第二章 电阻电路的等效变换
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＋
i
＋
… i
＋ －
u
－
K=1，2 ， i
＋ －
u
Reg
u
G1
in Gn
u
－
Geg
分流公式： 分流公式：ik=Gku=Gk/Geg i n=2时，Reg=R1R2/（R1+R2） 时 （ i1=R2/（R1+R2）， 2=R1/（R1+R2）×i ），i （ （ *混联：有串，又有并 混联：有串， 混联 1 R1 R2 R3 R4
对于△ 对于△形，各电阻中电流为：i12=u12/R12 i23=u23/R23 i31=u31/R31 各电阻中电流为：
i ′ =i12-i31=u12/R12-u31/R31 1
i ′2 =u23/R23-u12/R12
i ′3 =u31/R31-u23/R23
i1 + i 2 + i 3 = 0
③
2
2 i31 1 i12
④
2
⑤
i′2
1
1
R2
3
自已补充:R 自已补充 4与1串,R3与2串,然 串 串然 后再并 i2
R4 R3 2
3
i3 2
1
1
2-5
电压源和电流源的串联和并联
＋
1、n个电压源串联：us=∑usk--------等效电压源 、 个电压源串联： 等效电压源 个电压源串联 ＋ － ＋ ○ ○ －○ us1 us2 usn。 。 注：正、负号取 。 。 。 2、n个电流源的并联： 个电流源的并联： 、 个电流源的并联 is1 is=is1+is2+…is=∑isk 。 。
αi
＋ uS － i ＋
•
R1
R2 R3
us = − R2 αi + ( R2 + R3 )i1 − − − 1 us = R1 i2 − − − − − − − − − − − 2 i = i1 + i2 − − − − − − − − − − − 3 u s R1 R3 + ( 1 − α )R1 R2 求得R in = = i R1 + R2 + R3
1
i1 R11Biblioteka i′ 1R31 i2
3
3
R2 R3
2
i31 R23 （b） ）
R12 i12
2
i3
i ′3
i23
i ′2
（a） ） Y与△之间等效变换条件：1、流入对应端子的电流相等 与 之间等效变换条件： 、 i1= i ′ 1 *对外电路等效 对外电路等效 i2= i ′2 i3= i ′3
2、对应端子之间的电压相等： 、对应端子之间的电压相等： u12、u23、u31
2-3电阻的串联和并联 电阻的串联和并联 1、n个电阻的串联：特点：i同 、 个电阻的串联 特点： 同 个电阻的串联： u=u1+u2+…+un， 等效电阻： 等效电阻：R=u/i=R1+R2+…Rn 分压公式： 分压公式：uk=Rki=RK/Reg u 2、并联：u同，并联 、并联： 同 a中：i=i1+i2+ …+in 中 =G1u+G2u…+Gnu =（G1+G2…+Gn）u （ =Gegu Geg=i/u=G1+G2…+Gn=∑Gi -----等效电导 等效电导 等效电阻： 等效电阻：Reg=1/Geg i
－
us is
。
2-6实际电源的两种模型及等效变换 实际电源的两种模型及等效变换 1、实际电源的伏安特性： 、实际电源的伏安特性： 上升时， 下降 且不是线性的，但在一定范围成线性， 下降， 当i上升时，u下降，且不是线性的，但在一定范围成线性，延长 上升时 交于两点， 开路电压（ ）， ），i 短路电流（ 交于两点，uoc----开路电压（i=0）， sc-----短路电流（u=0） 开路电压 短路电流 ） i ＋ 开路电压 u uoc 实际电源 u0
i ′ =i12-i31 1
=u12/R12-u31/R31
∆形相邻电阻之积 R2 *：记忆方法：Y形电阻 形电阻= ：记忆方法： 形电阻 ∆形电阻之和 Y形电阻两两乘积之和 3 R4 ∆形电阻阻 = Y形不相邻电阻 i2 R3 特殊 若Y形中R 1 = R 2 = R 3则∆形中三个电阻也相等
1 R ∆ = 3 RY 或RY = R∆ 3
第二章
电阻电路的等效变换
2-1 电阻电路
电阻电路：构成电路的无源元件均为线性电阻， 电阻电路：构成电路的无源元件均为线性电阻，称为线性电阻电 简称电阻电路。 路，简称电阻电路。 2-2 电路的等效变换 对复杂电路进行分析和计算时， 对复杂电路进行分析和计算时，有时需要将某一部分用一个简单 的电路进行替代， 的电路进行替代， R 1 R 1 ＋ ＋ i i ＋ Us Us Reg u u － － 1`－ （a） ） 1` ） 上图a,1 右边的电路用b代替代 上图 –1`右边的电路用 代替代，使电路简化。 （b） 右边的电路用 代替代，使电路简化。 替代条件：a、b 1-1`右边具有相同的伏安特性，两图中的u和i相同 替代条件： 、 右边具有相同的伏安特性，两图中的 和 相同 右边具有相同的伏安特性 等效概念： 中 左边一切不变， 等效概念：a中1-1`左边一切不变，右边用 eg代替 左边一切不变 右边用R
*：is方向由us的“+”发出，当i=0时，1-1`端子处的电压为开路 方向由u 发出， i=0时 1`端子处的电压为开路 发出 电压， 电压，uoc，且uoc=us 当u=0时，1-1`端短路电流isc且isc=is且 u=0时 1`端短路电流i 端短路电流 UOC=RISC i ○＋ R iS
○
本章小结： 、 本章小结：1、等效变换概念 2、Y-△互换 、 △ 3、实际电压源与电 、 流源互换 4、输入电阻 、 作业： 、 、 、 、 、 、 、 作业：2-1、4、5、6、7、8、9、10
u
－
＋ uS －
i ＋ －
•
i1
αi R2
－ ＋
R2 R3
u i2
R1
－
uR －
R
i
R
iC
＋
*把受控源当作独立电源 把受控源当作独立电源 处理 *uc方向与 c 方向一致 方向与i
R uR
－
R i
＋
＋
uS
－ －
uC
2-7输入电阻 输入电阻 （一端口） 一端口） 输入电阻：一个二端网络的两端子的电压u和电流 比值： 和电流i比值 输入电阻：一个二端网络的两端子的电压 和电流 比值：R in = u i *：二端网络内不含独立源，但可含受控源 ＋。 i ：二端网络内不含独立源， u *：从一端流入电流 从另一端流出的电流 －。 ：从一端流入电流=从另一端流出的电流 的方法：输入端1-1`加电压源（或电流源），求出 ，i 加电压源（ ），求出 求Rin的方法：输入端 加电压源 或电流源），求出u， u i
①
例：求桥形电路的总电阻R12 求桥形电路的总电阻R 解：将结点1、3、4内的 将结点 、 、 内的 形电路用Y形电路替代， 形电路用 形电路替代，得b 形电路替代 R2=2×2/（2+2+1）=4/5=0.8 × （ ） R3=1×2/5=2/5=0.4 × R4=1×2/5=2/5=0.4 × R12=0.8+16.8/19+1=2.684 ② 1 R12
＋
i u
i1
i2 R1 R2
－ ＋
i u
－
Reg
1` R3+R4串、与R2并、再与 1串 再与R 2-4 电阻的Y形连接和△ 电阻的 形连接和△形连接的等效变换 形连接和 Y连接：R1、R2、R3三个端连一起公共端，另分别接 、2、3形成 连接： 三个端连一起公共端，另分别接1、 、 形成 连接 一个Y 一个 △连接：在1、2、3之间连接一个电阻 连接： 、 、 之间连接一个电阻
－
i isc
○
＋ 根据此伏安特性可用一个 电压源和一个R串联表示 电压源和一个 串联表示 一个实际电源
短路电流
R us
＋ －
i
u
○
－ u=us-Ri （i上升，u下降）， 上升， 下降 下降）， 上升
u=us-Ri
（i上升，u下降）， 上升， 下降），
也可用一个电流源和一个R并联： 也可用一个电流源和一个R并联：i=is-1/Ru 令is=us/R 则 两式一样，这就是相互等效的条件， 电压源可用电流源替代， 两式一样，这就是相互等效的条件，即：电压源可用电流源替代， 反之也可
○
R us
＋ －
i
＋
u
u
○
－
－
例：已知us=12V，R=2 已知 ，
控制， ，ic受uR控制，且：ic=guR，g=2s求uR， 求
＋ ＋
的并联→电压 解：把ic与R的并联 电压 的并联 源和R串 源和 串 uc=Ric=2×2uR=4uR， × uR=Ri Ri+Ri+uc=us uR=us/6=12/6=2v uS
′ 因为 i1 = i1所以系数相等 1 R3 R R + R 2R 3 + R 3R 1 = → R12 = 1 2 R 12 R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R3 R R + R 2R 3 + R 3R 1 1 R1 = → R23 = 1 2 R23 R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R1 R2 R R + R 2R 3 + R 3R 1 1 = → R31 = 1 2 R31 R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R2 → Y形连接 ⇒ ∆ 连接公式 (R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 ) 2 将上述三式相加并右边 通分 R 12 + R 23 + R 31 = R 1R 2 R 3 Q R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 = R12 R3 = R31 R2 代入上式求 → R1同理可求 R2 R3 R1 = R12 R31 R12 + R23 + R31 R2 = R23 R12 R12 + R23 + R31 R3 = R31 R23 R12 + R23 + R31
＋ uS － i ＋
R in =
u i
u
－
*：输入电阻就是等效电阻，但两者含义有所区别 ：输入电阻就是等效电阻， 输入电阻是就两端网络的两个端子的 而等效电阻指Reg等效一部分电路， 等效一部分电路， 而等效电阻指 等效一部分电路 但求的方法一样
例：求一端口Rin 求一端口 解：先将电流控制电流 αi 电流控制电压源
i1 =
对于Y： 对于 ：
u12 = R1 i1 − R2 i 2 }i 2 = u23 = R2 i 2 − R3 i 3 i 3 =
R3 R2 u u12 − R1 R2 | + R2 R3 + R3 R1 31 R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1
R3 R1 u23 − u12 R1 R2 | + R2 R3 + R3 R1 R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R1 R2 u31 − u23 R1 R2 | + R2 R3 + R3 R1 R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1
i
＋
… i
＋ －
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－
K=1，2 ， i
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u
G1
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Geg
分流公式： 分流公式：ik=Gku=Gk/Geg i n=2时，Reg=R1R2/（R1+R2） 时 （ i1=R2/（R1+R2）， 2=R1/（R1+R2）×i ），i （ （ *混联：有串，又有并 混联：有串， 混联 1 R1 R2 R3 R4
对于△ 对于△形，各电阻中电流为：i12=u12/R12 i23=u23/R23 i31=u31/R31 各电阻中电流为：
i ′ =i12-i31=u12/R12-u31/R31 1
i ′2 =u23/R23-u12/R12
i ′3 =u31/R31-u23/R23
i1 + i 2 + i 3 = 0
③
2
2 i31 1 i12
④
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1
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R2
3
自已补充:R 自已补充 4与1串,R3与2串,然 串 串然 后再并 i2
R4 R3 2
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2-5
电压源和电流源的串联和并联
＋
1、n个电压源串联：us=∑usk--------等效电压源 、 个电压源串联： 等效电压源 个电压源串联 ＋ － ＋ ○ ○ －○ us1 us2 usn。 。 注：正、负号取 。 。 。 2、n个电流源的并联： 个电流源的并联： 、 个电流源的并联 is1 is=is1+is2+…is=∑isk 。 。
αi
＋ uS － i ＋
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R1
R2 R3
us = − R2 αi + ( R2 + R3 )i1 − − − 1 us = R1 i2 − − − − − − − − − − − 2 i = i1 + i2 − − − − − − − − − − − 3 u s R1 R3 + ( 1 − α )R1 R2 求得R in = = i R1 + R2 + R3
1
i1 R11Biblioteka i′ 1R31 i2
3
3
R2 R3
2
i31 R23 （b） ）
R12 i12
2
i3
i ′3
i23
i ′2
（a） ） Y与△之间等效变换条件：1、流入对应端子的电流相等 与 之间等效变换条件： 、 i1= i ′ 1 *对外电路等效 对外电路等效 i2= i ′2 i3= i ′3
2、对应端子之间的电压相等： 、对应端子之间的电压相等： u12、u23、u31
2-3电阻的串联和并联 电阻的串联和并联 1、n个电阻的串联：特点：i同 、 个电阻的串联 特点： 同 个电阻的串联： u=u1+u2+…+un， 等效电阻： 等效电阻：R=u/i=R1+R2+…Rn 分压公式： 分压公式：uk=Rki=RK/Reg u 2、并联：u同，并联 、并联： 同 a中：i=i1+i2+ …+in 中 =G1u+G2u…+Gnu =（G1+G2…+Gn）u （ =Gegu Geg=i/u=G1+G2…+Gn=∑Gi -----等效电导 等效电导 等效电阻： 等效电阻：Reg=1/Geg i
－
us is
。
2-6实际电源的两种模型及等效变换 实际电源的两种模型及等效变换 1、实际电源的伏安特性： 、实际电源的伏安特性： 上升时， 下降 且不是线性的，但在一定范围成线性， 下降， 当i上升时，u下降，且不是线性的，但在一定范围成线性，延长 上升时 交于两点， 开路电压（ ）， ），i 短路电流（ 交于两点，uoc----开路电压（i=0）， sc-----短路电流（u=0） 开路电压 短路电流 ） i ＋ 开路电压 u uoc 实际电源 u0
i ′ =i12-i31 1
=u12/R12-u31/R31
∆形相邻电阻之积 R2 *：记忆方法：Y形电阻 形电阻= ：记忆方法： 形电阻 ∆形电阻之和 Y形电阻两两乘积之和 3 R4 ∆形电阻阻 = Y形不相邻电阻 i2 R3 特殊 若Y形中R 1 = R 2 = R 3则∆形中三个电阻也相等
1 R ∆ = 3 RY 或RY = R∆ 3
第二章
电阻电路的等效变换
2-1 电阻电路
电阻电路：构成电路的无源元件均为线性电阻， 电阻电路：构成电路的无源元件均为线性电阻，称为线性电阻电 简称电阻电路。 路，简称电阻电路。 2-2 电路的等效变换 对复杂电路进行分析和计算时， 对复杂电路进行分析和计算时，有时需要将某一部分用一个简单 的电路进行替代， 的电路进行替代， R 1 R 1 ＋ ＋ i i ＋ Us Us Reg u u － － 1`－ （a） ） 1` ） 上图a,1 右边的电路用b代替代 上图 –1`右边的电路用 代替代，使电路简化。 （b） 右边的电路用 代替代，使电路简化。 替代条件：a、b 1-1`右边具有相同的伏安特性，两图中的u和i相同 替代条件： 、 右边具有相同的伏安特性，两图中的 和 相同 右边具有相同的伏安特性 等效概念： 中 左边一切不变， 等效概念：a中1-1`左边一切不变，右边用 eg代替 左边一切不变 右边用R
*：is方向由us的“+”发出，当i=0时，1-1`端子处的电压为开路 方向由u 发出， i=0时 1`端子处的电压为开路 发出 电压， 电压，uoc，且uoc=us 当u=0时，1-1`端短路电流isc且isc=is且 u=0时 1`端短路电流i 端短路电流 UOC=RISC i ○＋ R iS
○
本章小结： 、 本章小结：1、等效变换概念 2、Y-△互换 、 △ 3、实际电压源与电 、 流源互换 4、输入电阻 、 作业： 、 、 、 、 、 、 、 作业：2-1、4、5、6、7、8、9、10
u
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*把受控源当作独立电源 把受控源当作独立电源 处理 *uc方向与 c 方向一致 方向与i
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R i
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－ －
uC
2-7输入电阻 输入电阻 （一端口） 一端口） 输入电阻：一个二端网络的两端子的电压u和电流 比值： 和电流i比值 输入电阻：一个二端网络的两端子的电压 和电流 比值：R in = u i *：二端网络内不含独立源，但可含受控源 ＋。 i ：二端网络内不含独立源， u *：从一端流入电流 从另一端流出的电流 －。 ：从一端流入电流=从另一端流出的电流 的方法：输入端1-1`加电压源（或电流源），求出 ，i 加电压源（ ），求出 求Rin的方法：输入端 加电压源 或电流源），求出u， u i
①
例：求桥形电路的总电阻R12 求桥形电路的总电阻R 解：将结点1、3、4内的 将结点 、 、 内的 形电路用Y形电路替代， 形电路用 形电路替代，得b 形电路替代 R2=2×2/（2+2+1）=4/5=0.8 × （ ） R3=1×2/5=2/5=0.4 × R4=1×2/5=2/5=0.4 × R12=0.8+16.8/19+1=2.684 ② 1 R12
＋
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i1
i2 R1 R2
－ ＋
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Reg
1` R3+R4串、与R2并、再与 1串 再与R 2-4 电阻的Y形连接和△ 电阻的 形连接和△形连接的等效变换 形连接和 Y连接：R1、R2、R3三个端连一起公共端，另分别接 、2、3形成 连接： 三个端连一起公共端，另分别接1、 、 形成 连接 一个Y 一个 △连接：在1、2、3之间连接一个电阻 连接： 、 、 之间连接一个电阻
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＋ 根据此伏安特性可用一个 电压源和一个R串联表示 电压源和一个 串联表示 一个实际电源
短路电流
R us
＋ －
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－ u=us-Ri （i上升，u下降）， 上升， 下降 下降）， 上升
u=us-Ri
（i上升，u下降）， 上升， 下降），
也可用一个电流源和一个R并联： 也可用一个电流源和一个R并联：i=is-1/Ru 令is=us/R 则 两式一样，这就是相互等效的条件， 电压源可用电流源替代， 两式一样，这就是相互等效的条件，即：电压源可用电流源替代， 反之也可
○
R us
＋ －
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例：已知us=12V，R=2 已知 ，
控制， ，ic受uR控制，且：ic=guR，g=2s求uR， 求
＋ ＋
的并联→电压 解：把ic与R的并联 电压 的并联 源和R串 源和 串 uc=Ric=2×2uR=4uR， × uR=Ri Ri+Ri+uc=us uR=us/6=12/6=2v uS
′ 因为 i1 = i1所以系数相等 1 R3 R R + R 2R 3 + R 3R 1 = → R12 = 1 2 R 12 R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R3 R R + R 2R 3 + R 3R 1 1 R1 = → R23 = 1 2 R23 R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R1 R2 R R + R 2R 3 + R 3R 1 1 = → R31 = 1 2 R31 R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R2 → Y形连接 ⇒ ∆ 连接公式 (R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 ) 2 将上述三式相加并右边 通分 R 12 + R 23 + R 31 = R 1R 2 R 3 Q R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 = R12 R3 = R31 R2 代入上式求 → R1同理可求 R2 R3 R1 = R12 R31 R12 + R23 + R31 R2 = R23 R12 R12 + R23 + R31 R3 = R31 R23 R12 + R23 + R31
＋ uS － i ＋
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u i
u
－
*：输入电阻就是等效电阻，但两者含义有所区别 ：输入电阻就是等效电阻， 输入电阻是就两端网络的两个端子的 而等效电阻指Reg等效一部分电路， 等效一部分电路， 而等效电阻指 等效一部分电路 但求的方法一样
例：求一端口Rin 求一端口 解：先将电流控制电流 αi 电流控制电压源
i1 =
对于Y： 对于 ：
u12 = R1 i1 − R2 i 2 }i 2 = u23 = R2 i 2 − R3 i 3 i 3 =
R3 R2 u u12 − R1 R2 | + R2 R3 + R3 R1 31 R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1
R3 R1 u23 − u12 R1 R2 | + R2 R3 + R3 R1 R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1 R1 R2 u31 − u23 R1 R2 | + R2 R3 + R3 R1 R 1R 2 + R 2 R 3 + R 3 R 1