2015年普通高中毕业班综合测试文科数学新课标卷

试卷类型：A2015年普通高中毕业班第一次综合测试（新课标卷）数学（文科）2015.4 本试卷共6页，24小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集{}1,2,3,4,5U =， 集合{}3,4,5M =， {}1,2,5N =， 则集合{}1,2可以表 示为 A ．MN B ．()U M N ð C ．()U MN ð D ．()()U U M N 痧 2. 若tan α>0，则A. sin α>0B. cos α>0C. sin 2α>0D. cos 2α>0 3. 复数(3+2i)i 等于A. -2-3i B .-2+3i C. 2-3i D. 2+3i4. 设F 1，F 2分别为双曲线-=1(a>0，b>0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P 使得(|PF 1|-|PF 2|)2=b 2-3ab ，则该双曲线的离心率为A.B.C. 4D.5. 奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(8)+f(9)= A. -2 B. -1 C. 0 D. 16. 已知向量a=(1，)，b=(3，m).若向量a ，b 的夹角为，则实数m=A. 2B.C. 0D. -7. 将函数y=sin x的图象向左平移个单位，得到函数y=f(x)的图象，则下列说法正确的是A. y=f(x)是奇函数B. y=f(x)的周期为πC. y=f(x)的图象关于直线x=对称D. y=f(x)的图象关于点对称8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.12B.18C. 24D. 309. 执行如图的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·=2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是A. 2B. 3C. D.11. 已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1，平面区域Ω:若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2+b2的最大值为A. 5B. 29C. 37D. 4912. 已知函数f(x)=且g(x)=f(x)-mx-m在(-1，1] 内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是A. ∪B. ∪C. ∪D. ∪第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22~24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________. 14. 顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成这项 任务.每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完 成后交付顾客.两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:原料时间工序粗加工 精加工 原料A 9 15 原料B621则最短交货期为________个工作日.15. 若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a 的值为 . 16．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于 .三、 解答题：本大题共8小题，考生作答6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17. （本小题满分12分）已知等差数列{a n }的公差d=1， 前n 项和为S n . (Ⅰ) 若1， a 1， a 3成等比数列， 求a 1; (Ⅱ) 若S 5> a 1a 9， 求a 1的取值范围.如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=.(Ⅰ) 证明:BC⊥平面POM;(Ⅱ) 若MP⊥AP，求四棱锥P-ABMO的体积.19. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立.(Ⅰ) 求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(Ⅱ) 实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值.20.（本小题满分12分）如图，设椭圆+=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为.(Ⅰ) 求该椭圆的标准方程;(Ⅱ) 是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在，求出圆的方程.若不存在，请说明理由.设函数f(x)=aln x+x2-bx(a≠1)，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0. (Ⅰ) 求b;(Ⅱ) 若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号。

22. （本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲如图，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连结DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.(Ⅰ) 求证:AB为圆的直径;(Ⅱ) 若AC=BD，求证:AB=ED.23. （本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. (Ⅰ) 写出C的参数方程;(Ⅱ) 设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.24. （本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲设函数f(x)=+|x-a|(a>0).(Ⅰ) 证明:f(x)≥2;(Ⅱ) 若f(3)<5，求a的取值范围2015年普通高中毕业班综合测试（一）（新课标）数学（文科）参考答案与评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B D D B D C C B C A 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13. 14. 42 15. -4或8 16. 120(-1)m三、解答题：本大题共8小题，考生作答6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.（12分）(Ⅰ) 因为数列{a n}的公差d=1，且1，a1，a3成等比数列，所以=1×(a1+2)，即-a1-2=0，解得a1=-1或a1=2.(Ⅱ) 因为数列{a n}的公差d=1，且S5> a1a9，所以5a1+10> +8a1，即+3a1-10< 0，解得-5< a1< 2.18.（12分）(Ⅰ)证明:如图，连结OB，因为ABCD为菱形，O为菱形的中心，所以AO⊥OB.因为∠BAD=，所以OB=AB·sin∠OAB=2sin=1，又因为BM=，且∠OBM=，所以在△OBM中，OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM=12+-2×1××cos=.所以OB2=OM2+BM2，故OM⊥BM.又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC⊥平面POM.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，OA=AB·cos∠OAB=2·cos=.设PO=a，由PO⊥底面ABCD知，△POA为直角三角形，故PA2=PO2+OA2=a2+3.又△POM也是直角三角形，故PM2=PO2+OM2=a2+.连结AM，在△ABM中，AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM=22+-2×2××cos=. 由于MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则PA2+PM2=AM2，即a2+3+a2+=，得a=或a=-(舍去)，即PO=.此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB=·AO·OB+·BM·OM=××1+××=.所以V P-ABMO=·S四边形ABMO·PO=××=.19.（12分）记A i表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0，1，2，B表示事件:甲需使用设备，C表示事件:丁需使用设备，D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.E表示事件:同一工作日4人需使用设备，F表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于k. (Ⅰ)D=A1·B·C+A2·B+A2··C，P(B)=0.6，P(C)=0.4，P(A i)=×0.52，i=0，1，2.(3分) 所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(6分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知，若k=2，则P(F)=0.31>0.1.又E=B·C·A2，P(E)=P(B·C·A2)=P(B)P(C)P(A2)=0.06.若k=3，则P(F)=0.06<0.1.所以k的最小值为3.20.(Ⅰ)设F1(-c，0)，F2(c，0)，其中c2=a2-b2.由=2得|DF1|== c.从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1.从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=，因此|DF2|=.所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2-c2=1.因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1.(Ⅱ)如图，设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是两个交点，y1>0，y2>0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性，易知，x2=-x1，y1=y2.由(Ⅰ)知F1(-1，0)，F2(1，0)，所以=(x1+1，y1)，=(-x1-1，y1).再由F1P1⊥F2P2得-(x1+1)2+=0.由椭圆方程得1-=(x1+1)2，即3+4x1=0，解得x1=-或x1=0.当x1=0时，P1，P2重合，不存在满足题设要求的圆.当x1=-时，过P1，P2分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.设C(0，y0)，由CP1⊥F1P1，得·=-1.而y1=|x1+1|=，故y0=.圆C的半径|CP1|==.综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+=.21.(Ⅰ)f '(x)=+(1-a)x-b.由题设知f '(1)=0，解得b=1.(Ⅱ)f(x)的定义域为(0，+∞)，由(Ⅰ)知，f(x)=aln x+x2-x，f'(x)=+(1-a)x-1=(x-1).(i)若a≤，则≤1，故当x∈(1，+∞)时，f '(x)>0，f(x)在(1，+∞)上单调递增.所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，即-1<，解得--1<a<-1.(ii)若<a<1，则>1，故当x∈时，f '(x)<0;当x∈时，f '(x)>0.f(x)在上单调递减，在上单调递增.所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f<.而f=aln ++>，所以不合题意.(iii)若a>1，则f(1)=-1=<.综上，a的取值范围是(--1，-1)∪(1，+∞).22.证明(Ⅰ)因为PD=PG，所以∠PDG=∠PGD.由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA，又由于∠PGD=∠EGA，故∠DBA=∠EGA.所以∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，从而∠BDA=∠PFA.由于AF⊥EP，所以∠PFA=90°，于是∠BDA=90°，故AB是直径.(Ⅱ)连结BC，DC.由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°.在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，从而Rt△BDA≌Rt△ACB.于是∠DAB=∠CBA.又因为∠DCB=∠DAB，所以∠DCB=∠CBA，故DC∥AB.由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角，于是ED为直径，由(Ⅰ)得ED=AB.23.(Ⅰ)设(x1，y1)为圆上的点，经变换为C上点(x，y)，依题意，得由+=1得x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1.故C的参数方程为(t为参数).(Ⅱ)由解得或不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k=，于是所求直线方程为y-1=，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3，即ρ=.24.(Ⅰ)由a>0，有f(x)=+|x-a|≥=+a≥2，所以f(x)≥2.(Ⅱ)f(3)=+|3-a|.当a>3时， f(3)=a+，由f(3)<5得3<a<.当0<a≤3时， f(3)=6-a+，由f(3)<5得<a≤3.综上，a 的取值范围是. 小题精析[答案] 1.B[解析] 1.由交集的定义知()U M N ð={}1,2，故选B.[答案] 2.C[解析] 2.由tan α>0得α是第一、三象限角，若α是第三象限角，则A ，B 错;由sin 2α=2sin αcosα知sin 2α>0，C 正确;α取时，cos 2α=2cos 2α-1=2×-1=-<0，D 错.故选C.[答案] 3.B[解析] 3.(3+2i)i=3i+2i 2=-2+3i.选B. [答案] 4.D[解析] 4.根据双曲线的定义，得||PF 1|-|PF 2||=2a.又(|PF 1|-|PF 2|)2=b 2-3ab ，所以4a 2=b 2-3ab ，即(a+b)(4a-b)=0，又a+b≠0，所以b=4a ，所以e====.[答案] 5.D[解析] 5.由f(x+2)是偶函数可得f(-x+2)=f(x+2)，又由f(x)是奇函数得f(-x+2)=-8，所以f(x+2)=-f(x-2)， f(x+4)=-f(x)， f(x+8)=f(x)，故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)=f(8+1)=f(1)=1，又f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(0)=0，所以f(8)=f(0)=0，故f(8)+f(9)=1，故选D.[答案] 6.B[解析] 6.∵a=(1，)，b=(3，m)，∴|a|=2，|b|=，a·b=3+m，又a，b的夹角为，∴=cos，即=，∴+m=，解得m=.[答案] 7.D[解析] 7.将函数y=sin x的图象向左平移个单位，得到函数y=f(x)的图象，则y=f(x)=sin=cos x.此函数为偶函数，周期为2π.由于f=cos=cos=0，所以y=f(x)的图象关于点对称，故选D.[答案] 8.C[解析] 8.由三视图可知该几何体是由如图所示的直三棱柱ABC-A1B1C1截掉一个三棱锥D-A1B1C1得到的，其中AC=4，BC=3，AA1=5，AD=2，BC⊥AC，所以该几何体的体积V=·AC·BC·AA1-×·A1C1·B1C1·A1D=×4×3×5-××4×3×3=30-6=24.[答案] 9.C[解析] 9.由程序框图可知，若输入的x，y满足约束条件则输出目标函数S=2x+y 的值，否则，输出S=1.如图，作出满足条件的可行域.当x=1，y=0时，目标函数S=2x+y取得最大值2，2>1，故输出的S的最大值为2.[答案] 10.B[解析] 10.如图，可设A(m2，m)，B(n2，n)，其中m>0，n<0，则=(m2，m)，=(n2，n)，·=m2n2+mn=2，解得mn=1(舍)或mn=-2.∴l AB:(m2-n2)(y-n)=(m-n)(x-n2)，即(m+n)(y-n)=x-n2，令y=0，解得x=-mn=2，∴C(2，0).S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×m+×2×(-n)=m-n，S△AOF=××m=m，则S△AOB+S△AOF=m-n+m=m-n=m+≥2=3，当且仅当m=，即m=时等号成立.故△ABO与△AFO面积之和的最小值为3.[答案] 11.C[解析] 11.由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界.∵圆C与x轴相切，∴b=1.显然当圆心C位于直线y=1与x+y-7=0的交点(6，1)处时，a max=6.∴a2+b2的最大值为62+12=37.故选C.[答案] 12.A[解析] 12.令g(x)=0，则f(x)=m(x+1)，故函数g(x)在(-1，1]内有且仅有两个不同的零点等价于函数y=f(x)的图象与直线y=m(x+1)有且仅有两个不同的交点.函数f(x)的图象如图中实线所示.易求k AB=，k AC=-2，过A(-1，0)作曲线的切线，不妨设切线方程为y=k(x+1)，由得kx2+(2k+3)x+2+k=0，则Δ=(2k+3)2-4k(2+k)=0，解之得k=-.故实数m的取值范围为∪[答案] 13.[解析] 13.从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，其基本事件为(a，b)、(a，c)、(a，d)、(a，e)、(b，c)、(b，d)、(b，e)、(c，d)、(c，e)、(d，e)，共10个，其中取到字母a的有4个.故P(取到字母a)==.[答案] 14.42[解析] 14.工序流程图如图所示:则最短交货期为6+21+15=42个工作日.[答案] 15.-4或8[解析] 15.当a>2时，-<-1，f(x)=其图象如图所示:由图象知f(x)的最小值为f=-+a-1=-1，依题意得-1=3，解得a=8，符合题意.当a=2时，f(x)=3|x+1|，其最小值为0，不符合题意.当a<2时，->-1，f(x)=得f(x)的最小值为f，因此-+1=3，解得a=-4，符合题意.故为-4或8.[答案] 16. 120(-1)m[解析] 16.如图，∠ACD=30°，∠ABD=75°，AD=60 m，在Rt△ACD中，CD===60m，在Rt△ABD中，BD====60(2-)m，∴BC=CD-BD=60-60(2-)=120(-1)m.。