截断切割问题论文
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==图论的论文篇一：图论论文课程论文课程名称题目最短路径在最优截断切割问题中的应用姓名学号学院专业摘要本文是把长方体切割的最小代价问题，转化成一个我们所熟悉的图论问题，把其抽象成为一个图论之中求路径的最短路的问题，并采用了图论中的Dijkstra 算法，以求其的最短路，最终得到了对长方体切割问题的求解，最后我们通过了一个长方体切割实例，说明了我们的算法是可靠，有效的。
关键字：最短路径Dijkstra算法最优截断切割1. 预备知识1.1图的基本概念有序三元组G =(V,E,)称为一个图，其中:(1)V是有穷非空集，称为顶点集，其元素叫做图的顶点；(2)E称为边集,其元素叫做图的边；(3)是从边集E到顶点集的有序或者无序对集合的映射，称为关联函数。
1.2 权如果图G中任意一条边上都附有一个数，则称这样的图G为加权图。
若边e标记数为k，称边e的权为k。
定义１在无向图G=(V,E,?)中：（1）顶点与边相互交错且?(ei)?vi?1vi (i=1,2,…k)的有限非空序列w?(v0e1v1e2?vk?1ekvk)称为一条从v0到vk的通路，记为Wv0vk（2）边不重复但顶点可重复的通路称为道路，记为Tvv0k（3）边与顶点均不重复的通路称为路径，记为Pv右图中，我们可以根据定义得到：通路Wvv?v1e4v4e5v2e1v1e4v414vk道路Tvv?v1e1v2e5v4e6v2e2v3e3v414路径Pvv?v1e1v2e5v414定义２（1）任意两点均有路径的图称为连通图．（2）起点与终点重合的路径称为圈．（3）连通而无圈的图称为树．定义３（1）设P(u,v)是赋权图G中从u到v的路径，则称w(P)??w(e)为路径P的权．e?E(P)（2）在赋权图G中，从顶点u到顶点v的具有最小权的路 P*(u,v)，称为u到v的最短路．1.3 固定起点的最短路最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路．假设在u0-v0的最短路中只取一条，则从u0到其余顶点的最短路将构成一棵以u0为根的树．因此, 可采用树生长的过程来求指定顶点到其余顶点的最短路．Dijkstra算法：求G中从顶点u0到其余顶点的最短路，如图1所示:设G为赋权有向图或无向图，G边上的权均非负．对每个顶点，定义两个标记（l(v)，z(v)），其中:l(v)：表从顶点u0到v的一条路的权．z(v)：v的父亲点，用以确定最短路的路线算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终l(v)为从顶点u0到v的最短路的权。
最新数学建模经典案例：最优截断切割问题
建模案例：最优截断切割问题一、 问 题从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过 6 次截断切割.设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍.且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用 e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少.二、 假 设１、假设水平切割单位面积的费用为r ，垂直切割单位面积费用为1；２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用e ；３、第一次切割前，刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用；4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割.三、 模型的建立与求解设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b0 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、M2、M3、M4、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、u2、u3、u4、u5、u6.这样，一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720= 种切割方式.当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则：两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工.由此准则,只需考虑 P 6622290!!!⨯⨯=种切割方式.即在求最少加工费用时，只需在90个满足准则的切割序列中考虑.不失一般性，设u1≥u2，u3≥u4，u5≥u6，故只考虑M1在M2前、M3在M4前、M5在M6前的切割方式.1、 e=0 的情况为简单起见,先考虑e=0 的情况.构造如图9-13的一个有向赋权网络图G(V,E).为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z.图9-13 G(V,E)图G(V,E)的含义为：(1)空间网络图中每个结点Vi(xi,yi,zi)表示被切割石材所处的一个状态.顶点坐标xi、yi、zi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数.例如：V24(2,1,2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀，前后方向上已被切一刀，上下方向上已被切两刀，即面M1、M2、M3、M5、M6均已被切割.顶点V1(0,0,0) 表示石材的最初待加工状态，顶点V27(2,2,2)表示石材加工完成后的状态.(2)G的弧（Vi,Vj）表示石材被切割的一个过程，若长方体能从状态Vi经一次切割变为状态Vj，即当且仅当xi+yi+zi+1=xj+yj+zj时，Vi(xi,yi,zi)到Vj(xj,yj,zj)有弧(Vi,Vj)，相应弧上的权W(Vi,Vj)即为这一切割过程的费用.W(Vi,Vj)=(xj-xi)⨯(bi⨯ci)+(yj-yi)⨯(ai⨯ci)+(zj-zi)⨯(ai⨯bi)⨯r其中，ai、bi、ci分别代表在状态Vi时，长方体的左右面、上下面、前后面之间的距离.例如，状态V5（1，1，0），a5 = a0-u1,b5 = b0-u3,c5 = c0;状态V6（2，1，0）W(V5，V6) ＝（b0-u3)⨯c0(3)根据准则知第一刀有三种选择，即第一刀应切M1、M3、M5中的某个面，在图中分别对应的弧为( V1,V2)，(V1,V4)，(V1,V10). 图G中从V1到V27的任意一条有向道路代表一种切割方式.从V1到V27共有90条有向道路，对应着所考虑的90种切割方式.V1到V27的最短路即为最少加工费用，该有向道路即对应所求的最优切割方式.实例：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、145、19 和3、2、4，两者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9，则边距如下表：u1 u2 u3 u4 u5u66 1 755 69r=1时，求得最短路为V1－V10－V13－V22－V23－V26－V27，其权为374对应的最优切割排列为M5－M3－M6－M1－M4－M2，费用为374元.2、e≠0的情况当e≠0时，即当先后两次垂直切割的平面不平行时，需加调刀费e.希望在图9-13的网络图中某些边增加权来实现此费用增加.在所有切割序列中，四个垂直面的切割顺序只有三种可能情况：<情况一>先切一对平行面，再切另外一对平行面，总费用比e=0时的费用增加e.<情况二>先切一个，再切一对平行面，最后割剩余的一个，总费用比e=0时的费用增加2e.<情况三>切割面是两两相互垂直，总费用比e=0时的费用增加3e.在所考虑的90种切割序列中，上述三种情况下垂直切割面的排列情形，及在G垂直切割面排列情有向路必经点形情况一（一）M1－M2－M3－M4 (1,0,z),(2,0,z),(2,1,z)情况一（二）M3－M4－M1－M2 (0,1,z),(0,2,z),(1,2,z)情况二（一）M3－M1－M2－M4 (0,1,z),(1,1,z),(2,1,z)情况二（二）M1－M3－M4－M2 (1,0,z),(1,1,z),(1,2,z)情况三（一）M1－M3－M2－M4 (1,0,z),(1,1,z),(2,1,z)情况三（二）M3－M1－M4－M2 (0,1,z),(1,1,z),(1,2,z)我们希望通过在图9-13的网络图中的某些边上增加权来进行调刀费用增加的计算，但由于网络图中的某些边是多种切割序列所公用的.对于某一种切割序列，需要在此边上增加权e，但对于另外一种切割序列，就有可能不需要在此边上增加权e，这样我们就不能直接利用图9-13的网络图进行边加权这种方法来求出最短路径.由上表可以看出，三种情况的情形（一）有公共点集{(2,1,z)|z=0,1,2}，情形（二）有公共点集{(1,2,z)|z=0,1,2}.且情形（一）的有向路决不通过情形（二）的公共点集，情形（二）的有向路也不通过情形（一）的公共点集.所以可判断出这两部分是独立的、互补的.如果我们在图G中分别去掉点集{(1,2,z)|z=0,1,2}和{(2,1,z)|z=0,1,2}及与之相关联的入弧，就形成两个新的网络图，如图Ｈ1和Ｈ2.这两个网络图具有互补性.对于一个问题来说，最短路线必存在于它们中的某一个中.由于调整垂直刀具为3次时，总费用需增加3e，故我们先安排这种情况的权增加值e，每次转刀时，给其待切弧上的权增加e.增加e的情况如图9-14中所示.再来判断是否满足调整垂直刀具为二次、一次时的情况，我们发现所增加的权满足另外两类切割序列.综合上述分析，我们将原网络图G分解为两个网络图Ｈ1和Ｈ2，并在指定边上的权增加e，然后分别求出图Ｈ1和Ｈ2中从V1到V27的最短路，最短路的权分别为：d1,d2.则得出整体的最少费用为：d = min(d1,d2) ，最优切割序列即为其对应的最短路径.实例：r=15,e=2时，求得图G1与G2的最短路为G2的路V1－V4－V5－V14－V17－V26－V27，权为4435，对应的最优切割序列为M3－M1－M6－M4－M5－M2，最优费用为4435.图9-14 H1图9-15 H2。
截断切割的优化设计
长方摘要本篇论文着重讨论了长方体截断切割的最优排序策略，用排列组合得到720 种所可行解及其费用并对于原问题建立了决策并对所给出的算法进行了分析和检验。
当E=3时我归纳出解决问题的最优法则, 从而提出了将面间距统一成判断权重来作为排序准则的算法,最后我结合实际问题将本问题进行了拓展讨论了当最终产品(成品)在毛坯(待加工长方体)中位置不预定时应如何实施加工方案以达到节省费用和节约资源的目的,使我们的方案适用于更为广阔的领域关键字:权重、捆绑法、排列组合、最小路径一、问题的重述与分析在日常的工业生产中，工人师傅会常常采取一分为二的截断切割方式从一块长方体材料中切出一个小长方体，其加工总费用与水平切割、垂直切割的截面面积、调整刀具时的额外费用e以及切割面的排列顺序。
通常要经过6 次截断切割完成.水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍.先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.对于本问题我们首先面临的是各面加工次序的排列问题和我们当考虑到原成品和成品的位置不确定的时候我们如何采取策略来达到最优的切割方式二、模型假设1、机器切割与刀具无任何误差2、人为操作（换刀，位置摆放等）完全正确3、金属不会因为加工过程中环境因素而发生微小的变形4、目标长方体所在位置与原成品任一表面不重合5、切割刀具为一个且水平放置6、水平方向只需平行移动水平刀具或调整后平行移动三、符号说明A，B，C分别表示原长方体的长、宽、高，单位：cma，b，c分别表示目标长方体的长、宽、高，单位：cm毛坯的左表面右表面前表面后表面上表面下表面最终产品的左表面右表面前表面后表面上表面下表面（为方便做题，分别记为253614）r 水平切割单位面积费用与垂直切割单位面积费用之比e 调整一次垂直刀具的额外费用p 垂直切割单位面积费用ti 加工过程中的第i 刀切割第ti 个面wi 第i 次切割的切割费用单位:元vi 第i 次切割被切割掉部分的面积单位:平方厘米di 最终产品与毛坯的对应表面的距离i = 1,2,，，，6其它变量如果出现则在使用时另行说明四、模型建立模型一：1求出费用最小下的最优切割方式（方法同模型二）以各个切割面为顶点，任意每两个顶点之间的切割费用（考虑额外费用e）即权重，画出类似模型二中图，再利用Dijkstra算法求出最短路径及所求最优切割方式A1C 62 a b C5 B3 A 4模型二：根据调整刀具需额外费用e的次数（E）可分为以下几种可能1、E=3次的情形就是首先切割对应的平行面如：1、4面2、5面3、6面，将其平行的对面用捆绑法进行捆绑，分别记为V1、V2、V3。
最优截断切割问题
B题截断切割组号：14截断切割摘要本文讨论的问题是实际生产加工中的截断切割问题，研究了采用何种切割顺序能使得材料切割所用费用最省。
根据题中条件，待加工材料和成品均为长方体，且不同的加工顺序使得材料切割费用不同，我们考虑了将三维直角坐标系与有向图相结合的方式构造模型。
本文构造的有向图是三维形式的，有向图的顶点坐标（x ，y ，z ）分别代表侧面（左右面）、正面（前后面）、水平面（上下面）的切割次数，其中x ，y ，z 都在{0.1.2}中取值。
有向弧代表一个从弧的始点至弧终点的切割步骤，弧权值代表弧所代表的加工步骤所需加工费。
那么切割问题就转化为了求解一个带权有向图的最短路径问题。
通过编写数学软件，运用lingou 软件求得了最短路径。
最终我们解出了最优切割法：（1）当r=1，e=0时，最短切割路径为：5，3，1，6，4，2；5，3，6，1，4，2 （2）当r=1.5，e=0时，最短切割路径为：3，1，5，4，6，2；3，5，1，4，6，2 （3）当r=8，e=0时，最短切割路径为：3，1，4，5，2，6（4）当r=1.5，e=2时，最短切割路径为：3，1，5，4，6，2；3，5，1，4，6，2 （1）（2）（3）（4）情况的最少费用分别为：374，437.5，540.5，443.5。
（数字1,2,3,4,5,6分别代表切割左右前后上下面）当然，本文是假设切割是在一定的切割原则，即在两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工这一原则下进行的，这是符合基本的切割作业常识的，也符合截断切割的同类换序定理（在截断切割方式()123456,,,,,,v v v v v v v →=中交换其内相邻同类切割的切割次序，总切割面积不因切割面积的交换而改变；若交换间隔一异类切割的的同类切割的切割次序，则割弃长较大的同类切割面先切割者，其总切割面积较小）。
再者，由题意，成品与待切割品的相邻平行面的距离已经给定。
数学建模截断切割.
数学建模截断切割问题学号：1443205000041 姓名：杨德升学号：1443205000108 姓名：李春红学号：1443205000088 姓名：杨建明问题描述：某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。
这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。
从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。
设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍，且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e。
试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。
（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下：1、需考虑的不同切割方式的总数。
2、给出上述问题的数学模型和求解方法。
3、试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。
4、对于e=0 的情形有无简明的优化准则。
5、用以下实例数据验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、14.5、19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。
垂直切割费用为每平方厘米1元，r和e的数据有以下4组：a r = 1 e = 0;b r = 1.5 e = 0;c r = 8 e = 0;d r = 1.5 2<= e<=15;对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。
解：（1）对于计算不同的切割方式总数，经过分析，能够用排列组合的知识来解决这个问题。
我们对分别位于前、后、左、右、上、下的切割面进行编号，其相应的编号分别为1M，2M，M3，M4，M5，M6，然而每一种切割方式都是对这6个切割面的一个排列方式，所以总共就6！=720种排列方式。
但是相继切割一对平行面时，交换切割次序，不影响切割费用，把费用相同的一项归到一类，最终的切割总数为：720-3x5!+3x4!-3!=426种(2)(3)(4)(5)符号说明：a0,b0,c0分别表示待加工长方体的长、宽、高。
数学建模经典案例最优截断切割问题
建模案例：最优截断切割问题一、 问 题从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过６ 次截断切割．设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍。
且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”)的方法,使加工费用最少。
二、 假 设1、假设水平切割单位面积的费用为r,垂直切割单位面积费用为１;２、当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，调整刀具需额外费用ｅ；3、第一次切割前,刀具已经调整完毕，即第一次垂直切割不加入刀具调整费用； 4 、每个待加工长方体都必须经过6次截断切割．三、 模型的建立与求解设待加工长方体的左右面、前后面、上下面间的距离分别为 a0、b ０ 、c0 ，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下，将它们相应编号为M1、Ｍ2、M3、M ４、M5、M6，这六个面与待加工长方体相应外侧面的边距分别为 u1、ｕ2、u3、u4、u5、ｕ6.这样,一种切割方式就是六个切割面的一个排列，共有P 66720= 种切割方式。
当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则:两个平行待切割面中，边距较大的待切割面总是先加工.由此准则，只需考虑 P 6622290!!!⨯⨯=种切割方式.即在求最少加工费用时，只需在９0个满足准则的切割序列中考虑．不失一般性,设u １≥u2,u3≥u ４，u5≥u6,故只考虑Ｍ1在M2前、M ３在M ４前、M5在Ｍ６前的切割方式。
1、 ｅ=0 的情况为简单起见,先考虑e＝0 的情况．构造如图9—１3的一个有向赋权网络图Ｇ(V，Ｅ）。
为了表示切割过程的有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z．图9—13 G（V,Ｅ)图G（V，E)的含义为:（１)空间网络图中每个结点Ｖi(ｘi，yi,ｚi）表示被切割石材所处的一个状态.顶点坐标xｉ、yi、ｚi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割的刀数．例如：V24(2，1,2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀，前后方向上已被切一刀,上下方向上已被切两刀，即面Ｍ1、M2、M3、M5、M6均已被切割．顶点V1（0，0，０）表示石材的最初待加工状态,顶点V２7（２，２，２）表示石材加工完成后的状态．（2)Ｇ的弧(Vi,Vj)表示石材被切割的一个过程，若长方体能从状态Ｖi经一次切割变为状态Vj,即当且仅当xｉ+yi+zi＋１=ｘj＋yj+zj时，Vi（ｘi，yi，zｉ)到Vj（ｘｊ，yj,zj）有弧（Vｉ，Vj),相应弧上的权W(Vi，Ｖj）即为这一切割过程的费用。
截断切割大学生数学建模word版
截断切割数学建模论文摘要 本文讨论了将一个待加工长方体经过六次截断切割成一个成品长方体的切割方式问题，利用重心偏移法，考虑了第七及第k+1次切割之间的联系，建立了动态规划的数学模型，并用直接搜索法进行了求解。
本文接着用此模型对某些部门的切割准则作了正确的评价，并给了当e=0时的简明优化准则，最后用具体实例验证了模型的可靠性，并对一些初值进行了详细的讨论，给出了所有的最优解。
本文还对模型进行了误差分析，并对模型进行了推广。
关键词 动态规划 切割方式 f-原则一、问题的提出与分析某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。
这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。
从一个长方体中加工出一个已知尺寸，位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。
设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积的费用的r 倍，且当先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e 。
试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。
并对某部门用的如下准则作出评论：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。
该问题可以采用重心偏移法。
在切割之前，长方体的重心是确定的，每切割一次它的重心就偏移一次，而且偏移有一定的规律，它只是沿着长、宽或高的方向偏移。
待原长方体加工成成品长方体之后，长方体的重心经过六次偏移已与成品长方体的重心重合了。
这就是长方体的重心偏移过程。
该问题是一个动态规划问题，是分级决策方法和最佳化原理的综合应用。
首先是建立分级决策的模型。
用d k 表示第k 次决策，J k 表示第k 级的级收益，现在一定条件下，寻求一组可行决策变量{}621,,,d d d ，使问题的总收益J 为最佳。
二、基本假设与符号约定（一） 基本假设1． 由工艺要求，与水平工作台接触的待加工长方体底面是事先指定的，成品长方体的尺寸已知，位置预定，且两个长方体和对应表面是平行的。
数学建模经典案例最优截断切割问题
数学建模经典案例最优截断切割问题在我们的日常生活和工业生产中，经常会遇到材料切割的问题。
如何在给定的原材料上，通过合理的切割方式，获得最大的效益或者满足特定的需求，这就是最优截断切割问题所要研究的核心内容。
想象一下，你是一家木材加工厂的老板，手头有一根长长的原木，需要将其切割成不同长度的木板，以满足客户的订单需求。
但原木的长度是有限的，而客户的订单要求各种各样，怎样切割才能最大限度地利用这根原木，减少浪费，提高利润呢？这可不是一件简单的事情，需要运用数学建模的智慧来找到最优解。
为了更好地理解最优截断切割问题，让我们先来看一个具体的例子。
假设有一根长度为 10 米的钢材，需要切割成 2 米、3 米和 4 米三种不同长度的小段，分别需要 10 段、8 段和 5 段。
那么，应该如何切割才能使浪费最少，或者说在满足需求的前提下使用的钢材最少呢？首先，我们可以尝试一些直观的切割方法。
比如说，先把钢材尽可能地切成 4 米长的小段，然后再处理剩下的部分。
但这样做真的是最优的吗？也许在这个例子中是，但如果需求的数量或者钢材的长度发生变化，这种方法可能就不再适用了。
为了解决这个问题，我们可以建立一个数学模型。
假设我们用 x1、x2、x3 分别表示切割成 2 米、3 米和 4 米小段的数量。
那么，我们需要满足以下条件：2x1 ＋ 3x2 ＋ 4x3 ＜＝ 10 （这表示切割出的小段长度总和不能超过原材料的长度）x1 ＞＝ 10 （2 米小段的需求数量）x2 ＞＝ 8 （3 米小段的需求数量）x3 ＞＝ 5 （4 米小段的需求数量）同时，我们的目标是要使切割使用的钢材长度最小，也就是要最小化 2x1 ＋ 3x2 ＋ 4x3 这个目标函数。
接下来，我们可以使用一些数学方法来求解这个模型。
常见的方法有线性规划、动态规划等。
以线性规划为例，我们可以通过软件工具（如 LINGO、Matlab 等）来求解这个问题，得到最优的切割方案。
截断切割问题论文精编WORD版
截断切割问题论文精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】题 目 截断切割问题摘要本文研究了实际生产过程中的截断切割问题，求出最优的切割顺序，使得在对待加工的长方体进行切割时，能够花费最少的切割费，得到最大的收益。
根据题中所给的数据，我们发现不同的切割顺序所花费的切割费用是不一样的，所以我们建立模型，通过图论来对其进行求解。
首先，我们建立了一个三维的有向赋权网络图，假设图中的弧表示长方体的切割过程，图中的定点表示长方体切割后所处的状态，并对弧权进行赋值，弧权值表示在切割过程中所花费的切割费用。
然后通过求最短路径来求出最少的切割费用。
我们利用Lingo 软件得出了如下答案： 当1,0r e ==时，最少加工费用为：374元；切割次序为：1101322232627------，也就是按照615324M M M M M M -----的顺序切割。
当 1.5,0r e ==时，最少加工费用为：437.5元；切割次序为：141314172627------，也就是按照163254M M M M M M -----的顺序切割。
当8,0r e ==时，最少加工费用为：540.5元；切割次序为：1458171827------，也就是按照132645M M M M M M -----的顺序切割。
（当 1.5,215r e =≤≤时，答案较为复杂，请见正文）并且，我们提出了最简明的优化准则，即为“每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。
”当0e =时的情况下，对长方体进行截断切割时，就能够遵循这条准则对其进行切割，花费最小的切割费。
关键词：截断切割最优化模型图论一、问题重述某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。
这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。
从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。
数学建模经典案例最优截断切割问题
数学建模经典案例最优截断切割问题在日常生活和工业生产中，我们常常会遇到材料切割的问题。
如何在给定的原材料上，通过合理的切割方式，获得最大的效益或者满足特定的需求，这就是最优截断切割问题所要研究的核心内容。
想象一下，你是一家木材加工厂的老板，手里有一根长度固定的原木，而客户向你订购了各种不同长度的木板。
为了最大限度地利用这根原木，减少浪费，同时满足客户的订单需求，你需要思考怎样切割才能达到最优效果。
这不仅仅是简单的切割操作，而是涉及到数学的精确计算和策略规划。
比如说，我们有一根长度为 10 米的原木，而客户需要 2 米长的木板 3 块，3 米长的木板 2 块。
那么，我们应该怎样切割这根原木呢？这就需要用到数学建模的方法来找到最优的切割方案。
首先，我们来分析一下可能的切割方式。
一种方式是直接按照客户的需求进行切割，即先切出 3 段 2 米长的，然后再切出 2 段 3 米长的。
但这样可能会剩下 1 米的废料。
另一种方式是尝试不同的组合，比如先切出 2 段 3 米长的，然后从剩下的 4 米中再切出 3 段 2 米长的，这样就没有废料产生。
但这只是简单的举例，实际情况可能会更加复杂。
为了找到最优的切割方案，我们需要建立一个数学模型。
假设原木的长度为 L，客户需要的木板长度分别为 l1, l2, l3,， ln ，数量分别为n1, n2, n3,， nn 。
我们的目标是在满足客户需求的前提下，使废料最小或者利用率最大。
我们可以定义一个变量 xij 表示第 i 种长度的木板切割 j 段。
那么，我们的约束条件就是：对于每种长度的木板，其切割的数量要满足客户的需求，即∑j xij ＝ni 。
同时，切割的总长度不能超过原木的长度，即∑i j × lij × xij ≤ L 。
接下来，我们的目标函数可以是使废料最小，即 Minimize （L ∑i j × lij × xij) ，或者使利用率最大，即 Maximize （∑i j × lij × xij ／ L) 。
数学建模经典案例最优截断切割问题
数学建模经典案例最优截断切割问题在我们的日常生活和工业生产中，经常会遇到材料切割的问题。
如何在给定的材料上进行最优的截断切割，以最大程度地提高材料利用率、降低成本，是一个具有实际意义和挑战性的问题。
接下来，让我们深入探讨一下最优截断切割问题的经典案例。
想象一下，有一家家具厂接到了一批订单，需要生产一定数量的桌子和椅子。
而用于制作桌椅的原材料是长度固定的木板。
为了满足订单需求，同时尽可能减少浪费，就需要精心规划木板的切割方式。
假设我们有一块长度为 L 的木板，要将其切割成若干段，用于制作不同长度的零件。
比如，我们需要制作长度分别为 a1, a2, a3,， an 的零件，且每个零件的需求量分别为 b1, b2, b3,， bn 。
首先，我们来考虑一种简单的切割方案。
如果不考虑最优性，只是随意切割，可能会导致大量的材料浪费。
比如，先把木板切割成需要的最长零件长度，然后再用剩余的部分切割较短的零件。
但这样的方法往往不是最优的，因为可能会在最后剩下一些无法有效利用的小段材料。
那么，如何才能找到最优的切割方案呢？这就需要运用数学建模的思想。
我们可以建立一个目标函数，目标是使切割后的剩余材料最少，或者等价地说，使切割出的有用材料最多。
设切割方案为 x1, x2, x3,，xn ，分别表示切割出长度为 a1, a2, a3,， an 的零件的数量。
则我们的目标函数可以表示为：Maximize ∑xi ai （在满足约束条件的情况下）约束条件通常包括：∑xi ai ≤ L （切割出的零件总长度不能超过木板长度）xi ≥ bi （切割出的每种零件数量要满足需求）xi 为整数（因为零件的数量必须是整数）接下来，我们可以使用一些数学优化算法来求解这个模型，比如线性规划、整数规划等方法。
为了更好地理解，让我们来看一个具体的例子。
假设木板长度 L ＝10 米，需要切割出长度为 2 米、3 米和 4 米的零件，需求量分别为 5 个、3 个和 2 个。
数学建模经典案例：最优截断切割问题
建模案例:最优截断切割问题一、问题从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定得长方体（这两个长方体得对应表面就是平行得），通常要经过6 次截断切割、设水平切割单位面积得费用就是垂直切割单位面积费用得r倍、且当先后两次垂直切割得平面(不管它们之间就是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用ｅ、试设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）得方法，使加工费用最少、二、假设1、假设水平切割单位面积得费用为r，垂直切割单位面积费用为１;２、当先后两次垂直切割得平面（不管它们之间就是否穿插水平切割)不平行时,调整刀具需额外费用e;３、第一次切割前,刀具已经调整完毕,即第一次垂直切割不加入刀具调整费用;4 、每个待加工长方体都必须经过６次截断切割、三、模型得建立与求解设待加工长方体得左右面、前后面、上下面间得距离分别为a０、b０、ｃ0，六个切割面分别位于左、右、前、后、上、下,将它们相应编号为M１、M2、M３、M4、M5、M6,这六个面与待加工长方体相应外侧面得边距分别为u １、u2、u3、u4、u5、ｕ６、这样,一种切割方式就就是六个切割面得一个排列，共有种切割方式、当考虑到切割费用时，显然有局部优化准则:两个平行待切割面中,边距较大得待切割面总就是先加工、由此准则,只需考虑种切割方式、即在求最少加工费用时,只需在90个满足准则得切割序列中考虑、不失一般性,设u1≥ｕ2，u3≥ｕ４,ｕ5≥u6，故只考虑M１在M2前、M3在Ｍ4前、Ｍ５在M6前得切割方式、1、e＝0 得情况为简单起见,先考虑e＝0 得情况、构造如图9—13得一个有向赋权网络图G(Ｖ,E)、为了表示切割过程得有向性，在网络图上加上坐标轴x，y，z、图9—13 G（V，Ｅ）图G（V，E)得含义为：(1）空间网络图中每个结点Vi(xｉ，ｙi，zi）表示被切割石材所处得一个状态、顶点坐标xi、yi、zi分别代表石材在左右、前后、上下方向上已被切割得刀数、例如:V24(2，1，2) 表示石材在左右方向上已被切割两刀,前后方向上已被切一刀,上下方向上已被切两刀，即面M1、Ｍ2、M3、M5、M６均已被切割、顶点V１（0,0,0）表示石材得最初待加工状态,顶点Ｖ２７(2，2,2）表示石材加工完成后得状态、（2)Ｇ得弧（Vｉ,Vj)表示石材被切割得一个过程，若长方体能从状态Vi 经一次切割变为状态Vj，即当且仅当xi+yi+zｉ+1=ｘｊ+yj+ｚj时,Vｉ(xｉ,ｙi,zi)到Ｖj(ｘｊ，yj，zｊ）有弧（Vi,Vj）,相应弧上得权W（Vi,Vj）即为这一切割过程得费用、W(Vi，Ｖj)＝(ｘｊ-ｘi）(ｂｉｃｉ)+（yj－ｙi）(aicｉ）＋（zj—ｚｉ)（aibi）ｒ其中,ai、bi、ci分别代表在状态Ｖi时，长方体得左右面、上下面、前后面之间得距离、例如，状态V5（1，1，0），a5 = ａ０－ｕ1,ｂ5 = b0-u3,c５= c0;状态Ｖ６(２,1，0）W（V5,V6)=(b0-u3）ｃ０（3)根据准则知第一刀有三种选择，即第一刀应切Ｍ1、M3、M5中得某个面,在图中分别对应得弧为( V1,V2），（V1，Ｖ4）,(V１,V10)、图G中从V1到Ｖ2７得任意一条有向道路代表一种切割方式、从V1到Ｖ２7共有90条有向道路,对应着所考虑得90种切割方式、Ｖ１到Ｖ27得最短路即为最少加工费用，该有向道路即对应所求得最优切割方式、实例：待加工长方体与成品长方体得长、宽、高分别为１0、1４5、１９与3、2、4,两者左侧面、正面、底面之间得距离分别为６、7、9,则边距如下表：ｕ1 u2 ｕ3 ｕ4 u5 u66 １7 55 ６9r＝１时，求得最短路为Ｖ1－Ｖ10－V13-Ｖ22－V23－V26-V27，其权为37４对应得最优切割排列为M5－M3－M6－M1-M4-Ｍ2，费用为374元、2、ｅ0得情况当e0时，即当先后两次垂直切割得平面不平行时,需加调刀费e、希望在图9-13得网络图中某些边增加权来实现此费用增加、在所有切割序列中，四个垂直面得切割顺序只有三种可能情况：<情况一〉先切一对平行面,再切另外一对平行面,总费用比e＝0时得费用增加e、〈情况二＞先切一个，再切一对平行面，最后割剩余得一个，总费用比e=0时得费用增加2e、〈情况三＞切割面就是两两相互垂直,总费用比e＝0时得费用增加3e、在所考虑得90种切割序列中，上述三种情况下垂直切割面得排列情形，及（2,１,z）情况一（二）Ｍ3—M４－M１－M2 （0，1，z），（0，2，z）,（1,2,z)情况二(一）M3－Ｍ1-M2－M4 （0，1,z），(1，1,ｚ），(2，1，z)情况二(二) Ｍ1－M3－M4－M2 （1,0,ｚ）,(1,1，ｚ）,（１,2,z）情况三（一) M1-M3－M２-M4 (1,0,z），(１，1，z)，（２，1，z）情况三（二) M３－M1-Ｍ4－Ｍ2 （0,1,z)，（1,1，z),(1，2,z）我们希望通过在图9-１3得网络图中得某些边上增加权来进行调刀费用增加得计算，但由于网络图中得某些边就是多种切割序列所公用得、对于某一种切割序列，需要在此边上增加权e,但对于另外一种切割序列, 就有可能不需要在此边上增加权e,这样我们就不能直接利用图9－13得网络图进行边加权这种方法来求出最短路径、由上表可以瞧出，三种情况得情形（一)有公共点集{(2，１，z）|z＝０，1,2｝,情形（二）有公共点集｛(1,2,z)｜z=０,１，2｝、且情形(一)得有向路决不通过情形(二)得公共点集,情形(二）得有向路也不通过情形（一)得公共点集、所以可判断出这两部分就是独立得、互补得、如果我们在图G中分别去掉点集{（１，2，ｚ）|z＝0,１，２｝与｛(2，1,z）｜z=0,１,２}及与之相关联得入弧，就形成两个新得网络图，如图H1与H２、这两个网络图具有互补性、对于一个问题来说，最短路线必存在于它们中得某一个中、由于调整垂直刀具为３次时,总费用需增加3ｅ，故我们先安排这种情况得权增加值e，每次转刀时，给其待切弧上得权增加e、增加e得情况如图9—14中所示、再来判断就是否满足调整垂直刀具为二次、一次时得情况,我们发现所增加得权满足另外两类切割序列、综合上述分析,我们将原网络图G分解为两个网络图Ｈ１与Ｈ2,并在指定边上得权增加ｅ,然后分别求出图Ｈ１与H2中从Ｖ1到V２7得最短路，最短路得权分别为：d1，d２、则得出整体得最少费用为：d= ｍin（d1,d2) ，最优切割序列即为其对应得最短路径、实例:r=１5，e＝2时，求得图G１与G2得最短路为Ｇ2得路Ｖ1－V４－V５-Ｖ14-V１7－Ｖ２6—V27,权为443５,对应得最优切割序列为Ｍ3—M1－M６－M４—Ｍ５－M2，最优费用为４４35、图9—１4 H１图9－1５H2。
数学建模经典案例最优截断切割问题
数学建模经典案例最优截断切割问题在我们的日常生活和工业生产中，经常会遇到材料切割的问题。
如何在给定的原材料上，以最优的方式进行切割，以满足不同尺寸的需求，同时最大程度地减少浪费，这就是最优截断切割问题。
这个问题看似简单，实则蕴含着深刻的数学原理和实际应用价值。
想象一下，你是一家木材加工厂的老板，接到了一批订单，需要生产不同长度的木板。
你手头有一定长度的原木，如何切割这些原木才能满足订单需求，并且使用的原木数量最少，废料最少呢？这就是一个典型的最优截断切割问题。
为了更好地理解这个问题，让我们来看一个具体的例子。
假设我们有一根长度为 10 米的原木，需要切割出 2 米、3 米和 4 米长的木板各若干块。
那么，我们应该如何切割才能最节省材料呢？一种可能的切割方案是，先将原木切成 2 米长的 5 段。
但这样做显然会有很大的浪费，因为我们还需要 3 米和 4 米长的木板。
另一种方案是，先切割出一段 4 米长的木板，剩下的 6 米再切割出两段 3 米长的木板。
这种方案看起来比第一种要好一些，但也许还不是最优的。
那么，如何找到最优的切割方案呢？这就需要运用数学建模的方法。
首先，我们需要明确问题的目标。
在这个例子中，目标是在满足订单需求的前提下，使原木的利用率最高，也就是废料最少。
接下来，我们需要确定决策变量。
在这里，决策变量就是每种长度木板的切割数量。
然后，我们要建立约束条件。
约束条件包括原木的长度限制，以及订单中对每种长度木板数量的要求。
有了目标函数、决策变量和约束条件，我们就可以建立一个数学模型。
通过求解这个数学模型，我们就能够得到最优的切割方案。
在实际求解过程中，可能会用到一些数学方法和算法，比如线性规划、动态规划等。
线性规划是一种常用的数学方法，它可以在一组线性约束条件下，求出目标函数的最优解。
对于简单的最优截断切割问题，线性规划可能就能够有效地解决。
但对于一些复杂的情况，比如需要考虑多种原材料、多种切割方式，或者存在不同的成本因素时，动态规划可能会更加适用。
1997nian加工业中截断切割的优化设计
长度设为 m
其最大逆序数为
m( m − 1) 2
所以我们可
得到一个逆序数 n = 0 的排列 而该排列所对应的切
割方案的费用是不大于原方案的 至此 定理得证 而由定理得到的优化准则 /y 基于动态规化思想给出的算法(对于e ≥ 0 的情况)ð 算法二 由 d j (毛坯与最终产品的面间距)来判断各个面的加工次序 方法简明 易 于操作 但整修方法的讨论与定理的证明 均是基于 e = 0 的情况下 一旦 i > 0 就不能保证所得结论是最优方案 因此 为处理更一般的情况 我们应将/y 考 虑在内 我们可以从上面 e = 0 所给出的优化准则中得到启发 当 e = 0 时 我们根据
c2 − c1 = x 3 − rx 2
若 x 3 > rx 2 , 则 c1 优于 c2 若 x 3 < rx 2 则 c1 劣与 c2 同样调整 2 和 1 的位置得到(4,3,1,2)费用为 c3 所以
c3 − c1 = rx 2 − x1
在 x1 > rx 2 时 c1 劣于 c3 若 x1 < rx 2 则 c1 优于 c3 综上我们可以总结得到将应的边距转换成统一的权重,对于水平方向的权 重 wi = x i ,垂直方向的权重 n i = rx i ,这样一来得到一个统一标度下的权重;然后对 权重 w 从大到小排序,排列的结果就是对应边的切割次序. 以这种统一的权重作为排序的准则的方法可以得到很好的验证: 在 r=1 时用穷举法验证可得到最优的结果(4,3,2,1), 由此我们可以将二维的方法 类比推广应用到三维,采用将对应的平行平面的面间距转换为统一的标准权重, 作为对各面加工的次序排定的准则.
作者 张剑 95 电信
截断切割的优化设计
长方摘要本篇论文着重讨论了长方体截断切割的最优排序策略，用排列组合得到720 种所可行解及其费用并对于原问题建立了决策并对所给出的算法进行了分析和检验。
当E=3时我归纳出解决问题的最优法则, 从而提出了将面间距统一成判断权重来作为排序准则的算法,最后我结合实际问题将本问题进行了拓展讨论了当最终产品(成品)在毛坯(待加工长方体)中位置不预定时应如何实施加工方案以达到节省费用和节约资源的目的,使我们的方案适用于更为广阔的领域关键字:权重、捆绑法、排列组合、最小路径一、问题的重述与分析在日常的工业生产中，工人师傅会常常采取一分为二的截断切割方式从一块长方体材料中切出一个小长方体，其加工总费用与水平切割、垂直切割的截面面积、调整刀具时的额外费用e以及切割面的排列顺序。
通常要经过6 次截断切割完成.水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r倍.先后两次垂直切割的平面（不管它们之间是否穿插水平切割）不平行时，因调整刀具需额外费用e.对于本问题我们首先面临的是各面加工次序的排列问题和我们当考虑到原成品和成品的位置不确定的时候我们如何采取策略来达到最优的切割方式二、模型假设1、机器切割与刀具无任何误差2、人为操作（换刀，位置摆放等）完全正确3、金属不会因为加工过程中环境因素而发生微小的变形4、目标长方体所在位置与原成品任一表面不重合5、切割刀具为一个且水平放置6、水平方向只需平行移动水平刀具或调整后平行移动三、符号说明A，B，C分别表示原长方体的长、宽、高，单位：cma，b，c分别表示目标长方体的长、宽、高，单位：cm毛坯的左表面右表面前表面后表面上表面下表面最终产品的左表面右表面前表面后表面上表面下表面（为方便做题，分别记为253614）r 水平切割单位面积费用与垂直切割单位面积费用之比e 调整一次垂直刀具的额外费用p 垂直切割单位面积费用ti 加工过程中的第i 刀切割第ti 个面wi 第i 次切割的切割费用单位:元vi 第i 次切割被切割掉部分的面积单位:平方厘米di 最终产品与毛坯的对应表面的距离i = 1,2,，，，6其它变量如果出现则在使用时另行说明四、模型建立模型一：1求出费用最小下的最优切割方式（方法同模型二）以各个切割面为顶点，任意每两个顶点之间的切割费用（考虑额外费用e）即权重，画出类似模型二中图，再利用Dijkstra算法求出最短路径及所求最优切割方式A1C 62 a b C5 B3 A 4模型二：根据调整刀具需额外费用e的次数（E）可分为以下几种可能1、E=3次的情形就是首先切割对应的平行面如：1、4面2、5面3、6面，将其平行的对面用捆绑法进行捆绑，分别记为V1、V2、V3。
截断切割的切割方式设计
截断切割的切割方式设计
刘锡兵;武新玲;马军棋
【期刊名称】《杭州电子科技大学学报》
【年(卷),期】1997(000)004
【摘要】问题B要求为截断切割设计一种优化的切割方式。
在问题分析中把水平与垂直切割的费用差别进行了转换，构造出一个等价的．无差别的虚拟长方体作为模型直接研究对象，从而消除了费用差别的影响。
然后根据多阶段决策构造一个简洁的动态规划模型，在确定一定准则的情况下，用DFS算法作为一般的算法，求得各种情况的最优解在e=0时用优先策略的思想，通过准则2，3建立了一种只需排序就能求出最优解的算法，根据本题的特征，对一般的问题，在确定准则4，5，6后，对其余各种算法进行总结。
另外，本模型从直观的角度给出了另一个模型，在扩展中结合实际，讨论了其应用，最后对本模型进行了总结。
【总页数】13页(P82-94)
【作者】刘锡兵;武新玲;马军棋
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】TG48
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1.苹果切割刀具的有限元分析及切割方式研究 [J], 吴小华;张舒慧;陈建军;谭佐军
2.材料截断切割的最优设计 [J], 关宏波;石东伟;黄松奇
3.单线切割设备的切割方式研究 [J], 王欣;衣忠波
4.截断切割的优化程序设计 [J], 赵红娥;高鑫
5.方体截断切割实际切割面积的一般公式及应用 [J], 舒晓惠
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基于Visual C++软件对石材加工截断切割最优问题的分析
基于Visual C++软件对石材加工截断切割最优问题的分析安洁
【期刊名称】《价值工程》
【年(卷),期】2018(037)010
【摘要】In this paper, based on the background of stone processing, aiming at the truncation and cutting problem, the shortest path model and the dynamic programming model are adopted. With the aid of Visual
C++software programming, the cutting mode that minimizes the processing cost is obtained.%本文以石材加工为背景,针对截断切割的问题,采用最短路模型和动态规划模型,借助于Visual C++软件编程,求解得到了使加工费用最小的切割方式.
【总页数】2页(P216-217)
【作者】安洁
【作者单位】石家庄铁道大学,石家庄050000
【正文语种】中文
【中图分类】TG481+.2
【相关文献】
1.基于Visual C++的实时频谱分析软件设计 [J], 张楠;秦开宇
2.“截断切割”中的最优加工次序问题及其解法 [J], 刘晖;段宝岩
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截断切割问题论文 Prepared on 22 November 2020题 目 截断切割问题摘要本文研究了实际生产过程中的截断切割问题，求出最优的切割顺序，使得在对待加工的长方体进行切割时，能够花费最少的切割费，得到最大的收益。
根据题中所给的数据，我们发现不同的切割顺序所花费的切割费用是不一样的，所以我们建立模型，通过图论来对其进行求解。
首先，我们建立了一个三维的有向赋权网络图，假设图中的弧表示长方体的切割过程，图中的定点表示长方体切割后所处的状态，并对弧权进行赋值，弧权值表示在切割过程中所花费的切割费用。
然后通过求最短路径来求出最少的切割费用。
我们利用Lingo 软件得出了如下答案：当1,0r e ==时，最少加工费用为：374元；切割次序为：1101322232627------，也就是按照615324M M M M M M -----的顺序切割。
当 1.5,0r e ==时，最少加工费用为：437.5元；切割次序为：141314172627------，也就是按照163254M M M M M M -----的顺序切割。
当8,0r e ==时，最少加工费用为：540.5元；切割次序为：1458171827------，也就是按照132645M M M M M M -----的顺序切割。
（当1.5,215r e =≤≤时，答案较为复杂，请见正文）并且，我们提出了最简明的优化准则，即为“每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。
”当0e =时的情况下，对长方体进行截断切割时，就能够遵循这条准则对其进行切割，花费最小的切割费。
关键词：截断切割 最优化模型 图论一、问题重述某些工业部门（如贵重石材加工等）采用截断切割的加工方式。
这里“截断切割”是指将物体沿某个切割平面分成两部分。
从一个长方体中加工出一个已知尺寸、位置预定的长方体（这两个长方体的对应表面是平行的），通常要经过6次截断切割。
设水平切割单位面积的费用是垂直切割单位面积费用的r 倍，且当先后两次垂直切割的平面(不管它们之间是否穿插水平切割)不平行时，因调整刀具需额外费用e 。
试为这些部门设计一种安排各面加工次序（称“切割方式”）的方法，使加工费用最少。
（由工艺要求，与水平工作台接触的长方体底面是事先指定的）详细要求如下：1、需考虑的不同切割方式的总数。
2、给出上述问题的数学模型和求解方法。
3、试对某部门用的如下准则作出评价：每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。
4、对于0e =的情形有无简明的优化准则。
5、用以下实例数据验证你的方法：待加工长方体和成品长方体的长、宽、高分别为10、、19和3、2、4，二者左侧面、正面、底面之间的距离分别为6、7、9（单位均为厘米）。
垂直切割费用为每平方厘米1元，r 和e 的数据有以下4组：对最后一组数据应给出所有最优解，并进行讨论。
二、模型假设1、假设待加工的长方体与成品长方体的各个对应表面均平行。
2、假设水平工作台台面是整平的。
3、假设加工费用只与切割费用和刀具调整费有关。
4、假设每个待加工的长方体只切割为一个成品长方体，而且每个待加工的长方体至少都需要经过六次切割才能成为成品长方体。
对要求一的分析在这个问题中，加工费用与每一次的切割面积以及总共需要刀具调整次数的有关系，而总的切割面积又与长方体的6个切割面的切割次序有关系，所以这个问题能够利用排列组合的知识来解。
对要求二的分析在对于最优的加工次序的求解过程中，由于切割方式有720种，数据过于庞大，所以我们对这些切割方式先进行初步的优化。
考虑到实际情况，我们经过证明发现（证明过程见下文），对于相对的两个切割面进行切割时，先切割与待加工的长方体的外表面距离较大的切割面，所花的切割费用要较少一些。
所以我们使用这个筛选方法作为初步优化的方案对切割方式做初步的优化筛选。
筛选后的切割方式有90种，然后我们运用图论的方法对其进行求解。
通过建立一个有向赋权网络图进行求解。
然而，因为e值的不同，所以在优化过程中还要分为0e=和0e≠这两种情况去进行分析，建立相应的有向赋权网络图。
然后使用Lingo软件进行编程求解。
对要求三的分析首先，对于某部门的切割方法进行求解，得出结果为：我们对数据进行分析后发现，当0e =时，某部门使用的准则得出的切割费与我们的结果十分接近；但是当0e ≠时，答案与我们得出的就有一定的区别，价格要比我们的答案高一点，而且随着e 的增大而增大，所以很明显，当0e =时，这个准则还是挺适合的；但是在0e ≠的情况下，这个方法就不太明智了。
对要求四的分析其实要求四与要求三的情况是相同的，在要求三中的准则就是对0e =这种情况下的优化方案的一种简化方案。
然后我们通过对答案的验证，来证明要求三中提出的准则在0e =的情况下的合理性。
五、模型的建立与求解要求一的模型建立与求解对于计算不同的切割方式总数，经过分析，我们发现能够用排列组合的知识来解决这个问题。
我们对分别位于前、后、左、右、上、下的切割面进行编号，其相应的编号分别为123456,,,,,M M M M M M ，然而每一种切割方式都是对这6个切割面的一个排列方式，所以总共就有66720A =种排列方式。
所以我们认为，切割总数应该有720种。
要求二的模型建立与求解根据实际情况，当考虑到切割费用时，存在一个局部的优化的方案：在对两个相对的切割面进行切割的时候，切割面与待加工的长方体的外表面距离较大的一个面总是先加工的，这样可以减少总的切割面积，从而节省很多的切割费用。
优化方案确立的证明如下：假设待加工的长方体的长宽高分别为000,,a b c ，成品长方体长宽高分别为272727,,a b c ，待加工长方体的第i 个面与成品长方体第i 个面的距离为i l ，如下图所示：图1：面5M 俯视图图中12l l >，34l l >，我们以切割面12,M M 为例：方案一，依次切割132,,M M M ，切割费用为：而方案二为依次切割231,,M M M ，切割费用为：因为12l l >，所以210l l -<，又因为0,0c p >，所以120S S -<，方案一的切割费用更小。
由此可知，局部优化方案是正确的。
所以在切割相对的切割面时，只考虑先切割l 较大的切割面，再切割另一边的切割面。
同理，对3456,,,M M M M 这四个面的切割方式也是一样的。
而根据上述思想，我们需要考虑的切割方式应该为6690222A =⨯⨯种。
所以在计算最少加工费用时，我们只需要考虑这90个满足优化方案的切割方案。
0e =的情况下的优化模型与求解在0e =的情况下，我们构造如下图所示的一个有向赋权网络图(,)G V E ：图2：有向赋权网络图在有向图中，,,(1,2)m m m x y z m =分别表示长方体在左右、前后、上下方向上被切割的刀数，每个节点表示待加工的长方体所处的状态。
而其中每一条弧都表示待加工的长方体正在被切割的过程，然而相应的弧,j k v 上的权就是在这个切割过程中所需花费的切割费,j k s 。
然后，我们对权进行赋值。
因为长方体有27种不同的状态，每个状态中的长、宽、高都不同，直接算各个切割过程中的切割费用比较困难，所以我们先将长方体处于各个状态下的长、宽、高计算出来。
由于在上文中，我们提出：在对两个相对的切割面进行切割的时候，切割面与待加工的长方体的外表面距离较大的一个面总是先加工的。
所以我们在这里就默认使用这种方法对长方体进行切割，利用要求五的数据进行计算。
计算结果如下：一步的切割，必然会有1~3个切割过程能够选择，也就是,,x y z 这三个方向。
当进行x 方向上的切割时，1k j -=；当进行y 方向上的切割时，3k j -=；当进行z 方向上的切割时，9k j -=。
所以我们利用这个规律对权重进行计算，列出如下公式：最后利用这个公式求出弧的权值。
得出权值如下表所示：127体进行切割，其中1v 到27v 的最少费用的路径即为最少加工费用，其所对应的即为最优切割方式。
当1,0r e ==时，最少加工费用为：374元；切割次序为：1101322232627------，也就是按照615324M M M M M M -----的顺序切割。
当 1.5,0r e ==时，最少加工费用为：437.5元；切割次序为：141314172627------，也就是按照163254M M M M M M -----的顺序切割。
当8,0r e ==时，最少加工费用为：540.5元；切割次序为：1458171827------，也就是按照132645M M M M M M -----的顺序切割。
0e ≠的情况下的优化模型与求解当0e ≠的情况下，当两次垂直切割的平面不平行时，就必须增加调整刀具费e 。
但是调整刀具费只于垂直切割有关，与是否穿插水平切割无关。
所以在计算刀具费的过程中，只需要考虑四个垂直切割的安排次序。
然后运用上文的有向赋权网络图中的某些弧上增加权来实现费用的增加，从而利用上文的模型对0e ≠的情况进行求解。
经过讨论，在四个垂直切割的切割次序中，只可能存在三种可能的情况增加调整刀具费e ：一是：先切割一对平面，然后再切割一对平面，变刀一次，总费用比之前增加e 。
二是：先切割一个平面，然后再切割另一对平面，最后切割与第一次切割的平面相对的平面，变刀两次，总费用比之前增加2e 。
三是：先切割一个平面，然后再切割与第一个平面垂直的平面，接着是与第一个平面平行的平面，最后切割与第二个平面平行的平面，变刀三次，总费用比之前增加3e 。
垂直切割的顺序安排情况如下表所示：刀具费进行计算。
但是，我们发现在0e =这个情况中，弧是往往是多条路径公用的，如果在一些弧上增加权，很可能影响到其他的路径，从而影响解题。
所以我们将上表中的六个情况分开进行讨论，形成六个新的有向图，而且这六个有向图是互补的，因此最短花费路径必然存在于这六个有向图之中。
我们分别对这六个有向图进行求解，得出六个最少花费路径，然后对这六个值进行比较，最后得出一个最少花费。
综合上述分析，我们将原来的有向赋权网络图分成六个部分，分成如下的六个能够互补的有向图123456,,,,,H H H H H H ：图3：1H 图4：2H图5：3H 图6：4H图7：5H 图8：6H然后分别求出有向图123456,,,,,H H H H H H 中127~v v 的最短花费路径，在这六个值中找出最少的花费，及其切割次序。
最后得出答案如下表所示：经过分析比较，我们发现“每次选择一个加工费用最少的待切割面进行切割。
”这条准则是存在限制条件的。
也就是说，在0e =的这种情况下，这条准则所执行的切割方法是最优的切割方法之一，得出的结果与我们建立模型，以及利用Lingo 软件进行求解的结果十分相近；但是当0e ≠的情况下，也就是存在调整刀具费的情况下，这条准则就不是很明智了。