高中数学第三章圆锥曲线与方程3.2抛物线教学案北师大版选修2_142

§2抛_物_线

2．1 抛物线及其标准方程

[对应学生用书P49]

如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉

链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C

点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉

笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．

问题1：曲线上点D到直线EF的距离是什么？

提示：线段DA的长．

问题2：曲线上点D到定点C的距离是什么？

提示：线段DC的长．

问题3：曲线上的点到直线EF和定点C之间的距离有何关系？

提示：相等．

抛物线的定义

已知某定点和定直线l(定点不在定直线l上)，且定点到l的距离为6，曲线上的点到定点距离与到定直线l的距离相等．在推导曲线的方程的过程中，由建系的不同，有以下点和直线．

A(3,0)，B(－3,0)，C(0,3)，D(0，－3)；

l1：x＝－3，l2：x＝3，l3：y＝－3，l4：y＝3.

问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？并指出曲线开口方向．

提示：y2＝12x. 向右．

问题2：到定点B和定直线l2距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？

提示：y2＝－12x. 向左．

问题3：到定点C和定直线l3距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？

提示：x2＝12y. 向上．

问题4：到定点D和定直线l4距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？

提示：x2＝－12y. 向下．

抛物线的标准方程

1．平面内与一定点F和一定直线l距离相等的点的集合是抛物线，定点F不在定直线上，否则点的轨迹是过点F垂直于直线l的直线．

2．抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上．

[对应学生用书P50]

[例1]

(1)y ＝14

x 2；(2)x ＝ay 2

(a ≠0)．

[思路点拨] 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出p .再写出焦点坐标和准线方程．

[精解详析] (1)抛物线y ＝14

x 2的标准形式为x 2

＝4y ，

∴p ＝2，∴焦点坐标是(0,1)，准线方程是y ＝－1.抛物线开口向上． (2)抛物线方程的标准形式为y 2

＝1a

x ，

∴2p ＝

1|a |

. ①当a >0时，p 2＝1

4a

，抛物线开口向右，

∴焦点坐标是⎝ ⎛⎭

⎪⎫14a ，0，准线方程是x ＝－14a ； ②当a <0时，p 2＝－1

4a

，抛物线开口向左，

∴焦点坐标是⎝ ⎛⎭

⎪⎫14a ，0，准线方程是x ＝－14a .

综合上述，当a ≠0时，抛物线x ＝ay 2

的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a .a >0

时，开口向右；a <0时，开口向左．

[一点通]

1．先将抛物线方程化成标准形式，再判断开口方向、焦点位置，准确地求出p 值．

2．抛物线y 2

＝2ax (a ≠0)的焦点坐标⎝ ⎛⎭

⎪⎫a 2，0，准线x ＝－a

2，不必讨论a 的正负．

1．抛物线x 2

＝8y 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(4,0)

D ．(－4,0)

解析：由抛物线的方程为x 2

＝8y 知，抛物线的焦点在y 轴上，所以2p ＝8，p

2＝2，所以

焦点坐标为(0,2)，故选A.

答案：A

2．(北京高考)若抛物线y 2

＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．

解析：因为抛物线y 2

＝2px 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，抛物线y 2

＝2px

的焦点坐标为(1,0)，所以p ＝2，准线方程为x ＝－1.

答案：2 x ＝－1

[例2] (1)过点(－3,2)；

(2)焦点在直线x －2y －4＝0上；

(3)已知抛物线焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为3.

[思路点拨] 确定p 的值和抛物线的开口方向，写出标准方程．

[精解详析] (1)设所求的抛物线方程为y 2

＝－2p 1x (p 1>0)或x 2

＝2p 2y (p 2>0)，∵过点(－3,2)，

∴4＝－2p 1(－3)或9＝2p 2·2. ∴p 1＝23或p 2＝9

4

.

故所求的抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2

＝92y .

(2)令x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，p

2＝4，

∴p ＝8，此时抛物线方程y 2

＝16x ； 当焦点为(0，－2)时，p

2＝|－2|，

∴p ＝4，此时抛物线方程为x 2＝－8y . 故所求的抛物线的方程为y 2

＝16x 或x 2

＝－8y .

(3)由题意知，抛物线标准方程为x 2

＝2py (p >0)或x 2

＝－2py (p >0)且p ＝3，∴抛物线标准方程为x 2

＝6y 或x 2

＝－6y .

[一点通]

求抛物线标准方程的方法有：

(1)定义法，求出焦点到准线的距离p ，写出方程．