2020年四川省达州市高考数学二诊试卷(理科) (解析版)

2020年四川省达州市高考数学二诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|2≤x≤4}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝（）A．（1，2]B．[2，4]C．（4，+∞）D．（2，4）2．复数z＝，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在公差不为零的等差数列{a n}中，a1＝1，a5是a2，a14的等比中项，则数列{a n}前7项和S7＝（）A．13B．49C．26D．27﹣14．函数f（x）＝x2﹣ln|x|+的图象大致是（）A．B．C．D．5．的展开式中x﹣3的系数是（）A．252B．﹣252C．﹣210D．2106．已知双曲线的两条渐近线的方程是和，则双曲线离心率是（）A．B．C．或D．或7．已知a∈[﹣8，2]，则命题∃x0＞0，x02+ax0+1＜0为假命题的概率（）A．0.4B．0.3C．0.2D．0.18．已知2a＝log2|a|，，c＝sin c+1，则实数a，b，c的大小关系是（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b9．甲烷，化学式CH4，是最简单的有机物，在自然界分布很广，也是重要的化工原料．甲烷分子结构为正四面体结构（正四面体是每个面都是正三角形的四面体），碳原子位于正四面体的中心，4个氢原子分别位于正四面体的4个顶点．若相邻两个氢原子间距离为a，则相邻的碳、氢原子间的距离是（不计原子大小）（）A．B．C．D．10．在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BE与CD交于点P，设＝，＝，则＝（）A．B．C．D．11．已知方程在区间（0，π）内只有一个实根，则ω的取值范围（）A．B．C．D．12．已知a＞0，函数，和点P（m，f（m））（m＜0），将y轴左半平面沿y轴翻折至与y轴右半平面垂直．若∃n∈（0，1），直线x＝n分别与曲线y＝f（x），y＝g（x）相交于点A，B，|PA|＝|PB|，△PAB面积为2，则实数a的取值范围为（）A．B．C．（0，1]D．二、填空题（共4小题）.13．设x，y满足约束条件，则z＝x+y的取值范围是．14．函数，若f（﹣t）＝1.2，则f（t）＝．15．等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则实数m的值是．16．已知F是抛物线C：x2＝4y的焦点．O是坐标原点，A是C上一点，△OFA外接圆⊙B （B为圆心）与C的准线相切，则过点B与C相切的直线的斜率．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，（2a+c）cos B+b cos C＝0．（1）求B；（2）若c＝2，B的角平分线BD＝1，求△ABC的面积S△ABC．18．某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情，对单位的职工进行防疫知识培训，所有职工选择网络在线培训和线下培训中的一种方案进行培训．随机抽取了140人的培训成绩，统计发现样本中40个成绩来自线下培训职工，其余来自在线培训的职工，并得到如图统计图表：（1）得分90分及以上为成绩优秀，完成右边列联表，并判断是否有95%的把握认为成绩优秀与培训方式有关？优秀非优秀合计线下培训在线培训合计（2）成绩低于60分为不合格．在样本的不合格个体中随机再抽取3个，其中在线培训个数是ξ，求ξ分布列与数学期望．附：．P（K2≥k0）0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.82819．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AC＝CB＝2，，D是BC 中点，E是PD中点，F是线段AB上一动点．（1）当F为AB中点时，求证：平面CEF⊥平面PAB；（2）当EF∥平面PAC时，求二面角E﹣FD﹣C的余弦值．20．已知动点P到两点，的距离之和为4，点P在x轴上的射影是C，．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）过点的直线交点P的轨迹于点A，B，交点Q的轨迹于点M，N，求的最大值．21．函数f（x）＝ln（x+1）+cos x﹣ax．（1）若x＝0为f（x）的极值点，求实数a；（2）若f（x）≤1在（﹣1，0]上恒成立，求实数a的范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线（t为参数），其中α∈[0，π）．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4sinθ．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2相交于点A，B两点，点P（3，1），求|PA|•|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣4|．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若a，b，c均为正实数，f（x）最小值为m，a+b+c＝m，求．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|2≤x≤4}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝（）A．（1，2]B．[2，4]C．（4，+∞）D．（2，4）解：∵集合A＝{x|2≤x≤4}，B＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|2≤x≤4}，故选：B．2．复数z＝，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵z＝＝，∴．则在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），在第四象限．故选：D．3．在公差不为零的等差数列{a n}中，a1＝1，a5是a2，a14的等比中项，则数列{a n}前7项和S7＝（）A．13B．49C．26D．27﹣1解：设等差数列{a n}的公差为d，则d≠0，∵a1＝1，a5是a2，a14的等比中项，∴a52＝a2a14，即（1+4d）2＝（1+d）（1+13d），解得：d＝2．∴S7＝7a1+＝49．故选：B．4．函数f（x）＝x2﹣ln|x|+的图象大致是（）A．B．C．D．解：f（﹣1）＝1﹣ln1﹣1＝0，可排除BD；f（1）＝1﹣ln1+1＝2＞0，可排除A；故选：C．5．的展开式中x﹣3的系数是（）A．252B．﹣252C．﹣210D．210解：∵的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•，令＝﹣3，求得r＝4，可得展开式中x﹣3的系数是＝210，故选：D．6．已知双曲线的两条渐近线的方程是和，则双曲线离心率是（）A．B．C．或D．或解：当双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，结合题意两条渐近线的方程是和，得＝，设a＝t，b＝t，则c＝t（t＞0），∴该双曲线的离心率是e＝，当双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，双曲线的渐近线方程为y＝±x，结合题意两条渐近线的方程是和，得，设b＝t，a＝t，则c＝t（t＞0），∴该双曲线的离心率是e＝，故选：D．7．已知a∈[﹣8，2]，则命题∃x0＞0，x02+ax0+1＜0为假命题的概率（）A．0.4B．0.3C．0.2D．0.1解：∵命题∃x0＞0，x02+ax0+1＜0为假命题，即∀x＞0，x2+ax+1≥0为真命题，①当a∈[0，2]时，原式显然成立；②当a∈[﹣8，0）时，需△＝a2﹣4≤0，解得﹣2≤a＜0，故当﹣2≤a≤2时，命题∃x0＞0，x02+ax0+1＜0为假命题．故所求概率为P＝．故选：A．8．已知2a＝log2|a|，，c＝sin c+1，则实数a，b，c的大小关系是（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b解：作出函数y＝2x和y＝log2|x|的图象，由图1可知，交点A的横坐标a＜0；作出函数y＝和y＝的图象，由图2可知，交点B的横坐标0＜b＜1；作出函数y＝x和y＝sin x+1的图象，由图3可知，交点C的横坐标c＞1所以，a＜b＜c．故选：B．9．甲烷，化学式CH4，是最简单的有机物，在自然界分布很广，也是重要的化工原料．甲烷分子结构为正四面体结构（正四面体是每个面都是正三角形的四面体），碳原子位于正四面体的中心，4个氢原子分别位于正四面体的4个顶点．若相邻两个氢原子间距离为a，则相邻的碳、氢原子间的距离是（不计原子大小）（）A．B．C．D．解：如图所示的正四面体P﹣ABC．点O为底面ABC的中心，点G为正四面体P﹣ABC 外接球的球心．D为BC的中点．OA＝AD＝×a＝a．则OP＝＝＝a．设OG＝x，GA＝R．则R2＝+x2，x+R＝a．解得R＝a．故选：C．10．在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，BE与CD交于点P，设＝，＝，则＝（）A．B．C．D．解：设，，根据三角形法则：＝，整理得，同理＝，整理得，所以，解得：，，所以．故选：A．11．已知方程在区间（0，π）内只有一个实根，则ω的取值范围（）A．B．C．D．解：利用半角公式可得：（1﹣cosωx）﹣sinωx﹣+2＝0，化为：sin（ωx+）＝1，∴ωx+＝2kπ+，k∈Z，∵x∈（0，π），∴＜ωx+≤ωπ+，∵方程在区间（0，π）内只有一个实根，∴＜ωπ+≤，解得：＜ω≤．故选：D．12．已知a＞0，函数，和点P（m，f（m））（m＜0），将y轴左半平面沿y轴翻折至与y轴右半平面垂直．若∃n∈（0，1），直线x＝n分别与曲线y＝f（x），y＝g（x）相交于点A，B，|PA|＝|PB|，△PAB面积为2，则实数a的取值范围为（）A．B．C．（0，1]D．解：翻折前，连接AB，过P作AB的垂线PD，交y轴于C点，∵翻折后|PA|＝|PB|，故翻折前也有|PA|＝|PB|，∴D为AB的中点，由题意可知A（n，2n+），B（n，﹣），∴D（n，n），|AB|＝2n+，∴f（m）＝﹣m＝n，即m＝﹣n．翻折后，|PD|＝＝＝2n，∴翻折后△PAB的面积为：＝2，∴a＝n﹣n3，令h（n）＝n﹣n3（0＜n＜1），则h′（n）＝1﹣3n2，∴当0＜n＜时，h′（n）＞0，当＜n＜1时，h′（n）＜0，∴h（n）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，∴h（n）的最大值为h（）＝，又h（0）＝h（1）＝0，∴h（n）的值域为（0，]，故a的取值范围是（0，]，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设x，y满足约束条件，则z＝x+y的取值范围是[2，6]．解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝x+y为y＝﹣x+z，由图可知，A（2，0），B（3，3），C（1，1），当直线y＝﹣x+z过点AC时直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2．当直线y＝﹣x+z过点B时直线在y轴上的截距最大，最大值为：6．则z＝x+y的取值范围是：[2，6]故答案为：[2，6]．14．函数，若f（﹣t）＝1.2，则f（t）＝0.8．解：根据题意，＝（）+1，则f（﹣x）＝（）+1＝﹣（）+1，则有f（x）+f（﹣x）＝2，若f（﹣t）＝1.2，则f（t）＝2﹣1.2＝0.8；故答案为：0.8．15．等比数列{a n}的前n项和为S n，若，则实数m的值是．解：由①，可得S n+1＝3n+m②，由②﹣①可得a n+1＝2×3n﹣1．又∵数列{a n}是等比数列，∴a n＝2×3n﹣2．∵当n＝1时，有S1＝1+m＝a1＝，∴m＝﹣．故填：﹣．16．已知F是抛物线C：x2＝4y的焦点．O是坐标原点，A是C上一点，△OFA外接圆⊙B （B为圆心）与C的准线相切，则过点B与C相切的直线的斜率．解：如图，抛物线C：x2＝4y的焦点F（0，1），则△OFA外接圆⊙B的圆心B在OF的垂直平分线上，可得B的纵坐标为，又⊙B与C的准线相切，则⊙B的半径r＝，设B（m，），由|BF|＝，解得m＝．由x2＝4y，得y＝，则y．∴过点B与C相切的直线的斜率为．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，（2a+c）cos B+b cos C＝0．（1）求B；（2）若c＝2，B的角平分线BD＝1，求△ABC的面积S△ABC．解：（1）∵（2a+c）cos B+b cos C＝0，∴在△ABC中，由正弦定理得：（2sin A+sin C）cos B+sin B cos C＝0，∴2sin A cos B+sin C cos B+sin B cos C＝0，∴2sin A cos B+sin（B+C）＝0．∵A+B+C＝π，∴2sin A cos B+sin A＝0．∵A为三角形内角，∴sin A≠0，∴可得，∴由B∈（0，π），．（2）在△ABC中，BD为角B的角平分线，∵，∴，∵在△ABD中，，由余弦定理可得，∴AB2＝BD2+AD2，△ABD为直角三角形，即BD⊥AC，∴△ABC为等腰三角形，可得：，∴．18．某单位为了更好地应对新型冠状病毒肺炎疫情，对单位的职工进行防疫知识培训，所有职工选择网络在线培训和线下培训中的一种方案进行培训．随机抽取了140人的培训成绩，统计发现样本中40个成绩来自线下培训职工，其余来自在线培训的职工，并得到如图统计图表：（1）得分90分及以上为成绩优秀，完成右边列联表，并判断是否有95%的把握认为成绩优秀与培训方式有关？优秀非优秀合计线下培训在线培训合计（2）成绩低于60分为不合格．在样本的不合格个体中随机再抽取3个，其中在线培训个数是ξ，求ξ分布列与数学期望．附：．P（K2≥k0）0.0500.0100.001k0 3.841 6.63510.828解：（1）根据题意得列联表：优秀非优秀合计线下培训53540在线培训3070100合计35105140.4.667＞3.841有95%的把握认为培训方式与成绩优秀有关．（2）在抽出的样本中，线下培训不合格3个，线上培训不合格5个，在这8个中抽取3个含在线培训个数为ξ．ξ＝0，1，2，3，，，，．ξ的分布列为：ξ0123P∴．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AC＝CB＝2，，D是BC中点，E是PD中点，F是线段AB上一动点．（1）当F为AB中点时，求证：平面CEF⊥平面PAB；（2）当EF∥平面PAC时，求二面角E﹣FD﹣C的余弦值．【解答】（1）证明：∵AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为等腰直角三角形，当F为AB中点时，∴CF⊥AB．∵PA⊥平面ABC，CF⊂平面ABC，∴PA⊥CF．∵PA∩AB＝A且都在平面PAB中，∴CF⊥平面PAB．∵CF⊆平面CEF，∴平面CEF⊥平面PAB．（2）解：过点C作z轴垂直于平面ABC，建立如图的空间直角坐标系，C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），P（2，0，2），D（0，1，0）．．∵F在线段AB上，．∴，∴F（2﹣2λ，2λ，0），∵（0，1，0）是平面PAC的法向量，∴当EF∥平面PAC时，解得，即．为平面CDF的法向量．设为平面EFD的法向量，，，∴，不妨设x＝1，．∵．∴二面角E﹣FD﹣C的余弦值为．20．已知动点P到两点，的距离之和为4，点P在x轴上的射影是C，．（1）求动点Q的轨迹方程；（2）过点的直线交点P的轨迹于点A，B，交点Q的轨迹于点M，N，求的最大值．解：（1）∵点P到两点的距离之和为4，∴点P的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，∴点P的轨迹方程是．设点Q坐标为（x，y），因所以点P的坐标为，∴，化简得点Q的轨迹方程为x2+y2＝4．（2）若AB⊥x轴，则|AB|＝1，|MN|＝2，∴．若直线AB不与x轴垂直，设直线AB的方程为，即，则坐标原点到直线AB的距离，∴．设A（x1，y1），B（x2，y2）．将代入，并化简得，．∴，．∴＝，∴，当且仅当即时，等号成立．综上所述，最大值为1．21．函数f（x）＝ln（x+1）+cos x﹣ax．（1）若x＝0为f（x）的极值点，求实数a；（2）若f（x）≤1在（﹣1，0]上恒成立，求实数a的范围．解：（1）∵f'（x）＝﹣sin x﹣a，令f'（0）＝0．即，∴a＝1．，当﹣1＜x＜0时，设，∴，故f'（x）为减函数，∴f'（x）＞f'（0）＝0，当0＜x＜π时，，﹣sin x＜0，∴f'（x）＜0综上a＝1时，x＝0为f（x）的极值点成立，所以a＝1．（2）由（1）知，当﹣1＜x＜0时，∵f'（x）为减函数，∴f'（x）＞f'（0）＝1﹣a，①a≤1时，∵f'（x）＞f'（0）＝1﹣a≥0，f（x）为增函数，∴f（x）≤f（0）＝1②a＞1时，∵f'（x）为减函数，f'（0）＜0；，∴存在x0∈（﹣1，0]使f'（x0）＝0，x∈[x0，0]，f'（0）＜0，f（x）递减，f（x0）＞f（0）＝1，与f（x）≤1矛盾．综上a≤1时，f（x）≤1恒成立．所以，实数a的范围是（﹣∞，1]．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线（t为参数），其中α∈[0，π）．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4sinθ．（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2相交于点A，B两点，点P（3，1），求|PA|•|PB|．解：（1）曲线（t为参数），转换为直角坐标方程为或；曲线C2：ρ＝4sinθ，转换为直角坐标方程为：x2+（y﹣2）2＝4，（2）将曲线（t为参数）代入，得（3+t cosα）2+（1+t sinα﹣2）2＝4，t2+（6cosα﹣2sinα）t+6＝0，设A，B两点对应的参数为t1，t2，则|PA|•|PB|＝|t1|•|t2|＝|t1t2|＝6，∴|PA|•|PB|＝6．[选修4-5：不等式选讲]23．设f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣4|．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若a，b，c均为正实数，f（x）最小值为m，a+b+c＝m，求．解：（1）由f（x）≤5，得|x﹣1|+|2x﹣4|≤5，当x≤1时，不等式化为﹣x+1﹣2x+4≤5，解得x≥0，∴0≤x≤1；当1＜x＜2时，不等式化为x﹣1﹣2x+4≤5解得x≥﹣2，∴1＜x＜2；当x≥2时，不等式化为x﹣1+2x﹣4≤5，解得，∴．综上不等式解集为；（2）∵a，b，c均为正实数，由m＝1，得a+b+c＝1，∵＝．当时取等号，∴最小值为．。