04 概率

AB ; A B S
A
B
2、概率的运算 （1）概率的加法公式 A、简化式：当事件A与事件B互不相容时，事件和的概 率为事件Ａ与事件Ｂ的概率之和：
P( A B) P( A) P( B)
A B
P( A B C ) P( A) P( B) P(C )
A
B
C
设A1 第一户访问对象为非直 系家庭 A2 第二户访问对象为直系 家庭
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 / A1 )
20 2 18 2 P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) 20 20 19 18 2 P ( A1 A2 ) 0.095 20 19

P( xi )
x1
p1
x2
p2
xn
pn
P( xi )
x1 x2
xn

• 概率分布表、概率分布图显示： 随机变量取值对应的概率； 概率值随随机变量取值的变化而变化的趋势； 计算出随机变量落在某一区间内的概率 或随机变量取值小于或大于某一取值的概率。 • 由于概率取值满足完备性和互不相容性，概率分布必然有 如下性质： • 1.任一取值的概率都是非负的 pi 0 • 2.随机变量取遍所有值，其相应概率总和为1 • 因此概率加法可使用简单加法公式。
Ｂ、一般式：当事件A与事件B不满足互不相容时，事件 和的概率为事件Ａ与事件Ｂ的概率之和减去事件A与事件B同 时发生的概率：
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
A
AB
B
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( AC) P( BC) P( ABC)
古典计算概率的方法：
当随机试验满足以下两个条件： A、它的样本空间只有有限个样本点； B、每个样本点出现的可能性相同。 这种随机试验称作古典型随机试验，简称古典概型。 对于古典概型，如果事件A包含m个样本点，则事件Ａ的概 率为： A中包含的样本点的个数 m
P( A) 样本点总数 n
例：扔掷两枚均匀的硬币，求出现“两枚都朝上”的概率以 及“一枚朝上，一枚朝下”的概率。 m 1 m 2 1
例：根据某市职业代际流动的统计，服务性行业代际向下流 动的概率为0.07，静止不流动的概率为0.85，求服务性行业 代际向上流动的概率是多少？
设A 代际向下流动； B 代际不流动； C 代际向上流动 A、B、C互不相容
A B C S
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) 1 P(C ) 1 P( A) P( B) 1 0.07 0.85 0.08
（2）事件和 事件A与事件B至少有一个发生所构成的事件C，称作事件A 与事件B的事件和，记作： A B或A B
A B A B
（3）事件积 事件A与事件B同时发生所构成的事件C，称作事件A与事件B的 事件积，记作： A B或A B （4）互不相容： 若事件A发生必然导致事件B不发生，反之亦然，则称事件A与 事件B是互不相容的或互斥的。对于不相容事件有： AB （5）对立事件：（逆事件） A B 若事件A与事件B为互不相容事件，且 在一次试验或观察中必有其一发生，则 S 事件A与事件B为对立事件。对于对事件有：
P( AB) P( A) P( B / A)
例：根据统计结果，在自然生育情况下，男婴出生的概率为 22/43；女婴出生概率为21/43。某单位有两名孕妇，问两名 孕妇都生男婴的概率是多少？两名孕妇都生女婴的概率是多 少？其中一名孕妇生男婴、一名孕妇生女婴的概率是多少？ 设A 第一名孕妇生男婴 , B 第二名孕妇生男婴
（2）概率的乘法公式 A、简化式：如果事件A与事件B相互独立，即事件A出现 的概率与事件B是否出现是无关的，反之亦然。那么，事件 Ａ与事件Ｂ同时发生的概率等于事件Ａ的概率与事件Ｂ的概 率的乘积： P( AB) P( A) P( B)
Ｂ、一般式：当事件A与事件B不满足相互独立时，即事 件A发生影响事件B发生的概率，反之亦然。那么，事件Ａ与 事件Ｂ同时发生的概率等于事件Ａ的概率与事件Ｂ在事件A 发生的条件下的条件概率的乘积：
1
4 2 3
A
B
C
例：为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学 统计出学生中父亲具有大学文化程度的占30%，母亲具有大 学文化程度的占20%，而父母双方都具有大学文化程度的占 10%，问学生中任抽一名，父代至少有一名具有大学文化程 度的概率是多少？
设A 父亲具有大学文化程度 , B 母亲具有大学文化程度 P( A) 0.3; P( B) 0.2; P( AB) 0.1
A 第一名孕妇生女婴 , B 第二名孕妇生女婴 22 22 21 21 P ( A) ; P( B) P ( A) ; P( B) 43 43 43 43 22 22 0.2601 两名孕妇都生男婴的概 率 P( AB ) P( A) P( B) 43 43 21 21 两名孕妇都生女婴的概 率 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 0.2401 43 43 一名孕妇生男婴、一名 孕妇生女婴的概率
（三）概率的计算方法 1、频率法：（样本频率
P( E ) lim f ( E ) lim
N N
总体概率）
n N
社区学龄前儿童女性所占比例的统计表
2、古典法： 随机试验：在相同条件下可以重复，且在每次试验前虽 不能预言会出现哪一种结果，但它共有多少种可能的结果又 是事先已知的。 （１）样本点和样本空间： 随机试验中的每一种结果称作一个样本点或称基本事 件 。而所有样本点的全体则称作样本空间Ｓ。 E i （２）随机事件：是基本事件自身或由基本事件组成的 集合。它是样本空间S的某个子集。
（一）什么是随机现象
客观现象 确定性现象：若„，则„——必然命题。 非确定性现象：若„，可能„——随机命题。
随机现象具有非确定性、随机性，同时具有统计规律性。
（二）概率的概念 概率是随机事件发生可能性大小的数量表示。 为了使可能性的大小能进行比较，概率的度量必须标准化。
不可能事件：P (ø)=0； 必然事件S： P(S)=1； 一般随机事件：0<=P(E)<=1
P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.3 0.2 0.1 0.4
例：某地对国外旅游者旅游动机进行了调查，发现旅游者出 于游览名胜的概率为0.219；出于异族文化的吸引占0.509； 而两种动机兼而有之的占0.102。问旅游动机为游览名胜或 为异族文化吸引的概率是多少？ 设A 游览名胜 , B 异族文化的吸引 P( A) 0.219 ; P( B) 0.509 ; P( AB) 0.102 P( A B) P( A) P( B) P( AB) 0.219 0.509 0.102 0.626
P( A1 A2 ) P( A1 ) P( A2 / A1 ) 2 1 P ( A1 ) 0.1 P ( A2 / A1 ) 0.0526 20 19 P( A1 A2 ) 0.1 0.0526 0.00526
例：某居民楼共20户，其中直系家庭为2户，问访问第2户才 是直系家庭的概率是多少？
第四章 概率
第四章 概率
一、基础概率
对于通过抽样调查来研究局部推论到总体，必须通过概 率论作为工具或媒介。所以，学习统计推论必须先学习概率 论。通过概率论，可以知道在一定条件下总体的各种抽样结 果所具有的概率特性。而统计推论则是研究在发生了某种抽 样结果的情况下，判断它来自何种总体更为合理。 概率论的研究对象是随机现象。
3、全概公式与逆概公式（叶贝斯） （1）全概公式 A、如果事件 A1 , A2 , An为完备事件组，即有 (a) A1 , A2 , An 互不相容，且P( Ai ) 0 (b) A1 A2 An S n 则对于任一事件B皆有： P( B) P( Ai ) P( B / Ai )
P( AB AB) P( AB) P( AB) P( A) P( B) P( A)P( B) 22 21 21 22 0.4998 43 43 43 43
例：某居民楼共20户，其中直系家庭为2户，问访问2户都是 直系家庭的概率是多少？
设A1 第一户访问对象为直系 家庭 A2 第二户访问对象为直系 家庭
p
i 1
n
i
1
例：根据统计结果，在自然生育情况下，男婴出生的概率为 22/43；女婴出生概率为21/43。某单位有两名孕妇，问两名 孕妇生女婴数的概率分布？ 22 22 0.2601 设 出生女婴数 P( 0) 43 43 0,1,2 22 21 21 22 P( 1) 0.4998 43 43 43 43
例：某年级共有学生100名，其中来自广东省的有25名，来 自广西壮族自治区的有10名，问任抽1名，来自两广的概率 是多少？ 设A 来自广东省； B 来自广西壮族自治区
P( A) 0.25 P( B) 0.1 A与B互不相容 P( A B) P( A) P( B) 0.35
i 1
A1 A3 A5 A6
B
A4
A7
A2
A8
（2）逆概公式 A、如果事件 A1 , A2 , An为完备事件组，即有 (a) A1 , A2 , An互不相容，且 (b) A1 A2 An S P( Ai ) 0 事件B仅能与 A1 , A2 , An 之一同时发生，P( B) 0 那么事件B发生的情况下，事件 Ai 出现的条件概率为：
21 21 P( 2) 0.2401 43 43

P( xi )
0