四年级数学-暑假第七讲-整除特性
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除是数论中的一个重要概念，它描述了一个整数能够被另一个整数整除，也就是除法运算的结果是整数。
整除有着许多重要的性质和特征，下面将详细介绍。
1.定义：整数a能够被整数b整除，即b是a的因数，记作b，a，当且仅当存在一个整数c，使得a=b·c。
其中，c称为a除以b的商，b称为a的约数，a称为b的倍数。
2.可加性：如果c是a的一个约数，那么c也是a的倍数。
换句话说，如果一个整数能够整除a，那么它也能够整除a的倍数。
3.可乘性：如果b，a且c，a，那么b·c也，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a与b的乘积。
4.整除的传递性：如果b，a且c，b，那么c，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a。
5.算术基本定理：任意一个大于1的整数，都可以表达为多个质数的积。
这意味着，如果一个整数可以整除另一个整数，那么它必然可以整除这个整数的所有质因数。
6. 两个非零整数的最大公约数和最小公倍数：两个非零整数a和b的最大公约数（记作gcd(a,b)）是能够同时整除a和b的最大正整数。
两个非零整数a和b的最小公倍数（记作lcm(a,b)）是能够同时被a和b整除的最小正整数。
于是有gcd(a,b)·lcm(a,b)=a·b。
7.唯一分解定理：任何一个整数都能够唯一地分解为几个质数的乘积。
这个定理也说明了一个数的因数有限，不会无限增多。
8. 整除与除法的关系：一个整数a能够被b整除，相当于a除以b 的余数为0。
对于任意的整数a和b，总能够找到唯一的两个整数商q和余数r，使得a=bq+r，其中r满足0≤r<，b。
9. 整除与模运算的关系：一个整数a能够被b整除，等价于a除以b的余数为0，即a mod b = 0。
在模运算中，a mod b表示a除以b的余数。
10. 除法的消去律：如果一个整数a能够被b整除，那么对于任意的整数c，ac也能够被bc整除。
数的整除性质
数的整除性质整数是我们日常生活中经常会接触到的概念，它们是自然数、负整数和零的总称。
在整数中，我们经常会遇到一种关系，那就是整除。
整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是没有余数。
在本文中，我们将探讨数的整除性质，包括整除的定义、性质和应用。
一、整除的定义首先，我们需要明确整除的定义。
设a和b是两个整数，如果存在一个整数c，使得a=b×c，我们说a能被b整除，b能整除a，a是b的倍数，b是a的因数。
简而言之，整除就是没有余数。
例如，6能被3整除，因为6=3×2；而8不能被3整除，因为8÷3=2余2。
因此，8不是3的倍数，3不是8的因数。
二、整除的性质1. 传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
证明：假设a=b×m，b=c×n，其中m和n是整数。
将第一个等式代入第二个等式中，得到a=(c×n)×m=c×(n×m)，即a能被c整除。
2. 反对称性：如果a能被b整除，且b能被a整除，则a等于b的相反数或零。
证明：假设a=b×m，b=a×n，其中m和n是整数。
将第一个等式代入第二个等式中，得到a=(a×n)×m=a×(n×m)。
那么，如果n×m等于1，也就是说a=a，那么a等于零；如果n×m等于-1，也就是说a=-a，那么a等于b的相反数。
3. 整除与加减法：如果a能被b整除，那么a加上或减去任意多个b后仍能被b整除。
证明：假设a=b×m，其中m是整数。
我们需要证明a+kb和a-kb都能被b整除，其中k是任意整数。
根据整数的加减法运算性质，a+kb=b×m+kb=b×(m+k)，a-kb=b×m-kb=b×(m-k)。
因此，a+kb和a-kb都能被b整除。
三、整除的应用整除的性质在数论和代数中有着广泛的应用。
数的整除性质技巧
数的整除性质技巧一、整除的基本法则（一）能被2、4、8、5、25、125 整除的数的数字特性能被2 （或5）整除的数，末位数字能被2（或5）整除；能被4 （或25）整除的数，末两位数字能被4（或25）整除；能被8 （或125）整除的数，末三位数字能被8（或125）整除；（二）能被3、9 整除的数的数字特性能被3（或9）整除的数，各位数字和能被3（或9）整除。
（三）能被7 整除的数的数字特性能被7 整除的数，其末一位的两倍与剩下的数之差为7的倍数。
能被7 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被7 整除。
（四）能被11 整除的数的数字特性能被11 整除的数，奇数位的和与偶数位的和之差，能被11 整除。
能被11 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被11 整除。
（五）能被13 整除的数的数字特性能被13 整除的数，其末三位数与剩下的数之差，能被13 整除。
二、例题讲解法则下面我们通过几个例题来看下数的整除性质在数学运算中的应用。
例1、一个四位数，分别能被15、12、10除尽，且被这三个数除尽时所得的三个商的和为1365，问这个四位数四个数字的和是多少？（）A.17B.16C.15D.14解析：本题所要求的是这个四位数四个数字的和，按常规思维，我们需要先把这个四位数求出来，但这样会比较浪费时间。
我们要求的是四个数字的和，联系到特殊数的整除判定，只有3和9的倍数是与数字和相关的。
由题目的条件我们知道，这个四位数能被15除尽，那肯定可以被3除尽，所以这个四位数四个数字的和也是3的倍数，结合选项，只有C正确。
例2、甲、乙、丙三人合修一条公路，甲、乙合修6天修好公路的1/3，乙、丙合修2天修好余下的1/4，剩余的三人又修了5天才完成。
共得收入1800元，如果按工作量计酬，则乙可获得收入为（）元A.330元B.910元C.560元D.980元解析：本题属于工程类问题，常规方法是通过列方程来解，但解方程比较困难。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题。
理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征，可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子的数感。
一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正好是整数而且余数是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a），记作b/a，读作“b整除a”或“a能被b整除”。
a叫做b的倍数，b叫做a的约数（或因数）。
整除属于除尽的一种特殊情况。
二、整除的五条基赋性质：（1）如果a与b都能被c整除，则a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任意整数，则积ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；（4）如果a能同时被b、c整除，且b与c互质，那么a一定能被积bc整除，反之也成立；（5）任意整数都能被1整除，即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除，即0是任意非0整数的倍数。
三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基赋性质，可以推导出某些特殊数的整除特征，为解决整除问题带来方便。
（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征。
①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或8）或5的倍数（0、5），则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数，则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数，则这个数能被8或125整除。
【推理过程】：2、5都是10的因数，根据整除的基赋性质（2），可知所有整十数都能被10、2、5整除。
任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和，如果一个数的个位数字也能被2或5整除，根据整除的基赋性质（1），则这个数能被2或5整除。
又因为4、25都是100的因数，8、125都是1000的因数，根据整除的基赋性质（2），可知任意整百数都能被4、25整除，任意整千数都能被8、125整除。
小学数学点知识归纳数的整除性质与判断方法
小学数学点知识归纳数的整除性质与判断方法数的整除是数学中的一个重要概念，它是指一个数能够被另一个数整除，即能够整除的数称为因数，而被整除的数称为倍数。
在小学数学中，学生需要掌握数的整除性质与判断方法，以便能够正确地解决与整除相关的问题。
本文将对小学数学中数的整除性质与判断方法进行归纳，帮助学生更好地理解和掌握这一概念。
一、整除性质1. 整除定义：如果一个数a能被另一个数b整除，即a÷b的结果是一个整数，那么我们说a能被b整除，记作b|a。
反之，如果a不能被b整除，则记作b∤a。
2. 整除传递性：如果a能被b整除，并且b能被c整除，那么a能被c整除。
例如，如果2能够整除6，6能够整除12，那么2也能够整除12。
3. 整除对称性：如果a能被b整除，那么b也能被a整除。
例如，如果4能够整除8，那么8也能够整除4。
4. 0的整除性：任何一个非零数与0做除法时都不能整除0，但0除以任何一个非零数都等于0。
5. 1的整除性：任何一个整数都能被1整除。
二、判断整除的方法1. 除法法：判断整数a能否整除整数b，可以直接进行除法运算，即计算a÷b的结果。
如果结果是一个整数，那么a能被b整除；反之，如果结果不是整数，则a不能被b整除。
2. 因数法：如果一个数是另一个数的因数，那么它能整除这个数。
可以通过列举出一个数的所有因数，然后判断这些因数是否能整除给定的数。
3. 整除性质法：利用数的整除性质来判断整除关系。
例如，能被2整除的数必定是偶数，能被3整除的数的各位数字之和能被3整除，能被5整除的数的个位数字只能是0或5等。
三、应用示例下面通过一些具体的示例来说明数的整除性质与判断方法的应用。
1. 判断一个数是否能被2整除：如果一个数的个位数字是0、2、4、6或8，则它能被2整除；反之，如果个位数字是1、3、5、7或9，则不能被2整除。
2. 判断一个数是否能被3整除：将这个数的各位数字相加，如果所得和能被3整除，则这个数也能被3整除；反之，如果所得和不能被3整除，则这个数不能被3整除。
四年级数学竞赛班 数的整除特征
第三讲数的整除特征1. 整除概念：一个整数除以另一个整数，得到的商也是一个整数，叫做整除。
2．整数的整除性质:（1）如果整数a，b都能被整数c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。
（2）几个整数相乘，如果其中有一个因数能被某一个整数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
（3）如果一个整数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。
反过来，如果一个整数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质的数整除。
3．数的整除特征：（1）末位数字是偶数的整数能被2整除；末位数字是0或5的整数能被5整除；末两位数是4（或25）的倍数的整数能被4（或25）整除；末三位数是8（或125）的倍数的整数能被8（或125）整除。
（2）各位数字之和能被3（或9）整除的整数，能被3（或9）整除。
（3）若一个整数的奇数位数字的和与偶数位数字的和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
例1、谁能又快又好的写出下面的答案（千万不要落下一个噢）26□4能被2整除259□能被5整除2□93能被3整除6□93能被9整除51□4能被4整除43□2能被4整除63□□能被25整除72□6能被8整除61□6能被8整除98□□□能被125整除例2、四位数57A1能被9整除，求A。
例3、六位数a8919b能被33整除，求a与b。
45这个四位数，同时能被2，3，4，5，9整除，求此四位数。
例4、AB例5、在568后面补上三个数字，组成一六位数，使它分别能被3，4，5整除，且使这个数值尽可能小。
求这个六位数。
例6、有72名学生，共交课间餐费a52.7b元，每人交了多少元？例7、任意一个三位数连着写两次得到一个六位数，这个六位数一定同时能被7，11，13整除。
这时为什么？1．（1）能被2整除的所有符合条件的数．762□ 847□ 23□2（2）能被5整除的所有符合条件的数．870□ 963□2．（1）能被3整除的数．93□76 876□3（2）能被9整除的数．9□391 80□1 3AA1（A代表几）3．（1）能被4整除的数．（2）能被25整除的数．87□4 832□ 81□□ 987□5（3）能被8整除的数．（4）能被125整除的数． 7312□ 79□52 73□25 79□5□4．761□能被2，3整除．5．四位数B8能同时被5，6整除，这个四位数是．A16.六位数1803a6能被12整除，求数字a是多少。
整除性质及规律总结
整除性质及规律总结整除性质是指一个数能够被另一个数整除的特性。
在数学中，整除性质是一个非常重要的概念，它可以帮助我们解决一些数学问题，特别是在解决整数运算、因式分解等问题时起到重要的作用。
整除性质的基本概念是“整除”。
如果一个整数a能够被另一个整数b整除，那么我们就说a被b整除，记作a，b。
换句话说，如果存在一个整数c使得a=bc，那么我们就可以说a被b整除。
整除性质有以下几个重要的规律：1.任何整数都能被1整除。
对于任意整数a，都有a，12.任何整数都能整除它自己。
对于任意整数a，都有a，a。
3.如果整数a能被整数b整除，那么a也能被b的所有因数整除。
即如果a，b，且b，c，则a，c。
4.如果整数a能够整除整数b，且整数b能够整除整数a，那么a和b相等或它们都是0。
即如果a，b且b，a，那么a=b或a=b=0。
5.如果一个整数a能够整除整数b，那么a的绝对值一定小于或等于b的绝对值。
即如果a，b，则，a，≤，b。
这些整除性质和规律可以帮助我们解决许多数学问题。
以下是一些例子：1.素数判定：根据整除性质，如果一个数除了1和它本身外没有其他因数，那么这个数一定是素数。
因为只有1和它本身能够整除它。
例如，判断一个数a是否为素数，我们只需要从2到a的平方根遍历，看是否有能够整除a的数。
2.因式分解：根据整除性质，如果一个数a能够整除另一个数b，那么a就是b的因数。
因此，我们可以通过找出一个数的所有因数，然后对这些因数进行组合，得到这个数的因式分解式。
例如，将一个数b进行因式分解，我们可以从2开始遍历到b的平方根，找出所有能够整除b的数，然后将它们进行组合。
3.取模运算：取模运算是指将一个数除以另一个数，所得到的余数。
根据整除性质，如果一个整数a能够整除另一个整数b，那么b模a的结果一定为0。
因此，我们可以利用取模运算来判断一个数能否被另一个数整除。
例如，判断一个数b能否被3整除，我们只需要计算b模3的结果，如果结果为0，则说明b能够被3整除。
第七讲 数的整除(二)
五年级秋季培优第七讲数的整除（二）这一讲我们重点掌握能被7，11，13整除的数的特征。
1.能被11整除的数的特征：如果一个自然数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大数减小数）能被11整除，那么这个数就能被11整除，否则就不能。
2.能被7，11，13整除的数的特征：如果一个自然数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7，11或13整除，那么这个数就能被7，11或13整除，否则就不能。
由1001＝7×11×13，知1001被7，11或13整除。
并熟记77＝7×11；91＝7×13；143＝11×13。
3.被互质的两个数同时整除的数的特征：两个数互质指如果两个自然数只有公因数1，这两个数称为互质数。
如果一个自然数能同时被两个互质的数整除，那么这个数一定能被这两个互质的数的乘积整除；反之，如果一个自然数能被两个互质数的乘积整除，则这个数一定能被这两个互质的数整除。
典例精讲例1一个六位数2356□□是22的倍数，那么这个六位数可能是多少？【思路点拨】因为22＝11×2，既然六位数2356□□是22的倍数，那么这个六位数就应该同时是2和11的倍数。
然后根据可以被2和11整除的数的特征进行判断，即可解题。
【详细解答】例2根据能被7，11，13整除的数的特征，判断2206525321能否被7，11，13整除。
【思路点拨】根据被7，11，13整除的数的特征，末三位数字所表示的数321，末三位之前的数所表示的数字所表示的数为2206525，两者之差为2206525－321＝2206204.这个差能否被7，11，13整除，还不容易看出，必须继续利用被7，11，13整除的数的特征，对上述的差2206204再进行判断。
方法与前面一样，2206－204＝2002，2－2＝0，由于0能被7，11，13整除，所以2206525321能被7，11，13整除。
数的整除特征
数的整除特征首先，我们来定义一下整除的概念。
对于任意两个整数a和b，如果存在一个整数k，使得a=k*b，那么我们称b整除a，记作b，a。
其中，整数k就是a除以b的商。
例如，2整除8，可以表示为2，8，因为8=2*4有了整除的定义，我们就可以讨论整除的一些基本特征了。
首先，任何数都能被1整除。
这是因为对于任意一个整数a，都存在一个整数k=1，使得a=k*a，即a，a。
其次，对于任意一个整数a，a除以a的商为1，即a=a*1、因此，任何一个数都能被自身整除，即a，a。
接下来，我们来讨论一下整除特征中的一个重要性质，即整除的传递性。
如果整数a能够被整数b整除，而整数b能够被整数c整除，那么整数a也能够被整数c整除。
这是因为如果有a=k*b和b=m*c，其中k和m都是整数，那么可以将a表示为a=(k*m)*c，即a=k'*c（其中，k'=k*m），这样就证明了a能够被c整除，即a，c。
最大公约数在整数的整除特征中有很重要的应用。
一个重要的结论是，如果整数a能够被整数b整除，那么a和b的最大公约数就是b。
即，如果a，b，则GCD(a,b)=b。
这可以通过a=k*b和b=m*b，其中k和m都是整数，来进行证明。
因此，对于整除的判断可以使用最大公约数的概念来简化。
最后，我们谈到了整除特征在分解因式和求解方程中的应用。
通过观察一个数的因子和倍数的关系，可以将一个数进行因式分解，找到它的素数因子。
而有一些数论定理也基于整除特征，如唯一分解定理，它指出每个大于1的整数都可以唯一地分解为素数的乘积。
在求解方程中，对于形如ax≡b (mod n)的同余方程，如果数x满足这个方程，那么a和n都能够整除(ax-b)。
根据同余方程的性质，我们可以利用整除特征来求解方程。
总结一下，整除特征是研究整数之间整除关系的基本性质。
它涉及到整除的定义、整除的传递性、最大公约数、最小公倍数以及整除在因式分解和求解方程中的应用等。
整除的性质和特征
整除得性质与特征整除问题就是整数内容最基本得问题。
理解掌握整除得概念、性质及某些特殊数得整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子得数感。
一、整除得概念：如果整数ａ除以非0整数b，除得得商正好就是整数而且余数就是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a),记作b/ａ，读作“b整除ａ”或“a能被ｂ整除".a叫做b得倍数，b叫做a得约数（或因数）.整除属于除尽得一种特殊情况.二、整除得五条基本性质:（1)如果a与ｂ都能被c整除，则a+b与ａ-ｂ也能被c整除;（２）如果a能被b整除，c就是任意整数,则积ac也能被b整除；(3）如果a能被b整除,ｂ能被ｃ整除，则积a也能被c整除；（4)如果a能同时被b、c整除,且ｂ与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立;（5)任意整数都能被1整除，即1就是任意整数得约数；０能被任意非０整数整除，即0就是任意非0整数得倍数。
三、一些特殊数得整除特征:根据整除得基本性质,可以推导出某些特殊数得整除特征，为解决整除问题带来方便。
(1)如果一个数就是整十数、整百数、整千数、……得因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数得整除特征。
①若一个整数得个位数字就是2得倍数(0、2、4、6或8)或５得倍数（0、５),则这个数能被２或5整除；②若一个整数得十位与个位数字组成得两位数就是4或２5得倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数得百位、十位与个位数字组成得三位数就是8或125得倍数，则这个数能被8或125整除。
【推理过程】:２、5都就是10得因数,根据整除得基本性质（２）,可知所有整十数都能被１0、２、5整除。
任意一个整数都可以瞧作一个整十数与它得个位数得与,如果一个数得个位数字也能被２或5整除，根据整除得基本性质（1）,则这个数能被２或５整除。
又因为4、25都就是1００得因数,８、１２５都就是100０得因数，根据整除得基本性质(2)，可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、1２5整除.同时，任意一个多位数都可以瞧作一个整百数与它末两位数得与或一个整千数与它得末三位数得与,根据整除得基本性质(1），可以推导出上面第②条、第③条整除特征.同理可证,若一个数得末四位数能被１６或625整除，则这个数能被16或625整除，依此类推.(2）若一个整数各位上数字与能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。
数的性质 整除性 数的整除特征
因为3|（ × 999 + × 99 + × 9），
根据整除的Байду номын сангаас差性，
3能整除（ × 1000 + × 100 + × 10 + ）与（ × 999 + × 99 + × 9）的差
（ + + + ）。
一、数的整除特征
5、能被11整除的数的特征：奇数位上的数之和与偶数位上的数之和的差（大减小）
如果11能够整除，由和差性，11|( + + − − )。
一、数的整除特征
6、能被7(11或13) 整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组
成的数之差（大减小）能被7(11或13) 整除。
证明：在这里仅证明五位数的情况，其余情况类似证明。
一个五位整数 = × 1000 + = 1001 + −
数的整除特征
主要学习内容
01
数的整除特征
02
典型例题分析
一、数的整除特征
1、能被2(或5)整除的数的特征：末位数字能被2(或5)整除。
为了便于小学生理解，我们通常说成：如果一个整数的个位数字是0，2，4，6，8，
那么它能被2整除；如果一个整数的个位数字是0或5，那么它能被5整除。
2、能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能被4(或25)整除。
是11的倍数。
证明：在这里仅证明五位数的情况，其余情况类似证明。
一个五位整数 = 10000 + 000 + 100 + 10 +
= 9999 + + 1001 − + 99 + + 11 − +
数的整除性及性质
数的整除性及性质数的整除性是指一个整数能够被另一个整数整除，即没有余数的除法运算。
整除性是数学中的一个重要概念，它有一些基本的性质。
性质1：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被这个整数的因子整除。
性质2：如果一个整数能够被两个整数整除，那么它也能够被这两个整数的公倍数整除。
性质3：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倍数也能够被这个整数整除。
性质4：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数也能够被这个整数整除。
性质5：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍也能够被这个整数整除。
性质6：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数也能够被这个整数整除。
性质7：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数也能够被这个整数整除。
性质8：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数也能够被这个整数整除。
性质9：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方也能够被这个整数整除。
性质10：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倒数也能够被这个整数整除。
性质11：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的倒数也能够被这个整数整除。
性质12：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍数的倒数也能够被这个整数整除。
性质13：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质14：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质15：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质16：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方的倒数也能够被这个整数整除。
性质17：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的次方也能够被这个整数整除。
数的整除性了解整除的概念和判断方法
数的整除性了解整除的概念和判断方法整除是数学中常见的概念，它用来描述一个数能够被另一个数整除的性质。
在本文中，我们将深入探讨整除的概念和判断方法。
一、什么是整除？整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是说，当一个数除以另一个数时，得到的商是整数。
例如，当我们说「6可以被2整除」时，意思是6除以2的商是整数3。
在整除的概念中，有两个重要的要素，分别是被除数和除数。
被除数是需要被整除的数，而除数则是用来除以被除数的数。
在上面的例子中，6是被除数，2是除数。
二、整除的判断方法那么，如何判断一个数能否被另一个数整除呢？下面我们将介绍几种常见的判断方法。
1. 除法运算法则最常用的判断方法是使用除法运算法则。
当被除数除以除数能够得到一个整数的商时，那么被除数就能被除数整除。
例如，当我们计算12除以3时，得到的商是4，而4是一个整数，因此我们可以说12可以被3整除。
2. 余数判断法则除法运算法则是最常见和直观的判断方法，但有时我们也可以使用余数判断法则来判断整除性。
当被除数除以除数得到的余数为0时，我们可以判断被除数能够被除数整除。
例如，当我们计算15除以5时，得到的余数是0，因此我们可以说15可以被5整除。
三、整除的性质除了了解整除的概念和判断方法，我们还应该了解整除的一些重要性质。
1. 传递性整除关系具有传递性，也就是说，如果一个数能够被另一个数整除，而这个另一个数又能够被第三个数整除，那么第一个数也能被第三个数整除。
例如，如果6能够被2整除，而2又能够被1整除，那么我们可以得出结论：6能够被1整除。
2. 1的整除性每个数都能被1整除。
这是因为对于任意一个数n，我们都可以将n除以1得到n本身，而n本身是一个整数。
3. 0的整除性0不能被除数整除，因为对于任意一个数n（n≠0），当我们将n除以0时，无法得到一个确定的商，所以没有意义。
四、小结在本文中，我们深入了解了整除的概念和判断方法。
整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是两个数之间存在整除关系。
第七讲--数的整除的应用
第七讲数的整除的应用重点点击：数的整除的应用非常广泛，内容丰富，题型多样。
特别是一些综合性的、与实际生活相关的问题，同学们一定要仔细审题，搞清楚这个问题的本质，与被哪个数整除的特征有关，把问题由繁化简，最终解决问题。
例题精讲例1有两堆糖果，第一堆有423块，第二堆有344块，哪一堆平均分给9个小朋友没有剩余？【点拨】本题实际就是要判断423和344能否被9整除，而423各位上数字的和是4+2十3=9，能被9整除．344各位上数字的和是3+4+4 =11，不能被9整除。
所以，第一堆可以平均分给9个小朋友而无剩余．第二堆平均分给9个小朋友还剩余2块。
巩固练习1．五年级同学给地震灾区的9个班共捐了3573本书，能正好平均分给这9个班吗？2．五年级有625个同学，六年级有705个同学，参加国庆节演出要求排成每行25人的方阵，应选哪个年级参加正好没有剩余？例2一位采购者买了56瓶洗发液，发票上的一些数字不慎被墨水沾污了，只看到口78. 2口元（口为墨水沾污了的数字）。
你能帮他算一算每瓶洗发液多少元吗？【点拨】把口78.2口元看做口7 8 2口分，这是5 6瓶洗发液的总价钱。
因为单价×数量= 总价，所以总价口782口一定能被56整除。
又因为56=8×7，而8与7又是互质数，所以，根据整除的性质，口782口应该同时能被8和7整除。
根据能被8整除的数的特征，82口必须能被8整除。
从820÷8=102 (4)可以推出，口里的数应为4。
又根据能被7整除的数的特征，824减口7的差必须能被7整除，可以这样推算：824 -7=817，817÷7=116……5，因为35可以被7整除，且加上5正好是40，所以，口7里的口应填4。
解：总价是47284分。
每瓶洗发液的价钱是：47824÷56=854（分）=8元5角4分答：每瓶洗发液是8元5角4分。
巩固练习1．五年级有72名学生，每人买了一本《新华字典》，共交书费口43.5口元。
整除的特征
（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
四年级数学全册知识点教材分析除法运算与数的整除性质
四年级数学全册知识点教材分析除法运算与数的整除性质四年级数学全册知识点教材分析——除法运算与数的整除性质四年级数学课程是培养学生数学思维和解决问题能力的重要阶段，其目标是让学生掌握数的整数概念和基本运算，了解数的整除性质，并能熟练运用除法进行计算。
本文将对四年级数学全册中的除法运算与数的整除性质进行分析。
一、除法运算的基本概念除法运算是数学中的一种基本运算，它是指将一个数分成若干等分的运算。
在四年级数学课程中，学生将学习除法运算的基本概念与符号，并能够熟练应用到解决实际生活问题中。
1.1 除法的符号和记号在除法运算中，我们使用“÷”符号表示除法运算，如12 ÷ 3 = 4。
被除数是被除的数，如12；除数是除以的数，如3；商是除法运算的结果，如4；余数则表示除法运算中剩余的数，如12 ÷ 5 = 2 余 2。
1.2 除法的整除和不整除除法运算中的整除和不整除概念在四年级数学中非常重要。
简单来说，如果一个数除以另一个数的结果是整数，那么我们说这两个数满足整除关系；反之，如果结果是带有小数部分的数，那么这两个数不满足整除关系。
1.3 除法的计算步骤学生需要掌握除法的计算步骤。
当利用除法运算进行计算时，需要先确定被除数、除数和商的位置，然后按照运算法则进行计算，最后写下整除关系或者余数。
二、除法运算的应用除法运算不仅仅是数学的基本概念，还可以应用到实际生活问题中。
在四年级数学全册中，教材会将除法运算与购物、分配物品等实际场景相结合，让学生在解决问题的过程中提高计算能力和逻辑思维。
2.1 除法在购物中的应用在购物中，除法可以用来计算物品的价格，帮助学生了解商品价格与数量之间的关系。
例如：如果一件衣服的价格是30元，那么2件衣服的总价格是多少？2.2 除法在分配物品中的应用除法在分配物品中也有广泛的应用。
假设班级里有30本书需要分给20名学生，学生们平均能分到几本书？三、数的整除性质在四年级数学全册中，数的整除性质是学生在理解除法运算过程中的重要知识点之一。
第七讲数的整除
第七讲数的整除数的整除数的整除特征：①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例1、判断13574是否是11的倍数？判断1059282是否是7的倍数？判断3546725能否被13整除？例2、在□内填上适当的数字，使六位数43217□能被4（或25）整除.例3、在□内填上合适的数字，使五位数4□32□能被9整除.例4、在□内填上合适的数字，使□679□能同时被8、9整除.例5、在□内填上合适的数字，使六位数19□88□能被35整除.例6、一个六位数586□□□能同时被3、4、5整除，求这样的六位数中最小的？例7、一年级有72名学生，课间加餐共交了□67.9□元（□内的数字辨认不清），每人交了多少钱？（每人交钱一样多）拓展练习：1、个位数是6，且能被3整除的三位数有多少个？2、用1，2，3，4这四个数码可以组成24个没有重复数字的四位数，其中能被11整除的有哪几个？3、一个三位数能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除，这样的三位数有哪些？4、小马虎买了72支同样的钢笔，可是发票不慎落水浸湿，单价已无法辨认，总价数字也不全，只能认出：□11.4□元(□表示不明数字)。
根据整除的特性总结
根据整除的特性总结
整除是数学中的一个基本概念，指一个数能够被另一个数整除，即没有余数。
在整除的计算中，存在一些特性和规律。
本文将总结
其中一些重要的特性。
1. 等式：对于任意整数 a、b 和 c，如果 a 能够整除 b，即 a|b，且 b 能够整除 c，即 b|c，那么 a 也能够整除 c，即 a|c。
这个特性被
称为整除的传递性。
2. 恒等式：对于任意整数 a，a 能够整除 a，即 a|a。
这个特性
在整除的计算中经常被使用。
3. 整数倍：对于任意整数 a 和 b，如果 a 能够整除 b，即 a|b，
那么 b 是 a 的整数倍。
例如，如果 2 能够整除 4，那么 4 是 2 的整
数倍。
4. 互质性：如果两个数 a 和 b 互质，即它们的最大公因数为 1，那么 a 不能整除 b，即不成立 a|b。
例如，3 和 5 互质，所以 3 不能
整除 5。
5. 奇数和偶数：奇数除以偶数不是整数，而奇数除以奇数得到
的商是整数。
例如，9 除以 3 是 3，而 9 除以 2 不是整数。
6. 负数求余：对于任意整数 a 和 b，如果 a 能够整除 b，即 a|b，那么 a 也能够整除 -b，即 a|-b。
例如，如果 3 能够整除 9，那么 3
也能够整除 -9。
整除是数学中重要的概念，它在代数、数论等领域有着广泛的
应用。
了解整除的特性和规律，有助于我们更好地理解和运用整除
的概念，进一步探索数学的奥秘。
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第七讲整除特性
在如下数字中：24、45、60、152、250、434、4175、5624、3872、24125（1）哪些数能被2整除？哪些数能被4整除？哪些数能被8整除？
（2）哪些数能被5整除？哪些数能被25整除？哪些数能被125整除？
有一个五位数32926，只修改其中的一个数字，
（1）能否使得这个数字被8整除？
（2）能否使得这个数字被25整除？
（3）能否使得这个数字被125整除？
已知一个五位数1□□□2能够被8整除，那么这个数字最小是多少？
已知一个五位数4□□□□能够被125整除，那么这个数字最大是多少？
（1）下列哪些数能够被3整除？哪些能够被9整除？
724、12321、7314、486、777
（2）阿呆写了一个五位数5989能被3整除，可是不小心滴上了墨水，有个数字看不清了，已知这个数字不与其它数字相同，你知道这个数字是多少么？
（1）小于100的两个整数，一个是另一个的2倍。
这两个数的和最大是多少？
（2）阿瓜家买了一台电视机，花了2989元，这个数恰好能被9整除，同学们，你知道这台电视机的价格么？
（1）下面的数中，哪些数能够被33整除？哪些能够被99整除？
924、123321、6171、75801、2475
□□元，（2）学校后勤为学校买了33盒笔，发现购物单上没有表明单价，总金额的字迹模糊，只看到93采购员只记得不超过9500元，问实际用了元。
六位数2014能同时被9和11整除。
这个六位数是多少？
（1）以下5个数中：9865、9866、9867、9868、9869，哪个能够被11整除？
□能被11整除，那么这个数是多少？
（2）已知四位数3199
□被11整除？
在方框中填入什么数字，能够使数字2014
若四位数98a a能被15整除，则a代表的数字是多少？
若四位数98a a能被12整除，则a代表的数字是多少？。