20 1 1年安徽省普通高校数学卷及答案
2021年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(理科)参考答案
普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分55分。
1．D 2．A 3．B 4．B 5．C 6．C 7．A 8．C 9．D 10．B 11．D二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分。
12．713．c b a 414121++14．3115．①③④⑤三、解答题16．（本小题满分12分）本小题主要考查周期函数、平面向量数量积与三角函数基本关系式，考查运算能力和推理能力.本小题满分12分。
解：因为β为)8π2cos()(+=x x f 的最小正周期，故π=β 因a ·b=m ，又a ·b ＝2)41tan(cos -+βa a ， 故.2)41tan(cos +=+m a a β 由于4πa ，所以 ααααααβαsin cos π)22sin(cos 2sin cos )(2sin cos 222-++=+++a=αααααααααsin cos )sin (cos cos 2sin cos 2sin cos 22-+=-+=1tan π2cos 2cos tan()2(2)1tan 4m ααααα+=+=+-17．（本小题满分14分）本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力.本小题满分14分。
解法1（向量法）：以D 为原点，以DA,DC,1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系xyz D -如图，则有A （2，0，0），B （2，2，0），C （0，2，0），).2,0,0(),2,1,0(),2,1,1(),2,0,1(1111D C B A（Ⅰ）证明：),0,2,2(),0,1,1(11-=-=C A),0,2,2(),0,1,1(11==B D .2,21111B D C A ==∴平行，与平行，1111B D C A ∴ 于是11C A 与AC 共面，11D B 与BD 共面.（Ⅱ）证明：，）＝，，（），，00222001-••DD，）＝，，（），，0022022-••.1AC DB AC DD ⊥⊥∴，，是平面与111BDD B DB DD 内的两条相交直线， .11BDD B AC 平面⊥∴又平面，过AC ACC A 11.1111BDD B ACC A 平面平面⊥∴（Ⅲ）解：.210211201111），，），，，），，，----CC BB 设的法向量，为平面11111),,(ABB A z y x n =,02,021111111==--=•=+-=•z y x BB n z x n于是).1,0,2(,2,1,0111====n z z y 则取 设的法向量，为平面11222),,(BCC B z y x m =.02,022212221=+-=•=+--=•z y CC m z y x BB m于是).1,2,0(,2,1,0222====m y z x 则取1cos ,5m n m n m n •== 11πarccos 5A BBC ∴---二面角的大小为解法2（综合法）：（Ⅰ）证明：，平面平面ABCD D D D C B A D D ⊥⊥111111,111111,D C B A DC D D DA D D 平面，⊥⊥∴∥平面ABCD.于是11D C ∥CD ，11A D ∥DA.设E ，F 分别为DA ，DC 的中点，连结EF ，,,11F C E A 有E A 1∥F C D D 11,∥.1,1,1==DF DE D D ∴E A 1∥,1F C 于是11C A ∥.EF由DE=DF=1,得EF ∥AC ， 故11C A ∥,AC11C A 与AC 共面.过点，，连结，则于点平面作OF OE F C O B E A O B O ABCD O B B . // , // 111111⊥于是. // // 1111OF OE C B OF A B OE =∴，， .,1111AD OE D A A B ⊥∴⊥ .,1111CD OF D C C B ⊥∴⊥所以点O 在BD 上，故.11共面与DB B D（Ⅱ）证明：,11AC D D ABCD D D ⊥∴⊥，平面 又BD ⊥AC （正方形的对角线互相垂直），111BDD B BD D D 是平面与内的两条相交直线， .11BDD B AC 平面⊥∴又平面,111111BDD B ACC A AC ACC A 平面平面，过⊥∴ （Ⅲ）解：∵直线DB 是直线,1DB AC ABCD B B ⊥上的射影，在平面 根据三垂线定理，有AC ⊥.1B B过点A 在平面,,111MO MC M B B AM A ABB ，连结于内作⊥ 则，平面AMC B B ⊥1于是，，MO B B MC B B ⊥⊥11所以，∠AMC 是二面角.1的一个平面角C B B A -- 根据勾股定理，有.6,5,5111===B B C C A A有,1B B OM ⊥,310,310,32,3211====•CM AM BM B B OB O B OM ＝,512cos 222-=•-+=∠CM AM AC CM AM AMC,51arccos π-=∠AMC二面角11πarccos 5A BBC ---的大小为18．（本小题满分14分）本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力，本小题满分14分.（Ⅰ）解：根据求导法则得.0,2In 21)( x xax x x f +-=' 故,0,2In 2)()( x a x x x xf x F +-='=于是.0,221)( x xx x x F -=-='故知F （x ）在（0，2）内是减函数，在（2，+∞）内是增函数，所以，在x ＝2处取得极小值F （2）＝2-2In2+2a.（Ⅱ）证明：由.022In 2)2()(0 a F x F a +-=≥的极小值知，于是由上表知，对一切.0)()(),,0( x xf x F x '=+∞∈恒有从而当.,0)(,0)(0）内单调增加在（故时，恒有+∞'x f x f x所以当.0In 2In 1,0)1()(12x a x x f x f x +--=即时，故当.1In 2In 12+-x a x x x 时，恒有19．（本小题满分12分）本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标系中的两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力.本小题满分12分. 解：（Ⅰ）由题意知，A （a a 2,） 因为22,2OA t a a t =+=所以由于)1.(2,02a a t t +=故有由点B （0，t ）C （c,0）的坐标知，直线BC 的方程为.1=+tyc x 又因点A 在直线BC 上，故有,12=+tac a 将（1）代入上式，得,1)2(2=++a a a c a 解得.)2(22+++=a a c（Ⅱ）因为的斜率为所以直线CD a a D ),)2(2,2(++,1)2(2)2(2))2(22(2)2(22)2(2-=++=+++-++=-++=a a a a a a c a a k CD所以直线CD 的斜率为定值.20．（本小题满分13分）本小题主要考查等可能场合下的事件概率的计算、离散型随机变量的分布列、数学期望的概念及其计算，考查分析问题及解决实际问题的能力.本小题满分13分. 解：（1）ξ的分布列为（Ⅱ）数学期望为E ξ＝.2)435261(282=⨯+⨯+⨯ （Ⅲ）所求的概率.28152812345)2()(=++++=≥=≥ξξξP E P21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）我们有).2()1(1≥++=-n a r T T n n n（Ⅱ）得反复使用上述关系式，对2,11≥=n a T=++++=++=---n a n n n n a r a r T a r T T )1()1()1(1221＝.)1()1()1(12211n n a a a r a r a r a +++++++---①在①式两端同乘1+r ，得).1()1()1()1()1(21121r a r a r a r a T r n n n a n ++++++++=+--②②-①，得[]n n n n n a r r r d r a rT -++++++++=--)1()1()1()1(211＝[],)1(1)1(1n n n a r a r r rd-++--+ 即1122(1)nn a r d a r d d T r n r r r ++=+--如果记,,)1(2121n r d r d r a B r r d r a A nnn -+-=++=则,n n n B A T +=其中{}{}是以为公比的等比数列为首项，以是以n n B r r r rdr a A ;)0(1)1(21 +++ 12a r d d dr r r+---为首项，为公差的等差数列。
2021年安徽高考理科数学真题及答案
2021年安徽高考理科数学真题及答案注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设2（z+）+3(z-)=4+6i，则z=( ).A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i2.已知集合S=｛s|s=2n+1,n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1,n∈Z｝，则S∩T=( )A.B.SC.TD.Z3.已知命题p ：x∈R，sinx＜1；命题q ：x∈R ，≥1，则下列命题中为真命题的是（）A.p qB.p qC.p qD.(pVq)4.设函数f(x)=，则下列函数中为奇函数的是（）A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（）A.B.C.D.6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60种B.120种C.240种D.480种7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y=sin(x-)的图像，则f(x)=（）A.sin()B. sin()C. sin()D. sin()8.在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（）A.B.C.D.9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。
如图，点E,H,G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。
2021年高考真题——文科数学(安徽卷)Word版含答案
2021年一般高等学校招生全国统一考试（安徽卷） 数学（文科）一、选择题1.设i 是虚数单位，则复数()()112i i -+=（A ）3+3i （B ）-1+3i （3）3+i （D ）-1+i 2.设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则()R AC B =（A ）{}1256，，， （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1234，，， 3.设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 4.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（A ）y=lnx （B ）21y x =+ （C ）y=sinx （D ）y=cosx5.已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z=-2x+y 的最大值是（A ）-1 （B ）-2 （C ）-5 （D ）1 6.下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是 （A ）2214y x -= （B ）2214xy -= （C ）2212y x -= （D ）2212xy -= 7.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）68.直线3x+4y=b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b=（A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12 9.一个四周体的三视图如图所示，则该四周体的表面积是（A ）13+ （B ）122+ （C ）23+ （D ）22 10.函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（A ）a>0，b<0，c>0，d>0 （B ）a>0，b<0，c<0，d>0 （C ）a<0，b<0，c<0，d>0 （D ）a>0，b>0，c>0，d<0二;填空题 （11）=-+-1)21(2lg 225lg。
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理（全国卷1，含答案）
2021年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理（全国卷1）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．22．已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥3．某地域通过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地域农村的经济收入转变情况，统计了该地域新农村建设前后农村的经济收入组成比例，取得如下饼图：建设前经济收入组成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的核心为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆组成，三个半圆的直径别离为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部份记为II ，其余部份记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右核心，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点别离为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3 C． D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学试题 (文科) word解析版
2021 年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷文科）[详细解析]一．选择题选择题：本大题共10 小题。
每小题 5 分，共50 分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设i 是虚数单位，若复数a -10(a ∈R) 是纯虚数，则a 的值为（）3 -i（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3 【答案】D【解析】a -所以a=3，故选择D103 -i=a -10(3 +i)(3 -i)(3 +i)=a -10(3 +i)9 -i2=a -10(3 +i)10=a - (3 +i) = (a - 3) -i ，【考点定位】考查纯虚数的概念，及复数的运算，属于简单题.（2）已知A ={x | x +1> 0}, B ={-2, -1, 0,1}，则(C R A) ⋂B =（）（A）{-2, -1}【答案】A（B）{-2} （C）{-1, 0,1} （D）{0,1}【解析】A：x >-1，C R A = {x | x ≤-1}，(C R A) B = {-1,-2}，所以答案选A 【考点定位】考查集合的交集和补集，属于简单题.（3）如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为3（A）41（B）611（C）1225（D）24【答案】C【解析】n = 2, s = 0, s = 0 +12=1；2n = 4, s =1, s =1+1=3；2 2 4 4n = 6, s =3, s =3+1=11 4 4 6 12n = 8, s =11，输出12所以答案选择C【考点定位】本题考查算法框图的识别，逻辑思维，属于中等难题.（4）“(2x-1)x=0”是“x=0”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】Brd 版+微信 5 1+4-5+ 555 ( 5)2 -12 【解析】(2x -1)x = 0, x = 0或 1 2，所以答案选择 B【考点定位】考查充分条件和必要条件，属于简单题.（5）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这五人被录用的机会均等， 则甲或乙被录用的概率为2 （A ）3【答案】D2 (B)53 (C)59（D ）10【解析】总的可能性有 10 种，甲被录用乙没被录用的可能性 3 种，乙被录用甲没被录用的可 3 + 3 + 3能性 3 种，甲乙都被录用的可能性 3 种，所以最后的概率 p == 1 10【考点定位】考查古典概型的概念，以及对一些常见问题的分析，简单题.（6）直线 x + 2 y - 5 + = 0 被圆 x 2+ y 2- 2x - 4y = 0 截得的弦长为 （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ） 4 【答案】C【解析】圆心(1, 2) ，圆心到直线的距离 d ==1，半径 r = ，所以最后弦长为2 = 4 .【考点定位】考查解析几何初步知识，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，简单题.（7）设 S n 为等差数列{a n }的前 n 项和， S 8 = 4a 3 , a 7 = -2 ，则 a 9 = （A ） -6【答案】A 【解析】（B ） -4（C ） -2（D ）2S = 4a ⇒ 8(a 1 + a 8 ) = 4a ⇒ a + a = a8 3 2∴ a 6 = 0 d = -23 3 6 3a 9 = a 7 + 2d = -6【考点定位】考查等差数列通项公式和前 n 项公式的应用，以及数列基本量的求解.(8) 函数 y = f (x ) 的图像如图所示，在区间[a , b ]上可找到 n (n ≥ 2) 个不同的数 x 1 , x 2 , , x n ，使得 f (x 1 ) = x 1 f (x 2 )= = x 2 f (x n ) ，则 n 的取值范围为 x n(A) {2, 3} (B) {2, 3, 4} (C) {3, 4} (D) {3, 4, 5}购买 1951 年至今各地全部高考数学试卷及答案 wo61 2 【答案】B 【解析】f (x 1 ) = f (x 1 ) - 0 表示(x , f (x )) 到原点的斜率；x 1 x 1 - 0f (x 1 ) = f (x 2 ) = = f (x n ) 表示(x , f (x ))，(x , f (x ))， ，(x , f (x )) 与原点连线的斜率， x 1 x 2 x n 1 1 2 2 n n而(x 1, f (x 1 ))，(x 2 , f (x 2 ))， ，(x n , f (x n )) 在曲线图像上，故只需考虑经过原点的直线与曲线的交点有几个，很明显有 3 个，故选 B.【考点定位】考查数学中的转化思想，对函数的图像认识.(9) 设 ∆ABC 的内角 A , B , C 所对边的长分别为 a , b , c ，若b + c = 2a , 3sin A = 5sin B ,则角 C =π(A)32π (B)33π (C)45π (D)6【答案】B【解析】 3sin A = 5sin B 由正弦定理，所以3a = 5b ,即a = 5b ；3因为b + c = 2a ，所以c = 7a ，3cos C = a 2 + b 2 - c 2 2ab = - 12 ，所以C =2π ，答案选择 B 3【考点定位】考查正弦定理和余弦定理，属于中等难度.（10）已知函数 f (x ) = x 3 + ax 2+ bx + c 有两个极值点 x , x ，若 f (x ) = x < x，则关于 x 的 12方程3( f (x ))2+ 2af (x ) + b = 0 的不同实根个数为（A ）3(B) 4(C) 5(D) 6112【答案】A【解析】 f '(x ) = 3x 2+ 2ax + b ， x , x 是方程3x 2+ 2ax + b = 0 的两根， 由3( f (x ))2+ 2af (x ) + b = 0 ，则又两个 f (x ) 使得等式成立， x = f (x ) ， x > x = f (x ) ，其函数图象如下：112111 11⎩如图则有 3 个交点，故选 A.【考点定位】考查函数零点的概念，以及对嵌套型函数的理解.二．填空题（11） 函数 y = ln(1+ ) + x的定义域为 .【答案】(0,1]⎧1+ 1> 0 ⇒ x > 0或x < -1⎪【解析】 ⎨ ⎪⎩ x1- x 2 ≥ 0 ⇒ -1 ≤ x ≤ 1，求交集之后得 x 的取值范围(0,1] 【考点定位】考查函数定义域的求解，对数真数位置大于 0，分母不为 0，偶次根式底下大于等于 0.⎧ x - y ≥ -1（12）若非负数变量 x , y 满足约束条件 ⎨x + 2 y ≤ 4 ，则 x + y 的最大值为 .【答案】4【解析】由题意约束条件的图像如下：当直线经过(4, 0) 时， z = x + y = 4 + 0 = 4 ，取得最大值.【考点定位】考查线性规划求最值的问题，要熟练 掌握约束条件的图像画法，以及判断何时 z 取最大.（13）若非零向量 a , b 满足 a = 3 b = a + 2b ，则 a , b 夹角的余弦值为 .1【答案】 - 3 2 2 22【解析】等式平方得： a = 9 b = a + 4 b + 4a ⋅b 2 2 2 2则 a = a + 4 b + 4|a |⋅|b |cos θ，即0 = 4 b + 4⋅3|b |2cos θ 1- x 236 1 1得cos θ= - 13【考点定位】考查向量模长，向量数量积的运算，向量最基本的化简.（14）定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +1) = 2 f (x ) .若当0 ≤ x ≤ 1时。
2021年安徽省高考数学试卷(理科)解析
2021年安徽省高考数学试卷（理科）一.选择题（每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2021•安徽）设i是虚数单位，那么复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）（2021•安徽）以下函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A ．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+13．（5分）（2021•安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，那么p是q成立的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2021•安徽）以下双曲线中，核心在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=15．（5分）（2021•安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，那么以下命题正确的选项是（）A若α，β垂直于．同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面6．（5分）（2021•安徽）假设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，那么数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8 B．15 C．16 D．327．（5分）（2021•安徽）一个四面体的三视图如下图，那么该四面体的表面积是（）A．1+B．2+C．1+2D．28．（5分）（2021•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，知足=2，=2+，那么以下结论正确的选项是（）A．||=1 B．⊥C．•=1D．（4+）⊥9．（5分）（2021•安徽）函数f（x）=的图象如下图，那么以下结论成立的是（）A ．a＞0，b＞0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜010．（5分）（2021•安徽）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，那么以下结论正确的选项是（）A ．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2）D．f（2）＜f（0）＜f（﹣2）二.填空题（每题5分，共25分）11．（5分）（2021•安徽）（x3+）7的展开式中的x5的系数是（用数字填写答案）12．（5分）（2021•安徽）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是．13．（5分）（2021•安徽）执行如下图的程序框图（算法流程图），输出的n为14．（5分）（2021•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，那么数列{a n}的前n项和等于．15．（5分）（2021•安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，以下条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2021•安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC 边上，AD=BD，求AD的长．17．（12分）（2021•安徽）已知2件次品和3件正品混放在一路，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测终止．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的散布列和均值（数学期望）18．（12分）（2021•安徽）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n ≥．19．（13分）（2021•安徽）如下图，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值．20．（13分）（2021•安徽）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，知足|BM|=2|MA|，直线OM 的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．21．（13分）（2021•安徽）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx ）在（﹣，）内的单调性并判定有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f n（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D2（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a n=b n=0，求s=b ﹣知足条件D≤1时的最大值．2021年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每题5分，共50分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2021•安徽）设i是虚数单位，那么复数在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：先化简复数，再得出点的坐标，即可得出结论．解答：解：=i（1+i）=﹣1+i，对应复平面上的点为（﹣1，1），在第二象限，故选：B．点评：本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．2．（5分）（2021•安徽）以下函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A ．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1考点：函数的零点；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的判断方法以及零点的判断方法对选项分别分析选择．解答：解：对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；故选A．点评：本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断f（﹣x）与f（x）的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．3．（5分）（2021•安徽）设p：1＜x＜2，q：2x＞1，那么p是q成立的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：运用指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，即可判断．解答：解：由1＜x＜2可得2＜2x＜4，则由p推得q成立，若2x＞1可得x＞0，推不出1＜x＜2．由充分必要条件的定义可得p是q成立的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题．4．（5分）（2021•安徽）以下双曲线中，核心在y轴上且渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：对选项首先判定焦点的位置，再求渐近线方程，即可得到答案．解答：解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．故选C．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题．5．（5分）（2021•安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，那么以下命题正确的选项是（）A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理对选项分别分析解答．解答：解：对于A，若α，β垂直于同一平面，则α与β不一定平行，如果墙角的三个平面；故A错误；对于B，若m，n平行于同一平面，则m与n平行．相交或者异面；故B错误；对于C，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C错误；对于D，若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这两条在平行；故D正确；故选D．点评：本题考查了空间线面关系的判断；用到了面面垂直、线面平行的性质定理和判定定理．6．（5分）（2021•安徽）假设样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，那么数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A ．8 B．15 C．16 D．32考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．解答：解：∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，∴=8，即DX=64，数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，则对应的标准差为==16，故选：C．点评：本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．7．（5分）（2021•安徽）一个四面体的三视图如下图，那么该四面体的表面积是（）A ．1+B．2+C．1+2D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，结合题意画出图形，利用图中数据求出它的表面积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥，如图所示；∴该几何体的表面积为S表面积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC=×2×1+2××+×2×1=2+．故选：B．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．8．（5分）（2021•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，知足=2，=2+，那么以下结论正确的选项是（）A．||=1 B．⊥C．•=1D．（4+）考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意，知道，，根据已知三角形为等边三角形解之．解答：解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2，=2+，又，所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4，=4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选D．点评：本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．9．（5分）（2021•安徽）函数f（x）=的图象如下图，那么以下结论成立的是（）A ．a＞0，b＞0，c＜0B．a＜0，b＞0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：分别根据函数的定义域，函数零点以及f（0）的取值进行判断即可．解答：解：函数在P处无意义，即﹣c＞0，则c＜0，f（0）=，∴b＞0，由f（x）=0得ax+b=0，即x=﹣，即函数的零点x=﹣＞0，∴a＜0，综上a＜0，b＞0，c＜0，故选：C点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及f（0）的符号是解决本题的关键．10．（5分）（2021•安徽）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，那么以下结论正确的选项是（）A．f（2）＜f（﹣2）＜f（0）B．f（0）＜f（2）＜f（﹣2）C．f（﹣2）＜f（0）＜f（2）D．f（2）＜f＜f（﹣2）考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：依题意可求ω=2，又当x=时，函数f（x）取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f（x）=Asin（2x+），利用正弦函数的图象和性质及诱导公式即可比较大小．解答：解：依题意得，函数f（x）的周期为π，∵ω＞0，∴ω==2．（3分）又∵当x=时，函数f（x）取得最小值，∴2×+φ=2kπ+，k∈Z，可解得：φ=2kπ+，k∈Z，（5分）∴f（x）=Asin （2x+2kπ+）=Asin（2x+）．（6分）∴f（﹣2）=Asin （﹣4+）=Asin （﹣4+2π）＞0．f（2）=Asin（4+）＜0f（0）=Asin =Asin＞0又∵＞﹣4+2π＞＞，而f（x）=Asin（2x+）在区间（，）是单调递减的，∴f（2）＜f（﹣2）＜f（0）故选：A．点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题．二.填空题（每题5分，共25分）11．（5分）（2021•安徽）（x3+）7的展开式中的x5的系数是35（用数字填写答案）考点：二项式定理的应用．专题：二项式定理．分析：根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为5求得r，再代入系数求出结果．解答：解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；要求展开式中含x5的项的系数，∴21﹣4r=5，∴r=4，可得：=35．故答案为：35．点评：本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．12．（5分）（2021•安徽）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是6．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，把代入可得直角坐标方程，直线θ=（ρ∈R）化为y=x．利用点到直线的距离公式可得圆心C（0，4）到直线的距离d，可得圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值=d+r．解答：解：圆ρ=8sinθ化为ρ2=8ρsinθ，∴x2+y2=8y，化为x2+（y﹣4）2=16．直线θ=（ρ∈R）化为y=x．∴圆心C（0，4）到直线的距离d==2，∴圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值=d+r=2+4=6．故答案为：6．点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．（5分）（2021•安徽）执行如下图的程序框图（算法流程图），输出的n为4考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．故答案为：4．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n的值是解题的关键，属于基础题．14．（5分）（2021•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，那么数列{a n}的前n 项和等于2n﹣1．考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{a n}的前n项和．解答：解：数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，∴8=1×q3，q=2，数列{a n}的前n项和为：=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．点评：本题考查等比数列的性质，数列{a n}的前n项和求法，基本知识的考查．15．（5分）（2021•安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，以下条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：对五个条件分别分析解答；利用数形结合以及导数，判断单调区间以及极值．解答：解：设f（x）=x3+ax+b，f'（x）=3x2+a，①a=﹣3，b=﹣3时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f （1）=﹣5，f （﹣1）=﹣1；并且x＞1或者x＜﹣1时f'（x）＞0，所以f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）都是增函数，所以函数图象与x轴只有一个交点，故x3+ax+b=0仅有一个实根；如图②a=﹣3，b=2时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=0，f （﹣1）=4；如图③a=﹣3，b＞2时，函数f（x）=x3﹣3x+b，f（1）=﹣2+b＞0，函数图象形状如图②，所以方程x3+ax+b=0只有一个根；④a=0，b=2时，函数f（x）=x3+2，f'（x）=3x2≥0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；⑤a=1，b=2时，函数f（x）=x3+x+2，f'（x）=3x2+1＞0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．故答案为：①③④⑤．点评：本题考查了函数的零点与方程的根的关系；关键是数形结合、利用导数解之．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2021•安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC 边上，AD=BD，求AD的长．考点：正弦定理；三角形中的几何计算．专题：解三角形．分析：由已知及余弦定理可解得BC的值，由正弦定理可求得sinB，从而可求cosB，过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，即可求得AD的长．解答：解：∵∠A=，AB=6，AC=3，∴在△ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC=90．∴BC=3 (4)分∵在△ABC中，由正弦定理可得：，∴sinB=，∴cosB=…8分∵过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB，∴Rt△ADE中，AD=== (1)2分点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）（2021•安徽）已知2件次品和3件正品混放在一路，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或检测出3件正品时检测终止．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的散布列和均值（数学期望）考点：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，利用古典概型的概率求解即可．（Ⅱ）X的可能取值为：200，300，400．求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．解答：解：（Ⅰ）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，则P（A）==．（Ⅱ）X的可能取值为：200，300，400P（X=200）==．P（X=300）==．P（X=400）=1﹣P（X=200）﹣P（X=300）=．X的分布列为：XPEX=200×+300×+400×=350．点评：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．18．（12分）（2021•安徽）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x 轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n ≥．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：导数的概念及应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：（1）利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标；（2）利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立．解答：解：（1）y'=（x2n+2+1）'=（2n+2）x2n+1，曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线斜率为2n+2，从而切线方程为y﹣2=（2n+2）（x﹣1）令y=0，解得切线与x轴的交点的横坐标为，（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：T n=x12x32…x2n﹣12=，当n=1时，，当n≥2时，因为=所以T n综上所述，可得对任意的n∈N+，均有点评：本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型．19．（13分）（2021•安徽）如下图，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣AD﹣B1的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）通过四边形A1B1CD为平行四边形，可得B1C∥A1D，利用线面平行的判定定理即得结论；（Ⅱ）以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，设边长为2，则所求值即为平面A1B1CD的一个法向量与平面A1EFD的一个法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．解答：（Ⅰ）证明：∵B1C=A1D且A1B1=CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴B1C∥A1D，又∵B1C⊄平面A1EFD，∴B1C∥平面A1EFD，又∵平面A1EFD∩平面EF，∴EF∥B1C；（Ⅱ）解：以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz如图，设边长为2，∵A1D⊥平面A1B1CD，∴=（0，1，1）为平面A1B1CD的一个法向量，设平面A1EFD 的一个法向量为=（x，y，z），又∵=（0，2，﹣2），=（1，1，0），∴，，取y=1，得=（﹣1，1，1），∴cos （，）==，∴二面角E﹣AD﹣B1的余弦值为．点评：本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．20．（13分）（2021•安徽）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，知足|BM|=2|MA|，直线OM 的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）由于点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，即，可得．利用，可得．（II）由（I）可得直线AB的方程为：=1，利用中点坐标公式可得N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，可得b，解得即可．解答：解：（I）∵点M在线段AB 上，满足|BM|=2|MA|，∴，∵A（a，0），B（0，b），∴=．∵，∴，a=b．∴=．（II）由（I）可得直线AB的方程为：=1，N．设点N关于直线AB的对称点为S，线段NS的中点T，又AB垂直平分线段NS，∴，解得b=3，∴a=3．∴椭圆E的方程为：．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（13分）（2021•安徽）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx ）在（﹣，）内的单调性并判定有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f n（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D2（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a n=b n=0，求s=b ﹣知足条件D≤1时的最大值．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）设t=sinx，f（t）=t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），讨论对称轴和区间的关系，即可判断极值的存在；（Ⅱ）设t=sinx，t∈[﹣1，1]，求得|f（t）﹣f0（t）|，设g（t）=|﹣t（a﹣a0）+（b﹣b0）|，讨论g（1），g（﹣1）取得最大值；（Ⅲ）由（Ⅱ）讨论ab≥0时，ab≤0时，D的取值，求得点（a，b）所在区域，求得s=b ﹣的最大值．解答：解：（Ⅰ）设t=sinx，在x∈（﹣，）递增，即有f（t）=t2﹣at+b（﹣1＜t＜1），f′（t）=2t﹣a，①当a≥2时，f′（t）≤0，f（t）递减，即f（sinx）递减；当a≤﹣2时，f′（t）≥0，f（t）递增，即f（sinx）递增．即有a≥2或a≤﹣2时，不存在极值．②当﹣2＜a＜2时，﹣1＜t ＜，f′（t）＜0，f（sinx）递减；＜t＜1，f′（t）＞0，f（sinx）递增．f（sinx）有极小值f （）=b ﹣；（Ⅱ）设t=sinx，t∈[﹣1，1]，|f（t）﹣f0（t）|=|﹣t（a ﹣a0）+（b﹣b0）|，易知t=±1时，取得最大值，设g（t）=|﹣t （a﹣a0）+（b ﹣b0）|，而g（1）=|﹣（a ﹣a0）+（b﹣b0）|，g（﹣1）=|（a﹣a0）+（b ﹣b0）|，则当（a﹣a0）（b ﹣b0）≥0时，D=g（t）max=g （﹣1）=|（a﹣a0）+（b﹣b0）|；当（a﹣a0）（b ﹣b0）≤0时，D=g（t）max=g （1）=|﹣（a﹣a0）+（b﹣b0）|．（Ⅲ）由（Ⅱ）得ab≥0时，D=|a+b|，当ab≤0时，D=|a ﹣b|．即有或，点（a，b）在如图所示的区域内，则有s=b﹣，当b取最大值1时，取最小值0时，s max=1．点评：本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数形结合的思想，属于难题．参与本试卷答题和审题的教师有：刘长柏；changq；双曲线；maths；742048；w3239003；qiss；孙佑中；雪狼王；cst（排名不分前后）菁优网2021年6月13日。
2021年高考真题——理科数学(安徽卷
普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间为120分钟。
参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）设i 是虚数单位，z 表示复数z 的共轭复数，若z =1+i ，则iz+i ·z = （A ）-2 （B ）-2i （C ）2 （D ）2i （2）“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）34 （B ）55 （C ）78 （D ）89（4）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。
已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧-=+=3,1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）22（5）x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+.022,022,02y x y x y x 若z=y-ax 取得最大值的最优解不唯一．．．，则实数a 的值为 （A ）21 或-1 （B ）2或21（C ）2或1 （D ）2或-1（6）设函数f(x)（x ∈R ）满足f(x+π)=f(x)+sinx.当0≤x ＜π时，f(x)=0，则)623(πf = （A ）21（B ）23（C ）0 （D ）21-（7）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（A ）321+ （B ）318+ （C ）21 （D ）18（8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（A ）24对 （B ）30对 （C ）48对 （D ）60对（9）若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a 的值为（A ）5或8 （B ）-1或5 （C ）-1或 -4 （D ）-4或8（10）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a, b, |a|=|b| = 1 , a ·b = 0,点Q 满足OQ =2(a+b).曲线C={P|OP =acos θ+bsin θ,0≤θ＜2π},区域Ω={P|0＜r ≤|PQ |≤R, r ＜R}．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则（A ）1＜r ＜R ＜3 （B ）1＜r ＜3≤R （C ）r ≤1＜R ＜3 （D ）1＜r ＜3＜R第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）若将函数)42sin()(π+=x x f 的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 .（12）数列{}n a 是等差数列，若a 1+1，a 3+3，a 5+5构成公比为q 的等比数列，则q= .（13）设a ≠0，ｎ是大于１的自然数，na x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式为.2210nn x a x a x a a ++++ 若点),(i i a i A (i =0,1,2)的位置如图所示，则a= ．（14）若F 1，F 2分别是椭圆E ：1222=+by x （0＜b ＜1）的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若BF AF 113=，x AF ⊥2轴，则椭圆E 的方程为 .①S 有5个不同的值 ②若a ⊥b ，则S min 与a 无关 ③若a ∥b ，则S min 与b 无关 ④若a b 4>，则S min ＞0⑤若a b 2=，S min =28a ，则a 与b 的夹角为4π三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）（本小题满分12分）设△ABC 的内角A,B,C 所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B. (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)求⎪⎭⎫⎝⎛+4sin πA 的值.（17）（本小题满分 12 分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完 5 局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛。
安徽大学2021高等数学A卷
安徽大学2021—2022学年第一学期《 高等数学A （一） 》期末考试试卷（A 卷） （闭卷 时间120分钟） 考场登记表序号________ 一、选择题（每小题3分，共15分） 1．若0x →时，函数()ln(1)f x x x =−+与n x 是同阶无穷小，则n =（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．若函数111()1x x e f x e +=−，则0x =是()f x 的（ ）间断点． （A ）可去 （B ）跳跃 （C ）第二类无穷型 （D ）第二类振荡型 3．若()f x 在点0x 处取得极小值，则下列命题中正确的是（ ）． （A ）()f x 在00(,)x x δ−内单调减少，在00(,)x x δ+内单调增加 （B ）在00(,)x x δ−内'()0f x <，在00(,)x x δ+内'()0f x > （C ）0'()0f x =且0"()0f x > （D ）对任意0000(,)(,)x x x x x δδ∈−⋃+，恒有0()()f x f x > 4．微分方程1''4cos 22y y x +=的特解形式为（ ）． （A ）cos 2ax x （B ）cos 2a x （C ）cos 2sin 2ax x bx x + （D ）cos 2sin 2a x b x + 5．下列广义积分中，发散的是 ( )． （A ）201dx x +∞⎰ （B）1dx ⎰ （C ）()21ln e dx x x +∞⎰ （D ）0x xe dx +∞−⎰二、填空题（每小题3分，共15分）6．数列极限222lim ________(1)(2)()n n n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭．7．曲线21arcsin y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的斜渐近线方程为__________．院/系 年级 专业 姓名 学号 答 题 勿 超 装 订 线 ------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------8．曲线y =()0 1，处的曲率为__________． 9．曲线段ln cos y x =（06x π≤≤）的弧长为__________．10．(333cos x x dx −+=⎰___________．三、计算题（每小题10分，共60分）11．求极限10lim(2sin cos )xx x x →+． 12．设()y f x =由方程2cos()1x y e xy e +−=−所确定，求曲线()y f x =在0x =处的 法线方程.13．设函数()f x 在区间[0,2]上有二阶连续导数，且(0)1(2)3(2)5f f f '===，，， 求10(2)xf x dx ''⎰. 14．设函数=)(x f 2,01,101cos x xe x x x−⎧≥⎪⎨−≤<⎪+⎩，求⎰−41)2(dx x f ． 15．设函数()y y x =是微分方程(2)0xdy x y dx +−=满足条件(1)2y =的解，求曲线 ()y y x =与x 轴所围图形的面积. 16．求函数20()(2)x t f x t e dt −=−⎰在区间[0,)+∞上的最大值和最小值.四、证明题（每小题5分，共10分）17．设函数)(x f 在[0,1]上连续，且0)(>x f ， 证明：方程011()d d 0()x x f t t t f t +=⎰⎰在(0,1)内有唯一的实根. 18．设()f x 在[1,2]上连续，在(1,2)内可导，且1(1)2f =，(2)2f =. 证明：存在(1,2)ξ∈，使得2()'()f f ξξξ=.。
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20 1 1年安徽省普通高校
对口招收中等职业学校毕业生考试
数学试题及答案
（本卷满分150分 时间150分钟 ）
一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分。
每小题的选项中，只有1个选项是符合要求的，多选不给分。
)
1.已知全集U = {1,2,3,4,5,6}，集合A = {2,4,6}，则集合A 的补集∁U A 为 （ ）
A.{1,3,5}
B. {2,4,6}
C.U
D.∅
2.不等式｜x - 1｜≤1的解集是： （ ） A.[0，2] B.[-2，0] C.[0，1] D.[-1，0]
3.sin120°的值等于： （ ） A.2
1- B. 2
1
C.2
3-
D.
2
3
4.已知向量a
＝（1，2），b
＝（x,4）,则“x=2”是“a
‖b
”的
（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.函数y=log 2
1x 的图像大致是 （ ）
A B C D
6.在等比数列{a n }中，a 1=1,a 3=4,则a 5= （ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64
7.双曲线
9
2
x
-
16
2
y
＝1的离心率等于 （ ）
A. 53
B. 35
C. 5
4
D. 4
5
8.在二项式(x+2)5的展开式中，含x 3项的系数为 （ ） A.10 B. 20 C.40 D. 80
9.若四边形ABCD 满足BC ＝2CD ，则四边形ABCD 是 （ ） A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D. 矩形 10.函数y=sinx-3
cosx 的最小正周期是 （ ）
A. 2
π
B. π
C. 2π
D. 4π
11.下列说法正确的是 （ ）
A. 经过平面外一点有且仅有一条直线平行于这个平面
B. 经过平面外一点有且仅有一条直线垂直于这个平面
C. 经过直线外一点有且仅有一个平面平行于这条直线
D. 经过直线外一点有且仅有一条直线垂直于这条直线 12.下列函数中既为偶函数，又在（0，+∞）内单调递减的函数是 （ ）
A. y=2
x
B. y=x
⎪
⎭
⎫
⎝⎛21
C. y=|x|
D. y=2
1x
二，填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分，把答案填在题中的横线上。
）
13,在一次食品安全检查中，需从8种食品中任意抽取2种检测某种添加剂的含量，则不同的抽取方法有 种（用数字做答） 14,在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，异面直线AB 和D 1C 的距离为 15
已知向量a
＝（1，0），b ＝（1，3
），
则〈a
，b 〉为 。
16已知直线L:3x+4y=25与⊙o :x 2
+y 2
=25,则直线
L 与⊙o 的位置关系是 .
(第14题图)
三,解答题(本大题共6分小题,满分74分,解答时应写出文字说明及演算步骤.)
17.在等差数列{a n }中,a 2=7,a 4=3.
A 1 C
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)求数列{a n}前5项和S5 （12分）
18,已知二次函数f(x)=a(x-1)2-4的图象经过点(0,-3).
(1)求f(x)的解析式
(2)若f(x)≤0,求x的取值范围.(12分)
19,在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,且tanA=1,a=2,c=22.
(1)求角A的大小;
(2)判断△ABC的形状.(12分)
20,一个袋中装有大小相同的两个红球和两个白球.
(1)从袋中任意抽取一个球,求取出的球是红球的概率;
(2) 从袋中一次任意抽取两个球,求取出的球都是白球的概率;
(12分)
21,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段DB,BC的中点,
(1)求证:EF∥面DCC1D1;
(2)求证:EF⊥面BCC1B1(12分)
1
22.如图,已知椭圆的a
x 22
+
b
y 2
2
=1(a>b>0)右焦点为F(1,0),右顶点为M
(
2
,0).
(1)求此椭圆的方程;
(2)设点P(2,0),点A 是已知椭圆上的任意一点,点C 是点A 关于x 轴的对称点,直线PA 交椭圆于另一不同的点B(不考虑直线PA 的斜率为0的情形),求证:直线BC 经过焦点F(14分).
2011年安徽省普通高校对口招收中等职业学校毕业考试
数学试题参考答案
一,选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.每小题的选项中,只有1个选项是符合要求的,多选不给分.)
二,填空题(本题共4小题,每小题4分,满分16分) 13, 28 14, 1 15,
3
π
16, 相切
三,解答题(本大题共6小题,满分74分) 17,(12分)
解(1)∵{a n }是等差数列,a 2 = 7, a 4 = 3
∴公差d = -2; a 1= a 2 – d = 9 则通项公式为: a n = -2 n+ 11 (2) S 5 = 5a 1 + 2
45d
⨯⨯
=5×9 – 20
= 25
18,(12分)
解(1) ∵A ∈(0, π) 且 tanA = 1
∴ A =
4
π
(2) ∵a = 2,c = 22
, A =4
π
由
A
a sin =
C
c sin 得
sinC =
2
4
sin
22π⨯ = 1
又∵C ∈(0, π) ∴C =
2
π
,则△ABC 为直角三角形.
20,(12分)
解(1)设从袋中任取一个球,取出的球是红球的概率为P1,
P 1 = C
C 141
2 =
2
1
(2)设从袋中一次任取两个球,取出的都是白球的概率P2, P 2 = C
C 242
2 =
6
1
21,(12分)
(1)证明:如图, 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，由E 、F 分别
是BD 、BC 的中点，
得EF ∥DC ，
又EF ⊄平面DCC 1D 1内， CD ⊂平面DCC 1D 1，
故EF ∥平面DCC 1D 1。
（2）由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知： DC ⊥面B 1BCC 1，而DC ∥EF
故EF ⊥面B 1BCC 1
A
B
C
C 1
22，(14分)解：（1）如图：F （1，0），M （2
，0）
得:c = 1, a =
2
, b = 1
故椭圆的方程为：2
2
x +y 2=1 ………………（6分）
(2)设C （m,n ）,则A （m,-n ）. 由F （1，0），P （2，0）可知： 直线FC 的方程为：（m-1）y = n (x-1) 直线PA 的方程为：（2-m ）y = n (x-2) 那么直线PA 与直线FC 的交点B （x,y ）为：
(m-1)y =n(x-1) 解得： x=3
243--m m
(2-m)y = n(x-2) y=3
2-m n
即B （
3
243--m m ，
3
2-m n ）
由C （m,n ）在椭圆2
2
x +y 2=1上，得m 2+2n 2=2,
将B （
3
243--m m ，
3
2-m n ）代入椭圆方程左边得：
2
2
)
32(43--m m ）（ +
2
2
)
32(2-m n
＝
22
)
32(322--m m ）（=2=右
所以B 点在椭圆2
2
x +y 2=1上，
即直线BC 经过焦点F 。
得证。
（8分）。