利润时的﹣）﹣））+5﹣9．（5分）设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，B，即，＞同样地，当，即所以双曲线的离心率的范围是10．（5分）已知x∈R，符号[x]表示不超过x的最大整数，若关于x的方程（a为常数）有且仅有3个不等的实根，则a的取值范围是（）．．．D．的方程等价于有且仅有的方程=0故＜，且，则≥＜，且=＜＜，有，若综上所述，＜或≤．二、填空题（本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分）（一）必考题（11-14题）11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为．，解得，，故答案为：12．（5分）从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的概率为（结果用数值表示）．人中只有男同学或只有女同学的概率为：，﹣．故答案为：．13．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=18．代入向量的数量积=||||cos∴|OAP=2|OAP=2||=6由向量的数量积的定义可知，=||||cos14．（5分在圆中有如下结论：“如图1，AB是圆O的直径，直线AC，BD是圆O过A、B 的切线，P是圆O上任意一点，CD是过P的切线，则有PC•PD=PO2”．类比到椭圆：“如图2，AB是椭圆的长轴（其中O为椭圆的中心，F1、F2为椭圆的两个焦点），直线AC，BD 是椭圆过A、B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有PC•PD=PF1•PF2．选考题（在第15、16两题中任选一题作答）选修4-1：几何证明选讲15．（5分如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A做圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5，则线段CF的长为．故答案为：．选修4-4：坐标系与参数方程16在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=16．化成直角坐标方程，再代入曲线三、解答题（本大题共6小题，共75分）17．（12分）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cos（x﹣），g（x）=2sin2．（Ⅰ）若α是第一象限角，且f（α）=，求g（α）的值；（Ⅱ）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．2=1），解不等式x+，sinx﹣cosx+sinx==）=2．sinxsinx+x+≥+x+，+18．（12分）已知数列{a n}是正项数列，{b n}是等差数列，b n，，b n+2成等比数列，且a1=3，a3=15．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为S n，证明S n＜．，并将其裂成，求出前，∴19．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=，BC=4，点A1在底面ABC 的投影是线段BC的中点O．（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的正弦值．=1．得坐标是的法向量是得∴夹角的正弦值为20．（12分）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品．以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为x的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x∈[100，110））则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110）的频率，求T的数学期望．．21．（13分）在直角坐标系xoy中，曲线C1上的点均在C2：（x﹣5）2+y2=9外，且对C1上任意一点M，M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．（Ⅰ）求曲线C1的方程（Ⅱ）设P（x0，y0）（y0≠±3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别于曲线C1相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=﹣4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．且圆利用直线与圆相切可得；同理可得，由此可得且圆∴∴，整理得∴由∴同理可得⑤==22．（14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=k•．（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，函数f（x）＞g（x）恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）设正实数a1，a2，a3，…，a n满足a1+a2+a3+…+a n=1，求证：ln（1+）+ln（1+）+…+ln （1+）＞．（，对于分子）恒成立，令（，的两正根为）在单调递减，时，单调递增区间为．）在）在在（∴∴∴。

备战2014年高考数学全国统考区精选理科试题(详解)分类汇编9：圆锥曲线

备战2014年高考之2013届全国统考区（甘肃、贵州、云南）精选理科试题（大部分详解）分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（贵州省六校联盟2013届高三第一次联考理科数学试题）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当6021=∠PF F 时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（）A ．3B ．2C ．332 D ．2 【答案】A 【解析】设椭圆的半长轴为1a ，椭圆的离心率为1e ，则1111,c ce a a e ==.双曲线的实半轴为a ，双曲线的离心率为e ，,c ce a a e==.12,,(0)PF x PF y x y ==>>，则由余弦定理得2222242cos 60c x y xy x y xy =+-=+- ，当点P 看做是椭圆上的点时,有22214()343c x y xy a xy =+-=-，当点P 看做是双曲线上的点时,有2224()4c x y xy a xy =-+=+，两式联立消去xy 得222143c a a =+，即22214()3()c cc e e =+，所以22111()3()4e e +=，又因为11e e =，所以22134e e +=，整理得42430e e -+=，解得23e =，所以e ，选A.2 ．（甘肃省河西五市部分普通高中2013届高三第二次联合考试数学（理）试题）若P 点是以A （-3，0）、B （3，0）为焦点，实轴长为52的双曲线与圆922=+yx 的一个交点，则PB PA +=（）A ．134 B.142 C. 132 D. 143【答案】C3 ．（【解析】云南省玉溪一中2013届高三上学期期中考试理科数学）已知抛物线方程为24yx =，直线l 的方程为40x y -+=，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到直线l 的距离为2d ，则22d d +的最小值 ( )A2+ B1 C2- D1 【答案】D 【解析】因为抛物线的方程为24y x =，所以焦点坐标(1,0)F ,准线方程为1x =-。

河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题

一、单选题1. 已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A ．（2，3）B ．（2，3]C ．[2，3）D ．[2，3]2.抛物线：的准线与轴交于点，焦点为，点是抛物线上的任意一点，令，当取得最大值时，直线的斜率是A．B．C．D．3. 若从无穷数列中任取若干项（其中）都依次为数列中的连续项，则称是的“衍生数列".给出以下两个命题:（1）数列是某个数列的“衍生数列”；（2）若各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则从某一项起为常数列.下列判断正确的是（）.A ．（1）（2）均为真命题B ．（1）（2）均为假命题C ．（1）为真命题，（2）为假命题D ．（1）为假命题，（2）为真命题4.若，则（）A．B．C．D．5. 已知随机变量服从正态分布, 且,则A．B．C．D．6. 设集合，，则A．B．C．D．7. 某地为方便群众接种新冠疫苗，开设了，，，四个接种点，每位接种者可去任一个接种点接种．若甲，乙两人去接种新冠疫苗，则两人不在同一接种点接种疫苗的概率为（）A．B．C．D．8.已知双曲线的左､右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为A ，若，则此双曲线的渐近线为（）A．B．C．D．9.已知，则（）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >a >b10. 已知函数，则的一个单调递减区间是( )A．B．C．D．11. 已知i 是虚数单位,若复数z满足,则=A ．-2iB ．2iC ．-2D ．212. 已知，，c =40.1，则（）A．B．C．D．河南省部分学校2023届高三高考仿真适应性测试理科数学试题二、多选题13. 已知某种垃圾的分解率为，与时间（月）满足函数关系式（其中，为非零常数），若经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，经过24个月，这种垃圾的分解率为20%，那么这种垃圾完全分解，至少需要经过（）（参考数据：）A ．48个月B ．52个月C ．64个月D ．120个月14.已知函数，则下列结论正确的是（）A ．是偶函数，递增区间是B．是偶函数，递减区间是C ．是奇函数，递减区间是D ．是奇函数，递增区间是15. 已知直线经过点，那么直线的斜率是（）A．B．C ．1D ．216. 若a 、b 为实数，则“0＜ab ＜1”是“a ＜”或“b＞”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件17. 若随机变量Ｘ服从两点分布，且，则（）A．B．C．D．18.如图所示，在长方体中，是的中点，直线交平面于点，则（）A ．三点共线B ．的长度为1C ．直线与平面所成角的正切值为D ．的面积为19. 已知异面直线与直线所成角为，过定点的直线与直线、所成角均为，且平面与平面的夹角为，直线与平面所成角均为，则对于直线的条数分析正确的是（）A ．当时，直线不存在B．当时，直线有3条C ．当时，直线有4条D ．当时，直线有4条20. 对于函数，下列说法正确的是（）A ．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D ．若在上恒成立，则三、填空题四、解答题21.设复数的共轭复数为，则下列结论正确的有（）A．B．C．D．22.已知正四面体的棱长为2，M ，N 分别为和的重心，为线段上一点，则下列结论正确的是（）A．若取得最小值，则B．若，则平面C ．若平面，则三棱锥外接球的表面积为D ．直线到平面的距离为23. 下列说法中的是（）A．B ．若且，则C ．若非零向量且，则D ．若，则有且只有一个实数，使得正确24.设等差数列的前项和为，公差为，，，，下列结论正确的是（）A．B．当时，的最大值为C．数列为等差数列，且和数列的首项、公差均相同D ．数列前项和为，最大25. 已知函数对任意的满足，且当时，，若有4个零点，则实数a 的取值范围是______．26.已知三棱锥的所有棱长都相等，点O 是的中心，点D 为棱PC 上一点，平面ABD 把三棱锥分成体积相等的两部分，平面ABD 与PO 交于点E ，若点P ，A ，B ，C都在球的表面上，点E ，A ，B ，C 都在球的表面上，则球与球表面积的比值为______．27. 在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的取值范围为______．28. 的展开式的各项二项式系数之和为32，各项系数和为1，则展开式中的系数为_________.29. 设点在单位圆的内接正六边形的边上，则的取值范围是__________.30.设函数是定义域为的奇函数，且，则____________．31. 点M （2，-2）到直线的距离为______.32. 函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，对，均有，则______.33. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A 作直线的垂线，交于两点，求五、解答题面积的最小值.34. 已知数列是公比为2的等比数列，数列是等差数列，．(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和．35. 在△ABC 中，已知角A 为锐角，且.（1）将化简成的形式；（2）若，求边AC 的长.36. 已知椭圆C ：（）的离心率为，左顶点A 到右焦点的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A ），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.37. 已知，求下列各式的值(1)；(2)38.在中，，，．(1)求A 的大小；(2)求外接圆的半径与内切圆的半径．39. 如图所示，在三棱锥A -BCD 中，E ，F 分别是AD ，BC 的中点，且.（1）在∠BDC 的角平分线上，是否存在一点O ，使得AO ∥平面EFC ？若存在，请作出证明；若不存在，请说明理由；（2）若平面BCD ⊥平面ADC ，BD ⊥DC ，，求二面角F -EC -D 的正切值.40.如图，在正方体中，E 是棱上的点（点E 与点C ，不重合）．(1)在图中作出平面与平面ABCD 的交线，并说明理由；(2)若正方体的棱长为1，平面与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值为，求线段CE 的长．41. 开学初学校进行了一次摸底考试，物理老师为了了解自己所教的班级参加本次考试的物理成绩的情况，从参考的本班同学中随机抽取名学生的物理成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的学生中成绩在内的有3人．（1）求的值，并估计本班参考学生的平均成绩；（2）已知抽取的名参考学生中，在的人中，女生有甲、乙两人，现从的人中随机抽取2人参加物理竞赛，求女学生甲被抽到的概率．42. 如图，已知平行六面体的底面是菱形，，，且.(1)试在平面内过点作直线，使得直线平面，说明作图方法，并证明：直线；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.43. 如图，在四棱锥中，平面，底面满足，且，，三角形的面积为(1)画出平面和平面的交线，并说明理由(2)求点到平面的距离44. 今年春节期间，在为期5天的某民俗庙会上，某摊点销售一种儿童玩具的情况如下表：日期天气2月13日2月14日2月15日2月16日2月17日小雨小雨阴阴转多云多云转阴销售量上午4247586063下午5556626567由表可知：两个雨天的平均销售量为100件/天，三个非雨天的平均销售量为125件/天.（1）以十位数字为茎，个位数字为叶，画出表中10个销售数据的茎叶图，并求出这组数据的中位数；六、解答题（2）假如明天庙会5天中每天下雨的概率为，且每天下雨与否相互独立，其他条件不变，试估计庙会期间同一类型摊点能够售出的同种儿童玩具的件数；（3）已知摊位租金为1000元/个，该种玩具进货价为9元/件，售价为13元/件，未售出玩具可按进货价退回厂家，若所获利润大于1200元的概率超过0.6，则称为“值得投资”，那么在（2）的条件下，你认为“值得投资”吗?45.如图，正四棱柱中，，点在上且．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．46.如图，正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，在侧棱上，且.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.47.如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点．(1)求证：平面；(2)若，，求三棱锥的体积．48. 已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）当时，求证：．49. 已知四边形ABCD 为平行四边形，E 为CD 的中点，AB =4，为等边三角形，将三角形ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置，且平七、解答题面平面ABCE.(1)求证：；(2)试判断在线段PB 上是否存在点F ，使得平面AEF 与平面AEP 的夹角为45°.若存在，试确定点F 的位置；若不存在，请说明理由.50.已知数列的前n项和为，且，，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求证：.51. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将个样本数据按、、、、、分成组，并整理得到如下频率分布直方图.(1)请通过频率分布直方图估计这份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.(2)以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于分，则被认定为成绩合格，低于分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取人，用表示成绩合格的人数，求的分布列及数学期望.52. 中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验．房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示．材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数W 来刻画梁的承重能力．对于两个截面积相同的梁，称W 较大的梁的截面形状更好．三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，圆形截面正方形截面矩形截面条件r 为圆半径a 为正方形边长h 为矩形的长，b 为矩形的宽，抗弯截面系数(1)假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；(2)宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点．考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数D，如下图所示，请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理．53. 某校举办歌唱比赛，七名评委对甲、乙两名选手打分如下表所示：评委选手甲91949692939795选手乙929590969491(1)若甲和乙所得的平均分相等，求的值；(2)在（1）的条件下，从七名评委中任选一人，求该评委对甲的打分高于对乙的打分的概率；(3)若甲和乙所得分数的方差相等，写出一个的值（直接写出结果，不必说明理由）．54. 某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.55. 随着生活节奏的加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量（单位：辆）与全国居民人均可支配收入（单位：万元）绘制的散点图.(1)由图可知，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）(2)已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.参考数据：2.8232.560.46 5.27，，.参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.56. 甲乙二人均为射击队S中的射击选手，某次训练中，二人进行了100次“对抗赛”，每次“对抗赛”中，二人各自射击一次，并记录二人射击的环数，更接近10环者获胜，环数相同则记为“平局”．已知100次对抗的成绩的频率分布如下：“对抗赛”成绩（甲：乙）总计频数21136251510424100八、解答题这100次“对抗赛”中甲乙二人各自击中各环数的频率可以视为相应的概率．(1)设甲，乙两位选手各自射击一次，得到的环数分别为随机变量X ，Y，求，，，．(2)若某位选手在一次射击中命中9环或10环，则称这次射击成绩优秀，以这100次对抗赛的成绩为观测数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为甲的射击成绩优秀与乙的射击成绩优秀有关联？(3)在某次团队赛中，射击队S 只要在最后两次射击中获得至少19环即可夺得此次比赛的冠军，现有以下三种方案：方案一：由选手甲射击2次﹔方案二：由选手甲、乙各射击1次；方案三：由选手乙射击2次．则哪种方案最有利于射击队S 夺冠？请说明理由．附：参考公式：参考数据：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82857. 已知椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，短轴长为．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l 与椭圆C 相切于点A ，A 关于原点O 的对称点为点B ，过点B 作，垂足为M ，求面积的最大值．58.在中，已知.(1) 求的值；(2)若，求的面积.59.在中，内角的对边分别为，已知.(1)求角A 的大小；(2)若的面积为，且，求的周长.60. 已知函数．(1)讨论函数的单调性；(2)设函数有两个极值点，证明：．61. 年是决胜全面建成小康社会、决战脱贫攻坚之年，面对新冠肺炎疫情和严重洪涝灾害的考验.党中央坚定如期完成脱贫攻坚目标决心不动摇，全党全社会戮力同心真抓实干，取得了积极成效．某贫困县为了响应国家精准扶贫的号召，特地承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示:土地使用面积（单位：亩）管理时间（单位：月）并调查了某村名村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示;愿意参与管理不愿意参与管理男性村民女性村民（1）做出散点图，判断土地使用面积与管理时间是否线性相关;并根据相关系数说明相关关系的强弱．(若，认为两个变量有很强的线性相关性，值精确到) .参考公式：参考数据：（2）完成以下列联表，并判断是否有的把握认为该村的村民的性别与参与管理意愿有关.愿意参与管理不愿意参与管理合计男性村民女性村民62. 《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体中，平面，，是棱的中点．(I)证明：．并判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由．(Ⅱ)若四面体是鳖臑，且，求二面角的余弦值．。

2024年数学新高考改革适应性练习2(九省联考题型)及答案

2024年新高考改革适应性练习2（九省联考题型）数学试题卷考生须知1. 本卷共5页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；2. 答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3. 考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 某旅行社为迎节日搞活动旅游，经市场调查，某旅游线路销量YY（人）与旅游价格XX（元/人）负相关，则其回归直线方程可能是A．YY=−80XX+1600B．YY=80XX+1600C．YY=−80XX−1600D．YY=80XX−16002. 已知复数列{zz nn}满足zz nn=i nn（i 为虚数单位），则{zz nn}的前10项和是A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i3. “”是“该棱柱为直棱柱”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4. 斐波那契数列指的是这样一个数列{FF nn}：FF1=FF2=1 ，FF nn=FF nn−1+FF nn−2(nn≥3)，记FF nn除以4的余数为GG nn，则GG2024=A．0 B．1 C．2 D．35. 曼哈顿距离（Manhattan Distance）是由十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，是种使用在几何度量空间的几何学用语，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和．同一平面上的两点AA(xx1,yy1)，BB(xx2,yy2)，其“曼哈顿距离”dd AAAA=|xx1−xx2|+|yy1−yy2|则所有与点(1,2)的“曼哈顿距离”等于2的点构成的图形的周长为A．8 B．8√2C．4 D．4√26. 已知以OO为中心的椭圆ΩΩ，其一个长轴顶点为MM，NN是ΩΩ的一个靠近MM的焦点，点PP在ΩΩ上，设ωω1是以PPNN为直径的圆，ωω2是以OOMM为半径的圆，则ωω1与ωω2的位置关系为A．相切B．相交C．相离D．无法确定7. 将函数ff(xx)=�xxee xx,xx≤0ln xx−xx+1,xx>0向下平移mm(mm∈RR)个单位长度得到gg(xx)．若gg(xx)有两个零点xx1,xx2(xx1<xx2)，则xx1+xx2的值不可能是A．1B．ee2−1ee C．ee−1ee+1D．ee−1ee−18. 过正四面体AABBAAAA的顶点AA作截面，若满足：①截面是等腰三角形：②截面与底面BBAAAA成 75°的二面角．这样的截面个数为A．6 B．12 C．18 D．24二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9. 在正六边形AABBAAAAAAFF中，��⃗−AAAA��⃗=BBFF��⃗B．AAAA��⃗+AAAA��⃗=3AAAA��⃗A．AAAA��⃗·AABB��⃗=�AABB��⃗�2D．AAAA��⃗在AAAA��⃗上的投影向量为AAAA��⃗C．AAAA10. 已知直线AAAA与BBAA经过坐标原点OO，且AAAA⊥BBAA，AA,BB,AA,AA均在圆PP:xx2−6xx+yy2−8yy−9=0上，则以下说法正确的有A．圆心PP到直线AAAA的距离的最小值为5B．弦AABB,BBAA,AAAA,AAAA的中点满足四点共圆C．四边形AABBAAAA的面积的取值范围是�6√34,43�D．6|OOAA|+3|OOAA|≥2√2|OOAA|·|OOAA|11. 对正整数NN，若其不能被任意一个完全平方数整除，则称其为“无平方因子数”，并记其的素因子个数为dd nn．由所有“无平方因子数”构成的集合记作SS．则数论函数“缪比乌斯函数”定义如下μμ(nn)=�1 ,nn=1(−1)dd nn ,nn∈SS0 ,nn∉SS则下列运算正确的有A．μμ(1)+μμ(2)=0B．μμ(1)+μμ(2)+μμ(4)=1C．μμ(1)+μμ(2)+μμ(4)+μμ(8)=0D．μμ(1)+μμ(2)+⋯+μμ(2nn)=1 (nn≥4)三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）��⃗·AAAA��⃗的值是_________．12. 已知钝角△AABBAA的面积为3，AABB=4 ，AAAA=1 ，则AABB13. 若函数ff(xx)=(xx2−6xx+mm)(ee xx−3+ee3−xx−nn)的四个零点是以0为首项的等差数列，则mm+nn= _________．14. 若一个三位数中的任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”，则所有“平稳数”的个数为_________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（15分）已知在△AABBAA中，角AA,BB,AA所对的边分别为aa,bb,cc，且 tan AA+tan BB−√3tan AA tan BB+√3=0 ．（1）求AA；（2）若aa+bb=4 ，求△AABBAA面积SS的最大值．16.（17分）如图1，已知正方体AABBAAAA−AA′BB′AA′AA′的棱长为2，MM为BBBB′的中点，NN为AAAA的中点．（1）证明：BBNN//平面AAMMAA′；（2）求平面AAMMAA′与平面AA′BB′AA′AA′夹角的余弦值. 图117.（17分）已知抛物线yy2=2xx，直线ll:yy=xx−4 ，且点BB,AA在抛物线上．（1）若点AA,AA在直线ll上，且四边形AABBAAAA是菱形，求直线BBAA的方程；（2）若点AA为抛物线和直线ll的交点（位于xx轴下方），点AA在直线ll上，且四边形AABBAAAA是菱形，求直线BBAA的斜率．18.（17分）已知函数ff(xx)=aa xx−log aa xx ,aa∈(0,1)∪(1,+∞)．（1）若aa=ee，求yy=ff(xx)过点(0,1)的切线方程；（2）若ff(xx)在其定义域上没有零点，求aa的取值范围．19.（17分）概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式．马尔科夫不等式的形式如下：设XX为一个非负随机变量，其数学期望为AA(XX)，则对任意εε>0 ，均有PP(XX≥εε)≤AA(XX)εε马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系．当XX为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：设XX的分布列为PP(XX=xx ii)=pp ii(ii=1,2,…,nn)其中pp ii∈(0,+∞)，pp1+pp2+⋯+pp nn=1 ，xx ii∈[0,+∞)，则对任意εε>0 ，PP(XX≥εε)=�pp ii xxii≥εε≤�xx iiεεpp iixx ii≥εε=1εε�xx ii pp ii xxii≥εε≤1εε�xx ii pp ii nn ii=1=AA(XX)εε其中符号�AA ii xxii≥εε表示对所有满足xx ii≥εε的指标ii所对应的AA ii求和．切比雪夫不等式的形式如下：设随机变量的XX数学期望为AA(XX)，方差为AA(XX)，则对任意εε>0 ，均有PP(|XX−AA(XX)|≥εε)≤AA(XX)εε2【类比探究】（1）根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量XX成立；【实际应用】（2）已知正整数nn≥5 ．在一次抽奖游戏中，有nn个不透明的箱子依次编号为 1,2,…,nn，编号为ii(1≤ii≤nn)的箱子中装有编号为 0,1,…,ii的ii+1 个大小､质地均相同的小球．主持人邀请nn位嘉宾从每个箱子中随机抽取一个球，记从编号为ii的箱子中抽取的小球号码为XX ii，并记XX=�XX ii ii nn ii=1对任意的nn，是否总能保证PP(XX≤0.1nn)≥0.01（假设嘉宾和箱子数能任意多）？并证明你的结论．【理论拓展】（3）已知nn重伯努利试验中每次试验中事件AA出现的概率PP=0.75 ，请用切比雪夫不等式估计nn，使得事件AA出现的频率在0.74和0.76之间的概率不低于0.90．2024年新高考改革适应性练习2（九省联考题型）数学参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D C B B A D C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）题号91011答案CD ABC BD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）题号121314答案2或-2ee+1ee或 8+ee3+1ee375四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）（1）由题意得，tan AA+tan BB−√3tan AA tan BB=−√3⟺tan AA+tan BB=−√3(1−tan AA tan BB)⟺tan AA+tan BB1−tan AA tan BB=−√3⟺tan(AA+BB)=−√3⟺tan CC=−tan(AA+BB)=√3⟺CC=ππ3所以CC=ππ3．（2）由正弦定理，SS=12sin CC aaaa=12·sinππ3·aaaa=√34aaaa由题意aa+aa=4 ，又aa,aa>0 ，由基本不等式得aa+aa=4≥2√aaaa解得aaaa≤4 ，所以SS=√34aaaa≤√34×4=√3故SS的最大值为√3 ，取等时aa=aa=2 ，即△AABBCC是一个正三角形．16.（15分）（1）取DDCC′中点EE，连接NNEE、MMEE、BBNN，如右图所示：∵EE、NN为中点，可得EENN//CCCC′//BBMM，又∵EENN=BBMM=1，∴四边形NNEEMMBB为平行四边形，∴BBNN//EEMM，又∵BBNN⊄平面DDMMCC′，EEMM⊂平面DDMMCC′，∴BBNN//平面DDMMCC′.（2）以DD点为原点，DDAA为xx轴，DDCC为yy轴，DDDD′为zz轴，建立空间直角坐标系，如右图所示：则DD(0,0,0)，CC′(0,2,2)，MM(2,2,1)，��⃗=(0,2,2)，DDMM��⃗=(2,2,1)，故DDCC′易知平面AA′BB′CC′DD′的一个法向量为mm��⃗=(0,0,1)，设nn�⃗⊥平面DDMMCC′，nn�⃗=(xx,yy,zz)，则�nn�⃗⋅DDCC′��⃗=2yy+2zz=0nn�⃗⋅DDMM��⃗=2xx+2yy+zz=0令zz=2，则yy=−2,xx=1，可得nn�⃗=(1,−2,2)，cos<mm��⃗,nn�⃗>=mm��⃗⋅nn�⃗|mm��⃗|⋅|nn�⃗|=23结合图形可知，平面DDMMCC′与平面AA′BB′CC′DD′夹角的余弦值为23.17.（15分）（1）由题意知AACC⊥BBDD，设直线BBDD:xx=−yy+mm．联立�xx=−yy+mmyy2=2xx得yy2+2yy−2mm=0，则yy BB+yy DD=−2,yy BB yy DD=−2mm，xx BB+xx DD=−(yy BB+yy DD)+2mm=2mm+2，则BBDD的中点(mm+1,−1)在直线yy=xx−4上，代入可解得mm=2，yy2+2yy−4=0,ΔΔ=20>0，满足直线与抛物线有两个交点，所以直线BBDD的方程为xx=−yy+2，即xx+yy−2=0．（2）当直线AABB,AADD的斜率为0或不存在时，均不满足题意．由�yy=xx−4yy2=2xx得�xx=2yy=−2或�xx=8yy=4（舍去），故AA(2,−2)．当直线AABB,AADD的斜率存在且不为0时，设直线AABB:xx−2=tt(yy+2)．联立�xx−2=tt(yy+2)yy2=2xx得yy2−2tt yy−4tt−4=0 ，所以yy AA+yy BB=2tt．所以BB(2tt2+4tt+2,2tt+2)．同理得DD�2tt2−4tt+2,−2tt+2�．由BBDD的中点在直线yy=xx−4 上，得12�2tt2+4tt+2+2tt2−4tt+2�−4=12�2tt+2−2tt+2�即tt2+1tt2+�tt−1tt�−4=0．令tt−1tt=pp，则pp2+pp−2=0 ，解得pp=−2 或pp=1 ．当pp=1 时，直线BBDD的斜率kk BBDD=2tt+2−�−2tt+2�2tt2+4tt+2−�2tt2−4tt+2�=1tt−1tt+2=13当pp=−2 时，直线BBDD的斜率不存在．综上所述,直线BBDD的斜率为13．18.（17分）（1）当aa=ee时，ff(xx)=aa xx−log aa xx=ee xx−ln xx(xx>0)，设yy=ff(xx)过点(0,1)的切线方程为ll:yy= ff′(xx0)(xx−xx0)+ff(xx0)(xx0>0)，ff(xx0)=ee xx0−ln xx0，ff′(xx0)=ee xx0−1xx0，代入切线方程得，yy =�ee xx 0−1xx 0�(xx −xx 0)+ee xx 0−ln xx 0=�ee xx 0−1xx 0�xx +ee xx 0(1−xx 0)−ln xx 0+1 因为 ll 过点 (0,1) ，所以 ee xx 0(1−xx 0)−ln xx 0+1=1 ，即 ee xx 0(1−xx 0)−ln xx 0=0 ，令 gg (xx )=ee xx (1−xx )−ln xx ，gg ′(xx )=−xxee xx −1xx <0 ，所以 gg (xx ) 单调递减，又 gg (1)=0 ，所以 gg (xx ) 有唯一零点 xx =1 ，即原方程的根为 xx =1 ，代回切线方程得yy =�eexx 0−1xx 0�xx +ee xx 0(1−xx 0)−ln xx 0+1=(ee −1)xx +1 故 yy =ff (xx ) 过点 (0,1) 的切线方程为 yy =(ee −1)xx +1 ．（2）因为 ff (xx ) 在 (0,+∞) 上连续，又 ff (1)=aa >0 ，所以要使 ff (xx ) 无零点，需使 ff (xx )>0 在其定义域上恒成立．则原问题转化为 ff (xx )=aa xx −log aa xx >0 ，求 aa 的取值范围，aa xx −log aa xx >0⟺aa xx >log aa xx ⟺aa xx >ln xxln aa⟺aa xx ln aa >ln xx ⟺aa xx xx ln aa >xx ln xx ⟺aa xx ln aa xx >xx ln xx (∗)令 ℎ(xx )=xxee xx (xx >0) ，ℎ′(xx )=(xx +1)ee xx >0 ，所以 ℎ(xx ) 单调递增，又由 (∗) 式得 ℎ(ln aa xx )>ℎ(ln xx ) ，所以 ln aa xx =xx ln aa >ln xx ，即 ln aa >ln xxxx恒成立．令 φφ(xx )=ln xxxx，φφ′(xx )=1−ln xxxx 2，令 φφ′(xx )=0 得 xx =ee ，当 0<xx <ee 时，φφ′(xx )>0 ，φφxx 单调递增；当 xx >ee 时，φφ′(xx )<0 ，φφ(xx ) 单调递减，所以 xx =ee 是 φφ(xx ) 的极大值点，φφ(xx )max =φφ(ee )=1ee，所以 ln aa >1ee，即 aa >ee 1ee．综上所述，aa 的取值范围为 �ee 1ee,+∞� ．19.（17分）（1）设 XX 的分布列为 PP (XX =xx ii )=pp ii (ii =1,2,…,nn ) 其中 pp ii ∈(0,+∞) ，pp 1+pp 2+⋯+pp nn =1 ，则对任意 εε>0 ，PP (|XX −EE (XX )|≥εε)=�PP ii |xx ii −μμ|≥εε≤��xx ii −EE (XX )�2εε2PP ii|xx ii −μμ|≥εε=1εε2��xx ii −EE (XX )�2PP ii |xx ii −μμ|≥εε≤1εε2��xx ii −EE (XX )�2PP ii nnii=1=DD (XX )εε2 （2）由切比雪夫不等式，EE (XX )=EE ��EE (XX ii )ii nn ii=1�=�EE (XX ii )ii nnii=1=nn2DD (XX )=EE ((XX −EE (XX ))2)=EE ��XX iiii −12�2nnii=1�=�EE nnii=1��XX ii ii −12�2�+2�EE 1⩽ii<jj⩽nn�XX ii ii −12�EE �XX jj jj −12�=�EE nn ii=1��XX ii ii −12�2�=�DD nnii=1�XX iiii�用到EE �XX ii ii −12�=0(1⩽ii ⩽nn )而DD �XX iiii�=∑�jj ii−12�2ii jj=0ii +1⩽14故 DD (XX )≤nn4 .当 nn =160 时，PP (XX ⩽0.1nn )<PP ��XX −nn 2�⩾0.4nn�⩽nn 40.16nn 2<0.01 因此，不能保证 PP (XX ⩽0.1nn )⩾0.01 . （3）由（1）已证得的切比雪夫不等式，PP (|XX −EE (XX )|≥εε)≤DD (XX )εε2 ⟺PP (|XX −EE (XX )|<εε)≥1−DD (XX )εε2 ②回到原题，设至少需要 nn 次试验，用 XX 表示 nn 次实验中 AA 出现的次数，则 XX ~BB (nn ,0.75) ，PP �0.74<XX nn<0.76�=PP ��XX nn−0.75�<0.01� ，因 EE �XX nn�=1nnEE (XX )=1nn·nn ·0.75=0.75 ，由切比雪夫不等式（②），PP �0.74<XX nn <0.76�=PP ��XXnn−0.75�<0.01� ≥1−DD �XXnn �0.012=1−1nn 2·nn ·0.75·0.250.012≥0.90解得 nn >18750 ，故应该至少做18750次试验．。

2024年新高考改革适应性练习九省联考数学试题及答案

2024年新高考改革适应性练习（3）（九省联考题型）数学试题卷（2024.2.6）考生须知1. 本卷共4页，四大题19小题，满分150分，答题时间120分钟；2. 答题时须在答题卡上填涂所选答案（选择题），或用黑色字迹的签字笔规范书写答案与步骤（非选择题），答在本试题卷上或草稿纸上的答案均属无效；3. 考试结束时，考生须一并上交本试题卷，答题卡与草稿纸．一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设样本空间ΩΩ={1,2,…,6}包含等可能的样本点，且AA={1,2,3,4}，BB={3,4,5,6}，则PP(AABB)= A．13B．14C．15D．162. 若复数zz满足zz2是纯虚数，则|zz−2|的最小值是A．1 B．√2C．2 D．2√23. 算术基本定理告诉我们，任何一个大于1的自然数NN，如果NN不为质数，那么NN可以唯一分解成有限个素因数的乘积的形式．如，60可被分解为 22×31×51，45可被分解为 32×51．任何整除NN的正整数dd都叫作NN的正因数．如，20的正因数有1，2，4，5，10，20．则4200的正因数个数是A．4 B．7 C．42 D．484. 已知点(aa,bb)在直线 2xx+yy−1=0 第一象限的图像上，则1aa+1bb的最小值是A．3+2√2B．2+2√2C．1+2√2D．2√25. 已知函数ff(xx)=sin xx，gg(xx)=cos xx，则ff�gg(xx)�和gg�ff(xx)�都单调递增的一个区间是A．�2ππ5,4ππ5�B．�4ππ5,6ππ5�C．�6ππ5,8ππ5�D．�8ππ5,2ππ�6. 已知直线ll过点(2,1)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6，则满足条件的直线ll共有A．1条B．2条C．3条D．4条7. 我们记ff(nn)(xx)为函数ff(xx)的nn次迭代，即ff(1)(xx)=ff(xx)，ff(2)(xx)=ff�ff(xx)�，…，ff(nn)= ff�ff(nn−1)(xx)�．已知函数gg(xx)=xx|xx|，则gg(2024)(xx)=A．xx3|xx|2021B．xx4|xx|2020C．xx2|xx|2022D．xx20248. 若一四面体恰有一条长度大于1的棱，则这个四面体体积的最大值是A．√33B．12C．13D．√22二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）9. 已知函数ff(xx)=xx3−2xx，下列说法正确的是A．函数gg(xx)=ff(xx)+ff′(xx)无零点B．直线 2xx+yy=0 与yy=ff(xx)相切C．存在无数个aa>0 ，ff(xx)在区间(−aa,aa)上不单调D．存在mm>0 ，使得对于任意nn，ff(nn)≤ff(nn+mm)10. 若一个人一次仅能爬1级或2级台阶，记aa nn为爬nn级台阶时不同的爬法数(nn∈NN∗)．关于数列{aa nn}，下列说法正确的是A．函数ff(nn)=aa nn单调递增B．aa1+aa3+aa5的值为12C．aa1+aa2+⋯+aa10=232D．2aa12+aa22+⋯+aa102=89×14411. 如右图，已知抛物线CC的焦点为FF，准线方程为ll:xx=−1 ，点PP是CC上的一动点．过点PP作ll的垂线，垂足为QQ．过点PP作CC的切线，该切线与xx,yy轴分别交于AA,BB两个不同的点．下列说法正确的是A．抛物线CC的标准方程为yy2=2xxB．QQ,BB,FF三点共线当且仅当|PPFF|=4C．当|PPFF|≠1 时，都有PPAA⊥QQFFD．当|PPFF|≠1 时，△PPAAFF恒为等腰三角形三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12. 在棱长为1的正方体AABBCCAA−AA1BB1CC1AA1中，三棱锥CC−AABB1AA1的体积是_________．13. 从集合{xx|−4≤xx≤2024}中任选2个不同的非零整数作为二次函数ff(xx)=aaxx2+bbxx的系数，则所有满足ff(xx)的顶点在第一象限或第三象限的有序数对(aa,bb)共有_________组．14. 已知向量aa,bb,cc满足aa+bb+cc=00，(aa−bb)⊥(aa−cc)，|bb−cc|=3 ，则|aa|+|bb|+|cc|的最大值是_________．四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）已知正方体AABBCCAA−AA1BB1CC1AA1．（1）证明：AAAA1⊥AA1CC；（2）求二面角BB−AA1CC−AA．16.（15分）已知定义在RR上的函数ff(xx)=aaxx4+bbxx3+ccxx2+ddxx(aa≠0)．（1）若原点是ff(xx)的一个极值点，证明：ff(xx)的所有零点也是其所有极值点；（2）若ff(xx)的4个零点成公差为2的等差数列，求ff′(xx)的最大零点与最小零点之差．17.（15分）设点SS(1,1)在椭圆CC:xx2aa2+yy2bb2=1(aa>bb>0)内，直线ll:bb2xx2+aa2yy2−aa2bb2=0 ．（1）求ll与CC的交点个数；（2）设PP为ll PPSS与CC相交于MM,NN两点．给出下列命题：①存在点PP，使得1|PPPP|,1|PPPP|,1|PPPP|成等差数列；②存在点PP，使得|PPMM|,|PPSS|,|PPNN|成等差数列；③存在点PP，使得|PPMM|,|PPSS|,|PPNN|成等比数列；请从以上三个命题中选择一个，证明该命题为假命题．（若选择多个命题分别作答，则按所做的第一个计分．）18.（17分）2024部分省市的高考数学推行8道单选，3道多选的新题型政策．单选题每题5分，选错不得分，多选题每题完全选对6分，部分选对部分分（此处直接视作3分），不选得0分．现有小李和小周参与一场新高考数学题，小李的试卷正常，而小周的试卷选择题是被打乱的，所以他11题均认为是单选题来做．假设两人选对一个单选题的概率都是14，且已知这四个多选题都只有两个正确答案．（1）记小周选择题最终得分为XX，求EE(XX)．（2）假设小李遇到三个多选题时，每个题他只能判断有一个选项是正确的，且小李也只会再选1个选项，假设他选对剩下1个选项的概率是 pp 0�pp 0≥13� ，请你帮小李制定回答4个多选题的策略，使得分最高．19.（17分）信息论之父香农（Shannon ）在1948年发表的论文“通信的数学理论”中指出，任何信息都存在冗余，冗余大小与信息中每个符号（数字、字母或单词）的出现概率或者说不确定性有关．香农借鉴了热力学的概念，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式．设随机变量 XX 所有取值为 1,2,…,nn ，且 PP (xx =ii )=PP ii >0（ii =1,2,…,nn ），PP 1+PP 2+⋯+PP nn =1 ，定义 XX 的信息熵HH (XX )=−�PP ii log 2PP ii nn ii=1（1）当 nn =1 时，求 HH (XX ) 的值；（2）当 nn =2 时，若 PP 1∈�0,12� ，探究 HH (XX ) 与 PP 1 的关系，并说明理由；（3）若 PP 1=PP 2=12nn−1 ，PP kk+1=2PP kk (kk =2,3,⋯,nn ) ，求此时的信息熵 HH (XX ) ．2024年新高考改革适应性练习（3）（九省联考题型）数学参考答案一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D A D D B C二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．具体得分如【附】评分表．）题号91011答案BC ABD BCD【附】评分表三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）题号121314答案132023×2024+4×2024（或 2027×2024）3+3√10四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.（13分）以点AA1为坐标原点，AA1BB1��⃗为xx轴正方向，AA1DD1��⃗为yy轴正方向，AA1AA��⃗为zz轴正方向，建立空间直角坐标系OOxxyyzz，并令正方体AABBAADD−AA1BB1AA1DD1的棱长为1．（1）则AA1(0,0,0)，AA(1,−1,1)，AA1AA��⃗=(1,−1,1)；AA(0,0,1)，DD1(0,−1,0)，AADD1��⃗=(0,−1,−1)．所以AADD1��⃗·AA1AA��⃗=0+1+(−1)=0 ，即AADD1��⃗⊥AA1AA��⃗．故AADD1⊥AA1AA得证．（2）BB(1,0,1)，AA1BB��⃗=(1,0,1)，由（1）得AA1AA��⃗=(1,−1,1)，设平面AA1BBAA的一个法向量nn11=(xx1,yy1,zz1)，则nn11·AA1BB��⃗=nn11·AA1AA��⃗=0 ，即�xx1+zz1=0xx1−yy1+zz1=0令xx1=1 ，则�yy1=0zz1=−1，所以nn11=(1,0,−1)是平面AA1BBAA的一个法向量．同理可求得平面AA1AADD的一个法向量nn22=(0,1,1)，cos<nn11,nn22>=nn11·nn22|nn11|·|nn22|=−12又 <nn11,nn22>∈(0,ππ)，所以 <nn11,nn22>=2ππ3，即平面AA1BBAA与平面AA1AADD的所成角为2ππ3．故二面角BB−AA1AA−DD的大小为2ππ3．16.（15分）（1）ff(xx)=aaxx4+bbxx3+ccxx2+ddxx，ff′(xx)=aaxx3+bbxx2+ccxx+dd，由题意，原点是ff(xx)的一个极值点，即ff′(0)=0 ，代入得dd=0 ，所以ff(xx)=aaxx4+bbxx3+ccxx2=xx2(aaxx2+bbxx+cc)，ff′(xx)=aaxx3+bbxx2+ccxx=xx(aaxx2+bbxx+cc)，所以ff(xx)和ff′(xx)的零点（0除外）都是方程aaxx2+bbxx+cc=0 的根，即ff(xx)和ff′(xx)有共同零点，故ff(xx)的所有零点也是其所有极值点．（2）设ff(xx)的四个零点分别为mm−3 ，mm−1 ，mm+1 ，mm+3 ，则可以设ff(xx)=kk(xx−mm+3)(xx−mm+1)(xx−mm−1)(xx−mm−3)其中kk≠0 ，令tt=xx−mm，则ff(xx)=kk(tt+3)(tt+1)(tt−1)(tt−3)=kk(tt4−10tt+9)=gg(tt)gg′(tt)=kk(4tt3−20tt)=4kk(tt3−5tt)令gg′(tt)=0 得tt1=−√5 ，tt=0 ，tt=√5 ，所以 ff ′(xx )=0 的所有根为 xx 1=mm −√5 ，xx 2=mm ，xx 3=mm +√5 ，所以 ff ′(xx ) 的最大零点与最小零点之差为 |xx 3−xx 1|=2√5 ．17.（15分）（1）因为点 SS (1,1) 在 AA 内，所以 1aa 2+1bb 2<1 ，即 aa 2+bb 2−aa 2bb 2<0 ．联立 ll 与 AA 的方程，得 bb 2(aa 2+bb 2)xx 2−2aa 2bb 4xx +aa 4bb 2(bb 2−1)=0 ．判别式 Δ=4aa 4bb 8−4aa 4bb 4(aa 2+bb 2)(bb 2−1)=4aa 4bb 4(aa 2+bb 2−aa 2bb 2)<0 ，故该二次方程无解，即 ll 与 AA 交点个数为0．（2）可选择命题②或命题③（命题①无法证伪），证明其为假命题．记点 PP ,MM ,NN 的横坐标分别为 xx PP ,xx MM ,xx NN ，不妨设 PP ,MM ,SS ,NN 顺次排列．选择命题②的证明：当直线 MMNN 的斜率不存在时，MMNN :xx =1 ，分别与 ll ,AA 的方程联立可得 PP �1,bb 2−bb 2aa 2� ，MM �1,bb�1−1aa 2�,NN �1,−bb�1−1aa 2� ．若 |PPMM |,|PPSS |,|PPNN | 依次成等差数列，则 bb�1−1aa 2+�−bb�1−1aa 2�=2 ，显然矛盾，不满足题意．当直线 MMNN 的斜率存在时，设其斜率为 kk ，则 MMNN :yy =kk (xx −1)+1 ，与 ll 的方程联立可得 xx PP =aa 2�bb 2+kk−1�aa 2kk+bb 2；与 AA 的方程联立，得 (aa 2kk 2+bb 2)xx 2−2aa 2kk (kk −1)xx +aa 2[(kk −1)2−bb 2]=0 ，由韦达定理⎩⎨⎧xx MM +xx NN =2aa 2kk (kk −1)aa 2kk 2+bb 2xx MM xx NN =aa 2[(kk −1)2−bb 2]aa 2kk 2+bb 2则 2|PPSS |−(|PPMM |+|PPNN |)=√1+kk 2(2|xx PP −1|−|xx MM −xx PP |−|xx NN −xx PP |) . 不妨设 xx PP >1 ，则 xx PP >xx MM >1>xx NN ，所以原式=�1+kk 2[2(xx PP −1)−(xx PP −xx MM )−(xx PP −xx NN )]=�1+kk 2(xx MM +xx NN −2)=�1+kk 2⋅−2aa 2kk −2bb 2aa 2kk 2+bb 2<0因此 |PPMM |,|PPSS |,|PPNN | 不能成等差数列，从而②是假命题．选择命题③的证明：当直线 MMNN 的斜率不存在时，MMNN :xx =1 ，分别与 ll ,AA 的方程联立可得 PP �1,bb 2−bb 2aa 2� ，MM �1,bb�1−1aa 2�，NN �1,−bb�1−1aa 2�．若|PPMM |,|PPSS |,|PPNN |成等比数列，则��bb 2−bb 2aa 2�−bb �1−1aa 2�×��bb 2−bb 2aa 2�+bb �1−1aa 2�=��bb 2−bb 2aa2�−1�2即 aa 2+aa 2bb 2−bb 2=0 ，但 aa 2bb 2>aa 2+bb 2 ，因此 aa 2+aa 2bb 2−bb 2>2aa 2>0 ，矛盾，不满足题意．当直线 MMNN 的斜率存在时，设其斜率为 kk ，则 MMNN :yy =kk (xx −1)+1 ，与 ll 的方程联立可得 xx PP =aa 2�bb 2+kk−1�aa 2kk+bb 2；与 AA 的方程联立，得 (aa 2kk 2+bb 2)xx 2−2aa 2kk (kk −1)xx +aa 2[(kk −1)2−bb 2]=0 ，由韦达定理，⎩⎨⎧xx MM +xx NN =2aa 2kk (kk −1)aa 2kk 2+bb 2xx MM xx NN =aa 2[(kk −1)2−bb 2]aa 2kk 2+bb 2则|PPSS |2−|PPMM |⋅|PPNN |=�1+kk 2[(xx PP −1)2−(xx PP −xx MM )(xx PP −xx NN )] =�1+kk 2[(xx MM +xx NN −2)xx PP +1−xx MM xx NN ]=�1+kk 2��2aa 2kk (kk −1)aa 2kk 2+bb 2−1�⋅aa 2(bb 2+kk −1)aa 2kk +bb 2+1−aa 2[(kk −1)2−bb 2]aa 2kk 2+bb 2�=√1+kk 2aa 2kk 2+bb 2(aa 2+bb 2−aa 2bb 2)<0 因此 |PPMM |,|PPSS |,|PPNN | 不能成等比数列，故③是假命题．18.（17分）（1）由题意，对于单选题，小周每个单选题做对的概率为 14 ，对于多选题，小周每个多选题做对的概率为 12，设小周做对单选题的个数为 XX 1 ，做对多选题的个数为 XX 2 ，则XX 1∼BB �8,1�，XX 2∼BB �3,1� ，所以EE(XX1)=8×14=2 ，EE(XX1)=3×12=32，而小周选择题最终得分为XX=5XX1+3XX2，所以EE(XX)=5EE(XX1)+3EE(XX2)=5×2+3×32=292．（2）由题意他能判断一个选项正确，先把这个正确选项选上，如果他不继续选其他选项肯定能得三分，如果他继续选其它选项的话，设此时他的最终得分为XX3，则XX3的所有可能取值为0，6，则XX3的分布列为：XX30 6PP(XX3)1−pp0pp0那么这个题的得分期望是EE(XX3)=0×(1−pp0)+6pp0=6pp0,�pp0≥13�所以我们只需要比较3和 6pp0的大小关系即可，令 6pp0≥3，解得12≤pp0<1 ，此时四个多选题全部选两个选项得分要高，反之，若13≤pp0<12，此时四个多选只选他确定的那个选项得分最高．19.（17分）（1）若nn=1 ，则ii=1 ，PP1=1 ，因此HH(xx)=−(1×log21)=0 ．（2）HH(XX)与PP1正相关，理由如下：当nn=2 时，PP1∈�0,12�，HH(xx)=−PP1log2PP1−(1−PP1)log2(1−PP1)令ff(tt)=−tt log2tt−(1−tt)log2(1−tt)，其中tt∈�0,12�，则ff′(tt)=−log2tt+log2(1−tt)=log2�1tt−1�>0所以函数ff(tt)在�0,12�上单调递增，所以HH(xx)与PP1正相关．（3）因为PP1=PP2=12nn−1，PP kk+1=2PP kk(kk=2,3,⋯,nn)，所以PP kk =PP 2⋅2kk−2=2kk−22nn−1=12nn−kk+1 (kk =2,3,⋯,nn ) 故PP kk log 2PP kk =12nn−kk+1log 212nn−kk+1=−nn −kk +12nn−kk+1而PP 1log 2PP 1=12nn−1log 212nn−1=−nn −12nn−1于是HH (XX )=nn −12nn−1+�PP kk log 2PP kk nnkk=2=nn −12nn−1+nn −12nn−1+nn −22nn−2+⋯+222+12整理得HH (XX )=nn −12nn−1−nn 2nn +nn 2nn +nn −12nn−1+nn −22nn−2+⋯+222+12 令SS nn =12+222+323+⋯+nn −12nn−1+nn2nn 则12SS nn =122+223+324+⋯+nn −12nn +nn 2nn+1 两式相减得12SS nn =12+122+123+⋯+12nn −nn 2nn+1=1−nn +22nn+1 因此 SS nn =2−nn+22nn，所以 HH (XX )=nn−12nn−1−nn 2nn+SS nn =nn−12nn−1−nn 2nn+2−nn+22nn=2−12nn−2．。