九年级数学上册第二十三章《旋转》专题复习小专题(六)平移与旋转在解题中的巧用试题(新版)新人教版
人教版九年级上数学第23章《旋转》复习
2014人教版.九年级上
第23章复习 考点攻略 2.如图23-5 ，在规格为 6×6 的正方形网格中，有一
个 L 形图案(如图所示的阴影部分)．
(1)请你用三种不同的方法分别在下图中再将一个空白的 小正方形涂成阴影，使整个阴影部分成为轴对称图形；
2014人教版.九年级上
第23章复习 考点攻略 (2)请你只用一种方法在下图中再将一个空白的小正
2014人教版.九年级上
第第2233章章复复习习┃考考点点攻攻略略 ► 考点三 图案设计问题 例3 用四块如图23-3(1)所示的正方形卡片拼成一个新的 正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图23-3(2)、 图(3)、图(4)中各画出一种拼法(要求三种画法各不相同，且其 中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形)．
2014人教版.九年级上
第23章复习-知识归类
判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被 这一点平分，那么这两个图形关于这点对称．
3．中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 180° ，如果旋转后的图 形能够与原来的图形 重合 ，那么这个图形叫做中心对称 图形，这个点叫做它的 对称中心 . 4．关于原点对称的点的坐标 两个点关于原点对称时，它们的坐标符号 相反 ，即 点P(x，y)关于原点的对称点为P′ (－x，－y) .
A．顺时针旋转60°得到 B．顺时针旋转120°得到 C．逆时针旋转60°得到 D．逆时针旋转120°得到
2014人教版.九年级上
第23章复习 考点攻略 3．在方格纸上建立如图23－2所示的平面直角坐标系，将
△ABO绕点O按顺时针方向旋转90°，得△A′B′O，求点A的对 应点A′的坐标．
图23－2
方法技巧 中心对称图形的识别关键是看是否存在一点，把图形绕这一 点旋转 180°后能和原图形互相重合；轴对称图形的识别关键是看 是否能找到一条直线，把图形绕这条直线翻转 180°后能和原图形 互相重合．
人教版九年级数学上册第二十三章旋转专题复习讲义无答案
旋转一、知识梳理定义：把一个平面图形绕着平面内某一点 o 转动一个角度的图形变换叫做图形的旋转．这个点 o叫旋转中心，转动的角叫做旋转角．如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点．练习：1．时钟的时针在不停地转动，从上午 6 时到上午 9 时，时针旋转的旋转角是多少度？从上午 9 时到上午 10 时呢？旋转的性质对应点到旋转中心的距离相等．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．旋转前、后的图形全等．应用例1下图为 4×4 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，将△OAB 绕点 O 逆时针旋转 90°，你能画出△OAB 旋转后的图形△O A’ B’吗？中心旋转问题1 如图，线段 AC，BD 相交于点 O，OA=OC，OB=OD．把△OCD 绕点 O 旋转 180°，你有什么发现？中心对称与一般的旋转的联系和区别？联系：中心对称和一般的旋转都是绕着某一点进行旋转；区别：中心对称的旋转角度都是180°，一般的旋转的旋转角度不固定，中心对称是特殊的旋转．中心对称的性质（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；（2）中心对称的两个图形是全等图形中心对称图形如图，将平行四边形ABCD 绕它的两条对角线的交点 O旋转 180°，你有什么发现？定义如果一个图形绕一个点旋转 180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．区分中心对称和中心对称图形的概念二、课堂达标检测1．将三角形绕直线L 旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（ ）2．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．直角B ．等边三角形C ．直角梯形D ．两条相交直线3．在线段，等腰梯形，平行四边形，矩形，正五角星，圆，正方形，等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有（ ）A.3个B.4个 A.3个 B.4个C.5个D.6个 4.如图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB•关于原点对称的图形．5.已知点P（-b,2）与点Q（3,2a）关于原点对称点，则a、b的值分别是______。
九年级上册数学第23章《旋转》知识点梳理完整版
【学习目标】九年级数学上册第 23 章《旋转》知识点梳理1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转..点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点 A 经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A'B'C').要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转类型一、旋转1.数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心 O 旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°. 以上四位同学的回答中，错误的是（）.A．甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】B.【解析】因为圆被平分为 8 部分,所以旋转45°,90°,135°均能与原图形重合.【总结升华】同一图形的旋转角可以是多个.举一反三：【变式】以图 1 的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后，再按顺时针方向旋转180°，所得到图形是（）.【答案】A.类型二、中心对称2.如图，△A′B′C′是△ABC旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角.【答案与解析】∵对应点到旋转中心的距离相等，即OA=OA′∴O点在AA′的垂直平分线上同理 O 点也在BB′的垂直平分线上∴两条垂直平分线的交点 O 就是旋转中心，∠AOA′的度数就是旋转角．【总结升华】中心对称的对应点到对称中心的距离相等，所以对称中心在对应点的垂直平分线上.举一反三：【变式】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）.A．B．C．D．【答案】A.类型三、平移、轴对称、旋转3.（2015•裕华区模拟）如图，点 O 是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接 OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当a=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；（3）探究：当 a 为多少度时，△AOD是等腰三角形？【思路点拨】（1）根据旋转的性质可得出 OC=OD，结合题意即可证得结论；（2）结合（1）的结论可作出判断；（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．【答案与解析】（1）证明：∵将△BOC绕点 C 按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形．（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC绕点 C 按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°，∴△AOD 不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使 OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使 OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠AOD==120°﹣，∴190°﹣α=120°﹣，解得α=140°．综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．【总结升华】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．举一反三：【变式】已知 D 是等边△ABC外一点,∠BDC=120º.求证：AD=BD+DC.【答案】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°.将△ABD绕点A 逆时针旋转60°，得到△EAC，∴△DAB≌△EAC,即∠ABD=∠ACE,∵四边形 ABCD 中,∠BDC=120º,∠BAC=60°,∴∠DBA+∠DCA=180°,即∠ACE+∠DCA=180°,点 D,C,E 三点共线.∴BD+DC=CE+DC=DE.又∵∠DAE=60°.∴△ADE是等边三角形,即DE=AD.∴BD+DC=AD.4.如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD=CD. 求证：BD2=AB2+BC2.【思路点拨】利用 AD=CD 可以将△BCD绕点D 逆时针旋转60°，从而把条件集中到一个三角形中.【答案与解析】证明： ∵AD=CD，∠ADC=60°，∴△BCD 绕点 D 逆时针旋转 60°，得到△EAD， ∴∠BDE=∠CDA=60°，△BCD≌△EAD． ∴BC=AE， BD=DE ，∠DAE=∠DCB, ∴△BDE 为等边三角形． ∴BE=BD．∵在四边形 ABCD 中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°， ∴∠DCB+∠DAB=270°，即∠DAE+∠DAB=270°． ∴∠BAE=90°． ∵在 Rt△BAE 中， ，∴．【总结升华】由求证可知应该建立一个直角三角形，再由已知知道有 30°，60°的角，有等线段，可以构想通过旋转构建直角三角形.5 、正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有一个公共点 A ，点 G 、E 分别在线段 AD 、AB 上（1） 如图连结 DF 、BF ，试问：当正方形 AEFG 绕点 A 旋转时，DF 、BF 的长度是否始终相等？若相等请证明；若不相等请举出反例.（2） 若将正方形 AEFG 绕点 A 顺时针方向旋转，连结 DG ，在旋转过程中，能否找到一条线段的长度与线段 DG的长度相等，并画图加以说明. 【答案与解析】(1) 如图， DF 、BF 的长度不是始终相等，当点 F 旋转到 AB 边上时，DF>AD>BF.（2）线段BE=DG如图: ∵正方形 ABCD 和正方形 AEFG∴AD=AB,AG=AE, ∠1+∠2=∠2+∠3 ∴∠DAG=∠BAE ∴△ADG≌△ABE ∴ DG=BE【总结升华】利用旋转图形的不变性确定全等三角形. 举一反三：【变式】（2015•沈阳）如图，正方形 ABCD 绕点 B 逆时针旋转 30°后得到正方形 BEFG ，EF 与 AD 相交于点 H ，延长DA 交 GF 于点 K ．若正方形 ABCD 边长为，求 AK 的长？【答案与解析】 解：连接 BH ，如图所示：∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形， ∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°， 由旋转的性质得：AB=EB ，∠CBE=30°， ∴∠ABE=60°，在 Rt△ABH 和 Rt△EBH 中，，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL ）， ∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH ， ∴AH= ×=1，∴EH=1， ∴FH=﹣1，在 Rt△FKH 中，∠FKH=30°， ∴KH=2FH=2（﹣1），∴AK=KH﹣AH=2（ ﹣1）﹣1=2 ﹣3； 故答案为： 2 3 .6. 如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=900，E 、F 是 BC 边上点且∠EAF=45°.求证： ．3【思路点拨】通过求证可以猜测要证得直角三角形，所以可以考虑旋转.【答案与解析】∵ △ABC为等腰直角三角形且∠BAC=90°∴ AB=AC，将△CAF 绕点 A 顺时针旋转90°，如图，得到∴∴ ，，，,∴ ,连结，则在,中，∴ ①,又∵ ,∵ .又∵∴ 在与,中,.∴ ②,∴ 由①②得：. 【总结升华】旋转性质：旋转前，后的图形全等.。
九年级数学上册第二十三章旋转知识点归纳总结(精华版)(带答案)
九年级数学上册第二十三章旋转知识点归纳总结(精华版)单选题1、如图，将△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE，点C的对应点恰好落在AB的延长线上，连接AD，下列结论不一定成立的是（）A．AB=DB B．∠CBD=80°C．∠ABD=∠E D．△ABC≌△DBE答案：C分析：利用旋转的性质得△ABC≌△DBE，BA=BD，BC=BE，∠ABD=∠CBE=50°，∠C=∠E，再由A、B、E三点共线，由平角定义求出∠CBD=80°，由三角形外角性质判断出∠ABD＞∠E．解：∵△ABC绕点B顺时针旋转50°得△DBE，∴AB=DB，BC=BE，∠ABD=∠CBE=50°，△ABC≌△DBE，故选项A、D一定成立；∵点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，∴∠ABD+∠CBE+∠CBD =180°，.∴∠CBD=180°-50°-50°=80°，故选项B一定成立；又∵∠ABD=∠E+∠BDE，∴∠ABD＞∠E，故选项C错误，故选C．小提示：本题主要考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．2、将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°)，得到矩形AEFG．当GC=GB时，下列针对α值的说法正确的是（）A．60°或300°B．60°或330°C．30°D．60°答案：A分析：当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，∵GC=GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM=BH=1AD，2∴GM垂直平分AD，∴GD=GA=DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG =60°，∴旋转角α=60°；②当点G 在AD 左侧时，同理可得△ADG 是等边三角形，∴∠DAG =60°，∴旋转角α=360°-60°=300°，故选：A ．小提示：本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．3、已知⊙O 的直径CD ＝100cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝96cm ，则AC 的长为（ ）A ．36cm 或64cmB ．60cm 或80cmC ．80cmD ．60cm答案：B分析：分两种情况讨论，根据题意画出图形，根据垂径定理求出AM 的长，连接OA ，由勾股定理求出OM 的长，进而可得出结论．解：连接AC ，AO ，∵⊙O 的直径CD ＝100cm ，AB ⊥CD ，AB ＝96cm ，∴AM ＝12AB ＝12×96＝48（cm ），OD ＝OC ＝50（cm ），如图1，∵OA ＝50cm ，AM ＝48cm ，CD ⊥AB ，∴OM ＝√OA 2−AM 2＝√502−482＝14（cm ），∴CM ＝OC +OM ＝50+14＝64（cm ），∴AC＝√AM2+CM2＝√642+482＝80（cm）；如图2，同理可得，OM＝14cm，∵OC＝50cm，∴MC＝50−14＝36（cm），在Rt△AMC中，AC＝√AM2+CM2＝60（cm）；综上所述，AC的长为80cm或60cm，故选：B．小提示：本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，根据题意画出图形、利用垂径定理和勾股定理求解是解答此题的关键．4、已知点A(−2,3)与点B关于原点对称，则点B的坐标（）A．(−3,2)B．(2,−3)C．(3,2)D．(−2,−3)答案：B分析：根据关于原点对称点的坐标变化特征直接判断即可．解：点A(−2,3)与点B关于原点对称，则点B的坐标为(2,−3)，故选：B．小提示：本题考查了关于原点对称点的坐标，解题关键是明确关于原点对称的两个点横纵坐标都互为相反数．5、已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（）A．√14B．4C．√23D．5答案：DAB=5，然后在分析：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示，先利用垂径定理求得AC=BC=12RtΔAOC中求得OC=2√6，再在RtΔPOC中，利用勾股定理即可求解．解：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示，则AC=BC=1AB，OA=7，2∵PA＝4，PB＝6，∴AB=PA+PB=4+6=10，∴AC=BC=1AB=5，2∴PC=AC−PA=5−4=1，在RtΔAOC中，OC=√OA2−AC2=√72−52=2√6，在RtΔPOC中，OP=√OC2+PC2=√(2√6)2+12=5，故选：D小提示：本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．6、如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，点D是AB的中点，将△ACD沿CD对折得△A′CD．连接BA′，连接AA′交CD于点E，若AB=14cm，BA′=4cm，则CE的长为（）A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm答案：B分析：由折叠性质得AA′⊥CD，AD=A′D，根据直角三角形斜边上的中线性质可证得CD=AD=BD=A′D，可证得A、C、A′、B共圆且AB为直径，利用垂径定理的推论和三角形的中位线性质证得DE=1A′B，进而可求解CE的长．2解：由折叠性质得AA′⊥CD，AD=A′D，∵∠ACB=90∘，点D是AB的中点，∴CD=AD=BD=A′D=1AB，2∴A、C、A′、B共圆且AB为直径，又A A′⊥CD，∴AE=A′E，又AD=BD，∴DE是△AB A′的中位线，∴DE=1A′B，2∵AB=14cm，BA′=4cm，∴CD=7cm，DE=2cm，∴CE=CD-DE=7-2=5cm，故选B．小提示：本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、折叠性质、垂径定理的推论，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．7、围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGoi进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．答案：A分析：根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形．逐一进行判断即可．解：A、是中心对称图形，符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意；故选A．小提示：本题考查中心对称．熟练掌握中心对称的定义是解题的关键．8、如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据旋转的定义进行分析即可解答解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，分析选项，可得正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是C．故选：C．小提示：本题考查了图纸旋转的性质,熟练掌握是解题的关键.9、将△AOB绕点O旋转180∘得到△DOE，则下列作图正确的是（）A．B．C．D．答案：D分析：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.解：观察选项中的图形，只有D选项为△ABO绕O点旋转了180°.小提示：本题考察了旋转的定义.10、下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．梯形B．等边三角形C．平行四边形D．矩形答案：B分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质对各项进行分析即可．A、梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项说法错误；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项说法正确；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项说法错误；D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项说法错误．故选：B．小提示：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质是解题的关键．填空题11、如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A= °答案：55分析：根据旋转的性质可得∠ACA ′=35°，∠A =∠A ′，再由直角三角形两锐角互余，即可求解． 解：∵把△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转35°，得到△A ′B ′C∴∠ACA ′=35°，∠A =∠A ′，∵∠A ′DC =90°，∴∠A ′=55°∴∠A =55°．所以答案是：55小提示：本题主要考查了图形的旋转，直角三角形两锐角的关系，熟练掌握旋转的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键．12、在平面直角坐标系xOy 中，直线y =−√33x +2分别交x 轴、y 轴于C 、A 两点．将射线AM 绕着点A 顺时针旋转45°，得到射线AN ．点D 为AM 上的动点，点B 为AN 上的动点，点C 在∠MAN 的内部．（1）△BCD 周长的最小值是____________________；（2）当△BCD 的周长取得最小值，且BD =53√2时，△BCD 的面积为__________．答案： 4√2 43分析：（1）可作点C 关于射线AM 的对称点C 1，点C 关于射线AN 的对称点C 2．连接C 1C 2．利用两点之间线段最短，可得到当B 、D 两点与C 1、C 2在同一条直线上时，△BCD 的周长最小，最小值为线段C 1C 2的长．（2）根据（1）的作图可知四边形AC 1CC 2的对角互补，结合轴对称可得∠BCD ＝90°．利用勾股定理得到CB 2+CD 2＝BD 2＝（5√23）2，因为CB +CD ＝4√2﹣5√23，可推出CB •CD 的值，进而求出三角形的面积．（1）∵直线y ＝−√33x +2与x 轴、y 轴分别交于C 、A 两点，把y =0代入，解得x =2√3，把x =0代入，解得y =2，∴点C 的坐标为（2√3，0），点A 的坐标为（0，2）．∴AC ＝√22+(2√3)2=4．作点C 关于射线AM 的对称点C 1，点C 关于射线AN 的对称点C 2．由轴对称的性质，可知CD ＝C 1D ，CB ＝C 2B ． ∴CB +BD +CD ＝C 2B +BD +C 1D ＝C 1C 2连接AC 1、AC 2，可得∠C 1AD ＝∠CAD ，∠C 2AB ＝∠CAB ，AC 1＝AC 2＝AC ＝4．∵∠DAB ＝45°，∴∠C 1AC 2＝90°．连接C 1C 2．C 1C 2=√42+42=4√2，∵两点之间线段最短，∴当B 、D 两点与C 1、C 2在同一条直线上时，△BCD 的周长最小，最小值为线段C 1C 2的长． ∴△BCD 的周长的最小值为4√2．所以答案是：4√2．（2）根据（1）的作图可知四边形AECF 的对角互补，其中∠DAB ＝45°，因此，∠C 2CC 1＝135°． 即∠BCC 2+∠DCC 1+∠BCD ＝135°，∴2∠BCC 2+2∠DCC 1+2∠BCD ＝270°①，∵∠BC 2C ＝∠BCC 2，∠DCC 1＝∠DC 1C ，∠BC 2C +∠DC 1C +∠BCC 2+∠DCC 1+∠BCD ＝180°， ∴2∠BCC 2+2∠DCC 1+∠BCD ＝180°②，①-②得，∠BCD ＝90°．∴CB 2+CD 2＝BD 2＝（5√23）2=509，∵CB +CD ＝4√2﹣5√23=7√23，（CB +CD ）2＝CB 2+CD 2+2CB •CD ，∴2CB •CD ＝（CB +CD ）2-（CB 2+CD 2）= (7√23)2−509=163∴S=12⋅CB⋅CD=43．所以答案是：43小提示：本题考查了最短路径和勾股定理及一次函数的性质，解题关键利用轴对称确定最短路径，结合勾股定理来解决问题．13、若点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，则a＋b＝___．答案：2分析：根据关于原点对称的性质得到a-1+5=0，5+1-b=0，求出a、b，问题得解．解：∵点P（a－1，5）与点Q（5，1－b）关于原点成中心对称，∴a-1+5=0，5+1-b=0，∴a=-4，b=6，∴a+b=2．所以答案是：2小提示：本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟知“两个点关于原点对称，则这两个点的横纵坐标都互为相反数”是解题关键．14、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以BC为一边作正方形BDEC设正方形的对称中心为O，连接AO，则AO＝_____．答案：7√2；分析：连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，判定△AOC≌△FOB（ASA），即可得出AO=FO，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．解：连接AO、BO、CO，过O作FO⊥AO，交AB的延长线于F，∵O是正方形DBCE的对称中心，∴BO=CO，∠BOC=90°，∵FO⊥AO，∴∠AOF=90°，∴∠BOC=∠AOF，即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA，∴∠AOC=∠FBO，∵∠BAC=90°，∴在四边形ABOC中，∠ACO+∠ABO=180°，∵∠FBO+∠ABO=180°，∴∠ACO=∠FBO，在△AOC和△FOB中，{∠AOC=∠FOBAO=FO∠ACO=∠FBO，∴△AOC≌△FOB（ASA），∴AO=FO，FB=FC=6，∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，∴AO=AF×cos45°=14×√22=7√2．故答案为7√2．小提示：本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算．15、如图，在正方形网格中，格点ΔABC绕某点顺时针旋转角α(0<α<180°)得到格点ΔA1B1C1，点A与点A1，点B与点B1，点C与点C1是对应点，则α=_____度．答案：90°分析：先连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E，再由题意得到旋转中心，由旋转的性质即可得到答案.如图，连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E，∵CC1，AA1的垂直平分线交于点E，∴点E是旋转中心，∵∠AEA1=90°，∴旋转角α=90°.故答案为90°.小提示：本题考查旋转，解题的关键是掌握旋转的性质.解答题16、如图，在平面直角坐标系中，已知点B（4，2），BA⊥x轴于A．(1)画出将△OAB绕原点顺时针旋转90°后所得的△OA1B1，并写出点A1、B1的坐标；(2)画出△OAB关于原点O的中心对称图形△OA2B2，并写出点A2、B2的坐标．答案：(1)图见解析，A1（0，﹣4），B1（2，﹣4）(2)图见解析，A2（﹣4，0），B2（﹣4，﹣2）分析：（1）根据旋转先找到找到A1，B1点，再进行连线即可；（2）根据关于原点对称的点特征，找到A2，B2点，再进行连线即可；（1）如图所示，△OA1B1即为所求，由图知，A1（0，﹣4），B1（2，﹣4）；（2）如图所示，△OA2B2即为所求，A2（﹣4，0），B2（﹣4，﹣2）．小提示：本题考查坐标系下图形的旋转，对称作图，根据找点，描点，连线的方法进行作图即可．17、已知：BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF．(1)如图1，求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)如图2，若△ABC为等边三角形，在不添加辅助线的情况下，请你直接写出所有是轴对称但不是中心对称的图形．答案：(1)证明见解析(2)等边△ABC，等边△BEF，等边△CDE，等腰△BDE，等腰梯形ABED，等腰梯形ACEF分析：（1）由角平分线可知∠ABD=∠CBD，由平行可知∠BDE=∠ABD，可得∠CBD=∠BDE，DE=BE= AF，进而结论得证；（2）由题意可得四边形ADEF是菱形，D,E,F是等边三角形的中点，然后根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；对图中的三角形与四边形的对称性进行判断即可．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线∴∠ABD=∠CBD∵DE∥AB∴∠BDE=∠ABD∴∠CBD=∠BDE∴DE=BE=AF∵DE∥AF，DE=AF∴四边形ADEF是平行四边形．（2）解：由（1）知四边形ADEF是平行四边形∴EF∥AC∵△ABC是等边三角形∴∠EFB=∠C=∠B=60°∴BE=EF=DE∴四边形ADEF是菱形∴AF=BF,BE=CE,CD=AD∴D,E,F是等边三角形的中点∴BG⊥EF,BD⊥EF∴由轴对称图形与中心对称图形的定义可知，是轴对称图形但不是中心对称图形的有：等边△ABC，等边△BEF，等边△CDE，等腰△BDE，等腰梯形ABED，等腰梯形ACEF．小提示：本题考查了角平分线，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，轴对称图形，中心对称图形等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．18、如图①，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH是正方形，EH与BD重合，将图①中的正方形EFGH绕着点D逆时针旋转．(1)旋转至如图②位置，使点G落在BC的延长线上，DE交BC于点L．已知旋转开始时，即图①位置∠CDG＝37°，求正方形EFGH从图①位置旋转至图②位置时，旋转角的度数．(2)旋转至如图③位置，DE交BC于点L．延长BC交FG于点M，延长DC交EF于点N．试判断DL、EN、GM之间满足的数量关系，并给予证明．答案：(1)16°(2)DL＝EN+GM，见解析分析：（1）根据题意易求出∠BDC=53°．在图②中连接BD．根据旋转结合正方形性质即得出BD=DE= DG，∠DCB=90°．根据等腰三角形三线合一的性质即可得出∠BDC=∠CDG=53°，从而可求出∠CDE的大小，进而即可求出∠BDE的大小，即旋转角．（2）在图③中，过点G作GK//BM，交DE于K，由正方形的性质可得出∠DEF＝∠GDE，DE＝DG．又易证GK⊥DN，即得出∠NDG+∠EDN=90°，∠NDG+∠DGK=90°，从而得出∠EDN＝∠DGK，由此可证明△DKG≌△END(ASA)，得出EN＝DK．由GK//ML，KL//GM，可判定四边形KLMG是平行四边形，得出结论GM＝KL，从而即可证明DL=EN+GM．（1）由图①知，∠BDC=90°−∠CDG=90°−37°=53°，如图②，连接BD，根据旋转和正方形性质可知BD=DE=DG，∠DCB=90°．∴∠BDC=∠CDG=53°，∴∠CDE=90°−∠CDG=90°−53°=37°，∴∠BDE=∠BDC−∠CDE=53°−37°=16°，∴旋转角为16°；（2）DL＝EN+GM，理由如下：如图③，过点G作GK//BM，交DE于K，∵四边形EFGD是正方形，∴∠DEF＝∠GDE，DE＝DG．∵GK//BM，DN⊥BM，∴GK⊥DN，∴∠NDG+∠EDN=90°，∠NDG+∠DGK=90°，∴∠EDN＝∠DGK，∴△DKG≌△END(ASA)，∴EN＝DK，∵GK//ML，KL//GM，∴四边形KLMG是平行四边形，∴GM＝KL，∴DL=DK+KL=EN+GM．小提示：本题考查正方形的性质，旋转的性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质以及平行四边形的判定和性质，综合性较强．正确的做出辅助线以及利用数形结合的思想是解题关键．。
人教版初中数学九年级上册第23章旋转知识点总结
【人教版】初中数学九年级知识点总结：23旋转【编者按】学生通过平移、平面直角坐标系，轴对称、反比例函数、四边形等知识的学习，初步积累了一定的图形变换数学活动经验．本章在此基础上，让学生经历观察、操作等过程了解旋转的概念，探索旋转的性质，进一步发展空间观察，培养几何思维和审美意识，在实际问题中体验数学的快乐，激发对学习学习。
一、目标与要求1.了解图形的旋转的有关概念并理解它的基本性质。
2.了解旋转及其旋转中心和旋转角的概念，了解旋转对应点的概念及其应用它们解决一些实际问题。
3.理解对应点到旋转中心的距离相等；理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
4.理解旋转前、后的图形全等，掌握以上三个图形的旋转的基本性质的运用。
5.了解中心对称的概念并理解它的基本性质。
6.运用旋转知识作图，旋转角度变化，设计出不同的美丽图案，并运用它解决一些实际问题。
7.了解中心对称图形的概念；掌握关于原点对称的两点的关系并应用；再通过几何操作题的练习，掌握课题学习中图案设计的方法。
二、知识框架三、重点1.图形旋转的基本性质2.中心对称的基本性质3.两个点关于原点对称时，它们坐标间的关系4.图形的旋转的基本性质及其应用5.用旋转的有关知识画图6.利用中心对称、对称中心、关于中心对称点的概念解决一些问题四、难点1.图形旋转的基本性质的归纳与运用2.中心对称的基本性质的归纳与运用3.运用操作实验几何得出图形的旋转的三条基本性质4.根据需要设计美丽图案5.从一般旋转中导入中心对称五、知识点、概念总结1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转。
这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。
图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。
如下图所示：2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角小于0°，大于360°）。
九年级数学人教版第二十三章旋转整章知识详解(同步课本知识结合例题)
旋转的决定因素： 旋转中心和旋转角度和旋转方向.
九年级数学第23章旋转
4.时钟的时针在不停地转动，从上午6时到上午9时，时 针旋转的旋转角是多少度？从上午9时到上午10时呢？
答案：
90
30
５.如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心
O
九年级数学第23章旋转
2.香港特别行政区区旗中央的紫荆花图案由5个相同 的花瓣组成，它是由其中一瓣经过几次旋转得到的？
答案：4次
九年级数学第23章旋转
3.如图，如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合，
那么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有
_____3_个.
A
D
E
B
C
F
九年级数学第23章旋转
1.下列现象中属于旋转的有( C )个.
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；
③方向盘的转动； ④水龙头的转动；
⑤钟摆的运动；
⑥荡秋千.
A.2
B.3
C.4
D.5
九年级数学第23章旋转
2.（青岛·中考）如图，
△ABC的顶点坐标分别为 A（4，6）、B（5，2）、 C（2，1），如果将△ABC 绕点C按逆时针方向旋转
和P′叫做这个旋转的___对__应__点__.
P
O 120
点击播放动画展示
P′
九年级数学第23章旋转
探究：
请大家在硬纸板上，挖一个三角形洞，再挖一个
小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸．先在
纸上描出这个挖掉的三角形洞（△ABC），然后围绕O
转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形洞
九年级数学上册 第二十三章旋转 知识梳理与复习
九年级数学上册(第二十三章)知识梳理与复习知识要点一：图形的旋棱1.如图，可以看到点A旋转到点A'，OA旋转到O A'，∠AOB旋转到∠A'O B'，点B的对应点是点_______;线段OB的对应线段是线段________;线段AB的对应线段是线段______;∠A的对应角是_______;∠B的对应角是_______; 旋转中心是点_______;旋转角是____________.2.如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠C和∠AED都是直角，点E在AB上，如果△ABC经旋转后能与△ADE重合，那么旋转中心是点______;旋转的度数是________.3.下列物体的运动:①摆动的钟摆;②旋转的风车;③电梯上下迎送顾客①关上门(不是推拉门)，属于旋转的有( )A.1种B.2种C.3种D.4种4.如图所示，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是( )A.点AB.点BC.点CD.点D5.如图所示，△ABC为等腰三角形，∠BAC＝90º，D为BC边上一点，△ABD经过旋转至△ACE的位置( )(1)旋转中心是哪一点?(2)旋转角是多少度?(3)分别指出点B，点D的对应点;(4)分别指出∠1与∠2的对应角及线段BD，AD的对应边知识要点二:与旋转有关的计算6.如图所示，四边形ABCD是正方形，△ADE旋转后能与△ABF重合，则∠EAF的度数是( ) A.80° B.90° C.100° D.120°7.如图所示，△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，△EDC 是由△ADB旋转180°所得，则AB边的取值范围是( ) A.1<AB<29 B.4<AB<24C.5<AB<19D.9<AB<198.如图所示，将△ABC绕着点C按顺时针方向旋转20°，B点落在B'位置，A点落在A'位置，若AC⊥A'B＇，则∠BAC的度数是_______.9.如图，在直角坐标系中，已知点A(-3，0)，B(0，4)，对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①，②，③，④，…，则三角形⑩的直角顶点坐标为_________.10.如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点顺时针旋转，使得A与CB的延长线上的E点重合，其中点C的对应点为D点.(1)三角尺旋转了多少度?(2)连接CD，试判断△CBD的形状;(3)求∠BDC的度数知识要点三:旋转作图1.已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示(1)分别写出图中点A和点C的坐标;(2)画出△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后的△A'B＇C'知识要点四:中心对称与中心对称图形12.如图所示的4组图形中，左边图形与右边图形中心对称的有( )A.1组B.2组C.3组D.4组13.如图所示，四边形ABCD是平行四边形、O是对称中心，过O的直线分别交AD，BC于点E，F，则图中相等的线段有( )A.3对B.4对C.5对D.6对14.把下列图形的序号填在相应的横线上.①线段;②角;③等边三角形;④等腰三角形(底边和腰不等);⑤平行四边形;⑥矩形;⑦菱形;⑧正方形.(1)轴对称图形:_________ (2)中心对称图形:____________;(3)既是轴对称图形，又是中心对称图形:______________;(4)是轴对称图形、而不是中心对称图形:______________;(5)不是轴对称图形，而是中心对称图形:______________;15.请你画一条直线，把下面的图形分割成面积相等的两部分知识要点五:关于原点对称的点的坐标16.已知点A(2，a)和点B(b，-1)关于原点对称，则a＝________;b=__________.17.如图所示，将△AOB 绕点O 逆时 针旋转180°，得到△A 'OB ＇,若点A的坐标为(a ，b)，则点A '的坐标为__________. 18.若点P(-m ，m-3)关于原点对称的点是第二象限内的点，则m 满足 ( ) A,m>3 B.0<m≤3 C.m<0 D.m ＜0或m ＞3 19.已知点A 与点B(1，-6)关于y 轴对称、求点A 关于原点的对称点C 的坐标.20.，其中O ，A ，B ，C 的坐标 分别为O(0，0)，A(3，a)，B(4，0)，C(b ，-1) (1)的对称中心的坐标; (2)求a+b 的值知识要点六:图案设计21.下列图形均可由基本图案变换得到:(1) 平移但不能旋转的是:________________________; (2)旋转但不能平移的是:________________________; (3)既可以平移，也可以旋转的是:________________; 22.如图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你 帮他完成余下的工作(1)作出关于直线AB 的轴对称图形;(2)将你画出的部分连同原图形绕点O 逆时针旋转90°; (3)发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让它变得更加美丽Array23.正方形绿化场地拟种植两种不同顔色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案，下面是三种不同设计方案中的一部分，请把图①、图②补成既是轴对称图形又是中心对称图形，并画出一条对称轴;把图③朴成只是中心对称图形，并在中心标上字母P.(在你所设计的图案中用阴影部分表示两种不同颜色的花卉)24.25.26.参考答案。
九年级数学上册第二十三章《旋转》专题复习小专题(六)平移与旋转在解题中的巧用课件(新版)新人教版
图形变换的实质是图形位置的变换,在这个变换过程中有对应线段相等、对应角相等等,利 用这些等量关系可以解决线段、角、面积的计算等有关问题. 类型1 利用平移求面积 1.如图,将Rt△ABC沿着BC的方向平移到Rt△DEF的位置,已知AB=5,DO=2,平移距离为3,则 阴影部分的面积为 ( A ) A.12 C.21 B.24 D.20.5
类型4 利用旋转求角的度数
7.如图,在正方形ABCD中,E为DC边上的点,连接BE,将△BCE绕点C按顺时针方向旋转90°得到 △DCF,连接EF,若∠BEC=60°,则∠EFD的度数为 ( A ) A.15° B.10°C.20° D.25°
8.如图,在△ABC中,∠CAB=70°,将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置,连接EC,满足 EC∥AB,则∠BAD的度数为 ( B )
A.( 1,3 ) C.( 2,1 )
B.( 3,1 ) D.( 2,2 )
15.将含有30°角的直角三角板OAB按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中,OB在x轴上, 若OA=4,将三角板绕原点O逆时针旋转,每秒旋转60°,则第2017秒时,点A的对应点A'的坐标为 ( A )
A.( 0,4 ) C.( -2 3,2
2.如图,在三角形ABC中,AD⊥BC,BC=6,AD=3,将三角形ABC沿射线BC的方向平移2个单位后, 得到三角形A'B'C',连接A'C,则三角形A'B'C的面积为 6 .
类型2 利用平移求线段的长或图形的周长 3.如图,已知线段AB的长度为2 cm,将线段AB向下平移2.5 cm后得到线段A'B',连接AA',BB',则四 边形AA'B'B的周长为 ( C )
九年级数学上第二十三章旋转小结与复习课件
CD
C. 45 ° D. 75 °
A
O 图a B
【解析】关键找出旋转角∠BOD=60 °;
(2) 如图b ,4 ×4的正方形网格中， 三角形MNP绕某 点旋转一定的角度，得到三角形M1N1P1，其旋转中 心是（ B ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D
【解析】作线段MM1与PP1 的 垂直平分线，交点便是旋转中心.
①旋转前后的图形全等
基本 性质
②对应点到旋转中心的距离相等
③对应点与旋转中心所连线段的 夹角等于旋转角
旋转 作图
中心对称
定找 旋
连
定义 性质
旋转180 °
对称中心是对称点连线 段的中点（即两个对称 点与对称中心三点共线
中心对称
图
形
性质
经过对称中心的直线把 原图形面积平分
考点二 旋转变换
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分 别在AB，AC上，CE=BC，连接CD，将线段CD绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CF，连接EF． （1）补充完成图形；
（2）若EF∥CD，求证：∠BDC=90°．
解析：（1）根据题意，找准旋转中心，旋转方向及旋 转角度，补全图形即可； （2）由旋转的性质得∠DCF为直角，由EF与CD平行， 得到∠EFC为直角，利用SAS得到△BDC与△EFC全等， 利用全等三角形对应角相等即可得证．
B2
A x
年秋九年级数学上第二十三章旋转小 结与复 习课件 （PPT优 秀课件 ）
年秋九年级数学上第二十三章旋转小 结与复 习课件 （PPT优 秀课件 ）
例4 如图，有一张不规则纸片，若连接EB,则纸片被
分为矩形FABE和菱形EBCD,请你用无刻度的直尺画
九年级数学上册 第二十三章 旋转解码专训 (新版)新人
图形的变换——平移、对称、旋转在几何证明中的巧用名师点金：在进行与图形变换有关的计算或证明时，往往需要在图形中添加一些辅助线，添加辅助线后能使题目中的分散条件集中，较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决．常见的辅助线作法有平移法、旋转法、翻折法等．翻折法1．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.(第1题)平移法2．如图，在△ABC中，E，F分别为AB，AC上的点，且BE＝CF，请判断EF与BC的大小关系，并说明理由．(第2题)旋转法3．如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作60°角，角的两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，试探究BM，MN，NC之间的关系，并加以证明．(第3题)4．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，E，F分别在AC，AB上，且ME⊥MF，求证：EF<BF ＋CE.(第4题)解码专训二：几种常见的热门考点名师点金：通过对近几年全国各地的中考试题研究发现，对有关图形的平移、旋转与中心对称等知识点的考查呈增加趋势．对于图形的识别，根据图形变换作图以及图形变换性质的有关计算是热门考点，并且与所学的函数、以后将学的相似等知识点融合在一起综合考查．图形的识别1．(2015·佛山)在下列四个图案中，不是．．中心对称图形的是( )2．(2015·哈尔滨)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )3．在圆、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰三角形等图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是__________________．图形变换的作图4．(2014·宁夏)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－2，1)，B(－4，5)，C(－5，2)．(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2.(第4题)5．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(－7，1)，B(1，1)，C(1，7)．线段DE的端点坐标分别是D(7，－1)，E(－1，－7)．(1)试说明如何平移线段AC，使其与线段ED重合；(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转，使AC的对应边为DE，请直接写出点B的对应点F 的坐标；(3)画出(2)中的△DEF，同时绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出旋转后的图形．(第5题)关于原点对称的点的坐标的运用6．已知|2a＋b|＋(b－3)2＝0，则点A(a，b)关于原点对称的点的坐标是__________．7．已知一元二次方程x2＋ax＋b＝0的两根为2和3，则以a为横坐标，b为纵坐标的点A 关于原点对称的点A′的坐标是多少？平移、轴对称和旋转变换的综合应用8．如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的两条直角边OA，OB分别在x轴、y轴的负半轴上，且OA＝2，OB＝1.将Rt△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，再把所得的图象沿x轴正方向平移1个单位得到△CDO.(1)写出A，C两点的坐标；(2)求点A和点C之间的距离．(第8题)9．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A，C的坐标分别为(0，3)、(－1，0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.(1)若抛物线过点C，A，A′，求此抛物线的解析式；(2)求OB′所在直线的解析式．(第9题)应用图形变换的性质进行计算或证明10.(2015·哈尔滨)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′(点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′)，连接CC′，若∠CC′B′＝32°，则∠B的大小是( )A．32°B．64°C．77°D．87°(第10题)(第11题)11．把一副三角板如图①放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB ＝6，DC ＝7，把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1(如图②)，此时AB 与CD 1交于点O ，与D 1E 1相交于点F ，则线段AD 1的长为( )A ．3 2B ．5C ．4D .3112．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点B 的坐标为(6，4)．若直线l 经过点(1，0)，且将▱OABC 分割成面积相等的两部分，则直线l 的函数解析式是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝13x ＋1 C ．y ＝3x －3 D ．y ＝x －1(第12题)(第13题)13．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(－1，2)，点C 的坐标为(－3，0)，将点C 绕点A 逆时针旋转90°，再向下平移3个单位长度，此时点C 的对应点的坐标为________．(第14题)14．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝8，∠C＝90°，D 为BC 的中点，将△ABC 绕点D 逆时针旋转45°，得到△A′B′C′，B′C′与AB 交于点E ，则S 四边形ACDE ＝________．15．如图，正方形ABCD 的边长为3，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且∠EDF＝45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM.(1)求证：EF ＝MF ；(2)当AE ＝1时，求EF 的长．(第15题)16．(2014·黔南州)两个长为2 cm ，宽为1 cm 的长方形，摆放在直线l 上(如图①)，CE ＝2 cm ，将长方形ABCD 绕着点C 顺时针旋转α角，将长方形EFGH 绕着点E 逆时针旋转相同的角度．(1)当旋转到顶点D ，H 重合时，连接AE ，CG(如图②)，求证：△AED≌△GCD；(2)当α＝45°时(如图③)，求证：四边形MHND 为正方形．(第16题)答案解码专训一(第1题)1．证明：如图，延长AD 交BC 于点F.(相当于将AB 边向下翻折，与BC 边重合，A 点落在F 点处，折痕为BE)∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠FDB＝90°.在△ABD 和△FBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABD＝∠FBD，BD ＝BD ，∠ADB＝∠FDB，∴△ABD≌△FBD(ASA )．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.2．解：EF<BC.理由如下：如图，将EF 平移到BM ，则MF 可看成由BE 平移得到，所以CF ＝BE ＝MF ，考虑到MF 与CF 的对称关系，作∠MFC 的平分线交BC 于点D ，连接DM ，易得DM ＝DC.∵BD＋DM>BM ，∴BD＋CD ＞BM ，∴BC>EF，即EF<BC.点拨：本题从平移的角度来思考问题，从而降低了求解的难度．(第2题)(第3题)3．解：猜想：MN ＝BM ＋NC.证明如下：延长NC 到点E ，使CE ＝BM ，连接DE(相当于将△D BM 绕点D 旋转至△DCE)．∵△ABC 是等边三角形，△BDC 是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝180°－120°2＝30°. ∴∠DBM＝∠DCE＝90°.又∵DB＝DC ，∴△DBM≌△DCE.∴DM＝DE ，∠BDM＝∠CDE.∴∠EDN＝∠CDN＋∠CDE＝∠CDN＋∠BDM＝120°－60°＝60°.∵DM＝DE ，∠MDN＝∠EDN，DN ＝DN ，∴△DMN≌△DEN，∴MN＝EN ，∴MN＝NC ＋CE ＝BM ＋NC.(第4题)4．证明：由题意可知BM ＝MC ，∴可将△BFM 绕点M 旋转180°得到△CNM，如图所示，∴BF＝CN ，FM ＝MN.连接EN ，又∵ME⊥MF，∴EN＝EF.在△ENC 中，EN<NC ＋CE ，∴EF<BF＋CE.解码专训二1．B 2.D3．平行四边形4．解：(1)(2)如图所示．(第4题)5．解：(1)将线段AC 先向右平移6个单位，再向下平移8个单位(其他平移的方式也可)； (2)F(－1，－1) (3)图略．6.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－37．解：∵2和3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的根，∴由根与系数的关系得2＋3＝－a ，2×3＝b ，则a ＝－5，b ＝6.所以点A(－5，6)关于原点对称的点A′的坐标是(5，－6)．8．解：(1)∵△CDO 是由△AOB 经过旋转、平移后得到的，∴△CDO≌△AOB.∴OD＝OB ＝1，CD ＝OA ＝2，∠ODC＝∠AOB＝90°，∴A(－2，0)，C(1，2)． (2)连接AC ，在Rt △ADC 中，CD ＝2，AD ＝OA ＋OD ＝3，∴AC＝CD 2＋AD 2＝13.点拨：在平面直角坐标系中图形的平移、轴对称和旋转变换中，应注意点所在的位置及长度相等的对应线段．9．解：(1)设抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由抛物线过C(－1，0)，A(0，3)，A′(3，0)，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.∴y＝－x 2＋2x ＋3.(2)由四边形ABOC 为平行四边形及A(0，3)，C(－1，0)可知B(1，3)．∵四边形A′B′OC′是▱ABOC 绕点O 旋转得到的，∴A′B′＝AB ＝1，OA′＝OA ＝3，∠OA′B′＝∠OAB＝90°.∴点B′的坐标为(3，－1)．于是易求得OB′所在直线的解析式为y ＝－13x. 10．C 11.B 12.D 13.(1，－3) 14.2815．(1)证明：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE＝DM ，∠ADE＝∠CDM.又∵∠ADC ＝90°，∴∠EDM＝90°，即∠ED F ＋∠FDM＝90°.∵∠EDF＝45°，∴∠FDM＝45°.又∵DF ＝DF ，∴△DEF≌△DMF，∴EF＝MF.(2)解：设EF ＝x.∵AE＝CM ＝1，∴EB＝2，BF ＝BM －MF ＝BM －EF ＝4－x.在Rt △EBF 中，由勾股定理，得EB 2＋BF 2＝EF 2，即22＋(4－x)2＝x 2，解得x ＝52，即EF 的长为52. 16．证明：(1)由题意知AD ＝GD ，ED ＝CD ，∠ADC＝∠GDE＝90°，∴∠ADC＋∠CDE＝∠GDE ＋∠CDE，即∠ADE＝∠GD C.在△AED 和△GCD 中，AD ＝GD ，∠ADE＝∠GDC，ED ＝CD ，∴△AED≌△GCD.(2)由α＝45°，易知BC∥EH，EF∥CD，∴∠NCE＝∠NEC＝45°，∴CN＝NE ，∠CNE＝90°，∴∠DNH＝90°.∵∠D＝∠H＝90°，∴四边形MHND 是矩形．∵CN＝NE ，DC ＝HE ，∴DN＝HN ，∴矩形MHND 是正方形．。
九年级数学上册 第二十三章 旋转 图形旋转勿忘分类讨论同步辅导素材 (新版)新人教版
图形旋转勿忘分类讨论 图形的旋转分为逆时针旋转和顺时针旋转两种，有的同学在做题时，由于考虑不全面，只考虑往一个方向旋转而导致出错.下面列举两例说明，希望大家引以为戒.例1 如图1，在△ABO 中，AB ⊥OB ，∠AOB ＝30°，AB ＝1，把△ABO 绕点Ｏ旋转150°后得到△A １B １O ，则点A １的坐标为 （ ）A ．（-１，-3）B ．（-１，-3）或（-２，０）C ．（-3，-１）或（０，-２）D ．（-3，-１）错解：Ａ．剖析：本题没有说明旋转方向，因而需要分类讨论，画出△ABO 绕点Ｏ顺时针旋转150°和逆时针旋转150°后得到的图形△Ａ１Ｂ１Ｏ，然后分别求出点A １的坐标．在△ABO 中，AB ⊥OB ，∠AOB ＝30°，AB ＝１，所以AO ＝２AB ＝２，所以OB ＝22OB OA ＝3．如图2，当△ＡＢＯ绕点Ｏ顺时针旋转150°后得到△Ａ１Ｂ１Ｏ，则∠Ａ１ＯＣ＝150°- ∠ＡＯＢ-∠ＢＯＣ＝150°-30°-90°＝30°，易求得Ａ１（-１，-3）；如图3，当△ＡＢＯ绕点Ｏ逆时针旋转150°后得到△Ａ１Ｂ１Ｏ，此时Ａ１点在ｘ轴负半轴上，Ａ１Ｏ＝２，所以Ａ１（-２，０）．综上所述，点Ａ１的坐标为（-１，-3）或（-２，０）．正解：选Ｂ．例2 在△ABC 中，∠B=45°，∠C=60°，将△ABC 绕点A 旋转30°后与△AB 1C 1重合，求∠BAC 1的度数.错解：如图4， 因为在△ABC 中，∠B=45°，∠C=60°，所以∠BAC=75°.由旋转可知易得∠CAC 1＝30°.所以∠BAC 1=∠BAC+∠CAC 1=75°+30°=105°.图1图4 图5剖析：本题将△ABC绕点A旋转30°，并未指明旋转方向，故应分两种情况讨论，错解只考虑了其中一种情况.正解：当△ABC绕点A按逆时针方向旋转30°时，解法同错解；当△ABC绕点A按顺时针方向旋转30°时，如图5∠BAC1=∠BAC-∠CAC1=75°-30°=45°.所以∠BAC1的度数为105°或45°.。
人教版九年级数学上册第23章 旋转考点.docx
初中数学试卷桑水出品第23章 旋转考点1．旋转：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度练习：1、如图，D 是等腰Rt △ABC 内一点，BC 是斜边，如果将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转到△ACD ′的位置，回答下列问题：（1）旋转中心为 ，旋转角度为 度（2）△AD D ′的形状是 。
2、16:50的时候，时针和分针的夹角是 度2．旋转的性质：1、图形中的每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；2、每一对对应点到旋转中心的距离相等；3、每一对对应点与旋转中心的连线所成的夹角为旋转角；4、旋转只改变图形的位置，旋转前后的图形全等；练习：1、如图，9030AOB B ∠=∠=°，°，A OB ''△可以看作是由AOB △绕点O 顺时针旋转α角度得到的．若点A '在AB 上。
（1）求旋转角大小； （2）判断OB 与A B ''的位置关系，并说明理由。
2、将直角边长为5cm 的等腰直角△ABC 绕点A 逆时针旋转15o后得到AB C ''△，则图中阴影部分的面积是多少？3、如图，在△ABC 中, ο70=∠CAB . 在同一平面内, 将△ABC 绕点A 旋转到△//C AB 的位置, 使A O BA 'B 'A C BB 'C '得AB CC ///, 求/BAB ∠ 的度数。
4、如图6，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 、F 分别在边AB 和BC 上，DCM ∆是由ADE ∆ 逆时针旋转得到的图形。
（1）旋转中心是点__________；（2）旋转角是________度，EDM ∠=_________度；（2）若45EDF ∠=︒，求证EDF MDF ∆∆≌.并求此时BEF ∆的周长.5、△ABC 中，∠BAC ＝90°，P 是△ABC 内一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转一定角度后能与△ACQ 重合，AP ＝3.（1）求△APQ 的面积；（2）判断BQ 与CQ 的位置关系，并说明理由。
九年级数学上册第二十三章旋转知识汇总笔记(带答案)
九年级数学上册第二十三章旋转知识汇总笔记单选题1、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，若AC=2，AB′＝5，则菱形ABCD的边长是（）A．3B．4C．√15D．√17答案：D分析：连接AB′，根据菱形的性质、旋转的性质，得到OA=OC=O′C=1，OB△OC，O′B′△O′C、BC=B′C，根据AB′=5，利用勾股定理计算O′B′，再次利用勾股定理计算B′C即可．解：连接AB′，如图：∵四边形ABCD是菱形，且△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C，且AC=2，∴OA=OC=O′C=1，OB△OC，BC=B′C∴O′B′△O′C，O′A=AC+O′C=2+1=3，∵AB′=5，∴O′B′=√AB′2-O′A2=√5-32=4，∴B′C=√O′B′2+O′C2=√42+12=√17，∴BC=B′C=√17，即菱形ABCD的边长是√17，故选：D．小提示：本题考查了菱形的性质、旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的基本形式并灵活运用勾股定理是解决本题的关键．2、如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪开，能拼成下列四个图形，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．答案：B分析：根据拼成的四个图形是否存在中心对称点，即可判断图形是否为中心对称图形．解：依照中心对称图形的特征：若图形存在中心对称点，沿中心对称点旋转180°后可与原图形重合．选项A图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意；选项B图形有中心对称点，故是中心对称图形，符合题意；选项C图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意；选项D图形无中心对称点，故不是中心对称图形，不符合题意；故选：B．小提示：本题考查中心对称图形的性质特征，熟练掌握相关知识是解题的关键．3、下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．答案：C分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可．A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意，故选：C．小提示：本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键．4、把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（）A．30°B．90°C．120°D．180°答案：C分析：根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．解：∵360°÷3=120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选C．小提示：本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．5、连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（）A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等B．连接HD，则HD平分∠CHEC．整个图形不是中心对称图形D．△CEH是等边三角形答案：D分析：根据正八边形和圆的性质进行解答即可．解：A．∵根据正八边形的性质，四边形ABCH与四边形EFGH能够完全重合，即四边形ABCH与四边形EFGH 全等∴四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等，故选项正确，不符合题意；B．连接DH，如图1，∵正八边形是轴对称图形，直线HD是对称轴，∴HD平分∠CHE故选项正确，不符合题意；C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项正确，不符合题意；D．∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴B＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，CH＝EH，设正八边形的中心是O，连接EO、DH，如图2，∠DOE＝360°=45°8∵OE＝OH∴∠OEH ＝∠OHE ＝12∠DOE ＝22.5° ∴∠CHE ＝2∠OHE ＝45°∴∠HCE ＝∠HEC ＝12（180°－∠CHE ）＝67.5° ∴△CEH 不是等边三角形，故选项错误，符合题意．故选：D ．小提示：本题考查了正多边形和圆，熟记正八边形与等腰三角形的性质是解题的关键．6、如图，射线OM,ON 互相垂直，OA =8，点B 位于射线OM 的上方，且在线段OA 的垂直平分线l 上，连接AB ，AB =5．将线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A ′B ′，若点B ′恰好落在射线ON 上，则点A ′到射线ON 的距离是（ ）A ．245B ．133C ．4D ．√17 答案：A分析：添加辅助线，连接OA ′，OB ，过A ′点作A ′P ⊥ON 交ON 与点P ．根据旋转的性质，得到△A ′B ′O ≌△ABO ，在Rt △A ′PO 和中，∠B ′OA =∠BOA ，根据三角函数和已知线段的长度求出点A ′到射线ON 的距离d =A ′P ．解：如图所示，连接OA ′，OB ，过A ′点作A ′P ⊥ON 交ON 与点P ．∵线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，∴OA′=OA=8，∠B′OB=∠A′OA，∴∠B′OB−∠BOA′=∠A′OA−∠BOA′，即∠B′OA′=∠BOA，∵点B在线段OA的垂直平分线l上，∴OC=12OA=12×8=4，OB=AB=5，BC=√OB2−OC2=√52−42=3，∵∠B′OA′=∠BOA，∴sin∠B′OA′=A′PA′O =sin∠BOA=BCOB，∴A′P8=35，∴d=A′P=245，故选：A小提示：本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．7、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则OE+OF的值为（）A．2√2B．5√2C．√5D．2√5答案：D分析：连接AC，BD，过点O作OM⊥AD于点M，交BC于点N，利用勾股定理求得OE的长即可解题．解：如图，连接AC，BD，过点O作OM⊥AD于点M，交BC于点N，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD=OB∵OM⊥AD∴AM=DM=3∴OM=12AB=2∵AE=2∴EM=AM−AE=1∴OE=√EM2+OM2=√12+22=√5同理可得OF=√5∴OE+OF=2√5故选：D．小提示：本题考查中心对称、矩形的性质、勾股定理等知识，学会添加辅助线，构造直角三角形是解题关键．8、如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（）A．90°﹣αB．αC．180°﹣αD．2α答案：C分析：根据旋转的性质和四边形的内角和是360°，可以求得∠CAD的度数，本题得以解决．解：由题意可得，∠CBD＝α，∠ACB＝∠EDB，∵∠EDB＋∠ADB＝180°，∴∠ADB＋∠ACB＝180°，∵∠ADB＋∠DBC＋∠BCA＋∠CAD＝360°，∠CBD＝α，∴∠CAD＝180°−α，故选C．小提示：本题考查旋转的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．9、如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转角为（）A．75°B．60°C．45°D．15°答案：B分析：根据题意可知旋转角为∠BAC，根据等边三角形的性质即可求解．解：∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置，△ABC是等边三角形，∴旋转角为∠BAC=60°，故选B小提示：本题考查了等边三角形的性质，找旋转角，找到旋转前后对应的线段所产生的夹角即为旋转是解题的关键．10、将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°)，得到矩形AEFG．当GC=GB时，下列针对α值的说法正确的是（）A．60°或300°B．60°或330°C．30°D．60°答案：A分析：当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数．如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论：①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M，∵GC=GB，∴GH⊥BC，∴四边形ABHM是矩形，∴AM=BH=1AD，2∴GM垂直平分AD，∴GD=GA=DA，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG=60°，∴旋转角α=60°；②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形，∴∠DAG=60°，∴旋转角α=360°-60°=300°，故选：A．小提示：本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．填空题11、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=√2，BC=2√2，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△DEC，连接AD，BE，直线AD，BE相交于点F，连接CF，在旋转过程中，线段CF的最大值为__________．答案：√10分析：取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，在△ABC中，由勾股定理得到AB=√10，由旋转可知：△DCE≌△ACB，从而∠DCA=∠BCE，∠ADC=∠BEC，由∠DGC=∠EGF，可得∠AFB=90º，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FH =CH =12AB =√102，在△FCH 中，当F 、C 、H 在一条直线上时，CF 有最大值为√10.解：取AB 的中点H ，连接CH 、FH ，设EC ，DF 交于点G ，在△ABC 中，∠ACB =90º，∵AC =√2，BC =2√2，∴AB =√AC 2+BC 2=√10，由旋转可知：△DCE ≌△ACB ，∴∠DCE =∠ACB ，DC =AC ，CE =CB ，∴∠DCA =∠BCE ，∵∠ADC =12(180º-∠ACD ) ，∠BEC =12 (180º-∠BCE )， ∴∠ADC =∠BEC ，∵∠DGC =∠EGF ，∴∠DCG =∠EFG =90º，∴∠AFB =90º，∵H 是AB 的中点，∴FH =12AB ， ∵∠ACB =90º，∴CH =12AB ，∴FH =CH =12AB =√102，在△FCH中，FH+CH>CF，当F、C、H在一条直线上时，CF有最大值√102+√102=√10，∴线段CF的最大值为√10.所以答案是：√10小提示：本题考查了旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握全等的性质.12、如图，在平面直角坐标系中，已知A(−2,1)，B(−1,4)，C(−1,1)，将△ABC先向右平移3个单位长度得到△A1B1C1，再绕C1顺时针方向旋转90°得到△A2B2C1，则A2的坐标是____________．答案：（2，2）．分析：直接利用平移的性质和旋转的性质得出对应点位置，然后作图，进而得出答案．解：如图示：△A1B1C1，△A2B2C1为所求，根据图像可知，A2的坐标是（2，2），故答案是：（2，2）．小提示：本题主要考查了平移作图和旋转作图，熟悉相关性质是解题关键．13、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=_____．答案：12分析：直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，∴a=﹣4，b=﹣3，则ab=12，所以答案是：12．小提示：本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键.14、以水平数轴的原点O为圆心过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆，将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、⋯、330°得到11条射线，构成如图所示的“圆”坐标系，点A、B的坐标分别表示为(5,0°)、(4,300°)，则点C的坐标表示为_______．答案：(3,240°)分析：根据同心圆的个数以及每条射线所形成的角度，以及A，B点坐标特征找到规律，即可求得C点坐标．解：图中为5个同心圆，且每条射线与x轴所形成的角度已知，A、B的坐标分别表示为(5,0°)、(4,300°)，根据点的特征，所以点C的坐标表示为(3,240°)；所以答案是：(3,240°)．小提示：本题考查坐标与旋转的规律性问题，熟练掌握旋转性质，并找到规律是解题的关键．15、如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，P为△ABC内一点，则PA+PB+PC的最小值为__________．答案：√19分析：将△APB绕点A顺时针旋转60°，得到△AP′B′，连接PP′、CB′，作CN⊥B′A交B′A的延长线于点N，则△AP′B′≌△APB，由题意可证△P′AP是等边三角形，所以PA+PB+PC=PC+PP′+P′B′，所以当B′、P′、P、C共线时，PA+PB+PC=B′C最小，求出B′C=√B′N2+CN2=√19即可；将△APB绕点A顺时针旋转60°，得到△AP′B′，连接PP′、CB′，作CN⊥B′A交B′A的延长线于点N，则△AP′B′≌△APB，∴∠BAP=∠B′AP′，∴AB′=AB=3，AP′=AP，∠B′AB=∠P′AP=60°，∴△P′AP是等边三角形，∴AP′=AP=PP′，∴PA+PB+PC=PC+PP′+P′B′，∴当B′、P′、P、C共线时，PA+PB+PC=B′C最小，∴∠CAN=180°-∠BAB′−∠BAC=60°，CN⊥AN，∴∠ACN=30°，∴AN=1AC=1，CN=√3AN=√3，2∴B′N=AB′+AN=3+1=4，∴B′C=√B′N2+CN2=√19，∴PA+PB+PC=B′C=√19；所以答案是：√19．小提示：本题考查了全等三角形判定与性质，旋转的性质，以及等边三角形的性质和求线段最值的问题，掌握做辅助线是解题的关键．解答题16、如图是在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”．请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换，在以下方格纸中设计另外两个不同的图案．画图要求：①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上，且四个三角形互不重叠；②所设计的图案（不含方格纸）必须是中心对称图形或轴对称图形．答案：解：如下图所示，答案不唯一．易错：容易把三角形画成重叠的．错因：没有看清题目要求．满分备考：由“基本图形”经过旋转、轴对称、平移等可以得到美丽而丰富的图案，而图案涉及的关键是确定基本图形，制定图形变换的具体操作程序．注意应用几种常见的图形变换．解析：运用基本图，按照轴对称和中心对称的特点以及画图规律直接绘制图形即可．17、[问题提出]（1）如图①,△ABC、△ADE均为等边三角形，点D、E分别在边AB、AC上．将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转，连结BD、CE．在图②中证明△ADB≌△AEC．[学以致用]（2）在(1)的条件下，当点D、E、C在同一条直线上时，∠EDB的大小为度．[拓展延伸]（3）在(1)的条件下，连结CD．若BC=6,AD=4,直接写出△DBC的面积S的取值范围．答案：（1）见解析；（2）60或120；（3）9√3−12≤S≤9√3+12分析：（1）运用SAS证明△ADB≌△AEC即可；（2）分“当点E在线段CD上”和“当点E在线段CD的延长线上”两种情况求出∠EDB的大小即可；（3）分别求出△DBC的面积最大值和最小值即可得到结论（1）∵△ABC,△ADE均为等边三角形，∴AD=AE，AB=AC，∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，即∠BAD=∠CAE在△ADB和△AEC中{AD=AE∠BAD=∠CAE AB=AC∴△ABD≅△ACE(SAS)；（2）当D,E,C在同一条直线上时，分两种情况：①当点E在线段CD上时，如图，∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE=∠AED=60°，∴∠AEC=180°−∠AED=120°，由（1）可知，△ADB≅△AEC，∴∠ADB=∠AEC=120°，∴∠EDB=∠ADB−∠ADE=120°−60°=60°②当点E在线段CD的延长线上时，如图，∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE=∠AED=60°∴∠ADC=180°−∠ADE=120°，由（1）可知，△ADB≅△AEC∴∠ADB=∠AEC=60°，∴∠EDB=∠ADB+∠ADE=60°+60°=120°综上所述，∠EDB的大小为60°或120°（3）过点A作AF⊥BC于点F，当点D在线段AF上时，点D到BC的距离最短，此时，点D到BC的距离为线段DF的长，如图：∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC，BC=6∴AB=BC=6，BF=12BC=3∴AF=√AB2−BF2=√62−32=3√3∴DF=3√3−4此时S△DBC=12BC⋅DF=12×6×(3√3−4)=9√3−12；当D在线段FA的延长线上时，点D到BC的距离最大，此时点D到BC的距离为线段DF的长，如图，∵△ABC是等边三角形，AF⊥BC，BC=6∴AB=BC=6，BF=12BC=3，∴AF=√AB2−BF2=√62−32=3√3∵AD=4∴DF=AF+AD=3√3+4此时，S△DBC=12BC⋅DF=12×6×(3√3+4)=9√3+12；综上所述，△DBC的面积S 取值是9√3−12≤S≤9√3+12小提示：此题是几何变换综合题，主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定，旋转过程中面积变化分析，解本题的关键是三角形全等的判定．18、如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45°，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE．（1）求证：△AEM≌△ANM．（2）若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长．答案：（1）证明见解析；（2）正方形ABCD的边长为6．分析：（1）先根据旋转的性质可得AE=AN,∠BAE=∠DAN，再根据正方形的性质、角的和差可得∠MAE= 45°，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）设正方形ABCD的边长为x，从而可得CM=x−3,CN=x−2，再根据旋转的性质可得BE=DN=2，从而可得ME=5，然后根据三角形全等的性质可得MN=ME=5，最后在Rt△CMN中，利用勾股定理即可得．（1）由旋转的性质得：AE=AN,∠BAE=∠DAN∵四边形ABCD是正方形∴∠BAD=90°，即∠BAN+∠DAN=90°∴∠BAN+∠BAE=90°，即∠EAN=90°∵∠MAN=45°∴∠MAE=∠EAN−∠MAN=90°−45°=45°在△AEM和△ANM中，{AE=AN∠MAE=∠MAN=45°AM=AM∴△AEM≅△ANM(SAS)；（2）设正方形ABCD的边长为x，则BC=CD=x∵BM=3,DN=2∴CM=BC−BM=x−3,CN=CD−DN=x−2由旋转的性质得：BE=DN=2∴ME=BE+BM=2+3=5由（1）已证：△AEM≅△ANM∴MN=ME=5又∵四边形ABCD是正方形∴∠C=90°则在Rt△CMN中，CM2+CN2=MN2，即(x−3)2+(x−2)2=52解得x=6或x=−1（不符题意，舍去）故正方形ABCD的边长为6．小提示：本题考查了正方形的性质、旋转的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握旋转的性质与正方形的性质是解题关键．。
九年级数学上册第二十三章旋转全部重要知识点(带答案)
九年级数学上册第二十三章旋转全部重要知识点单选题1、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A、B 的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD．则下列结论错误的是（）A．BE=BC B．BF∥DE，BF=DEC．∠DFC=90°D．DG=3GF答案：D分析：根据旋转的性质可判断A；根据直角三角形的性质、三角形外角的性质、平行线的判定方法可判断B；根据平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质可判断C；利用等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质可判断D．A．∵将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，∴△BCE是等边三角形，∴BE=BC，故A正确；B．∵点F是边AC中点，∴CF=BF=AF=1AC，2∵∠BCA=30°，∴BA=1AC，2∴BF=AB=AF=CF，∴∠FCB=∠FBC=30°，延长BF交CE于点H，则∠BHE=∠HBC+∠BCH=90°，∴∠BHE=∠DEC=90°，∴BF//ED，∵AB=DE，∴BF=DE，故B正确．C．∵BF∥ED，BF=DE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴BC=BE=DF，∵AB=CF，BC=DF，AC=CD，∴△ABC≌△CFD，∴∠DFC=∠ABC=90°，故C正确；D．∵∠ACB=30°，∠BCE=60°，∴∠FCG=30°，∴FG=1CG，2∴CG=2FG．∵∠DCE=∠CDG=30°，∴DG=CG，∴DG=2FG．故D错误．故选D．小提示：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角边等于斜边的一半，以及平行四边形的判定与性质等知识，综合性较强，正确理解旋转性质是解题的关键．2、如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =2√3，BC =3．点P 为ΔABC 内一点，且满足PA 2+PC 2 =AC 2．当PB 的长度最小时，ΔACP 的面积是（ ）A ．3B ．3√3C ．3√34D ．3√32答案：D分析：由题意知∠APC =90°，又AC 长度一定，则点P 的运动轨迹是以AC 中点O 为圆心，12AC 长为半径的圆弧，所以当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短；在RtΔBCO 中，利用勾股定理可求BO 的长，并得到点P 是BO 的中点，由线段长度即可得到ΔPCO 是等边三角形，利用特殊RtΔAPC 三边关系即可求解．解：∵PA 2+PC 2=AC 2∴ ∠APC =90°取AC 中点O ，并以O 为圆心，12AC 长为半径画圆由题意知：当B 、P 、O 三点共线时，BP 最短∴AO =PO =CO∵CO =12AC =12×2√3=√3,BC =3 ∴BO =√BC 2+CO 2=2√3∴BP =BO −PO =√3∴点P 是BO 的中点∴在RtΔBCO 中，CP =12BO =√3=PO ∴ ΔPCO 是等边三角形∴∠ACP=60°∴在RtΔAPC中，AP=CP×tan60°=3∴SΔAPC=12AP×CP=3×√32=3√32．小提示：本题主要考察动点的线段最值问题、点与圆的位置关系和隐形圆问题，属于动态几何综合题型，中档难度．解题的关键是找到动点P的运动轨迹，即隐形圆．3、已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（）A．√14B．4C．√23D．5答案：D分析：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示，先利用垂径定理求得AC=BC=12AB=5，然后在RtΔAOC中求得OC=2√6，再在RtΔPOC中，利用勾股定理即可求解．解：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C，如图所示，则AC=BC=12AB，OA=7，∵PA＝4，PB＝6，∴AB=PA+PB=4+6=10，∴AC=BC=1AB=5，2∴PC=AC−PA=5−4=1，在RtΔAOC中，OC=√OA2−AC2=√72−52=2√6，在RtΔPOC中，OP=√OC2+PC2=√(2√6)2+12=5，故选：D小提示：本题考查了垂径定理及勾股定理的运用，构造直角三角形是解题的关键．4、如图，△ABC中，∠B=35°，∠BAC=70°，将△ABC绕点A旋转逆时针旋转α度（0<α<180）后得到△ADE，点E恰好落在BC上，则α=（）A．30°B．35°C．40°D．不能确定答案：A分析：由三角形内角和求出∠C，由旋转的性质可得ΔAEC是等腰三角形，从而可得旋转角α大小．解：∵∠B=35°，∠BAC=70°，∴∠C=180°−∠B−∠BAC=75°，∵将ΔABC绕点A旋转逆时针旋转α度(0<α<180)后得到ΔADE，点E恰好落在BC上，∴AC=AE，∠CAE=α，∴∠AEC=∠C=75°，∴∠CAE=α=180°−∠AEC−∠C=30°，故选：A．小提示：此题考查了旋转的性质，等边对等角求角度，三角形的内角和定理，熟记旋转的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．5、围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGoi进行围棋人机大战截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是（）A．B．C．D．答案：A分析：根据中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转180°，与自身重合，这样的图形叫做中心对称图形．逐一进行判断即可．解：A、是中心对称图形，符合题意；B、不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，不符合题意；D、不是中心对称图形，不符合题意；故选A．小提示：本题考查中心对称．熟练掌握中心对称的定义是解题的关键．6、如图，一块直角三角板ABC（∠A=60°）绕点C顺时针旋转到△A′B′C，当B，C，A′在同一条直线上时，三角板ABC旋转的角度为（）A．150°B．120°C．60°D．30°答案：A分析：根据旋转的定义可得∠ACA′为旋转角，再根据三角形的外角性质即可得．解：由旋转得：∠ACA′为旋转角，∵∠ABC=90°,∠A=60°，∴∠ACA′=∠ABC+∠A=150°，即三角板ABC旋转的角度为150°，故选：A．小提示：本题考查了图形的旋转、三角形的外角性质，熟练掌握旋转的概念是解题关键．7、如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，若∠E=70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．80°答案：C分析：由旋转的性质可得∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得△ADE，∴∠BAD=55°，∠E=∠ACB=70°，∵AD⊥BC，∴∠DAC=20°，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=75°．故选C．小提示：本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．8、下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．梯形B．等边三角形C．平行四边形D．矩形答案：B分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质对各项进行分析即可．A、梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项说法错误；B、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项说法正确；C、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项说法错误；D、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项说法错误．故选：B．小提示：本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质是解题的关键．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点．若点B′恰好落在AB边上，则点A到直线A′C的距离等于（）A．3√3B．2√3C．3D．2答案：C分析：如图，过A作AQ⊥A′C于Q,求解AB=4,AC=2√3,结合旋转：证明∠B=∠A′B′C=60°,BC=B′C,∠A′CB′=90°,可得△BB′C为等边三角形，求解∠A′CA=60°,再应用锐角三角函数可得答案．解：如图，过A作AQ⊥A′C于Q,由∠ACB=90°,∠A=30°,BC=2，∴AB=4,AC=√AB2−BC2=2√3,结合旋转：∴∠B=∠A′B′C=60°,BC=B′C,∠A′CB′=90°,∴△BB′C为等边三角形，∴∠BCB′=60°,∠ACB′=30°,∴∠A′CA=60°,∴AQ=AC·sin60°=2√3×√3=3.2∴A到A′C的距离为3．故选C小提示：本题考查的是旋转的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．10、如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC=4√2，DE=4，则BC的长是（）A．1B．√2C．2D．4答案：C分析：根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点，AC=4√2∴AD=DC=1AC=2√22∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵OA2=OD2+AD2∴(4−x)2=x2+(2√2)2，解得x=1∴BC=2OD=2x=2故选：C小提示：本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD的长是解题的关键．填空题11、如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合，若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积为__________．答案：4 cm2分析：根据旋转的性质和图形的特点解答．每个叶片的面积为4cm2，因而图形的面积是12cm2．∵图案绕点O旋转120°后可以和自身重合，∠AOB为120°，∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的1，因而3图中阴影部分的面积之和为4cm2．故答案为4cm2．小提示：本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键．注：旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．12、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，O是矩形的对称中心，点E、F分别在边AD、BC上，连接OE、OF，若AE=BF=2，则OE+OF的值为__________．答案：2√13分析：如图，连接，AC，BD．过点O作OM⊥AD于点M交BC于点N．利用勾股定理，求出OE，可得结论．解：如图，连接，AC，BD．∵O 是矩形的对称中心，∴O 也是对角线的交点，过点O 作OM ⊥AD 于点M 交BC 于点N ．∵四边形ABCD 是矩形，∴OA =OD =OB ，∵OM ⊥AD ，∴AM =DM =12AD =12BC =4，∴OM =12AB =3， ∵AE =2，∴EM =AM -AE =2，∴OE =√22+32=√13，同法可得OF =√13，∴OE +OF =2√13，所以答案是：2√13．小提示：本题考查中心对称，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．13、如图，在正方形网格中，格点ΔABC 绕某点顺时针旋转角α(0<α<180°)得到格点ΔA 1B 1C 1，点A 与点A 1，点B 与点B 1，点C 与点C 1是对应点，则α=_____度．答案：90°分析：先连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E，再由题意得到旋转中心，由旋转的性质即可得到答案.如图，连接CC1，AA1，作CC1，AA1的垂直平分线交于点E，连接AE，A1E，∵CC1，AA1的垂直平分线交于点E，∴点E是旋转中心，∵∠AEA1=90°，∴旋转角α=90°.故答案为90°.小提示：本题考查旋转，解题的关键是掌握旋转的性质.14、如图，在矩形ABCD中，AB=2√3，BC=6，点E是直线BC上的一个动点，连接DE，将线段DE绕着点D顺时针旋转120°得到线段DG，连接AG，则线段AG的最小值为_________．答案：√3分析：将线段DC绕点D顺时针旋转120°得到线段DC′，作直线GC′交AD于K，过点A作AH⊥GC′于点H．当点E在直线BC上运动时，G在直线GC′上运动，即点G的运动轨迹是直线GC′．当点G运动到H时，AG最小，最小值即为AH的长度，利用旋转的性质，根据“边角边”的判定方法可证明△DCE∥△DC′G，进而利用全等三角形的性质以及旋转性质可求出AG的最小值．解：如图所示，将线段DC绕点D顺时针旋转120°得到线段DC′，作直线GC′交AD于K，过点A作AH⊥GC′于点H．∵∠EDC=120°−∠EDC′=∠GDC′,CD=C′D,DE=DG,∴△DCE∥△DC′G（SAS）∴∠GC′D=∠C=90°=∠KC′D,如图所示，当点E在直线BC上运动时，G在直线GC′上运动，即点G的运动轨迹是直线GC′．∴当点G运动到H时，AG最小，最小值即为AH的长度．∵∠CDC′=120°,∠CDA=90°,∴∠KDC′=30°,∴C′K=12DK,∠C′KD=60°=∠AKH∵C′D=CD=AB=2√3,∴C′K=2,DK=4∵AD=BC=6∴AK=AD−DK=2在Rt△AKH中，∠AKH=60°∴KH=12AK=1,AH=√3KH=√3则线段AG的最小值为√3所以答案是：√3小提示：本题主要考查了矩形中的旋转变换，能够掌握旋转的性质以及正确作出辅助线找到点G的轨迹是解决本题的关键．15、如图，在△ABC中，AB=AC,∠ABC=30°，点D为BC的中点，将△ABC绕点D逆时针旋转得到△A′B′C′，当点A的对应点A′落在边AB上时，点C′在BA的延长线上，连接BB′，若AA′=1，则△BB′D的面积是____________．答案：3√34分析：先证明△A′AD是等边三角形，再证明A′O⊥BC，再利用直角三角形30°角对应的边是斜边的一般分别求出A′B′和A′O，再利用勾股定理求出OD，从而求得△BB′D的面积．解：如下图所示，设A′B′与BD交于点O，连接A′D和AD，∵点D为BC的中点，AB=AC,∠ABC=30°，∴AD⊥BC,A′D⊥B′C′，A′D是∠B′A′C′的角平分线，AD是∠BAC，∴∠B′A′C′=120°，∠BAC=120°∴∠BAD=∠B′A′D=60°∵A′D=AD，∴△A′AD是等边三角形，∴A′A=AD=A′D=1，∵∠BA′B′=180°−∠B′A′C′=60°，∴∠BA′B′=∠A′AD，∴A′B′//AD，∴A′O⊥BC，∴A′O=12A′D=12，∴OD=√1−14=√32∵A′B′=2A′D=2∵∠A′BD=∠A′DO=30°，∴BO=OD∴OB′=2−12=32，BD=2OD=√3,∴S△BB′D =12×BD×B′O=12×√3×32=3√34．小提示：本题考查等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，证明△A′AD是等边三角形是解本题的关键．解答题16、如图1，D为等边△ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，BD的延长线与AC交于点G，与CE交于点F．（1）求证：BD＝CE；（2）如图2，连接FA，小颖对该图形进行探究，得出结论：∠BFC＝∠AFB＝∠AFE．小颖的结论是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．答案：（1）见解析；（3）正确，见解析分析：（1）根据旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝60°，结合已知条件可得∠BAC＝∠DAE，进而证明△ABD≌△ACE，即可证明BD＝CE；（2）过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，△ABD≌△ACE，BD＝CE，由面积相等可得AM＝AN，证明Rt△AFM≌Rt△AFN，进而证明∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°解：证明：（1）如图1，∵线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∵∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，{AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，（2）由（1）可知△ABD≌△ACE则∠ABD＝∠ACE，又∵∠AGB＝∠CGF，∴∠BFC＝∠BAC＝60°，∴∠BFE＝120°，过A作BD，CF的垂线段分别交于点M，N，又∵△ABD≌△ACE，BD＝CE，∴由面积相等可得AM＝AN，在Rt△AFM和Rt△AFN中，，{AF=AFAM=AN∴Rt△AFM≌Rt△AFN（HL），∴∠AFM＝∠AFN，∴∠BFC＝∠AFB＝∠AFE＝60°．小提示：本题考查了三角形全等的性质与判定，旋转的性质，正确的添加辅助线找到全等三角形并证明是解题的关键．17、如图，在6×6的正方格中，中心点为点O，图中有4个小正方格被涂黑成“L形”．(1)用2B铅笔在图中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”关于点O成中心对称，(2)用2B铅笔在图中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形、又是中心对称图形（要求画出三种）．答案：(1)见解析(2)见解析分析：（1）根据中心对称图形的定义画出图形；（2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可．（1）解：图形如图所示：（2）图形如图所示：小提示：本题考查作图−应用与设计作图，利用轴对称，中心对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义．18、如图，平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4），C（﹣4，﹣1）．（1）在平面直角坐标系中画出与△ABC关于点P（1，0）成中心对称的△A'B'C'，并分别写出点A'，B'，C'的坐标；（2）如果点M（a，b）是△ABC边上（不与A，B，C重合）任意一点，请写出在△A'B'C'上与点M对应的点M'的坐标．答案：（1）△A'B'C'见解析，A′（3，2），B′（4，4），C′（6，1）；（2）M′（2−a，−b）．分析：（1）分别作出A，B，C的对应点A′、B′、C′，然后顺次连接可得△A'B'C'，再根据所作图形写出坐标即可．（2）利用中点坐标公式计算即可．解：（1）△A'B'C'如图所示，A′（3，2），B′（4，4），C′（6，1）；（2）设M′（m，n），则有a+m2=1，b+n2=0，∴m＝2−a，n＝−b，∴M′（2−a，−b）．小提示：本题考查作图−中心对称，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质，正确找出对应点位置．。
秋九年级数学人教版上册课件：第二十三章旋转整理与复习 (共16张PPT)
D
C
E
A
M
B
例2 （1）画出点 P 绕点 O 顺时针旋转 30°后的 对应点．
（2）画出线段 AB 绕点 A（或点 M ）逆时针旋转 45°后的图形．
第23章 整理与复习
• 复习目标：
1．总结和复习图形旋转、中心对称的基本性质的应 用及两个点关于原点对称时坐标之间的关系；
2．注意复习平移、轴对称、旋转的联系和区别，旋 转和中心对称的联系和区别，运用图形旋转、中 心对称的基本性质解一些简单问题．
知识梳理，构建体系
• （一）图形的旋转 1．旋转的定义：
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小专题(六)平移与旋转在解题中的巧用
图形变换的实质是图形位置的变换,在这个变换过程中有对应线段相等、对应角相等等,利用这些等量关系可以解决线段、角、面积的计算等有关问题.
类型1利用平移求面积
1.如图,将Rt△ABC沿着BC的方向平移到Rt△DEF的位置,已知AB=5,DO=2,平移距离为3,则阴影部分的面积为(A)
A.12
B.24
C.21
D.20.5
2.如图,在三角形ABC中,AD⊥BC,BC=6,AD=3,将三角形ABC沿射线BC的方向平移2个单位后,得到三角形A'B'C',连接A'C,则三角形A'B'C的面积为6.
类型2利用平移求线段的长或图形的周长
3.如图,已知线段AB的长度为2 cm,将线段AB向下平移2.5 cm后得到线段A'B',连接
AA',BB',则四边形AA'B'B的周长为(C)
A.4.5 cm
B.8 cm
C.9 cm
D.10 cm
4.如图,Rt△AOB的周长为100,在其内部有n个小直角三角形,则这n个小直角三角形的周长之和为100.
类型3利用平移比较线段
5.一个长为2、宽为1的长方形以下面的四种“姿态”从直线l的左侧水平平移至右侧(下图中的虚线都是水平线).其中,所需平移的距离最短的是(C)
6.王老师在黑板上写了一道题:如图1,线段AB=CD,AB与CD相交于点O,且∠AOC=60°,试比较AC+BD与AB的大小.小聪思考片刻就想出来了,如图2,他说将AB平移到CE位置,连接BE,DE,就可以比较AC+BD与AB的大小了,你知道他是怎样比较的吗?
解:由平移的性质知,AB与CE平行且相等,
∴四边形ACEB是平行四边形,BE=AC,
当B,D,E三点不共线时,
∵AB∥CE,∠DCE=∠AOC=60°,AB=CE,AB=CD,
∴△CED是等边三角形,DE=AB,
根据三角形的三边关系知BE+BD=AC+BD>DE=AB,即AC+BD>AB;
当B,D,E三点共线时,AC+BD=AB,
∴AC+BD≥AB.
类型4利用旋转求角的度数
7.如图,在正方形ABCD中,E为DC边上的点,连接BE,将△BCE绕点C按顺时针方向旋转90°得到△DCF,连接EF,若∠BEC=60°,则∠EFD的度数为(A)
A.15°
B.10°
C.20°
D.25°
8.如图,在△ABC中,∠CAB=70°,将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE的位置,连接EC,满足EC∥AB,则∠BAD的度数为(B)
A.30°
B.40°
C.45°
D.50°
9.如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB'C'D'的位置,旋转角为α(0°<α<90°).若∠1=112°,则∠α的大小是(D)
A.68°
B.20°
C.28°
D.22°
10.如图,把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°,得到Rt△AB'C',点C'恰好落在边AB上,连接BB',则∠BB'C'=20°.
类型5利用旋转求线段的长
11.如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=4,将△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△DEC.若点F是DE的中点,连接AF,则AF=(B)
A.4
B.5
C.4
D.6
12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点A顺时针旋转90°,得到△ADE,连接BD,若AC=3,DE=1,则线段BD的长为(A)
A.2
B.2
C.4
D.2
13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=1,△A'B'C是由△ABC绕点C顺时针旋转所得,连接AB',且点A,B',A'在同一条直线上,则AA'的长为3.
类型6利用旋转确定点的坐标
14.如图,在平面直角坐标系中,OB在x轴上,∠ABO=90°,点A的坐标为(1,2).将△AOB绕点A逆时针旋转90°,则点O的对应点C的坐标为(B)
A.(1,3)
B.(3,1)
C.(2,1)
D.(2,2)
15.将含有30°角的直角三角板OAB按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中,OB在x轴上,若OA=4,将三角板绕原点O逆时针旋转,每秒旋转60°,则第2017秒时,点A的对应点A'的坐标为(A)
A.(0,4)
B.(2,-2)
C.(-2,2)
D.(0,-4)
16.如图所示,边长为2的正三角形ABO的边OB在x轴上,将△ABO绕原点O逆时针旋转30°得到△A1B1O,则点A1的坐标为(B)
A.(,1)
B.(,-1)
C.(1,-)
D.(2,-1)
17.如图①为Rt△AOB,∠AOB=90°,其中OA=3,OB=4.将△AOB沿x轴依次以A,B,O为旋转中心顺时针旋转,分别得图②,图③,…,则旋转到图⑩时直角顶点的坐标是(36,0).。