三角形中线与角平分线专题(二)
解三角形之三角形的角平分线和中线问题(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题】备战2023年高考数学
【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题05解三角形之三角形中线和角平分线问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：一、梳理必备知识在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 5.三角形中线问题如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）6.角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ①等面积法ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A AAB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯（常用）②内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC =③边与面积的比值：ABDADCS AB AC S =【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。
(二)三角形的中线、高线与角平分线专题训练
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图 ３
第 １题 图
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第 ４题 图
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（ 答 案在 第 １ ９页 ）
１ ４
Ｂ ． 在 三 角 形 外 部 Ｃ ． 在 三 角 形 的 一 边 上
第 １题 图
（ ２ ） 如 图 ２所 示 ， Ｄ 是 △ Ｂ Ｃ 的高 线 ， 则
三角形角平分线专题讲解
二 由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线（一）、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地去猜想，按一定的规律去尝试。
下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。
如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。
图1-1BDBC分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。
但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。
简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目的。
这里面用到了角平分线来构造全等三角形。
另外一个全等自已证明。
此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。
自已试一试。
七年级7.1.2 三角形的高、中线与角平分线(专题课时练含答案)-
7.1.2 三角形的高、中线与角平分线◆知能点分类训练知能点1 三角形的高、中线与角平分线1．下列说法正确的是（）．A．直角三角形只有一条高B．如果一个三角形有两条高与这个三角形的两边重合，•那么这个三角形是直角三角形 C．三角形的三条高，可能都在三角形内部，也可能都在三角形外部D．三角形三条高中，在三角形外部的最多只有1条2．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）．A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形3．如图所示，画△ABC的一边上的高，下列画法正确的是（）．4．三角形的角平分线是（）．A．直线 B．射线 C．线段 D．以上都不对5．如图所示，AM是△ABC的中线，那么若用S1表示△ABM的面积，用S1表示△ACM的面积，则S1与S2的大小关系是（）．A．S1>S2B．S1<S2C．S1=S2D．以上三种情况都可能6．下列说法：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；•②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有（）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．如图所示，已知△ABC：（1）过A画出中线AD；（2）画出角平分线CE；（3）作AC边上的高．知能点2 三角形的稳定性8．下列四个图形中，具有不稳定性的图形是（）．9．照相机的支架是三条腿，这是利用了三角形的_________．•现实生活中还有利用三角形的这个特性的例子吗？如果知道，请写出来：________．10．如图所示，建筑工人在安装门窗时，先要把木头门窗固定好，这样搬运和安装起来才不会变形，请你设计一种方法固定木头门窗，这样做依据的数学道理是什么？◆规律方法应用11．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，BC=12，AC=8，AD=6，求BE的长．12．在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形各边的长．◆开放探索创新13．将一个三角形的三边中点顺次连结可得到一个新的三角形，通常称为“中点三角形”，如图①所示，△DEF是△ABC的中点三角形．（1）画出图中另外两个三角形的中点三角形．（2）用量角器和刻度尺量△DEF和△ABC的三个内角和三条边，看看你有什么发现？并通过三个图的重复度量实验，验证你的发现．（3）你知道S△ABC和S△EDF的关系吗？怎样得出来的？（4）根据（2）中的结论，解答下列问题，如图所示，CD是△ABC的中线，DE是△ACD的中线，EF为△ADE的中线，若△AEF的面积为1cm2，求△ABC的面积．①②③④答案:1．B 2．C 3．C 4．C5．C （点拨：等底等高）6．A 7．略 8．D9．稳定性三条腿的凳子等10．可在门（窗）角上钉一根木条，或用木杆顶在门（窗）角上，•这样做根据的数学道理是三角形的稳定性．11．解：∵S△ABC =12BC·AD=12AC·BE，∴BC·AD=AC·BE，∴BE=1268BC ADAC⨯==9．12．解：设AB=x（cm），则AD=DC=12x（cm）．（1）若AB+AD=12，即x+12x=12．所以x=8．即AB=AC=8cm，则DC=4cm，故BC=15-4=11cm，此时AB+AC>BC，所以三边长分别为8cm，8cm，11cm．（2）若AB+AD=15，即x+12x=15，所以x=10，则DC=5cm，故BC=12-5=7cm，显然此时三角形存在，所以三边长分别为10cm，10cm，7cm．综上所述，此三角形的三边长分别为：8cm，8cm，11cm或10cm，10cm，7cm．13．（1）略（2）角度相同，中点三角形各边是原三角形各边长度的一半．（3）经度量知中点三角形与原三角形相比，底和高的长度分别是原三角形的底与高的12，所以面积是原三角形面积的14．（4）△ABC面积为8cm2，解略．。
中线与角平分线的关系
中线与角平分线的关系
中线是一边中点和对应顶点的连线。
角平分线是将一角平分并与对边相交的线段。
只有为等腰三角形时或者等边三角形时，两者顶角平分线才与对边中线重合。
三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点。
由定义可知，三角形的中线是一条线段。
三条中线交于一点。
这点称为三角形的重心。
每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。
“中心”与“重心”很容易弄混淆，“中心”只存在于正三角形，也就是等边三角形当中。
在等边三角形中，其内心，外心，重心，垂心都在一个点上，于是称之为中心。
内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点。
外心：三角形三条边的中垂线的交点叫作三角形的外心，即外接圆圆心。
重心：三角形三条中线的交点叫作三角形的重心。
垂心：三角形三条垂线的交点叫作三角形的垂心。
《角平分线》第二课时
拓展：其他相关面积定理介绍
海伦公式
海伦公式是一个用于求解三角形面积的公式，它基于三角 形的三边长。与面积比例定理不同，海伦公式不需要知道 三角形的高或角平分线。
三角形中的中线与面积
三角形的中线与面积之间也有密切的关系。中线将三角形 分为两个面积相等的子三角形，这一性质在求解某些问题 时非常有用。
相似三角形的面积比
小组交流讨论和成果展示
分组交流
讨论互动
将学生分成若干小组，每组选派一名代表 汇报本组的实验操作和探究活动成果。
组织各小组之间进行讨论和交流，分享彼 此的经验和发现，提出问题和建议。
成果展示
评价反馈
每组准备一份展示材料，包括实验操作和 探究活动的照片、记录、分析等内容，向 全班展示本组的成果。
教师对学生的实验操作和探究活动进行评价 和反馈，肯定优点和指出不足，提出改进意 见和建议。
表示方法
若$OC$是$angle AOB$的角平 分线，则可以用符号表示为 $angle AOC = angle BOC$。
角平分线基本性质介绍
01
02
03
性质一
角平分线上的点到角两边 的距离相等。
性质二
角的内部到角的两边距离 相等的点在角的平分线上。
性质应用
利用角平分线的性质，可 以解决与角平分线有关的 距离和角度问题。
05 实验操作和探究活动设计
实验操作：测量和绘制角平分线
准备工具
直尺、量角器、铅笔、橡皮等 绘图工具。
绘制角平分线
使用直尺和铅笔，按照角平分线 的定义，将给定角平分为两个相 等的小角，并绘制出角平分线。
测量角度
使用量角器测量给定角的大小 ，并标记出来。
注意事项
三角形的垂线角平分线和中线的关系
三角形的垂线角平分线和中线的关系在几何学中，三角形是指由三个边连接而成的多边形。
三角形具有很多有趣的性质和特点，其中包括垂线、角平分线和中线。
本文将探讨三角形的垂线、角平分线和中线之间的关系。
一、垂线与角平分线的关系1. 垂线的定义与特点垂线是指从一个点到一条线段或直线所作的垂直线。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条垂线，与对边相交，形成一个直角。
这条垂线被称为该顶点对边的垂线。
2. 角平分线的定义与特点角平分线是指把一个角平分为两个相等角的线段或射线。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条角平分线，将对边对应的两个角平分为相等的两个角。
3. 垂线与角平分线的关系在三角形中，垂线和角平分线可以有以下关系：（1）垂线和角平分线可以是同一条线段或射线。
当一个顶点上的垂线同时是该顶点角的角平分线时，这条线段或射线既是垂线，又是角平分线。
（2）垂线和角平分线可以相交于一点。
当一个顶点上的垂线和角平分线不是同一条线段或射线时，它们将相交于一点，该点同时是垂线和角平分线的交点。
二、垂线与中线的关系1. 中线的定义与特点中线是指连接一个三角形的一个顶点和中点的线段。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条中线，将对边对应的两个中点连接起来。
2. 垂线与中线的关系在三角形中，垂线和中线可以有以下关系：（1）垂线和中线可以是同一条线段。
当一个顶点上的垂线同时经过对边的中点时，这条线段既是垂线，又是中线。
（2）垂线和中线可以相交于一点。
当一个顶点上的垂线不经过对边的中点时，它们将相交于一点，该点同时是垂线和中线的交点。
三、角平分线与中线的关系1. 角平分线的定义与特点角平分线是指把一个角平分为两个相等角的线段或射线。
在三角形中，我们可以通过一个顶点作一条角平分线，将对边对应的两个角平分为相等的两个角。
2. 角平分线与中线的关系在三角形中，角平分线和中线可以有以下关系：（1）角平分线和中线可以是同一条线段或射线。
当一个顶点上的角平分线同时经过对边的中点时，这条线段既是角平分线，又是中线。
(完整)全等三角形和角平分线专题讲解和练习题
C EODBA21C EDB A21OA全等三角形专题讲解专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”)2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS"） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”）4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS"）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等,角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢?(1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知:如图1，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O,且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．图1（2）条件不足,会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维,逐步分析，探索结论成立的条件,从而得出答案．例2 如图2，已知AB=AD ，∠1=∠2,要使△ABC ≌△ADE,还需添加的条件是（只需填一个）_____． 图2（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时,当边或角的关系不明显时,可通过添加辅助线作为桥梁,沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知:如图3，AB=AC,∠1=∠2． 求证：AO 平分∠BAC ．分析：要证AO 平分∠BAC ，即证∠BAO=∠BCO,要证∠BAO=∠BCO,只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．图3GABF DEC ODA CBFCEDBA（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：如图4，在Rt △ABC 中,∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种:①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题,体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数 学知识按以下要求设计一测量方案﹒（1）画出测量图案﹒（2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）﹒ 图5 (3)计算A 、B 的距离(写出求解或推理过程，结果用字母表示)﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1）题,测量图案如图5所示．第（2）题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB,这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第（3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：（1)如图6示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O,在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB,这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．（3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ． 又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ．∴CD=AB=a ． 图6评注：本题的背景是学生熟悉的,提供了一个学生动手操作的机会，重点考查了学生的操作能力,培养了 学生用数学的意识﹒练习:1．已知：如图7，D 是△ABC 的边AB 上一点,AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ． 求证：AE=CE ．C ED B AAO Q M CPBN A D C PBHF EGAD CBADCFBEA2．如图8，在△ABC 中，点E 在BC 上,点D 在AE 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ．求证：BD=CD ．3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种方法:如图9所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ，再取PM=QN,连接PN 、QM,得交点C ，则射线OC 平分∠AOB ．你能说明道理吗？4．如图10，△ABC 中，AB=AC,过点A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图10中找出3对全等三角形,并对其中一对全等三角形给出证明．5．已知:如图11，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形,并给予证明．所添条件为__________,你得到的一对全等三角形是△_____≌△_____．6．如图12，∠1=∠2，BC=EF ，那么需要补充一个直接条件_____（写出一个即可）,才能使△ABC ≌△DEF ．7图13，在△ABD 和△ACD 中，AB=AC,∠B=∠C ．求证：△ABD ≌△ACD ．AODCBAFCGBEAF DCB EOED218．如图14，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证:EG=GF．10．已知：如图16，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．11．如图17，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是(）﹒（A）带①和②去 (B）带①去（C)带②去（D）带③去12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图18中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并说明其中的道理．13．如图19，将两根钢条AA’、BB’的中点O连在一起,使AA’、BB’可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件,则A' B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OAB的理由是（ )（A)边角边（B）角边角（C）边边边（D）角角边专题二角的平分线从一个角的顶点出发,把一个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分,而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等,或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．(1)利用角的平分线的性质证明线段或角相等F ED CB A 21A FH DCGBEADCBE AF DC BE C E D例6 如图20，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ， BD ⊥OA 于D ，交点为C ．求证：AC=BC ．说明：本题若用全等方法证明点C 到OA 、OB 距离相等,浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法,不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理,应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法． 例7 已知:如图21,△ABC 中, BD=CD ，∠1＝∠2．求证：AD 平分∠BAC ．说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形 ①过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图22，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ． 求证：AE=ED ．分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E 是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E 分别作AB 、BC 、CD 的垂线段．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图23，在△ABC 中,AD 平分∠BAC,∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC,连接DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线 例10 如图24,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．分析：注意到AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，于是可延长CE 交AB 于点F,即可构造全等三角形．．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图25,在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 交AC 于点E ．易证△AED 是等腰三角形． 因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形．CF E BADQPCBACB AD EA例11 如图26，在△ABC 中，AB=AC,BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：CD=21BE ．分析：要证CD=21BE ，可将BE 分成两条线段，然后再证明CD 与这两条线段都相等．练习：1．如图27，在△ABC 中，∠B=90º,AD 为∠BAC 的平分线，DF ⊥AC 于F,DE=DC ．求证：BE=CF ．2．已知:如图28，AD 是△ABC 的中线,DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ．求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线；（2）AB=AC ．3．在△ABC 中,∠BAC=60º，∠C=40º，AP 平分∠BAC 交BC 于P,BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ． 求证：AB+BP=BQ+AQ ．4．如图30，在△ABC 中,AD 平分∠BAC ，AB=AC+CD ． 求证：∠C=2∠B ．5．如图31，E 为△ABC 的∠A 的平分线AD 上一点，AB ＞AC ． 求证:AB —AC ＞EB-EC ．CB AD 4321C E BADF CE BAD CEBADCBADACBD6．如图32,在四边形ABCD 中，BC ＞BA ，AD=CD ，BD 平分∠ABC ． 求证：∠A+∠C=180º．7．如图33所示，已知AD ∥BC ，∠1=∠2,∠3=∠4,直线DC 过点E 作交AD 于点D ，交BC 于点C ．求证：AD+BC=AB ．8．已知,如图34，△ABC 中，∠ABC=90º，AB=BC,AE 是∠A 的平分线,CD ⊥AE 于D ．求证:CD=21AE ．9．△ABC 中，AB=AC,∠A=100º，BD 是∠B 的平分线．求证：AD+BD=BC ．10．如图36，∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为（ )A ．9B ．8C ．7D ．611．如图37，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD 交BC 于点D ，且D 是BC 的中点．求证：AB=AC ．A CF E B M D12．已知：如图38，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 是BC 的中点，EF ∥AD ，交AB 于M ，交CA 的延长线于F ．求证：BM=CF ．。
(完整版)三角形角平分线、中线、高线证明题
(完整版)三角形角平分线、中线、高线证明题2．证题的思路：找夹角（）性质 1、全等三角形的SAS已知两边 找直角（ HL ）对应角相等、对应边相找第三边（ SSS等。
）2、全等三角形的若边为角的对边，则找 随意角（ AAS）找已知角的另一边（ ）已知一边一角SAS 对应边上的 高对应相边为角的邻边 找已知边的对角（）AAS等。
找夹已知边的另一角（）ASA3、全等三角形的找两角的夹边（）对应角均分线相等。
已知两角ASA4、全等三角形的 找随意一边（）AAS对应中线相等。
5、全等三角形面积相等。
6、全等三角形 周长相等。
( 以上能够简称 : 全等三角形的对应元素相等 ) 7、三边对应相等的两个三角形全等。
（ SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
(ASA)10、两个角和此中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
(HL)全等三角形问题中常有的协助线的作法常有协助线的作法有以下几种：1) 碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思想模式是全等变换中的“对折” ．2) 碰到三角形的中线，倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转” ．3) 碰到角均分线，能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点经常是角均分线的性质定理或逆定理． 4) 过图形上某一点作特定的均分线， 结构全等三角形， 利用的思想模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法， 详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延伸，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的相关性质加以说明． 这类作法，合适于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特别方法：在求相关三角形的定值一类的问题时， 常把某点到原三角形各极点的线段连结起来，利用三角形面积的知识解答．三角形协助线做法图中有角均分线，可向两边作垂线。
专题02 三角形的高、中线、角平分线 (知识点串讲)(解析版)
专题02 三角形的高、中线、角平分线重点突破知识点一三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。
知识点二三角形的中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。
性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。
重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
（选学）三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。
知识点三三角形的角平分线概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
考查题型考查题型一画三角形的高典例1（2020·泉州市期中）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】经过一个顶点作对边所在的直线的垂线段，叫做三角形的高，根据概念即可得出.【详解】根据定义可得A是作BC边上的高，C是作AB边上的高，D是作AC边上的高.故选A.变式1-1．（2018·梁平区期末）在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】试题解析：从左向右第一个图形中，BE不是线段，故错误；第二个图形中，BE不垂直AC，所以错误；第三个图形中，是过点E作的AC的垂线，所以错误；第四个图形中，过点C作的BE的垂线，也错误.故选D.变式1-2．（2020·海淀区期末）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】详解：三角形的高必须是从三角形的一个顶点向对边或对边的延长线作的垂线段.可以判断A,B,C虽然都是从三角形的一个顶点出发的，但是没有垂直对边或对边的延长线.故选D.变式1-3．（2020·苏州市期中）如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC中AC边上的高是（）A．CF B．BE C．AD D．CD【答案】B【解析】试题提示：根据图形，BE是△ABC中AC边上的高．故选B．变式1-4．（2019·杭州市期中）如图AD⊥BC于点D，那么图中以AD为高的三角形的个数有（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】结合三角形高的定义可知，以AD为高的三角形有：△ABD，△ABE，△ABC，△ADE，△ADC，△AEC，共6个.故选D考查题型二与三角形高有关的计算典例2．（2019·济南市期中）如图，在直角三角形ABC中，点B沿CB所在直线远离C点移动，下列说法错误的是( )A．三角形面积随之增大B．∠CAB的度数随之增大C．BC边上的高随之增大D．边AB的长度随之增大【答案】C【提示】根据三角形的面积公式、角和线段大小的比较以及三角形高的定义进行解答即可．【详解】解：A、在直角三角形ABC中，S△ABC=12BC•AC，点B沿CB所在直线远离C点移动时BC增大，则该三角形的面积越大．故A正确；B、如图，随着点B的移动，∠CAB的度数随之增大．故B正确；C、BC边上的高是AC，线段AC的长度是不变的．故C错误．D、如图，随着点B的移动，边AB的长度随之增大．故D正确；故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形的面积，角和线段大小的比较以及三角形高的定义，解题时要注意“数形结合”数学思想的应用．变式2-1．（2020·毕节市期末）如图，△ABC中，D，E分别是BC上两点，且BD=DE=EC，则图中面积相等的三角形有（）A．4对B．5对C．6对D．7对【答案】A【提示】根据三角形的面积公式，知：只要同底等高，则两个三角形的面积相等，据此可得面积相等的三角形．【详解】由已知条件，得△ABD，△ADE，△ACE，3个三角形的面积都相等，组成了3对，还有△ABE和△ACD的面积相等，共4对.故选A.【名师点拨】本题考查了三角形的相关知识，解题的关键是熟练的掌握三角形面积公式与运用.变式2-2．（2020·龙岩市期中）如图，AD，CE是△ABC的两条高，已知AD=10，CE=9，AB=12，则BC的长是（）A．10 B．10.8 C．12 D．15【答案】B【解析】∵AD，CE是△ABC的两条高，AD=10，CE=9，AB=12，∴△ABC的面积=12×12×9=12BC⋅AD=54，即12BC⋅10=54，解得BC=10.8.故选B.变式2-3．（2018·合肥市期中）如图所示，是ABC∆的三条高，，则CE=（）A．B．C．D．3【答案】C【提示】根据三角形的面积公式解答即可．【详解】解：因为AD、CE、BF是△ABC的三条高，，所以可得：12BC•AD=12AB•CE，可得：CE=＝＝．【名师点拨】此题考查三角形的面积，关键是根据同一三角形面积相等来提示．变式2-4．（2018·烟台市期末）如图，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC等于（）A．90°B．130°C．270°D．315°【答案】B【详解】根据∠A=50°可得∠ABC+∠ACB=130°，根据CD⊥AB，BE⊥AC可得∠ABE=40°，∠ACD=40°，则∠PBC+∠PCB=130°－40°－40°=50°，则∠BPC=180°－50°=130°.故选：B.变式2-5．（2019·荆门市期末）如图，三角形ABC，∠BAC=90︒，AD是三角形ABC的高，图中相等的是（）．A．∠B=∠C B．∠BAD=∠B C．∠C=∠BAD D．∠DAC=∠C【答案】C【提示】根据直角三角形的性质可得∠B+∠C=90︒，由AD是三角形ABC的高，可得∠BDA=∠ADC=90︒，再运用三角形内角和定理依次判断即可.【详解】∵∠BAC=90︒，∴∠B+∠C=90︒，故选项A错误；∵AD是三角形ABC的高，∴∠BDA=90︒，∴∠BAD+∠B=90︒，故选项B错误；∵∠BAC=90︒，∴∠BAD+ ∠DAC=90︒，又∵∠ADC=90︒，∴∠DAC+ ∠C=90︒，∴∠C=∠BAD，故选项C正确，选项D错误.故选C.【名师点拨】本题考查了三角形的高线以及三角形的内角和定理，属于基础题型.变式2-6．（2019·济南市期中）如图△ABC中，分别延长边AB，BC，CA，使得BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为( )A．12 B．14 C．16 D．18【提示】连接AE 和CD ，要求三角形DEF 的面积，可以分成三部分（△FCD+△FCE+△DCE ）来分别计算，三角形ABC 是一个重要的条件，抓住图形中与它同高的三角形进行提示计算，即可解得△DEF 的面积． 【详解】解：连接AE 和CD ，∵BD=AB ，∴S △ABC =S △BCD =1，S △ACD =1+1=2， ∵AF=3AC ， ∴FC=4AC ，∴S △FCD =4S △ACD =4×2=8， 同理可以求得：S △ACE =2S △ABC =2，则S △FCE =4S △ACE =4×2=8； S △DCE =2S △BCD =2×1=2；∴S △DEF =S △FCD +S △FCE +S △DCE =8+8+2=18． 故选：D ．【名师点拨】本题考查三角形面积及等积变换的知识，注意高相等时三角形的面积与底成正比的关系，并在实际问题中的灵活应用，有一定难度． 考查题型三 三角形中线有关的长度计算典例3．（2018·秦皇岛市期中）如图，AE 是ABC 的中线，已知EC 4=，DE 2=，则BD 的长为( ) A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】A【解析】试题解析：∵AE 是△ABC 的中线，EC=4， ∴BE=EC=4， ∵DE=2，∴BD=BE-DE=4-2=2． 故选A ．变式3-1．（2019·肇庆市期中）已知AD 是△ABC 的中线，且△ABD 比△ACD 的周长大3cm ，则AB 与AC 的差为( ) A ．2cm B ．3cmC ．4cmD ．6cm【答案】B【提示】根据三角形中线的定义可得BD=CD ，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 【详解】解：∵AD 是△ABC 的中线，∴△ABD与△ACD的周长之差=（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）=AB-AC，∵△ABD比△ACD的周长大3cm，∴AB与AC的差为3cm．故选B．【名师点拨】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两三角形周长的差等于AB-AC是解题的关键．变式3-2．（2020·哈尔滨市期中）如图，三角形ABC中，D为BC上的一点，且S△ABD=S△ADC，则AD为（）A．高B．角平分线C．中线D．不能确定【答案】C【解析】解：设BC边上的高为h，∵S△ABD=S△ADC，∴，故BD=CD，即AD是中线．故选C．变式3-3．（2019·临清市期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB 与AC的和为13cm，那么AC的长为（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm【答案】B【提示】根据中线的定义知CD=BD．结合三角形周长公式知AC-AB=5cm；又AC+AB=13cm．易求AC的长度．【详解】∵AD是BC边上的中线，∴D为BC的中点，CD=BD．∵△ADC的周长-△ABD的周长=5cm．∴AC-AB=5cm．又∵AB+AC=13cm，∴AC=9cm．即AC的长度是9cm．故选B.【名师点拨】本题考查了三角形的中线，根据周长的差表示出AC-AB=5cm，是解题的关键．考查题型四三角形中线有关的面积计算典例4．（2020·渠县期中）如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点， 且△ABC 的面积为4cm 2，则△BEF 的面积等于（ ） A ．2cm 2 B ．1cm 2 C ．0．5 cm 2 D ．0．25 cm 2【答案】B【提示】依据三角形的面积公式及点D 、E 、F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，推出14BEFABC S S ∆=从而求得△BEF 的面积．【详解】解：∵点D 、E 、F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点， 14BEF ABC S S ∆∆∴=∵△ABC 的面积是4， ∴S △BEF =1． 故选：B【名师点拨】本题主要考查了与三角形的中线有关的三角形面积问题，关键是根据三角形的面积公式S= 12×底×高，得出等底同高的两个三角形的面积相等．变式4-1．（2018·鄂尔多斯市期中）如图，△ABC 的面积为12cm 2，点D 在BC 边上，E 是AD 的中点，则△BCE 的面积是（ ） A ．4cm 2 B ．6cm 2C ．8cm 2D ．6cm 2【答案】B【解析】∵E 是AD 的中点，∴S △BDE =12S △ABD ，S △DEC =12S △ADC ， ∴△BCE 的面积=S △BDE +S △DEC =12×（S △ABD +S △ADC ）=12×△ABC 的面积=6， 故选B ．名师点拨：本题考查的是三角形的面积的计算，掌握三角形的一条中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．变式4-2．（2019·沧州市期末）如图，D ，E ，F 分别是边BC ，AD ，AC 上的中点，若S 阴影的面积为3，则△ABC 的面积是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【提示】利用三角形中线将三角形分成面积相等的两部分，111222ABDACDABC BDEABD ADFADC S SS SS SS ====，，，再得到1148BDEABC DEFABCSS SS ==，，所以83ABCSS =阴影部分即可得出. 【详解】∵D 为BC 的中点∴1122BDE ABD ADF ADC SS SS ==，，12DEF ADFS S =∴1148BDE ABC DEFABC S S S S ==， ∴BDE S △+DEF S △=14ABC S +18ABC S =38ABC S∴ABC S =83S 阴影部分=83×3=8故选：D【名师点拨】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形，根据中线找出图中三角形的面积关系是解决本题的关键.变式4-3．（2019·温州市期中）如图，在△ABC 中，点D 是BC 边上的一点，E ，F 分别是AD ，BE 的中点，连结CE ，CF ，若S △CEF ＝5，则△ABC 的面积为（ ） A ．15 B ．20C ．25D ．30【答案】B【提示】根据题意，利用中线分的三角形的两个图形面积相等，便可找到答案 【详解】解：根据等底同高的三角形面积相等，可得 ∵F 是BE 的中点， S △CFE ＝S △CFB ＝5，∴S △CEB ＝S △CEF +S △CBF ＝10， ∵E 是AD 的中点，∴S △AEB ＝S △DBE ，S △AEC ＝S △DEC ， ∵S △CEB ＝S △BDE +S △CDE ∴S △BDE +S △CDE ＝10 ∴S △AEB +S △AEC ＝10∴S △ABC ＝S △BDE +S △CDE +S △AEB +S △AEC ＝20故选：B．【名师点拨】熟悉三角形中线的拓展性质：分其两个三角形的面积是相等的，这样便可在实际问题当中家以应用. 考查题型五三角形重心的有关性质典例5．（2019·北京市期中）如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（）A．三边高的交点B．三条角平分线的交点C．三边垂直平分线的交点D．三边中线的交点【答案】D【提示】根据题意得：支撑点应是三角形的重心．根据三角形的重心是三角形三边中线的交点．【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心，∴三角形的重心是三角形三边中线的交点，故选D．【名师点拨】考查了三角形的重心的概念和性质．注意数学知识在实际生活中的运用．变式5-1．（2019·泉州市期中）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD和BE相交于点G，若AD=6，则AG的长度为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【提示】根据D、E分别是边BC，AC的中点，AD、BF相交于G，即可得出G为三角形的重心，利用重心的性质得出AG的长即可.【详解】∵D、E分别是边BC，AC的中点，AD、BF相交于G∴G为△ABC的重心∴AG=2DG∵AD=6∴AG=4故选C.【名师点拨】本题考查的是三角形的重心性质，能够判断出点G是三角形的重心是解题的关键.考查题型六三角形的角平分线典例6．（2019·滨州市期末）如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（）A ．59°B ．60°C ．56°D ．22°【答案】A【详解】根据题意可得，在△ABC 中，70,48︒︒∠=∠=C ABC ，则62︒∠=CAB ， 又AD 为△ABC 的角平分线，1262231︒︒∴∠=∠=÷=又在△AEF 中，BE 为△ABC 的高∴90159359︒︒︒∠=-∠=∴∠=∠=EFA EFA变式6-1．（2019·宁德市期末）如图，已知AE 是ΔABC 的角平分线，AD 是BC 边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE 的大小是（ ） A ．5° B ．13°C ．15°D ．20°【答案】C【提示】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=82°，又由AE 是∠BAC 的平分线，可求∠BAE=41°，再由AD 是BC 边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD-∠BAE ，问题得解． 【详解】在△ABC 中， ∵∠ABC=34°，∠ACB=64°, ∴∠BAC=180°−∠B−∠C=82°， ∵AE 是∠BAC 的平分线， ∴∠BAE=∠CAE=41°. 又∵AD 是BC 边上的高， ∴∠ADB=90°，∵在△ABD 中∠BAD=90°−∠B=56°， ∴∠DAE=∠BAD −∠BAE =15°. 【名师点拨】在本题中，我们需要注意到已知条件中已经告诉三角形的两个角，所以利用内角和定理可以求出第三个角，再有已知条件中提到角平分线和高线，所以我们可以利用角平分线和高线的性质计算出相关角，从而利用角的和差求解，在做几何证明题时需注意已知条件衍生的结论.变式6-2．（2019·信阳市期中）如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于点E ，△ABC 的面积为7，AB=4，DE=2，则AC 的长是（ ） A ．4B ．3C ．6D ．5【答案】B【解析】过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF=2，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3.故选B.变式6-3．（2019·合肥市期中）如图所示，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，则∠DAE 等于（）A．20°B．18°C．45°D．30°【答案】A【提示】根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出∠BAD=14°，∠CAD=54°，进而得出∠DAE的度数，进而得出答案．【详解】∵AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=76°，∠C=36°，∴∠BAD=14°，∠CAD=54°，∴∠BAE=12∠BAC=12×68°=34°，∴∠DAE=34°-14°=20°．故选：A．【名师点拨】此题主要考查了高线以及角平分线的性质，得出∠DAE的度数是解题关键．变式6-4．（2020·泰兴市期中）如图，BE、CF是△ABC的角平分线，∠A=50°，BE、CF相交于D，则∠BDC的度数是（）A．115°B．110°C．100°D．90°【答案】A【提示】由于∠A=50°，根据三角形的内角和定理，得∠ABC与∠ACB的度数和，再由角平分线的定义，得∠DBC+∠DCB的度数，进而求出∠BDC的度数．【详解】∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∵BE、CF是△ABC的角平分线，∴1122EBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，， ∴()1652EBC FCB ABC ACB ∠+∠=⨯∠+∠=︒， ∴∠BDC=180°﹣65°=115°， 故选A ．【名师点拨】考查三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.变式6-5．（2019·西安市期末）如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC 的大小为( )A ．135°B ．120°C ．90°D ．60° 【答案】B【提示】由条件可知O 为三角形三个内角的角平分线的交点，则可知∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）=12（180°-∠A ），在△BOC 中利用三角形的内角和定理可求得∠BOC ．【详解】∵O 到三边的距离相等∴BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°−∠A) ∵∠A=60°∴∠OBC+∠OCB=60°∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−60°=120°故选B.【名师点拨】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线把一个角分成两个相等的角是解题的关键．。
2：三角形的高,中线和角平分线讲义
龙文教育学科教师辅导讲义
学生：
课 题
科目：
第
阶段第
次课
教师：
教学目标
重点、难点
考点及考试要求
教学内容
三角形的角平分线、中线、高
一：三角形的角平分线 三角形一个角的角平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和对边交点之间的_________（选填“直线” 、 “线段”或“射线” ）叫做三角形中这个角的角平分线。简称三角形的角平分线。 如图，画∠A 的平分线 AD，交∠A 所对的边 BC 于点 D，所得线段_________叫做△ABC 的角平分线,表示为∠ _____=∠_____＝1/2_____或 2∠_____=2∠_____＝∠_____。
0
C
E D
B
课后练习： 1、分别在下列锐角三角形、直角三角形、钝角三角形中画出所有的高。
4
龙文教育·教务管理部
龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校 2、三角形的三条中线、三条角平分线、三条高都是（ ） A．直线 B．射线 C．线段 D．射线或线段 3、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 4、能把三角形的面积分成两个相等的三角形的线段是（ ） A．中线 B．高 C．角平分线 D．以上三种情况都正确 5、如图若∠BAF=∠CAF，则____是△ABD 的角平分线，____是△ABC 的角平分线 6、如图 AB⊥AC，则 AB 是△ABC 的边____上的高，也是△BDC 的边______上的高，也是△ABD 的边____上的高.
A
相等的三角形。即△ABD 与△ACD 面积相等。
第二讲 三角形的高、中线与角平分线(含解析)(人教版)
第二讲三角形的高、中线与角平分线【学习目标】1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念。
2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法。
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法。
【温故知新】1.垂线的定义2.线段中点的概念3.角平分线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段中点。
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
【新课学习】知识点1：三角形的高1.定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
2.如图所示，AD是边BC上的高。
3.三角形的高的做法：锐角三角形的高直角三角形的高钝角三角形的高4. 三角形的三条边上的高的交点锐角三角形的高交于三角形内部一点；交点在内部的三角形是锐角三角形。
直角三角形的高交于直角顶点；交点在顶点的三角形是直角三角形。
钝角三角形的高所在的直线交于三角形外部一点。
交点在外部的三角形是钝角三角形。
5.与三角形高相关的解题方法（1）记住三角形面积公式=BC AD/2（2）等面积法。
=BC AD/2= AC BE/2= AB CF/26.例题演练【例题1】如图，于点B，于点C，且AC与BD相交于点E，则的边DE上的高是____，边AE上的高是_____；若，，，则______．【答案】AB；DC；．【解析】的边DE上的高为线段AB，边AE上的高为线段DC．知识点2：三角形的中线1. 三角形的中线定义在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线. AE是BC边上的中线.2. 三角形的重心.每一个三角形都有三条中线，并且三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.【例题2】在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC的周长为25cm,求ΔADC的周长。
【答案】20cm.【解析】∵CD是△ABC的中线，∴BD＝AD，∴△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，则BD+CD＝25－BC.∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC＝BD＋CD＋AC＝25-BC＋AC＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.知识点3：三角形的角平分线1.三角形的角平分线的定义在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.注意：“三角形的角平分线”是一条线段.如上图线段AD是∠A的平分线。
角形的中线角平分线
在某些特殊三角形（如等腰或等边三 角形）中，角平分线与高重合。
与其他角平分线的关系
三角形的三条角平分线交于一点，称 为三角形的内心。内心到三角形三边 的距离相等。
04
中线与角平分线的关系
中线与角平分线的交点性质
中线与角平分线的交点是三角 形的内心，即内切圆的圆心。
内心到三角形三边的距离相等， 都等于内切圆的半径。
归纳与总结
在学习过程中，要及时归纳和总结 所学的知识点，形成完整的知识体 系，以便更好地理解和应用相关知 识。
对未来学习的展望
深入研究三角形中线和角平分线的性质和应用
在未来的学习中，可以进一步探讨三角形中线和角平分线的性质和应用，例如它们在几何 证明、三角函数等方面的应用。
拓展相关知识点
在学习三角形中线和角平分线的基础上，可以进一步学习三角形的其他重要线段，如高、 垂线等，以及它们之间的关系和性质。
涉及中线和角平分线的证明题
例2
已知三角形ABC中，AD是BC边上的中线 ，AE是角BAC的平分线。求证：AB/AC = BD/DC。
VS
证明
过点B作BF平行于AE，交CA的延长线于点 F。由于AE是角BAC的平分线，所以角BAE = 角CAE。因为BF平行于AE，所以角F = 角CAE = 角BAE。又因为角BAC = 角FAB （对顶角），所以三角形AFB与三角形AEC 相似，从而AF/AC = BF/EC。又因为AD是 中线，所以BD = DC，从而BF/EC = BD/DC。由于角F = 角CAE，角ACB = 角 ACF（同位角），所以三角形ACB与三角 形ACF相似，从而AB/AC = BF/AF。综上， AB/AC = BD/DC。
02
角形的中线
决战中考之三角形专项突破专题02 三角形中线段的问题(学生版)
专题02 三角形中线段的问题知识对接考点一、三角形中的线段三角形中的四条特殊的线段是：高线、角平分线、中线、中位线.1．内心：三角形角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.2．外心：三角形三边垂直平分线的交点，是三角形外接圆的圆心，它到三个顶点的距离相等. 3．重心：三角形三条中线的交点，它到每个顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍.4．垂心：三角形三条高线的交点.5．三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段是三角形的中位线.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.要点补充：(1)三角形的内心、重心都在三角形的内部.(2)钝角三角形的垂心、外心都在三角形的外部.(3)直角三角形的垂心为直角顶点，外心为直角三角形斜边的中点.(4)锐角三角形的垂心、外心都在三角形的内部.专项训练一、单选题1．（2021·湖南长沙·）如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是（）A ．两点确定一条直线B ．两点之间线段最短C ．三角形的稳定性D ．垂线段最短2．（2021·浙江）如图，在矩形ABCD 中，点F 为边AD 上一点，过F 作//EF AB 交边BC 于点E ，P 为边AB 上一点，PH DE ⊥交线段DE 于H ，交线段EF 于Q ，连接DQ ．当AF AB =时，要求阴影部分的面积，只需要知道下列某条线段的长，该线段是（ ）A ．EFB ．DEC ．PHD ．PE3．（2021·上海金山·九年级二模）已知三条线段长分别为2cm 、4cm 、acm ，若这三条线段首尾顺次联结能围成一个三角形，那么a 的取值可以是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．4cmD ．7cm4．（2021·青海西宁·九年级一模）下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．某个数的绝对值大于0B ．a -一定是负数C ．五边形的外角和等于540︒D ．长分别为3,4,6的三条线段能围成一个三角形5．（2021·江苏九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）．A ．方差越大，数据波动越小B ．两直线平行，同旁内角相等C ．长为3cm ，3cm ，5cm 的三条线段可以构成一个三角形* 本号资料皆来源于微信公众号：数学第六感D ．学校在初三3100名同学中随机抽取300名同学进行体考成绩调查，300名同学为样本 6．（2021·江苏九年级一模）下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ） 本号资料皆来源于微信@公众号：数学第六感A ．3，7，5B ．4，8，5C ．5，12，7D ．7，13，8 7．（2021·全国）如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点G 是ABC 的重心，GE AC ⊥，垂足为E ，如果8CB =，则线段GE 的长为（ ）A．53B．73C．83D．1038．（2021·山东）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是（）A．14B．12C．35D．349．（2021·全国）若平行四边形的两条对角线长为6 cm和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是( )A．5cm B．8cm C．12cm D．16cm 10．（2021·福建）如图，AD经过ABC的重心，点E是AC的中点，过点E作//EG BC交AD 于点G，若12BC ，则线段GE的长为（）A．6B．4C．5D．3二、填空题11．（2021·靖江市靖城中学九年级一模）过△ABC的重心G作GE△BC交AC于点E，线段BC＝12，线段GE长为________．12．（2021·沙坪坝·重庆一中九年级三模）从长度分别为1，3，5，6的四条线段中，随机抽取两条线段，与长度为8的线段恰好能围成三角形的概率是______．13．（2021·扬州中学教育集团树人学校）如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，△ACB＝90°，正方形BDEF BDEF绕点B旋转一周，连接AE，点M为AE的中点，连接FM，则线段FM的最大值是___．14．（2021·浙江杭州市·九年级模拟预测）如果从长度分别为2、4、6、7的四条线段中随机抽取三条线段，那么抽取的三条线段能构成三角形的概率是_______．15．（2021·湖北襄阳市·）从长度分别为1、3、5、7的四条线段中任选三条作边，能构成三角形的概率为_______________．三、解答题16．（2021·江苏泰州中学附属初中九年级三模）如图，已知抛物线2y x mx n =-++和直线y x =，抛物线顶点为A ，与y 轴交点为B ，直线y x =与抛物线对称轴交于点C ．（1）抛物线顶点坐标为 （用m ，n 表示），（2）当抛物线的顶点落在直线21y x =+上时，求n 的最大值．（3）若四边形ABOC 为平行四边形△求m 的值．△若直线y x =与抛物线在对称轴右侧部分的交点为D ，当BOD 为直角三角形时，求n 的值．△过C 点作线段CE AC ⊥，设CE=a ，是否存在实数a 值使ACE 的重心恰好落在抛物线上，若存在直接写出a 和n 的关系式，若不存在，请说明理由．17．（2021·广西南宁十四中九年级）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点坐标分别是()2,2A 、()4,0B 、()4,4C -．（1）请画出ABC 绕点A 顺时针旋转90 得到的11AB C △；（2）若点D 在线段11B C 上，且直线AD 将11AB C △分成面积相等的两部分，请画出线段AD ，并写出D 的坐标．18．（2021·陕西西安·）问题提出（1）如图△，在Rt △ABC 中，△A ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，在BC 上找一点D ，使得AD 将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD ，并求出AD 的长度； 本号资料@皆来源于微信公众号：数#学第六感问题探究（2）如图△，点A 、B 在直线a 上，点M 、N 在直线b 上，且a △b ，连接AN 、BM 交于点O ，连接AM 、BN ，试判断△AOM 与△BON 的面积关系，并说明你的理由；解决问题（3）如图△，刘老伯有一个形状为筝形OACB 的养鸡场，在平面直角坐标系中，O （0，0）、A （4，0）、B （0，4）、C （6，6），是否在边AC 上存在一点P ，使得过B 、P 两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP 的表达式；若不存在，请说明理由．19．（2021·陕西九年级一模）问题提出：（1）如图1，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝5，BC ＝4，在BC 上找一点D ，使得线段AD 将△ABC 分成面积相等的两部分，画出线段AD ，并写出AD 的长为 ．问题探究：（2）如图2，点D是△ABC边AC上一定点，在BC上找一点E，使得线段DE将△ABC 分成面积相等的两部分，并说明理由．问题解决：（3）如图3，四边形ABCD是西安市高新区新近改造过程中的一块不规则空地，为了美化环境，市规划办决定在这块地里种植两种花卉，打算过点C修一条笔直的通道，以便市民出行观赏花卉，要求通道两侧种植花卉的面积相等，经测量AB＝20米，AD＝100米，△A ＝60°，△ABC＝150°，△BCD＝120°，若将通道记为CF，请你画出通道CF，并求出通道CF的长．20．（2021·泗水县教育和体育局教学研究中心）（数学经验）三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．（经验发展）面积比和线段比的联系：（1）如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM=2AM．若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S=_______(用含a的代数式表示)．（结论应用）（2）如图2，已知△CDE的面积为1，14CDAC=，13CECB=，求△ABC的面积．（迁移应用）（3）如图3．在△ABC中，M是AB的三等分点(13AM AB=)，N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为________．21．（2021·江苏南京·）已知线段AB与点O，利用直尺和圆规按下列要求作△ABC（不写作法，保留作图痕迹）．（1）在图△中，点O是△ABC的内心；（2）在图△中，点O是△ABC的重心．22．（2021·陕西九年级二模）（1）如图1，AB是△○的弦，点P在△○上，当△P AB是直角三角形时，请在图1中画出点P的位置；（2）如图2，△○的半径为4，A、B为△○外固定两点（O、A、B三点不在同一直线上），OA=，P为△○上的一个动点（点P不在直线AB上），以PA和AB为邻边作平行四边形且8P ABC，求BC最小值；（3）如图3，A、B是△○上的两个点，过A点作射线AM AB⊥，AM交△○于点C，若3AB=，AC=，点D是平面内的一个动点，且24CD=，E为BD的中点，在点D的运动过程中，求线段AE长度的最大值与最小值．23．（2021·黑龙江九年级一模）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中确定点C，点C在小正方形的顶点上，请你连接CA，CB，BC＝；（2）在（1）确定点C后，在网格内确定点D，点D在小正方形的顶点上，请你连接CD，BD，CD△AB，△CDB的面积为6，直接写出△CBD的正切值．。
2三角形的高、中线与角平分线
外部
议一议
钝角三角形的三条高
A F B C
钝角三角形的三条高 交于一点吗？
钝角三角形的三条 高不交于一点
钝角三角形的三条高：“谁 说我们不交于一点，我们以 自己的方式相交”
D
E
O
钝角三角形的三条高所在直线 交于一点，交点在三角形外部
从三角形中的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点和垂足之间的线段 叫做三角形的高。 三角形的三条高的特性：
D ∠ 1= ∠ 2
C
注意
!
“三角形的角平分线”是一条线段
做一做
p124
三角形的角平分线
每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形 纸片各一个。 (1) 分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样 的位置关系?
三角形的三条角平分线交于同一点.
议一议
三角形的中线
直角三角形的三条高 交于直角顶点.
B 直角边BC边上的高是 AB边 ; 直角边AB边上的高是 BC边 ;
D C
钝角三角形的三条高
作BC边上的高， BC边不 够长怎么办？ 把CB延长 为了便于画出AB边上的高， 需要把AB延长 A
做一做
在纸上画出一个钝角三角形，画出钝角三角形的高
F
D B E C
BC边上的高是在三角形的内 部还是外部?
在三角形中，连接一个顶点与它对边中 点的线段，叫做这个三角形的中线 A 如图右图AE是BC边上的中线 “三角形的中线”也是 一条线段。
B
E BE=EC
C
(1) 在纸上画出一个锐角三角形试 画出它的三条中线.
三角形的三条中线
(2) 试画钝角三角形和直角三角形的三条中线
三角形的高、中线与角平分线专题(含答案)
11.1.2三角形的高、中线与角平分线一、选择题1.以下说法正确的有() ①三角形的中线、角平分线都是射线; ②三角形的三条高所在直线相交于一点; ③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点; ④三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分; ⑤直角三角形的三条高相交于直角顶点．A.5个B.4个C.3个D.2个2.如图所示，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是()A.BA=2BFB.∠ACE=12∠ACBC.AE=BED.CD⊥AB3.画△ABC中AB边上的高，下列画法中正确的是()A. B. C. D.4.如图，AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则图中可以作为三角形“高”的线段有()A.1条B.2条C.3条D.5条5.若AD是△ABC的中线，下列结论错误的是()A.AB=BCB.BD=DCC.AD平分BCD.BC=2DC6.如图，△ABC中AB边上的高线是()A.线段DAB.线段CAC.线段CDD.线段BD7.如图，AD，BE，CF依次是△ABC的高、中线和角平分线，下列各式中错误的是()A.AE=CEB.∠ADC=90∘C.∠CAD=∠CBED.∠ACB=2∠ACF8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AD，CE的中点，S△ABC=4cm2，则S△BEF等于()A.2cm2B.1cm2C.12cm2D.14cm29.如果AD是△ABC的中线，那么下列结论： ①BD=12CB; ②AB=AC; ③S△ABD=S△ACD.其中一定成立的有()A.3个B.2个C.1个D.0个10.如图，已知P是△ABC的重心，连接AP并延长交BC于点D，若△ABC的面积为20，则△ADC的面积为()A.10B.8C.6D.511.填空：(1)如图(1)，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2，BD=，AE=12．(2)如图(2)，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=∠，∠3=12，∠ACB=2．12.如图，AB⊥BD于点B，AC⊥CD于点C，且AC与BD交于点E.已知AE=5，DE=2，CD=95，则AB的长为．13.若AD是△ABC的高，∠BAD=70∘，∠CAD=20∘，则∠BAC的度数为．14.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE//BC，交AC于点E.若∠AED=50°，则∠D的度数为______．15.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，EC⊥BC交AB于点E，CF⊥AB，垂足为点F，BG⊥AC，垂足为点G．(1)分别写出△ABC各条边上的高；(2)CF是哪几个三角形的高？16.如图，D是△ABC中BC边上的一点，DE//AC交AB于点E，若∠EDA=∠EAD，试说明AD是△ABC的角平分线．17.如图，在△ABC中，AB=2，BC=4.△ABC的高AD与CE的比是多少？(提示：利用三角形的面积公式．)18.如图所示，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90∘.试求：(1)AD的长;(2)△ABE的面积;(3)△ACE与△ABE的周长的差．19.如图，AD是△ABC的角平分线．DE // AC，DE交AB于点E，DF // AB，DF交AC于点F.图中∠1与∠2有什么关系？为什么？20.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C均在小正方形的顶点上．(1)画出△ABC中BC边上的高AD;(2)画出△ABC中AC边上的中线BE;(3)直接写出△ABE的面积为．11.1.2三角形的高、中线与角平分线1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】B10.【答案】A11.【答案】AF或BFCDAC∠2∠ABC∠4或∠ACF12.【答案】9213.【答案】90∘或50∘14.【答案】25°15.【答案】解：(1)由题意，可得△ABC中，AB边上的高是CF，BC边上的高是AD，AC边上的高是BG；(2)∵CF⊥AB，垂足为点F，∴CF是△BCF，△BCE，△BCA，△FCE，△FCA，△ECA的高．16.【答案】解：∵DE//AC，∴∠ADE=∠CAD，∵∠EDA=∠EAD，∴∠CAD=∠EAD，∴AD是△ABC的角平分线．17.【答案】解：∵AD和CE分别是△ABC边BC和边AB上的高，∴S△ABC=12BC·AD=12AB·CE，即2AD=CE，．18.【答案】解：(1)∵∠BAC=90∘，AD是边BC上的高，∴12AB⋅AC=12BC⋅AD，∴AD=AB⋅AC BC=6×810=4.8(cm)，即AD的长为4.8cm．(2)∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90∘，AB=6cm，AC=8cm，∴S△ABC=12AB⋅AC=12×6×8=24(cm2).又∵AE是△ABC的中线，∴BE=EC，∴12BE⋅AD=12EC⋅AD，即S△ABE=S△AEC，∴S△ABE=12S△ABC=12(cm2)，∴△ABE的面积是12cm2．(3)∵AE为BC边上的中线，∴BE=CE，∴△ACE的周长−△ABE的周长=AC+AE+CE−(AB+BE+AE)=AC−AB=8−6=2(cm)，即△ACE与△ABE的周长的差是2cm．19.【答案】解：∠1=∠2．理由如下：因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠DAC.因为DE//AC，所以∠DAC=∠1.因为DF//AB，所以∠DAB=∠2．所以∠1=∠2．20.【答案】解：(1)如图所示，线段AD即为所求．(2)如图所示，线段BE即为所求．(3)4．。
11.1.2三角形的角平分线和中线
新知探究 △ABC的三条中线相交于一点，这个焦点叫做三角形的重心.
A F O B D C E
新知探究 如图，线段AD是△ABC的中线， △ABD和△ACD面积有什么关 系？
A
B
D
C
中线的性质：中线AD将△ABC分成面积相等的两部分.
典型问题 例题1.如图，点D是BC的中点，若S△ABD＝8，则S△ACD＝______.
(1)若AB＝5，AC＝4，则△ABD与△ACD的周长差为
A
.
(2)若AE⊥BC，垂足为E，BC＝10，AE＝6，求△ACD的面积．
B
D
C
课堂练习 3.如图，AD，AE分别是△ABC的中线和高，AB＝13，AC＝5， (1)△ABD与△ACD的周长的差是______； (2)若E恰好是CD的中点，那么△ABE和△ACE的面积有什么样的 数量关系？请说明理由.
A
B
D
E
C
课堂练习 4.如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE∥AC，DE交AB于点E， DF∥AB，DF交AC于点F，图中∠1与∠2有什么关系？为什么？
解：∠1＝∠2，理由如下： ∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠FAD ∵DE∥AC ∴∠1＝∠FAD ∵DF∥AB ∴∠2＝∠EAD ∴∠1＝∠2.
C
D A B
课堂练习 1. 如图，点D，E分别是BC，AD的中点，若S△ABD＝8，则 S△ACE＝______.
C
D E A B
课堂练习 2.如图，在△ABC中，D是边BC中点，E，F分别为线段AD，CE的 中点，且S△ABC＝8，则△BFE的面积为____.
A E
F C
B
D
典型问题 例题2.如图，AD是△ABC的中线．
三角形中线高角平分线的30题（有答案）ok
题（有答案）三角形高中线角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F．（1）试说明∠BCD=∠ECD；（2）请找出图中所有与∠B相等的角（直接写出结果）．2．如图，AD为△ABC的中线，BE为三角形ABD中线，中线，的度数；（1）∠ABE=15°，∠BAD=35°，求∠BED的度数；边上的高；（2）在△BED中作BD边上的高；边的距离为多少？（3）若△ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？3．在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，的长．求AB和AC的长．4．如图△ABC中，∠A=20°，CD是∠BCA的平分线，△CDA中，DE是CA边上的高，又有∠EDA=∠CDB，求的大小．∠B的大小．5．△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC交BC于点E．的大小．（1）∠B=30°，∠C=70°，求∠EAD的大小．（2）若∠B＜∠C，则2∠EAD与∠C﹣∠B是否相等？若相等，请说明理由．是否相等？若相等，请说明理由．6．在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°，求∠CAD和∠DAE的度数．的度数．7．在△ABC中．中．（如图）（1）若∠A=60°，AB、AC边上的高CE、BD交于点O．求∠BOC的度数．（如图）（2）若∠A为钝角，AB、AC边上的高CE、BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量∠BAC+∠BOC= _________°，再用你已学过的数学知识加以说明．，再用你已学过的数学知识加以说明．（3）由（1）（2）可以得到，无论∠A为锐角还是钝角，总有∠BAC+∠BOC=_________°．8．在△ABC中，已知∠ABC=60°，∠ACB=50°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点．的交点．的度数．求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．9．如图，△ACB中，∠ACB=90°，∠1=∠B．的高；（1）试说明CD是△ABC的高；（2）如果AC=8，BC=6，AB=10，求CD的长．的长．10．如图，已知△ABC的高AD，角平分线AE，∠B=26°，∠ACD=56°，求∠AED的度数．的度数．11．如图，△ABC中，∠ABC=40°，∠C=60°，AD⊥BC于D，AE是∠BAC的平分线．的平分线．（1）求∠DAE的度数；的度数；是哪几个三角形的高．（2）指出AD是哪几个三角形的高．12．如图，在△ABC中，∠ABC=66°，∠ACB=54°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，的度数．求∠ABE、∠ACF和∠BHC的度数．13．如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线为角平分线的度数；（1）求∠EAD的度数；的关系并说明理由．（2）寻找∠DAE与∠B、∠C的关系并说明理由．14．如图，已知：AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=40°，求∠ADB的度数．的度数．15．如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线，的角平分线，的度数．（1）若∠B=47°，∠C=73°，求∠DAE的度数．的代数式表示）（2）若∠B=α°，∠C=β°（α＜β），求∠DAE的度数（用含α、β的代数式表示）16．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB和∠ADC的度数．的度数．17．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：∠CFE=∠CEF．18．如图（1），△ABC中，AD是角平分线，AE⊥BC于点E．（1）．若∠C=80°，∠B=50°，求∠DAE的度数．的度数．（2）．若∠C＞∠B，试说明∠DAE=（∠C﹣∠B）．（3）．如图（2）若将点A在AD 上移动到A´处，A´E⊥BC于点E．此时∠DAE变成∠DA´E，（2）中的结论还正确吗？为什么？确吗？为什么？19．如图，已知△ABC的周长为21cm，AB=6cm，BC边上中线AD=5cm，△ABD周长为15cm，求AC长．长．20．我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若△ABC 的三条内角平分线相交于点I，过I作DE⊥AI分别交AB、AC于点D、E．）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）（1）请你通过画图、度量，填写右上表（图画在草稿纸上，并尽量画准确）之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．（2）从上表中你发现了∠BIC与∠BDI之间有何数量关系，请写出来，并说明其中的道理．40°60°90°120°∠BAC的度数的度数∠BIC的度数∠BDI的度数21．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA 的度数．的度数．22．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空：是高，填空：（1）BE=_________=_________（2）∠BAD=__________________（3）∠AFB=_________=90°（4）S△ABC=_________S△ABE．23．如图，BM是△ABC的中线，AB=5cm，BC=3cm，那么△ABM与△BCM的周长是差是多少？的周长是差是多少？24．在△ABC中，AB=AC，AD是中线，△ABC的周长为34cm，△ABD的周长为30cm，求AD的长．的长．25．如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？的边长的差吗？26．如图，在△ABC中，AC=AB，AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，请说明理由．，请说明理由．27．如图，∠BAD=∠CAD，则AD是△ABC的角平分线，对吗？说明理由．的角平分线，对吗？说明理由．28．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，的长．求AC的长．29．如图所示，AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，已知DE=2cm，求BD，BE，BC的长．的长．30．如图所示，AD是△ABC的中线，AB=6cm，AC=5cm，求△ABD和△ADC的周长的差．的周长的差．参考答案：1．（1）∵∠B=70°，CD ⊥AB 于D ， ∴∠BCD=90°﹣70°=20°，在△ABC 中，∵∠A=30°，∠B=70°， ∴∠ACB=180°﹣30°﹣70°=80°， ∵CE 平分∠ACB ， ∴∠BCE=∠ACB=40°，∴∠ECD=∠BCE ﹣∠BCD=40°﹣20°=20°， ∴∠BCD=∠ECD ；（2）∵CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE 于F ， ∴∠CED=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°， ∠CDF=90°﹣∠ECD=90°﹣20°=70°，所以，与∠B 相等的角有：∠CED 和∠CDF ． 2．（1）∵∠BED 是△ABE 的一个外角，的一个外角， ∴∠BED=∠ABE+∠BAD=15°+35°=50°．（2）如图所示，EF 即是△BED 中BD 边上的高．边上的高． （3）∵AD 为△ABC 的中线，BE 为三角形ABD 中线， ∴S △BED =S △ABC =×60=15； ∵BD=5，∴EF=2S △BED ÷BD=2×15÷5=6， 即点E 到BC 边的距离为6．3．∵AD 是BC 边上的中线，边上的中线， ∴BD=CD ，∴△ABD 的周长﹣△ADC 的周长=（AB+AD+BD ）﹣（AC+AD+CD ）=AB ﹣AC=4，（2分）分） 即AB ﹣AC=4①， 又AB+AC=14②， ①+②得．2AB=18， 解得AB=9，②﹣①得，2AC=10， 解得AC=5，∴AB 和AC 的长分别为：AB=9，AC=5． 4．∵DE 是CA 边上的高，边上的高， ∴∠DEA=∠DEC=90°， ∵∠A=20°，∴∠EDA=90°﹣20°=70°， ∵∠EDA=∠CDB ，∴∠CDE=180°﹣70°×2=40°，在Rt △CDE 中，∠DCE=90°﹣40°=50°， ∵CD 是∠BCA 的平分线，的平分线，∴∠BCA=2∠DCE=2×50°=100°，在△ABC 中，∠B=180°﹣∠BCA ﹣∠A=180°﹣100°﹣20°=60°．故答案为：60 5．（1）∵∠B=30°，∠C=70° ∴∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C=80° ∵AE 是角平分线，是角平分线， ∴∠EAC=∠BAC=40°∵AD 是高，∠C=70° ∴∠DAC=90°﹣∠C=20°∴∠EAD=∠EAC ﹣∠DAC=40°﹣20°=20°；（2）由（1）知，∠EAD=∠EAC ﹣∠DAC=∠BAC ﹣（90°﹣∠C ）①把∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C 代入①，整理得，整理得 ∠EAD=∠C ﹣∠B ，∴2∠EAD=∠C ﹣∠B ．6．∵AD 是高，∠C=60°，∴∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣60°=30°； ∵∠B=20°，∠C=60°，∴∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C=180°﹣20°﹣60°=100°， ∵AE 是角平分线，是角平分线， ∴∠CAE=∠BAC=×100°=50°，∴∠DAE=∠CAE ﹣∠CAD=50°﹣30°=20°． 7．（1）∵BD 、CE 分别是边AC ，AB 上的高，上的高， ∴∠ADB=∠BEC=90°， 又∵∠BAC=60°，∴∠ABD=180°﹣∠ADB ﹣∠A=180°﹣90°﹣60°=30°， ∴∠BOC=∠EBD+∠BEO=90°+30°=120°； （2）如图所示：）如图所示：∠BAC+∠BOC=180°；理由如下：∵BD 、CE 分别是边AC ，AB 上的高，上的高， ∴∠ADB=∠BEC=90°，∵∠ABD=180°﹣∠ADB ﹣∠BAD=180°﹣90°﹣∠BAD=90°﹣∠BAD ，∠O=180°﹣∠BEO ﹣∠DBA=90°﹣∠DBA=90°﹣（90°﹣∠BAD ）=∠BAD ， ∵∠BAC=180°﹣∠DAB ， ∴∠BAC=180°﹣∠O ， ∴∠BAC+∠O=180°； （3）由（1）（2）可得∠BAC+∠BOC=180°．8．∵BE是AC上的高，上的高，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=60°，∠ACB=50°，∴∠A=180°﹣60°﹣50°=70°，∴∠ABE=180°﹣90°﹣70°=20°，∵CF是AB上的高，上的高，∴∠AFC=90°，∴∠ACF=180°﹣90°﹣70°=20°，∵∠ABE=20°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=60°﹣20°=40°，∵∠ACF=20°，∠ACB=50°，∴∠BCH=30°，∴∠BHC=180°﹣40°﹣30°=110°．9．（1）∵∠1+∠BCD=90°，∠1=∠B ∴∠B+∠BCD=90°∴△BDC是直角三角形，即CD⊥AB，∴CD是△ABC的高；的高；（2）∵∠ACB=∠CDB=90°∴S△ABC=AC •BC=AB•CD，∵AC=8，BC=6，AB=10，∴CD===10.∵∠B=26°，∠ACD=56°∴∠BAC=30°∵AE平分∠BAC ∴∠BAE=15°∴∠AED=∠B+∠BAE=41°11．（1）∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵∠ABC=40°，∠C=60°，∴∠BAD=50°，∠CAD=30°，∴∠BAC=50°+30°=80°，∵AE是∠BAC的平分线，的平分线，∴∠BAE=40°，∴∠DAE=50°﹣40°=10°．（2）AD是△ABE、△ABD、△ABC、△AED、△AEC、△ADC的高．的高．12．∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣66°﹣54°=60°．又∵BE是AC边上的高，所以∠AEB=90°，∴∠ABE=180°﹣∠BAC﹣∠AEB=180°﹣90°﹣60°=30°．同理，∠ACF=30°，∴∠BHC=∠BEC+∠ACF=90°+30°=120°．13．（1）∵在△ABC中，∠BAC=180°﹣∠C﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，又∵AE为角平分线，为角平分线，∴∠EAB=∠BAC=50°，在直角△ABD中，∠BAD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°，∴∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=50°﹣30°=20°；（2）根据（1）可以得到：∠EAB=∠BAC=（180°﹣∠B﹣∠C）∠BAD=90°﹣∠B，则∠EAD=∠EAB﹣∠BAD=（180°﹣∠B﹣∠C）﹣（90°﹣∠B ）=（∠B﹣∠C）．14．∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，∴∠DAC=∠BAD=30°，∵CE是△ABC的高，∠BCE=40°，∴∠B=50°，∴∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD=180°﹣30°﹣50°=100°15．（1）∵∠B=47°，∠C=73°，∴∠BAC=180°﹣47°﹣73°=60°，∵AD是△ABC的BC边上的高，边上的高，∴∠BAD=90°﹣47°=43°，∵AE是∠BAC的角平分线，的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=30°，∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=43°﹣30°=13°；（2））∵∠B=α°，∠C=β°，∴∠BAC=180°﹣α°﹣β°，∵AD是△ABC的BC边上的高，边上的高，∴∠BAD=90°﹣α°，∵AE是∠BAC的角平分线，的角平分线，∴∠BAE=∠BAC=（180°﹣α°﹣β°），∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=90°﹣α°﹣（180°﹣α°﹣β°），=90°﹣α°﹣90°+α°+β°，=（β﹣α）°16．∵∠B=60°，∠C=45°，∴∠BAC=180°﹣60°﹣45°=75°，∵AD为∠BAC的角平分线，的角平分线，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=37.5°，在△ABD 中，∠ADB=180°﹣∠BAD ﹣∠B=82.5°， 则∠ADC=180°﹣∠ADB=97.5°． 17．∵∠ACB=90°， ∴∠1+∠3=90°， ∵CD ⊥AB ， ∴∠2+∠4=90°，又∵BE 平分∠ABC ， ∴∠1=∠2， ∴∠3=∠4， ∵∠4=∠5， ∴∠3=∠5，即∠CFE=∠CEF．18．（1）在△ABC 中，∠BAC=180°﹣∠B ﹣∠C=180°﹣50°﹣80°=50°； ∵AD 是角平分线，是角平分线， ∴∠DAC=∠BAC=25°；在△ADC 中，∠ADC=180°﹣∠C ﹣∠DAC=75°； 在△ADE 中，∠DAE=180°﹣∠ADC ﹣AED=15°． （2）∠DAE=180°﹣∠ADC ﹣AED=180°﹣∠ADC ﹣90°=90°﹣∠ADC=90°﹣（180°﹣∠C ﹣∠DAC ）=90°﹣（180°﹣∠C ﹣∠BAC ）=90°﹣[180°﹣∠C ﹣（180°﹣∠B ﹣∠C ）]=（∠C ﹣∠B ）． （3）（2）中的结论仍正确．）中的结论仍正确．∠A ʹDE=∠B+∠BAD=∠B+∠BAC=∠B+（180°﹣∠B ﹣∠C ）=90°+∠B ﹣∠C ；在△DA ʹE 中，∠DA ʹE=180°﹣∠A ʹED ﹣∠A ʹDE=180°﹣90°﹣（90°+∠B ﹣∠C ）=（∠C ﹣∠B ）． 19．∵AB=6cm ，AD=5cm ，△ABD 周长为15cm ， ∴BD=15﹣6﹣5=4cm ， ∵AD 是BC 边上的中线，边上的中线， ∴BC=8cm ，∵△ABC 的周长为21cm ， ∴AC=21﹣6﹣8=7cm ． 故AC 长为7cm ． 20．（1）填写表格如下：）填写表格如下：∠BAC 的度数40° 60° 90°120° ∠BIC 的度数的度数 110°120°135°150°∠BDI 的度数110° 120° 135°（2）∠BIC=∠BDI ，理由如下：，理由如下：∵△ABC 的三条内角平分线相交于点I ， ∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB ） =180°﹣（∠ABC+∠ACB ） =180°﹣（180°﹣∠BAC ） =90+∠BAC ； ∵AI 平分∠BAC ， ∴∠DAI=∠DAE ． ∵DE ⊥AI 于I ， ∴∠AID=90°．∴∠BDI=∠AID+∠DAI=90°+∠BAC ． ∴∠BIC=∠BDI ．21．∵∠A=50°，∠C=60°∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°， 又∵AD 是高，是高， ∴∠ADC=90°，∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°， ∵AE 、BF 是角平分线，是角平分线，∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°， ∴∠DAE=∠DAC ﹣∠EAF=5°，∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°， ∴∠DAC=30°，∠BOA=120°． 故∠DAE=5°，∠BOA=120°． 22．（1）∵AE 是中线，是中线， ∴BE=CE=BC ， （2）∵AD 是角平分线，是角平分线， ∴∠BAD=∠CAD=∠BAC ， （3）∵AF 是高，是高，∴∠AFB=∠AFC=90°，（4）S △ABC =，S △ABE =，∵BC=2BE，∴S△ABC=2S△ABE，故答案为CE，BC，∠CAD，∠BAC，∠AFC，2 23．∵BM是△ABC的中线，的中线，∴MA=MC，∴C△ABM﹣C△BCM=AB+BM+MA﹣BC﹣CM﹣BM =AB﹣BC=5﹣3=2cm．答：△ABM与△BCM的周长是差是2cm．24．方法1：由题意知：AB+AC+BC=34，AB+AD+BD=30，∵AB=AC，BD=BC，∴②×2得：2AB+2AD+BC=60③，③﹣①得：2AD=26，∴AD=13cm．方法2：∵AB=AC，D是中点，且AB+AC+BC=34，∴BD=BC，AB=（AB+AC），∴AB+BD=（AB+AC）+BC=（AB+AC+BC）=17cm （周长的一半）．∵AB+BD+AD=30cm，AD=30﹣17=13cm．25．能．．能．由题意知：△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD，又因为AD是BC边上的中线，边上的中线，所以BD=CD．∵△ABD的周长比△ACD的周长小5，∴AC+CD+AD﹣（AB+BD+AD）=AC﹣AB=5．即AC与AB的边长的差为5 26．∵AD是BC边上的中线，∴BD=DC，∵AC=AB，AD=AD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB=∠ADC，∵∠ADB+∠ADC=180°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AD⊥BC．27．错误．．错误．因为AD虽然是线段，但不符合三角形角平分线定义，这里射线AD是∠BAC的平分线．的平分线．28．∵AD是BC边上的中线，边上的中线，∴D为BC的中点，CD=BD．∵△ADC的周长﹣△ABD的周长=5cm．∴AC﹣AB=5cm．又∵AB+AC=11cm，∴AC=8cm．即AC的长度是8cm．29．∵AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，的中线， ∴BD=CD=2DE=4cm，∴BE=BD+DE=6cm，∴BC=2BD=8cm．30．∵AD是△ABC中BC边上的中线，边上的中线，∴BD=DC=BC，∴△ABD和△ADC的周长的差=（AB+BC+AD）﹣（AC+BC+AD）=AB﹣AC=1．。
三角形中线专题(2)
三角形中线专题二-----倍长中线倍长中线：指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。
常用于构造全等三角形。
中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
例题引领:例1、已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE分析：如图，延长AE至点F，使EF=AE,连接DF,然后证△ABE≌△FDE ，再证△ADF≌△ADC ，可得∠BAE=∠F=∠C证明：如图，延长AE至点F，使EF=AE,连接DF,∵AE是BD中线∴DE=BE在△ABE和△FDE中BE=DE∠DEF=∠BEAAE=FE∴△ABE≌△FDE （SAS）∴AB=DF ∠1=∠B ∠F=∠BAE又CD=AB ∴CD=DF（等量代换）∵∠ADC=∠BAD+∠B （三角形外角和性质）∠ADF=∠BDA+∠1又∠BDA=∠BAD∴∠ADC=∠ADF在△ADF与△ADC中AD=AD∠ADC=∠ADFDF=DC∴△ADF≌△ADC (SAS)∴∠C=∠F ∴∠C=∠BAE(等量代换)E DAB CF1E DAB C专题练习：1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围2、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠3、已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF提示：延长长AD 至G ，使DG=AD,连接BG ，证明ΔBDG ≌ΔCDA三角形BEG 是等腰三角形4、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。
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三角形中线与角平分线专题（二）
1、三角形外角平分线的四个经典结论：
结论一：三角形任意两个角平分线的夹角与第三个角的数量关系
已知如图1，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，求∠P 与∠A 的数量关系.
01902P A ∠=+∠
结论二：三角形任意两个角相邻的外角的平分线说夹角与第三个角的关系．
已知如图2，BP 平分外角CBE ∠，CP 平分外角BCF ∠，求P ∠与A ∠的数量关系.
01902P A ∠=-∠
结论三：三角形中任意一个角平分线与另一个角外角平分线的夹角与第三个角的关系
如图，BP 平分ABC ∠，CP 平分外角ACD ∠，求P ∠与A ∠的数量关系.
12
P A ∠=∠
结论四：结论三延伸
如图，CE BE 、分别平分ACD ABC ∠∠和，连结EA ，则EA 为HAC ∠的平分线
21A E F B C 2
1P
B A C
..
应用举例：
例1：在四边形ABCD 中，︒=∠120D ，︒=∠100A 、ABC ∠、ACB ∠的角平分线的交
与点E ，试求BEC ∠的度数.
例2：在ABC ∆中，三个外角的平分线所在的直线相交构成 DEF ∆，试判断DEF ∆的形
状.
例3：如图3，在ABC ∆中，延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的角平分线相较于1A 点，
BC A 1∠与CD A 1∠的平分线交与2A 点，以此类推，若︒=∠96A ，则=∠5A ，
=∠n A .
图三 图四
例4：点M 是ABC ∆两个角的平分线的交点，点N 是ABC ∆两个外角的平分线的交点，
如果∠CMB ∶∠CNB=3∶2，那么=∠CAB
例5：（ 2011年省是中考题）△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 的角∠ABC 平分线BP 交于
点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______．
2、角平分线性质的应用
3、角平分线与等腰三角形的构造问题：
【模型一】角平分线+平行线→等腰三角形
如图（1）中，AD平分∠BAC，AD//EC；
如图（2）中，AD平分∠BAC，DE//AC；
如图（3）中，AD平分∠BAC，CE//AB；
如图（4）中，AD平分∠BAC，EF//AD。
例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EF⊥BC，交BA的延长线于点E，垂足为点F。
求证：AE＝AP
例2：如图，在△ABC中，∠BAC、∠BCA的平分线相交于点O，过点O作DE//AC，分别交AB、BC于点D、E。
试猜想线段AD、CE、DE的数量关系，并说明你的理由。
训练题：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，且DE=CD，EF=AC，求证：EF//AB
..
..
【模型二】角平分线+垂线→等腰三角形
当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形。
如图，若AD 平分
∠BAC ，AD ⊥DC ，则∆AEC 是等腰三角形。
例3.：如图，在等腰Rt ∆ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC=︒90，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD ，交BF
的延长线于D 。
求证：BF ＝2CD
【模型三】作倍角平分线→等腰三角形
当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以作倍角的平分线寻找到等腰三
角形。
如图，若∠ABC=2∠C ，作BD 平分∠ABC ，则∆DBC 是等腰三角形。
例4.：如图，在∆ABC 中，∠ACB=2∠B ，BC ＝2AC 。
求证：∠A=︒90
..
3、角平分线定理及逆定理的应用：
例1：简单的定理应用
（1）如图，ABC Rt AD ∆是的角平分线，︒=∠90C ，AB DE ⊥于点E ，点F 是AC 上
一点，DF BD CF BE ==:，求证
（2）如图，BD 是ABC ∠的平分线，E AB DE 于⊥，cm AB cm S ABC 18,362==∆，
cm BC 12=，求DE 的长.
例2：在梯形中的应用（作为结论记住）
如图，BAC CD AB ∠,//的角平分线与DCA ∠的角平分线交于点M ，经过M 的直线EF 与
AB 垂直，垂足为F ，且EF 与CD 交于E ，求证：点M 为EF 的中点.
变式1：如图，DAB BC AD ∠,//的角平分线与ABC ∠的角平分线交于点E ，过E 的直线
..
交AD 于D ，交BC 于C ，求证：
（1）BE AE ⊥
（2）EC DE =
（3）试证：的关系与BC AD AB +
例3：角平分线与中垂线的综合：
（1）如图，ABC ∆中，AD 为BAC ∠的平分线，AD 的垂直平分线EF 交BC 的延长线于
点F ，连接AF ，求证：CAF B ∠=∠
（2）如图，在ABC ∆中，BAC ∠的平分线与BC 边的中垂线相交于点P ，
过D 作AC AB 、的垂线，垂足分别为N M 、，求证CN BM =
例4：逆定理应用
（1）将两块完全相同的直角三角板（︒=∠=∠90AFB AEC ），按如图所示的方式放置在
一起，使得边AE 在AB 上，边AF 在AC 上，D CE BF 相交于点与，求证：点D 在BAC
∠的平分线上.
.. （2）如图，在AOB ∠的两边EM DN OE OD ON OM OB OA 和上分别取、,,==相交于点C ，求证：点C 在的平分线上AOB ∠.。