专题10函数概念的表示
2015年中考数学一轮复习系列专题10_反比例函数
基础知识知识点一：反比例函数的有关概念 1. 定义：一般地，形如k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。
ky =还可知识点二：反比例函数的基本性质 1、反比例函数的图像：反比例函数的图像是双曲线，是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）；xky =（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交； 2、作图方法：描点法 ① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③连线（从左到右光滑的曲线）3、反比例函数的几何意义： 反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky = （0≠k ）上任意引x 轴y 。
4、反比例函数的基本性质5、反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ） 重点例题分析 例1：如果函数222-+=k k kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么该函数的解析式是多少？例2：在反比例函数xy 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。
若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．123y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >>例3：如果一次函数()的图像与反比例函数xmn y m n mx y -=≠+=30相交于点（221，），那么该直线与双曲线的另一个交点为 。
例4：如图10-1，在AOB Rt ∆中，点A 是直线m x y +=与双曲线xmy =在第一象限的交点，且2=∆AO B S ，则m 的值是_____.图10-1驶的时间（h ）与行驶速度v （km/h ）的函数关系图象大致是（ ）例6：（09广东肇庆）如图 10-2，已知一次函数1y x m =+（m 为常数）的图象与反比例函数 2k y x=（k 为常数，0k ≠）的图象相交于点 A （1，3）．（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点B 的坐标； （2）观察图象，写出使函数值12y y ≥的自变量x 的取值范围．例7：（2014•武汉，第15题3分）如图10-3，若双曲线xky与边长为5的等边△AOB 的边OA ，AB 分别相交于C ，D 两点，且OC =3BD ，则实数k 的值为 ．故k=×12=．故答案为：．例8：（2014年云南省，第17题6分）将油箱注满k升油后，轿车科行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系S=（k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米．（1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析式（关系式）；（2）当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？巩固练习1、若双曲线y ＝kx 的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是( )A ．k ＞0B ．k ＜0C ．k ≠0D ．不存在 2、关于反比例函数y ＝4x 的图象，下列说法正确的是( )A ．必经过点(1,1)B ．两个分支分布在第二、四象限C ．两个分支关于x 轴成轴对称D ．两个分支关于原点成中心对称3、函数y ＝2x 与函数y ＝－1x在同一坐标系中的大致图象是( )4、反比例函数y ＝(m －2)x 2m ＋1的函数值为13时，自变量x 的值是____________5、（2014•济宁，第14题3分）如图，四边形OABC 是矩形，ADEF 是正方形，点A 、D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点B 、E 在反比例函数y =的图象上，OA =1，OC =6，则正方形ADEF 的边长为 ．6、(2014年四川资阳，第20题8分)如图，一次函数y =kx +b （k ≠0）的图象过点P （﹣，0），且与反比例函数y =（m ≠0）的图象相交于点A （﹣2，1）和点B ． （1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B 的坐标，并根据图象回答：当x 在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？7、（ 2014•珠海，第19题7分）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD 关于y 轴对称，边在AD 在x 轴上，点B 在第四象限，直线BD 与反比例函数xmy 的图象交于点B 、E ．（1）求反比例函数及直线BD 的解析式； （2）求点E 的坐标．8、（2014•舟山，第22题10分）实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y （毫克/百毫升）与时间x （时）的关系可近似地用二次函数y =﹣200x 2+400x 刻画；1.5小时后（包括1.5小时）y 与x 可近似地用反比例函数y =（k ＞0）刻画（如图所示）．（1）根据上述数学模型计算：①喝酒后几时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？ ②当x =5时，y =45，求k 的值．（2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．9、（2014•浙江宁波，第22题10分）如图，点A 、B 分别在x ，y 轴上，点D 在第一象限内，DC ⊥x 轴于点C ，AO =CD =2，AB =DA =，反比例函数y =（k ＞0）的图象过CD 的中点E ．（1）求证：△AOB ≌△DCA ； （2）求k 的值；（3）△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称，其中点F 在y 轴上，是判断点G 是否在反比例函数的图象上，并说明理由．中考预测1、已知一次函数y 1=kx +b （k <O ）与反比例函数y 2=xm(m ≠O )的图象相交于A 、B 两点，其横坐标分别是－1和3，当y 1>y 2时，实数x 的取值范围是( )A ．x <－l 或O <x <3B ．一1<x <O 或O <x <3C ．一1<x <O 或x >3D ．O <x <3 2、已知抛物线y =x 2﹣2x +m +1与x 轴有两个不同的交点，则函数xmy =的大致图象是（ ）3、函数y =mx +n 与mxny =，其中m ≠0，n ≠0，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（ ）A B C D4、在反比例函数y ＝k －2013x 图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是______________． 5、已知反比例函数y=kx（k 是常数，k ≠0），在其图象所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值的增大而增大，那么这个反比例函数的解析式是： （只需写一个）． 6、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数b kx y +=的图像经过点()0,1A ，与反比例函数xmy =()0>x 的图像相交于点()1,2B ①求m 的值和一次函数的解析式；②结合图象直接写出：当x ＞0时，不等式xmb kx >+的解集．7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形DOBC 是矩形，且D （0，4），B （6，0）．若反比例函数y =（x ＞0）的图象经过线段OC 的中点A ，交DC 于点E ，交BC 于点F ．设直线EF 的解析式为y =k 2x +b ．（1）求反比例函数和直线EF 的解析式； （2）求△OEF 的面积；（3）请结合图象直接写出不等式k 2x +b ﹣＞0的解集．8、如图①，△OAB 中，A （0，2），B （4，0），将△AOB 向右平移m 个单位，得到△O ′A ′B ′．（1）当m=4时，如图②．若反比例函数y=的图象经过点A′，一次函数y=ax+b的图象经过A′、B′两点．求反比例函数及一次函数的表达式；（2）若反比例函数y=的图象经过点A′及A′B′的中点M，求m的值．2.D3、B4、-95、22、A3、B4、2013>k解：由题可知：反比例函数y ＝k －2013x图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小 故：02013>-k ，即 2013>k5.xy 2-=（答案不唯一）。
2022年初升高暑期数学精品讲义专题10 函数的三要素重难点突破(原卷版)
专题10 函数的三要素一、考情分析二、经验分享【重难点1．函数的定义域】当函数是由解析式给出时，求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合，求函数定义域的一般方法有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③要求；y x =0x ≠④当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合；⑤已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求出的取值范围；()f x [()]f g x ()g x x ⑥已知的定义域，求的定义域，其实质是由的取值范围，求的取值范围；[()]f g x ()f x x ()g x ⑦由实际问题建立的函数，还要符合实际问题的要求．名师提醒：（1）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．（2）已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值或取值范围，需运用分类讨论以及转化与化归的方法，转化为方程或不等式的解集问题，根据方程或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围．这种思想方法即通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．【重难点2．求函数值或函数的值域】（1）函数求值即用数值或字母代替表达式中的x ，而计算出对应的函数值的过程．注意所代入的数值或字母应满足函数的定义域要求．求函数值应遵循的原则：①已知的表达式求时，只需用a 替换表达式中的x ．()f x ()f a ②求的值应遵循由里往外的原则．()f f a ⎡⎤⎣⎦③用来替换表达式中x 的数a 必须是函数定义域内的值．（2）求函数的值域，应根据各个式子的不同结构特点，选择不同的方法：①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：此方法是求“二次函数类”值域的基本方法，即通过配方把函数转化为能直接看出其值域的方法．求值域时一定要注意定义域的影响．如函数的值域与函数223y x x =-+223,{|0y x x x x =-+∈≤的值域是不同的；3}x <③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．分离常数的目的是为了减少“变量”，变换后x 仅出现在分母上，这样x 对函数的影响就比较清晰了；利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．在利用换元法求解函数的值域时，一定要注意换元后新元的取值范围，否则会产生错解．求新元的范围，要根据已知函数的定义域．【重难点3．函数解析式的求法】（1）已知函数的模型求函数解析式，常采用待定系数法，由题设条件求待定系数．（2）已知f （g （x ））=h （x ），求f （x ），常用的有两种方法：①换元法，即令t =g （x ），解出x ，代入h （x ）中，得到一个含t 的解析式，即为所求解析式；②配凑法，即从f （g （x ））的解析式中配凑出“g （x ）”，即用g （x ）来表示h （x ），然后将解析式中的g （x ）用x 代替即可．利用这两种方法求解时一定要注意g （x ）的取值范围的限定．（3）已知f （x ）与f （g （x ））满足的关系式，要求f （x ）时，可用g （x ）代替两边所有的x ，得到关于f （x ）与f （g （x ））的方程组，消去f （g （x ））解出f （x ）即可．常见的有f （x ）与f （−x ），f （x ）与．1()f x （4）所给函数方程含有两个变量时，可对这两个变量交替使用特殊值代入，或使这两个变量相等代入，再利用已知条件，可求出未知的函数，至于取什么特殊值，根据题目特征而定．三、题型分析（一）．函数的定义域考点1.具体函数的定义域例1．（1）、（2022·四川·成都七中高二阶段练习（文））设集合，，则{A x y =={}1,0,1,2B =-（ ）A B = A ．B ．C ．D ．{}1,0-{}0,1,2{}1,2{}1,0,1-（2）、（2022·广西·平桂高中高二阶段练习（理））函数的定义域为___________.()f x =【变式训练1-1】、（2021·广西崇左市·崇左高中高一开学考试（文））函数的定义域()11f x x =+-为（ ）A ．[)2,-+∞B ．[)()2,11,-⋃+∞C ．R D ．(],2-∞-【变式训练1-2】、（2022·全国·高三专题练习）函数__________．()f x =考点2.抽象函数的定义域例2、（1）、（2022·江苏·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义域为(21)y f x =+[]1,2-(1)=-y f x _________.（2）、（2022·黑龙江·双鸭山一中高二阶段练习）已知函数的定义域为，则函数()22f x -{}|1x x <的定义域为（ ）()211f x x --A ．B ．C ．D ．(,1)-∞(,1)-∞-()(),11,0-∞-- ()(),11,1-∞-- 【变式训练2-1】、（2021·上海市徐汇中学高一阶段练习）若函数的定义域为，则函数()f x []22-,的定义域是___________(21)f x -【变式训练2-2】、（2021·黑龙江大庆市·大庆中学高一开学考试）若函数的定义域为，则()y f x =[0,2]函数的定义域是__________．(2)()1f x g x x =-（二）．求函数值或函数的值域考点3.一次函数、二次函数的值域的问题例3、（2022·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知函数f (x )，，则函数的值域2263x x =-+[]12x ∈-，是（ ）A ．B ．C ．D ．3[112-3[ 112，）[]111-，3112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【变式训练3-1】、（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数的定义域和值213()22f x x x =-+域都是，则（ ）[1,]b b =A ．1B ．3C ．D ．1或33-例4、（2022·江西省定南中学高二阶段练习（文））函数的值域为2y x = （ ）A ．B ．C ．D ．15,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦15,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭15,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【变式训练4-1】、（2020·舒城育才学校高一月考）函数的值域是（ ）()f x x =+A ．B ．C ．D ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦[)2,+∞(],2-∞考点4.类“反比例”函数的值域的问题例5.(1)、（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习（理））函数值域是（ ）()211f x x =+A ．B ．C ．D ．(],1-∞[)1,+∞[)0,∞+(]0,1(2)、（2021·四川自贡·高一期中）函数的值域是（ ）2()1xf x x =+A ．B ．(),1-∞- ()1,+∞(),2-∞C ．D ．(),2-∞ ()2,+∞[)1,-+∞【变式训练5-1】、（2021·河南南阳·高一阶段练习）函数的值域为___________.21(),(2,1)(1,2)1x f x x x -=∈-- 【变式训练5-2】、（2021·浙江高二期末）已知函数，则函数的值域为（ ）2(),[2,6]1x f x x x +=∈-A ．B ．C ．D ．8,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦8,[4,)5⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦8,[4,)5⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭8,45⎛⎫⎪⎝⎭考点5.“双勾”函数的值域问题例6、（2022·湖南娄底·高二学业考试）下列函数中，最小值为2的函数是（ ）A ．B ．()10y x x x=+<222y x x -=+C ．D ．()301y x x =+<<y =【变式训练6-1】．（2021·上海虹口区·高一期末）函数，的值域为__________．4()f x x x =+1,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（三）．函数解析式的求法考点6.用换元法求函数的解析式例7．（1）、（2022·河南·临颍县第一高级中学高二阶段练习（文））已知，则()22143f x x +=+（ ）．()f x =A ．B ．C ．D ．224x x -+22x x+221x x --223x x ++（2）、（2022·山西运城·高二阶段练习）已知函数满足，则（ ）()f x 2(1)71f x x x -=--(2)f =A ．1B ．9C ．D ．1-13-【变式训练7-1】．（2020·广西南宁市东盟中学高一期中）已知是一次函数，满足()f x ，则（ ）．()3164f x x +=+()f x =A ．B ．C ．D ．64x +24x +223x -263x -【变式训练7-2】、（2022·江苏·高一）已知，则（ ）()14f x x +=-()0f f ⎡⎤=⎣⎦A ．B ．C ．D ．9-10-11-12-考点7.求一次、二次函数的的解析式例8、（1）、（2021·山东威海·高一期中）已知函数是一次函数，满足，则()f x (())1630f f x x =-__________．()f x =（2）、（2021·广东·珠海市华中师范大学（珠海）附属中学高一阶段练习）已知是一次函数，且()f x ，则解析式为___________．(1)32f x x +=+()f x ()f x =【变式训练8-1】、（2020·黑龙江·哈尔滨市第一二二中学校高一期中）若二次函数满足()f x ，.()()12f x f x x +-=()01f =(1)求的解析式；()f x (2)求在上的值域；()f x []0,2(3)若在上恒成立，求m 的取值范围.()2f x x m>+[]1,1-考点8.用消去法求函数的解析式（方程思想）例9．（2021·湖北·黄冈中学新兴分校高一期中）已知函数满足，则()f x ()2()23f x f x x +-=+___________.()f x =【变式训练9-1】、（2021·全国·高一课时练习）若，则______．()1324f x f xx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x =（四）．函数的综合应用例10、（2020·四川·广安二中高一期中）已知函数满足：()f x )13f x =+(1)求的解析式；()f x (2)判断函数在区间上的单调性，并证明．()()2f x x g x x +=[)2,+∞【变式训练10-1】、（2022·江苏·高一）已知函数.()f x =(1)若函数定义域为，求的取值范围；R a (2)若函数值域为，求的取值范围.[0,)+∞a。
专题10 三角函数定义(原卷版)
第10讲三角函数定义考点1：角的概念1.定义：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．其中顶点、始边、终边称为角的三要素．2.范围：R3.正角、负角、零角①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．4.终边相同的角：设α表示任意角，所有与 终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S={β|β=α+k⋅360° ， k∈Z}．集合S的每一个元素都与α的终边相同，当k=0时，对应元素为α．5.象限角与轴线角象限角：定点在原点，始边在x轴正半轴，终边在第几象限就是第几象限角，k∈Z}或{α|k⋅3600<900+k⋅如：终边落在第一象限的角：{α|2kπ<α<2kπ+π23600，k∈Z}终边落在y轴上的角：{α|α=kπ+π，k∈Z}或{α|900+k⋅1800，k∈Z}．2轴线角：如果角的终边在坐标轴上则说这个角不在任何象限，而称之为“轴线角”．二、弧度制1.定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．2.弧度与角度的换算：1800=πrad，1rad=(1800π)≈57.300=57018′3.弧长与扇形面积公式：①弧长公式：l=|α|r②扇形面积公式：S=12lr=12|α|r2典例精讲【典例1】已知本次数学考试总时间为2小时，你在奋笔疾书沙沙答题，分针滴答滴答忙着转圈．现在经过了1小时，则此时分针转过的角的弧度数是．【典例2】将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是．【典例3】终边在直线y=√3x上的角的集合为．【典例4】已知角α＝45°；（1）在区间[﹣720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；（2）集合M={x|x=k2×180°+45°，k∈Z}，N={x|x=k4×180°+45°，k∈Z}，那么两集合的关系是什么？【典例5】有一扇形其弧长为6，半径为3，则该弧所对弦长为，扇形面积为．【典例6】有一扇形其弧长为6，半径为3，则该弧所对弦长为，扇形面积为．【典例7】315°＝弧度，弧度＝°．考点2：三角函数基本知识一、三角函数定义1.定义：在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r(r=√|x|2+|y|2=√x2+y2>0)，那么(1)比值yr 叫做α的正弦，记作sinα，即sinα=yr；(2)比值xr 叫做α的余弦，记作cosα，即cosα=xr；(3)比值yx 叫做α的正切，记作tanα，即tanα=yx；2.符号：由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：(1)正弦值yr对于第一、二象限为正（y>0，r>0），对于第三、四象限为负（y<0，r>0）；(2)余弦值xr对于第一、四象限为正（x>0，r>0），对于第二、三象限为负（x<0，r>0）；(3)正切值yx对于第一、三象限为正（x，y同号），对于第二、四象限为负x，y（异号）．3.特殊角的三角函数：4.三角函数同角公式：sin2x+cos2x=1；tan x=sin xcos x．二、诱导公式1.各角与角α终边的关系yπ2+αy2.诱导公式(1)角α与α+k⋅2π(k∈Z)的三角函数间的关系；sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cosα，tan(α+2kπ)=tanα;(2)角α与−α的三角函数间的关系；sin(−α)=−sinα，cos(−α)=cosα，tan(−α)=−tanα;(3)角α与α+(2k+1)π(k∈Z)的三角函数间的关系；sin[α+(2k+1)π]=−sinα，cos[α+(2k+1)π]=−cosα，tan[α+(2k+1)π]=tanα;(4)角α与α+π2的三角函数间的关系．sin(α+π2)=cosα,cos(α+π2)=−sinα，tan(α+π2)=−cotα．注：“奇变偶不变，符号看象限”：奇偶是指π2的奇数倍和偶数倍，符号看象限是令α为第一象限的角，考查变化后角所在的象限以及对应三角函数的符号．典例精讲【典例1】已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A（2sin α，3），则cosα＝（）A．12B．−12C．√32D．−√32【典例2】已知θ是第四象限角，且cos（θ−π4）=35，则tan（θ+π4）＝（）A．−43B．−34C．43D．34【典例3】已知x∈R，则下列等式恒成立的是（）A．sin（﹣x）＝﹣sin x B．C．D．cos（π﹣x）＝cos x【典例4】如图，单位圆Q的圆心初始位置在点（0，1），圆上一点P的初始位置在原点，圆沿x轴正方向滚动．当点P第一次滚动到最高点时，点P的坐标为；当圆心Q 位于点（3，1）时，点P的坐标为．【典例5】已知，若，则的值为（）A．B．C．D．【典例6】已知sin(π−α)=−1，则sin（﹣2π﹣α）＝．2【典例7】若，那么的值为（）A．B．C．D．综合练习一. 选择题（共2小题）1.已知θ是第四象限角，且cos（θ−π4）=35，则tan（θ+π4）＝（）A．−43B．−34C．43D．342.定义新运算a⊗b＝2a（a+b）﹣3，若方程（√3sin x）⊗（cos x）＝2在x∈（0，π）上的解为x1，x2，则cos（x1﹣x2）的值为（）A．√3B．√33C．2 D．1二. 填空题（共4小题）3.将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是．4.已知θ的终边过点P（﹣12，5），则cosθ＝．5.已知角α的终边经过点P(−1，√3)，则cosα＝．6.已知sin(π−α)=−12，则sin（﹣2π﹣α）＝．三. 解答题（共2小题）7.将下列角度化为弧度，弧度转化为角度（1）780°，（2）﹣1560°，（3）67.5°（4）−103π，（5）π12，（6）7π4．8.已知扇形的圆心角为α（α＞0），半径为R．（1）若α＝60°，R＝10cm，求圆心角α所对的弧长．（2）若扇形的周长是8cm，面积是4cm2，求α和R．。
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考点1:集合的含义与表示、集合间的基本关系考点2：集合的基本运算考点3：与集合相关的新概念问题专题2命题及其关系、充分条件和必要条件考点4、命题及其关系考点5、充分条件和必要条件考点6、利用关系或条件求解参数范围问题专题3、简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词考点7、逻辑连接词考点8、全称量词和存在量词考点9、利用逻辑连接词探求参数问题专题4：函数概念与基本初等函数考点10、函数的表示与函数的定义域考点11、分段函数及其应用专题5、函数的基本性质考点12、函数的单调性考点13、函数的奇偶性考点14、函数性质的综合性质应用问题二次函数与幕函数考点15、二次函数及其应用考点16、幕函数主题7、指数与指数函数考点17、幕的运算考点18、指数函数的图像与性质考点19、与指数函数相关的综合问题专题8、对数与对数函数考点20、对数的运算考点21、对数函数的图像与性质考点22、函数图像的应用问题专题9、函数的图像考点23、函数图像的辨识考点24、函数图像的变换考点25、函数图像的应用问题专题10、函数与方程考点26、函数零点所在区间的判断考点27、函数零点、方程根的个数考点28、函数零点的应用问题函数的模型与应用考点29、函数常见的模型与应用考点30、函数与其他知识相联系问题导数专题12导数及其运算考点31、导数的概念与几何意义考点32、导数的运算专题13、导数的应用考点33、导数与函数的单调性考点34、函数与函数的极值、最值考点35、利用导数求参数的范围问题考点36、利用导数求参数的范围问题考点37、利用导数解决综合问题专题14、定积分与微积分基本定理考点38、利用微积分基本定理求解定积分考点39、利用定积分求分平面图形的面积第四部分、三角函数专题15、三角函数的概念、同角三角函数的的基本关系考点40、三角函数的概念考点41、同角三角函数的基本关系、诱导公式专题16、三角函数的图像与应用考点42、三角函数的的图形与变换考点43、求三角函数的解析式专题17、三角函数的性质与应用考点44、三角函数的定义域、值域、最值考点45、三角函数的单调性、奇偶性、对称性和周期性考点46、与三角函数相关的综合问题专题18三角恒等变换考点47、三角函数式的化简与求值考点48、与三角化简求值相关的综合问题专题19、解三角函数考点49、正选定理与余弦定理考点50、解三角形及其应用考点51、与平面向量、不等式综合等综合的三角形问题第五部分平面向量专题20平面向量的概念与及线性运算、平面向量基本定理考点52、平面向量的线性运算和几何意义考点53、平面向量基本定理和坐标运算考点54、平面向量的数量积考点55、平面向量的长度与角度问题考点56、平面向量的综合应用题第六部分数列专题22、数列的概念与数列的通项公式考点57、数列的概念考点58、数列的通项公式专题23、等差数列考点59、等差数列的概念与运算考点60、等差数列的性质考点61、等差数列相关的综合问题专题24、等比数列考点62、等比数列的概念与运算考点63、等比数列的性质考点64、等比数列相关的综合问题专题25、数列的综合问日考点65、数列求和考点66、数列与不等式相结合问题考点67、数列与函数相结合问题考点68、数列中的探索问题专题26、不等关系与不等式的解法考点69、不懂关系考点70、不等式的解法专题27、二元一次不等式组与简单的线性规划考点71、用二元一次不等式组表示区域问题考点72、利用线性规划求目标函数考点73、以可行域为载体与其他知识的教会问题专题28、基本不等式及其应用考点74、基本不等式考点75、基本不等式的实际应用问题第八部分立体几何专题29、空间几何体结构及三视图和直观图考点76、空间几何体的的结构考点77、三视图与直观图专题30、空间几何体的表面积和体积考点78、几何体的表面积考点79、几何体的体积考点80、组合体的“接”“切”的综合问题专题31、空间点、线、面的位置关系考点81、空间点、线、面的位置关系考点82、异面直线所成的角专题32、直线、平面平行与垂直的判定与性质考点83、直线、平面平行的判定与性质考点84、直线、平面垂直的判定与性质专题33、空间角与综合问题考点85、直线与平面所成的角考点86、二面角考点87、立体几何中的折叠问题、最值问题和探索性问题专题34、空间向量与立体几何考点88、空间向量运算与利用平面向量证明平行、垂直的位置关系考点89、利用空间向量求空间角考点90、利用空间向量解决开放性、探索性等问题专题35、。
专题10 二次函数与一元二次方程-九年级数学上册(解析版)
专题10二次函数与一元二次方程考点1：分析方程的根；考点2：分析坐标轴交点。
1．已知二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m ＝0的两实数根是（）A．x1＝1，x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝0D．x1＝1，x2＝3解：∵二次函数的解析式是y＝x2﹣3x+m（m为常数），∴该抛物线的对称轴是：x=32．又∵二次函数y＝x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（2，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别是：x1＝1，x2＝2．答案：B．2．已知m＞n＞0，若关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为x3，x4（x3＜x4）．则下列结论正确的是（）A．x3＜x1＜x2＜x4B．x1＜x3＜x4＜x2C．x1＜x2＜x3＜x4D．x3＜x4＜x1＜x2解：关于x的方程x2+2x﹣3﹣m＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝m的交点的横坐标，关于x的方程x2+2x﹣3﹣n＝0的解为抛物线y＝x2+2x﹣3与直线y＝n的交点的横坐标，如图：由图可知，x1＜x3＜x4＜x2，答案：B．题型01方程的根3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=23x的图象如图所示，则方程ax2+（b−23）x+c＝0（a≠0）的两根之和（）A．大于0B．等于0C．小于0D．不能确定解：设ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根为x1，x2，∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，∴−＞0．设方程ax2+（b−23）x+c＝0（a≠0）的两根为m，n，则m+n=−K23=−+23，∵a＞0，∴23＞0，∴m+n＞0．答案：A．4．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．2≤t＜11B．t≥2C．6＜t＜11D．2≤t＜6解：∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，∴b＝﹣2，∴y＝x2﹣2x+3，∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的图象有交点，∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，当x＝﹣1时，y＝6；当x＝4时，y＝11；函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；∴2≤t＜11．答案：A．5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（）A．﹣2和0B．﹣4和2C．﹣5和3D．﹣6和4解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5，∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣n的交点的横坐标在﹣5与﹣3之间和1与3之间，∴关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是﹣4和2，答案：B．6．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0）两点，则关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx的解是x1＝﹣2，x2＝5．解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），所以方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4，对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5．答案：x1＝﹣2，x2＝5．7．已知函数y＝|x2﹣4|的大致图象如图所示，如果方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有4个不相等的实数根，则m的取值范围是0＜m＜4．解：方程|x2﹣4|＝m（m为实数）有4个不相等的实数根，可以转化为函数y＝|x2﹣4|的图象与直线y＝m的图象有四个交点，因为函数y＝|x2﹣4|与y轴交点（0，4），观察图象可知，两个函数图象有四交点时，0＜m＜4．答案：0＜m＜4．8．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是−94＜a＜﹣2．解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根∴△＝（﹣3）2﹣4×a×（﹣1）＞0，解得：a＞−94设f（x）＝ax2﹣3x﹣1，如图，∵实数根都在﹣1和0之间，∴﹣1＜−−32＜0，∴a＜−32，且有f（﹣1）＜0，f（0）＜0，即f（﹣1）＝a×（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣1＜0，f（0）＝﹣1＜0，解得：a＜﹣2，∴−94＜a＜﹣2，答案：−94＜a＜﹣2．9．设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．解：（1）∵二次函数y1＝2x2+bx+c过点A（1，0）、B（2，0），∴y1＝2（x﹣1）（x﹣2），即y1＝2x2﹣6x+4．∴抛物线的对称轴为直线x=−2=32．（2）把y1＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，y1＝2x2﹣4hx+2h2﹣2．∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2．∴b+c＝2h2﹣4h﹣2＝2（h﹣1）2﹣4．把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．（3）由题意得，y＝y1﹣y2＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）﹣（x﹣m）＝（x﹣m）[2（x﹣m）﹣5]．∵函数y的图象经过点（x0，0），∴（x0﹣m）[2（x0﹣m）﹣5]＝0．∴x0﹣m＝0，或2（x0﹣m）﹣5＝0．即x0﹣m＝0或x0﹣m=52．10．已知关于x的一元二次方程mx2+（1﹣5m）x﹣5＝0（m≠0）．（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）若抛物线y＝mx2+（1﹣5m）x﹣5与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且|x1﹣x2|＝6，求m的值；（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a2﹣n2+8n 的值．（1）证明：由题意可得：Δ＝（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5）＝1+25m 2﹣10m +20m＝25m 2+10m +1＝（5m +1）2≥0，故无论m 为任何非零实数，此方程总有两个实数根；（2）解：mx 2+（1﹣5m ）x ﹣5＝0，（x ﹣5）（mx +1）＝0，解得：x 1=−1，x 2＝5，由|x 1﹣x 2|＝6，得|−1−5|＝6，解得：m ＝1或m =−111；（3）解：由（2）得，当m ＞0时，m ＝1，此时抛物线为y ＝x 2﹣4x ﹣5，其对称轴为：x ＝2，由题已知，P ，Q 关于x ＝2对称，∴rr 2=2，即2a ＝4﹣n ，∴4a 2﹣n 2+8n ＝（4﹣n ）2﹣n 2+8n ＝16．11．已知抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 与x 轴有两个交点A （﹣1，0），B （3，0），抛物线y ＝a （x ﹣h ﹣m ）2+k 与x 轴的一个交点是（4，0），则m 的值是（）A ．5B ．﹣1C ．5或1D ．﹣5或﹣1解：∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 的对称轴为直线x ＝h ，抛物线y ＝a （x ﹣h ﹣m ）2+k 的对称轴为直线x ＝h +m ，∴当点A （﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m ＝4﹣（﹣1）＝5；当点B （3，0）平移后的对应点为（4，0），则m ＝4﹣3＝1，即m 的值为5或1．答案：C ．题型02坐标轴交点12．已知抛物线y=−16x2+32x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）A．154B．92C．132D．152解：令y＝0，则−16x2+32x+6＝0，解得：x1＝12，x2＝﹣3∴A、B两点坐标分别为（12，0）（﹣3，0）∵D为AB的中点，∴D（4.5，0），∵C（0，6）∴OD＝4.5，OC＝6，当x＝0时，y＝6，∴OC＝6，∴CD==152．答案：D．13．经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y=−12x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，则线段AB长为（）A．10B．12C．13D．15解：∵经过A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）两点的抛物线y=−12x2+bx﹣b2+2c（x为自变量）与x轴有交点，∴2−3r4rK12=−2×(−12)，Δ＝b2﹣4×（−12）×（﹣b2+2c）≥0，∴b＝c+1，b2≤4c，∴（c+1）2≤4c，∴（c﹣1）2≤0，∴c﹣1＝0，解得c＝1，∴b＝c+1＝2，∴AB＝|（4b+c﹣1）﹣（2﹣3b）|＝|4b+c﹣1﹣2+3b|＝|7b+c﹣3|＝|7×2+1﹣3||14+1﹣3|＝12，答案：B．14．已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象交x轴于A，B两点．若其图象上有且只有P1，P2，P3三点满足△A1=△A2=△A3=m，则m的值是（）A．1B．32C．2D．4解：∵二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象上有且只有P1，P2，P3三点满足△A1=△A2=△A3=m，∴三点中必有一点在二次函数y＝2x2﹣8x+6的顶点上，∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2＝2（x﹣1）（x﹣3），∴二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象的顶点坐标为（2，﹣2），令y＝0，则2（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x＝1或x＝3，∴与x轴的交点为（1，0），（3，0），∴AB＝3﹣1＝2，∴m=12×2×2=2．答案：C．15．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0B．a＞0C．b2﹣4ac≥0D．x1＜x0＜x2解：A、当a＞0时，∵点M（x0，y0），在x轴下方，∴x1＜x0＜x2，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；当a＜0时，若点M在对称轴的左侧，则x0＜x1＜x2，∴x0﹣x1＜0，x0﹣x2＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；若点M在对称轴的右侧，则x1＜x2＜x0，∴x0﹣x1＞0，x0﹣x2＞0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，故本选项正确；B、a的符号不能确定，故本选项错误；C、∵函数图象与x轴有两个交点，∴Δ＞0，故本选项错误；D、x1、x0、x2的大小无法确定，故本选项错误．答案：A．16．抛物线y＝x2﹣4x+m与x轴的一个交点的坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．解：把点（1，0）代入抛物线y＝x2﹣4x+m中，得m＝3，所以，原方程为y＝x2﹣4x+3，令y＝0，解方程x2﹣4x+3＝0，得x1＝1，x2＝3，∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0）．答案：（3，0）．17．已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为1或−45．解：当m＝0时，y＝﹣1，与坐标轴只有一个交点，不符合题意．当m≠0时，∵函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，①过坐标原点，m﹣1＝0，m＝1，②与x、y轴各一个交点，∴Δ＝0，m≠0，（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，解得m＝0（舍去）或m=−45，综上所述：m的值为1或−45．18．抛物线y＝x2+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且线段AB的长为1，△ABC的面积为1，则b的值是﹣3．解：∵△ABC中AB边上的高正好为C点的纵坐标的绝对值，=12×1×|c|＝1，∴S△ABC解得|c|＝2．设方程x2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，则有x1+x2＝﹣b，x1x2＝c，∵AB＝|x1﹣x2|=(1+2)2−412=(−p2−4=1，∴b2﹣4c＝1，∵c＝﹣2无意义，∴b2＝9，∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴的正半轴交于A，B两点，∴b的值是﹣3．19．已知二次函数y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？（1）证明：当y＝0时，2（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝0，解得：x1＝1，x2＝m+3．当m+3＝1，即m＝﹣2时，方程有两个相等的实数根；当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根．∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）解：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝2m+6，∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，∴当2m+6＞0，即m＞﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．20．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△＝22+4m＞0∴m＞﹣1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0＝﹣9+6+m∴m＝3，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y＝kx+b，∴0=3+3=，解得：=−1=3，∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+3，∵抛物线y＝﹣x2+2x+3，的对称轴为：x＝1，∴把x＝1代入y＝﹣x+3得y＝2，∴P（1，2）．。
专题10 对数与对数函数 (学生版)高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇
【考点预测】1.高中数学53个题型归纳与方法技巧总结篇专题10对数与对数函数对数式的运算(1)对数的定义：一般地，如果(0x a N a =>且1)a ≠，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，读作以a 为底N 的对数，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)常见对数：①一般对数：以(0a a >且1)a ≠为底，记为log Na ，读作以a 为底N 的对数；②常用对数：以10为底，记为lg N ；③自然对数：以e 为底，记为ln N ；(3)对数的性质和运算法则：①1log 0a =；log 1a a =；其中0a >且1a ≠；②log Na a N =(其中0a >且1a ≠，0N >)；③对数换底公式：log log log c a c bb a=；④log ()log log a a a MN M N =+；⑤log log log aa a MM N N=-；⑥log log (m na a nb b m m=，)n R ∈；⑦log a b a b =和log b a a b =；⑧1log log a b b a=；2.对数函数的定义及图像(1)对数函数的定义：函数log a y x =(0a >且1)a ≠叫做对数函数．对数函数的图象过定点(10)，，即1x =时，0y =在(0)+∞，上增函数在(0)+∞，上是减函数当01x <<时，0y <，当1x ≥时，y≥当01x <<时，0y >，当1x ≥时，0y≤【方法技巧与总结】1.对数函数常用技巧在同一坐标系内，当1a >时，随a 的增大，对数函数的图象愈靠近x 轴；当01a <<时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴．(见下图)a 增大a 增大【题型归纳目录】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式题型二：对数函数的图像题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））题型四：对数函数中的恒成立问题题型五：对数函数的综合问题【典例例题】题型一：对数运算及对数方程、对数不等式例1．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值；（3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45．例2．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值.（2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35例3．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知a ，b ，c 均为正数，且3a ＝4b ＝6c ，求证：212a b c +=；（2）若60a ＝3，60b ＝5，求12(1)12a b b ---的值．例4．（2022·全国·模拟预测）若e 4a =，e 25b =，则（）A ．a ＋b ＝100B ．b －a ＝eC ．28ln 2ab <D ．ln 6b a ->例5．（2022·全国·模拟预测）已知实数x ，y 满足0x >，0y >，1x ≠，1y ≠，y x x y =，log 4y xx y+=，则x y +=（）A ．2B ．4C ．6D ．8例6．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞例7．（2022·全国·江西师大附中模拟预测（文））已知函数()122log ,1,1,1,x x f x x x >⎧⎪=⎨⎪-≤⎩则不等式()(1)f x f x <-的解集为______．例8．（2022·辽宁·东北育才学校二模）若函数()f x 满足：（1）1x ∀，()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有()()21210f x f x x x -<-；（2）()()1122x f f x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x =___________.（写出满足这些条件的一个函数即可）例9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠）的图像经过点()3,1.（1）解关于x 的方程()()22(1)10f x m f x m +-+-=；（2）不等式()()10f x a f x +⋅->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的解集是1,93⎛⎫⎪⎝⎭，试求实数a 的值.【方法技巧与总结】对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正.题型二：对数函数的图像例10．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b >例11．（2022·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数log (3)1(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11+m n的最小值为（）A ．3-B ．1C ． 3+D ．2+（多选题）例12．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知函数()()log a g x x k =+（0a >且1a ≠）的图象如下所示．函数()()1x xf x k a a -=--的图象上有两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y ，则（）A ．1a >，2k >B ．()f x 在R 上是奇函数C ．()f x 在R 上是单调递增函数D ．当0x ≥时，()()22f x f x ≤例13．（2022·全国·高三专题练习）已知223,20(){1ln ,021x x x f x x x -+-≤<=≤≤+，若()()g x f x ax a =--的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围为______.【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型三：对数函数的性质（单调性、最值（值域））例14．（2022·陕西·榆林市第十中学高二期中（文））函数()22log 43y x x =+-的一个单调增区间是（）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2 ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C ．31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭例15．（2022·天津·南开中学二模）已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（）A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭例16．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（）Ab a<<B．b a<<Ca b<<D．a b <例17．（2022·全国·高三专题练习（理））函数f (x )＝log ax (0＜a ＜1)在[a 2，a ]上的最大值是（）A ．0B ．1C ．2D ．a例18．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（）A．⎫⎪⎪⎝⎭B．C．⎛ ⎝⎭D．)+∞【方法技巧与总结】研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向.题型四：对数函数中的恒成立问题例19．（2022·北京·高三专题练习）若不等式2log 0a x x -<在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒成立，则a 的取值范围是（）A ．1116a ≤<B ．1116a <<C ．1016a <≤D ．1016a <<例20．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（）A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2例21．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是___________.例22．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()ln f x x x =-，已知实数0a >，若2()e ln 0x f x a a ++≥在()0+∞，上恒成立，求实数a 的取值范围.例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (0,1)x a f x a x a a =+>≠在[1,2]上的最大值与最小值之和为6log 2a +．（1）求实数a 的值；（2）对于任意的[2,)x ∈+∞，不等式()10kf x -≥恒成立，求实数k 的取值范围．例24．（2022·陕西安康·高三期末（文））已知函数()()()2log 2log 30,1a a f x x x a a =++>≠.(1)若()32f =，求a 的值；(2)若对任意的[]8,12x ∈，()6f x >恒成立，求a 的取值范围.例25．（2022·上海·高三专题练习）已知2()32log f x x =-，2()log g x x =.（1）当[]1,4x ∈时，求函数[]()1()y f x g x =+⋅的值域；（2）对任意12,2n n x +⎡⎤∈⎣⎦，其中常数n N ∈，不等式()2()f x f kg x ⋅>恒成立，求实数k的取值范围.【方法技巧与总结】（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.题型五：对数函数的综合问题例26．（2022·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知定义域为()0, +的单调递增函数()f x 满足：()0,x ∀∈+∞，有()()ln 1f f x x -=，则方程()242f x x x =-+-的解的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0例27．（2022·四川雅安·三模（文））设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意R x ∈，都有()()4f x f x +=，且当[]2,0x ∈-时，()163xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（）．A ．()1,2B ．()2,+∞C ．(D ．)2例28．（2022·广西柳州·高一期中）已知0a b >>，且1a b +=，则（）A ．sin sin a b>B ．11a b>C ．22a b +>D ．lg lg 0a b +=例29．（2022·河北保定·二模）已知函数2332xxy =-在()0,∞+上先增后减，函数3443xxy =-在()0,∞+上先增后减.若()231log log x =()321log log 0x a =>，()()242422log log log log x x b ==，()()343433log log log log 0x x c ==>，则（）A ．a c<B ．b a<C ．c a<D ．a b<例30．（2022·广东·三模）已知,R a b ∈，e 是自然对数的底，若e ln b b a a +=+，则ab的取值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．4例31．（2022·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()22e ln 2xf x x x -=+-的零点，则020e ln x x -+=_______．【过关测试】一、单选题1．（2022·辽宁辽阳·二模）区块链作为一种新型的技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，某个密码的长度设定为512B ，则密码一共有5122种可能，为了破解该密码，在最坏的情况下，需要进行5122次运算.现在有一台计算机，每秒能进行142.510⨯次运算，那么在最坏的情况下，这台计算机破译该密码所需的时间大约为（参考数据lg20.3≈ 1.58≈）（）A ．1393.1610s ⨯B ．1391.5810s ⨯C ．1401.5810s⨯D ．1403.1610s⨯2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知1log 3m p =，9p n =，其中0m >且1m ≠，0n >且1n ≠，若20m n -=，则p 的值为（）A ．3log 2B ．2log 3C ．2D ．33．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知正实数x ，y ，z 满足(34zx y ==，则（）A ．111x y z+=B ．111y z x+=C ．112x y z +=D ．112x z y+=4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知函数()()()ln 22ln 33f x x x =++-，则()f x （）A ．是奇函数，且在()0,1上单调递增B ．是奇函数，且在()0,1上单调递减C ．是偶函数，且在()0,1上单调递增D ．是偶函数，且在()0,1上单调递减5．（2022·全国·高三专题练习）函数()log (1)2a f x x =-+的图象恒过定点A ．（2，2）B ．（2，1）C ．（3，2）D ．（2，0）6．（2022·安徽六安·一模（文））设函数()2f x =，()()2ln 41g x ax x =-+，若对任意的1R x ∈，都存在实数2x ，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围为（）A ．(],4-∞B ．(]0,4C ．[]0,4D ．(]0,27．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）设0a >且1a ≠，sin cos a x x x >+对(0,)4x π∈恒成立，则a 的取值范围是（）A ．(0,)4πB ．(0,]4πC ．(,1)(1,)42ππ⋃D ．[,1)4π8．（2022·浙江·模拟预测）己知实数,(1,)∈+∞a b ，且33log log 3log log 4b a a b +=+，则（）A b a<<B ．b a<<C a b<<D ．a b <二、多选题9．（2022·重庆市天星桥中学一模）已知0,0a b >>，且1a b +=，则下列结论正确的是（）A ．11a b+的最小值是4B ．1ab ab+的最小值是2C ．22a b +的最小值是D ．22log log a b +的最小值是2-10．（2022·广东汕头·二模）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，则下列结论正确的是（）A ．2ab bc ac+=B ．ab bc ac+=C ．4949b b a c⋅=⋅D ．121c b a=-11．（2022·河北·高三阶段练习）下列函数中，存在实数a ，使函数()f x 为奇函数的是（）A ．()(lg f x x =B ．()2f x x ax=+C ．()21xaf x e =--D ．()()2ln 2xx f x x e a =+-12．（2022·江苏·南京师大附中高三开学考试）当102x <≤时，4log xa x ≤，则a 的值可以为（）ABCD三、填空题13．（2022·天津·二模）已知()42log 41log x y +=+，则2x y +的最小值为__________.14．（2022·全国·高三专题练习）已知23e ln 3x x x -+=，则3e ln x x -+=__________．15．（2022·河南·模拟预测（文））已知函数()241,1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，若1()2f a <≤，则实数a的取值范围为___________.16．（2022·河南·开封高中模拟预测（文））已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有()()11f x f x +=--．当()1,2x ∈时，()21log f x x =-．给出以下4个结论：①函数()y f x =的图象关于点()(),0k k ∈Z 成中心对称；②函数()y f x =是以2为周期的周期函数；③当()0,1x ∈时，()()2log 21f x x =--；④函数()y f x =在()(),1k k k +∈Z 上单调递减．其中所有正确结论的序号为______．四、解答题17．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ](m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；18．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1．(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．19．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0)1)a f x x a a =>≠且，作出|()|y f x =的大致图像并写出它的单调性；20．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()44log 3log 4f x x x =-⋅.当1,164x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求该函数的值域；21．（2022·全国·高三专题练习）已知：函数()0.51log 1ax f x x -=-在其定义域上是奇函数，a 为常数．(1)求a 的值．(2)证明：()f x 在()1,+∞上是增函数．(3)若对于[]3,4上的每一个x 的值，不等式()12xf x m ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数m 的取值范围．22．（2022·北京东城·高三期末）曲线ln y x =在点(,ln )A t t 处的切线l 交x 轴于点M .(1)当t e =时，求切线l 的方程；(2)O 为坐标原点，记AMO 的面积为S ，求面积S 以t 为自变量的函数解析式，写出其定义域，并求单调增区间.。
中考数学复习考点知识讲解与练习10 一次函数-函数概念
中考数学复习考点知识讲解与练习专题10 一次函数-函数概念函数的概念；一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
因为函数具有唯一性，函数表达形式；表格法、图象法、公式法（解析法），本中考数学复习考点知识讲解与练习专题的题型：函数概念；函数的三种表达式；函数的值；函数的解析式；及其他典型函数概念题型。
题型一：函数的概念1．（2022·和平县和丰中学初一月考）水温随时间的变化而变化，其中__________是自变量，__________是因变量．2．（2022·四川锦江·初一期末）在圆的周长C＝2πR中，常量与变量分别是（）A．2是常量，C、π、R是变量B．2π是常量，C,R是变量C．C、2是常量，R是变量D．2是常量，C、R是变量3．（2022·广西平桂·期中）如图，下列各曲线中能够表示y是x的函数的是（）．A．B．C．D．4．（2022·山东邹平·初二期末）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）．A．B．C．D．5．（2022·辽宁西丰·初二期末）下列曲线中表示y是x的函数的为（）A．B．C．D．6．（2022·广西田东·初二期末）下列各图中，能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．7．（2022·江西南昌二中初二期中）下列四个图象中，不是函数图象的是（）A ．B ．C ．D ．题型二：函数的取值范围8．（2022·四川雁江·初三期末）若y x=有意义，则x 的取值范围是() A ．1x 2≤且x 0≠ B ．1x 2≠ C ．1x 2≤D ．x 0≠9．（2022·察哈尔右翼前旗第三中学初二期末）函数11y x =-中自变量x 的取值范围是（） A ．2x ≤B ．2x ≤且1x ≠C ．x ＜2且1x ≠D ．1x ≠10．（2022·湖北荆州·初二月考）函数y =x 的取值范围是（） A ．1x >B ．1x <C ．1x ≤D ．1≥x11．（2022·南通市八一中学初二月考）已知函数y =1x -，则自变量x 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜x ＜1B ．x ≥﹣1且x ≠1C ．x ≥﹣1D ．x ≠112．（2022·山东曲阜·初二期中）式子2x -中x 的取值范围是（ ） A ．x ≥1且x ≠2B ．x ＞1且x ≠2C ．x ≠2D ．x ＞113x 的取值范围为______．14．（2022·湖南渌口·初三期中）在函数y =x 的取值范围是．15．（2022·平江县南江中学初三二模）函数中，自变量x 的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．16．（2022·四川雁江·初三其他）函数y=-x的取值范围是______．17．（2022·四川省成都七中育才学校学道分校中考模拟）函数12x-中自变量x的取值范围是．18．（2022·合肥市第四十六中学南校区初二月考）13yx=-中x的取值范围是__________题型三：函数的三种表达形式（1）列表法19．（2022·全国初一课时练习）某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量x（千克）与售价y（元）之间的关系如下表：（1）变量x与y的关系式是__________．（2）卖__________kg苹果，可得14.5元；若卖出苹果10kg，则应得__________元．20．（2022·渝中·重庆巴蜀中学初一期末）弹簧挂上重物后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）于所挂的重物的质量x（kg）间有下面的关系（弹簧的弹性范围x≤10kg），当所挂的物体质量是8kg时，弹簧的长度是__________cm.21．（2022·山东宁阳·初一期中）下表记录了一次实验中的时间和温度的数据，写出T与t的关系式____．x的取值范围是_____．22．（2017·江苏常熟·中考模拟）函数23．（2022·广东盐田·初一期中）某地的温度T(℃)与海拔高度h(km)之间的关系如下所示：要算出海拔高度为6km时该地的温度，适宜用第________种形式。
专题10 二次函数交点综合(知识解读)(学生版)
专题10二次函数交点综合（知识解读）【专题说明】二次函数交点问题主要会涉及到与水平直线、竖直直线、一次函数的交点问题，会考察交点坐标的求法、交点个数的分类讨论，对于计算的要求非常高，特别考验学生平时的基本功~比较难的题型还会结合二次函数的几何变化，题目中会将二次函数的图象的一部分沿x轴或者y轴进行对称，得到新的函数图象，再去研究直线与新图像的交点个数。
因为会涉及到一次函数与二次函数的交点问题，所以对于学生不仅要对二次函数的知识点掌握的比较好，而且也要对于一次函数能够熟练应用。
经常会涉及到一次函数旋转、平移两种形式的交点问题，这部分知识点对于不少学生也有很大压力。
【典例1】（2021秋•西城区校级期中）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+m+1，顶点为D，点A（﹣2，1），B（0，1）．（1）求顶点D的坐标（用m表示）；（2）若二次函数图象与x轴有交点，求m的取值范围；（3）若二次函数图象与线段AB有且只有一个交点，求m的取值范围．【变式1-1】（2021•广州）已知抛物线y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）当m＝0时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．【变式1-2】（2022•西华县三模）已知抛物线y＝mx2+nx+5m交y轴于点M，其对称轴在y轴右侧，N是抛物线上一点，且MN∥x轴，MN＝6．（1）抛物线y＝mx2+nx+5m的对称轴是直线；（2）用含m的代数式表示n；（3）已知点P（2，0）和Q（6，8m﹣2），当抛物线y＝mx2+nx+5m与线段PQ有一个交点时，求m 的取值范围．【变式1-3】（2022秋•南关区校级月考）设二次函数y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m，其中m是实数．（1）若函数的图象经过点（1，﹣1），①求此函数的表达式；②当0≤x≤t时，﹣2≤y≤2，直接写出t的取值范围．（2）若﹣2≤x≤2，二次函数y＝x2﹣2（m+1）x+3﹣m的最小值为1，求m的值．（3）已知A（﹣1，3），B（2，3），若该二次函数的图象与线段AB只有一个交点（不包括A，B 两个端点），直接写出m的取值范围．【典例2】（2022•广西）已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求点A，点B的坐标；（2）如图，过点A的直线l：y＝﹣x﹣1与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接PA，PC，设点P的纵坐标为m，当PA＝PC时，求m的值；（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线y ＝a（﹣x2+2x+3）（a≠0）与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．【变式2-1】（2022•河南模拟）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c分别交x轴、y轴于点A（﹣1，0），C（0，﹣3），连接AC．（1）求该抛物线的解析式．（2）若P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线上两点，当x1≤﹣2，m≤x2≤m+1时，均有y1≥y2，求m的取值范围．（3）将该抛物线向左平移n（n＞0）个单位长度后，得到的新抛物线与线段AC只有一个交点，请直接写出n的取值范围．【变式2-2】（2022•开封一模）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象开口向上，且经过点A（0，3），B （，）．（1）求抛物线的解析式．（2）用配方法求出抛物线的顶点和对称轴．（3）若点C与点A关于此抛物线的对称轴对称，点D在抛物线上，且横坐标为4，记抛物线在点A，D之间的部分（含点A，D）为图象M，若图象M向下平移t（t＞0）个单位长度时与直线BC只有一个交点，求t的取值范围．【变式2-3】（2022•商水县二模）直线y＝x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点B；抛物线y＝x2+bx+c 经过点A、点B．（1）求该抛物线的解析式．（2）根据图象直接写出x2+bx＞x﹣c﹣3的解集；（3）将点B向右平移4个单位长度得到C，若抛物线y＝x2+bx+c+m与线段BC恰好有一个交点，求m的取值范围．。
高中数学讲义微专题10 函数零点的个数问题
微专题10 函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <⇒在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧） 二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f ⎛⎫>< ⎪⎝⎭即可判定其零点必在1,12⎛⎫⎪⎝⎭中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用 （1）函数的零点： 工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
专题10 二次函数问题(解析版)
备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）专题10 二次函数问题考点扫描☆聚焦中考二次函数问题是中考的重点内容，近几年各地中考题目主要以选择题与解答题的形式考查，也可能在填空题中出现，题目难度中高档；考查内容主要有：二次函数的性质与图象；用待定系数法确定函数解析式；二次函数的最值与平移问题；与方程、不等式、几何知识结合的综合题等；考查热点主要有：二次函数的性质与图象；通过具体问题情境学会用三种方式表示二次函数关系；通过在实际问题中应用二次函数的性质，发展应用二次函数解决实际问题的能力。
考点剖析☆典型例题（2022•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（）A．B．C．D．【答案】C【点拨】根据c＞0，可知﹣c＜0，可排除A，D选项，当a＞0时，可知对称轴＜0，可排除B选项，当a＜0时，可知对称轴＞0，可知C选项符合题意．【解析】解：∵c＞0，∴﹣c＜0，故A，D选项不符合题意；当a＞0时，∵b＞0，∴对称轴x＝＜0，故B选项不符合题意；当a＜0时，b＞0，故C选项符合题意，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣3【答案】C【点拨】利用二次函数的性质进行判断即可．【解析】解：二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），x＝2时，y有最大值为y＝﹣3，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握二次函数的性质．2023•达州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称．下列五个结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【点拨】由抛物线开口方向以及与y轴的交点可知a＞0，c＜0，根据对称轴为直线x＝1得出b＝﹣2a＜0，即可判断①；由对称轴为直线x＝1得出2a+b＝0，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④，由x＝﹣1时，y＞0，得出a﹣b+c＞0，由b＝﹣2a得出3a+c ＞0即可判断⑤．【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称，∴﹣＝1，∵a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∵c＜0，∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正确；∵x＝0时，y＜0，对称轴为直线x＝1，∴x＝2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故③错误；∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，故④错误；∵x＝﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，∵b＝﹣2a，∴3a+c＞0．故⑤正确．故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．2023•西藏）将抛物线y＝（x﹣1）2+5平移后，得到抛物线的解析式为y＝x2+2x+3，则平移的方向和距离是（）A．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度B．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度C．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度D．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度【答案】D【点拨】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．【解析】解：抛物线y＝（x﹣1）2+5的顶点坐标为（1，5），抛物线y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），而点（1，5）向左平移2个，再向下平移3个单位可得到（﹣1，2），【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．例5（2023•无锡）二次函数y＝x2+（2m﹣1）x+2m（m≠），有下列结论：①该函数图象过定点（﹣1，2）；②当m＝1时，函数图象与x轴无交点；③函数图象的对称轴不可能在y轴的右侧；④当1＜m＜时，点P（x1，y1），Q（x2，y2）是曲线上两点，若﹣3＜x1＜﹣2，﹣＜x2＜0，则y1＞y2．其中，正确结论的序号为①②④．【答案】①②④．【点拨】抛物线整理为y＝x2+（2m﹣1）x+2m＝x2+2mx﹣x+2m＝2m（x+1）+x2﹣x可判断①，将m＝1代入并计算b2﹣4ac即可判断②，计算抛物线对称轴并根据m≠可判断③，根据题意确定对称轴的范围后可确定P、Q的位置，再根据增减性可判断④．【解析】解：y＝x2+（2m﹣1）x+2m＝x2+2mx﹣x+2m＝2m（x+1）+x2﹣x，当x＝﹣1时，y＝2，∴该函数图象过定点（﹣1，2），故①正确；当m＝1时，y＝x2+x+2，∵b2﹣4ac＝1﹣4×2＝﹣7＜0，∴函数图象与x轴无交点，故②正确；抛物线的对称轴为：x＝，∵m≠，∴，∴当m＞时，对称轴在y轴左侧，当m＜时，对称轴在y轴右侧，故③错误；∵，∴﹣1＜﹣m＜﹣，∴P（x1，y1）在对称轴左侧，Q（x2，y2）在对称轴右侧，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大，∴当x＝﹣2时，y1最小＝y＝4﹣4m+2+2m＝﹣2m+6，当x＝0时，y2最大＝2m，此时，y1﹣y2＝﹣4m+6，∵，∴﹣4m+6＞0，∴y1＞y2，故④正确，故答案为：①②④．【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，解题的关键是熟练理解并综合运用二次函数的各个特征．2023•丽水）已知点（﹣m，0）和（3m，0）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数，a≠0）的图象上．（1）当m＝﹣1时，求a和b的值；（2）若二次函数的图象经过点A（n，3）且点A不在坐标轴上，当﹣2＜m＜﹣1时，求n的取值范围；（3）求证：b2+4a＝0．【答案】（1）a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）﹣4＜n＜﹣2；（3）证明见解析．【点拨】（1）当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），用待定系数法可得a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），可知抛物线的对称轴为直线x＝m，而y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，可得m＝，根据﹣2＜m＜﹣1，即得﹣4＜n＜﹣2；（3）由抛物线过（﹣m，0），（3m，0），可得﹣＝m，b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3变形可得am2+1＝0，故b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．【解析】（1）解：当m＝﹣1时，二次函数y＝ax2+bx+3图象过点（1，0）和（﹣3，0），∴解得，∴a的值是﹣1，b的值是﹣2；（2）解：∵y＝ax2+bx+3图象过点（﹣m，0）和（3m，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝m，∵y＝ax2+bx+3的图象过点A（n，3），（0，3），且点A不在坐标轴上，∴由图象的对称性得n＝2m，∴m＝，∵﹣2＜m＜﹣1，∴﹣2＜＜﹣1，∴﹣4＜n＜﹣2；（3）证明：∵抛物线过（﹣m，0），（3m，0），∴抛物线对称轴为直线x＝＝m，∴﹣＝m，∴b＝﹣2am，把（﹣m，0），（3m，0）代入y＝ax2+bx+3得：，①×3+②得：12am2+12＝0，∴am2+1＝0，∴b2+4a＝（﹣2am）2+4a＝4a（am2+1）＝4a×0＝0．【点睛】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，涉及待定系数法，不等式，方程组等知识，解题的关键是整体思想的应用．2023•辽宁）商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，在销售过程中发现，月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，其部分对应数据如下表所示：销售单价x（元）…506070…月销量y（台）…908070…（1）求y与x之间的函数关系式；【答案】见解析【点拨】（1）设月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系式为y＝kx+b，把（50，90）和（60，80）代入解方程组即可得到结论；（2）设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元，根据题意得到二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论．【解析】解：（1）设月销量y（台）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系式为y＝kx+b，把（50，90）和（60，80）代入得，解得，∴y＝﹣x+140；（2）∵规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，∴40≤x≤80，设每月出售这种护眼灯所获的利润为w元，根据题意得，w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+140）＝﹣x2+180x﹣5600＝﹣（x﹣90）2+2500，∴当护眼灯销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是列出关系式，熟练掌握二次函数的性质，准确计算．2023•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+4x的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C．（1）求直线AB的函数表达式及点C的坐标；（2）点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB 交于点D，设点P的横坐标为m．①当时，求m的值；②当点P在直线AB上方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF．设四边形FQED的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．【答案】（1）y＝﹣x+4，点C的坐标为（0，4）；（2）①2或3或；②，S的最大值为．【点拨】（1）利用待定系数法可求得直线AB的函数表达式，再求得点C的坐标即可；（2）①分当点P在直线AB上方和点P在直线AB下方时，两种情况讨论，根据PD＝2 列一元二次方程求解即可；②证明△FOQ∽△POE，推出FQ＝﹣m+4，再证明四边形FQED为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．【解析】解：（1）由y＝﹣x2+4x得，当y＝0 时，﹣x2+4x＝0，解得x1＝0，x2＝4，∵点A在x轴正半轴上．∴点A的坐标为（4，0）．设直线AB的函数表达式为y＝kx+b（k≠0）．将A，B两点的坐标（4，0），（1，3）分别代入y＝kx+b，得，解得，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+4．将x＝0代入y＝﹣x+4，得y＝4．∴点C的坐标为（0，4）；（2）①解：∵点P在第一象限内二次函数y＝﹣x2+4x的图象上，且PE⊥x轴于点E，与直线AB 交于点D，其横坐标为m．∴点P，D的坐标分别为P（m，﹣m2+4m），D（m，﹣m+4），∴PE＝﹣m2+4m．DE＝﹣m+4，OE＝m，∵点C的坐标为（0，4），∴OC＝4．，∴PD＝2．如图1，当点P在直线AB上方时，PD＝PE﹣DE＝﹣m2+4m﹣（﹣m+4）＝﹣m2+5m﹣4，∵PD＝2，∴﹣m2+5m﹣4＝2，解得m1＝2．m2＝3．如图2，当点P在直线AB下方时，PD＝DE﹣PE＝﹣m+4﹣（﹣m2+4m）＝m2﹣5m+4，∵PD＝2，∴m2﹣5m+4＝2，解得，∵0＜m＜1，m＝．综上所述，m的值为2或3或；②解：如图3，由（2）①得，OE＝m，PE＝﹣m2+4m，DE＝﹣m+4．∴OQ＝1，∵点P在直线AB上方，∴EQ＝m﹣1．∵PE⊥x轴于点E，∴∠OQF＝∠OEP＝90°，∴FQ∥DE，∠FOQ＝∠POE，∴△FOQ∽△POE，∴，∴，∴，∴FQ＝DE，∴四边形FQED为平行四边形，∵PE⊥x轴，∴四边形FQED为矩形．∴S＝EQ•FQ＝（m﹣1）（﹣m+4），即S＝﹣m2+5m﹣4＝，∵﹣1＜0，1＜m＜4，∴当m＝时，S的最大值为；【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，特殊四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．考点过关☆专项突破类型一二次函数的图象与性质1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【点拨】首先确定二次函数的顶点坐标，然后根据点的坐标特点写出顶点的位置．【解析】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，∴顶点在第二象限．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是确定二次函数的顶点坐标．2．（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【点拨】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解析】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＞0、b＞0、c＜0是解题的关键．3．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【答案】D【点拨】将（0，6）代入二次函数解析式，进而得出m的值，再利用对称轴在y轴左侧，得出m ＝3，再利用公式法求出二次函数最值．【解析】解：由题意可得：6＝m2﹣m，解得：m1＝3，m2＝﹣2，∵二次函数y＝x2+mx+m2﹣m，对称轴在y轴左侧，∴m＞0，∴m＝3，∴y＝x2+3x+6，∴二次函数有最小值为：＝＝．故选：D．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数的最值，正确得出m的值是解题关键．4．（2023•衢州）已知二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．若点A，B都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，则m的取值范围是（）A．B．C．D．m＞2【答案】C【点拨】根据已知条件列不等式即可得到结论．【解析】解：∵a＜0，∴y＝﹣3a＞0，∵A（m，y1）和B（2m，y2）两点都在直线y＝﹣3a的上方，且y1＞y2，∴4am2﹣8am＞﹣3a，∴4m2﹣8m+3＜0，∴＜m＜①，∵二次函数y＝ax2﹣4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m，y1）和B（2m，y2）两点．∴am2﹣4am＞4am2﹣8am，∴3am2＜4am，∵a＜0，m＞0，∴am＜0，∴m＞②，由①②得＜m＜．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确地列出不等式是解题的关键．5．（2023•大连）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣1，当0≤x≤3时，函数的最大值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．2【答案】D【点拨】根据二次函数的图象，结合当0≤x≤3时函数图象的增减情况，即可解决问题．【解析】解：由二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣1可知，抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝1．又1﹣0＜3﹣1，所以当x＝3时，函数取得最大值，y＝32﹣2×3﹣1＝2．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的最值，能由二次函数的表达式得出抛物线的对称轴及开口方向是解题的关键．6．（2023•扬州）已知二次函数y＝ax2﹣2x+（a为常数，且a＞0），下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．②D．③④【答案】B【点拨】由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．【解析】解：∵a＞0时，抛物线开口向上，∴对称轴为直线x＝＝＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞时，y随x的增大而增大，∴函数图象一定不经过第三象限，函数图象可能经过第一、二、四象限．故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握a决定二次函数的开口方向，进一步能确定出其最值是解题的关键．7．（2021•福建）二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0【答案】C【点拨】观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，再结合题目一一判断即可．【解析】解：如图，由题意对称轴为直线x＝1，观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，若y1y2＞0，如图1中，则y3y4＜0，选项A不符合题意，若y1y4＞0，如图2中，则y2y3＜0，选项B不符合题意，若y2y4＜0，如图3中，则y1y3＜0，选项C符合题意，若y3y4＜0，如图4中，则y1y2＞0，选项D不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．8．（2022•长春）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为﹣1﹣．【答案】﹣1﹣．【点拨】函数配方后得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，可得x＝﹣1±，因为﹣1+＞，所以﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，进而可以解决问题．【解析】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），根据题意，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，∴x＝﹣1±，∵﹣1+＞，∴﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，∴a＝﹣1﹣．故答案为：﹣1﹣．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．9．（2023•福建）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）经过A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是﹣1＜n＜0．【答案】﹣1＜n＜0．【点拨】由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，开口向上，再分点A在对称轴x＝1的左侧，点B 在对称轴x＝1的右侧和点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧两种情况求解即可．【解析】解：抛物线的对称轴为：x＝﹣＝1，∵a＞0，∴抛物线开口向上，∵y1＜y2，∴若点A在对称轴x＝1的左侧，点B在对称轴x＝1的右侧，由题意可得：，不等式组无解；若点B在对称轴x＝1的左侧，点A在对称轴x＝1的右侧，由题意可得：，解得：﹣1＜n＜0，∴n的取值范围为：﹣1＜n＜0．故答案为：﹣1＜n＜0．【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标的特征，能根据题意正确列出不等式组是解决本题的关键．10．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a ＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．【答案】（1）；（2）t≤．【点拨】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可，（2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答．【解析】解：（1）∵对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，∴a+b+c＝4a+2b+c，∴3a+b＝0，∴＝﹣3．∵对称轴为x＝﹣＝，∴t＝．（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴，x1＜x2，∵y1＜y2，a＞0，∴（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，∴＞t，即t≤．【点睛】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．类型二二次函数的图象与系数的关系1．（2023•阜新）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为（3，0），对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（）A．abc＜0B．2a+b＝0C．4ac＞b2D．点（﹣2，0）在函数图象上【答案】B【点拨】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，a、b、c的正负，进而得出abc的正负；利用对称轴为直线x＝1，可得出2a+b与0的关系；由抛物线与x轴的交点情况，可得出b2与4ac的大小关系；由抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），再结合对称轴为直线x＝1，可得出另一个交点坐标．【解析】解：A：由二次函数的图形可知：a＞0，b＜0，c＜0，所以abc＞0．故A错误．B：因为二次函数的对称轴是直线x＝1，则＝1，即2a+b＝0．故B正确．C：因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2．故C错误．D：因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），且对称轴为直线x＝1，所以它与x轴的另一个交点的坐标为（﹣1，0）．故D错误．故选：B．【点睛】本题考查二次函数图象与各项系数的关系，正确求得a，b，c的正负以及巧妙利用抛物线的对称轴是解决问题的关键．2．（2023•雅安）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B两点，对称轴是直线x＝2，下列结论中，所有正确结论的序号为（）①a＞0；②点B的坐标为（6，0）；③c＝3b；④对于任意实数m，都有4a+2b≥am2+bm．A．①②B．②③C．②③④D．③④【答案】C【点拨】通过抛物线开口方向，对称轴，抛物线与y轴交点可判断①、②、③，通过x＝2时抛物线取得最大值判断4a+2b≥am2+bm，进而求解．【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，①错误，∵A、B关于对称轴x＝2对称，∴B点的横坐标为6，②正确，∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，∴，把（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，得：4a﹣2b+c＝0，∴﹣2b+c＝0，整理得：c＝3b，③正确，∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，∴当x＝2时，抛物线取得最大值为y＝4a+2b+c，当x＝m时，y＝am2+bm+c，∴4a+2b+c≥am2+bm+c，即4a+2b≥am2+bm，④正确．∴所有正确结论的序号为②③④．故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是灵活运用二次函数图象和性质．3．（2023•黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过三点A（x1，y1），B（x2，y2），C （﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1．有以下结论：①a+b+c＝0；②2c+3b＝0；③当﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1时，有y1＜y2；④对于任何实数k＞0，关于x的方程ax2+bx+c＝k（x+1）必有两个不相等的实数根．其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【点拨】根据二次函数的对称轴为直线x＝﹣1和经过点C（﹣3，0），再结合抛物线的对称性即可解决问题．【解析】解：因为二次函数的图象过点C（﹣3，0），且对称轴为直线x＝﹣1，所以由抛物线的对称性可知，点（1，0）也在抛物线上．将（1，0）代入二次函数解析式得，a+b+c＝0．故①正确．因为抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，所以，即b﹣2a＝0．又a+b+c＝0，则将a＝﹣b﹣c代入b﹣2a＝0得，2c+3b＝0．故②正确．因为﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，所以点A离对称轴更近．则当a＞0时，y1＜y2；当a＜0时，y1＞y2．故③错误．由ax2+bx+c＝k（x+1）得，ax2+（b﹣k）x+c﹣k＝0．又a+b+c＝0，2c+3b＝0，得．则（b﹣k）2﹣4a（c﹣k）＝（）2﹣4×（）（c﹣k）＝．又k＞0，所以＞0．即该方程有两个不相等的实数根．故④正确．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，能根据抛物线的对称轴及经过定点得出a，b，c的关系是解题的关键．4．（2023•遂宁）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣2．下列说法：①abc＜0；②c﹣3a＞0；③4a2﹣2ab≥at（at+b）（t为全体实数）；④若图象上存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，则m的取值范围为﹣5＜m＜﹣2，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【点拨】①分别判断a、b、c的符号，再判断abc的符号；②由对称轴为直线x＝﹣2，可知a与b的数量关系，消去b可得仅含a、c的解析式，找特定点可判断c﹣3a的符号．③用a与b的数量关系，可将原式化简得到关于t的不等式，再用函数的性质（t为全体实数）判断．④利用二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系即可判断．【解析】解：①因图象开口向下，可知：a＜0；又∵对称轴为直线x＝﹣2，∴﹣＝﹣2，整理得：b＝4a，即a、b同号．由图象可知，当x＝4时，y＜0，又∵对称轴为直线x＝﹣2，可知：当x＝0时，y＜0；即c＜0；∴abc＜0，故①正确．②由①得：b＝4a．代入原解析式得：y＝ax2+4ax+c；由图象可知，当x＝﹣1时，y＞0．即：a•（﹣1）2+4a•（﹣1）+c＞0，整理得：c﹣3a＞0，故②正确．③设4a2﹣2ab≥at（at+b）则4a﹣2b≤at•t﹣bt，两边+c得到4a﹣2b+c≤at•t﹣bt+c，左侧为x＝﹣2时的函数值，右侧为x＝t时的函数值，显然不成立，故③错误．④由题意得，x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c﹣y1＝0的两个根，从图象上看，因二次函数有对称性，x1、x2关于x＝﹣2对称，∴当且仅当m＜﹣2＜m+3时，存在点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当m＜x1＜x2＜m+3时，满足y1＝y2，即当﹣5＜m＜﹣2时，满足题设，故④正确．故本题选：C．【点睛】本题考查了二次函数字母系数与图象的关系、二次函数与一元二次方程的关系等知识．需综合利用二次函数的性质，不等式的性质解题．5．（2023•湖北）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3b+2c＝0；④若点P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在抛物线上，且y1＜y2，则m≤﹣1．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【点拨】根据二次函数的性质及数形结合思想进行判定．【解析】解：①由题意得：y＝ax2+bx+c＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，∴b＝2a，c＝﹣3a，∵a＜0，∴b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①是错误的；②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．∴ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故②是正确的；③∵b＝2a，c＝﹣3a，∴3b+2c＝6a﹣6a＝0，故③是正确的；④∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0）．∴抛物线的对称轴为：x＝﹣1，当点P（m﹣2，y1），Q（m，y2）在抛物线上，且y1＜y2，∴m≤﹣1或，解得：m＜0，故④是错误的，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．6．（2023•南京）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+3（a为常数，a≠0）．（1）若a＜0，求证：该函数的图象与x轴有两个公共点．（2）若a＝﹣1，求证：当﹣1＜x＜0时，y＞0．（3）若该函数的图象与x轴有两个公共点（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，则a的取值范围是a＞3或a＜﹣1．【答案】（1）证明见解析过程；（2）证明见解析过程；（3）a＞3或a＜﹣1．【点拨】（1）证明b2﹣4ac＞0即可解决问题．（2）将a＝﹣1代入函数解析式，进行证明即可．（3）对a＞0和a＜0进行分类讨论即可．【解析】证明：（1）因为（﹣2a）2﹣4×a×3＝4a2﹣12a，又因为a＜0，所以4a＜0，a﹣3＜0，所以4a2﹣12a＝4a（a﹣3）＞0，所以该函数的图象与x轴有两个公共点．（2）将a＝﹣1代入函数解析式得，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，所以抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向下．则当﹣1＜x＜0时，y随x的增大而增大，又因为当x＝﹣1时，y＝0，所以y＞0．（3）因为抛物线的对称轴为直线x＝，且过定点（0，3），又因为该函数的图象与x轴有两个公共点（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，所以当a＞0时，a﹣2a+3＜0，解得a＞3，故a＞3．当a＜0时，a+2a+3＜0，解得a＜﹣1，故a＜﹣1．综上所述，a＞3或a＜﹣1．故答案为：a＞3或a＜﹣1．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．类型三二次函数的图象变换1．（2022•泸州）抛物线y＝﹣x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4 C．y＝﹣x2+2021x﹣2022D．y＝﹣x2+x+1【答案】D【点拨】根据抛物线的平移规律，可得答案．【解析】解：∵将抛物线y＝﹣x2+x+1经过平移后开口方向不变，开口大小也不变，∴抛物线y＝﹣x2+x+1经过平移后不可能得到的抛物线是y＝﹣x2+x+1．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，由平移规律得出a不变是解题的关键．2．（2023•徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2C．y＝（x﹣1）2+4D．y＝（x+3）2+4【答案】B【点拨】直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．【解析】解：将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x+1﹣2）2+3﹣1，即y＝（x﹣1）2+2．故选：B．【点睛】本题主要考查二次函数的几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题的关键．3．（2020•衢州）二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A．向左平移2个单位，向下平移2个单位B．向左平移1个单位，向上平移2个单位C．向右平移1个单位，向下平移1个单位D．向右平移2个单位，向上平移1个单位【答案】C【点拨】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．【解析】解：A、平移后的解析式为y＝（x+2）2﹣2，当x＝2时，y＝14，本选项不符合题意．B、平移后的解析式为y＝（x+1）2+2，当x＝2时，y＝11，本选项不符合题意．C、平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意．D、平移后的解析式为y＝（x﹣2）2+1，当x＝2时，y＝1，本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的特征，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．4．（2020•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x 轴对称，则m，n的值为（）A．m＝﹣6，n＝﹣3B．m＝﹣6，n＝3C．m＝6，n＝﹣3D．m＝6，n＝3【答案】D【点拨】根据关于x轴对称，函数y是互为相反数即可求得．【解析】解：∵抛物线y＝mx2+2x﹣n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n关于x轴对称，∴﹣y＝﹣mx2﹣2x+n，∴y＝﹣mx2﹣2x+n与y＝﹣6x2﹣2x+m﹣n相同，∴﹣m＝﹣6，n＝m﹣n，解得m＝6，n＝3，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据关于x轴对称的坐标特征把抛物线y＝mx2+2x ﹣n化成关于x轴对称的抛物线的解析式是解题的关键．5．（2022•黔东南州）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3）．【答案】（1，﹣3）．【点拨】先求出绕原点旋转180°的抛物线解析式，再求出向下平移5个单位长度的解析式，配成顶点式即可得答案．【解析】解：将抛物线y＝x2+2x﹣1绕原点旋转180°后所得抛物线为：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，再将抛物线y＝﹣x2+2x+1向下平移5个单位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3，∴所得到的抛物线的顶点坐标是（1，﹣3），故答案为：（1，﹣3）．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．6．（2023•益阳）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y＝2x的图象向上平移1个单位得到y＝2x+1的图象；将二次函数y＝x2+1的图象向左平移2个单位得到y＝（x+2）2+1的图象，若将反比例函数y＝的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是y＝﹣3．【答案】y＝﹣3．【点拨】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解析】解：由题意，将反比例函数y＝的图象向下平移3个单位，得到的图象对应的函数表达式为y＝﹣3．故答案为：y＝﹣3．【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数、反比例函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．7．（2022•河北）如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．【答案】（1）对称轴是直线x＝6，y的最大值为4，a＝7；（2）5．【点拨】（1）根据抛物线的顶点式，判断出顶点坐标，令y＝3，转化为方程求出a即可；（2）求出平移前后的抛物线的顶点的坐标，可得结论．【解析】解：（1）∵抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2＝﹣（x﹣6）2+4，∴抛物线的顶点为Q（6，4），∴抛物线的对称轴为直线x＝6，y的最大值为4，当y＝3时，3＝﹣（x﹣6）2+4，∴x＝5或7，∵点P在对称轴的右侧，∴P（7，3），∴a＝7；（2）∵平移后的抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣3）2，∴平移后的顶点Q′（3，0），∵平移前抛物线的顶点Q（6，4），∴点P′移动的最短路程＝QQ′＝＝5．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是理解题意，求出平移前后的抛物线的顶点坐标，属于中考常考题型．类型四二次函数的图象与x轴的交点1．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝9．。
专题10 三角函数性质、最值和ω题型归类(解析版)
专题10 三角函数性质、最值和ω题型归类一、重点题型目录【题型】一、整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 【题型】二、代入检验判定求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 【题型】三、图像法求三角函数的最值或值域 【题型】四、换元法求三角函数的最值或值域【题型】五、利用三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数 【题型】六、五点法求三角函数的解析式 【题型】七、利用图象平移求函数的解析式或参数 二、题型讲解总结【题型】一、整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心 例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数π()sin()(0,0)2f x A x A ϕϕ=+>-<<在56x π=时取得最大值，则()f x 在[π,0]-上的单调增区间是（ ） A ．5ππ6⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B ．5ππ66⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， C ．π03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 【答案】D【分析】根据题意可得5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则可求出ϕ，由于0A >，所以利用正弦函数的性质可求出答案.【详解】解：因为函数π()sin()(0,0)2f x A x A ϕϕ=+>-<<在5π6x =取最大值所以5πsin 6A A ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5πsin 16ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5πππ,Z 62k k ϕ+=+∈，得ππ,Z 3k k ϕ=-+∈ 又因为π02ϕ-<< 所以π3ϕ=-， 所以π()sin (0)3f x A x A ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，由πππ2π2π,Z 232k x k k -+≤-≤+∈，得5ππ22,Z 66ππk x k k -+≤≤+∈， 所以()f x 的递增区间为()π5π2π,2πZ 66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在[π,0]-上的单调增区间是π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，， 故选：D ．例2．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个对称中心是（ ）A ．,112π⎛⎫⎪⎝⎭B ．7,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据余弦型函数，求出其对称中心即可判断作答.【详解】在函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭中，由2,Z 62x k k πππ-=+∈得，,Z 23k x k ππ=+∈， 所以函数()2cos 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的对称中心是(,1)(Z)23k k ππ+∈，显然B ，D 不满足，A 不满足，当0k =是，对称中心为(,1)3π，C 满足.故选：C例3．（2022·湖北·宜都二中高三期中）已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象可由()cos g x A x ω=图象向右平移π9个单位长度得到B ．()f x 图象的一条对称轴的方程为5π9x =-C ．()f x 在区间29π17π,3636⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．()2f x ≥的解集为2k π2π2k π,()393k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z 【答案】ABD【分析】根据函数的振幅、周期、及过点4,49π⎛⎫-⎪⎝⎭可求得π()4sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 对于选项A ：利用函数图象的平移检验即可；对于选项B ：令ππ3π,62x k k +=+∈Z 可解得()f x 图象对称轴的方程,检验是否能取到5π9x =-即可. 对于选项C ：求出π9π5π3,644x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭，验证正弦函数在9π5π,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭是否单调增.对于选项D ： 直接解三角不等式π1sin 362x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭即可获得答案.【详解】由题意知34ππ4,4918A T ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭，解得2π3T =，所以2π3T ω==， 所以()4sin(3)f x x ϕ=+.又点4,49π⎛⎫- ⎪⎝⎭在()f x 的图象上， 所以4π4sin 349ϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，所以4π3π2π,32k k ϕ+=+∈Z ， 解得π2π,6k k ϕ=+∈Z ，又||2ϕπ<，所以ϕ=π6， 所以π()4sin 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将π()4cos34sin 32g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭向右平移π9个单位可得πππ4sin 34sin 3()926y x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 正确；令ππ3π,62x k k +=+∈Z ，解得ππ,93k x k =+∈Z ，令2k =-得5π9x =- 所以()f x 图象的对称轴的方程为5π9x =-.故B 正确； 当29π17π,3636x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，π9π5π3,644t x ⎛⎫=+∈-- ⎪⎝⎭，sin y t =在9π5π,44t ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上不是单调递增的，故C 错误；令()2f x ≥，即π1sin 362x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以ππ5π2π32π,666k x k k +≤+≤+∈Z ，解得2π2π2π,393k k x k ≤≤+∈Z ，即()2f x ≥的解集为2π2π2π,()393k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ，故D 正确. 故选：ABD.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()[]π4sin 2,π,03f x x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间是________．【答案】7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用正弦函数的单调性以及整体代入的方法，求出()f x 的单调递增区间，结合[]π,0x ∈-，得出答案．【详解】由()πππ2π22πZ 232k x k k -+≤-≤+∈，得()π5πππZ 1212k x k k -+≤≤+∈，当1k =-时，13π7π,1212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦；当0k =时，π5π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；又因为[]π,0x ∈-，所以()f x 的单调递增区间为7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为：7ππ,12⎡⎤--⎢⎥⎣⎦和π,012⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【题型】二、代入检验判定求三角函数的单调区间对称轴和对称中心例5．（2023·全国·高三专题练习）已知α，β，γ是三个互不相同的锐角，则在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+ ）个 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】先根据辅助角公式得到三个式子的和小于得到在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+三个值中，，再举出例子，得到三个值中，有2个值符合要求，故得到答案.【详解】因为α，β，γ是三个互不相同的锐角， 所以sin cos sin cos sin cos αββγγα+++++πππ444αβγ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++<= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以在sin cos αβ+，sin cos βγ+，sin cos γα+若令π3α=，π4β=，π6γ=，则sin cos αβ+=>sin cos βγ+=+>sin cos 1γα+=<的个数最多有2个. 故选：C例6．（2023·全国·高三专题练习）已知()1cos cos 2222x x x f x ⎫=+-⎪⎭，若存在0ππ,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使不等式()205122f x m m ≤--有解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[)1,3,2⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】先化简()f x 的解析式，不等式()205122f x m m ≤--在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上能成立等价于()2min 51,22f x m m -≤-求得()f x 的最小值后解不等式即可求解【详解】()21sin cos 2222x x xf x =+-1cos 11cos 222x x x x +=+-=+ cossin sin cos 66xx x π=+. sin 6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0π ,33x π⎡⎤∃∈-⎢⎥⎣⎦，使不等式()205122f x m m ≤--有解则 ()2min 51,22f x m m -≤-π,33x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ πππ,662x ⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦1sin 126x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭ 当3x π=-时，()f x 取得最小值，ππ1sin 362f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以 2511,222m m --≥-解之得：52m或0m m ∴的取值范围是(]5,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭故选：B例7．（2022·湖南·高三开学考试）若函数()22cos f x x x m ++在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6，则下列结论正确的是（ ） A ．5π512f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2π是函数()f x 的一个周期C ．当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()4c f x c <<+恒成立，则实数c 的取值范围是[)2,3D ．将函数()f x 的图像向左移动6π个单位得到函数()g x 的图像，则函数()g x 是一个偶函数 【答案】BD【分析】先根据三角恒等变换整理得()π2sin 216f x x m ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，以π26x +为整体，结合正弦函数图像与性质运算求解，并运用图像平移处理求解判断．【详解】()2π2cos cos212sin 216f x x x m x x m x m ⎛⎫++=+++=+++ ⎪⎝⎭，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则ππ7π2,666x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当π6x =时，()f x 的最大值为6，即3m =，所以5π412f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，选项A 不正确； ∵()f x 的最小正周期2ππ2T ==，则2π是函数()f x 的一个周期，选项B 正确； 当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()36f x ≤≤，所以不等式()4c f x c <<+恒成立，则364c c <⎧⎨<+⎩，解得23c <<，选项C 不正确；函数()f x 的图像向左移动6π个单位得到函数()πππ2sin 242sin 242cos24662g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()g x 是一个偶函数，选项D 正确. 故选：BD ．例8．（2023·广东·高三学业考试）已知函数22()cossin 22x xf x a =--，R a ∈ (1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)若函数()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有零点，求a 的取值范围．【答案】(1)22[]k k πππ-， ，k ∵Z (2)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）利用余弦的二倍角公式化简，再结合余弦函数的单调性求解即可；（2）转化为方程cos x a =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解即可.（1）22()cos sin cos 22x xf x a x a =--=- 当22k x k πππ-≤≤ ，k ∵Z 时，()f x 单调递增，∵函数()f x 的单调递增区间为22[]k k πππ-，，k ∵Z ． （2）函数()f x 在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有零点，也就是cos x a =在,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有解．∵当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，1cos ,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．∵a 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【题型】三、图像法求三角函数的最值或值域例9．（2023·全国·高三专题练习）若将()sin 214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()g x 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A1 B ．2C 1D ．2【答案】C【分析】先求平移后的函数解析式，再求()g x 在闭区间上的最值【详解】因为()si 1442n g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为0,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,442x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()min 1g x =． 故选：C例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．()()f x f x π+=B ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象关于原点对称C ．若125012x x π<<<，则()()12f x f x < D ．对1x ∀，2x ，3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，有()()()132f x f x f x +>成立【答案】ACD【分析】利用正弦型函数的周期公式求周期判断A ，利用正弦型函数的对称性可判断B ，利用正弦型函数的单调性可判断C ，利用正弦型函数的值域可判断D.【详解】∵函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的周期22T ππ==，所以()()f x f x π+=恒成立， 故A 正确；又2sin 216f x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 11663f πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，2sin 11663f πππ⎛⎫⎛⎫-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以6666f f ππππ⎛⎫⎛⎫+≠--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象不关于原点对称，故B 错误；当50,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,332x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以函数()2sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在50,12π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；因为,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，所以22,333x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦sin 213x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，()1,3f x ⎤∴∈⎦，又)213>，即min max 2()()f x f x >，所以对123,,[,],32x x x ππ∀∈有132()()()f x f x f x +>成立，故D 正确.故选：ACD.例11．（2023·全国·高三专题练习）如图，点D 位于以AB 为直径的半圆上（含端点A ，B ），ABC 是边长为2的等边三角形，则AD CB ⋅的取值可能是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．4【答案】BC【分析】建立坐标系，利用数量积的坐标表示求AD CB ⋅，化简求其范围，由此可得结论. 【详解】如图所示，以AB 所在直线为x 轴，以AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则()1,0A -，()10B ,，(0,C .令()cos ,sin D θθ，其中0θπ≤≤，则()cos 1,sin AD θθ=+，(1,CB =，所以cos 12sin 16AD CB πθθθ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭.因为0θπ≤≤，所以7666πππθ≤+≤，所以1sin 126πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以[]2sin 10,36AD CB πθ⎛⎫⋅=++∈ ⎪⎝⎭.故选：BC.例12．（2023·全国·高三专题练习）函数()ππsin 36f x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为______．【答案】2【分析】利用三角诱导公式和恒等变换化简得到()2cos f x x =，从而求出最大值.【详解】()πππππsin cos 36362f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πππππcos 2sin 2sin 2cos 33362x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故函数()f x 的最大值为2 故答案为：2【题型】四、换元法求三角函数的最值或值域例13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2sin cos f x x x x =，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．3x π=时()f x 取得最小值C ．()f x 关于3x π=对称 D ．512x π=时()f x 取得最大值 【答案】D【分析】结合二倍角正弦公式和辅助角公式化简()f x ，再结合正弦函数性质判断各选项.【详解】因为()2sin cos f x x x x =，所以()sin 2f x x x =，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==，A 错误，2sin 22333f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，BC 错误，552sin 2212123f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 正确.故选：D.例14．（2023·全国·高三专题练习）函数()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为（ ） A．1 B ．1C ．1D ．3【答案】C【分析】利用换元法，令sin cos t x x =+，则原函数可化为21y t t =+-，再根据二次函数的性质可求得其最大值【详解】()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =++=++，令sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，所以[t ∈，则22(sin cos )12sin cos t x x x x =+=+，所以22sin cos 1x x t =-，所以原函数可化为21y t t =+-，[t ∈，对称轴为12t =-，所以当t =时，21y t t =+-取得最大值，所以函数的最大值为211=，即()sin cos sin 2f x x x x =++的最大值为1 故选：C例15．（2023·全国·高三专题练习）函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ） A ．1 B ．2C ．32D ．3【答案】C【分析】先将函数用二倍角公式进行降幂运算，得到1()sin(2)26f x x π=+-，然后再求其在区间[,]42ππ上的最大值．【详解】解：因为2()sin cos f x x x x =，所以1cos 21()2sin(2)226x f x x x π-==+-，42ππx ≤≤，52366x πππ∴≤-≤，1sin 2126x π⎛⎫∴≤-≤ ⎪⎝⎭，∴13()122max f x =+=．故选：C ．例16．（2022·广东·汕头市达濠华侨中学高三阶段练习）已知函数()3sin 222f x x x =+，则下列选项正确的有（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．曲线()y f x =关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称C ．()f xD ．曲线()y f x =关于直线π6x =对称 【答案】ACD【分析】化简()πsin 26⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x .利用周期公式求出周期可判断A ；计算π3⎛⎫⎪⎝⎭f 可判断B ； 利用π1sin 216⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x 可判断C ；计算π6f ⎛⎫⎪⎝⎭可判断D【详解】()3πsin 22sin 226f x x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 对于A ，()f x 的最小正周期2ππ2T ==，故A 正确；对于B ，πππ20336f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，π1sin 216⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭x ，所以()max f x C 正确；对于D ，πππ2666f ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 正确.故选：ACD.【题型】五、利用三角函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性求参数例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【分析】根据三角函数的性质，利用整体思想，由单调区间与周期的关系，根据零点与对称轴之间的距离，表示所求参数，逐个检验取值，可得答案.【详解】由f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，即12618T ππ≥-，可得29T π≥，则ω≤9；∵4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，根据三角函数的图象可知，零点与对称轴之间距离为：()1214T k ⨯-，k ∵N *．要求ω最大，则周期最小，∵()12142k T π-⨯=，则T 221k π=-；∵ω＝2k ﹣1；当9ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 94f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知()f x 在5,1836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减，在5,366ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增，不合题意； 当7ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=，可得()cos 74f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易知()f x 在3,1828ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，在3,286ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，不合题意；当5ω=时，由2πϕ≤，则4πϕ=-，可得()cos 54f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知()f x 在,186ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单减，符合题意；故选：C ．例18．（2023·全国·高三专题练习）若直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，且函数πsin()4y x ω=-在区间[0，π12]上不单调，则ω的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．11D ．3【答案】C【分析】根据给定条件，求出ω的关系式，再求出函数πsin()4y x ω=-含有数0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线π4x =是曲线πsin (0)4y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的一条对称轴，则πππ,N 442k k ωπ-=+∈，即43,N k k ω=+∈， 由πππ242x ω-≤-≤得π3π44x ωω-≤≤，则函数πsin()4y x ω=-在π3π[,]44ωω-上单调递增， 而函数πsin()4y x ω=-在区间π[0,]12上不单调，则3π412πω<，解得9ω>， 所以ω的最小值为11. 故选：C例19．（2023·江苏南京·高三阶段练习）已知函数()()πsin 026f x x ωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭，()()π0f x f x ++=，()()()0πf f αβαβ=<<<，则（ ）A ．()()4πf x f x =+B ．()()9π0f x f x ++=C ．()()12f f αββα+<-= D ．()()12f f βααβ-<+=【答案】AB【分析】推导出()()2πf x f x +=，可判断AB 选项；求出2π3αβ+=，并求出()f βα-的取值范围，可判断CD 选项.【详解】对于A 选项，对任意的R x ∈，()()πf x f x +=-，则()()()2ππf x f x f x +=-+=， 所以，()()()4π2πf x f x f x +=+=，A 对；对于B 选项，()()()9ππf x f x f x +=+=-，则()()9π0f x f x ++=，B 对； 对于CD 选项，由题意可知，()f x 的最小正周期为2π，则2π12πω==，则()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，ππ7π666x <+<， 由πππ662x <+<可得π03x <<，则函数()f x 在π0,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 由ππ7π266x <+<可得ππ3x <<，则函数()f x 在π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，0παβ<<<，则πππ7π6666αβ<+<+<， 所以，πππ66αβ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2π3αβ+=，所以，()2ππ5π1sin sin 3662f αβ⎛⎫+=+==⎪⎝⎭，C 错， 因为πππ7π6666αβ<+<+<，则πππ662α<+<，所以，π03α<<， 则2π2π20,33βαα⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，所以，ππ5π,666βα⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭ 故()1,12f βα⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，则()()12f f βααβ->+=，D 错.故选：AB.【题型】六、五点法求三角函数的解析式例20．（2023·全国·高三专题练习）智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线()cos y A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0πϕ≤<2）的振幅为1，周期为2π，初相位为π2，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin y x =-D ．cos y x =-【答案】A【分析】由振幅可得A 的值，由周期可得ω的值，由初相位可得ϕ的值，即可得出声波曲线的解析式，进而可得主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式.【详解】解：因为噪音的声波曲线()cos y A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，0πϕ≤<2）的振幅为1，则1A =， 周期为2π，则2π2π12πT ω===，初相位为π2，π2ϕ=，所以噪声的声波曲线的解析式为πcos sin 2y x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为sin y x =．故选：A.例21．（2022·福建省连城县第一中学高三阶段练习）函数()()sin()0,f x A x b ωϕωϕπ=++><的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 的解析式为()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭B ．函数()f x 的单调递增区间为5,(Z)1212k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 的图象关于点,1(Z)2k k π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对称 D ．为了得到函数()f x 的图象，只需将函数()2cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度，再向上平移一个单位长度 【答案】ABD【分析】由题意求出()f x 的解析式可判断A ；利用正弦函数的单调性和对称性可判断BC ；由三角函数的平移变换可判断D.【详解】对于A ，由图可知，31A b A b +=⎧⎨-+=-⎩，可得21A b =⎧⎨=⎩，由π1sin 425π1sin 122ωϕωϕ⎧⎡⎤⎛⎫⨯-+=-⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎨⎛⎫⎪⨯+=- ⎪⎪⎝⎭⎩，则1122ππ+2π,Z 465π7π+2π,Z126k k k k ωϕωϕ⎧-+=-∈⎪⎪⎨⎪+=∈⎪⎩，两式相减得：()122π4π2π33k k ω=+-， 所以()1223k k ω=+-∵，又因为π2π5ππ33212425ππ2π2π31243T T ωωωω⎧⎧≤≤+⎧⎪⎪≥⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪≤≥+≥⎩⎪⎪⎩⎩，所以332ω≤≤，结合∵，2ω=， 因为π5ππ412212-+=，所以πππ21223ϕϕ⨯+=⇒=， 所以()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，解得：()5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤+∈，故B 正确； 对于C ，令π2ππ,Z 3+=+∈x k k ，解得：ππ,Z 32=+∈k x k ， 函数()f x 的图象关于点()ππ,1Z 32k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭对称，所以C 不正确；对于D ，将函数π2cos 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭向右平移π4个单位得到πππ2cos 22sin 2433⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦x x ，向上平移一个单位长度可得π2sin 213y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.例22．（2023·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））已知函数()sin 0,0,π()(||)f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象．(1)求函数()g x 的解析式；(2)若对于()()2π0,,303x g x mg x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎢⎥∀-⎣-⎦∈≤恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)π()2sin 36g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）先根据函数图象求出()f x 的解析，再利用图象变换规律可求出()g x 的解析式； （2）由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ7π3,666x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+，从而可得[]()1,2g x ∈-，然后分()0g x =，()[1,0)g x ∈-和(,])2(0g x ∈求解即可.【详解】（1）由()f x 的图象可得2A =，5πππ212122T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 所以πT =，所以2ππω=，得2ω=，所以()()(|2sin 2π|)f x x ϕϕ=+<， 因为()f x 的图象过5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以52sin 2212πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，所以5sin 16πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以5ππ2π,Z 62k k ϕ+=-∈，得4π2π,Z 3k k ϕ=-∈， 因为||πϕ<，所以2π3ϕ=， 所以()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，可得32π2π2sin 22sin 3233y x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得 π2ππ2sin 32sin 3636y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π()2sin 36g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得ππ7π3,666x ⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦+，所以π1sin 3,162x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以[]π2sin 31,26x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以[]()1,2g x ∈-，当()0g x =时，30-≤恒成立，当()[1,0)g x ∈-时，则由()()230g x mg x -⎤⎦-⎣≤⎡， 得3()()m g x g x ≤-， 因为函数3y x x=-在[1,0)-上为增函数，所以min33()12()1g x g x ⎡⎤-=--=⎢⎥-⎣⎦ 所以2m ≤，当(,])2(0g x ∈，则由()()230g x mg x -⎤⎦-⎣≤⎡， 得3()()m g x g x ≥-， 因为函数3y x x=-在(0,2]上为增函数，所以max331()2()22g x g x ⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦ 所以12m ≥， 综上122m ≤≤，即实数m 的取值范围为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【题型】七、利用图象平移求函数的解析式或参数例23．（2023·全国·高三专题练习）要得到函数π3sin(2)3y x =+的图象，只需要将函数3cos 2y x =的图象（ ）A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位 C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位【答案】A【分析】由三角函数的图象变换求解【详解】π3cos 23sin(2)2y x x ==+，要得到π3sin(2)3y x =+的图象，需要向右平移πππ23212-=个单位．故选：A例24．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知函数π()2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．将函数2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位，再向上平移1个单位得到()=y f x 的图象B ．函数()=y f x 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()=y f x 的图象关于直线π12x =-对称 D ．函数()=y f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】AC【分析】根据图象平移写出解析式判断A ；利用正弦函数性质，整体法判断()f x 的区间单调性判断B ，代入法判断对称性，判断C 、D. 【详解】A ：根据平移过程πππ=()+1=2sin2()+1=2sin(2)+1663y g x x x ---，正确； B ：π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ2π2(,)333x -∈-，根据正弦函数性质()f x 在区间内不单调，错误；C ：πππ()=2sin()+1=11263f ----，此时ππ2=32x --，故直线π12x =-为对称轴，正确；D ：πππ()=2sin()+1=1633f -，故关于点π,16⎛⎫⎪⎝⎭对称，错误.故选：AC例25．（2022·广东·深圳中学高三阶段练习）将函数()π=2sin 3f x x ω-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像向左平移2π3个单位，所得图像关于原点对称．若01ω<<，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为4πB ．()f x 的对称中心为()2π2π+,0Z 3k k ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．对任意的R x ∈，都有()2π=3f x f x -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()π=2sin +6g x x ω⎛⎫ ⎪⎝⎭与()f x【答案】AB【分析】利用平移后得函数是奇函数求出12ω=，则()f x 的最小正周期为2π=4π12，故A 正确；令()1π=πZ 23x k k -∈判断B 正确；由π=13f -⎛⎫⎪⎝⎭判断C 错误；令()=()f x g x 分析得到公，判断D 错误.【详解】将函数()π=2sin 3f x x ω-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图像向左平移2π3个单位，可得2ππ()=2sin (+)33h x x ω-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，()h x 为奇函数，则(0)0h =，即2ππ=π33k ω-，13=+,22k k Z ω∈， 因为01ω<<，所以1=0=2k ω，，则()1π=2sin 23f x x -⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为2π=4π12，故A 正确；令()1π=πZ 23x k k -∈，得2π=2π+3x k ，()f x 的对称中心为()2π2π+,0Z 3k k ∈⎛⎫ ⎪⎝⎭，故B 正确；π1ππ=2sin(?)=13233f --⎛⎫⎪⎝⎭，所以3x π=不是对称轴，故C 错误；令()=()f x g x ，即1π1πsin =sin +2326x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1π1ππ1πsin +=sin +=cos 2623223x x x --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1π1πsin =sin +=?2326x x ∴-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()π=2sin +6g x x ω⎛⎫ ⎪⎝⎭与()f x故D 错误； 故选：AB.。
2022新高考数学高频考点题型归纳10对数与对数函数(教师版)
专题10对数与对数函数一、关键能力学生应理解对数的概念及其运算性质，换底公式使用方法，对数函数的概念、图象与性质；对数函数图象常结合着零点问题、复合函数问题等综合考察，则为较难题． 二、教学建议在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定义域、值域及讨论函数性质时出现过于繁琐的技巧训练，避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题。
求简单函数的定义域中，“简单函数”指下列函数：2,,,,log (),sin ,cos x a cx dy ax b y ax bx c y y y a y mx n y x y x ax b+=+=++===+==+ 求简单函数的值域中，简单函数指下列函数：2,,,log ,sin ,cos x a y ax b y ax bx c y a y x y x y x =+=++====，及它们之间简单的加减组合（更复杂的组合需在导数复习结束后加入）。
函数各种性质的综合常常是命制高考数学试题的重要出发点和落脚点，在复习函数性 质时应注意到数形结合思想、分类讨论、由特殊到一般（由一般到特殊）等数学思想方法的灵活运用。
三、自主梳理 1．对数的概念如果a b ＝N (a >0且a ≠1)，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R)；④m a log M n ＝nm log a M ．(2)对数的性质（☆☆☆） ①Na alog＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)．(3)对数的重要公式（☆☆☆）①换底公式：log a N ＝log c Nlog c b (a ，c 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a ，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d ．3．对数函数的图象与性质（☆☆☆）(1)定义域：(0，＋∞)四、真题感悟1.（2021全国甲）. 设2ln1.01a=，ln1.02b=，1c=-．则（）A. a b c<< B. b c a<< C. b a c<< D.c a b<<【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b 与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数()()2ln11f x x=+, ()()ln121g x x=+，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】()()2222ln1.01ln1.01ln10.01ln120.010.01ln1.02a b===+=+⨯+>=,所以b a<;下面比较c与,a b的大小关系.记()()2ln11f x x=+,则()00f=,()2121xf xx-='=+，由于()()2214122x x x x x x+-+=-=-所以当0<x<2时，()21410x x+-+>,()1x>+,()0f x'>,所以()f x 在[]0,2上单调递增，所以()()0.0100f f >=,即2ln1.011>,即a c >; 令()()ln 121g x x =+,则()00g =,()212212x g x x -==+', 由于()2214124x x x +-+=-，在x >0时,()214120x x +-+<,所以()0g x '<,即函数()g x 在[0,+∞)上单调递减，所以()()0.0100g g <=,即ln1.021<,即b <c ;综上，b c a <<, 故选：B.2. （2021全国乙卷文）下列函数中最小值为4的是（ ） A. 224y x x =++B. 4sin sin y x x=+C. 222x xy -=+D. 4ln ln y x x=+【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意．【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 4sin y x x=+≥=，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意； 对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，2422242xxx x y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．3.【2020·全国Ⅱ卷】若2x −2y <3−x −3−y ，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<0【答案】A【解析】由2233x y x y ---<-得：2323x x y y ---<-，令()23ttf t -=-，2x y =为R 上的增函数，3x y -=为R 上的减函数，()f t ∴为R 上的增函数，x y ∴<，11y x ∴-+>，()ln 10y x ∴-+>，则A 正确，B 错误；故CD 无法确定.故选：A ．4.【2020·全国Ⅱ卷】已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则A ．a <b <cB ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b【答案】A【解析】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<.5．（2017新课标Ⅰ）设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则A ．235x y z <<B ．523z x y <<C ．352y z x <<D ．325y x z << 【答案】D 【解析】设235x y z k ===，因为,,x y z 为正数，所以1k >，则2log x k =，3log y k =，5log z k =，所以22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⨯=>，则23x y >，排除A 、B ；只需比较2x 与5z ，22lg lg 5lg 2515lg 25lg lg 32x k z k =⨯=<，则25x z <，选D ．五、高频考点+重点题型 考点一、指数幂根式的化简运算例1.（1）化简：lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40＝________． （2）化简：45.0log32+＝________．（3）设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于答案：（1）1 （2）2 （3）10 解析：1．原式＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1．2．45.0log32+＝23·2log 0．54＝8·421log 2＝8·2－log 24＝8·41log 22＝8·14＝2．3．D 由2a ＝5b ＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b＝log m 2＋log m 5＝log m 10． ∵1a ＋1b ＝2，∴log m 10＝2，∴m 2＝10，m ＝10． 对点训练1.已知2log 3,37ba ＝＝，则21log 56＝（ ） A ．3ab a ab++B ．3a ba ab++C ．3ab a b++ D ．3b a ab++【答案】A【详解】由37b =，可得3log 7b =，所以()()33213log 72log 56log 37⨯=⨯33333log 7log 2log 3log 7+=+131b a b+⨯=+3ab a ab+=+. 对点训练2.(2021·云南曲靖模拟)设a ＝log 0.30.4，b ＝log 30.4，则( )A ．ab ＜a ＋b ＜0B ．a ＋b ＜ab ＜0C ．ab ＜0＜a ＋bD ．a ＋b ＜0＜ab【答案】A【解析】因为a ＝log 0.30.4＞log 0.31＝0，b ＝log 30.4＜log 31＝0，所以ab ＜0，又a ＋b ab ＝1a ＋1b ＝log 0.40.3＋log 0.43＝log 0.40.9Ⅱ(0,1)，所以0＜a ＋bab＜1，所以ab ＜a ＋b ＜0.对点训练3.(2021·北京二中高三月考)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据： lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )A ．12B ．13C ．16D ．110 【答案】C【解析】由题设有[H ＋][OH －]＝[H ＋]210－14＝1014[H ＋]2.又10－7.45≤[H ＋]≤10－7.35 ，所以10－0.9≤1014[H＋]2≤10－0.7.所以－0.9≤lg1014[H ＋]2≤－0.7.又lg 12≈－0.3，lg 13＝－0.48，lg 16＝－0.78，lg 110＝－1，只有lg 16在范围之中．故选C ． 总结：1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N Ⅱb ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.考点二、对数函数图像与性质的运用例2.（1）（2021·湖北武汉模拟）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0.关于x 的方程f (x )＋x －a＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．(2)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】（1）(1，＋∞) （2）D【解析】（1）问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合图象可知a >1.(2)法一 因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a >1，所以c >a >b .法二 log 1213＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由图知c >a >b .对点训练1.（2019·北京高考模拟（理））若函数 则函数的值域是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】画出函数的图像如下图所示，由图可知，函数的值域为，故选A.22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩()f x (,2)-∞(,2]-∞[0,)+∞(,0)(0,2)-∞(),2-∞考点三、指数型函数性质与图像考察例3.（1）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |， 0<x ≤10，－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是__________．（2）(2021·湖北宜昌模拟)若函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)在区间(a －1，a ＋1)上单调递增，且b ＝lg 0.9，c ＝20.9，则( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c【答案】（1）B （2）(10,12) 解析：（1）作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ， 则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6．∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c ． 由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)．（2）由5＋4x －x 2>0，得－1<x <5，又函数t ＝5＋4x －x 2的对称轴方程为x ＝2，Ⅱ复合函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)的单调递增区间为(2,5)，Ⅱ函数f (x )＝log 0.9(5＋4x －x 2)在区间(a －1，a ＋1)上单调递增，Ⅱ⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥2，a ＋1≤5，则3≤a ≤4，而b ＝lg 0.9<0，1<c ＝20.9<2，所以b <c <a .对点训练1.(2021·浙江宁波高三模拟)两个函数的图象经过平移后能够重合，称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f 1(x )＝2log 2(x ＋1)，f 2(x )＝log 2(x ＋2)，f 3(x )＝log 2x 2，f 4(x )＝log 2(2x )，其中“同形”函数是( )A ．f 2(x )与f 4(x )B ．f 1(x )与f 3(x )C ．f 1(x )与f 4(x )D ．f 3(x )与f 4(x )【答案】A【解析】f 3(x )＝log 2x 2是偶函数，而其余函数无论怎样变换都不是偶函数，故其他函数图象经过平移后不可能与f 3(x )的图象重合，故排除选项B ，D ；f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x ，将f 2(x )＝log 2(x ＋2)的图象沿着x 轴先向右平移两个单位得到y ＝log 2x 的图象，再沿着y 轴向上平移一个单位可得到f 4(x )＝log 2(2x )＝1＋log 2x 的图象，根据“同形”函数的定义可知选A.对点训练2.（2021·福建省莆田模拟已知函数f (x )＝ln x ＋ln (2－x )，则( )A ．f (x )在(0,2)上单调递增B ．f (x )在(0,2)上单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称 【答案】C【解析】f (x )的定义域为(0,2)．f (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝ln[x (2－x )]＝ln (－x 2＋2x )．设u ＝－x 2＋2x ，x Ⅱ(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，Ⅱf (x )＝ln (－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减．ⅡA ，B 错误．Ⅱf (x )＝ln x ＋ln (2－x )＝f (2－x )，Ⅱf (x )的图象关于直线x ＝1对称，ⅡC 正确．Ⅱf (2－x )＋f (x )＝[ln (2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln (2－x )]＝2[ln x ＋ln (2－x )]，不恒为0，Ⅱf (x )的图象不关于点(1,0)对称，ⅡD 错误．故选C.考点四、比较大小例4．【多选题】（2021·全国高三专题练习（理））已知0a b >>，且4ab =，则（ ） A ．21a b -> B ．22log log 1a b -> C ．228a b +> D ．22log log 1a b ⋅<【答案】ACD 【解析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断. 【详解】因为0a b >>，且4ab =，对A ，0a b ->，所以0221a b ->=，故A 正确；对B ，取83,32a b ==，所以2222216log log log log log 219a a b b -==<=，故B 错误；对C ，22a b ≥+，当且仅当a b =取等号，又因为4a b +≥=，当且仅当a b =取等号，所以228a b ≥≥=+，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故C 正确；对D ，当10>>>a b ，22log 0,log 0a b ><，所以22log log 1a b ⋅<；当1a b >>，22log 0,log 0a b >>，所以()()2222222log log log log log 144a b ab a b +⋅≤==，当且仅当a b =取等号，因为0a b >>，所以不能取等号，故D 正确.故选：ACD.对点训练1.【多选题】（2021·湖南高三二模）若正实数a ，b 满足a b >且ln ln 0a b ⋅>，下列不等式恒成立的是（ ） A ．log 2log 2a b > B ．ln ln a a b b ⋅>⋅ C ．122ab a b ++> D ．log 0a b >【答案】CD 【解析】由已知不等式，求出,a b 之间的关系，结合选项一一判断即可． 【详解】由ln ln 0a b ⋅>有01b a <<< 或1a b >> ，对于选项A ，当01b a <<<或1a b >>都有log 2log 2a b < ，选项A 错误；对于选项B ，比如当11,24a b == 时，有211111111ln ln 2ln ln 44424222⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭故ln ln a a b b ⋅>⋅不成立，选项B 错误；对于C ，因为()()1110ab a b a b +--=-->，所以1ab a b +>+ ，则122ab a b ++> ，选项C 正确；对于选项D ，因为ln ln 0a b ⋅>，所以ln log 0ln a bb a=>，选项D 正确， 故选：CD ．对点训练2.（2020·全国高考真题（理））若，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】设，则为增函数，因为 所以， 所以，所以.，当时，，此时，有当时，，此时，有，所以C 、D 错误. 故选：B.242log 42log a ba b +=+2a b >2a b <2a b >2a b <2()2log xf x x =+()f x 22422log 42log 2log a b b a b b +=+=+()(2)f a f b -=2222log (2log 2)a b a b +-+=22222log (2log 2)b bb b +-+21log 102==-<()(2)f a f b <2a b <2()()f a f b -=22222log (2log )a b a b +-+=222222log (2log )b b b b +-+=22222log bb b --1b =2()()20f a f b -=>2()()f a f b >2a b >2b =2()()10f a f b -=-<2()()f a f b <2a b <巩固训练一、单项选择题1．函数y ＝ln 1|2x －3|的图象为( )答案 A解析 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C ，D.当x >32时，函数为减函数；当x <32时，函数为增函数，所以选A.2．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b <c B ．a ＝b >c C ．a <b <c D ．a >b >c答案 B解析 因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1，所以a ＝b >c .3．函数f (x )＝log 12(x 2－2x －3)的单调递增区间是________．A. (),1-∞B. (),1-∞-C. ()3,+∞D. ()1,+∞． 答案： B解析： 设t ＝x 2－2x －3，则y ＝log 12t ．由t ＞0解得x ＜－1或x ＞3，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．∴t ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4在(－∞，－1)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数．而函数y ＝log 12t 为关于t 的减函数，所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)．4.（2021·辽宁高三月考）某果农借助一平台出售水果，为了适当地给鲜杏保留空气呼吸，还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞，同时还要在鲜杏中间放上冰袋，来保持泡沫箱内部的温度稳定，这样可以有效延长水果的保鲜时间．若水果失去的新鲜度h 与其采摘后时间t （小时）满足的函数关系式为t h m a =⋅．若采摘后20小时，这种杏子失去的新鲜度为10%，采摘后40小时，这种杏子失去的新鲜度为20%．在这种条件下，杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度（ ）（已知lg 20.3≈，结果取整数） A ．42小时 B ．53小时 C ．56小时 D ．67小时【答案】D 【解析】利用指数的运算得出1202a =，再利用对数的运算即可求解.【详解】由题意可得200010m a =⋅，①400020m a =⋅，②②÷①可得202a =，解得1202a =，所以0050tm a =⋅，③③÷①可得205t a -=， 所以202025t -=，即20lg 2lg51lg 20.720t -==-=， 解得67t ≈（小时）. 故选：D5.（2021·山东菏泽模拟）设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12（－x ），x <0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)Ⅱ(0，1)B ．(－∞，－1)Ⅱ(1，＋∞)C ．(－1，0)Ⅱ(1，＋∞)D ．(－∞，－1)Ⅱ(0，1)【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12（－a ）>log 2（－a ）， 解得a >1或－1<a <0.故选C. 【答案】C6．（2021·安徽省阜阳一中模拟设函数f (x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2的解集为( )A ．(0，2] B.⎣⎡⎦⎤12，2C ．[2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12Ⅱ[2，＋∞) 【答案】B【解析】因为f (x )的定义域为R ，f (－x )＝log 12(x 2＋1)＋83x 2＋1＝f (x )，所以f (x )为R 上的偶函数．易知其在区间[0，＋∞)上单调递减， 令t ＝log 2x ，所以log 12x ＝－t ，则不等式f (log 2x )＋f (log 12x )≥2可化为f (t )＋f (－t )≥2，即2f (t )≥2，所以f (t )≥1，又因为f (1)＝log 122＋83＋1＝1，f (x )在[0，＋∞)上单调递减，在R 上为偶函数，所以－1≤t ≤1，即log 2x Ⅱ[－1，1]，所以x Ⅱ⎣⎡⎦⎤12，2，故选B. 二、多项选择题关于函数f (x )＝ln 1－x 1＋x ，下列说法中正确的有( )A ．f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．f (x )为奇函数C ．f (x )在定义域上是增函数D ．对任意x 1，x 2∈(－1,1)，都有f (x 1)＋f (x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2答案： BD解析： 函数f (x )＝ln 1－x1＋x ＝ln ⎝⎛⎭⎫21＋x －1，其定义域满足(1－x )(1＋x )＞0，解得－1＜x ＜1， ∴定义域为{x |－1＜x ＜1}．∴A 不对．由f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x ＝－f (x )，是奇函数，∴B 对．函数y ＝21＋x －1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，∴f (x )在定义域内是减函数，C 不对．f (x 1)＋f (x 2)＝ln 1－x 11＋x 1＋ln 1－x 21＋x 2＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 11＋x 1×1－x 21＋x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋x 1x 2.∴D 对． 8．(多选)已知函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有下列说法，其中正确的说法为( )A ．h (x )的图象关于原点对称B ．h (x )的图象关于y 轴对称C ．h (x )的最大值为0D ．h (x )在区间(－1,1)上单调递增 答案： BC解析： 函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称， ∴f (x )＝log 2x ，h (x )＝log 2(1－|x |)，为偶函数，不是奇函数， ∴A 错误，B 正确；根据偶函数性质可知D 错误；∵1－|x |≤1，∴h (x )≤log 21＝0，故C 正确．三、填空题9．(2021·浙江宁波高三调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)单调递减，若实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则a 的取值范围是________．【解析】由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，即有f (x )＝f (|x |)， 由实数a 满足f (log 3a )＋f (log 13a )≥2f (1)，则有f (log 3a )＋f (－log 3a )≥2f (1)， 即2f (log 3a )≥2f (1)即f (log 3a )≥f (1)， 即有f (|log 3a |)≥f (1)，由于f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减， 则|log 3a |≤1，即有－1≤log 3a ≤1， 解得13≤a ≤3.【答案】⎣⎡⎦⎤13，310．已知表中的对数值有且只有一个是错误的．答案： lg 5＝a ＋c解析： 由2a －b ＝lg 3，得lg 9＝2lg 3＝2(2a －b )，从而lg 3和lg 9正确，假设lg 5＝a ＋c －1错误，由⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －b －c ＝lg 6＝lg 2＋lg 3，31－a －c ＝lg 8＝3lg 2， 得⎩⎪⎨⎪⎧lg 2＝1－a －c ，lg 3＝2a －b ，所以lg 5＝1－lg 2＝a ＋c ． 因此lg 5＝a ＋c －1错误，正确结论是lg 5＝a ＋c ．二、解答题11．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1．故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1．所以使f (x )>0的x 的解集是{x |0<x <1}． 12．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x ．(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )得 (3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ； ②当t ∈(0,2]时，k <(34)(3)t t t--恒成立，即k <4t ＋9t －15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t －15的最小值为－3，综上，k ∈(－∞，－3)．。
专题10 函数的基本性质(单调性)(原卷版)
专题10函数的基本性质（单调性）1．增函数和减函数增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)f (x 1)＞f (x 2)那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数．区间D 称为函数f (x )的单调递增区间那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数．区间D 称为函数f (x )的单调递减区间图象 特征函数f (x )在区间D 上的图象是上升的函数f (x )在区间D 上的图象是下降的图示[121212(2)函数f (x )在区间D 上是减函数，x 1，x 2∈D ，则x 1<x 2⇔f (x 1)>f (x 2)． 2．单调性(1)定义：如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 上具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间.(2)图象特征：函数y ＝f (x )在区间D 上具有单调性，则函数y ＝f (x )在区间D 上的图象是上升的或下降的． [归纳总结] 基本初等函数的单调区间如下表所示：函数 条件 单调递增区间单调递减区间正比例函数 (y ＝kx ，k ≠0) 与一次函数 (y ＝kx ＋b ，k ≠0) k ＞0R无 k ＜0无R反比例函数 (y ＝kx，k ≠0)k ＞0无 (－∞，0)和 (0，＋∞)k ＜0 (－∞，0)和 (0，＋∞) 无 二次函数a ＞0[－b2a，＋∞) (－∞，－b2a](y＝ax 2＋bx ＋c ，a ≠0)a ＜0(－∞，－b2a][－b2a，＋∞) 3. 最大值和最小值最大值最小值条件一般地，设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足；对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤Mf (x )≥M存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论 称M 是函数y ＝f (x )的最大值 称M 是函数y ＝f (x )的最小值 几何意义f (x )图象上最高点的纵坐标f (x )图象上最低点的纵坐标[知识拓展] 函数最大值和最小值定义中两个关键词： ①“存在”：M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素， 如函数y ＝x 2(x ∈R )的最小值是0，有f (0)＝0.②“任意”：最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f (x )≤M (f (x )≥M )成立，也就是说，函数y ＝f (x )的图象不能位于直线y ＝M 的上(下)方．典型题型与解题方法重要考点一：利用图象求函数的单调区间【典型例题】函数()y f x ＝在区间[22]-，上的图象如图所示，则此函数的增区间是（ ）A ．[20]-，B ．[0]1，C ．[21]-，D ．[11]-， 【题型强化】1.已知函数()([1,5])y f x x =∈-的图象如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．[1,1]-B ．[1,3]C ．[3,5]D ．[1,5]-2.关于函数()11f x x =--的下列结论，错误的是（ ） A ．图像关于1x =对称 B ．最小值为1-C ．图像关于点()1,1-对称D ．在(],0-∞上单调递减 【名师点睛】函数单调区间的求法及表示方法(1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求．(2)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y ＝1x 在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数．(3)区间端点的写法；对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点．重要考点二：用定义证明函数的单调性【典型例题】已知函数(),(1,)1xf x x x=∈-+∞+，试判断函数()f x 的单调性，并证明.【题型强化】1.试用函数单调性的定义证明：()2-1xf x x =在()1,+∞上是减函数．2.已知函数[]21(),3,51x f x x x -=∈+. (1)判断()f x 在区间[]3,5上的单调性并证明； (2)求()f x 的最大值和最小值.【名师点睛】1．函数单调性的证明方法——定义法 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤是：2．用定义证明函数单调性时，作差f (x 1)－f (x 2)后，若f (x )为多项式函数，则“合并同类项”，再因式分解；若f (x )是分式函数，则“先通分”，再因式分解；若f (x )解析式是根式，则先“分子有理化”再分解因式．重要考点三：单调性的应用【典型例题】函数()y f x =在[2,)+∞上单调递增，且()(4)f x f x =-恒成立，则关于x 的不等式2(3)(22)f x f x +>+的解集为________【题型强化】1.已知()f x 为奇函数，且在[)0,+∞上是减函数，若不等式()()12f ax f x -≤-在[]1,2x ∈上都成立，则实数a 的取值范围是___________.2.已知()y f x =是定义在R 上的函数，对任意的x ∈R ，恒有2()()f x f x x +-=成立.，若()y f x =在(,0]-∞上单调递增，且(2)()22f a f a a --≥-，则a 的取值范围为__________.【名师点睛】利用函数的单调性解函数值的不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系“f ”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变量的限制条件，以防出错．重要考点四：对单调区间和在区间上单调两个概念理解错误【典型例题】已知函数226y kx x =+-在区间(2,4)上单调递增，求实数k 的取值范围.【题型强化】1.二次函数()222f x x ax =++在区间[]1,2上单调，则实数a 的取值范围；2.()()()222f x x m x m m R =+--∈(1)已知()f x 在[]2,4上是单调函数,求m 的取值范围； (2)求()0f x <的解集.【名师点睛】若一个函数在区间[a ，b ]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子区间上也是单调的，因此f (x )在区间A 上单调增(或减)和f (x )的单调增(或减)区间为A 不等价．重要考点五：抽象函数单调性的判断与证明【典型例题】已知()f x 定义域为R ,对任意x ,y R ∈都有()()()1f x y f x f y +=+-,当0x >时, ()1f x <,(1)0f =.（1）求(1)f -;（2）试判断()f x 在R 上的单调性,并证明; （3）解不等式:2(232)2()4f x x f x --+>.【题型强化】1.设()f x 是定义在R 上的函数,对任意的,x y R ∈,恒有()()()f x y f x f y +=⋅，且当0x ＞时,()01f x ＜＜ .(1)求()0f 的值;(2)求证:对任意x ∈R ,恒有()0f x ＞. (3)求证:()f x 在R 上是减函数.2.已知定义在R 上的恒不为0的函数()y f x =满足()()()1212f x x f x f x +=⋅，试证明： (1)()01f =及()()()1122f x f x x f x -=； (2)()()(),,2nf nx f x n N n +=∈≥⎡⎤⎣⎦；(3)当0x >时，()1f x >，则函数()f x 在R 上是增函数.【名师点睛】一般地，在高中数学中，主要有两种类型的抽象函数，一是“f (x ＋y )”型[即给出f (x ＋y )所具有的性质，如本例]，二是“f (xy )”型．对于f (x ＋y )型的函数，只需构造f (x 2)＝f [x 1＋(x 2－x 1)]，再利用题设条件将它用f (x 1)与f (x 2－x 1)表示出来，然后利用题设条件确定f (x 2－x 1)的范围(如符号、与“1”的大小关系)，从而确定f (x 2)与f (x 1)的大小关系；对f (xy )型的函数，则只需构造f (x 2)＝f (x 1·x 2x 1)即可．重要考点六：利用图象求函数的最值【典型例题】对于任意x ∈R ，函数()f x 表示3x -+，3122x +，243x x -+中的较小者，则函数()f x 的最大值是_________.【题型强化】1.函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为14-，最大值为2，则n m -的最大值为（ ） A ．52B ．5222+C ．32D ．22.若函数2()f x x bx a =++在区间[0,1]上的最大值是(,)M a b ，最小值是(,)n a b ，则(,)(,)M a b n a b -( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 无关，但与b 有关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 有关，但与b 无关【名师点睛】利用图象法求函数最值的一般步骤是：重要考点七：利用单调性求最值【典型例题】函数11y x =-+在区间[]1,2上的最大值为（ ） A ．13-B ．12- C ．1- D ．不存在【题型强化】1.若正数x 、y 满足x y xy +=，则4x y +的最小值等于（ ） A ．4B ．5C ．9D ．132.函数()1xf x x =-在区间[]2,5上的最大值与最小值的差记为max min f -，若 max min f --22a a ≥-恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．[]1,2C ．[]0,1D ．[]1,3【名师点睛】1．利用函数单调性求最值的一般步骤：(1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．利用单调性求最值的三个常用结论(1)如果函数f (x )在区间[a ，b ]上是增(减)函数，则f (x )在区间[a ，b ]的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值．(2)如果函数f (x )在区间(a ，b ]上是增函数，在区间[b ，c )上是减函数，则函数f (x )在区间(a ，c )上有最大值f (b )． (3)如果函数f (x )在区间(a ，b ]上是减函数，在区间[b ，c )上是增函数，则函数f (x )在区间(a ，c )上有最小值f (b )．重要考点八：实际应用中的函数最值问题【典型例题】某建筑公司打算在一处工地修建一座简易储物间.该储物间室内地面呈矩形形状，面积为250m ，并且一面紧靠工地现有围墙，另三面用高度一定．．．．的矩形彩钢板围成，顶部用防雨布遮盖，其平面图如图所示.已知该型号彩钢板价格为100元/米，整理地面及防雨布总费用为500元，不受地形限制，不考虑彩钢板的厚度，记与墙面平行的彩钢板的长度为x 米.（1）用x 表示修建储物间的总造价()f x （单位：元）；（2）如何设计该储物间，可使总造价最低？最低总造价为多少元？【题型强化】1.某市由甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，活动时间不少于15小时，也不超过40小时，设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为()f x 元，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为()g x 元．（1）写出()f x 与()g x 的解析式； （2）选择哪家比较合算？请说明理由．2.某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元.()1写出4辆车运营的总利润y （万元）与运营年数()*x x N ∈的函数关系式. ()2这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？【名师点睛】(1)解实际应用题要弄清题意，从实际出发，引进数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题．要注意自变量的取值范围．(2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数的最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决．重要考点九：忽视端点值致误【典型例题】函数()()2,12f x x x =≥+的值域为__________. 【题型强化】1.函数11x y x +=-在区间()[),02,5-∞⋃上的值域为_____ 2.对于任意的1,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式224t mt m +>+恒成立，则实数t 的取值范围是________________. 重要考点十：逻辑推理训练——抽象函数【典型例题】已知函数()f x 的定义域是()0+∞，，当1x >时， ()0f x >，且()()+()f x y f x f y ⋅= (1)求(1)f ；(2)证明()f x 在定义域上是增函数；(3)如果1()13f =-，求满足不等式()(2)2f x f x --≥的x 的取值范围．【题型强化】1.设()f x 是定义在R 上的函数，且对任意,x y R ∈，恒有()()()f x y f x f y +=+. （1）求(0)f 的值； （2）求证：()f x 为奇函数；（3）若函数()f x 是R 上的增函数，已知()11f =,且(2)(1)2f a f a >-+，求实数a 的取值范围.2.若定义在R 上的函数()f x 对任意的1x 、2x R ∈，都有()()()12121f x x f x f x +=+-成立，且当0x >时，()1f x >.（1）求证：()1f x -为奇函数； （2）求证：()f x 是R 上的增函数；（3）若()45f =，解不等式()2323f m m --<．【名师点睛】处理抽象函数问题的基本方法是赋值法．在本题的求解中，根据所给式子f (x ·y )＝f (x )＋f (y )进行适当的赋值或配凑．该式及由该式推出的f (1x)＝－f (x )可作为推理依据．1．函数f (x )＝|x |，g (x )＝x (2－x )的递增区间依次是( ) A ．(－∞，0]，(－∞，1] B ．(－∞，0]，(1，＋∞) C ．[0，＋∞)，(－∞，1]D ．[0，＋∞)，[1，＋∞)2．已知函数234()x x f x x ++=，对于任意12x ≥时下列说法正确的是（ ）A ．函数最小值为7B ．函数最小值为232C ．函数最大值为7D ．函数最大值为2323．下列结论正确的是（ ）A ．4y x =在定义域内是单调递减函数B ．若()f x 在区间[]0,2上满足()()02f f <，则()f x 在[]0,2上是单调递增的C ．若()f x 在区间[]0,3上单调递减，则()f x 在()1,2上单调递减D ．若()f x 在区间()1,2，[]2,3上分别单调递减，则()f x 在(]1,3上单调递减 4．在区间(),0-∞上为增函数的是（ ）A ．y x =B ．21xy x =+-C ．222y x x =--- D．y =5．下列函数中，值域为R 且区间()0,∞+上单调递增的是（ ）A ．3y x =-B ．y x x =C ．1y x -= D．y =6．若函数(1)2,2()log ,2a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,1 B．2⎛ ⎝⎦ C．2⎫⎪⎪⎣⎭ D ．()1,+∞7．若函数()211y x a x =++-在[]22-,上单调，则a 的范围是（ ）A ．3a ≥B ．5a ≤-C ．3a ≥或5a ≤-D ．3a >或5a <-8．函数221()(1)x f x x x -=-的单调增区间为___________.9．函数()f x =的单调递增区间为________．10．若()12ax f x x +=+在区间2（，）∞-+上是增函数，则a 的取值范围是_________11．已知函数25,1(),1x ax x f x ax x ⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞上单调递増，则a 的取值范围是________.12．若()()112a x f x x --=+在区间()2,-+∞上是减函数，则23f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围是______．13．已知函数()()1100f x a x a x =-＞，＞．（1）求证：f （x ）在（0，+∞）上是单调递增函数；（2）若f （x ）在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的值域是122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，求a 的值．14．已知函数2()(2)3f x x a x =+--．（1）若函数()f x 在[]2,4-上是单调函数，求实数a 的取值范围；（2）当5a =，[1,1]x ∈-时，不等式()24f x m x >+-恒成立，求实数m 的范围．15．已知函数()()()212f x x a x a a R =--+∈.（1）求函数()f x 在[]0,1上的最小值()g a 的表达式；（2）若函数()f x 在[]0,1上有且只有一个零点，求a 的取值范围.。
2024中考数学专题过关检测专题10 一次函数的核心知识点精讲(讲义)(解析版)
专题10 一次函数的核心知识点精讲1、理解函数的意义，通过认识自变量与因变量之间的因果关系培养函数思想；2、掌握一次函数的定义，会用待定系数法求解析式，理解其图像的性质；3、理解一次函数与方程及不等式的关系，学会利用图像解决相关问题。
【题型1：一次函数的图像和性质】【典例1】（2023•益阳）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（ ）A．图象经过第一、三、四象限B．图象与y轴交于点（0，1）C．函数值y随自变量x的增大而减小D．当x＞﹣1时，y＜0【答案】B【解答】解：∵一次函数y＝x+1中，k＞0，b＞0，∴图象经过第一、二、三象限，故A不正确；当x＝0时，y＝1，∴图象与y轴交于点（0，1），故B正确；∵一次函数y＝x+1中，k＞0，∴函数值y随自变量x的增大而增大，故C不正确；∵当x＝﹣1时，y＝0，函数值y随自变量x的增大而增大，∴当x＞﹣1时，y＞0，故D不正确；故选：B．1．（2023•长沙）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）A．y＝2x+1B．y＝x﹣4C．y＝2x D．y＝﹣x+1【答案】D【解答】解：在一次函数y＝2x+1中，∵2＞0，∴y随着x增大而增大，故A不符合题意；在一次函数y＝x﹣4中，∵1＞0，故B不符合题意；在一次函数y＝2x中，∵2＞0，∴y随着x增大而增大，故C不符合题意；在一次函数y＝﹣x+1中，∵﹣1＜0，∴y随着x增大而减小，故D符合题意，故选：D．2．（2023•临沂）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ）A．k＞0B．kb＜0C．k+b＞0D．k＝﹣b【答案】C【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限，∴b≤0，又∵函数图象经过点（2，0），∴图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，k＝﹣b，∴kb＜0，∴k+b＝b＜0，∴错误的是k+b＞0．故选：C．3．（2022•兰州）若一次函数y＝2x+1的图象经过点（﹣3，y1），（4，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2【答案】A【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，∵点（﹣3，y1）和（4，y2）是一次函数y＝2x+1图象上的两个点，﹣3＜4，∴y1＜y2．故选：A．【题型2：确定一次函数的解析式】【典例2】（2022•陕西）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．（1）求AB所在直线的函数表达式；（2）当石块下降的高度为8cm时，求此刻该石块所受浮力的大小．（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力；当石块入水后，F拉力＝G重力﹣F浮力．）【答案】（1）F拉力＝﹣x+；（2）当石块下降的高度为8cm时，该石块所受浮力为N．【解答】解：（1）设AB所在直线的函数表达式为F拉力＝kx+b，将（6，4），（10，2.5）代入得：，解得，∴AB所在直线的函数表达式为F拉力＝﹣x+；（2）在F拉力＝﹣x+中，令x＝8得F拉力＝﹣×8+＝，∵4﹣＝（N），∴当石块下降的高度为8cm时，该石块所受浮力为N．1．（2023•鄂州）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（﹣2，﹣1）的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）A．y＝x+1B．y＝x﹣1C．y＝2x+1D．y＝2x﹣1【答案】A【解答】解：∵“帅”位于点（﹣2，﹣1）可得出“马”（1，2），设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+1，故选：A．2．（2021•乐山）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB 的面积平分的直线l2的解析式为（ ）A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝2x【答案】D【解答】解：如图，当y＝0，﹣2x+4＝0，解得x＝2，则A（2，0）；当x＝0，y＝4，则B（0，4），∴AB的中点坐标为（1，2），∵直线l2把△AOB面积平分∴直线l2过AB的中点，设直线l2的解析式为y＝kx，把（1，2）代入得2＝k，解得k＝2，∴l2的解析式为y＝2x，故选：D．3．（2021•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（ ）A．y＝﹣x+4B．y＝﹣x+4C．y＝﹣x+4D．y＝4【答案】A【解答】解：过D点作DH⊥x轴于H，如图，∵点A（3，0），B（0，4）．∴OA＝3，OB＝4，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OAB+∠DAH＝90°，∴∠ABO＝∠DAH，在△ABO和△DAH中，，∴△ABO≌△DAH（AAS），∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，∴D（7，3），设直线BD的解析式为y＝kx+b，把D（7，3），B（0，4）代入得，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4．故选：A．【题型3：一次函数与方程不等式的关系】【典例3】（2023•丹东）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是（ ）A．x＞4B．x＜4C．x＞3D．x＜3【答案】B【解答】解：∵直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），当x＜4时，y＞0，∴不等式ax+b＞0的解集为x＜4．故选：B．【典例4】（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（ ）【答案】A【解答】解：由图象可得，当x＞3时，直线y＝x在一次函数y＝kx+b的上方，∴当kx+b＜x时，x的取值范围是x＞3，故选：A．【典例5】（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：由图象可得直线的交点坐标是（1，3），∴方程组的解为．故选：B．1．（2022•南通）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（ ）【答案】D【解答】解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1，2），所以关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1，故选：D．2．（2021•贺州）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（ ）A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3【答案】C【解答】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，∵直线y＝ax+b过B（2，0），∴方程ax+b＝0的解是x＝2，故选：C．3．（2022•扬州）如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1 ．【答案】x＜﹣1．【解答】解：由图象可得，当x＝﹣1时，y＝3，该函数y随x的增大而减小，∴不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1，故答案为：x＜﹣1．4．（2022•西宁）如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2）．当y1＜y2时，x的取值范围是x ＜1 ．【答案】x＜1．【解答】解：∵直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2），∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜1，故答案为：x＜1．【题型4：应用一次函数解决最有方案问题】【典例6】（2023•成都）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．（1）求A，B两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．【答案】（1）A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；（2）A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元．【解答】（1）设A种食材的单价为x元/千克，B种食材的单价为y元/千克，由题意得：，解得：，∴A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；（2）设A种食材购买m千克，B种食材购买（36﹣m）千克，总费用为w元，由题意得：w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080，∵m≥2（36﹣m），∴24≤m＜36，∵k＝8＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝24时，w有最小值为：8×24+1080＝1272（元），∴A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元．1．（2023•呼和浩特）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量/（人/辆）4530租金/（元/辆）400280（1）参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？（2）租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车6辆；（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？【答案】（1）老师有6名，学生有234名；（2）6；（3）学校共有两套租车方案，最少费用为2160元．【解答】解：（1）设老师有x名，学生有y名，根据题意，列方程组为：，解得，答：老师有6名，学生有234名．（2）∵每辆车上至少有1名老师，∴汽车总数不能大于6辆，∵要保证240名师生有车坐，汽车总数不能少于（取整数6）辆，综合可知汽车总数为6辆．故答案为：6．（3）设租用甲客车x辆，则租车费用y（元）是x的函数，即：y＝400x+280（6﹣x），整理得：y＝120x+1680，∵学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，∴120x+1680≤2300，∴x≤，即x≤5．要保证240人有车坐，x不能小于4，所以有两种租车方案：方案一：租4辆甲种客车，2辆乙种客车；方案二：租5辆甲种客车，1辆乙种客车；∵y随x的增大而增大，∴当x＝4时，y最小，y＝120×4+1680＝2160．答：学校共有两套租车方案，最少费用为2160元，2．（2023•湘西州）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A 种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元．销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B 种品牌小电器获利4元．（1）求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？（2）甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围．（3）在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）A、B型品牌小电器每台进价分别为15元、20元；（2）30≤a≤50；（3）A型30台，B型120台，最大利润是570元．【解答】解：（1）设A、B型品牌小电器每台的进价分别为x元、y元，根据题意得：，解得：，答：A、B型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．（2）设购进A型品牌小电器a台，由题意得：，解得30≤a≤50，答：购进A种品牌小电器数量的取值范围30≤a≤50．（3）设获利为w元，由题意得：w＝3a+4（150﹣a）＝﹣a+600，∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，∴﹣a+600≥565，解得：a≤35，∴30≤a≤35，∵w随a的增大而减小，∴当a＝30台时获利最大，w最大＝﹣30+600＝570元，答：A型30台，B型120台，最大利润是570元．3.（2023•遂宁）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围；②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？【答案】（1）每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；（2）①W与m的函数关系式为W＝﹣m+600；≤m＜200（m为正整数）；②购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．【解答】解：（1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为（x+2）元，根据题意得：＝，解得x＝10，经检验，x＝10是原方程的根，此时x+2＝12，答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，根据题意得：W＝（12﹣10）m+（15﹣12）（200﹣m）＝2m+600﹣3m＝﹣m+600，∴W与m的函数关系式为W＝﹣m+600；甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，∴m≥2（200﹣m），解得m≥，∴≤m＜200（m为正整数）；②由①知，W＝﹣m+600，﹣1＜0，m为正整数，∴当m＝134时，W有最大值，最大值为466，此时200﹣134＝66，∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．4．（2023•达州）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？【答案】（1）每件豆笋的进价为60元，每件豆干的进价为40元；（2）该特产店有三种进货方案：购进豆笋120件，购进豆干80件；购进豆笋121件，购进豆干79件；购进豆笋122件，购进豆干78件；（3）购进豆笋122件，购进豆干78件可使该特产店获得利润最大，最大利润为3610元．【解答】解：（1）设每件豆笋的进价为x元，每件豆干的进价为y元，由题意得：，解得：，∴每件豆笋的进价为60元，每件豆干的进价为40元；（2）设购进豆笋a件，则购进豆干（200﹣a）件，由题意可得：，解得：120≤a≤122，且a为整数，∴该特产店有以下三种进货方案：当a＝120时，200﹣a＝80，即购进豆笋120件，购进豆干80件，当a＝121时，200﹣a＝79，即购进豆笋121件，购进豆干79件，当a＝122时，200﹣a＝78，即购进豆笋122件，购进豆干78件，（3）设总利润为w元，则w＝（80﹣60）•a+（55﹣40）•（200﹣a）＝5a+3000，∵5＞0，∴w随a的增大而增大，∴当a＝122时，w取得最大值，最大值为5×122+3000＝3610，∴购进豆笋122件，购进豆干78件可使该特产店获得利润最大，最大利润为3610元．1．（2023•吴兴区一模）一次函数y＝2x+1的图象不经过（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解答】解：在一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，b＝1＞0，∴一次函数y＝2x+1的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选：D．2．（2023•东莞市校级一模）已知点（﹣1，y1），（3，y2）在一次函数y＝2x+1的图象上，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定【答案】A【解答】解：∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，又∵点（﹣1，y1），（3，y2）在一次函数y＝2x+1的图象上，且﹣1＜3，∴y1＜y2．故选：A．3．（2023•皇姑区三模）一次函数y＝﹣x+4的图象经过（ ）A．第一二三象限B．第二三象限C．第一二四象限D．第二三四象限【答案】C【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+4，k＝﹣1＜0，b＝4＞0，∴该函数图象经过第一、二、四象限，故选：C．4．（2023•花溪区模拟）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k、b的取值范围是（ ）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0【答案】B【解答】解：观察图象可得，一次函数y＝kx+b的图象过一、三、四象限；故k＞0，b＜0；故选：B．5．（2023•东莞市校级二模）已知点（﹣3，2）在一次函数y＝kx﹣4的图象上，则k等于（ ）A．2B．3C．﹣2D．﹣3【答案】C【解答】解：∵点（﹣3，2）在一次函数y＝kx﹣4的图象上，∴2＝﹣3k﹣4，解得：k＝﹣2．故选：C．6．（2023•蕉城区校级二模）直线y＝nx+2n的图象如图所示，则关于x的不等式nx+2n＞0的解集为（ ）A．x＞﹣1B．x＞﹣2C．x＜﹣2D．x＜﹣1【答案】B【解答】解：当y＝0时，x＝﹣2．∴函数图象与x轴交于点（﹣2，0），一次函数y＝nx+2n，当y＞0时，图象在x轴上方，∴不等式nx+2n＞0的解集为x＞﹣2，故选：B．7．（2023•宝鸡一模）如果直线y＝3x+6与y＝2x﹣4交点坐标为（a，b），则解为的方程组是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵直线y＝3x+6与y＝2x﹣4交点坐标为（a，b），∴解为的方程组是，即，8．（2023•贵阳模拟）已知函数y＝（2m﹣1）x是正比例函数，且y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（ ）A．m＞B．m＜C．m＞0D．m＜0【答案】A【解答】解：根据正比例函数图象的性质，知：当y随自变量x的增大而增大，即2m﹣1＞0，m＞．故选：A．9．（2023•黔东南州二模）在同一平面直角坐标系中，直线y＝x+1与y＝﹣x+m相交于点P（1，n），则关于x的方程组的解为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵直线y＝x+1与直线y＝﹣x+m交于点P（1，n），∴n＝1+1＝2，∴P（1，2），∴关于x，y的方程组的解；故选：B．10．（2023•霍林郭勒市校级三模）已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）A．y＝﹣x﹣2B．y＝﹣x﹣6C．y＝﹣x+10D．y＝﹣x﹣1【答案】C【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b．由题意可得出方程组，解得：，那么此一次函数的解析式为：y＝﹣x+10．故选：C．11．（2023•晋州市模拟）一次函数y＝﹣2x+4的图象与y轴交点的坐标是（ ）A．（2，0）B．（0，4）C．（4，0）D．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2×0+4＝4，∴一次函数y＝﹣2x+4的图象与y轴交点的坐标是（0，4）．故选：B．12．（2023•沈河区校级模拟）对于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（ ）A．y值随x值的增大而增大B．它的图象与x轴交点坐标为（0，1）C．它的图象必经过点（﹣1，3）D．它的图象经过第一、二、三象限【答案】C【解答】解：A、∵k＝﹣2＜0，∴y值随x值的增大而减小，结论A不符合题意；B、当y＝0时，﹣2x+1＝0，解得：x＝，∴函数y＝﹣2x+1的图象与x轴交点坐标为（，0），结论B不符合题意；C、当x＝﹣1时，y＝﹣2x+1＝3，∴函数y＝﹣2x+1的图象必经过点（﹣1，3），结论C符合题意；D、∵k＝﹣2＜0，b＝1＞0，∴函数y＝﹣2x+1的图象经过第一、二、四象限，结论D不符合题意．故选：C．13．（2023•武侯区校级三模）A（﹣1，y1），B（3，y2）是直线y＝﹣2x+b上的两点，则y1 ＞ y2（填＞或＜）【答案】见试题解答内容【解答】解：在一次函数y＝﹣2x+b中，∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，∵﹣1＜3，∴y1＞y2，故答案为：＞．14．（2023•柳州三模）若一次函数y＝x+b的图象过点A（1，﹣1），则b＝ ﹣2 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：把点A（1，﹣1）代入一次函数y＝x+b得：1+b＝﹣1，解得b＝﹣2．15．（2023•播州区三模）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝3x﹣5与y2＝2x﹣4．（1）求这两个函数图象的交点坐标；（2）求一次函数y2＝2x﹣4的图象与坐标轴所围成三角形的面积．【答案】（1）（1，﹣2），（2）4．【解答】解：（1）由题意可得：一次函数y1＝3x﹣5与一次函数y2＝2x﹣4相交于一点，∴3x﹣5＝2x﹣4，解得：x＝1，当x＝1时，y1＝y2＝﹣2，∴一次函数y1＝3x﹣5与一次函数y2＝2x﹣4的交点坐标为：（1，﹣2）．（2）当x＝0时，一次函数y2＝2x﹣4与y轴有交点，∴y＝﹣4，∴A（0，﹣4），当y＝0时，一次函数y2＝2x﹣4与x轴有交点，∴0＝2x﹣4，解得：x＝2，∴B（2，0），∴如图可知S＝，△AOB∴一次函数y2＝2x﹣4的图象与坐标轴所围成三角形的面积为4．16．（2022•岷县模拟）一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，6），B（﹣3，﹣2）两点．（1）此一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）把A（1，6），B（﹣3，﹣2）代入y＝kx+b得到，解得，所以直线AB的解析式为y＝2x+4；（2）直线AB与y轴的交点坐标为（0，4），所以△AOB的面积＝×4×3+×4×1＝8．17．（2023•长沙县二模）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．【答案】（1）买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元；（2）w与x之间的函数关系式：w＝﹣x+55，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元．【解答】解：（1）设买一支康乃馨需m元，买一支百合需n元，则根据题意得：，解得：，答：买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元；（2）根据题意得：w＝4x+5（11﹣x）＝﹣x+55，∵百合不少于2支，∴11﹣x≥2，解得：x≤9，∵﹣1＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x＝9时，w最小，即买9支康乃馨，买11﹣9＝2支百合费用最少，w min＝﹣9+55＝46（元），答：w与x之间的函数关系式：w＝﹣x+55，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元．18．（2021•普陀区模拟）某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下列问题：出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式；若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．【答案】出租车的起步价是8元；y与x的函数关系式为：y＝2x+2；这位乘客乘车的里程是11km．【解答】解：由图象得：出租车的起步价是8元；设当x＞3时，y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由函数图象，得，解得：，故y与x的函数关系式为：y＝2x+2；∵32元＞8元，∴当y＝32时，32＝2x+2，解得x＝15，答：这位乘客乘车的里程是15km．1．（2023•丹阳市二模）一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，b＞0，∴该函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选：C．2．（2023•河北模拟）已知点（﹣2，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣x﹣5上，则y1，y2的值的大小关系是（ ）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定【答案】B【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝﹣1×（﹣2）﹣5＝﹣3，当x＝3时，y2＝﹣1×3﹣5＝﹣8．∵﹣3＞﹣8，∴y1＞y2．故选：B．3．（2023•榆阳区一模）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与一次函数y＝2x+1关于y轴对称，则一次函数y＝kx+b的表达式为（ ）A．B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣1D．【答案】B【解答】解：一次函数y＝2x+1，则与该一次函数的图象关于y轴对称的一次函数的表达式为：y＝2（﹣x）+1，即y＝﹣2x+1．故选：B．4．（2023•龙岩模拟）若k＜2，则函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵k＜2，∴k﹣2＜0，2﹣k＞0，∴一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象经过第一、二、四象限，故选：D．5．（2023•沭阳县模拟）A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）A．乙比甲提前出发1hB．甲行驶的速度为40km/hC．3h时，甲、乙两人相距80kmD．0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10km【答案】C【解答】解：由图象可得，乙车比甲车早出发1小时，故A正确；甲的速度是（80﹣20）÷（3﹣1.5）＝40（km/h），故B正确；乙的速度是＝km/h，3h甲车行走的路程为40×（3﹣1）＝80（km），3h乙车行走的路程为×3＝40（km），∴3h后甲、乙相距80﹣40＝40（km），故C错误；0.75h乙车走了0.75×＝10（km），甲车还在A地没出发，此时乙比甲多行驶10km，1.125h乙走了1.125×＝15km，此时甲行走的路程为（1.125﹣1）×40＝5（km），乙车比甲车多走了15﹣5＝10（km），故D正确．故选：C．6．（2023•秦都区二模）一次函数y＝kx+3的图象经过点（﹣1，5），若自变量x的取值范围是﹣2≤x≤5，则y的最小值是（ ）A．﹣10B．﹣7C．7D．11【答案】B【解答】解：一次函数y＝kx+3的图象经过点（﹣1，5），∴5＝﹣k+3，解得：k＝﹣2，∴y＝﹣2x+3，∵k＝﹣2，∴y随x的增大而减小，∵﹣2≤x≤5，∴当x＝5时，y的最小值为﹣2×5+3＝﹣7．故选：B．7．（2023•绍兴模拟）某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，则售完这100件商品可盈利（ ）元．A．200B．250C．400D．500【答案】B【解答】解：当x≥40时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），代入点（40，800）和点（80，1300），得，解得，∴y＝x+300（x≥40），当x＝100时，y＝＝1550，1550﹣13×100＝250（元），∴售完这100件商品可盈利250元，故选：B．8．（2023•合肥三模）直线l1：y＝kx+b和l2：y＝bx﹣k在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解答】解：∵直线l 1：经过第一、三象限，∴k ＞0，∴﹣k ＜0．又∵该直线与y 轴交于正半轴，∴b ＞0．∴直线l 2经过第一、三、四象限．故选：A ．二．解答题（共5小题）9．（2023•新县校级三模）“五一”劳动节到了，为在学生中弘扬劳动精神，让学生在做中学、学中做、家校合力共推劳动教育．五一假期老师布置了与父母互换身份，做一天父母的工作，体会劳动并感受父母的艰辛，理解、感恩父母，小李和妈妈互换身份，帮妈妈卖干果，他上午卖出4kg 甲种类和3kg 乙种类干果获得利润为85元，下午卖出7kg 甲种类和5kg 乙种类干果获得利润为145元．（1）求每千克甲种类干果和乙种类干果的销售利润各是多少；（2）小李的妈妈想一次购进两种干果共100kg 用于销售，其中乙种类干果的进货量不超过甲种类干果的进货量的，请你帮小李妈妈设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值．【答案】（1）每千克甲种类干果的销售利润为10元，每千克乙种类干果的销售利润为15元；（2）购进甲种类干果60kg ，乙种类干果40kg 时，销售总利润最大，总利润的最大值为1200元．【解答】解：（1）设每千克甲种类干果的销售利润为x 元，每千克乙种类干果的销售利润为y 元，根据题意得：解得答：每千克甲种类干果的销售利润为10元，每千克乙种类干果的销售利润为15元．（2）设购进甲种类干果akg，则购进乙种类干果（100﹣a）kg，获得总利润为w元，w＝10a+15（100﹣a）＝﹣5a+1500，∵﹣5＜0，∴w的值随着a值的增大而减小，∵，∴a≥60，∴a＝60时，w＝﹣5×60+1500＝1200，100﹣a＝100﹣60＝40．答：购进甲种类干果60kg，乙种类干果40kg时，销售总利润最大，总利润的最大值为1200元．10．（2023•阿瓦提县模拟）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象．图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．（1）第26天的日销售量是 320 件，日销售利润是 640 元．（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）日销售利润不低于600元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？【答案】（1）320；640；（2）y＝；（3）日销售利润不低于600元的天数共有16天，日销售最大利润是720元．【解答】解：（1）340﹣（26﹣22）×5＝320（件），320×（8﹣6）＝640（元）．故答案为：320；640；（2）设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx，将（17，340）代入y＝kx中，340＝17k，解得：k＝20，∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝20x．根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y＝340﹣5（x﹣22）＝﹣5x+450．联立两线段所表示的函数关系式成方程组，得，解得：，∴交点D的坐标为（18，360），∴y与x之间的函数关系式为y＝；（3）当0≤x≤18时，根据题意得：（8﹣6）×20x≥600，解得：x≥15；当18＜x≤30时，根据题意得：（8﹣6）×（﹣5x+450）≥600，解得：x≤30．∴15≤x≤30．30﹣15+1＝16（天），∴日销售利润不低于600元的天数共有16天．∵点D的坐标为（18，360），∴日最大销售量为360件，360×2＝720（元），∴试销售期间，日销售最大利润是720元．11．（2023•沭阳县模拟）如图，直线AB：y＝x+与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．CD⊥x轴与直线AB交于点D．（1）求点A和点B的坐标；（2）点P在直线CD上运动，且始终在直线AB下方，当△ABP的面积为时，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q为直线CD上一动点，直接写出所有使△APQ是以AP为腰的等腰三角形的点Q的坐标．【答案】（1）点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，）；（2）点P的坐标为（2，﹣）；（3）点Q的坐标为：（2，）或（2，）或（2，）．【解答】解：（1）对于y＝x+，令x＝0，则y＝，令y＝0，解得x＝﹣2，故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，）；（2）设直线AP交y轴于点H，设直线AP的表达式为：y＝k（x+2），当x＝0时，y＝2k，当x＝2时，y＝4k，即点H、P的坐标分别为（0，2k），（2，4k），+S△HBA＝×AC×BH＝×（﹣2k）＝，则△ABP的面积＝S△HBP解得：k＝﹣，∴点P的坐标为（2，﹣）；（3）由（2）知，点P的坐标为（2，﹣），点A（﹣2，0），设点Q（2，t），由勾股定理得：AP2＝（2+2）2+（）2＝16+，同理可得：PQ2＝（t+）2，AQ2＝16+t2，当AP＝PQ时，即16+＝（t+）2，解得t＝或，故点Q的坐标为（2，）或（2，）；当AP＝AQ时，即16+＝16+t2，解得t＝（负值已舍去），故点Q的坐标为（2，）；综上，点Q 的坐标为：（2，）或（2，）或（2，）．12．（2023•乾安县一模）杆秤是我国传统的计重工具，如图，秤钩上所挂的不同重量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同．称重时，秤钩所挂物重为x （斤）时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为y （厘米）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据，且y 是x 的一次函数．x （斤）0.751.001.502.253.25y （厘米）﹣2124711注：秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离y （厘米）为正，在右侧时为负．（1）根据题意，完成上表；（2）请求出y 与x 的关系式；（3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由表格中的数据可得，每增加1厘米，重物增加0.25斤，故当y ＝4时，x ＝1.00+（4﹣2）×0.25＝1.50，当x ＝3.25时，y ＝7+（3.25﹣2.25）÷0.25＝11，故答案为：1.50，11；（2）设y 与x 的关系式为y ＝kx +b ，∵点（0，﹣2），（0.75，1）在该函数图象上，∴，解得，即y 与x 的关系式为y ＝4x ﹣2；（3）当y ＝15时，15＝4x ﹣2，解得x ＝4.25，即当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是4.25斤．13．（2023•甘南县一模）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA 表示货车离甲地的距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关。
8年级数学专题10 一次函数中动点坐标与面积之间的问题
将点 和点 的坐标代入，得
，
解得 ，
∴一次函数的解析式为： ；
（2）∵点（a，2）在该函数的图象上，
∴2a-1=2，
解得 ；
（3）当y=0时，得到2x-1=0，解得x= ，
∴C点坐标为 ，
∵P点在直线上，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
当 时， .
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，利用解析式求出点的坐标，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数图象与几何图形.
5.已知A( ， )，B( ， )，点C与点A关于坐标原点对称，经过点C的直线与y轴交于点D，与直线AB交于点E，且E点在第二象限。
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点D(0，1)，过点B作 于F，连接BC，求 的度数及 的面积；
（3）若点G(G不与C重合)是动直线CD上一点，且 ，试探究 与 之间满足的等量关系，并加以证明．
3.如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=﹣2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0＜x＜3），过点P作直线m与x轴垂直．
（1）求点C的坐标，并回答当x取何值时y1＞y2；
（2）设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s，求出s与x之间函数关系式；
（3）当x为何值时，直线m平分△COB的面积．
专题10一次函数中动点坐标与面积之间的问题
【专题说明】
此类问题 两个难点：
一、根据已知直线的解析式表示动点坐标；
二、用动点及已知点的坐标来表示所需线段的长度；
三、根据动点所处不同位置进行分类讨论．
另外，需要注意自变量 取值范围．
1.已知四条直线 ， ，y=3，x=1所围成的四边形的面积为12，求m的值．
专题10 含参函数的极值、最值讨论(解析版)
专题10 含参函数的极值、最值讨论(解析版)含参函数的极值、最值讨论在数学中，含参函数的极值和最值是一个重要的概念。
本专题将对含参函数的极值和最值进行深入讨论。
一、含参函数的极值对于含参函数 f(x;a)，其中 a 是一个参数，我们可以通过求导数的方法来找到函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求导数：求 f(x;a) 关于 x 的导数，记为 f'(x;a)。
2. 解方程：令 f'(x;a) = 0，解方程得到极值点 x0。
3. 检验：通过二阶导数或者函数值的方法来判断极值类型。
二、含参函数的最值含参函数的最值包括两个概念：最大值和最小值。
我们可以通过对含参函数进行讨论来找到其最值。
1. 寻找临界点：首先求解 f(x;a) 的导数 f'(x;a)，解方程 f'(x;a) = 0，得到函数的临界点。
2. 寻找端点：考虑函数在定义域的边界上是否存在最值。
3. 求值比较：将临界点和端点的函数值进行对比，找出最大值和最小值。
三、极值、最值的判断在求解含参函数的极值和最值时，我们需要进行判断。
1. 二阶导数判定法：通过求解 f''(x;a) 来判断临界点的类型。
当f''(x;a) > 0 时，表示极小值；当 f''(x;a) < 0 时，表示极大值；当 f''(x;a) = 0 时，不能确定。
2. 函数值判定法：对于端点的函数值，进行比较大小来确定最大值和最小值。
四、实例分析现在我们通过一个实例来分析含参函数的极值和最值。
例如，考虑函数 f(x;a) = x^2 - ax + 1，其中 a 是一个参数。
1. 求导数：f'(x;a) = 2x - a。
2. 解方程：令 f'(x;a) = 0，得到 x = a/2。
3. 检验：通过二阶导数或者函数值来判断极值类型。
- 二阶导数法：f''(x;a) = 2 > 0，所以 x = a/2 是极小值点。
微专题10 函数中的隐圆和隐距离
微专题10 函数中的隐圆和隐距离例题讲解题型一 单根号半圆模型【例1】（1）(2013·杭二期中)函数()f x =的最小值为 ．（2）（2018·湖北期中）若直线1y kx =-与曲线y k 的取值范围是 ．（3）（2018·浙江模拟）记1M x =-M 的最大值为( )A ．4B ．1+C ．3D ．1+题型二 双根号距离模型【例2】（1）求函数y =______.（2）（2019·西湖模拟）函数y x =+的值域为______.（3）函数y =______.题型三 双绝对值距离模型【例3】（1）函数132y x x =-+-的最小值为______.（2）（2014·江西理11）对于任意的x ，y R ∈，111x x y y -++-++的最小值为（3）（2020·绍兴一中17）已知()2sin cos2sin f x x a x x b =++++的最大值为(),G a b ，则(),G a b 的最小值为 ．相似题1. （2013·全国联赛）若实数x ，y 满足x -=x 的取值范围是 ．2. （2015·四川省赛）记()f x =M ，最小值为m ，则M m 的值为( )A B C D ．2 3. （2017·湖北省赛）设x ，y R ∈，则()()221cos 1sin P x y x y =+-+-+的最小值为 ．4. （2019·杭州模拟）若不等式111x a x ++-有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．2a B ．2a < C ．1a D ．1a <5. （2017·金华模拟）已知sin cos sin cos 1y a b b a θθθθ=++--的最大值为11，则22a b += _____.课后练习1. 若方程3x b =+有解，则b 的取值范围是 ．2. （2016·泰州一模）已知实数a ，b ，c 满足222a b c +=，0c ≠，则2b a c-的取值范围为 ．3. 已知实数x ，y 满足x y -=，则x y +的最大值为 ． 4. 函数()()()22cos 2sin 2,y t t t R θθ=--+-+∈的值域为 ．5.（2008·重庆）函数())02f x x π=的值域是 ．6. （2012·安徽模拟）10-=仅有一解，则实数a 的取值范围是 ．7. （2019·上虞期末8）若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a 的值为( )A ．5或8B ．1-或5C ．1-或4-D ．4-或88. 已知函数()()2,f x a x b a R b R =+-∈∈，当[]0,4x ∈时，()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为 ．9. 已知a ，b R ∈，设函数()tan sin cos f x x a x x b =+++，0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为 ．10. 设函数()()ln ,f x x a x b a b R =+++∈，当[]1,x e ∈时，记()f x 最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为 ．11. （2017·金华十校）已知sin cos sin cos 1y a b b a θθθθ=++--的最大值为11，则22a b +=_____.12. 设函数()()2,f x x a x b a b R =+++∈，当[]2,2x ∈-时，记()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为 ．。
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函数概念的表示
1． 已知：二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠中的x y ，满足下表：
（1）m 的值为 ； （2）求这个二次函数的解析式.
2．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：
二次函数2y ax bx c =++图象的对称轴为x = ，
2x =对应的函数值y = ．
3．已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：
则下列判断中正确的是（ ）
A ．抛物线开口向上
B ．抛物线与y 轴交于负半轴
C ．当x ＝4时，y ＞0
D ．方程02
=++c bx ax 的正根在3与4之间
4．已知二次函数2y x bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如
（（2）当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？
（3）若1()A m y ，，2(1)B m y +，两点都在该函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小．
则与之间的关系最接近于下列各关系式中的（ ）
A ．22v m =- B. 2
1v m =- C ． 33v m =-
D ．1v
m =+
6．已知函数解析式101y x
=+
．
①在下表的两个．．
空格中分别填入适当的数： ②观察上表可知，当x 的值越来越大时，对应的y 值越来越接近于一个常数，这个常数是什么？
7．二次函数2(0y ax bx c a a b c =++≠，，，是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：
①判断二次函数图象的开口方向，并写出它的顶点坐标．
②一元二次方程2
0(0ax bx c a a b c ++=≠，，，是常数)的两个根
12x x ，的取值范围是下列选项中的哪一个 ．
①1213
0222x x -
<<<<，
②1215
1222x x -<<-<<，
③1215
0222
x x -<<<<，
④1213
1222
x x -<<-<<，
8．在同一平面直角坐标系中，⊙P 上的点（x ，y ）如表1，直线l 上的点
（x ，y ）如表2.
解答下列问题:
（1）直线
l 和⊙P 的交点A 和B 的坐标分别为 ；
（2）⊙P 的半径的长为 ；
（3）若在坐标轴上存在点M ，使得△ABM 为直角三角形，∠AMB =90°，求点M 的坐标.
9．下表给出了代数式x 2
+bx +c 与x 的一些对应值：
（1）根据表格中的数据，确定b、c的值，并填齐表格空白处的对应值；
（2）设y=x2 + bx + c的图象与x轴的交点为A、B两点（A点在B 点左侧），与y轴交于点C，P为线段AB上一动点，过P点作PE∥AC交BC于E，连结PC，当△PEC的面积最大时，求P点的坐标.。