数理统计第3章

概率论与数理统计第三章

FX ( x) P( X x) P( X x, Y y) F ( x, ) FY ( y) P(Y y) P(Y y, X x) F (, y)
二维离散型随机变量的边缘分布密度
设（X,Y）为离散型随机变量，
P( X ai , Y b j ) pij ,
条件分布是一种概率分布，它具有概率分布的一切性质. 正如条件概率是一种概率，具有概率的一切性质.
例如：P ( X xi | Y y j ) 0, i=1,2, …
P( X x
i 1

i
|Y yj) 1
例1 已知（X,Y）的分布密度如下，分别求在 X=1和X=0条件下，Y的分布密度。 Y 1 0 X
若对于不同的(ai,bj)，Z ( X , Y ) 有相同的值，则应取这些相同值对应的概率之和。
例1：设（X,Y）联合概率分布为： X Y -1 2
-1
0
1
2
1/5 3/20 1/10 3/10 1/10 0 1/10 1/20
求X+Y,XY的概率分布。
例2：设（X,Y）相互独立，其分布密度为
常见的二维随机变量的分布
◆均匀分布设G为平面区域， G的面积为A(0 A ), 若( X , Y )的分布密度为
1 ( x, y ) G A f ( x, y ) 其它 0 则称( X , Y )在G上服从均匀分布。
例2：设（X,Y）在区域G（0≤y≤2x,0 ≤x ≤2)上服从均匀分布，求 (1)（X,Y）的分布密度、分布函数。 (2)概率P(Y>X2)
一般地，我们称n个随机变量的整体 X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随机向量.

高等教育出版社《概率论与数理统计统计》第3章

pi j 0, p 1 i j ij
Y X y1 y2
1 11 12
分布列 X 和Y 的联合分布列可表示为表格形式
… yj p1j p2j . . . pij . . .
P ( X xj ) p j
pj 0; p 1 . j j
y
规范性) 0 F( x, y)1 且 ) (, ) 0lim (, y ) 20 (非负性) 即,对任意固定的 y,F(,x, y F是单调不减函数F ( x ,) 1; x, F 对任意固定的 x,F( x, x,)F ( x,) 0, y, F (, y ) 0. y 是单调不减函数, 30 (右连续性)
2. 二维随机变量的分布函数定义1设(X, Y)是二维随机变量,
x , y R , 二元函数
F ( x,) y ) P{ ( X x ) (Y y ) } P ( X x ,)Y y )
称为二维随机变量(X ,Y )的分布函数，也称为随机变量 X 与 Y 的联合分布.
0.375 0.3875 0.2000
3
pi
0.0375
0.3750
0
0.3875
0
0.2000
0
0.0375
0.0375
三、二维连续型随机变量
二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y) 随机变量X 的分布函数F(x) 类比若 f ( x ) 0 若 f ( x, y ) 0 x (-, +) 实数 x, y P87 定义4
xi x y j y { X {iX i }j {Y{ j )i } {Y j } P( , Y } X } P( Y j X i ) P( X i ) F(2, 2) pij

概率论与数理统计(第3章)

F(x ，y) P{(X 剟x) I (Y y)} P{X 剟x ，Y y}
（3-1）
为二维随机变量 (X ，Y) 的联合分布函数，简称分布函数．
如果将二维随机变量 (X ，Y) 视为 xOy 平面上随机点的坐标，那
么分布函数 F(x ，y) 在点 (x ，y) 处的函数值二维随机变量函数的分布
第3章多维随机变量及其分布
在第2章，我们主要讨论了一维随机变量及其分布问题．但在实际问题中，有许多随机试验的结果，仅用一个随机变量是无法表示出来的．研究这些随机试验，需要引入多维随机变量的概念．因此，本章将重点讨论二维随机变量及其分布，对于三维及更多维的随机变量可依此类推．
arctan
y
．
因此，两个边缘分布函数分别为
FX
(x)
F(x
，
)
lim
y
F(x
，y)
1 π
π 2
arctan
x
，
FY
( y)
F( ，y)
lim
x
F(x ，y)
1 π
π 2
arctan
y
．
第3章多维随机变量及其分布
3.2 二维离散型随机变量
3.2.1 二维离散型随机变量的概念与分布律
定义 1 若二维随机变量 (X ，Y) 所有可能取的值为有限对或可列无限多对，则称 (X ，Y) 为二维离散型随机变量．
解由二维随机变量的分布函数的性质得
lim
x
y
F(x
，y)
lim
x y
A(B
arctan
x)(C
arctan
y)
A
B
π 2

概率论与数理统计3章

VS
概率密度函数
描述连续随机变量在任意一点处的概率的函数。
随机变量的期望与方差
期望
方差
数学期望或均值，是随机变量取值的平均数，反映了随机变量的中心趋势。对于离散随机变量，期望是所有可能取值的概率与其对应的值的乘积之和；对于连续随机变量，期望是积分概率密度函数在定义域内的值。
度量随机变量取值与其期望之间的偏离程度，即各取值偏离其均值的大小。方差越小，各取值越接近均值；方差越大，各取值越分散。
03
统计推断
参数估计
01
02
03
04
参数估计方法
根据样本数据，通过适当的方法估计总体参数的过程。
点估计
用单一数值表示总体参数的估计值，如算术平均数、中位数
等。
区间估计
给出总体参数的可能取值范围，如置信区间。
估计量的评选标准
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
根据样本数据对总体参数作出推断，通过检验假设是否成立来作出决策。
离散随机变量及其分布
离散概率分布
描述离散随机变量取各个可能值的概率的分布。常见的离散概率分布有二项分布、泊松分布等。
概率质量函数
描述离散随机变量取每一个可能值的概率的函数。
连续随机变量及其分布
连续概率分布
描述连续随机变量在某个区间内取值的概率的分布。常见的连续概率分布有正态分布、均匀分布、指数分布等。
定义
指数平滑法是一种时间序列预测方法，通过计算时间序列的加权平均值来预测未来的值。
计算公式
指数平滑法的计算公式为`预测值 = α*当前值 + (1-α)*上期预测值`，其中α是平滑系数，取值范围为0到1。

概率论与数理统计总结之第三章

第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:(,){()()}=≤⋂≤F x y P X x Y y (,)=≤≤P X x Y y (,)-∞<<∞-∞<<∞x y称(,)F x y 为X 与Y 的分布函数，或称X 与Y 的联合分布函数}}(){{(,lim (,)→+∞=≤=≤≤+∞=X y F x P X x P X x Y F x y}}(){{,lim (,)→+∞=≤=≤+∞≤=Y x F y P Y y P X Y y F x y分布函数(,)F x y 性质:1）(,)F x y 是变量x 和变量y 的不减函数，(分别关于x 和y 有单调不减性) 2）0(,)1≤≤F x y ，任意一边趋于-∞＝０.F(∞，∞)=1（用来确定未知参数）.3）(,)(0,)(0,0)=+=++F x y F x y F x y ，即(,)F x y 分别关于x 右连续，关于y 也右连续,4）对于任意11221212(,),(,),,,<<x y x y x x y y 下述不等式成立(可用于判定二元函数(,)F x y 是不是某二维随机变量的分布函数):22211112(,)(,)(,)(,)0-+-≥F x y F x y F x y F x y 2.二维离散型随机变量:定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量其概率{,},,1,2,====i i ij P X x Y y p i j …为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X 和Y 是联合分布律性质:1.0,(i,j 1.2.....)≥=ij P2.1≤≤=∑∑i i ijx x y yp满足以上两条，即为二维离散型随机变量的分布律. 注；步骤:定取值,求概率,验证1.离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为(,)≤≤=∑∑i i ijx x y yF x y p，其中和式是对一切满足,≤≤i i x x y y 的i,j 来求和的边缘分布定义:对于离散型随机变量(X,Y)，分量X 和Y 的分布律(), 1.2...(), 1.2..的边缘分布律：的边缘分布律：••========∑∑i i ij jJ i ij iX p P X x p i Y p P Y y p i ，0,0(, 1.2....)1•••≥≥===∑∑i j jiip p i j pi p联合确定边缘，但一般情况，边缘不能确定的联合，除非相互独立. 比如；有放回的摸球，就是X ，Y 相互独立. 不放回地摸球，是条件分布.3.二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度. 对比一维的: 概率密度:()()1∞-∞==⎰f x f x dx ，分布律:{}(),≤≤=⎰b aP a x b f x dx 分布函数:()()-∞=⎰xF x f t dt二维:定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数(,)f x y ，使得对于任意实数x,y 有(,)(,)-∞-∞=⎰⎰xyF x y f u v dudv ，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，(,)f x y 称为(X,Y)的概率密度，或联合概率密度.概率密度的性质: 1.(,)F x y ≥0 2.(,)1∞∞-∞-∞=⎰⎰f x y dxdy只要具有以下两条性质，必可作为某二维随机变量的概率密度.3.已知(X,Y)的概率密度(,)f x y ，则(X,Y)在平面区域D 内取值的概率为:{(,)}(,)∈=⎰⎰DP X Y D f x y dxdy (作二重积分)(随机点(X,Y)落在平面区域D 上的概率等于以平面区域D 为底，以曲面(,)=z f x y 顶的典顶的体积) 4.若(,)F x y 在点(x,y)连续，则有2(,)(,)∂=∂∂F x y f x y x y(连续就能根据分布律求概率密度)1）当求()=P X Y 时，它只是一条线，所以：()0＝=P X Y2）一个方程有无实根：20++=ax bx c ，即求：22240,40,40,一个实根无实根两个实根+=+<+>b ac b ac b ac均匀分布：定义:设D 为平面上的有界区域，其面积为S ，且0>S ,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,(x,y)(,)0,其它⎧∈⎪=⎨⎪⎩Df x y S，则称(X,Y)服从区域D 上的均匀分布(或叫(X,Y)在D 上服从均匀分布，记作（X,Y ）D U . 两种特殊情形:1） D 为矩形，,c )≤≤≤≤a x b y d 时，1,()()(,),c )0,其它⎧⎪--=≤≤≤≤⎨⎪⎩b a dc f x y a x b y d2） D 为圆形，如(X,Y)在以原点为圆心，R 为半径的圆域上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为:22221,(,))0,其它π⎧⎪=+≤⎨⎪⎩f x y x y R R定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X,Y 的概率密度称为(X,Y)关于X 或Y 的边缘概率密度,记作(),X f x ().Y f y X 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰xX F x F x f u v dv du （让Ｙ趋于正无穷） Y 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰yY F y F y f u v du dv （让Ｘ趋于正无穷） X 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰X f x f x y dy xY 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰Y f y f x y dx y（二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分，其间需要对划分区间的作分别积分）(X,Y)的概率密度:(,)(,)[(,)]-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x yx yf x y f u v dudv f u v dv du二维正态分布：二维正态221212(,)(,,,,)σσρX Y N u u 分布函数的性质:1.211()(,)σX N u ,222()(,)σY N u 边缘服从一维正态分布2.0,ρ=⇔xy X Y 独立（相关系数为Ｏ，则两个随机变量独立）3.212()()σ++k X k Y N u (线性组合按一维正态处理)4. 1212()，±±k X k Y c X c Y 服从二维正态（如：(,)+-X Y X Y ）条件分布:设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若{}0=>j P Y y ，则称{=i P X x ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij j j jP X x Y y p Y y i P Y y p …为在=j Y y 条件下随机变量X 的条件分布律同样地，若{}0,=>i P X x 则称{=j P Y y ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij i i i P X x Y y p X x j P X x p …为=i X x 条件下随机变量Y 的条件分布律变形，即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为()Y f y .若对于固定的y,()0,>Y f y 则称(,)()Y f x y f y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度称|(,)(|)()-∞-∞=⎰⎰xxX Y Y f x y f x y dx dx f y 为在Y=y 的条件下，X 的条件分布函数，记为P{X ≤x|Y=y}或|(|)X Y F x y ，即|(,)(|){|}()-∞=≤==⎰x X Y Y f x y F x y P X x Y y dx f y 设F(x,y)及(),()X Y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y 有P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y},即(,)()()=X Y F x y F x F y ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的设(X,Y)是连续型随机变量，(,),(),()X Y f x y f x f y 分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的条件等价于(,)()()=X Y f x y f x f y 在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外，处处成立)第二节随机变量的独立性1. 两个随机变量的独立性定义:设(,),().()X Y F x y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数,x y 有(,)().()=X Y F x y F x F y ，则称X 与Y 相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x,y,事件X ,Y ≤≤x y 相互独立) 以上公式等价于:(X ,Y )(X ).()≤≤=≤≤X Y P x y P x P Y y 可类推至多个函数的情况.1)如果X,Y 随机变量独立，().()连续f x g y ，(通过函数作用)则().()f x g y 也独立.(可类推至多个随机变量的情况)例:X,Y 独立，则22,x y 独立.2)如果1212,...,...，ＹＹＹm m X X X 相互独立，12m 121()()...()()()....()和，f x f x f x g y g y g y 也相互独立。

概率论与数理统计第三章

2 1 2 2
aX bY ~ N (a1 b2 , a b )
2 2 1 2 2 2
2. ( X , Y ) ~ N (1, 2 , , , ), 则 2 X Y ~ N (1 2 ,12 2 21 2 )
第三章
多维随机变量及其分布
一般地，我们称n个随机变量的整体 X=(X1, X2, …，Xn)为n维随机变量或随机向量.
§3.1
二维分布函数
定义对任意的x, y R, 则称 F ( x , y ) P ( X x, Y y )
为随机变量( X , Y )的二维分布函数。
性质 1. F(x,y)是变量x,y的单调不减函数。对于任意y, x1<x2, F(x1,y)≤ F(x2,y) 对于任意x, y1<y2, F(x,y1)≤ F(x,y2) 2.0≤ F(x,y) ≤1
设G为一平面区域，则(X,Y)落在G内的概率为
P(( x, y) G) f ( x, y)dxdy
G
例3 设(X,Y)的分布密度是
Ce( x y ) , x 0, y 0 f ( x, y ) 其它 0 ,
求 (1) C的值； (2)分布函数 (3)（X,Y）落在如图三角形区域内的概率。
3x , 0 x 1, 0 y x f ( x, y) 0 , 其他
1)求（X,Y）关于X,Y的边缘分布密度 2)求P(Y≥X2) 3) 讨论X与Y 的独立性。
§3.3
离散型
设（X,Y）为离散型随机变量，
P( X ai , Y b j ) pij ,
i, j =1,2, …
3.F ( , ) 1; F ( x, ) 0, F (, y ) 0

概率与数理统计第3章数据分布特征的描述

概率与数理统计第3章数据分布特征的描述概率与数理统计是一门关于随机现象的描述和分析的学科。

在实际问题中，我们经常需要对数据进行分析和描述，以便更好地理解数据的特征和规律。

第三章主要介绍了数据分布的特征描述，包括中心位置度量、离散程度度量和分布形状度量。

首先是中心位置度量，它用来描述数据集的平均水平。

一般来说，我们关心的是数据集的平均值和中位数。

平均值是数据的加权平均，它能够反映数据集的集中趋势。

平均值的计算公式是：```平均值=总和/观测数```中位数是按照数据的大小顺序排列后，处于中间位置的观测值。

中位数的计算方法是：```如果数据集的观测数为奇数，中位数为第(n+1)/2个观测值如果数据集的观测数为偶数，中位数为第n/2和(n/2+1)个观测值的平均值```其次是离散程度度量，它用来描述数据集的变异程度。

我们常用的度量指标有极差、方差和标准差。

极差是数据集中最大观测值与最小观测值之间的差距，它反映了数据的全局离散程度。

方差是每个观测值与数据集平均值的差的平方的平均值，它度量了数据的局部离散程度。

标准差是方差的平方根，它与方差具有相同的单位，能够更好地反映数据的离散程度。

最后是分布形状度量，它用来描述数据分布的偏度和峰度。

偏度是描述数据分布对称性的度量，正偏表示数据集的右尾较重，负偏表示数据集的左尾较重。

峰度是描述数据分布峰态的度量，正峰表示数据集的峰部较陡，负峰表示数据集的峰部较平。

偏度和峰度能够帮助我们了解数据分布的形态特征，从而判断数据集是否服从其中一种特定的分布。

在实际应用中，我们可以通过对数据集进行描述统计分析来了解数据的特征。

通过计算平均值、中位数、方差、标准差、偏度和峰度等指标，我们能够更好地理解数据的分布情况。

此外，我们还可以通过绘制直方图、箱线图、概率密度函数等图形来展示数据的分布特征，进一步加深对数据的认识。

总之，数据分布特征的描述是概率与数理统计中重要的内容之一、通过中心位置度量、离散程度度量和分布形状度量，我们能够充分了解数据的平均水平、变异程度和形态特征，为进一步的数据分析和决策提供有力的支持。

概率论与数理统计总结之第三章

第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:(,){()()}=≤⋂≤F x y P X x Y y (,)=≤≤P X x Y y (,)-∞<<∞-∞<<∞x y称(,)F x y 为X 与Y 的分布函数，或称X 与Y 的联合分布函数}}(){{(,lim (,)→+∞=≤=≤≤+∞=X y F x P X x P X x Y F x y}}(){{,lim (,)→+∞=≤=≤+∞≤=Y x F y P Y y P X Y y F x y分布函数(,)F x y 性质:1）(,)F x y 是变量x 和变量y 的不减函数，(分别关于x 和y 有单调不减性) 2）0(,)1≤≤F x y ，任意一边趋于-∞＝０.F(∞，∞)=1（用来确定未知参数）.3）(,)(0,)(0,0)=+=++F x y F x y F x y ，即(,)F x y 分别关于x 右连续，关于y 也右连续,4）对于任意11221212(,),(,),,,<<x y x y x x y y 下述不等式成立(可用于判定二元函数(,)F x y 是不是某二维随机变量的分布函数):22211112(,)(,)(,)(,)0-+-≥F x y F x y F x y F x y 2.二维离散型随机变量:定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量其概率{,},,1,2,====i i ij P X x Y y p i j …为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X 和Y 是联合分布律性质:1.0,(i,j 1.2.....)≥=ij P2.1≤≤=∑∑i i ijx x y yp满足以上两条，即为二维离散型随机变量的分布律. 注；步骤:定取值,求概率,验证1.离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为(,)≤≤=∑∑i i ijx x y yF x y p，其中和式是对一切满足,≤≤i i x x y y 的i,j 来求和的边缘分布定义:对于离散型随机变量(X,Y)，分量X 和Y 的分布律(), 1.2...(), 1.2..的边缘分布律：的边缘分布律：••========∑∑i i ij jJ i ij iX p P X x p i Y p P Y y p i ，0,0(, 1.2....)1•••≥≥===∑∑i j jiip p i j pi p联合确定边缘，但一般情况，边缘不能确定的联合，除非相互独立. 比如；有放回的摸球，就是X ，Y 相互独立. 不放回地摸球，是条件分布.3.二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度. 对比一维的: 概率密度:()()1∞-∞==⎰f x f x dx ，分布律:{}(),≤≤=⎰b aP a x b f x dx 分布函数:()()-∞=⎰xF x f t dt二维:定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数(,)f x y ，使得对于任意实数x,y 有(,)(,)-∞-∞=⎰⎰xyF x y f u v dudv ，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，(,)f x y 称为(X,Y)的概率密度，或联合概率密度.概率密度的性质: 1.(,)F x y ≥0 2.(,)1∞∞-∞-∞=⎰⎰f x y dxdy只要具有以下两条性质，必可作为某二维随机变量的概率密度.3.已知(X,Y)的概率密度(,)f x y ，则(X,Y)在平面区域D 内取值的概率为:{(,)}(,)∈=⎰⎰DP X Y D f x y dxdy (作二重积分)(随机点(X,Y)落在平面区域D 上的概率等于以平面区域D 为底，以曲面(,)=z f x y 顶的典顶的体积) 4.若(,)F x y 在点(x,y)连续，则有2(,)(,)∂=∂∂F x y f x y x y(连续就能根据分布律求概率密度)1）当求()=P X Y 时，它只是一条线，所以：()0＝=P X Y2）一个方程有无实根：20++=ax bx c ，即求：22240,40,40,一个实根无实根两个实根+=+<+>b ac b ac b ac均匀分布：定义:设D 为平面上的有界区域，其面积为S ，且0>S ,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,(x,y)(,)0,其它⎧∈⎪=⎨⎪⎩Df x y S，则称(X,Y)服从区域D 上的均匀分布(或叫(X,Y)在D 上服从均匀分布，记作（X,Y ）D U . 两种特殊情形:1） D 为矩形，,c )≤≤≤≤a x b y d 时，1,()()(,),c )0,其它⎧⎪--=≤≤≤≤⎨⎪⎩b a dc f x y a x b y d2） D 为圆形，如(X,Y)在以原点为圆心，R 为半径的圆域上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为:22221,(,))0,其它π⎧⎪=+≤⎨⎪⎩f x y x y R R定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X,Y 的概率密度称为(X,Y)关于X 或Y 的边缘概率密度,记作(),X f x ().Y f y X 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰xX F x F x f u v dv du （让Ｙ趋于正无穷） Y 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰yY F y F y f u v du dv （让Ｘ趋于正无穷） X 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰X f x f x y dy xY 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰Y f y f x y dx y（二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分，其间需要对划分区间的作分别积分）(X,Y)的概率密度:(,)(,)[(,)]-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x yx yf x y f u v dudv f u v dv du二维正态分布：二维正态221212(,)(,,,,)σσρX Y N u u 分布函数的性质:1.211()(,)σX N u ,222()(,)σY N u 边缘服从一维正态分布2.0,ρ=⇔xy X Y 独立（相关系数为Ｏ，则两个随机变量独立）3.212()()σ++k X k Y N u (线性组合按一维正态处理)4. 1212()，±±k X k Y c X c Y 服从二维正态（如：(,)+-X Y X Y ）条件分布:设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若{}0=>j P Y y ，则称{=i P X x ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij j j jP X x Y y p Y y i P Y y p …为在=j Y y 条件下随机变量X 的条件分布律同样地，若{}0,=>i P X x 则称{=j P Y y ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij i i i P X x Y y p X x j P X x p …为=i X x 条件下随机变量Y 的条件分布律变形，即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为()Y f y .若对于固定的y,()0,>Y f y 则称(,)()Y f x y f y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度称|(,)(|)()-∞-∞=⎰⎰xxX Y Y f x y f x y dx dx f y 为在Y=y 的条件下，X 的条件分布函数，记为P{X ≤x|Y=y}或|(|)X Y F x y ，即|(,)(|){|}()-∞=≤==⎰x X Y Y f x y F x y P X x Y y dx f y 设F(x,y)及(),()X Y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y 有P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y},即(,)()()=X Y F x y F x F y ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的设(X,Y)是连续型随机变量，(,),(),()X Y f x y f x f y 分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的条件等价于(,)()()=X Y f x y f x f y 在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外，处处成立)第二节随机变量的独立性1. 两个随机变量的独立性定义:设(,),().()X Y F x y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数,x y 有(,)().()=X Y F x y F x F y ，则称X 与Y 相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x,y,事件X ,Y ≤≤x y 相互独立) 以上公式等价于:(X ,Y )(X ).()≤≤=≤≤X Y P x y P x P Y y 可类推至多个函数的情况.1)如果X,Y 随机变量独立，().()连续f x g y ，(通过函数作用)则().()f x g y 也独立.(可类推至多个随机变量的情况)例:X,Y 独立，则22,x y 独立.2)如果1212,...,...，ＹＹＹm m X X X 相互独立，12m 121()()...()()()....()和，f x f x f x g y g y g y 也相互独立。

概率论与数理统计总结之第三章

第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:(,){()()}=≤⋂≤F x y P X x Y y (,)=≤≤P X x Y y (,)-∞<<∞-∞<<∞x y称(,)F x y 为X 与Y 的分布函数，或称X 与Y 的联合分布函数}}(){{(,lim (,)→+∞=≤=≤≤+∞=X y F x P X x P X x Y F x y}}(){{,lim (,)→+∞=≤=≤+∞≤=Y x F y P Y y P X Y y F x y分布函数(,)F x y 性质:1）(,)F x y 是变量x 和变量y 的不减函数，(分别关于x 和y 有单调不减性) 2）0(,)1≤≤F x y ，任意一边趋于-∞＝０.F(∞，∞)=1（用来确定未知参数）.3）(,)(0,)(0,0)=+=++F x y F x y F x y ，即(,)F x y 分别关于x 右连续，关于y 也右连续,4）对于任意11221212(,),(,),,,<<x y x y x x y y 下述不等式成立(可用于判定二元函数(,)F x y 是不是某二维随机变量的分布函数):22211112(,)(,)(,)(,)0-+-≥F x y F x y F x y F x y 2.二维离散型随机变量:定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量其概率{,},,1,2,====i i ij P X x Y y p i j …为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X 和Y 是联合分布律性质:1.0,(i,j 1.2.....)≥=ij P2.1≤≤=∑∑i i ijx x y yp满足以上两条，即为二维离散型随机变量的分布律. 注；步骤:定取值,求概率,验证1.离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为(,)≤≤=∑∑i i ijx x y yF x y p，其中和式是对一切满足,≤≤i i x x y y 的i,j 来求和的边缘分布定义:对于离散型随机变量(X,Y)，分量X 和Y 的分布律(), 1.2...(), 1.2..的边缘分布律：的边缘分布律：••========∑∑i i ij jJ i ij iX p P X x p i Y p P Y y p i ，0,0(, 1.2....)1•••≥≥===∑∑g i j jiip p i j pi p联合确定边缘，但一般情况，边缘不能确定的联合，除非相互独立. 比如；有放回的摸球，就是X ，Y 相互独立. 不放回地摸球，是条件分布.3.二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度. 对比一维的: 概率密度:()()1∞-∞==⎰f x f x dx ，分布律:{}(),≤≤=⎰b aP a x b f x dx 分布函数:()()-∞=⎰xF x f t dt二维:定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数(,)f x y ，使得对于任意实数x,y 有(,)(,)-∞-∞=⎰⎰xyF x y f u v dudv ，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，(,)f x y 称为(X,Y)的概率密度，或联合概率密度.概率密度的性质: 1.(,)F x y ≥0 2.(,)1∞∞-∞-∞=⎰⎰f x y dxdy只要具有以下两条性质，必可作为某二维随机变量的概率密度. 3.已知(X,Y)的概率密度(,)f x y ，则(X,Y)在平面区域D 内取值的概率为:{(,)}(,)∈=⎰⎰DP X Y D f x y dxdy (作二重积分)(随机点(X,Y)落在平面区域D 上的概率等于以平面区域D 为底，以曲面(,)=z f x y 顶的典顶的体积) 4.若(,)F x y 在点(x,y)连续，则有2(,)(,)∂=∂∂F x y f x y x y(连续就能根据分布律求概率密度)1）当求()=P X Y 时，它只是一条线，所以：()0＝=P X Y2）一个方程有无实根：20++=ax bx c ，即求：22240,40,40,一个实根无实根两个实根+=+<+>b ac b ac b ac均匀分布：定义:设D 为平面上的有界区域，其面积为S ，且0>S ,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,(x,y)(,)0,其它⎧∈⎪=⎨⎪⎩Df x y S，则称(X,Y)服从区域D 上的均匀分布(或叫(X,Y)在D 上服从均匀分布，记作（X,Y ）:D U . 两种特殊情形:1） D 为矩形，,c )≤≤≤≤a x b y d 时，1,()()(,),c )0,其它⎧⎪--=≤≤≤≤⎨⎪⎩b a dc f x y a x b y d2） D 为圆形，如(X,Y)在以原点为圆心，R 为半径的圆域上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为:22221,(,))0,其它π⎧⎪=+≤⎨⎪⎩f x y x y R R定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X,Y 的概率密度称为(X,Y)关于X 或Y 的边缘概率密度,记作(),X f x ().Y f y X 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰xX F x F x f u v dv du （让Ｙ趋于正无穷） Y 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰yY F y F y f u v du dv （让Ｘ趋于正无穷） X 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰X f x f x y dy xY 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰Y f y f x y dx y（二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分，其间需要对划分区间的作分别积分）(X,Y)的概率密度:(,)(,)[(,)]-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x yx yf x y f u v dudv f u v dv du二维正态分布：二维正态221212(,)(,,,,)σσρ:X Y N u u 分布函数的性质: 1.211()(,)σ:X N u ,222()(,)σ:Y N u 边缘服从一维正态分布 2.0,ρ=⇔xy X Y 独立（相关系数为Ｏ，则两个随机变量独立） 3.212()()σ++:k X k Y N u (线性组合按一维正态处理)4. 1212()，±±k X k Y c X c Y 服从二维正态（如：(,)+-X Y X Y ）条件分布:设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若{}0=>j P Y y ，则称{=i P X x ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij j j jP X x Y y p Y y i P Y y p …为在=j Y y 条件下随机变量X 的条件分布律同样地，若{}0,=>i P X x 则称{=j P Y y ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij i i i P X x Y y p X x j P X x p …为=i X x 条件下随机变量Y 的条件分布律变形，即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为()Y f y .若对于固定的y,()0,>Y f y 则称(,)()Y f x y f y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度称|(,)(|)()-∞-∞=⎰⎰xxX Y Y f x y f x y dx dx f y 为在Y=y 的条件下，X 的条件分布函数，记为P{X ≤x|Y=y}或|(|)X Y F x y ，即|(,)(|){|}()-∞=≤==⎰x X Y Y f x y F x y P X x Y y dx f y 设F(x,y)及(),()X Y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y 有P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y},即(,)()()=X Y F x y F x F y ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的设(X,Y)是连续型随机变量，(,),(),()X Y f x y f x f y 分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的条件等价于(,)()()=X Y f x y f x f y 在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外，处处成立)第二节随机变量的独立性1. 两个随机变量的独立性定义:设(,),().()X Y F x y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数,x y 有(,)().()=X Y F x y F x F y ，则称X 与Y 相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x,y,事件X ,Y ≤≤x y 相互独立) 以上公式等价于:(X ,Y )(X ).()≤≤=≤≤X Y P x y P x P Y y 可类推至多个函数的情况.1)如果X,Y 随机变量独立，().()连续f x g y ，(通过函数作用)则().()f x g y 也独立.(可类推至多个随机变量的情况)例:X,Y 独立，则22,x y 独立.2)如果1212,...,...，ＹＹＹm m X X X 相互独立，12m 121()()...()()()....()和，f x f x f x g y g y g y 也相互独立。

概率论与数理统计第三章

x y e 2u |0 e v |0 , x 0, y 0, 其它, 0,
(1 e 2 x )(1 e y ), x 0, y 0, 其它, 0,
例2-续3
(3)求概率P{Y≤X}. 只需在概率密度f的非零区域与事件区域 G={(x,y)|y≤x} 的交集D上积分. 由公式
0 F ( x, y) 1; ;

F ( x, y )关于x、y均单调不减右连续.
分布函数与离散型二维随机变量分布律、连续型二维随机变量概率密度的关系[见后].
三、离散型二维随机变量
1、二维均匀分布
两种常见的二维连续型分布
设G为一个平面有界区域,其
二维均匀分布
面积为A.如果二维连续型随机变量(X,Y)的概率密
度为
1 , ( x, y ) G , f ( x, y ) A 0, 其它,
则称(X,Y)服从区域G上的均匀分布,记为(X,Y)~U(G).
2、二维正态分布
域”的概率.
分布函数具有下列基本性质:
对任意点 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ), x1 x2 , y1 y2 均有：
随机向量落在矩形区域的概率
P{x1 X x2 , y1 Y y2 }
F ( x1 , y1 ) F ( x2 , y2 ) F ( x1 , y2 ) F ( x2 , y1 ) 0;
D
x
例2-续4
2 e
0

2 x
(1 e )dx [e
x
2 x
2 3 x 2 1 e ] |0 1 . □ 3 3 3
本例是一个典型题.大家应熟练掌握分析与计算的方法。特别是会根据不同形状的概率密度非零区域与所求概率的事件区域G来处理这类问题。就P.73:例3来共同考虑如何分段?应分几段?怎样计算各段值?(板书)

概率论与数理统计第三章

二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y的性质有关,而且还依赖于X和Y的相互关系,因此必须把(X,Y)作为一个整体加以研究.
研究方法与一维类似，用分布函数、分布律、或概率密度来描述其统计规律
二. 联合分布函数
X和Y的联合分布函数
F(x, y) P{(X x) (Y y)}

P{X x,Y y}
dx
6e(2 x3 y)dy
0
0
1 7e6
（III）两个常用的二维连续型分布
(1)二维均匀分布若二维随机变量(X, Y)的密度函数为
f
(
x,
y)

1 SD
，
(x, y) D R2

0, 其它
则称(X, Y)在区域D上(内) 服从均匀分布.
易见,若(X, Y)在区域D 上(内) 服从均匀分布, 对
则称(X,Y)服从参数为1, 2 ,1, 2 , 的二维正态分布.
记作(
X,Y
)～N(
1 ,
2
,

2 1
,
2
2
,

)
五. 分布函数的概念推广到n维随机变量的情形
事实上, 对n维随机变量(X1, X2, … , Xn)， F(x1, x2, … , xn)＝P{X1 x1, X2 x2, … , Xn xn} 称为的n维随机变量(X1, X2, … , Xn)的分布函数, 或随机变量X1, X2, … , Xn的联合分布函数.
...
xi pi1 pi2 ... pij ... pi .
...
p .j p .1 p .2 ... p .j
例1. 已知(X,Y)的分布律为右图 X Y 1 0

概率论与数理统计总结之第三章

第三章多维随机变量及其分布二维随机变量：一般，设E 是一个随机试验，它的样本空间是S={e}.设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S 上的随机变量，由它们构成的一个向量（X,Y),叫做二维随机向量或二维随机变量。

设（X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数：)}(){(),(y Y x X P y x F ≤⋂≤=),(y Y x X P ≤≤=称为二维随机变量（X,Y ）的分布函数，或称随机变量X 和Y 的联合分布函数分布函数F(x,y)具有以下基本性质： 1.F （x,y)是变量x 和变量y 的不减函数，即对于任意固定的y ，当);,(),(,1212y x F y x F x x ≥> 对于任意固定的x ，当),(),(,1212y x F y x F y y ≥> 2.0≤F(x,y)≤1，且对于任意固定的y ，F （-∞，y)=0, 对于任意固定的x, F （x ，-∞)=0， F （-∞，-∞）=0，F （∞，∞）=13.F(x,y ）=F(x+0,y ），F(x,y+0），即F(x,y ）关于x 右连续，关于y 也右连续4.对于任意,,),,(),,(21212211y y x x y x y x <<下述不等式成立 0),(),(),(),(21111222≥-+-y x F y x F y x F y x F离散型随机变量：如果二维随机变量（X,Y)全部可能取到的不相同的值是有限对或可列无限多对，则称（X,Y ）是离散型随机变量称,2,1,,},{====j i p y Y x X P ij i i ……为二维离散型随机变量（X,Y ）的分布律，或随机变量X 和Y 是联合分布律表格形式表示联合分布律： Y X1x… i x… 1y11p … 1i p… ………j yj p 1… ij p… ………离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为∑∑≤≤=x x yy ij i i p y x F ),(，其中和式是对一切满足y y x x i i ≤≤,的i,j 来求和的连续型随机变量：对于二维随机变量（X,Y ）的分布函数F （x,y)，如果存在非负的函数f(x,y)使得对于任意x,y 有 ⎰⎰∞-∞-=y xdudv v u f y x F ),(),(，则称（X,Y ）是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维随机变量（X,Y ）的概率密度，或称为随机变量X 和Y 的联合概率密度概率密度的性质： 1.f(x,y)≥0 2.⎰⎰∞∞-∞∞-=∞∞=1),(),(F dxdy y x f3.设G 是xOy 平面上的区域，点（X,Y ）落在G 内的概率为 ⎰⎰=∈Gdxdy y x f G Y X P ),(}),{(4.若f(x,y)在点（x,y ）连续，则有),(),(2y x f y x y x F =∂∂∂一般，设E 是一个随机试验，它的样本空间是S={e},设),(),(2211e X X e X X ==…),(,e X X n n =是定义在S 上的随机变量，由它们构成的一个n 维向量,,(21X X …),n X 叫做n 维随机向量或n 维随机变量对于任意n 个实数n x x x n ,,^,,21元函数},^,{),^,(111n n n x X x X P x x F ≤≤=称为n 维随机变量,,(21X X …),n X 的分布函数或随机变量n X X X ,^,,21的联合分布函数。

概率论与数理统计第3章

22
y
(2)
{Y X } {( X ,Y ) G },
YX
G
O
P{Y X } P{( X ,Y ) G }
x
f ( x , y ) d x d y
G

0
( 2 x y ) d x y 2e d y
1 . 3
2e ( 2 x y ) , f ( x, y) 0,
(2)
p
i j
ij
1
二维离散型随机向量的联合分布函数为
xi x y j y
p
13
例1
一袋中装有2只白球则( X , Y )的联合概率分布为和3只黑球,进行有放回取球 Y 0 1
X 0 1
1 第一次取出白球 X 0 第一次取出黑球 1 第二次取出白球 Y 0 第二次取出黑球
Y 的边缘概率密度.
25
3 x 3 e x0 边缘密度函数为例6 求随机向量 (X,Y)的边缘分布函数和边缘密度函数， ( x) f X ( x ) FX x0 已知其联合分布函数为 0
故 F ( x2 , y2 ) F ( x2 , y1 ) F ( x1 , y1 ) F ( x1 , y2 ) 0.
9
三、边缘分布函数
( X , Y )为二维随机向量, 联合分布函数为F ( x, y)
X和Y分别也是随机变量 X , Y的分布函数分别记为 FX ( x)和FY ( y) FX ( x) P{ X x} P{ X x, Y } lim F ( x , y ) F ( x , )
4
二、联合分布函数的性质
设 ( X , Y ) 是二维随机向量, 对于任意实数 x , y , 二元函数 : F ( x , y ) P{( X x ) (Y y )} P { X x , Y y } 称为二维随机向量 ( X , Y ) 的分布函数, 或称为随机变量X 和 Y 的联合分布函数.

概率论与数理统计第三章课件

Y X
x1 x2 … xi …
y1 y2 … yj …
p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … ……… pi1 pi2 … pi j … … … ………
概率论与数理统计第三章
联合分布列的基本性质 (1) pij 0, i, j = 1, 2,… (非负性)
(2) pij = 1. (正则性)
xy
F(x,y)= p(u,v)dvdu --
则称 (X, Y) 为二维连续型随机变量。称p(x, y) 为联合密度函数。
概率论与数理统计第三章
联合密度函数的基本性质
(1) p(x, y) 0. (非负性)
(2)
p(x,y)dxdy1
(正则性)
- -
注意： P(X,Y) D p(x,y)dxdy
若X, Y是两个定义在同一个样本空间上的随机变量，则称(X, Y) 是两维随机变量.
➢ 同理可定义 n 维随机变量 (随机向量).
概率论与数理统计第三章
3.1.2 联合分布函数
定义3.1.2 (以下仅讨论两维随机变量)
任对实数 x 和 y, 称 F(x, y) = P( X x, Y y)
设随机变量 X 在 1，2，3 ， 4 四个整数中等可能地取值，另一个随机变量 Y 在 1到X 中等可能地取一整数值。试求（X, Y）的联合分布列.
概率论与数理统计第三章
3.1.4 联合密度函数
设二维随机变量(X, Y) 的分布函数为 F(x, y)，若存在非负可积函数 p(x, y)，使得
F(, y) = F(x, ) =0， F(+, +) = 1. (3) F(x, y) 关于 x 和 y 分别右连续. (右连续性) (4) 当a<b, c<d 时，有 (非负性)

概率论与数理统计第三章

F(x, y) P(X x,Y y)
称为二维随机变量(X，Y)的联合分布函数，简称为(X，Y)的分布函数。
几何意义：F(x,y)表示随机点落入以(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域D内的概率。（如图阴影部分）
随机点(X,Y) 落在矩形区域：x1 x x2, y1 y y2 内的概率为
设二维随机变量 (X,Y) 的分布函数为 F(x,y)，分别记关于 X 和 Y 的边缘分布函数为 Fx(x)和 Fy(y)，由于 Fx(x)=P(X≤x,Y<+∞ )=F(x,+∞ ), 同理，有 Fy(y)=F(+∞ ,y). 由此看出，边缘分布函数Fx(x)，Fy(y)完全由联合分布函数 F(x,y) 来确定。
y)
1/ 0
A ,
,
(x, y)G 其他
则称( X, Y )服从区域G上的均匀分布
与第2章中服从区间[a, b]上的均匀分布类似，服从区域 G 上的均匀分布 (X, Y) 落在 G 中任一区域 D的概率只与的 D 面积成正比，
而与 D 的位置和形状无关。 P(X ,Y ) D m(D)
m(G)
第三章多维随机变量及其分布
我们开始学习——多维随机变量它是第二章内容的推广. 一维随机变量及其分布
多维随机变量及其分布由于从二维推广到多维一般无实质性的困难，我们重点讨论二维随机变量 .
到现在为止，我们只讨论了一维r.v及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而需要用几个随机变量来描述.
y
.
（1）求(X, Y)的分布函数 F(x, y)；（2）求 P(0<X≤3，0<Y≤4)。
解（1）F (x, y)

概率论与数理统计第三章章节总结

概率论与数理统计第三章章节总结
概率论与数理统计的第三章主要介绍了随机变量及其分布、随机变量的离散概率和连续概率、期望和方差的计算、贝叶斯统计学等内容。

以下是本章的总结:
1. 随机变量及其分布
第三章第一小节介绍了随机变量的定义和性质,并介绍了离散型和连续型随机变量的区别。

然后,章节第二小节介绍了随机变量的分布,其中包括概率分布、密度函数、期望和方差的计算方法。

这些内容对于理解随机变量的分布非常重要。

2. 随机变量的离散概率和连续概率
第三章第三小节介绍了随机变量的离散概率和连续概率。

离散概率讨论的是离散型随机变量在某一范围内的取值概率,而连续概率讨论的是连续型随机变量在某一区间内的概率。

这些概念对于理解随机变量的性质和分布非常重要。

3. 期望和方差的计算
第三章第四小节介绍了期望和方差的计算方法。

期望是指一个随机变量的平均值,可以通过计算各个取值的概率和总和来实现。

方差是指一个随机变量在各个取值之间的差异,可以通过计算各个取值的差值和总和来实现。

这些内容对于计算随机变量的期望和方差非常重要。

4. 贝叶斯统计学
第三章第五小节介绍了贝叶斯统计学的原理和应用。

贝叶斯统计
学可以用来预测未来事件的概率,也可以用于概率模型的建模和优化。

这些内容对于实际应用非常有帮助。

综上所述,概率论与数理统计的第三章主要介绍了随机变量的分布、离散概率和连续概率、期望和方差的计算、贝叶斯统计学等内容,是学习概率论和统计学的重要基础。

《概率论与数理统计》第三章

§1 二维随机变量
定义：设E是一个随机试验，样本空间S={e}；设X=X(e)和Y=Y(e)是定义
y
X e,Y e
在S上的随机变量，由它们构成的
向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维随机变量。
e S
x
定义：设(X,Y)是二维随机变量对于任意实数x,y，
二元函数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
F(x, y) P(X x) (Y y)
1 4
1 i
,
ji
0, j i
(X,Y)的联合分布律为:
YX
1
1
1/4
23 4 1/8 1/12 1/16
2
0 1/8 1/12 1/16
3
0
0 1/12 1/16
4
0
0 0 1/16
例3:设有10件产品，其中7件正品，3件次品。现从中
任取一件产品，取后不放回，令
1 X 0
第一次取到的产品是次品 1
z f (x, y)为顶面的柱体体积。
所以 X,Y 落在面积为零的区域的概率为零。
例3：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度：
2e(2x y) , x 0，y 0
y f (x, y) 0,
其他
1 求分布函数F(x, y)；2求P{X 2，Y 3}；
3求P(Y X )的概率
解： (1)当x>0,y>0时
f (x, y)xy
————————
概率微分
(4) f ( x, y)的作用 : 求二维随机变量（X,Y)取值
落在区域G内的事件的概率
P((X ,Y ) G) f ( x, y)dxdy
G
G
注：1在几何上，z f (x, y)表示空间一个曲面，

概率论与数理统计教程第3章

25 October 2013
第三章多维随机变量及其分布
第4页
正态分布的可加性
若 X N( )，Y N( )，且独立，
则 Z = X Y N(
注意： X Y 不服从 N( X Y N(
).
). ).
独立正态变量的线性组合仍为正态变量. (见下)
25 October 2013
(5) Cov(X, a) = 0.
(性质3.4.8) (性质3.4.9)
(6) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y) .
25 October 2013
(7) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). (性质3.4.10)
第三章多维随机变量及其分布
第11页
第8页
讨论 X+Y 的方差
1. Var(XY) = Var(X)+ Var (Y) 2E[XE(X)][YE(Y)] 2. E[XE(X)][YE(Y)] = E(XY) E(X)E(Y) 3. 当X与Y独立时，E[XE(X)][YE(Y)] = 0. 4. 当X与Y独立时， Var(X Y) = Var(X)+ Var (Y) . 注意：以上命题反之不成立.
25 October 2013
第三章多维随机变量及其分布
第1页
第三章多维随机变量及其分布
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 多维随机变量及其联合分布边际分布与随机变量的独立性多维随机变量函数的分布多维随机变量的特征数条件分布与条件期望
25 October 2013
第三章多维随机变量及其分布
第2页
分布的可加性

概率论与数理统计总结之第三章

第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量的概念1.二维随机变量定义：设(X,Y)是二维随机变量，记为:(,){()()}=≤⋂≤F x y P X x Y y (,)=≤≤P X x Y y (,)-∞<<∞-∞<<∞x y称(,)F x y 为X 与Y 的分布函数，或称X 与Y 的联合分布函数}}(){{(,lim (,)→+∞=≤=≤≤+∞=X y F x P X x P X x Y F x y}}(){{,lim (,)→+∞=≤=≤+∞≤=Y x F y P Y y P X Y y F x y分布函数(,)F x y 性质:1）(,)F x y 是变量x 和变量y 的不减函数，(分别关于x 和y 有单调不减性) 2）0(,)1≤≤F x y ，任意一边趋于-∞＝０.F(∞，∞)=1（用来确定未知参数）.3）(,)(0,)(0,0)=+=++F x y F x y F x y ，即(,)F x y 分别关于x 右连续，关于y 也右连续,4）对于任意11221212(,),(,),,,<<x y x y x x y y 下述不等式成立(可用于判定二元函数(,)F x y 是不是某二维随机变量的分布函数):22211112(,)(,)(,)(,)0-+-≥F x y F x y F x y F x y 2.二维离散型随机变量:定义:如果二维随机变量(X,Y)只取有限对或可列无穷多对，则称(X,Y)是二维离散型随机变量其概率{,},,1,2,====i i ij P X x Y y p i j …为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或随机变量X 和Y 是联合分布律性质:1.0,(i,j 1.2.....)≥=ij P2.1≤≤=∑∑i i ijx x y yp满足以上两条，即为二维离散型随机变量的分布律. 注；步骤:定取值,求概率,验证1.离散型随机变量X 和Y 的联合分布函数为(,)≤≤=∑∑i i ijx x y yF x y p，其中和式是对一切满足,≤≤i i x x y y 的i,j 来求和的边缘分布定义:对于离散型随机变量(X,Y)，分量X 和Y 的分布律(), 1.2...(), 1.2..的边缘分布律：的边缘分布律：••========∑∑i i ij jJ i ij iX p P X x p i Y p P Y y p i ，0,0(, 1.2....)1•••≥≥===∑∑i j jiip p i j pi p联合确定边缘，但一般情况，边缘不能确定的联合，除非相互独立. 比如；有放回的摸球，就是X ，Y 相互独立. 不放回地摸球，是条件分布.3.二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度. 对比一维的: 概率密度:()()1∞-∞==⎰f x f x dx ，分布律:{}(),≤≤=⎰b aP a x b f x dx 分布函数:()()-∞=⎰xF x f t dt二维:定义:设二维随机变量(X,Y)的分布函数为(,)F x y ，若存在非负可积函数(,)f x y ，使得对于任意实数x,y 有(,)(,)-∞-∞=⎰⎰xyF x y f u v dudv ，则称(X,Y)为二维连续型随机变量，(,)f x y 称为(X,Y)的概率密度，或联合概率密度.概率密度的性质: 1.(,)F x y ≥0 2.(,)1∞∞-∞-∞=⎰⎰f x y dxdy只要具有以下两条性质，必可作为某二维随机变量的概率密度.3.已知(X,Y)的概率密度(,)f x y ，则(X,Y)在平面区域D 内取值的概率为:{(,)}(,)∈=⎰⎰DP X Y D f x y dxdy (作二重积分)(随机点(X,Y)落在平面区域D 上的概率等于以平面区域D 为底，以曲面(,)=z f x y 顶的典顶的体积) 4.若(,)F x y 在点(x,y)连续，则有2(,)(,)∂=∂∂F x y f x y x y(连续就能根据分布律求概率密度)1）当求()=P X Y 时，它只是一条线，所以：()0＝=P X Y2）一个方程有无实根：20++=ax bx c ，即求：22240,40,40,一个实根无实根两个实根+=+<+>b ac b ac b ac均匀分布：定义:设D 为平面上的有界区域，其面积为S ，且0>S ,如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,(x,y)(,)0,其它⎧∈⎪=⎨⎪⎩Df x y S，则称(X,Y)服从区域D 上的均匀分布(或叫(X,Y)在D 上服从均匀分布，记作（X,Y ）D U . 两种特殊情形:1） D 为矩形，,c )≤≤≤≤a x b y d 时，1,()()(,),c )0,其它⎧⎪--=≤≤≤≤⎨⎪⎩b a dc f x y a x b y d2） D 为圆形，如(X,Y)在以原点为圆心，R 为半径的圆域上服从均匀分布，则(X,Y)的概率密度为:22221,(,))0,其它π⎧⎪=+≤⎨⎪⎩f x y x y R R定义:对连续型随机变量(X,Y),分量X,Y 的概率密度称为(X,Y)关于X 或Y 的边缘概率密度,记作(),X f x ().Y f y X 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰xX F x F x f u v dv du （让Ｙ趋于正无穷） Y 的分布函数:()(,)(,)∞-∞-∞⎡⎤=∞=⎢⎥⎣⎦⎰⎰yY F y F y f u v du dv （让Ｘ趋于正无穷） X 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰X f x f x y dy xY 的概率密度:()(,),()∞-∞=-∞<<∞⎰Y f y f x y dx y（二维的边缘概率密度是直接以联合概率密度在负无穷到正无穷对对应元素积分，其间需要对划分区间的作分别积分）(X,Y)的概率密度:(,)(,)[(,)]-∞-∞-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x yx yf x y f u v dudv f u v dv du二维正态分布：二维正态221212(,)(,,,,)σσρX Y N u u 分布函数的性质:1.211()(,)σX N u ,222()(,)σY N u 边缘服从一维正态分布2.0,ρ=⇔xy X Y 独立（相关系数为Ｏ，则两个随机变量独立）3.212()()σ++k X k Y N u (线性组合按一维正态处理)4. 1212()，±±k X k Y c X c Y 服从二维正态（如：(,)+-X Y X Y ）条件分布:设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若{}0=>j P Y y ，则称{=i P X x ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij j j jP X x Y y p Y y i P Y y p …为在=j Y y 条件下随机变量X 的条件分布律同样地，若{}0,=>i P X x 则称{=j P Y y ｜{,}},1,2,{}⋅=======i j ij i i i P X x Y y p X x j P X x p …为=i X x 条件下随机变量Y 的条件分布律变形，即得求联合分布律的方法.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),(X,Y)关于Y 的边缘概率密度为()Y f y .若对于固定的y,()0,>Y f y 则称(,)()Y f x y f y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度称|(,)(|)()-∞-∞=⎰⎰xxX Y Y f x y f x y dx dx f y 为在Y=y 的条件下，X 的条件分布函数，记为P{X ≤x|Y=y}或|(|)X Y F x y ，即|(,)(|){|}()-∞=≤==⎰x X Y Y f x y F x y P X x Y y dx f y 设F(x,y)及(),()X Y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y 有P{X ≤x,Y ≤y}=P{X ≤x}P{Y ≤y},即(,)()()=X Y F x y F x F y ，则称随机变量X 和Y 是相互独立的设(X,Y)是连续型随机变量，(,),(),()X Y f x y f x f y 分别为(X,Y)的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的条件等价于(,)()()=X Y f x y f x f y 在平面上几乎处处成立(除去面积为0的集合以外，处处成立)第二节随机变量的独立性1. 两个随机变量的独立性定义:设(,),().()X Y F x y F x F y 分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数,x y 有(,)().()=X Y F x y F x F y ，则称X 与Y 相互独立.可用于判断独立性(随机变量独立,对任意实数x,y,事件X ,Y ≤≤x y 相互独立) 以上公式等价于:(X ,Y )(X ).()≤≤=≤≤X Y P x y P x P Y y 可类推至多个函数的情况.1)如果X,Y 随机变量独立，().()连续f x g y ，(通过函数作用)则().()f x g y 也独立.(可类推至多个随机变量的情况)例:X,Y 独立，则22,x y 独立.2)如果1212,...,...，ＹＹＹm m X X X 相互独立，12m 121()()...()()()....()和，f x f x f x g y g y g y 也相互独立。

概率论与数理统计第三章

高等教育出版社《概率论与数理统计统计》第3章

概率论与数理统计(第3章)

概率论与数理统计3章

概率论与数理统计总结之第三章

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概率与数理统计第3章数据分布特征的描述

概率论与数理统计总结之第三章

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