浙江省嘉兴市2019届高考数学评估试题(一)(含解析)
2019年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷(文科)含答案解析
2019年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|lgx≥0}，，则A∩B为（）A．{x|x≥1} B．C．{x|0＜x≤1}D．2．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜13．函数的一条对称轴是（）A．B．C．D．4．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β（）A．若m，n是异面直线，则α与β相交B．若m∥β，n∥α则α∥βC．若m⊥n，则α⊥βD．若m⊥β，则α⊥β5．已知等差数列{a n}公差为d，前n项和{s n}，则下列描述不一定正确的是（）A．若a1＞0，d＞0，则n唯一确定时也唯一确定B．若a1＞0，d＜0，则n唯一确定时也唯一确定C．若a1＞0，d＞0，则唯一确定时n也唯一确定D．若a1＞0，d＜0，则唯一确定时n也唯一确定6．已知函数f（x）=（x﹣）•sinx，x∈[﹣π，π]且x≠0，下列描述正确的是（）A．函数f（x）为奇函数B．函数f（x）既无最大值也无最小值C．函数f（x）有4个零点D．函数f（x）在（0，π）单调递增7．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=，AD=，则•=（）A．1 B．2 C．t D．2t8．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．已知数列{a n}满足a2=2，且数列{3a n﹣2n}为公比为2的等比数列，则a1=______，数列{a n}通项公式a n=______．10．函数则f（﹣1）=______，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则m的取值范围为______．11．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，x+2y=3，则的最小值为______，x2+4y2+xy的最小值为______．12．已知实数x，y满足．（1）当a=2时，则2x+y的最小值为______；（2）若满足上述条件的实数x，y围成的平面区域是三角形，则实数a的取值范围是______．13．是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号为______．14．如图，平面ABC⊥平面α，D为线段AB的中点，，∠CDB=45°，点P为面α内的动点，且P到直线CD的距离为，则∠APB的最大值为______．15．边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1若将其对角线AC1与平面α垂直，则正方体ABCD ﹣A1B1C1D1在平面α上的投影面积为______．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2C，且（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求sinB及边b．17．已知数列{a n}的前n项和s n，满足s n=n（n﹣6），数列{b n}满足（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．18．已知几何体P﹣ABCD如图，面ABCD为矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分别为AC、BP中点，（Ⅰ）求证：EF∥面PCD；（Ⅱ）求直线BP与面PAC所成角的正弦值．19．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），圆E：x2+（y+1）2=1，若直线L与抛物线C和圆E分别相切于点A，B（A，B不重合）（Ⅰ）当p=1时，求直线L的方程；（Ⅱ）点F是抛物线C的焦点，若对于任意的p＞0，记△ABF面积为S，求的最小值．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0（Ⅰ）设h（x）=（2x﹣3）f（x），若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在[0，1]上最大值．2019年浙江省嘉兴市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|lgx≥0}，，则A∩B为（）A．{x|x≥1} B．C．{x|0＜x≤1}D．【考点】交集及其运算．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式lgx≥0=lg1，得到x≥1，即A={x|x≥1}，由B中不等式变形得：2x≥=2，即x≥，∴B={x|x≥}，则A∩B={x|x≥1}，故选：A．2．已知命题p：若a＜1，则a2＜1，下列说法正确的是（）A．命题p是真命题B．命题p的逆命题是真命题C．命题p的否命题是：若a＜1，则a2≥1D．命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＜1【考点】四种命题的真假关系．【分析】举例说明命题p为假命题，求出命题p的逆命题，否命题，逆否命题逐一判断即可得答案．【解答】解：已知命题p：若a＜1，则a2＜1，如a=﹣2，则（﹣2）2＞1，命题p为假命题，∴A不正确；命题p的逆命题是：若a2＜1，则a＜1，为真命题，∴B正确；命题p的否命题是：若a≥1，则a2≥1，∴C不正确；命题p的逆否命题是：若a2≥1，则a＞1，∴D不正确．故选：B．3．函数的一条对称轴是（）A．B．C．D．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的对称性．【分析】由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（x+），由三角函数的对称性可得．【解答】解：由三角函数公式化简可得f（x）=sinx+sin（+x）=sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由x+=kπ+可x=kπ+，k∈Z．结合选项可得当k=0时，函数的一条对称轴为x=．故选：B．4．设α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β（）A．若m，n是异面直线，则α与β相交B．若m∥β，n∥α则α∥βC．若m⊥n，则α⊥βD．若m⊥β，则α⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，α与β相交或平行；在C中，α与β相交或平行；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，且m⊂α，n⊂β，知：在A中，若m，n是异面直线，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m⊥n，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．5．已知等差数列{a n}公差为d，前n项和{s n}，则下列描述不一定正确的是（）A．若a1＞0，d＞0，则n唯一确定时也唯一确定B．若a1＞0，d＜0，则n唯一确定时也唯一确定C．若a1＞0，d＞0，则唯一确定时n也唯一确定D．若a1＞0，d＜0，则唯一确定时n也唯一确定【考点】等差数列的性质．【分析】S n=na1+=+，利用二次函数的性质即可得出．【解答】解：S n=na1+=+，可知：a1＞0，d＜0，则唯一确定时n不一定唯一确定，可能有两个值，故选：D．6．已知函数f（x）=（x﹣）•sinx，x∈[﹣π，π]且x≠0，下列描述正确的是（）A．函数f（x）为奇函数B．函数f（x）既无最大值也无最小值C．函数f（x）有4个零点D．函数f（x）在（0，π）单调递增【考点】函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性，求出函数的零点，利用导数判断单调性．【解答】解：∵f（﹣x）=（﹣x+）sin（﹣x）=（x﹣）•sinx=f（x）．∴f（x）是偶函数．故A错误．令f（x）=0得x﹣=0或sinx=0，∵x∈[﹣π，π]，∴x=±1或x=±π．∴f（x）有4个零点．故C正确．故选：C．7．如图，B、D是以AC为直径的圆上的两点，其中AB=，AD=，则•=（）A．1 B．2 C．t D．2t【考点】平面向量数量积的运算．【分析】连结BC，CD，则=AB2，=AD2．于是•==．【解答】解：连结BC，CD．则AD⊥CD，AB⊥BC．∴=AB×AC×cos∠BAC=AB2=t+1．=AD×AC×cos∠CAD=AD2=t+2．∵，∴•===1．故选：A．8．已知双曲线=1（a＞0，b＞0），若焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，则双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】首先求出F1到渐近线的距离，利用焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），设一条渐近线方程为y=x，则F1到渐近线的距离为=b．设F1关于渐近线的对称点为M，F1M与渐近线交于A，∴|MF1|=2b，A为F1M的中点，又焦点F（c，0）关于渐近线y=x的对称点在另一条渐近线y=﹣x上，∴OA∥F2M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选：B．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．已知数列{a n}满足a2=2，且数列{3a n﹣2n}为公比为2的等比数列，则a1=1，数列{a n}通项公式a n=．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由于3a2﹣4=2．利用等比数列的通项公式可得3a n﹣2n，即可得出．【解答】解：3a2﹣4=2．∴3a n﹣2n=2×2n﹣2=2n﹣1．∴3a1﹣2=1，解得a1=1．∴a n=．故答案分别为：1；．10．函数则f（﹣1）=2﹣，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则m的取值范围为（0，2）．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的值．【分析】根据分段函数的表达式代入求解即可，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由分段函数的表达式得f（﹣1）=|﹣2|=2﹣，故答案为：2﹣，作出函数f（x）的图象如图：当x＜0时，f（x）=2﹣e x∈（1，2），∴当x≤1时，f（x）∈[0，2），当x≥1时，f（x）≥0，若方程f（x）=m有两个不同的实数根，则0＜m＜2，即实数m的取值范围是（0，2），故答案为：2﹣，（0，2）．11．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，x+2y=3，则的最小值为，x2+4y2+xy的最小值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】根据基本不等式进行转化求解得的最小值，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的性质即可求x2+4y2+xy的最小值．【解答】解：由x+2y=3得+=1，则=+=（+）×1=（+）（+）=2+++≥+2=+=，当且仅当=，即3x2=2y2取等号，即的最小值为．由x+2y=3得x=3﹣2y，由x=3﹣2y＞0得0＜y＜，则x2+4y2+xy=（3﹣2y）2+4y2+（3﹣2y）y=6y2﹣9y+9=6（y﹣）2+，即当y=时，x2+4y2+xy的最小值为，故答案为：，．12．已知实数x，y满足．（1）当a=2时，则2x+y的最小值为5；（2）若满足上述条件的实数x，y围成的平面区域是三角形，则实数a的取值范围是1＜a或a＜．【考点】简单线性规划．【分析】（1）作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象知当直线过B（5，3）时，z最大，当直线过C时，z最小．（2）作出不等式组．表示的平面区域，从而解出．【解答】解：（1）画出不等式表示的平面区域：将目标函数变形为z=2x+y，作出目标函数对应的直线，，解得A（1，3），直线过A（1，3）时，直线的纵截距最大，z最小，最小值为5；则目标函数z=2x+y的最小值为：5．故答案为：5．（2）．如下图：y=a（x﹣3）恒过（3，0），则若不等式组表示的平面区域是一个三角形，K AB==﹣，则实数a的取值范围，1＜a或a＜，故答案为：1＜a或a＜．13．是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号为1002．【考点】数列与向量的综合；向量的模．【分析】根据题意，求出x n与y n的通项公式，计算的模长最小值即可．【解答】解：是按先后顺序排列的一列向量，且，，∴+（1，1），即（x n，y n）=（x n﹣1，y n﹣1）+（1，1）=（x n﹣1+1，y n﹣1+1）；∴，∴，∴||===；∴当n==1002，即n=1002时，其模最小．故答案为：1002．14．如图，平面ABC⊥平面α，D为线段AB的中点，，∠CDB=45°，点P为面α内的动点，且P到直线CD的距离为，则∠APB的最大值为90°．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】空间中到直线CD的距离为1的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，且c=，b=，a=2．利用椭圆的性质：椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，即可得出．【解答】解：空间中到直线CD的距离为1的点构成一个圆柱面，它和面α相交得一椭圆，所以P在α内的轨迹为一个椭圆，D为椭圆的中心，c=，b=，a=2，于是A，B为椭圆的焦点，椭圆上点关于两焦点的张角在短轴的端点取得最大，∴∠APB=2∠APD=90°．故答案为：90°．15．边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1若将其对角线AC1与平面α垂直，则正方体ABCD﹣A1B1C1D1在平面α上的投影面积为．【考点】平行投影及平行投影作图法．【分析】根据题意，画出图形，找出与AC1垂直的平面去截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面是什么，再求正方体在该平面上的投影面积．【解答】解：如图所示，连接BB1，DD1的中点MN，交AC1于点O，在对角面ACC1A1中，过点O作OP⊥AC，交AC1于点P，则平面MOP是对角线AC1的垂面；该平面截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得的截面是六边形MGHNFE；则正方体在该平面上的投影面积是MN•2OR=××2×=．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2C，且（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求sinB及边b．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（I）使用二倍角公式得出关于cosC的方程解出；（II）使用和角公式计算sinB，利用正弦定理和面积公式计算b．【解答】解：（I）∵cosA=cos2C=2cos2C﹣1=，∴cosC=±．∵A=2C，∴C是锐角，∴cosC=．（II）∵cosA=，cosC=，∴sinA=，sinC=．∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=．由正弦定理得．∴a=∵S△ABC==5，∴b=5．17．已知数列{a n}的前n项和s n，满足s n=n（n﹣6），数列{b n}满足（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{c n}满足，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）当n≥2时，利用a n=S n﹣S n计算，进而可知a n=2n﹣7；通过b n+1=3b n可知﹣1数列{b n}为等比数列，利用b n=b2•3n﹣2计算即得结论；（Ⅱ）通过（I）可知c n=，进而分n为奇数、偶数两种情况讨论即可．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=﹣5，=2n﹣7，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1又∵当n=1时满足上式，∴a n=2n﹣7；∵b n+1=3b n，b2=3，∴数列{b n}为等比数列，故其通项公式b n=b2•3n﹣2=3n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知c n=，当n为偶数是，T n=+=+；当n为奇数时，T n=+=+；综上所述，T n=．18．已知几何体P﹣ABCD如图，面ABCD为矩形，面ABCD⊥面PAB，且面PAB为正三角形，若AB=2，AD=1，E、F分别为AC、BP中点，（Ⅰ）求证：EF∥面PCD；（Ⅱ）求直线BP与面PAC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（I）连结BD，则E为BD的中点，利用中位线定理得出EF∥PD，故而EF∥面PCD；（II）取AP的中点H，连结HB，HC，过B作BO⊥HC于O，连结OP．则可证AP⊥平面BCH，于是AP⊥OB，结合OB⊥CH得出OB⊥平面PAC，于是∠BPO为PB与平面PAC所成的角．利用勾股定理计算BH，CH，OB，得出sin∠BPO=．【解答】证明：（I）连结BD，∵四边形ABCD是矩形，E是AC的中点，∴E是BD的中点．又F是BP的中点，∴EF∥PD，又EF⊄平面PCD，PD⊂平面PBD，∴EF∥平面PCD．（II）取AP的中点H，连结HB，HC，过B作BO⊥HC于O，连结OP．∵面ABCD⊥面PAB，面ABCD∩面PAB=AB，BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∵AP⊂平面PAB，∴BC⊥AP，∵△PAB是等边三角形，∴AP⊥HB，又BC⊂平面BCH，BH⊂平面BCH，BC∩BH=B，∴AP⊥平面BCH，又OB⊂平面BCH，∴AP⊥OB，又OB⊥CH，CH⊂平面PAC，AP⊂平面PAC，CH∩AP=H，∴OB⊥平面PAC．∴∠BPO为PB与平面PAC所成的角．∵AB=2，BC=1，∴BH=，CH==2，∴BO==，∴sin∠BPO==．即直线BP与面PAC所成角的正弦值为．19．已知抛物线C：x2=2py（p＞0），圆E：x2+（y+1）2=1，若直线L与抛物线C和圆E分别相切于点A，B（A，B不重合）（Ⅰ）当p=1时，求直线L的方程；（Ⅱ）点F是抛物线C的焦点，若对于任意的p＞0，记△ABF面积为S，求的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程．【分析】（Ⅰ）设直线L的方程为y=kx+b，由点到直线距离公式和相切性质得k2+1=（1+b）2，联立，得x2﹣2kx﹣2b=0，由根的判别式得k2+2b=0，由此能求出直线L的方程．（Ⅱ）联立方程，得x2﹣2px﹣2pb=0，由此利用根的判别式、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知能求出的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当P=1时，抛物线x2=2y，由题意直线L的斜率存在，设直线L的方程为y=kx+b，即kx﹣y+b=0，由题意得=1，即k2+1=（1+b）2，①联立，得x2﹣2kx﹣2b=0，由△=0，得k2+2b=0，②由①②得k=±2，b=﹣4，故直线L的方程为y=，（Ⅱ）联立方程，得x2﹣2px﹣2pb=0，（*）由△=0，得pk2+2p=0，③∴b=﹣，代入（*）式，得x=pk，故点A（pk，），由①②得b=﹣，k2=，故A（pk，），∴|AB|===2•，点F到直线L的距离d==•=，∴S=|AB|•d==，∴==≥，当且仅当p=时，有最小值（2）．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，其中a∈R，且a≠0（Ⅰ）设h（x）=（2x﹣3）f（x），若函数y=h（x）图象与x轴恰有两个不同的交点，试求a的取值集合；（Ⅱ）求函数y=|f（x）|在[0，1]上最大值．【考点】函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义．【分析】（Ⅰ）分类讨论，从而由f（x）=0恰有一解及f（x）=0有两个不同的解求得；（Ⅱ）分类讨论，从而确定二次函数的单调性及最值，从而确定函数y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）（1）若f（x）=0恰有一解，且解不为，即a2﹣4=0，解得a=±2；（2）若f（x）=0有两个不同的解，且其中一个解为，代入得+a+1=0，解得a=﹣，检验满足△＞0；综上所述，a的取值集合为{﹣，﹣2，2}．（Ⅱ）（1）若﹣≤0，即a≥0时，函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，故y max=f（1）=2+a；（2）若0＜﹣＜1，即﹣2＜a＜0时，此时△=a2﹣4＜0，且f（x）的图象的对称轴在（0，1）上，且开口向上；故y max=max{f（0），f（1）}=max{1，a+2}=，（3）若﹣≥1，即a≤﹣2时，此时f（1）=2+a≤0，y max=max{f（0），﹣f（1）}=max{1，﹣a﹣2}=，综上所述，y max=．2019年9月18日。
2019年浙江卷数学高考试题(含答案)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数 学本试题卷分选择题和非选择题两部分。
全卷共4页，选择题部分1至2页；非选择题部分3至4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。
参考公式：若事件A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 若事件A ，B 相互独立，则()()()P AB P A P B = 若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()C (1)(0,1,2,,)k k n kn n P k p p k n -=-=台体的体积公式11221()3V S S S S h =++其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 球的表面积公式 24S R =π球的体积公式343V R =π其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则U AB ð=A ．{}1-B ．{}0,1?C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,1,3-2．渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是A ．22B．1C ．2D．23．若实数x，y满足约束条件340340x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则z=3x+2y的最大值是A．1-B．1C．10 D．124．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是A．158 B．162C．182 D．325．若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．在同一直角坐标系中，函数y =1xa ，y=log a(x+12)，(a>0且a≠0)的图像可能是7．设0＜a＜1，则随机变量X的分布列是则当a 在（0,1）内增大时 A ．D （X ）增大B ．D （X ）减小C ．D （X ）先增大后减小D ．D （X ）先减小后增大8．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则A ．β<γ，α<γB ．β<α，β<γC ．β<α，γ<αD ．α<β，γ<β9．已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则A ．a <-1，b <0B ．a <-1，b >0C ．a ＞-1，b ＞0D ．a ＞-1，b <010．设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，b *∈N ,则A ．当b =12，a 10＞10 B ．当b =14，a 10＞10C ．当b =-2，a 10＞10D ．当b =-4，a 10＞10非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
浙江省嘉兴市2019届高三教学测试(一)数学理试题
2019年高三教学测试（一）理科数学 试题卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+．如果事件A ，B 相互独立，那么 )()()(B P A P B A P ⋅=⋅．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好 发生k 次的概率),,2,1,0()1()(n k p p C k P k n kk n n =-=- ．球的表面积公式 24R S π=，其中R 表示球的半径． 球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径．棱柱的体积公式 Sh V =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高． 棱锥的体积公式Sh V 31=， 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 棱台的体积公式)(312211S S S S h V ++=， 其中21,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高．第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合}02|{2<-=x x x A ，1{-≤=x x B 或}1>x ，则( A ∨=)R BA ．}10|{<<x xB ．}21|{<≤x xC ．}10|{≤<x xD ．}21|{<<x x2．若复数z 满足i 2)i 1(-=+z ，则=+i zA ．21B ．22C ．2D ．23．为了得到函数x x x y 2cos 3cos sin 2-=的图象，可以将函数x y 2sin 2=的图象A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度4．已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，则下列一定成立的是A ．若03>a ，则02013<aB ．若04>a ，则02014<aC ．若03>a ，则02013>SD ．若04>a ，则02014>S5．某程序框图如图，则该程序运行后输出的值为A ．6B ．7C ．8D ．96．对任意实数x ，若][x 表示不超过x 的最大整数，则“1<-y x ”是“][][y x =”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．在直角△ABC 中，︒=∠90BCA ，1==CB CA ，P 为AB 边上的点且AB AP λ=，若PB PA AB CP ⋅≥⋅，则λ的取值范围是A ．]1,21[B ．]1,222[- C ．]221,21[+D ．]221,221[+- 8．如图1，在等腰△ABC 中， 90=∠A ，6=BC ，E D ,分别是AB AC ,上的点，2==BE CD ，O 为BC 的中点．将△ADE 沿DE 折起，得到如图2所示的四棱锥BCDE A -'．若⊥'O A 平面BCDE ，则D A '与平面BC A '所成角的正弦值等于A ．32错误！未找到引用源。
2019年高考浙江卷数学(附参考答案和详解)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}1,0,1B =-，则()U A B =I ð（ ） A.{}1-B.{}0,1C.{}1,2,3-D.{}1,0,1,3-2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）B.1D.23.若实数x ，y 满足约束条件340,340,0,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩则32z x y =+的最大值是（ ）A.1-B.1C.10D.124.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：3cm ）是（ ）A.158B.162C.182D.3245.若0a >，0b >，则“4a b +≤”是“4ab ≤”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（0a >，且1a ≠）的图象可能是（ ） A. B.C. D.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是01111333X a P则当a 在()0,1内增大时（ ） A.()D X 增大 B.()D X 减小C.()D X 先增大后减小D.()D X 先减小后增大8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A.βγ<，αγ<B.βα<，βγ<C.βα<，γα<D.αβ<，γβ<9.已知,a b ∈R ，函数()()32,0111,032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则（ ） A.1a <-，0b < B.1a <-，0b >C.1a >-，0b <D.1a >-，0b >10.设,a b ∈R ，数列{}n a 满足1a a =，21n na ab +=+，*n ∈N ，则（ ） A.当12b =时，1010a > B.当14b =时，1010a >C.当2b =-时，1010a >D.当4b =-时，1010a >第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分。
2019届浙江省嘉兴市高三上学期能力测试理科数学试卷【含答案及解析】(1)
2019届浙江省嘉兴市高三上学期能力测试理科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 直线的倾斜角是（___________ ）A ．______________________________B ．____________________C ．____________________ D ．2. 若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积等于（___________ ）A ．______________B ．____________________C ．________________________ D ．3. 已知为异面直线．对空间中任意一点，存在过点的直线（___________ ）A．与都相交B．与都垂直C．与平行，与垂直D ．与都平行4. 为得到函数的图象，只需将函数的图象（___________ ）A．向左平移单位________________________ B．向右平移单位________C ．向左平移单位________________________D ．向右平移单位5. 已知为上的函数，其中函数为奇函数，函数为偶函数，则（___________ ）A．函数为偶函数B ．函数为奇函数C．函数为偶函数D ．函数为奇函数6. 命题“ ，或”的否定形式是（___________ ）A ．，或B ．，或C ．，且D ．，且7. 如图，分别是双曲线的左顶点、右焦点，过的直线与的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和轴分别交于两点．若，则的离心率是（___________ ）A ．______________B ．______________C ．______________D ．8. 已知函数，且，（___________ ） A．若，则______________B ．若，则C．若，则______________D ．若，则二、填空题9. 若集合，，则 _______，_______ ．10. 已知单位向量满足．若，则_______， _______ ．11. 已知等比数列的公比，前项和为．若成等差数列，，则 _______， _______ ．12. 设，实数满足若的最大值是0，则实数=_______，的最小值是_______ ．13. 若实数满足，则 _______ ．14. 设，，直线，圆．若圆既与线段又与直线有公共点，则实数的取值范围是________ ．15. 已知函数，，且．记为在上的最大值，则的最大值是_______ ．三、解答题16. 在中，内角所对的边分别是．已知，边上的中线长为4 ．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ ）求面积的最大值．17. 在四棱锥中，平面，，，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若二面角的大小为，求的值．18. 已知函数，其中，．记为的最小值．（Ⅰ）求的单调递增区间；（Ⅱ ）求的取值范围，使得存在，满足．19. 已知为椭圆上两个不同的点，为坐标原点．设直线的斜率分别为．（Ⅰ）当时，求；（Ⅱ）当时，求的取值范围．20. 已知数列满足，．（Ⅰ）证明：数列为单调递减数列；（Ⅱ ）记为数列的前项和，证明：．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
(完整版)2019年浙江省高考数学试卷解析(精品)
2019年浙江省高考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则（∁U A）∩B=（）A. {−1}B. {0,1}C. {−1,2，3}D. {−1,0，1，3}2.渐进线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（）A. √22B. 1C. √2D. 23.若实数x，y满足约束条件{x−3y+4≥03x−y−4≤0x+y≥0，则z=3x+2y的最大值是（）A. −1B. 1C. 10D. 124.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）A. 158B. 162C. 182D. 3245.若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.在同一直角坐标系中，函数y=1a x ，y=1og a（x+12）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A. B.C. D.7.X0a1P 131313则当a 在（0，1）内增大时，（ ） A. D(X)增大 B. D(X)减小 C. D(X)先增大后减小 D. D(X)先减小后增大8. 设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则（ ）A. β<γ，α<γB. β<α，β<γC. β<α，γ<αD. α<β，γ<β9. 设a ，b ∈R ，函数f （x ）={x ，x ＜0，13x 3−12(a +1)x 2+ax ，x ≥0．若函数y =f （x ）-ax -b 恰有3个零点，则（ ）A. a <−1，b <0B. a <−1，b >0C. a >−1，b <0D. a >−1，b >0 10. 设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n ∈N *，则（ ）A. 当b =12时，a 10>10 B. 当b =14时，a 10>10 C. 当b =−2时，a 10>10D. 当b =−4时，a 10>10二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 复数z =11+i （i 为虚数单位），则|z |=______．12. 已知圆C 的圆心坐标是（0，m ），半径长是r ．若直线2x -y +3=0与圆C 相切于点A（-2，-1），则m =______，r =______．13. 在二项式（√2+x ）9展开式中，常数项是______，系数为有理数的项的个数是______． 14. 在△ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，BC =3，点D 在线段AC 上，若∠BDC =45°，则BD =______，cos ∠ABD =______． 15. 已知椭圆x 29+y 25=1的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方．若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，|OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是______．16. 已知a ∈R ，函数f （x ）=ax 3-x ．若存在t ∈R ，使得|f （t +2）-f （t ）|≤23，则实数a 的最大值是______．17. 已知正方形ABCD 的边长为1．当每个λi （i =1，2，3，4，5，6）取遍±1时，|λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是______，最大值是______． 三、解答题（本大题共5小题，共71.0分） 18. 设函数f （x ）=sin x ，x ∈R ．（Ⅰ）已知θ∈[0，2π），函数f （x +θ）是偶函数，求θ的值；（Ⅱ）求函数y =[f （x +π12）]2+[f （x +π4）]2的值域．19. 如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC =90°，∠BAC =30°，A 1A =A 1C =AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点． （Ⅰ）证明：EF ⊥BC ；（Ⅱ）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．20. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=4，a 4=S 3．数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n +b n ，S n +1+b n ，S n +2+b n 成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）记c n =√an2b n，n ∈N *，证明：c 1+c 2+…+c n ＜2√n ，n ∈N *．21. 如图，已知点F （1，0）为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点．过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线上，使得△ABC 的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记△AFG ，△CQG 的面积分别为S 1，S 2． （Ⅰ）求p 的值及抛物线的准线方程；（Ⅱ）求S 1S 2的最小值及此时点G 点坐标．22.已知实数a≠0，设函数f（x）=a ln x+√1+x，x＞0．（Ⅰ）当a=-34时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意x∈[1e2，+∞）均有f（x）≤√x2a，求a的取值范围．注意：e=2.71828……为自然对数的底数．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵∁U A={-1，3}，∴（∁U A）∩B={-1，3}∩{-1，0，l}={-1}故选：A．由全集U以及A求A的补集，然后根据交集定义得结果．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】C【解析】解：根据渐进线方程为x±y=0的双曲线，可得a=b，所以c=则该双曲线的离心率为e==，故选：C．由渐近线方程，转化求解双曲线的离心率即可．本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由实数x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=3x+2y为y=-x+z，由图可知，当直线y=-x+z过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值：10．故选：C．4.【答案】B【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为直五棱柱，底面五边形的面积可用两个直角梯形的面积求解，即=27，高为6，则该柱体的体积是V=27×6=162．故选：B．由三视图还原原几何体，可知该几何体为直五棱柱，由两个梯形面积求得底面积，代入体积公式得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力．充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果.【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴4≥a+b≥2，∴2≥，∴ab≤4，即a+b≤4⇒ab≤4，若a=4，b=，则ab=1≤4，但a+b=4+＞4，即ab≤4推不出a+b≤4，∴a+b≤4是ab≤4的充分不必要条件故选A．6.【答案】D【解析】解：由函数y=，y=1og a（x+），当a＞1时，可得y=是递减函数，图象恒过（0，1）点，函数y=1og a（x+），是递增函数，图象恒过（，0）点；当1＞a＞0时，可得y=是递增函数，图象恒过（0，1）点，函数y=1og a（x+），是递减函数，图象恒过（，0）点；∴满足要求的图象为D，故选D．对a进行讨论，结合指数，对数函数的性质即可判断.本题考查了指数函数，对数函数的图象和性质，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：E（X）=0×+a×+1×=，D（X）=（）2×+（a-）2×+（1-）2×=[（a+1）2+（2a-1）2+（a-2）2]=（a2-a+1）=（a-）2+∵0＜a＜1，∴D（X）先减小后增大故选：D．方差公式结合二次函数的单调性可得结果本题考查方差的求法，利用二次函数是关键，考查推理能力与计算能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：方法一、如图G为AC的中点，V在底面的射影为O，则P在底面上的射影D在线段AO上，作DE⊥AC于E，易得PE∥VG，过P作PF∥AC于F，过D作DH∥AC，交BG于H，则α=∠BPF，β=∠PBD，γ=∠PED，则cosα===＜=cosβ，可得β＜α；tanγ=＞=tanβ，可得β＜γ，方法二、由最小值定理可得β＜α，记V-AC-B的平面角为γ'（显然γ'=γ），由最大角定理可得β＜γ'=γ；方法三、（特殊图形法）设三棱锥V-ABC为棱长为2的正四面体，P为VA的中点，易得cosα==，可得sinα=，sinβ==，sinγ==，故选：B．本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成角、直线和平面所成角和二倍角的概念和计算，解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小，充分运用图象，则可事半功倍，本题考查空间三种角的求法，常规解法下易出现的错误的有：不能正确作出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简单解法．9.【答案】C【解析】解：当x＜0时，y=f（x）-ax-b=x-ax-b=（1-a）x-b=0，得x=；y=f（x）-ax-b最多一个零点；当x≥0时，y=f（x）-ax-b=x3-（a+1）x2+ax-ax-b=x3-（a+1）x2-b，y′=x2-（a+1）x，当a+1≤0，即a≤-1时，y′≥0，y=f（x）-ax-b在[0，+∞）上递增，y=f（x）-ax-b最多一个零点．不合题意；当a+1＞0，即a＜-1时，令y′＞0得x∈[a+1，+∞），函数递增，令y′＜0得x∈[0，a+1），函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数y=f（x）-ax-b恰有3个零点⇔函数y=f（x）-ax-b在（-∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如右图：∴＜0且，解得b＜0，1-a＞0，b＞-（a+1）3．故选：C．当x＜0时，y=f（x）-ax-b=x-ax-b=（1-a）x-b最多一个零点；当x≥0时，y=f（x）-ax-b=x3-（a+1）x2+ax-ax-b=x3-（a+1）x2-b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．本题考查了函数与方程的综合运用，属难题．10.【答案】A【解析】解：对于B，令=0，得λ=，取，∴，∴当b=时，a10＜10，故B错误；对于C，令x2-λ-2=0，得λ=2或λ=-1，取a1=2，∴a2=2，…，a n=2＜10，∴当b=-2时，a10＜10，故C错误；对于D，令x2-λ-4=0，得，取，∴，…，＜10，∴当b=-4时，a10＜10，故D错误；对于A，，，≥，a n+1-a n＞0，{a n}递增，当n≥4时，=a n+＞1+=，∴，∴＞（）6，∴a10＞＞10．故A正确．故选：A．对于B，令=0，得λ=，取，得到当b=时，a10＜10；对于C，令x2-λ-2=0，得λ=2或λ=-1，取a1=2，得到当b=-2时，a10＜10；对于D，令x2-λ-4=0，得，取，得到当b=-4时，a10＜10；对于A，，，≥，当n≥4时，=a n+＞1+=，由此推导出＞（）6，从而a10＞＞10．本题考查命题真假的判断，考查数列的性质等基础知识，考查化归与转化思想，考查推理论证能力，是中档题．11.【答案】√22【解析】解：∵z==．∴|z|=．故答案为：．利用复数代数形式的除法运算化简，然后利用模的计算公式求模．本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题．12.【答案】-2 √5【解析】解：如图，由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得m=-2．∴圆心为（0，-2），则半径r=．故答案为：-2，．由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直列式求得m，再由两点间的距离公式求半径．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．13.【答案】16√2 5【解析】解：二项式的展开式的通项为=．由r=0，得常数项是；当r=1，3，5，7，9时，系数为有理数，∴系数为有理数的项的个数是5个．故答案为：，5．写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得常数项；再由2的指数为整数求得系数为有理数的项的个数．本题考查二项式定理及其应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．14.【答案】12√257√2 10【解析】解：在直角三角形ABC中，AB=4，BC=3，AC=5，sinC=，在△BCD中，可得=，可得BD=；∠CBD=135°-C，sin∠CBD=sin（135°-C）=（cosC+sinC）=×（+）=，即有cos∠ABD=cos（90°-∠CBD）=sin∠CBD=，故答案为：，，解直角三角形ABC，可得sinC，cosC，在三角形BCD中，运用正弦定理可得BD；再由三角函数的诱导公式和两角和差公式，计算可得所求值．本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查三角函数的恒等变换，化简整理的运算能力，属于中档题．15.【答案】√15【解析】解：椭圆=1的a=3，b=，c=2，e=，设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，线段PF的中点A在以原点O为圆心，2为半径的圆，连接AO，可得|PF'|=2|AO|=4，设P的坐标为（m，n），可得3-m=4，可得m=-，n=，由F（-2，0），可得直线PF的斜率为=．故答案为：．求得椭圆的a，b，c，e，设椭圆的右焦点为F'，连接PF'，运用三角形的中位线定理和椭圆的焦半径半径，求得P的坐标，再由两点的斜率公式，可得所求值．本题考查椭圆的定义和方程、性质，注意运用三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】43【解析】解：存在t∈R，使得|f（t+2）-f（t）|≤，即有|a（t+2）3-（t+2）-at3+t|≤，化为|2a（3t2+6t+4）-2|≤，可得-≤2a（3t2+6t+4）-2≤，即≤a（3t2+6t+4）≤，由3t2+6t+4=3（t+1）2+1≥1，可得0＜a≤，可得a的最大值为．故答案为：．由题意可得|a（t+2）3-（t+2）-at3+t|≤，化为|2a（3t2+6t+4）-2|≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值，以及不等式的性质，不等式有解思想，可得a的范围，进而得到所求最大值．本题考查不等式成立问题解法，注意运用去绝对值和分离参数法，考查化简变形能力，属于基础题．17.【答案】0 2√5【解析】解：正方形ABCD 的边长为1，可得+=，=-， •=0， |λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6| =|λ1+λ2-λ3-λ4+λ5+λ5+λ6-λ6|=|（λ1-λ3+λ5-λ6）+（λ2-λ4+λ5+λ6）| =，由于λi （i=1，2，3，4，5，6）取遍±1， 可得λ1-λ3+λ5-λ6=0，λ2-λ4+λ5+λ6=0，可取λ5=λ6=1，λ1=λ3=1，λ2=-1，λ4=1， 可得所求最小值为0；由λ1-λ3+λ5-λ6，λ2-λ4+λ5+λ6的最大值为4，可取λ2=1，λ4=-1，λ5=λ6=1，λ1=1，λ3=-1，可得所求最大值为2．故答案为：0，2． 由题意可得+=，=-，•=0，化简|λ1+λ2+λ3+λ4+λ5+λ6|=，由于λi （i=1，2，3，4，5，6）取遍±1，由完全平方数的最值，可得所求最值．本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力，属于基础题． 18.【答案】解：（1）由f （x ）=sin x ，得f （x +θ）=sin （x +θ），∵f （x +θ）为偶函数，∴θ=π2+kπ（k ∈Z ）， ∵θ∈[0，2π），∴θ=π2或θ=3π2，（2）y =[f （x +π12）]2+[f （x +π4）]2=sin 2（x +π12）+sin 2（x +π4） =1−cos(2x+π6)2+1−cos(2x+π2)2=1-12(cos2xcos π6−sin2xsin π6−sin2x) =34sin2x −√34cos2x +1=√32sin(2x −π6)+1，∵x ∈R ，∴sin(2x −π6)∈[−1，1]，∴y =√32sin(2x −π6)+1∈[1−√32，1+√32]，∴函数y =[f （x +π12）]2+[f （x +π4）]2的值域为：[1−√32，1+√32]．【解析】（1）函数f （x+θ）是偶函数，则=（k ∈Z ），根据的范围可得结果； （2）化简函数得y=，然后根据x 的范围求值域即可．本题考查了三角函数的奇偶性和三角函数的图象与性质，关键是熟练掌握三角恒等变换，属基础题． 19.【答案】方法一：证明：（Ⅰ）连结A 1E ，∵A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，∴A 1E ⊥AC ，又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，∴A 1E ⊥平面ABC ，∴A 1E ⊥BC ，∵A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，∴BC ⊥A 1F ， ∴BC ⊥平面A 1EF ，∴EF ⊥BC ．解：（Ⅱ）取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则EGFA 1是平行四边形， 由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ， ∴平行四边形EGFA 1是矩形， 由（Ⅰ）得BC ⊥平面EGFA 1， 则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，∴EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上，连结A 1G ，交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成角（或其补角）， 不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E =2√3，EG =√3，∵O 是A 1G 的中点，故EO =OG =A 1G 2=√152， ∴cos ∠EOG =EO 2+OG 2−EG 22×EO×OG=35， ∴直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值为35．方法二：证明：（Ⅰ）连结A 1E ，∵A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点， ∴A 1E ⊥AC ，又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ， ∴A 1E ⊥平面ABC ，如图，以E 为原点，EC ，EA 1所在直线分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 设AC =4，则A 1（0，0，2√3），B （√3，1，0），B 1（√3，3，2√3），F （√32，32，2√3），C （0，2，0），EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =（√32，32，2√3），BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-√3，1，0）， 由EF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得EF ⊥BC ． 解：（Ⅱ）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ， 由（Ⅰ）得BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-√3，1，0），A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，-2√3），设平面A 1BC 的法向量n⃗ =（x ，y ，z ）， 则{BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√3x +y =0A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =y −√3z =0，取x =1，得n⃗ =（1，√3，1）， ∴sinθ=|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||EF⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=45， ∴直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值为35． 【解析】法一：（Ⅰ）连结A 1E ，则A 1E ⊥AC ，从而A 1E ⊥平面ABC ，A 1E ⊥BC ，推导出BC ⊥A 1F ，从而BC ⊥平面A 1EF 由此能证明EF ⊥BC ．（Ⅱ）取BC 中点G ，连结EG 、GF ，则EGFA 1是平行四边形，推导出A 1E ⊥EG ，从而平行四边形EGFA 1是矩形，推导出BC ⊥平面EGFA 1，连结A 1G ，交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成角（或其补角），由此能求出直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值． 法二：（Ⅰ）连结A 1E ，推导出A 1E ⊥平面ABC ，以E 为原点，EC ，EA 1所在直线分别为y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值．本题考查空间线面垂直的证明，三棱锥体积的计算．要证线面垂直，需证线线垂直，而线线垂直可以通过平面中的勾股定理、等腰三角形的性质等来证明，也可以通过另外的线面垂直来证明．求三棱锥的体积经常需要进行等积转换，即变换三棱柱的底面．20.【答案】解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，由题意得{a 1+2d =4a 1+3d =3a 1+3d，解得a 1=0，d =2， ∴a n =2n -2，n ∈N *． ∴S n =n 2-n ，n ∈N *，∵数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n +b n ，S n +1+b n ，S n +2+b n 成等比数列． ∴（S n +1+b n ）2=（S n +b n ）（S n +2+b n ），解得b n =1d (S n+12−S n S n+2)， 解得b n =n 2+n ，n ∈N *．证明：（Ⅱ）c n =√a n2b n=√2n−22n(n+1)=√n−1n(n+1)，n ∈N *， 用数学归纳法证明：①当n =1时，c 1=0＜2，不等式成立；②假设n =k ，（k ∈N *）时不等式成立，即c 1+c 2+…+c k ＜2√k ， 则当n =k +1时， c 1+c 2+…+c k +c k +1＜2√k +√k (k+1)(k+2)＜2√k +√1k+1＜2√k +2√k+1+√k =2√k +2(√k +1−√k)=2√k +1， 即n =k +1时，不等式也成立．由①②得c 1+c 2+…+c n ＜2√n ，n ∈N *． 【解析】（Ⅰ）利用等差数列通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出a 1=0，d=2，从而a n =2n-2，n ∈N *．S n =n 2-n ，n ∈N *，利用（S n+1+b n ）2=（S n +b n ）（S n+2+b n ），能求出b n ． （Ⅱ）==，n ∈N *，用数学归纳法证明，得到c 1+c 2+…+c n ＜2，n ∈N *．本题考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力和综合应用能力．21.【答案】解：（Ⅰ）由抛物线的性质可得：p2=1，∴p =2，∴抛物线的准线方程为x =-1；（Ⅱ）设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），C （x C ，y C ），重心G （x G ，y G ）， 令y A =2t ，t ≠0，则x A =t 2，由于直线AB 过F ，故直线AB 的方程为x =t 2−12ty +1，代入y 2=4x ，得：y 2−2(t 2−1)t y −4=0，∴2ty B =-4，即y B =-2t ，∴B （1t 2，-2t ），又x G =13（x A +x B +x C ），y G =13（y A +y B +y C ），重心在x 轴上， ∴2t −2t +y C =0，∴C （（1t −t ）2，2（1t −t ）），G （2t 4−2t 2+23t 2，0），∴直线AC 的方程为y -2t =2t （x -t 2），得Q （t 2-1，0）， ∵Q 在焦点F 的右侧，∴t 2＞2， ∴S 1S 2=12|FG|⋅|y A |12|QG|⋅|y C |=|2t 4−2t 2+13t 2|⋅|2t||t 2−1−2t 4−2t 2+23t 2|⋅|2t−2t|=2t 4−t 2t 4−1=2-t 2−2t 4−1，令m =t 2-2，则m ＞0，S 1S 2=2-mm 2+4m+3=2-1m+3m+4≥2-12√m⋅3m+4=1+√32，∴当m =√3时，S 1S 2取得最小值为1+√32，此时G （2，0）．【解析】（Ⅰ）由抛物线的性质可得：=1，由此能求出抛物线的准线方程；（Ⅱ）设A （x A ，y A ），B （x B ，y B ），C （x C ，y C ），重心G （x G ，y G ），令y A =2t ，t≠0，则，从而直线AB 的方程为x=，代入y 2=4x ，得：，求出B （，-），由重心在x 轴上，得到=0，从而C （（）2，2（）），G （，0），进崦直线AC 的方程为y-2t=2t （x-t 2），得Q （t 2-1，0），由此结合已知条件能求出结果．本题考查实数值、抛物线标准方程的求法，考查三角形的面积的比值的最小值及相应点的坐标的求法，考查抛物线、直线方程、重心性质、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 22.【答案】解：（1）当a =-34时，f （x ）=-34lnx +√1+x ，x ＞0，f ′（x ）=-34x 21+x =√1+x−2)(2√1+x+1)4x √1+x，∴函数f （x ）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由f （x ）≤12a ，得0＜a ≤√24，当0＜a ≤√24时，f （x ）≤√x4a，等价于√x a 2-2√1+xa-2ln x ≥0，令t =1a ，则t ≥2√2，设g （t ）=t 2√x -2t √1+x -2ln x ，t ≥2√2， 则g （t ）=√x （t -√1+1x）2-x -2ln x ，（i ）当x ∈[17，+∞）时，√1+1x≤2√2，则g （x ）≥g （2√2）=8√x −4√2√1+x −2lnx ， 记p （x ）=4√x -2√2√1+x -ln x ，x ≥17， 则p ′（x ）=√x√2√x+1-1x=√x √x+1−√2x−√x+1x √x+1 =√x(√2x+2−1)]x √x+1(√x+1)(√x+1+√2x)，∴g （t ）≥g （2√2)=2p(x)=2p （x ）≥0．（ii ）当x ∈[1e 2，17）时，g （t ）≥g （√1+1x）=√xlnx−(x+1)2√x，令q （x ）=2√x ln x +（x +1），x ∈[1e ，17]， 则q ′（x ）=√x +1＞0，故q （x ）在[1e 2，17]上单调递增，∴q （x ）≤q （17），由（i ）得q （17）=-2√77p （17）＜-2√77p （1）=0，∴q （x ）＜0，∴g （t ）≥g （√1+1x）=-2√x ＞0，由（i）（ii）知对任意x∈[1e2，+∞），t∈[2√2，+∞），g（t）≥0，即对任意x∈[1e2，+∞），均有f（x）≤√x2a，综上所述，所求的a的取值范围是（0，√24]．【解析】（1）当a=-时，f′（x）=-=，利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间．（2）由f（x）≤，得0＜a≤，当0＜a≤时，f（x）≤，等价于--2lnx≥0，令t=，则t，设g（t）=t2-2t-2lnx，t，则g（t）=（t-）2--2lnx，由此利用分类讨论思想和导导数性质能求出a的取值范围．本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力．。
2019年高考真题——数学(浙江卷) 解析版
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则UA B =（ ）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】 【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）A. B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】 【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b，则c =，双曲线的离心率ce a==【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.3.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 1-B. 1C. 10D. 12【答案】C 【解析】 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B 【解析】 【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 5.若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小C. ()D X 先增大后减小D. ()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】 【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦故选D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A. ,βγαγ<<B. ,βαβγ<<C.,βαγα<<D.,αβγβ<<【答案】B 【解析】 【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得333222cossin ,sin ,sin 33α=⇒α=β=γ=，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.9.已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >-> D. 1,0a b >-<【答案】D 【解析】 【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析. 【详解】原题可转化为()y f x =与y ax b =+，有三个交点.当BC AP λ=时，2()(1)()(1)f x x a x a x a x '=-++=--，且(0)0,(0)f f a ='=，则（1）当1a ≤-时，如图()y f x =与y ax b =+不可能有三个交点（实际上有一个），排除A ，B（2）当1a >-时，分三种情况，如图()y f x =与y ax b =+若有三个交点，则0b <，答案选D下面证明：1a >-时，BC AP λ=时3211()()(1)32F x f x ax b x a x b =--=-+-，2()(1)((1))F x x a x x x a '=-+=-+，则(0)0 ,(+1)<0F >F a ，才能保证至少有两个零点，即310(1)6b a >>-+，若另一零点在0<【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..10.设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，b N *∈ ,则（ ）A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】 【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项B ：不动点满足2211042x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22n a a a ⎛⎫=∈< ⎪⎝⎭，排除如图，若a 为不动点12则12n a = 选项C ：不动点满足22192024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为ax 12-，令2a =，则210n a =<，排除选项D ：不动点满足221174024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭，不动点为17122x =±，令17122a =±，则171102n a =<，排除. 选项A ：证明：当12b =时，2222132431113117,,12224216a a a a a a =+≥=+≥=+≥≥， 处理一：可依次迭代到10a ；处理二：当4n ≥时，221112n nn a a a +=+≥≥，则117117171161616log 2log log 2n n n n a a a -++>⇒>则12117(4)16n n a n -+⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a ⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________. 2 【解析】【分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】1|||1|2z i ===+. 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.12.已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.【答案】 (1). 2m =- (2). r =【解析】 【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.【详解】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.13.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】 (1). (2). 5 【解析】 【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.【详解】9)x 的通项为919(0,1,29)rr r r T C x r -+==可得常数项为0919T C ==因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确. 14.ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】 (1). 122 (2). 7210【解析】 【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入CD x =，在BDC ∆、ABD ∆中应用正弦定理，建立方程，进而得解.. 【详解】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=, 22AC AB BC 5=+=，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以1225BD =. 72cos cos()coscos sinsin 44ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.15.已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是_______. 15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程221 95x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得3152P⎛-⎝⎭，所以1521512PFk==【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16.已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】 【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()()222(2)()2(2)(2))223642f t f t a t t t t a t t +-=•++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需113a -≤，即43a ≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.17.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______.【答案】 (1). 0 (2). 25【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.【详解】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正。
2019年浙江省高考数学试卷及解析
2019年浙江省高考数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{﹣1，2，3}D．{﹣1，0，1，3} 2．（4分）渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（）A ．B．1C ．D．23．（4分）若实数x，y 满足约束条件则z＝3x+2y的最大值是（）A．﹣1B．1C．10D．124．（4分）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是（）1A．158B．162C．182D．3245．（4分）若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）在同一直角坐标系中，函数y ＝，y＝1og a（x +）（a＞0且a≠1）的图象可能是（）A ．B ．2C ．D ．7．（4分）设0＜a＜1．随机变量X的分布列是X0a1P则当a在（0，1）内增大时，（）A．D（X）增大B．D（X）减小C．D（X）先增大后减小D．D（X）先减小后增大8．（4分）设三棱锥V﹣ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）．记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P ﹣AC﹣B的平面角为γ，则（）A．β＜γ，α＜γB．β＜α，β＜γC．β＜α，γ＜αD．α＜β，γ＜β9．（4分）设a，b∈R，函数f（x ）＝若函数y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3个零点，则（）A．a＜﹣1，b＜0B．a＜﹣1，b＞0C．a＞﹣1，b＜0D．a＞﹣1，b＞010．（4分）设a，b∈R，数列{a n}满足a1＝a，a n+1＝a n2+b，n∈N*，则（）A．当b ＝时，a10＞10B．当b ＝时，a10＞103C．当b＝﹣2时，a10＞10D．当b＝﹣4时，a10＞10二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2019年高考浙江卷数学真题试题(word版,含答案与解析)
2019年高考数学真题试卷（浙江卷）原卷+解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
1.（2019•浙江）已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则=（）A. {-1}B. {0，1}C. {-1，2，3}D. {-1，0，1，3}【答案】 A【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】解：，所以={-1}.故答案为：A.【分析】根据集合的补写出即可得到.2.（2019•浙江）渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（）A. B. 1 C. D. 2【答案】 C【考点】双曲线的简单性质【解析】【解答】解：根据双曲线的渐近线方程，得，所以离心率e= .故答案为：C.【分析】根据双曲线的渐近线方程，得到，即可求出离心率e.3.（2019•浙江）若实数x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值是（）A. -1B. 1C. 10D. 12【答案】 C【考点】简单线性规划的应用【解析】【解答】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，可知当过（2,2）时，目标函数取最大值10.故答案为：C.【分析】作出可行域和目标函数相应的直线，平移该直线，即可求出相应的最大值.4.（2019•浙江）祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=sh，其中s是柱体的底面积，h是柱体的高。
若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】 B【考点】由三视图求面积、体积【解析】【解答】根据三视图，确定几何体为五棱柱，其底面积,所以体积V=27 .故答案为：B.【分析】根据三视图确定几何体的结构特征，根据祖暅原理，即可求出相应的体积.5.（2019•浙江）若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】 A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】作出直线y=4-x和函数的图象，结合图象的关系，可确定“a+b≤4“是“ab≤4”的充分不必要条件.故答案为：A.【分析】作出函数的图象，结合图象确定充分必要性即可.6.（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数y= ，y=log a(x+ ），（a>0且a≠0）的图像可能是（）A B C D【答案】 D【考点】函数的图象【解析】【解答】当a>1时，y= 的底数大于0小于1，故过（0,1）单调递减；y=log a(x+ ）过（，0）单调递增，没有符合条件的图象；当0<a<1时，y= 的底数大于1，故过（0,1）单调递增；y=log a(x+ ）过（，0）单调递减；故答案为：D.【分析】对a的取值分类讨论，结合指数函数和对数函数的特点，确定函数的图象即可.7.（2019•浙江）设0＜a＜1随机变量X的分布列是X 0 a 1P则当a在（0，1）内增大时（）A. D（X）增大B. D（X）减小C. D（X）先增大后减小D. D（X）先减小后增大【答案】 D【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】【解答】解：E（X）= ，，根据二次函数的单调性，可知D（X）先减小后增大；故答案为：D.【分析】根据期望的公式求出E(X),结合方差的计算公式及二次函数的性质即可确定D（X）先减小后增大.8.（2019•浙江）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点，（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α.直线PB与平面ABC所成角为β.二面角P-AC-B的平面角为γ。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学试题卷浙江卷(附带答案及详细解析)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试浙江卷数学 试题卷本试卷共5页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前， 先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸 和答题卡，上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答 题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。
.5.考试结束后， 请将本试卷和答题卡-并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
（共10题；共40分） 1.已知全集U={-1，0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={-1，0，1}，则 ∁U A ∩B =（ ）A. {-1}B. {0，1}C. {-1，2，3}D. {-1，0，1，3} 2.渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（ ） A. √22B. 1C. √2D. 2 3.若实数x ，y 满足约束条件 {x −3y +4≥03x −y −4≤0x +y ≥0，则z=3x+2y 的最大值是（ ） A. -1 B. 1 C. 10 D. 124.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=sh，其中s是柱体的底面积，h是柱体的高。
若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）A. 158B. 162C. 182D. 325.若a>0，b>0，则“a+b≤4“是“ab≤4”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.在同一直角坐标系中，函数y= 1a ，y=log a(x+ 12），（a>0且a≠1）的图像可能是（）A. B.C. D.7.设0＜a＜1随机变量X的分布列是则当a在（0，1）内增大时（）A. D（X）增大B. D（X）减小C. D（X）先增大后减小D. D（X）先减小后增大8.设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点，（不含端点），记直线PB与直线AC所成角为α.直线PB与平面ABC所成角为β.二面角P-AC-B的平面角为γ。
浙江省嘉兴市2019届高考数学评估试题(一)(含解析)
浙江省嘉兴市2019届高考数学评估试题（一）（含解析）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.在复平面内，复数2ii-（i 为虚数单位）对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算法则，化简复数为a +bi 的形式，然后判断选项即可． 【详解】复数()()()2122225i i i i z i i i +-+===--+，复数对应点为（1255-，），在第二象限． 故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的几何意义，是基础题．2.已知平面α⊥平面β，直线m 满足m α⊄，则“m α”是“m β⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】利用空间线面、面面垂直与平行的关系即可判断出结论．【详解】平面α⊥平面β，则“m α”⇒“βm 或m ⊂β或m 与β相交”， 反之，平面α⊥平面β，令平面α⊥平面β=l ，l 上任取一点A ，在α内过A 作AB⊥l， 则AB⊥平面β，又m ⊥β，可得m AB ，∴m α； 则“m α”是“m ⊥β”的必要不充分条件． 故选：B ．【点睛】本题考查了空间线面面面垂直与平行的关系、简易逻辑的判定方法，考查了面面垂直的性质定理的应用，考查了推理能力，属于基础题．3.若x ，y 满足约束条件02220x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值与最大值分别是（ ）A. 2-，8B. 2，8C. 6-，2D. 2-，6【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件画出可行域，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，将最大值转化为y 轴上的截距最小，从而得到z 的最值即可．【详解】满足约束条件02220x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩的可行域如下图所示的三角形：2220x y x -=⎧⎨-=⎩得到B （2，2），020x y x +=⎧⎨-=⎩得到A （2，﹣2） 平移直线x ﹣2y ＝0，经过点B （2，2）时，x ﹣2y 最小，最小值为：﹣2， 则目标函数z ＝x ﹣2y 的最小值为﹣2．经过点A （2，﹣2）时，x ﹣2y 最大，最大值为：6， 则目标函数z ＝x ﹣3y 的最大值为6． 故选：D ．【点睛】本题考查了线性规划中的最优解问题，通常是利用平移直线法确定，关键是画出可行域，属于基础题．4.已知数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，则下列四个命题中真命题的是（ ）A. 若53a a >，则80a >B. 若53a a >，则80S >C. 若53S S >，则80S >D. 若53S S >，则80a >【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质及特殊数列一一判断各选项即可． 【详解】令等差数列{}n a 的1d 112a ==-，，对A 选项，53810a a ，=->=-而850a =-<，故A 错误； 对B 选项，∵1812050a a =-<=-<，，∴()188802a a S +=<，故B 错误； 又对D 选项，令等差数列{}n a 的1d 212a =-=，，∵535464100S S a a ，-=+=+=>∴820a =-<，故D 错误； 对C 选项，∵5354180S S a a a a -=+=+>，∴()188802a a S +=>，故C 正确.故选C.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n 项和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.函数1sin sin 22y x x =+的部分图象大致是（ ） A.B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性、特殊点的函数值的正负及点（π，0）处的切线排除选项即可． 【详解】由奇函数的定义易得函数1sin sin22y x x =+是奇函数，排除选项B ， 又()1sin sin2sin sin cos sin 12y x x x x x x cosx ，=+=+=+ ∴当x ∈（0，π）时，函数y ()sin 1x cosx =+>0，当x ∈（π，2π）时，函数y ()sin 1x cosx =+<0， 排除选项D ，又2y cosx cos x '=+，当x=π时，0y '=，∴函数在点（π，0）处的切线为x 轴，排除选项A ， 故选：C ．【点睛】本题考查函数的图象的判断，利用函数的奇偶性、单调性、特殊点的位置及导数的几何意义是判断函数的图象的常用方法．6.已知函数()|2|f x x k =-，[21,21]()x k k k Z ∈-+∈，则函数()()lg g x f x x =-的零点个数是（ ） A. 5 B. 7C. 9D. 11【答案】C 【解析】 【分析】将函数的零点个数转化为两个函数图象的交点问题，函数f （x ）的图象是一段一段的线段，作出函数f （x ）及y lg x =的图象，观察图象即可.【详解】函数()()lg g x f x x =-的零点转化为y lg x =与()y f x =的交点， 给k 赋值，作出函数()f x 及y lg x =的图象,从图像上看，共有9个交点， ∴函数()g x 的零点共有9个， 故选：C.【点睛】本题主要考查图象法求函数的零点，考查了数形结合思想与转化思想，属于中档题．7.随机变量ξ，η的分布列分别是（ ）当102p <<时，有（ ） A. ()()E E ξη>，()()D D ξη> B. ()(),E E ξη>，()()D D ξη< C. ()()E E ξη<，()()D D ξη> D. ()()E E ξη<，()()D D ξη<【答案】A 【解析】 【分析】利用E （ξ）的公式及D （ξ）＝E （ξ2）﹣E 2（ξ）求得期望方差，再比较大小即可． 【详解】根据题意E （ξ）＝212p 2p ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，D （ξ）＝E （ξ2）﹣E 2（ξ）2241(2p)22p p p ⎛⎫=---=-+ ⎪⎝⎭，E （η）＝1()1p 2p 1p -+=+，D （η）＝E （η2）﹣E 2（η）()2211p 4p (1p)p p =-+-+=-+，E （ξ）﹣E （η）12p =-，∵102p <<，∴021p <<，∴12p 0->, ∴E （ξ）>E （η），D （ξ）﹣D （η）222p 0p p p p =-+--+=>，∴D （ξ）>D （η）， 故选：A ．【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差，考查了期望方差的公式的应用，属于中档题．8.矩形ABCD 中，BC =，将ABD ∆沿对角线BD 进行翻折，使点A 到达点A '的位置，记直线A B '与CD 所成的角是1θ，直线A B '与平面BCD 所成的角是2θ，二面角A CDB '--的平面角是θ，则（ ）A. 当1θ最大时，2θθ<B. 当1θ最大时，2θθ>C. 当2θ最大时，2θθ<D. 当2θ最大时，2θθ>【答案】D 【解析】 【分析】由题意画出图形，由两种特殊位置得到点A ′在平面BCD 上的射影的情况，由线段的长度关系可得所求角的正弦的大小，则答案可求．【详解】如图，∵四边形ABCD 为矩形，∴BA ′⊥A ′D ， ①当A ′点在底面上的射影O 落在BC 上时，则平面A ′BC ⊥底面BCD ，又DC ⊥BC ，可得DC ⊥平面A ′BC ，则DC ⊥BA ′， 即直线A B '与CD 所成的角12πθ=，满足1θ最大，又BA ′⊥A ′D ，∴BA ′⊥平面A ′DC ，∴BA ′⊥A ′C ，设BA ′＝1，则'A D BC ==A ′C=1，此时直线A B '与平面BCD 所成的角24A BC πθ∠'==，二面角A CD B '--的平面角4A CB πθ'=∠=，∴2θθ=，故A 、B 选项错误；②当A ′点在底面上的射影E 落在BD 上时，可知A ′E ⊥BD ，在Rt △BA ′D 中，A ′E 是BD 边上的高，且A ′E 3=，BE =．∴E 为BD 上靠近B 的三等分点；此时A ′点到底面的距离最大为A ′E ，∴2'sin 'A EBA θ=最大，即2θ最大，过E 作EM⊥CD ，连接A′M，则∠A ′ME 为二面角A ′﹣BD ﹣C 的平面角θ，∴sin θ=''A EMA =，又3MA ='==>1，∴sin θ<2 sin θ,即θ<2θ， 故选：D ．【点睛】本题考查了空间异面直线所成角、线面角及二面角的平面角的求法，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．9.设函数2()(,)f x x ax b a b =++∈R ，若方程(())0f f x =只有一个实数根，则（ ） A. 0a ≥，0b ≥ B. 0a ≥，0b ≤ C. 0a ≤，0b ≥ D. 0a ≤，0b ≤【答案】A 【解析】【分析】设()t f x =，则()0f t =必有实数根，结合二次函数的根的分布分析()0f t =只有一个实数根和有两个不同实数根的情况，得到a ，b 的值. 【详解】设()t f x =，则()0f t =必有实数根，（1）若()0f t =只有一个实数根时，当且仅当0t =，否则()t f x =有两个实数根或者无实数根，此时()t f x =的解也为0，所以()2f x x =，即0a =，0b =；（2）若()0f t =有两个不同实数根时，即图象与x 轴有两个不同交点()1,0t ，()2,0t ，此时1t ，2t 均小于0，令12t t <，则()1min t f x <，()2min t f x =否则()t f x =至少有两个实数根，所以有120t t +<，120t t >， 即0a >，0b >， 综合（1）（2）， 故选：A.【点睛】本题主要考查函数方程根的个数的应用，利用换元法将复合函数问题转化为简单二次函数问题是解决本题的关键，考查了分析问题的能力，属于综合题．10.已知a ，b ，e 是同一平面内的三个向量，设e 是单位向量，若21a e b e -=-=，则a b ⋅的最小值为（ ） A. 0 B. 14-C. 12-D. 1-【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算得到cos 2a b θ⋅≥，再整体换元求最值即可． 【详解】设2x a e =-，y b e =-，则1x y ==， ∴()()()222a b x e y e x y x y e ⋅=+⋅+=⋅++⋅+()2cos 2cos 2cos 22cos 2x y x y x y θαθθ=⋅⋅++⋅+≥-++=-（其中θ是向量x ，y 的夹角，α是向量()2x y +，e 的夹角），设[]1,3t =，则()21cos 54t θ=-， ∴()2213111244444a b t t t ⋅=-+=--≥-，此时2t =，1cos 4θ=-，cos 1α=-即2x y +与e 反向.故选：B【点睛】本题考查了向量的数量积的运算，考查了向量夹角定义和二次函数求最值的方法，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.双曲线221412x y -=的焦距是______，渐近线方程是______.【答案】 (1). 8 (2). y = 【解析】 【分析】由双曲线方程求得a ，b ，c 的值，则其焦距与渐近线方程可求． 【详解】由题知，2a ＝4，2b ＝12，故2c ＝22a b +＝16， ∴双曲线的焦距为：28c =，渐近线方程为：b y x x a =±==．故答案为：8；y =．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______2cm ；体积是______3cm .【答案】 (1). 8+【解析】【分析】根据几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，由三视图求出几何体中的各个边的长度，利用柱体的表面积公式及体积公式求得结果即可．【详解】根据几何体的三视图得：该几何体是如图所示的直三棱柱，其底面三角形ABC是正视图中的三角形，底边为2cm，高为2cm，由俯视图知直三棱柱的高为2cm，所以该几何体的体积V12222=⨯⨯⨯=4（cm3），则该几何体的表面积S表面积＝2122222⨯⨯⨯++2×2＝8+cm2），故答案为：8+4．【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．13.二项式9x⎛ ⎝的展开式中所有项的系数和是______，其中含6x 项的系数是______.【答案】 (1). -1 (2). 144 【解析】 【分析】令x ＝1，得到()912-＝﹣1，再利用通项求得含x 6的项的系数． 【详解】令x ＝1，得到()912-＝﹣1，即所有项的系数和是﹣1. 又展开式的通项为T r+1399299(12r rrr r r rC xC x --==-（），令392r-＝6，解得r ＝2， ∴x 6的系数为2229C =144．故答案为：﹣1 144．【点睛】本题考查了二项式定理的运用，利用赋值法求解所有项的系数和，利用展开式的通项求特征项是常用方法．14.在ABC ∆中，90C ∠=︒，内角A 的平分线AD 的长为7，7sin 18B =，则cos CAD ∠=______，AB 的长是______.【答案】 (1). 56(2). 15 【解析】 【分析】由已知利用诱导公式可求cos A 718=，利用内角关系及二倍角的余弦函数公式可求cos∠CAD 的值，利用同角三角函数基本关系式进而可求sin∠DAB ，cos B 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin∠ADB 的值，在△ADB 中，由正弦定理即可求得AB 的值． 【详解】∵∠C ＝90°，内角A 的平分线AD 的长为7，则sin B ＝sin （2π-A ）718=， ∴cos A 718=，可得：2cos 22A -1718=，解得：cos 526A =， ∴cos∠CAD 56=，∴cos∠DAB 56=，sin∠DAB == 又∵cosB ==， ∴sin∠ADB ＝sin （∠B +∠DAB ）＝sin∠B cos∠DAB +cos∠B sin∠DAB 7551861866=⨯+=， ∴在△ADB 中，由正弦定理AB AD sin ADB sin B=∠∠，可得：757618AB =，解得：AB ＝15． 故答案为：56，15．【点睛】本题主要考查了诱导公式，角平分线的定义及二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．15.正数a ，b ，c 满足2221a b c =++，则2a b c --的取值范围是______.【答案】)+∞ 【解析】 【分析】构造空间向量()b,c,1x =，()11z y ，，=，利用cos x y x y x y θ⋅=⋅⋅≤⋅得到结论. 【详解】令z=2a b c --，则2z b c a =++，又2221a b c =++，记()b,c,1x =，()11z y ，，=，则b c z 2x ya ⋅=++=， 又()()2b,c,111z 2a a z =⋅≤=+，，，∴2≤，即z ≥【点睛】本题考查了三维向量坐标的运算，考查了|x y x y ⋅≤⋅的应用，考查了分析问题、转化问题的能力，属于发散思维的综合性问题.16.一盒子中有编号为1至7的7个红球和编号为1至6的6个白球，现从中摸出5个球，并从左到右排成一列，使得这5个球的颜色与编号奇偶数均相间排列，则不同的排法有______种.（用数字作答） 【答案】288 【解析】 【分析】由题意先确定取球的4种方法，再按要求排列即可．【详解】要满足这5个球的颜色与编号奇偶数均相间排列，则从中摸出5个球可能是2个红色奇数号球和3个白色偶数号球；也可能是2个白色奇数号球和3个红色偶数号球；或2个红色偶数号球和3个白色奇数号球；也可能是2个白色偶数号球和3个红色奇数号球；当2个红色奇数号球和3个白色偶数号球按要求排列时，有2332433272C C A A =种方法； 当2个白色奇数号球和3个红色偶数号球按要求排列时，有2332333236C C A A =种方法； 当2个红色偶数号球和3个白色奇数号球按要求排列时，有2332333236C C A A =种方法； 当2个白色偶数号球和3个红色奇数号球按要求排列时，有23323432144C C A A =种方法；综上共有72+36+36+144=288种排法. 【点睛】本题考查排列组合的实际应用问题，考查了分析问题的逻辑思维能力，注意合理地进行分类． 17.已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左右焦点分别是1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B两点，且满足11122AF BF F F ==，则椭圆的离心率为______.【答案】23【解析】 【分析】由椭圆的定义得到22AF BF ，的长度，再由余弦定理建立关于a ，c 的方程，解得e 即可. 【详解】设111222AF BF F F c ===，则222AF a c =-，22BF a c =-，则12AF F ∆与12BF F ∆中，分别由余弦定理得，1212cos cos 0AF F BF F ∠+∠=，()()2222222442252084c c a c c a c cc+----+=，化简得23430e e +-=，所以e =.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求法及椭圆的定义的应用，关键是利用余弦定理找出几何量的关系，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74分） 18.已知函数()()sin sin f x x x ϕ=+，[]0,ϕπ∈.（I）若64f π⎛⎫=⎪⎝⎭，求ϕ的值； （II ）当34πϕ=时，求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域. 【答案】（Ⅰ）6π=ϕ或2π；（Ⅱ）2,24--⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】（1）由ϕ的范围确定6πϕ+的范围，结合特殊角的正弦值求解即可.（2）利用两角和的正弦公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，再利用x 的范围确定2x 4π+的范围，进而利用三角函数的性质求得函数的值域．【详解】（Ⅰ）sin sin 666f πππϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 6πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由[]0,ϕπ∈知，6π=ϕ或2π. （Ⅱ）())231sin sin sin cos sin sin 2424f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即sin 242x π⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦， 故()2,24f x ⎡∈-⎢⎣⎦，所求值域为224-⎡⎢⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质及特殊角的三角函数值，属于基础题．19.已知三棱锥P ABC -中，底面ABC ∆是等边三角形，顶点P 在底面的射影Q 恰好落在BC 边的中线AD 上，10AP =，8AQ =.（I ）证明：面PBC ⊥面PAQ ：（Ⅱ）求直线AD 与平面PAB 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）26【解析】 【分析】（I ）要证面PBC ⊥面PAQ ，只要证PBC 经过平面PAQ 的一条垂线即可，又题意可证BC ⊥面PAQ ，则问题得证；（Ⅱ）过点Q 作QE AB ⊥，连接PE ，再过点Q 作QF PE ⊥，连接AF ，通过线面垂直的判定定理可得QF ⊥面PAB ，得到QAF ∠就直线AD 与平面PAB 所成的角，求得各几何量，在RT QAF ∠中，求解即可.【详解】（I ）∵ABC ∆是等边三角形，且D 是BC 边的中点，∴AD BC ⊥，又PQ ⊥底面ABC ∆，∴PQ BC ⊥，得BC ⊥面PAQ ， 又BC ⊆面PBC ，所以面PBC ⊥面PAQ .（Ⅱ）过点Q 作QE AB ⊥，连接PE ，再过点Q 作QF PE ⊥，连接AF ， ∵PQ ⊥底面ABC ∆，∴PQ AB ⊥，得AB ⊥面PQE ，即AB QF ⊥， 所以QF ⊥面PAB ，即AF 是直线AQ 在平面PAB 上的射影， ∴QAF ∠就直线AD 与平面PAB 所成的角，∵10AP =，8AQ =，∴6PQ =，4QE =，AE =，QF =，∴Rt QAF ∠中，sin 26QF QAF QA ∠==，所以，直线AD 与平面PAB .【点睛】本题考查了平面与平面垂直的判定，考查了线面角的定义及作法，考查了运算能力，是中档题．20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-()*n ∈N ，数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++()*n ∈N .（I ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT <. 【答案】（Ⅰ）12n n a -=；（Ⅱ）见解析【解析】 【分析】 （I ）利用1112n nn S n a S S n ，当时，当时-=⎧=⎨-≥⎩即可得出a n .（Ⅱ）由（Ⅰ）可得n S ，得出数列{}n b 的通项公式并裂项，再利用“裂项相消法”即可得出T n ，证得结论．【详解】（I ）由12n n S a a =-，当2n ≥时，1112n n S a a --=-，两式相减得12n n a a -=， 所以数列{}n a 是公比为2的等比数列，而16b =，得11a =，{}n a 的通项公式为12n n a -=.（Ⅱ）由1221n n n S a a =-=-，得11232nn n b -=++， 即()()111121121212121n n n n n n b ---==-++++， 所以0112111111111112121212121212212n n n n T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了数列前n 项和与数列通项公式间的关系：1112n nn S n a S S n ，当时，当时-=⎧=⎨-≥⎩、考查了裂项的技巧及“裂项相消法”求和的方法，属于中档题.21.设抛物线2:2C y x =上的一点()22,2P t t ，过点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别是A .B .（I ）求直线AB 的方程（用t 表示）；（Ⅱ）若直线AB 与C 相交于M ，N 两点，点P 关于原点O 的对称点为Q ，求QMN ∆面积的最小值.【答案】（Ⅰ）2221t x ty +=；（Ⅱ）9S = 【解析】 【分析】（Ⅰ）先求得A 处的切线方程，可同理得到B 处的切线方程，代入点P 坐标，找到点()11,A x y ，()22,B x y 都满足的直线方程即可,（Ⅱ）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得弦长MN 的表达式，再利用点到直线的距离公式及三角形面积公式得到S ，结合换元法及导数求得最值. 【详解】（Ⅰ）设点()11,A x y ，()22,B x y ， 则11OA y k x =，∴11A x k y =-处切线，则A 处的切线方程为()1111y x y x x y -=--,即111x x y y +=，同理B 处的切线方程为221x x y y +=，再将点()22,2P t t 代入上述两个方程，得211221t x ty +=，222221t x ty +=，所以直线AB 的方程为2221t x ty +=.（Ⅱ）联立2221t x ty +=，22y x =，得22210t y ty +-=，设点()33,M x y ，()44,N x y ，则342y y t +=-，3421y y t =-，所以MN == 点()22,2Q t t --到直线MN的距离为2221t d +==所以QMN ∆的面积为22222212111222t t S MN d t ++==⋅=设x =，则()()223212x S S x x+==⋅，得()()()()()224222264821321212322x x x x x x S x x x +-++-==⋅'⋅， x =是()S x 的唯一极小值点，当x =即232t =时，QMN ∆面积的最小值为9S =， 此时点P 的坐标是(3,.【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线相切问题的解决模式，考查了根与系数的关系、弦长公式及利用导数求函数的最值问题，属于综合题．22.已知函数3()()ln 2f x x a x x a =--+. （I ）若()f x 是(0,)+∞上的单调函数，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）22a e ≤时，记()f x 的最小值为min{()}f x ，证明：0min{()}f x ≤≤. 【答案】（Ⅰ）1a e≤-；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（I ）问题转化为()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，令g （x ）＝ln x x ，通过求导求出g （x ）的最小值，从而求出a 的范围（Ⅱ）由（I 22a e ≤≤时，在()0,+∞有唯一的0x ，使得a=00x lnx 且得到20x e ≤≤，从而得到()f x 的最小值为(){}()0min f x f x =，分解因式分析正负可证得左边成立，再通过构造函数，求导分析得到最大值，证得结论. 【详解】（I ）求导得()ln ln a x x af x x x x='-=-，由题意知， 设()ln g x x x =，则()ln 1g x x ='+，()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，即1x e =是()g x 的极小值点，所以()11ln g x x x g e e ⎛⎫=≥=- ⎪⎝⎭，要使()f x 是()0,+∞上的单调函数，即()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，只有1a e≤-.（Ⅱ）令()0f x '=，即a=xlnx ，()g x 在在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，22a e ≤≤时，在()0,+∞有唯一的0x ，使得a=00x lnx又由()ln g x x x =20x e ≤≤，即01ln 22x ≤≤，所以()f x 的最小值为(){}()()00003min ln 2f x f x x a x x a ==--+，将00ln a x x =代入， 得(){}()()()000000051min ln ln 1ln ln 2022f x f x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==--=---≥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，从而知(){}()0min 0f x f x =≥，另一方面，记()()()1ln ln 22h x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，求导得()()3ln ln 12h x x x ⎛'⎫=--+ ⎪⎝⎭，2x e ≤≤时，所以x =是()h x 的唯一极大值点，即()(h x h ≤=，有(){}()0min f x f x =≤综上所述，(){}0min 2f x ≤≤. 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查了构造法的技巧及分析问题的能力，属于难题．。
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1. 考前检查进入考场前， 检查一下自己是否带齐了应带的证件
和文具
2. 拿到试卷不要急于答题
3. 迅速统览全卷
4. 按序号先易后难答题
5. 仔细审题，避免失误
6. 量分用力
7. ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ范答卷
8. 审阅检查
浙江省嘉兴市 2019 届高考数学评估试题（一） （含解析）
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
i
1. 在复平面内，复数
（ i 为虚数单位）对应的点位于（
）
2i
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】 B
【解析】 【分析】
利用复数的除法运算法则，化简复数为 a+bi 的形式，然后判断选项即可．
i 【详解】复数 z
2i
i2 i 2i 2i
1 2i
，复数对应点为（
5
1，2 ），在第二象限． 55
数是（
）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
【答案】 C
【解析】
【分析】
将函数的零点个数转化为两个函数图象的交点问题，函数
f （ x）的图象是一段一段的线段，
作出函数 f （ x）及 y lg x 的图象，观察图象即可 .
【详解】函数 g x f x lgx 的零点转化为 y lgx 与 y f x 的交点，
【答案】 D
【解析】
【分析】 先根据条件画出可行域，再利用几何意义求最值，将最小值转化为
y 轴上的截距最大，将最
大值转化为 y 轴上的截距最小，从而得到 z 的最值即可．
【详解】满足约束条件
xy0 2x y 2 的可行域如下图所示的三角形： x2 0
-2-
2x y 2
xy0
得到 B（ 2， 2），
【详解】平面 α⊥平面 β，则“ m P ”? “ m Pβ或 m? β 或 m与 β 相交”，
反之，平面 α⊥平面 β，令平面 α⊥平面 β＝l ， l 上任取一点 A，在 α 内过 A 作 AB⊥l ，
则 AB⊥平面 β，又 m⊥β，可得 m P AB ，∴ m P ；
则“ m P ”是“ m⊥β”的必要不充分条件．
对 C 选项，∵ S5 S3 a5 a4 a1 a8 0，∴ S8 8 a1 a8 2
0 ，故 C 正确 .
故选 C.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前
n 项和公式的应用，考查了推理能力
与计算能力，属于中档题．
5. 函数 y sin x 1 sin 2x 的部分图象大致是（
）
2
A.
B.
得到 A（ 2，﹣ 2）
x2 0
x2 0
平移直线 x﹣ 2y＝0，经过点 B（ 2， 2）时， x﹣ 2y 最小，最小值为：﹣ 2， 则目标函数 z＝ x﹣ 2y 的最小值为﹣ 2． 经过点 A（ 2，﹣ 2）时， x﹣ 2y 最大，最大值为： 6， 则目标函数 z＝ x﹣ 3y 的最大值为 6． 故选： D． 【点睛】本题考查了线性规划中的最优解问题，通常是利用平移直线法确定，关键是画出可 行域，属于基础题．
故选： B． 【点睛】本题考查了空间线面面面垂直与平行的关系、简易逻辑的判定方法，考查了面面垂 直的性质定理的应用，考查了推理能力，属于基础题．
xy0
3. 若 x ， y 满足约束条件 2x y 2 ，则 z x 2 y的最小值与最大值分别是（
）
x20
A. 2 ， 8
B. 2 ，8
C. 6 ， 2
D. 2 ， 6
排除选项 D，
又 y cosx cos2x ，当 x=π 时， y 0 ，∴函数在点（π， 0）处的切线为 x 轴，排除选
项 A， 故选： C． 【点睛】本题考查函数的图象的判断，利用函数的奇偶性、单调性、特殊点的位置及导数的 几何意义是判断函数的图象的常用方法．
-4-
6. 已知函数 f ( x) | x 2k |， x [2 k 1,2 k 1](k Z ) ，则函数 g ( x) f (x) lg x 的零点个
C.
D.
【答案】 C
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性、特殊点的函数值的正负及点（π，
0）处的切线排除选项即可．
【详解】由奇函数的定义易得函数
1 y sinx sin2 x 是奇函数，排除选项 B，
2
1 又 y sinx sin2 x sinx sinxcosx sinx 1 cosx ，
2
∴当 x∈（ 0，π）时，函数 y sinx 1 cosx 0，当 x∈（π，2π）时，函数 y sinx 1 cosx 0，
故选： B.
【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的几何意义，是基础题．
2. 已知平面
平面 ，直线 m 满足 m
，则“ m P ”是“ m
”的（
）
-1-
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】
【分析】
利用空间线面、面面垂直与平行的关系即可判断出结论．
D. 若 S5 S3 ，则 a8 0
对 A 选项， a5 8 a3 10，而 a8 5 0，故 A 错误；
对 B 选项，∵ a1
12 0， a8
5 0，∴ S8 8 a1 a8 2
0，故 B 错误；
）
-3-
又对 D选项，令等差数列 an 的 d 2， a1 12 ，
∵ S5 S3 a5 a4 6 4 10 0，∴ a8 2 0，故 D 错误；
4. 已知数列 an 是等差数列， Sn 是其前 n 项的和，则下列四个命题中真命题的是（
A. 若 a5 a3 ，则 a8 0
B. 若 a5 a3 ，则 S8 0
C. 若 S5 S3 ，则 S8 0
【答案】 C 【解析】 【分析】 由等差数列的性质及特殊数列一一判断各选项即可．
【详解】令等差数列 an 的 d 1， a1 12 ，
给 k 赋值，作出函数 f x 及 y lg x 的图象 , 从图像上看，共有 9 个交点，
∴函数 g x 的零点共有 9 个，
故选： C.
【点睛】本题主要考查图象法求函数的零点，考查了数形结合思想与转化思想，属于中档题．
7. 随机变量 ， 的分布列分别是（
）
0
P P
2
2
1p 2
-5-
1
2
P
1p
P
当0
p
1
时，有（
）
2
A. E ( ) E( ) ， D ( ) D ( )
B. E( ) E( ), ， D ( ) D ( )
C. E ( ) E( ) ， D ( ) D ( )
D. E ( ) E ( ) ， D ( ) D ( )
【答案】 A 【解析】 【分析】 利用 E（ξ）的公式及 D（ξ）＝ E（ξ 2）﹣ E2（ξ）求得期望方差，再比较大小即可．