图论及其应用(6)资料
图论及其应用
图论及其应用简介图论是计算机科学中的一个重要分支，研究的对象是由边与顶点组成的图形结构以及与其相关的问题和算法。
图论的应用广泛，涵盖了计算机科学、网络科学、物理学、社会学、生物学等多个领域。
本文将介绍图论的基本概念、常用算法以及一些实际的应用案例。
图的基本概念图由顶点（Vertex）和边（Edge）组成，记作G=(V, E)，其中V为顶点的集合，E为边的集合。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图有向图中的边具有方向性，即从一个顶点到另一个顶点的边有明确的起点和终点。
有向图可以表示一种有序的关系，比如A到B有一条边，但B到A可能没有边。
有向图的表示可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
无向图无向图中的边没有方向性，任意两个顶点之间都有相互连接的边。
无向图可以表示一种无序的关系，比如A与B有一条边，那么B与A之间也有一条边。
无向图的表示通常使用邻接矩阵或邻接表。
常用图论算法图论中有许多经典的算法，其中一些常用的算法包括：深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。
通过从起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入图中的顶点，直到无法再继续前进时，返回上一个顶点并尝试下一条路径的方式。
DFS可以用于判断图是否连通，寻找路径以及检测环等。
广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种用于遍历或搜索图的算法。
不同于深度优先搜索，广度优先搜索逐层遍历顶点，先访问离起始顶点最近的顶点，然后依次访问与起始顶点距离为2的顶点，以此类推。
BFS可以用于寻找最短路径、搜索最近的节点等。
最短路径算法最短路径算法用于计算图中两个顶点之间的最短路径。
其中最著名的算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra’s A lgorithm）和弗洛伊德算法（Floyd’s Algorithm）。
迪杰斯特拉算法适用于没有负权边的图，而弗洛伊德算法可以处理带有负权边的图。
最小生成树算法最小生成树算法用于找到一个连通图的最小的生成树。
其中最常用的算法是普里姆算法（Prim’s Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal’s Algorithm）。
图论及其应用
图论及其应用班级：图论1班学院：软件学院学号：2014110993姓名：张娇图论从诞生至今已近300年，但很多问题一直没有很好地解决。
随着计算机科学的发展，图论又重新成为了人们研究讨论的热点，图形是一种描述和解决问题直观有效的手段，这里给出图论在现实生活中的一些应用。
虽然最早的图论问题追溯1736年(哥尼斯堡七桥间题)，而且在19世纪关于图论的许多重要结论已得出。
但是直到20世纪20年代图论才引起广大学者的注意并得以广泛接受和传播。
图论即形象地用一些点以及点与点之间的连线构成的图或网络来表示具体问题。
利用图与网络的特点来解决系统中的问题，比用线性规划等其他模型来求解往往要简单、有效得多。
图论就是研究图和网络模型特点、性质和方法的理论。
图论在许多领域,诸如物理、化学、运筹学、计算机科学、信息论、控制论、网络理论、社会科学以及经济管理等各方面都有广泛的应用,它已经广泛地应用于实际生活、生产和科学研究中。
下面对最大流问题进行探究。
最大流问题主要探究最大流问题的Ford-Fulkerson解法。
可是说这是一种方法，而不是算法，因为它包含具有不同运行时间的几种实现。
该方法依赖于三种重要思想：残留网络，增广路径和割。
在介绍着三种概念之前，我们先简单介绍下Ford-Fulkerson方法的基本思想。
首先需要了解的是Ford-Fulkerson是一种迭代的方法。
开始时，对所有的u,v属于V，f(u,v)=0(这里f(u,v)代表u到v的边当前流量)，即初始状态时流的值为0。
在每次迭代中，可以通过寻找一个“增广路径”来增加流值。
增广路径可以看做是从源点s到汇点t之间的一条路径，沿该路径可以压入更多的流，从而增加流的值。
反复进行这一过程，直到增广路径都被找出为止。
举个例子来说明下，如图所示，每条红线就代表了一条增广路径，当前s到t的流量为3。
当然这并不是该网络的最大流，根据寻找增广路径的算法我们其实还可以继续寻找增广路径，最终的最大流网络如下图所示，最大流为4。
图论及其应用
图可以用图形表示：V中的元素用平面上一个黑点表示，E
中的元素用一条连接V中相应点对的任意形状的线表示。
例1、设图G＝<V,E>。这里V＝{v1,v2,v3,v4} E＝{e1,e2,e3,e4,e5,e6}，
e1＝(v1,v2)，e2＝(v1,v3)，e3＝(v1,v4)， e4＝(v2,v3)，e5＝(v3,v2)，e6＝(v3,v3)。
2、图论模型
为了抽象和简化现实世界，常建立数学模型。图是关系的 数学表示，为了深刻理解事物之间的联系，图是常用的数学 模型。
(1) 化学中的图论模型
19世纪，化学家凯莱用图论研究简单烃——即碳氢化合物
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20世纪30年代出版第一本图论著作.
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目前，图论已形成很多分支：如随机图论、 网络图论、代数图论、拓扑图论、极值图论等。
3、应用状况
图论的应用已经涵盖了人类学、计算机科学、 化学、环境保护、非线性物理、心理学、社会学、
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图论及其应用
任课教师：杨春 数学科学学院
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图论及其应用综述
图论综述一、简介图论是数学的一个分支。
它以图为研究对象。
图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。
图G=（V,E）是一个二元组（V,E）使得E⊆[V]的平方，所以E的元素是V的2-元子集。
集合V中的元素称为图G的定点（或节点、点），而集合E的元素称为边（或线）。
通常，描绘一个图的方法是把定点画成一个小圆圈，如果相应的顶点之间有一条边，就用一条线连接这两个小圆圈，如何绘制这些小圆圈和连线时无关紧要的，重要的是要正确体现哪些顶点对之间有边，哪些顶点对之间没有边。
图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经被好多位数学家各自独立地建立过。
关于图论的文字记载最早出现在欧拉1736年的论著中，他所考虑的原始问题有很强的实际背景。
目前，图论已形成很多分支：如随机图论、网络图论、代数图论、拓扑图论、极值图论等。
图论的应用已经涵盖了人类学、计算机科学、化学、环境保护、非线性物理、心理学、社会学、交通管理、电信以及数学本身等。
二、基本内容2.1 图的基本概念本章首先介绍了图的一些基本性质和一些不同模型的图，包括偶图，完全图和补图，引入了定点度的来描述图的性质。
其次介绍了子图的相关概念，介绍了图的一些基本运算规则，对图的路和连通性进行了阐释。
紧接着讲解了最短路算法，定义设G为边赋权图。
u与v是G中两点，在连接u与v的所有路中，路中各边权值之和最小的路，称为u与v间的最短路。
图的代数表示，包括图的邻接矩阵和图的关联矩阵。
最后对极图理论进行了简介，主要介绍了极值图论中的一个经典结论——托兰定理。
2.2 树本章主要介绍了树的概念与性质，阐述了生成树与最小生成树的基本概念与一些常用结论与定理。
树是不含圈的无圈图，也是连通的无圈图。
树是图论中应用最为广泛的一类图。
在理论上，由于树的简单结构，常常是图论理论研究的“试验田”。
数学中的图论及其应用
数学中的图论及其应用图论是一门数学基础理论，用来描述事物之间的关联。
图论主要研究节点之间的连接关系和路径问题。
它的研究对象是图，图是由节点和边组成的，边表示节点之间的连接关系，节点表示事物。
图论是一种十分实用的数学工具，它是计算机科学、物理学、化学、生物学、管理学等领域的重要工具，也是人工智能和网络科学等领域的基础。
一、图论的基本概念1.1 图图是由节点和边组成的，表示事物之间的关系。
节点是图中的基本元素，用点或圆圈表示；边是连接节点的元素，用线或箭头表示。
1.2 有向图和无向图有向图是指边有方向的图，每一条边用有向箭头表示；无向图是指边没有方向的图，每一条边用线表示。
1.3 节点的度和邻居节点节点的度是指与节点相连的边的数量，具有相同度的节点称为同阶节点；邻居节点是指与节点相连的节点。
1.4 遍历和路径遍历是指从起点出发访问图中所有节点的过程；路径是指跨越边连接的节点序列，路径长是指路径中边的数量。
二、图论的应用2.1 网络科学网络科学是研究节点和边之间的关系，以及节点和边之间的动态演化的学科。
网络科学中的图模型是节点和边的结合体，其应用包括社会网络、生物网络和物理网络等。
社会网络是指人们之间的社交网络，它描述了人与人之间的关系。
社交网络可以用图模型表示，节点表示人，边表示人与人之间的互动关系，例如朋友关系、家庭关系等。
生物网络是指由生物分子构成的网络，例如蛋白质相互作用网络、代谢网络等。
在生物网络中，节点可以表示蛋白质或基因，边可以表示蛋白质或基因之间相互作用的联系，这些联系可以进一步探究生物进化和疾病发生的机理。
物理网络是指由物理粒子构成的网络，例如网络电子、量子态等。
在物理网络中，节点可以表示量子比特或电子，边可以表示色散力或超导电性等物理现象。
2.2 计算机科学图论在计算机科学中的应用非常广泛，例如数据结构、算法设计和网络安全等方面。
图论在计算机科学中的经典应用包括最短路径算法、最小生成树算法等。
图论及其应用
Prim算法及思想
• • • • • 首先我们将V分成两部分U,S U∩S=∅ U∪S=V 一开始S中只有任意以个节点 每次我们枚举每条U，S之间的边权最小的边S中 这条边的端点 删除并加入U • 我们可以每次更新S中点的这个值不需要每次枚 举边复杂度O(n^2) • 如果使用堆优化可以做到O(nlogn+nlogm)
tarjan算法
tarjan算法
拓扑排序
• 每次选择一个入度为0的点加入队列，然后 删掉这个点的所有出度
小试身手
• APIO2009 atm • 有一个城市有若干条有向道路 • 一个小偷从一个点出发想偷这个城ATM机， 他从一个点出发，最后偷完之后需要到一 个酒吧庆祝，给定道路情况，每个路口atm 的钱数和有没有酒吧，求最多能偷多少钱。 • n<=100000
小试身手
对于n<=1000我们依然可以直接暴力建出图 来进行Dijsktra算法但是对于n<=10000的测 试点，所有边一共有10^10条，我们无法存下 来但是我们发现，只有x坐标相邻和y坐标相 邻的边才有意义(为什么？)，然后就可以建出 图来用堆优化的Dij或者spfa过掉
小试身手
• 给你一个n个点的图，小Q有q个询问，每次 询问任意两点之间的最短路 • n<=200,q<=4000000
Байду номын сангаас
最短路算法
• 如果我们需要知道所有的点对之间的最短 路，可以使用floyed的传递闭包方法。 • floyed算法思想： • 我们每次选择一个中间点，然后枚举起点 和终点，用通过中间点的最短路径更新起 点和终点之间的最短路径时间复杂度O(n^3)
floyed代码实现
• 代码非常简单 • 注意枚举顺序
图论及其应用
一个最小边割集。
连通度
定义：如果0<k≤λ(G),则称G是k-边连通图。
定理：图G是k-边连通图当且仅当对E(G)的任 意一个子集E1，若|E1|≤k-1，则G\E1仍是连通 图。
连通度
定理：对p 简单图G,有
(1) (G) (G),(G) (G); (2) (G) p 1,等号成立当且仅当G Kp; (3)(G) p 1,等号成立当且仅当G Kp; (4)对G的任意一个顶点u， (G) 1 (G u); (5)对G的任意一条边e，(G) 1 (G e) (G).
（v0-vk）路P，且E(P) E(W ) 。
若P是一条路，x与y为顶点，用
表示这条路。
当G为简单图时，W=v0e1v1e2v2···vk-1ekvk，可简写为 W=v0v1v2···vk-1vk。
路和圈
对于图G中两个给定的顶点u和v,若存在（u-v）路，则 必存在长度最短的（u-v）路P0，称P0的长度为u，v的 距离，记为dG(u,v)或d(u,v)。
Байду номын сангаас
连通图
定理：设D是连通的有向图，则D是强连通的当 且仅当D的每一条弧都含在某一有向圈中。
连通度
定义：设连通图G=(V,E)不是完全图,V1是V(G)的一个
非空真子集,若G\V1非连通,则称V1是G的点割集。若点 割集V1含有k个顶点,也称V1是G的k-点割集。
定义：图G是p 阶连通图，令
（G）
表示n个点的回路。
有向图D的有向途径是指交替地出现点和弧的一个有限非空序列
W=v0a1v1a2v2···akvk ，对于i=1,2,···,k,弧ai的起点是vi1,终点是vi，简称W是一条（v0-vk）有向途径。在严格有向图中， 可用v0v1···vk表示有向途径。
图论及其应用
值是个公开的难题。
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图论及其应用第一章
Ramsey数R(p,q)
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图论及其应用第一章
Ramsey数的计算
• Ramsey数的计算是对人类智 力的挑战！例如R(4,5)=25 (1993年计算机11年的计算 量)
• Erdös用如下比喻说明其困难 程度：一伙外星人入侵地球， 要求一年内求得R(5,5)，否 则将灭绝人类！那么也许人类 能集中所有计算机和专家来求 出它以自保；但如果外星人问 的是R(6,6) ，那么人类将别 无选择，只能拼死一战了。
图论起源于18世纪的一个游戏----俄罗斯的哥尼斯堡七桥问 题。
（1736年 瑞士数学家欧拉——图论之父）
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图论及其应用第一章
七桥问题
C
A
D
B
包含两个要素：对象（陆 地）及对象间的二元关系 （是否有桥连接）
转化
Euler 1736年
C
A
D
B 图论中讨论的图
问题：是否能从A，B，C，D 转化 中的任一个开始走，通过每 座桥恰好一次再回到起点？
2. 任意的9个人中，总有3个人互相认识或有4个人互不认 识。
3. 问题：
4.
对任意的自然数k和t，是否存在一个最小的正整
数r(k,t)，使得每个至少有r(k,t)个人的团体，总有k个
人互相认识或有t个人互不认识。
5.
拉姆瑟（F.P. Ramsey）在1930年证明了这个数
r(k,t)是存在的，人们称之为 Ramse第一章
最精美的组合定理
Rota：如果要求在组 合学中仅举出一个 精美的定理，那么 大多数组合学家会 提名Ramsey定理。
• 1984年Wolf奖得主Erdös • 1997年Fulkerson奖得主Kim • 1998年Fields奖得主Gowers • 1999年Wolf奖得主Lovasz • 2003年Steele奖得主Graham • 2005年Gödel奖得主Alon • 2006年Fields奖得主Tao
数学中的图论与应用
数学中的图论与应用数学中的图论是近年来受到广泛关注的研究领域。
在现代社会中，图论已经成为解决各种实际问题的有力工具，尤其在网络、通讯、计算机科学、运筹学等领域得到了广泛应用。
本文将介绍图论的基本概念和算法，并讨论其在实际中的应用。
一、图论的基本概念图论是一种研究边和点之间关系的数学工具。
图由顶点集和边集两个基本组成部分构成。
顶点是图中的基本元素，边连接两个顶点，表示它们之间的关系。
如果两个顶点之间有边相连，那么它们就是相邻的。
在图论中，有两种基本的图：有向图和无向图。
有向图中的边有方向，表示从一个顶点到另一个顶点的方向，而无向图中的边没有方向，表示两个顶点之间的关系是双向的。
图的表示方式有两种：邻接矩阵和邻接表。
邻接矩阵是一个二维矩阵，其中每一行和每一列表示一个顶点，矩阵中的元素表示相应的两个顶点之间是否有边相连。
邻接表是一种链表结构，每个顶点对应一个链表，在链表中存储该点的所有邻接点。
邻接表适用于表示稀疏图，而邻接矩阵适用于表示稠密图。
二、图的遍历算法在图中，从一个顶点出发，访问到这个图中所有的顶点，就称为图的遍历，其中包括深度优先遍历和广度优先遍历。
深度优先遍历的实现方案为：从图中的一个顶点开始，将其标记为已访问，然后访问其邻接点，对每个未访问的邻接点进行递归遍历。
直到所有与该顶点相邻的顶点都被访问完毕，才回溯到上一个未被访问的节点。
广度优先遍历的实现方案为：从图中的一个顶点开始，做宽度优先遍历，即先将该顶点所有的未被访问的邻接点全部入队，然后从队列中取出一个元素，标记为已经访问，访问其所有未被访问的邻接点，并将这些邻接点入队。
重复这个过程，直到队列为空。
三、最短路径算法在图论中，最短路径算法可以用来解决许多实际问题。
其中，最为经典的算法是 Dijkstra 算法和 Floyd-Warshall 算法。
Dijkstra算法是一种单源最短路径算法，用于计算有向图或者无向图的最短路径。
算法的基本思想是，通过每一次“松弛”操作，在已访问的顶点集和未访问的顶点集之间，尽可能地减小各个顶点到起点之间的距离。
图论及其应用6
第四章Euler环游和Hamilton圈§4.1 Euler环游°Euler迹：经过图G的每条边的迹称为G的Euler迹。
°Euler环游：经过图G的每条边恰好一次的闭迹。
（图G的环游是指经过G的每条边至少一次的闭途径）。
*一笔画问题：°Euler图：一个图若包含Euler环游，则这个图称为Euler图。
°半Euler图：一个图若包含Euler迹，但不包含Euler环游，则这个图称为半Euler图。
*哥尼斯堡七桥问题：定理4.1：一个非空连通图是Euler图当且仅当它没有奇点。
证：设G是Euler图，C是G的Euler环游，其起点(也是终点)为u。
顶点v作为C的内部顶点每出现一次，就有两条与它关联的边出现，因为Euler环游包含G的每条边，所以对于所有的v≠u，d(v)都是偶数。
类似地，由于C开始并且终止于u，所以d(u)也是偶数。
于是，G没有奇点。
反之，假设G是一个非Euler连通图：它至少有一条边，而且没有奇点。
选择这样一个图G，使其具有尽可能少的边。
由于G的每个顶点的度至少是2，所以G包含一个闭迹。
设C是G中其长为最大的闭迹。
根据假设，C不是G的Euler环游，因而G−E(C)具有适合ε(G′)>0的某个分支G′。
由于C本身是Euler图，它没有奇点；于是连通图G′也没有奇点。
由于ε(G′)<ε(G), 根据G的选择可以推知：G′有一条Euler 环游C′。
因为G 是连通的，所以在V(C)∩V(C ′)中存在一个顶点v 。
不失一般性可以假设v 是C 和C′的起点和终点。
于是CC′就是G 的适合ε(CC ′)>ε(C)的一条闭迹，和C 的选择矛盾。
∎ 推论4.1：一个连通图有Euler 迹当且仅当它最多有两个奇点。
证：若G 有Euler 迹，则如定理4.1所证明的，这条迹除起点和终点外的每个顶点都是偶点。
反之，假设G 是最多有两个奇点的非平凡连通图。
数学中的图论理论及其应用
数学中的图论理论及其应用图论是一门研究图形和网络的数学理论，它是数学中的一个分支，也是计算机科学中的一个重要领域。
图论的不断发展使其应用越来越广泛，尤其在计算机网络、社交网络、交通路线等方面有着广泛的应用。
一、图论的定义与性质图论中的“图”指的是一个有限的节点集合和与这些节点相关的边集合。
在图中，节点被称为顶点，边被称为边缘。
在一个无向图中，每条边连接两个节点，没有方向性；在有向图中，每条边都有一个方向，从一个节点指向另一个节点。
图所具有的一些性质，如连通性、路径、环等，可以用来研究现实世界中的许多问题。
例如，人际关系可以用图来表示，而在图中找到最短路径可以用来表示最小成本行程的问题。
二、图的表示方法图可以通过矩阵和链表两种方式进行表示。
矩阵表示法是将图中的节点和边分别用矩阵的元素表示，由于矩阵的性质，这种方法适用于表示边的权重，但对于节点的增加和删除比较麻烦。
链表表示法是将图中的节点和边分别用链表的形式表示，这种方法适用于动态改变图的结构。
三、最短路径算法最短路径算法是图论中的一个重要问题，它是计算图中两个节点之间最短路径的算法。
最短路径算法可以采用Dijkstra算法或Floyd算法进行计算。
Dijkstra算法是一种贪心算法，通过构建带权重的图来计算两个节点之间最短距离。
该算法的基本思想是从起点出发，按照距离最近的顺序找到与该节点相邻的节点，然后根据这些节点的权重更新起点到别的节点的距离，直至找到终点。
由于该算法使用优先队列来存储节点，因此对于大规模的节点数或边数较多的图，具有较好的计算效率。
Floyd算法是一种动态规划算法，通过构建带权重的图来计算两个节点之间最短距离。
该算法的基本思想是先计算任意两个节点之间的距离，然后再使用动态规划的思想，从中间节点出发更新两个节点之间的距离，直至找到终点。
由于该算法需要计算所有的两点之间的距离，因此对于较小规模的图具有优势。
四、最小生成树算法最小生成树算法是图论中另一个重要的问题，它是用来找到给定的无向联通图的一棵生成树，使得生成树中的边权和最小。
图论及其应用
图论及其应用周昭焕信计072 07013819摘要: 图论从诞生至今已近300 年, 但很多问题一直没有很好地解决。
随着计算机科学的发展, 图论又重新成为了人们研究讨论的热点, 这里给出图论在现实生活中的一些应用。
关键词: 欧拉; 图论; 二分图; 哈密顿回路; 着色在18 世纪30 年代, 一个非常有趣的问题引起了欧洲数学家的浓厚兴趣, 这个问题要求遍历普鲁士的哥尼斯堡七桥中的每一座桥恰好一次后回到出发点。
欧拉证明了这是不可能完成的, 此后, 欧拉发表了著名的论文《依据几何位置的解题方法》, 这是图论领域的第一篇论文, 标志着图论的诞生。
图论的真正发展始于20 世纪五六十年代之间, 是一门既古老又年轻的学科。
图论极有趣味性, 严格来讲它是组合数学的一个重要分支。
虽然图论只是研究点和线的学问, 但其应用领域十分广阔, 不仅局限于数学和计算机学科, 还涵盖了社会学、交通管理、电信领域等等。
总的来说, 图论这门学科具有以下特点:①图论蕴含了丰富的思想、漂亮的图形和巧妙的证明;②涉及的问题多且广泛, 问题外表简单朴素,本质上却十分复杂深刻;③解决问题的方法千变万化, 非常灵活, 常常是一种问题一种解法。
由以上三个特点可以看出, 图论与其它的数学分支不同, 它不像群论、拓扑等学科那样有一套完整的理论体系和解决问题的系统方法。
而且图论所研究的内容非常广泛, 例如图的连通性、遍历性、图的计数、图的着色、图的极值问题、图的可平面性等等。
1 二分图有一类非常重要的图, 如树, 它是图的特例, 这类图被称作二分图, 经常应用在涉及匹配的问题中。
例如, 某公司现在正经历一次罢工, 为了使公司在罢工中照常运作, 人事部确定了4 项关键工作: 销售、维修、安全控制和会计, 其中销售需要2 人。
表1 给出了每个人和他们能胜任的工作, 判断是否所有工作都能有人来负责, 设每人只能负责一项工作。
这看起来是社会学领域的问题, 我们可以尝试多种方法, 而其中的一种方法就是将其化为图, 建立一个图的模型。
图论的基本概念及其应用
图论的基本概念及其应用图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点和连接节点的边组成，以解决现实生活中的许多问题。
本文将介绍图论的基本概念，并探讨它在不同领域中的应用。
一、图的基本概念1. 节点和边图由节点（顶点）和边组成，节点代表某个实体或概念，边表示节点之间的关系。
节点和边可以有不同的属性，如权重、方向等。
2. 有向图和无向图有向图中，边有固定的方向，表示节点之间的单向关系；无向图中，边没有方向，节点之间的关系是相互的。
3. 连通图和非连通图连通图是指图中任意两个节点之间都存在路径；非连通图则存在至少一个节点无法到达其它节点。
4. 网络流每条边上有一个容量限制，网络流通过边传输，满足容量限制的条件下尽可能多地进行。
二、图论在计算机科学中的应用1. 最短路径通过图论中的最短路径算法，可以计算出两个节点之间的最短路径。
最短路径在无人驾驶、物流配送等领域中具有重要的应用价值。
2. 最小生成树最小生成树算法用于寻找连接图中所有节点的最小总权重的树形结构。
在通信网络、电力输送等领域中，最小生成树被广泛应用。
3. 网络流问题图论中的网络流算法可以用于解决诸如分配问题、路径规划等优化问题。
例如，在医疗资源调度中，网络流算法可以帮助医院优化资源分配。
三、图论在社交网络分析中的应用1. 社交网络社交网络可以用图模型来表示，节点代表个体，边表示个体之间的联系。
利用图论分析社交网络，可以发现用户群体、影响力传播等信息。
2. 中心性分析中心性分析用于评估节点在网络中的重要性，衡量指标包括度中心性、接近中心性等。
中心节点的识别对于广告投放、信息传播等决策具有指导意义。
3. 社团检测社团检测可以发现社交网络中具有紧密联系的节点群体，进一步分析社交群体的行为模式、用户偏好等。
四、图论在物流优化中的应用1. 供应链管理供应链中的各个环节可以用图模型表示，通过图论算法优化物流路径，提高物流效率。
2. 仓库位置问题通过图论中的最短路径算法和最小生成树算法，可以找到最佳的仓库位置，使物流成本最小化。
图论及其应用复习
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一、重要概念
1、图、简单图、图的同构、度序列与图序列、补图与自补 图、两个图的联图、两个图的积图、偶图；
(1) 图：一个图是一个序偶<V,E>，记为G=(V,E),其中： 1) V是一个有限的非空集合，称为顶点集合,其元素称为顶点或点。
用|V|表示顶点数；
注：要求掌握自补图的性质。
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(7) 联图
设G1,G2是两个不相交的图，作G1+G2，并且将G1中每个顶点和G2 中的每个顶点连接，这样得到的新图称为G1与G2的联图。记为 ：
G1 G2
(8) 积图
设 G1 (V1, E1), G2 (V2 , E2 ), 是两个图。对点集 V V1 V2
2) E是由V中的点组成的无序对构成的集合，称为边集，其元素称 为边，且同一点对在E中可以重复出现多次。用|E|表示边数。
(2) 简单图：无环无重边的图称为简单图。
2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3) 图的度序列：
一个图G的各个点的度d1, d2,…, dn构成的非负整数组(d1, d2,…, dn) 称为G的度序列 。
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(4) 因子分解
所谓一个图G的因子分解，是指把图G分解为若干个边不重的因子 之并。
注：要弄清楚因子分解和完美匹配之间的联系与区别。
图论及其应用
《图论导引》，Douglas B.West 著，李 建中、骆吉洲译，机械工业出版社， 2006年2月。
《图论简明教程》，Fred Buckley,Marty Lewinter 著，李慧霸、王凤芹译，清华 大学出版社，2005年1月。
图论学科简介 （2）
19世纪末期，图论应用于电网络方程组 和有机化学中的分子结构
20世纪中叶，由于计算机的发展，图论 用来求解生产管理、军事、交通运输、 计算机和网络通信等领域中的离散性问 题
物理学、化学、运筹学、计算机科学、 电子学、信息论、控制论、网络理论、 社会科学、管理科学等领域应用
网上资源：标准
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http:/// http:/// /wireless/
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网上资源：文章、论文、图书
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几点建议
做人：厚德博学 敬业乐群
读书：博与精 薄与厚
创新：IPR (Intellectual Property Rights)
职业定位：CEO、CTO、CFO、
首席科学家、 董事长
技术管理？技术专家
理想与价值体现：修身、齐家、治国、
平天下 个人价值？社会价值
身心健康，全面发展：IQ、EQ、AQ
第六章 着色问题
边色数 Vizing定理 点着色 色数 Brooks定理 围长和色数
第七章 平面图
平图和平面图 对偶图 Euler公式 Kuratowski定理 五色定理和四色猜想 平面性算法
《图论及其应用》课件
图像处理
探索图论在图像处理领域的应用，如图像分割 和模式识别。
七、总结
图论的重要性
强调图论在计算机科学和现实 世界中的重要性和广泛应用。
现实中的应用价值
讨论图论在实际问题中解决方 案的应用价值和优势。
对于未来的展望
探索图论在未来可能的发展方 向和应用领域，如人工智能和 物联网。
2
Floyd算法
介绍Floyd算法的原理和使用方法，用于计算图中所有节点之间的最短路径。
四、最小生成树算法
Prim算法
解释Prim算法的工作原理和应用，用于寻找图中的 最小生成树。
Kruskal算法
讨论Kruskal算法的概念和实现，用于生成图的最小 生成树。
五、网络流算法
1
最大流
介绍网络流问题和最大流算法，用于解
《图论及其应用》PPT课 件
本PPT课件将带您深入了解图论及其应用。图论是一门关于图的性质及其应用 的学科，将为您揭开图论的奥秘。
一、图论基础
图的定义及术语
介绍图的基本定义以及相关的术语，为后续内 容打下基础。
无向图与有向图
解释无向图和有向图的区别，并介绍它们之间 的关系和应用。
图的表示方法
讲解图的常用表示方法，如邻接矩阵和邻接表， 并比较它们的优缺点。
连通性和路径
讨论图的连通性概念以及如何找到两个节点之 间的最短路径。
二、图的遍历算法
1
广度优先搜索（BFS）
2
介绍广度优先搜索算法的工作原理和常 见应用。
深度优先搜索（DFS）
深入探讨深度优先搜索算法的原理和应 用场景。
三、最短路径算法
1
Dijkstra算法
详细讲解Dijkstra算法的步骤和应用，用于寻找图中两个节点间的最短路径。
什么是图论及其应用
图论是数学中的一个分支，主要研究图及其相关的问题。
图由若干个节点和连接这些节点的边组成。
节点可以代表现实世界中的对象，而边则代表对象之间的关系。
图论的研究对象包括有向图、无向图、加权图等。
在图论中，节点常常被称为顶点，边则被称为弧或边。
图可以用各种方式表示，如邻接矩阵、邻接表等。
图论的研究内容主要包括图的遍历、最短路径、最小生成树、网络流以及图的染色等。
这些内容构成了图论的核心知识体系。
图论的应用非常广泛，涉及到许多领域。
在计算机科学中，图论被广泛应用于网络路由、图像处理、人工智能等领域。
例如，在网络路由中，图论可以用来寻找最短路径，以确定数据传输的最佳路径。
在图像处理中，图论可以用来进行图像分割，从而提取图像中的目标物体。
在人工智能中，图论可以用来构建知识图谱，从而实现知识的表示和推理。
除了计算机科学，图论还在物理学、生物学等领域中发挥着重要作用。
在物理学中，图论可以用来研究分子结构、粒子物理等问题。
例如，著名的色散关系图就是物理学中的一个重要概念，它描述了声波、电磁波等在介质中的传播特性。
在生物学中，图论可以用来研究蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
这些网络的研究有助于理解生物体内复杂的结构和功能。
此外，图论还在社交网络、交通规划、电路设计等领域中得到了广泛的应用。
在社交网络中，图论可以用来研究用户之间的连接关系，从而推荐好友、发现隐藏关系等。
在交通规划中，图论可以用来优化交通路径，减少拥堵现象。
在电路设计中，图论可以用来优化电路布线，提高电路的性能。
总而言之，图论是数学中一个重要的分支，有着广泛的应用领域。
它不仅在计算机科学中发挥着重要作用，还在物理学、生物学等领域中得到了广泛应用。
图论的发展不仅推动了数学理论的发展，也为各个领域的问题提供了有效的解决方法。
因此，学习和应用图论对于我们来说是非常重要的。
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目标主机传递，但在组播模型中，组播源向某一组地址传递数 据包，而这一地址却代表一个主机组。为了向所有接收者传 递数据，一般采用组播分布树描述IP组播在网络里经过的路 径。组播分布树有四种基本类型：泛洪法、有源树、有核树 和Steiner树 。
证明：“必要性”
若不然，设P1与P2是连接u与v的两条不同的路。则
9
由这两条路的全部或部分将构成一个圈，这与G是 树相矛盾。
“充分性” 首先，因G的任意两点均由唯一路相连，所以G是 连通的。 其次，若G中存在圈，则在圈中任取点u与v，可得 到连接u与v的两条不同的路，与条件矛盾。 定理3 设T是(n, m)树，则：
k
m(G) m(Ti ) n k i 1
定理4 每个n阶连通图的边数至少为n-1.
证明：如果n阶连通图没有一度顶点，那么由握手定理
有： m(G) 1
d (v) n
2 vV (G )
13
如果G有一度顶点。对顶点数作数学归纳。
当n=1时，结论显然
设当n=k时，结论成立。 当n=k+1时，设u是G的一度顶点，则G-u为具有k个顶
定理5 任意树T的两个不邻接顶点之间添加一条边后， 可以得到唯一圈。
证明：设u与v是树T的任意两个不邻接顶点，由定理2 知：有唯一路P连接u与v.于是P∪｛u v｝是一个圈。 显然，由P的唯一性也就决定了P∪｛u v｝的唯一性。
例9 设G是树且Δ≧k,则G至少有k个一度顶点。 证明：若不然，设G有n个顶点，至多k-1个一度顶点， 由于Δ≧k，于是，由握手定理得：
根树
5
实际上，根树是许多问题的模型，如社会结构，
计算机数据结构，数学中的公式结构，分类枚举表 示等。
例3 道路的铺设与树
假设要在某地建造5个工厂，拟修筑道路连接这5处。 经勘探，其道路可按下图的无向边铺设。现在每条边的 长度已经测出并标记在图的对应边上，如果我们要求铺 设的道路总长度最短，这样既能节省费用 ，又能缩短 工期 ，如何铺设？
8
总之，树在图论研究和图论应用上都是十分典型 的特殊图。
(二)、树的性质
定理1 每棵非平凡树至少有两片树叶。 证明 设P=v1v2…vk是非平凡树T中一条最长路，则v1 与vk在T中的邻接点只能有一个，否则，要么推出P 不是最长路，要么推出T中存在圈，这都是矛盾！ 即说明v1与v2是树叶。 定理2 图G是树当且仅当G中任意两点都被唯一的路 连接。
又由握手定理得：
2m n1 2n2 knk 由上面两等式得：n1 2 n3 2n4 (k 2)nk
12
推论1 具有k个分支的森林有n-k条边。
证明：设森林G的k个分支为Ti (1≦i≦k).对每个分支， 使用定理3得：
m(Ti ) ni 1, (ni V (Ti ) )
所以：
树T4
3
定义2 称无圈图G为森林。 注: (1)树与森林都是单图; (2) 树与森林都是偶图。 例1 画出所有不同构的6阶树。 解：按树中存在的最长路进行枚举。6阶树中能够存在 的最长路最小值为2，最大值为5。
4
2、树的应用 树是图论中应用最为广泛的一类图。在理论上，由 于树的简单结构，常常是图论理论研究的“试验田”。 在实际问题中，许多实际问题的图论模型就是树。 例2 族谱图与树 要把一个家族的繁衍情况简洁直观表达出来，用点 表示家族中成员，成员x是成员y的儿女，把点x画在点 y的下方，并连线。如此得到的图，是一颗树，称为根 树。示意如下：
第二章 树
本章主要内容
一、树的概念与性质 二、生成树 三、最小生成树
授课学时 授课学时：6学时
1
本次课主要内容
(一)、树的概念与应用 (二)、树的性质 (三)、树的中心与形心
2
(一)、树的概念与应用
1、树的概念 定义1 不含圈的图称为无圈图，树是连通的无圈图。 例如：下面的图均是树
树T1
树T2
树T3
点的连通图。
若G-u有一度顶点，则由归纳假设，其边数至少k-1,于 是G的边数至少有k条；
若G-u没有一度顶点，则由握手定理：
m(G u) 1
d (v) k
2 vV (G u )
所以G-u至少有k+1条边。
14
而当G是树时，边数恰为n-1.
所以n阶连通图G至少有n-1条边。 所以，树也被称为最小连通图。
v2
e1
e2
e4
6
该问题归结于在图中求所谓的最小生成树问题。或 称为赋权图中的最小连接问题。
例4 化学中的分子结构与树 例如：C4H10的两种同分异构结构图模型为：
h hh h
h hhh h
hhh
hh
h
h h hh
h
7
例5 电网络中独立回路与图的生成树
早在19世纪，图论还没有引起人们关注的时候，物理学 家克希荷夫就已经注意到电路中的独立回路与该电路中的所 谓生成树的关系。即：如果电路是(n, m)图，则独立回路的 个数为m-n+1.并且，生成树添上生成树外的G的一条边，就 可以得到一独立回路。
解：设T有x片树叶。 由m=n-1得n=13. 于是由握手定理得：
1 x 23 5 (10 x) 212
11
得x=8 例8 设T为(n, m)树，T中有ni个度为i的点(1≦i≦k),且 有：∑ni=n.证明：
n1 2 n3 2n4 (k 2)nk
证明：由m=n-1得：
m (n1 n2 nk ) 1
15
2m(G) d(v) k 1 k 2(n k) 2n 1 2n 2 vV (G)
所以，有：m (G)>n-1,与G是树矛盾！
例10 设G是森林且恰有2k个奇数顶点，则在G中有k条 边不重合的路P1, P2 ,…, Pk,使得：
E(G) E(P1) E(P2 )
E(Pk )
m n 1
证明：对n作数学归纳。
10
当n=1时，等式显然成立； 设n=k时等式成立。考虑n=k+1的树T。 由定理1 T中至少有两片树叶，设u是T中树叶，考 虑
T这1=就T证-u明,则了T1定为理k阶3。树，于是m(T1)=k-1, 得m(T)=k。
例7 设T为12条边的树，其顶点度为1,2,5。如果T恰有 3个度为2的顶点，那么T有多少片树叶？