第六讲 指数11

【知识要点】 1.整数指数幂
形如n a 叫做a 的n 次幂, a 叫做幂的底数, )(Z n n ∈叫做幂的指数,这样的幂叫做整数的指数幂.这样的幂叫做整数的指数幂,其中0≠a .
正整数指数幂的运算法则: (1)n m n m a a a +=⋅
(2)mn n m a a =)(
(3))0,(≠>=-a n m a a
a n m n m
(4) m m m b a ab =)( 2.根式
(1)平方根:如果a x =2,则x 叫做a 的平方根(或二次方根),其中a 叫做被开方数,次数2叫做根指数, x 叫做a 的平方根.当0>a 时,它有两个互为相反数的平方根,记做a a -,;当0=a 时,
00=;当0<a 时,在R 内没有平方根.
注意:平方根是否存在以及平方根的个数,仅仅与被开方数有关.
(2)立方根:如果a x =3,则x 叫做a 的立方根(或三次方根),对任意R a ∈,它有唯一的立方根
3
a .
(3)n 次方根:如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次实数方根,其中+∈>N n n ,1.求a 的n 次方根,叫
做把a 开n 次方,这种运算叫做开方运算,式子n a 叫做根式,n 叫做根指数,a 叫做被开方数.
注意:①正数的偶次方根有两个,它们互为相反数,正、负方根分别表示为n n a a -,(n 为偶数); ②负数的偶次方根没有意义;
③正数的奇次方根是一个正数,负数奇次方根是一个负数,都表示为n a n (为奇数),是唯一的. 特别地,正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根. 3.分数指数幂：
(1)分数指数幂与根式的转化
①正分数指数幂的规定: )1,0(1>∈>=+n N n a a a n n 且;n
m
N n m a a a n m n
m 且
、,,0(+∈>=为既约分数).
②负分数指数幂规定: 。

为既约分数且
、),,0(1
1n
m
N n m a a a
a
n
m
n
m n
m +-∈>=
=
③0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义. (2)分数指数幂的运算法则:
设βα、,0,0>>b a 是有理数,则βαβα+=⋅a a a 、αββαa a =)(、αααb a ab ⋅=)(.
【典型例题】
例1.分数指数幂与根式的计算、化简、互化
例1.计算5.021
2
0)01.0()4
12(2)532(-⋅+--
例2.化简下面各式：
（1）
4
3
32
b a a
b b
a （2）1
1
1)
(---+ab b a （3）3
3
3
233
23
13
4
)21(248a a
b a
ab b b a a -÷++- （4）223410623+--
（5）1
11122222222)
)((--------+--+---+b
a a
b b b a a b a b a b a b a
例3.（1）已知：， 51=--a a ，且0>a ,求下列各式的值.
a ．1-+a a ;
b ．22-+a a ;
c ．
3
22
12
1232
3+-+--
-
a
a a a
（2）．已知32
12
1=+-
x x ，求
a ．1
-+x x b ．1
--x x
c ．21
2
2
2
32
3)2
(+++--
x x x
x
例4.求值: 5544332)3()3()2()2(---+-+-ππ.
例5.计算 (1) 21
75.003
125.016)8
7
(064.0++---.
(2) 43333339
1
624337+--.
例6.已知: 2767=x ,81603=y .求y
x 4
3-的值.
【闯关练习】
1．设0x >且1,,0x x a b a b <<>，则b a ,的大小关系是（ ） A ．1b a <<
B ．1a b <<
C ．1b a <<
D ．1a b <<
2．下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） A ．3x
y =-
B ．13
y x =
C ．2y x =
D ．2y x x =-
3
)31
()3()(65
613
1
2
12
13
2a a b a b a ÷⋅-⋅
4．化简3333441
()()(1)()a a a a a a a a ----⎡⎤+-÷++-⎣⎦.
5．已知310=m
，210=n
，求2
310n m -的值。

6．已知:322=--x
x a
a 且0>a 求x
x x
x a
a a a --++33的值.。