实验02讲评、参考答案_MATLAB矩阵分析与处理(第3章).

实验02讲评、参考答案讲评未交实验报告的同学名单批改情况：本实验报告不批改，请参考答案！除第1题稍复杂外，其它题按书上操作即可，注意细心点！答案中有一些操作技巧，供参考！附参考答案：实验02 MATLAB 矩阵分析与处理（第3章 MATLAB 矩阵分析与处理）一、实验目的二、实验内容1. 分块矩阵设有分块矩阵33322322E R A O S ⨯⨯⨯⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中E 、R 、O 、S 分别为单位矩阵、随机矩阵、零矩阵和对角阵，试通过数值计算验证22E R RS AO S +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。

命令窗口中的执行过程：《MATLAB 软件》课内实验王平2. 希尔伯特矩阵、帕斯卡矩阵及其行列式的值和条件数产生5阶希尔伯特矩阵H和5阶帕斯卡矩阵P，且求其行列式的值Hh和Hp以及它们的条件数Th和Tp，判断哪个矩阵性能更好。

为什么？条件数越接近1，矩阵的性能越好。

H 的条件数更大于1，所以P 比H 性能好。

3. 求矩阵的行列式值、迹、秩和范数建立一个5×5矩阵，求它的行列式值、迹、秩和范数。

4. 求A 的特征值及特征向量已知2961820512885A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦命令窗口中的执行过程：5. 解线性方程组下面是一个线性方程组：1231112340.951110.673450.52111456x x x ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1) 求方程的解。

(2) 将方程右边向量元素b 3改为0.53再求解，并比较b 3的变化和解的相对变化。

(3) 计算系数矩阵A 的条件数并分析结论。

b 只做微小的变化，但两个解变化很大。

A 的条件数>>1。

6. 建立A 矩阵，计算sqrtm(A)和sqrt(A)，注意其区别命令窗口中的执行过程：三、实验提示1. 分块矩阵提示设有分块矩阵33322322E R A O S ⨯⨯⨯⨯⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中E 、R 、O 、S 分别为单位矩阵、随机矩阵、零矩阵和对角阵，试通过数值计算验证22E R RS A O S +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦。

提示1：注意！此处的运算是代数（矩阵）运算，不是数组点运算。

用eye, rand, zeros 函数，可以用diag 函数。

第1步，分别求出E, R, O, S ；第2步，拼接出A ；第3步，计算A 2；第4步，拼接⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2S O RS R E ； 比较。

%需要显示结果的，行后不加分号2. 希尔伯特矩阵、帕斯卡矩阵及其行列式的值和条件数提示 产生5阶希尔伯特矩阵H 和5阶帕斯卡矩阵P ，且求其行列式的值Hh 和Hp 以及它们的条件数Th 和Tp ，判断哪个矩阵性能更好。

为什么？提示1：条件数越接近1，矩阵的性能越好。

四、教程：第3章 MATLAB矩阵分析与处理3.1 特殊矩阵p393.1.1 通用的特殊矩阵表产生通用特殊矩阵的函数及其含义p39例3.1 分别建立3×3、3×2和与矩阵A同样大小的零矩阵p39例3.2 建立随机矩阵p40(1) 在区间[20,50]内均匀分布的4阶随机矩阵。

3.1.2 用于专门学科的特殊矩阵p40 表产生专门学科特殊矩阵的函数及其含义(1) 魔方矩阵每行、每列及两条对角线上的元素和都相等。

magic(n)求n阶魔方矩阵，其元素由1,2,3,…,n2共n2个整数组成。

例3.3 将101~125等25个数填入一个5行5列的表格中，使其每行每列及对角线的和均为565。

最后一列全为1；倒数第二列为一个指定的向量；其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积。

vander(V)生成指定向量为V的范得蒙矩阵。

例元素11 ijhi j=+-hilb(n)生成n阶希尔伯特矩阵。

条件数很差，用一般方法求逆会因为原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果。

invhilb(n) 求n阶希尔伯特矩阵的逆。

例3.4 求4阶希尔伯特矩阵及逆矩阵。

(4) 托普利兹矩阵除第一行第一列外，其他每个元素都与左上角的元素相同。

toeplitz(x,y) 生成一个以x为第一列，y为第一行的托普利兹矩阵。

这里x, y均为向量，两者不必等长。

取前者为T(1,1)(5) 伴随矩阵compan(p) 生成伴随矩阵的函数其中p是一个多项式的系数向量，高次幂系数排在前，低次幂排在后。

例求多项式的x3-7x+6的伴随矩阵。

(6) 帕斯卡(Pascal)矩阵二次项(x+y)n展开后的系数随n的增大组成一个三角形表，称为杨辉三角形。

由杨辉三角形表组成的矩阵称为帕斯卡矩阵。

pascal(n) 生成一个n阶帕斯卡矩阵。

例3.5 求(x+y)5的展开式。

矩阵次对角线上的元素1,5,10,10,5,1即为展开式的系数。

3.2 矩阵结构变换p43表矩阵结构变换函数及其含义3.2.1 对角阵与三角阵1．对角阵只有对角线上有非0元素。

数量矩阵—对角线上的元素相等的对角阵。

单位矩阵—对角线上的元素为1的对角阵。

(1) 提取矩阵的对角线元素设A为m×n矩阵。

diag(A) 提取主对角线元素，产生有min(m,n)个元素的列向量。

(2) 构造对角矩阵V为m个元素的向量。

diag(V) 产生m×m对角矩阵，主对角线元素为V。

diag(V,k) 产生n×n(n=m+|k|)对角阵，第k条对角线元素为V。

（注）例3.6 先建立5×5矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。

三角阵分为上三角阵和下三角阵。

上三角阵对角线以下的元素全为0。

下三角阵对角线以上的元素全为0。

(1) 上三角矩阵triu(A)求矩阵A的上三角阵。

triu(A,k)求矩阵A的第k条对角线以上的元素。

(2) 下三角矩阵tril(A) 求矩阵A的下三角阵。

tril(A,k)求矩阵A的第k条对角线以下的元素。

3.2.2 矩阵的转置与旋转1．矩阵的转置2．矩阵的旋转rot90(A,k)将矩阵A旋转90º的k倍，按逆时针方向。

当k为1时可省略。

对矩阵实施左右翻转是将原矩阵的第一列和最后一列调换;第二列和倒数第二列调换;…，依次类推。

%每一行逆序4．矩阵的上下翻转3.3 矩阵求逆与线性方程组求解p46 3.3.1 矩阵的逆与伪逆表求矩阵的逆与伪逆函数及其含义1．矩阵的逆对于方阵A，若存在与其同阶的方阵B，使：A·B=B·A=I (I为单位矩阵)则称B为A的逆矩阵，A也是B的逆矩阵。

inv(A)求方阵A的逆矩阵。

例3.7 求方阵A的逆矩阵若A 不是方阵，或A 是非满秩的方阵时，A 没有逆矩阵。

但可找到与A '同型的矩阵B ，使得：A·B·A=A B·A·B=B称B 为矩阵A 的伪逆，也称为广义逆矩阵。

3.3.2 用矩阵求逆方法求解线性方程组Ax=b其解为：x=A -1b例3.8 解线性方程组2354928276x y z x y z x y z ++=⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩3.4 矩阵求值 p48 表 矩阵求值函数及其含义3.4.1 方阵的行列式值把方阵看作行列式，对其按行列式规则求值，该值称矩阵所对应的行列式的值。

3.4.2 矩阵的秩与迹1．矩阵的秩矩阵线性无关的行数与列数称为矩阵的秩。

等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。

3.4.3 向量和矩阵的范数矩阵或向量的范数用来度量矩阵或向量在某种意义下的长度。

范数有多种方法定义，其定义不同，范数值也就不同。

1．向量的3种常用范数及其计算函数 V 为n 维向量(1) norm(V)或norm(V,2)：计算2—范数。

2V=(2) norm(V,1)：计算1—范数。

11||ni i V v ==∑(3) norm(V,inf)：计算∞—范数。

1max{||}i i nVv ∞≤≤=2．矩阵的范数及其计算函数 A 为m ×n 矩阵，V 为n 维向量(1) norm(A)或norm(A,2)：计算2—范数。

22211max{}'V A A V A A λ==⋅=为最大特征值(2) norm(A,1)：计算1—范数。

111111max{}max{||}mij V j ni A A V a =≤≤==⋅=∑(3) norm(A,inf)：计算∞—范数。

111max{}max{||}nij Vi mj A A V a ∞∞∞=≤≤==⋅=∑3.4.4 矩阵A 的条件数 p51(1) cond(A,1)：计算1—范数下的条件数。

111(,1)cond A A A -=⋅(2) cond(A)或cond(A,2)：计算2—范数下的条件数。

122()cond A A A -=⋅(3) cond(A,inf)：计算∞—范数下的条件数。

1(,inf)cond A A A -∞∞=⋅3.5 矩阵的特征值与特征向量p52 表求特征值与特征向量函数及其含义例3.9 用求特征值的方法解方程。

5423.6 矩阵的超越函数p53直接作用于矩阵（方阵）的超越函数。

表矩阵的超越函数及其含义。