第一部分 第一章 第2讲 整式(3～8分)

2．整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单 项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． (2)单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝___m__a_＋__m__b_＋__m_c________________. (3)多项式与多项式相乘：(a＋b)(m＋n)＝___a_m_＋__a_n_＋__b_m__＋__b_n_________. (4)乘法公式 ①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__a_2－__b_2___. ②完全平方公式：(a±b)2＝___a_2±__2_a_b_＋__b_2 ___.
4．(2018·洛阳二模)下列计算结果正确的是( D ) A．(－a3)2＝a9 B．a2·a3＝a6 C．(－12)－1－22＝－2 D．(cos 30°－12)0＝1
5．(2018·安阳二模)下列计算中，正确的是( D ) A．a2＋a2＝a4 B．(2a)3＝6a3 C．(a－b)2＝a2－b2 D．(－a2)3＝－a6
D．b＝22.1%×2a
【解析】 根据“现期量＝基期量＋增长量，增长量＝基期量×增长率”，可知 2017 年我省有效发明专利数为 a＋22.1%a＝(1＋22.1%)a(万件)，2018 年我省有效发 明专利数为(1＋22.1%)·(1＋22.1%)a(万件)，即 b＝(1＋22.1%)2a(万件)，故选 B．
第2讲 整式(3～8分)
考点一 整式的相关概念 1．单项式：表示数或字母的积的式子叫做单项式．单独的一个数或一个字母也 是单项式． (1)单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． (2)一个单项式中，所有字母的指数的___和______叫做这个单项式的次数．
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．其中，每个单项式叫做多项式的项， 不 含 字 母 的 项 叫 做 __常__数__项___ ． 多 项 式 中 ， 次 数 最 高 项 的 次 数 叫 做 这 个 多 项 式 的 __次__数_____．
6．(2018·濮阳二模)下列各式计算正确的是( D ) A．(a＋b)2＝a2＋b2 B．(－ab2)3＝a3b6 C．2a2＋3a2＝5a4 D．(b＋2018·外国语三模)若 x＝ 2－1，则 x2＋2x＋1＝____2____. 8．(2018·三门峡二模)因式分解：9a3b－ab＝__a_b_(_3_a_＋__1_)(_3_a_－__1_)________.
类型六 因式分解 (2018·株洲)因式分解：a2(a－b)－4(a－b)＝________.
【答案】 (a－b)(a－2)(a＋2)
解因式分解问题的关键是：①选取最大公因式；②分解要彻底，分解到每个因式 都不能再分解为止；③在提取负号时，各项都要变号.
1．(2018·郑州适应性)下列计算中，正确的是( D ) A．2a＋3b＝5ab B．a·a3＝a3 C．a6÷a2＝a3 D．(－ab)2＝a2b2
5．(2017·河南 16 题)先化简，再求值：(2x＋y)2＋(x－y)(x＋y)－5x(x－y)，其中 x ＝ 2＋1，y＝ 2－1.
解：原式＝4x2＋4xy＋y2＋x2－y2－5x2＋5xy ＝9xy. 当 x＝ 2＋1，y＝ 2－1 时， 原式＝9×( 2＋1)×( 2－1)＝9.
类型一 列代数式
(2018·安徽)据省统计局发布，2017 年我省有效发明专利数比 2016 年增
长 22.1%，假定 2018 年的年增长率保持不变，2016 年和 2018 年我省有效发明专利
分别为 a 万件和 b 万件，则( )
A．b＝(1＋22.1%×2)a
B．b＝(1＋22.1%)2a
C．b＝(1＋22.1%)×2a
【答案】 5
类型三 整式的相关概念
(2018·淄博)若单项式 am－1b2与12a2bn的和仍是单项式，则 nm的值是(
)
A．3
B．6
C．8
D．9
【解析】 由“单项式 am－1b2 与12a2bn 的和仍是单项式”，可知单项式 am－1b2 与12 a2bn 是同类项，所以 m－1＝2，n＝2，所以 m＝3，n＝2，可求得 nm＝23＝8，故选 C．
3．整式的除法 (1)单项式除以单项式时，把系数、同底数幂分别____相__除___，作为商的因式，对 于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． (2)多项式除以单项式时，用多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
考点三 幂的运算
1．同底数幂相乘 am·an＝___a_m_＋_n___ (m，n 为整数，a≠0)． 2．同底数幂相除 am÷an＝____a_m_－_n__ (m，n 为整数，a≠0)．
命题点一 代数式及其求值仅2009年考查 1．(2009·河南 9 题)下图是一个简单的运算程序．若输入 x 的值为－2，则输出的 数值为____6_____ . 输入x ―→ x2 ―→ ＋2 ―→ 输出
命题点二 整式的运算化简求值8年5考
2．(2018·河南 4 题)下列运算正确的是( C )
3.使用乘法公式时，要认清公式中 a，b 所表示的两个数及公式的结构特征，公 式中的 a，b 可以是一个数，可以是单项式，甚至是多项式，套用公式时不要混淆.
类型五 整式的化简求值 (2018·襄阳)先化简，再求值：(x＋y)(x－y)＋y(x＋2y)－(x－y)2，其中 x
＝2＋ 3，y＝2－ 3. 解：原式＝x2－y2＋xy＋2y2－x2＋2xy－y2＝3xy. 当 x＝2＋ 3，y＝2－ 3时，原式＝3×(2＋ 3)(2－ 3)＝3.
【答案】 C
类型四 整式的运算
(2018·抚顺)下列运算正确的是( )
A．2x＋3y＝5xy
B．(x＋3)2＝x2＋9
C．(xy2)3＝x3y6
D．x10÷x5＝x2
【解析】 选项 A 中，2x 和 3y 不是同类项，不能合并，故选项 A 错误；选项 B 中，(x＋3)2＝x2＋6x＋9，故选项 B 错误；选项 C 中，(xy2)3＝x3·(y2)3＝x3y6，故选项 C 正确；选项 D 中，x10÷x5＝x10－5＝x5，故选项 D 错误，故选 C．
【答案】 C
1.熟练运用整式运算法则及幂的运算是解决整式运算的关键，进行幂的运算时， 切记不要混淆运算法则，如同底数幂相乘，底数不变，指数相加：am·an＝am＋n；而幂 的乘方是底数不变，指数相乘：amn＝amn.
2.合并同类项、幂的运算、乘法公式等是整式运算的基础，难度不大，但一定要 做到熟练运用，计算时既准又快.
A．(－x2)3＝－x5
B．x2＋x3＝x5
C．x3·x4＝x7
D．2x3－x3＝1
3．(2014·河南 4 题)下列各式计算正确的是( B )
A．a＋2a＝3a2
B．(－a3)2＝a6
C．a3·a2＝a6
D．(a＋b)2＝a2＋b2
4．(2011·河南 3 题)下列各式计算正确的是( D ) A．(－1)0－(12)－1＝－3 B． 2＋ 3＝ 5 C．2a2＋4a2＝6a4 D．(a2)3＝a6
3．整式：单项式与多项式统称为整式．
4．同类项 (1)所含字母__相__同_____，并且__相__同_____字母的指数也相同的项叫同类项． (2)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项．
考点二 整式的运算高频考点 1．整式的加减法 (1)整式加减法的本质就是合并同类项． (2)合并同类项法则：只把系数__相__加_____，所含字母及字母的指数_不__变______． (3)去括号法则：a＋(b＋c)＝a＋___b_＋__c___ ，a－(b＋c)＝__a_－__b_－__c_. (4)添括号法则：a＋b＋c＝a＋__(_b_＋__c_)__，a－b－c＝a－_(_b_＋__c_)___． (5)整式加减的运算法则：几个整式相加减，如果有括号，就先去括号，然后再 _______合__并__同__类__项___________．
2．(2018·外国语三模)下列计算正确的是( C ) A．a3＋a3＝a6 B．(x－3)2＝x2－9 C．a3·a3＝a6 D． 2＋ 3＝ 5
3．(2018·平顶山二模)下列运算正确的是( B ) A．2a3＋3a2＝5a5 B．3a3b2÷a2b＝3ab C．(a－b)2＝a2－b2 D．(－a)3＋a3＝2a3
【答案】 B
类型二 代数式求值 (2018·荆州)如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入 k 的值为
125，则第 2 018 次输出的结果是_________ ．
【解析】 ∵第 1 次输出的结果是1255＝25，第 2 次输出的结果是255＝5，第 3 次 输出的结果是55＝1，第 4 次输出的结果是 1＋4＝5，第 5 次输出的结果是255＝5，……， ∴第 2n 次输出的结果是 5，第 2n＋1 次输出的结果是 1(n 为正整数)，∴第 2 018 次 输出的结果是 5.
解：原式＝m2＋2m＋1＋m2－1 ＝2(m2＋m)． ∵m 是方程 x2＋x－1＝0 的一个根， ∴m2＋m－1＝0， ∴m2＋m＝1， ∴原式＝2×1＝2.
(3)十字相乘法(选学内容) 二次项系数为 1 的二次三项式，直接利用公式 x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)进 行分解． 特点：①二次项系数是 1； ②常数项是两个数的乘积； ③一次项系数是常数项的两个因数的和．
3．因式分解的一般步骤 (1)一提：如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； (2)二套：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式法来分解；对于不能直接 运用公式法来分解的二次式，再尝试运用十字相乘法进行分解； (3)三查：检查因式分解是否彻底，因式分解必须进行到每一个多项式都不能再分 解为止．
3．幂的乘方 (am)n＝____a_m_n___ (m，n 为整数，a≠0)． 4．积的乘方 (ab)n＝___a_n_b_n___ (n 为整数，a≠0)． 5．商的乘方 (ba)n＝bann(n 为正整数，a≠0)．
考点四 因式分解 1．定义：把一个多项式化成几个整式的___积______的形式，叫做把这个多项式因 式分解． 2．因式分解的基本方法 (1)提公因式法 ma＋mb＋mc＝__m_(_a_＋__b_＋__c_) _____． (2)公式法 a2－b2＝__(_a_＋__b_)(_a_－__b_)___， a2±2ab＋b2＝__(_a_±_b_)_2 __.
9．(2018·开封二模)先化简，再求值：(x＋y)(x－y)＋(x＋y)2－2x(x－y)，其中 x ＝ 21－1，y＝ 21＋1.
解：原式＝x2－y2＋x2＋2xy＋y2－2x2＋2xy ＝4xy. 当 x＝ 21－1，y＝ 21＋1时， 原式＝4× 21－1× 21＋1＝4.
10．(2018·信阳一模)化简并求值：(m＋1)2＋(m＋1)(m－1)，其中 m 是方程 x2＋x －1＝0 的一个根．