高等数学定积分在几何上的应用42页PPT
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定积分在几何中的应用 课件
定积分在几何中的应用
题型一 不分割图形求面积
规律方法：求不分割图形面积的一般步骤： (1)在坐标系中画出由直线与曲线围成的图形；(2)求出直线 与曲线交点的横坐标并确定积分上、下限；(3)用定积分表 示图形的面积；(4)求定积分进而得到图形的面积．
题型二 分割图形求面积
规律方法：求两条曲线围成的平面图形的面积的步骤是： ①画图，确定图形范围④用微积分基本定理计算定积 分．
对图形分割不合理致误
【易错剖析】复杂图形的面积的求解，合理分割图形是 关键，方法一中的分割是解本题较好的一种方法．若不 能抓住图形的特征，进行合理分割，则会出现错解．
题型一 不分割图形求面积
规律方法：求不分割图形面积的一般步骤： (1)在坐标系中画出由直线与曲线围成的图形；(2)求出直线 与曲线交点的横坐标并确定积分上、下限；(3)用定积分表 示图形的面积；(4)求定积分进而得到图形的面积．
题型二 分割图形求面积
规律方法：求两条曲线围成的平面图形的面积的步骤是： ①画图，确定图形范围④用微积分基本定理计算定积 分．
对图形分割不合理致误
【易错剖析】复杂图形的面积的求解，合理分割图形是 关键，方法一中的分割是解本题较好的一种方法．若不 能抓住图形的特征，进行合理分割，则会出现错解．
《高数》定积分课件
《高数》定积分ppt 课件
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
精品课件-高等数学定积分在几何上的应用ppt
第二节 定积分在几何上的应用
例3 求由 y=cosx, y=sinx 在区间 [0, ] 上所围成的图 形的面积.
两曲线的交点
y sin x
y
cos
x
( , 4
2) 2
A1
A2
A A1 A2
4 (cos x sin x)dx
0
(sin x cos x)dx
x(t) ye of Information and Technology
y2 2x
y x4
A42y4y22dy1.8
Nanjing College of Information and Technology
第五章 定积分及其应用
第二节 定积分在几何上的应用
问题 若选x为积分变量呢？ 4
SS1 S2
2
[
2x (
2 x )]dx
第二节 定积分在几何上的应用
应用微元法解决定积分应用问题的步骤是:
1) 选取积分变量, 确定它的变化区间[a,b];
2) 在区间[a, b]上任取一个小区间[x,x+dx], 并在小区
间上找出所求量F的微元 dF = f(x)dx (局部近似值) ;
3) 求定积分 F
b
f (x)dx
a
Nanjing College of Information and Technology
ΔA≈ f(x)dx
面积元素
dA
yf(x)
记作dA
o a xxdbxx
(2) 将这些面积元素在[a,b]上“无限累加”得
b
b
Alim f(x)dx f ( x)dx d A
定积分的应用课件
液体静压力计算步骤
详细阐述液体静压力计算的步骤，包 括确定计算区域、选择坐标系、列出 被积函数等。
其他物理问题中定积分应用
引力计算
通过定积分求解质点系或连续体 之间的引力问题。
波动问题
将波动问题转化为定积分问题， 进而求解波动过程中的各种物理 量。
01
02
电场强度计算
利用定积分求解电荷分布连续体 所产生的电场强度。
消费者剩余和生产者剩余计算
消费者剩余计算
消费者剩余是消费者愿意支付的价格与实际支付价格之间的差额。在需求曲线和价格线之间的面积表示消费者 剩余，可以通过定积分计算。
生产者剩余计算
生产者剩余是生产者实际得到的价格与愿意接受的最低价格之间的差额。在供给曲线和价格线之间的面积表示 生产者剩余，同样可以通过定积分计算。
01
通过定积分求解绕x轴或y轴旋转一周所得旋转体的体积。
平行截面面积为已知的立体体积计算
02
利用定积分将立体划分为无数个平行截面，通过截面面积和高
度求解体积。
参数方程表示立体体积计算
03
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分求解体积。
曲线弧长求解方法
1 2
直角坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在直角坐标系下的弧长。
参数方程表示曲线弧长计算
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分 求解弧长。
3
极坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在极坐标系下的弧长。
03
定积分在物理学中应用
变力做功问题求解方法
微元法求解变力做功
通过将变力做功的过程划分为无数个微小的 元过程，每个元过程中力可视为恒力，从而 利用定积分求解变力做功。
定积分在几何中的应用 课件
S= b (f (x) g(x))dx. a
思考：如何利用定积分表示上图2平面图形ABCD的面积？
提示：选取y为积分变量，积分区间为［a,b］，则图中平面
图形ABCD的面积为S
b
a (f2 (y) f1(y))dy.
【知识点拨】
1.定积分与各个小曲边梯形面积的关系
如果f(x)在［a,b］上有时取正值，
有时取负值时，且直线x=a,x=b,y=0
与曲线y=f(x)围成的各个小曲边梯形
的面积S1,S2,S3，那么f(x)在积分区间［a,b］上的定积分等
于这些小曲边梯形面积的代数和，即有
b
a f
(x)dx
S1
S2
S3.
2.对于不规则平面图形面积的求法 定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形， 一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的 和与差求面积.对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利 用相关面积公式求解.
y y
及x ,
1x 3
x y 2,
y
1 3
x
得交点(1,1)，(0,0)，(3，-1),
所围图形如图中阴影部分所示，
所以
S＝
1
[
x ( 1 x)]dx
3
[(2
x
)
(
1
x)]dx
0
3
1
3
＝
1
(
x 1 x)dx
3(2 x 1 x)dx
0
3
1
3
＝( 2 3
3
x2
1 6
x2)
10
4
【误区警示】
【防范措施】 1.求被积函数f(x)与函数F(x)是计算定积分的关键 当图象为折线时，对应的函数为分段函数，要分别来求.本例 主要考查由分段函数的图象求函数式，考查定积分在计算平 面图形面积中的运用.突出体现数形结合思想以及计算能力， 求出被积函数f(x)以及函数F(x)的解析式是关键.
思考：如何利用定积分表示上图2平面图形ABCD的面积？
提示：选取y为积分变量，积分区间为［a,b］，则图中平面
图形ABCD的面积为S
b
a (f2 (y) f1(y))dy.
【知识点拨】
1.定积分与各个小曲边梯形面积的关系
如果f(x)在［a,b］上有时取正值，
有时取负值时，且直线x=a,x=b,y=0
与曲线y=f(x)围成的各个小曲边梯形
的面积S1,S2,S3，那么f(x)在积分区间［a,b］上的定积分等
于这些小曲边梯形面积的代数和，即有
b
a f
(x)dx
S1
S2
S3.
2.对于不规则平面图形面积的求法 定积分只能用于求曲边梯形的面积，对于非规则的曲边梯形， 一般要将其分割或补形为规则的曲边梯形，再利用定积分的 和与差求面积.对于分割或补形中的多边形的面积，可直接利 用相关面积公式求解.
y y
及x ,
1x 3
x y 2,
y
1 3
x
得交点(1,1)，(0,0)，(3，-1),
所围图形如图中阴影部分所示，
所以
S＝
1
[
x ( 1 x)]dx
3
[(2
x
)
(
1
x)]dx
0
3
1
3
＝
1
(
x 1 x)dx
3(2 x 1 x)dx
0
3
1
3
＝( 2 3
3
x2
1 6
x2)
10
4
【误区警示】
【防范措施】 1.求被积函数f(x)与函数F(x)是计算定积分的关键 当图象为折线时，对应的函数为分段函数，要分别来求.本例 主要考查由分段函数的图象求函数式，考查定积分在计算平 面图形面积中的运用.突出体现数形结合思想以及计算能力， 求出被积函数f(x)以及函数F(x)的解析式是关键.
( 人教A版)定积分在几何中的应用课件 (共36张PPT)
A.b[f(x)－g(x)]dx a
C.b|f(x)－g(x)|dx a
B.b[g(x)－f(x)]dx a
D.b[fx－gx]dx
a
解析：因为 f(x)，g(x)两条曲线上下位置关系不确定，故选 C.
答案：C
2．曲线 y＝x2 与直线 x＋y＝2 围成的图形面积为( )
A．5
9 B.2
C．4 解析：如图，解方程组y＝x2，
t 0，12
1 2
12，1
S′ －
0
＋
S
极小值
所以当t＝12时，S最小，且Smin＝14.
怎样解答与曲边图形有关的综合问题？ 解决与曲边图形有关的综合问题，关键是要正确分析题意，先分清是求曲边 图形面积，还是利用曲边图形面积解决其他问题，再正确作出图形，确定积 分区间和被积函数，然后根据条件，建立等量关系或方程进行求解．
x
∴S＝
2 x2dx＋
x0 x0
[x2－(2x0x－x02)]dx
0
2
＝112x30.
∴112x30＝112，x0＝1. ∴切点为(1,1)，切线方程为 y＝2x－1.
因对图形特征认识不清致误
[典例] 求由抛物线 y2＝8x(y＞0)与直线 x＋y－6＝0 及 y＝0 所围成图形的面积 S.
[解析] 由题意，作出简图(如图)并解方程组y2＝8xy＞0 x＋y－6＝0 得 x＝2， 所以 y2＝8x(y＞0)与直线 x＋y－6＝0 的交点坐标为(2,4)．
0
0
8x)dx. (2)应用定积分求平面图形的面积时，正确分析图形特征，将复杂的面积问题分为
几部分来求解，若更换积分变量应相应的将被积函数及积分界限均改变.
[随堂训练] 1．若 y＝f(x)与 y＝g(x)是[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线 x
定积分的简单应用PPT优秀课件(定积分在几何中的应用等3个)
x轴所围成的图形是什么？各顶点的坐标
是什么？
y
y＝x－4
4
y = 2x
(8,4)
(0,0)
O
4 8x
(4,0)
思考2：如何将该图形的面积转化为曲边
梯形的面积？ y
y＝x－4
4 C
y = 2x
B
A
O
D4 8 x
S＝S曲边梯形OABC－S三角形ABD.
思考3：该图形的面积用定积分怎样表
示？
y
y＝x－4
f(x)所围成的曲边梯形的面积为S，则.
b
S = ò | f(x)| dx a
y y＝|f(x)|
Oa
bx
y＝f(x)
作业： P58练习：（1），（2）. P60习题1.7B组：1，2，3.
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
DA
O
1
y2＝x x
蝌 1
S= xdx-
1x2dx
0
0
思考4：利用微积分基本定理计算，该图
形的面积等于多少？
y
y＝x2
y2＝x
Hale Waihona Puke 1C BDAO
1
x
S
=
2x23 3
|10
-
1x3 3
|10=
1 3
探究（二）：直线y＝x－4与曲线y = 2x 及x轴所围成图形的面积
高中数学PPT课件-定积分在几何中的应用
S1
S2
新知探究
选x为积分变量x∈[-2,3]
(1) x [-2, 0], dA1 = (x3 - 6x - x2 )dx
(2) x [0, 3], dA2 = (x2 - x3 + 6x)dx
于是所求面积 A A A
1
2
A = 0 (x3 - 6x - x2 )dx + 3 (x2 - x3 + 6x)dx
S = S1 + S2
4
= 0
2xdx
+
8 4
2xdx -
8 4
x
-
4
dx
= 2
2
3
x2
3
4 0
+
2
2 3
3
x2
8 4
-
1 2
x-4 2
8 4
= 40 3
新知探究
例3
计算由曲线 y = x3 6x 和 y = x2 所围成的图形的面积.
首先画出草图，并设法把所求图形的面积问题转化为求两部分的面积问题.其次，确定被积函数 和积分的上、下限.
面积元素为[j右(y)-j左(y)]dy, 面积为
S
d
c
[右
(
y)
左(
y)]dy
新知探究
例1 计算两条抛物线
在第一象限所围图形的面积 .
首先根据题意画出曲线
的草图，在图中找出所求面积的区域，图形结合，直观
解题；其次，为了确定出被积函数和积分的上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标.
新知探究
x3
1 0
= 2-1=1 33 3
x x + dx
新知探究
定积分在几何中的应用 课件
S(t) ↘
↗
4
t
1
0,
1
由表知,当 t= 2 时,S(t)取极小值 4 , 也就是在区间(0,1)上的最小值.
∴当 t=
1
时,使
2
S=S1+S2 最小.
反思涉及不规则平面图形的面积问题,都可考虑采用定积分来处理,
在解决此类问题时,要注意两点:(1)利用定积分正确地表示各相关
量间的关系;(2)定积分的正确计算.
1
S= 0
1
x- - 3 x
3
dx + 1
1
(2-x)- - 3 x
dx
3
1
1
=
x + x dx +
2-x + x dx
3
3
0
1
2 3 1 2 1
1 2 1 2 3
2
=
x + x |0 + 2x- x + x |1
3
6
2
6
2 1
1
= + + 2x- x 2 |13
3 6
3
5
1
1 13
= +6− × 9−2+ =
平行线 l.曲线 C 与直线 x=0,x=1 及直线 l 围成的图形包括两部分,
面积分别记为 S1,S2.
(1)求 t 的值,使 S1=S2;
(2)求 t 的值,使 S=S1+S2 最小.
分析:应先根据题意及用定积分求曲边多边形面积的方法得出
用 t 表示的两图形的面积 S1,S2 的表达式,再根据各小题的条件求解.
c
解析:由定积分的几何意义知 S= ( x)dx − a
↗
4
t
1
0,
1
由表知,当 t= 2 时,S(t)取极小值 4 , 也就是在区间(0,1)上的最小值.
∴当 t=
1
时,使
2
S=S1+S2 最小.
反思涉及不规则平面图形的面积问题,都可考虑采用定积分来处理,
在解决此类问题时,要注意两点:(1)利用定积分正确地表示各相关
量间的关系;(2)定积分的正确计算.
1
S= 0
1
x- - 3 x
3
dx + 1
1
(2-x)- - 3 x
dx
3
1
1
=
x + x dx +
2-x + x dx
3
3
0
1
2 3 1 2 1
1 2 1 2 3
2
=
x + x |0 + 2x- x + x |1
3
6
2
6
2 1
1
= + + 2x- x 2 |13
3 6
3
5
1
1 13
= +6− × 9−2+ =
平行线 l.曲线 C 与直线 x=0,x=1 及直线 l 围成的图形包括两部分,
面积分别记为 S1,S2.
(1)求 t 的值,使 S1=S2;
(2)求 t 的值,使 S=S1+S2 最小.
分析:应先根据题意及用定积分求曲边多边形面积的方法得出
用 t 表示的两图形的面积 S1,S2 的表达式,再根据各小题的条件求解.
c
解析:由定积分的几何意义知 S= ( x)dx − a
定积分及其应用(高数) PPT课件
定理2 设 u( x),v( x)在区间[a,b]上有连续的导数,
则
aabbuuddvvu[uvvba]ba
bb
vvdduu
aa
定积分的分部积分公式
由不定积分的分部积分法 及N--L公式.
类似于不定积分的分部积分法：“反、对、幂、指、三”
（3）重要公式
奇、偶函数在对称区间上的定积分性质 三角函数的定积分公式 周期函数的定积分公式
方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积取负号.
A1 A2
A3 A4
b
a f ( x)dx
A1 A2
A3
A4
2.定积分的性质
性质1
b
a [
f
(
x)
g(
x)]dx
b
a
f
(
x)dx
b
a g(
x)dx
性质2
b
a kf
(
x)dx
k
b
a
f
(
x)dx
( k 为常数)
性质3 （区间可加性）
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
区间上的定积分都相等.
例1 设
f
(
x)
2 5
x
0
x
1
,
求
1 x2
2
0
f
( x)dx.
解
2
0
f
( x)dx
1 0
f
( x)dx
2
1
f
( x)dx
1
2xdx
2
5dx
6.
0
1
例2 求