河南省南阳一中2017-2018学年高考数学三模试卷(理科) Word版含解析

河南省南阳一中2017-2018学年高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）A．{1，2} B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1} D．R2．（5分）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（1﹣i）=2，则z为（）A．1+i B．1﹣i C．2+i D．2﹣i3．（5分）在如图所示的程序框图中，如果任意输入的t∈[﹣2，3]，那么输出的s取值范围是（）A．[﹣8，﹣1]B．[﹣10，0]C．[﹣10，6]D．（﹣6，6]4．（5分）如图是一个有底的容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是（）A．B． C．D．5．（5分）甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（）A．甲得9张，乙得3张B．甲得6张，乙得6张C．甲得8张，乙得4张D．甲得10张，乙得2张6．（5分）已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且，则数列{|log2a n|}前10项和为（）A．58 B．56 C．50 D．457．（5分）A和B是抛物线y2=8x上除去原点以外的两个动点，O是坐标原点且满足=0，=0，则支动点M的轨迹方程为（）A．x2+y2﹣8x=0 B．y=6x2C．x2+4y2=1 D．=18．（5分）设F1、F2是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点）且|PF1|=λ|PF2|，则λ的值为（）A．2B．C．3D．9．（5分）设z=若﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2，则z的最小值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．010．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，则的最小正周期是（）A．6πB．5πC．4πD．2π11．（5分）函数y=f（x），（x∈R）为奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）＜f（﹣x），若a=•f （），b=（lg3）•f（lg3），c=（log2）•f（log2），则a，b，c的大小顺序为（）A．a＜b＜c B．c＞b＞a C．c＜a＜b D．c＞a＞b12．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.13．（5分）设A=37+C35+C33+C3，B=C36+C34+C32+1，则A﹣B的值为．14．（5分）已知矩形A BCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．15．（5分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n﹣1（n∈N*）．若不等式对任意的n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．16．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，E在CD延长线上，且DE=CD．动点P从点A出发，沿正方形ABCD的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中=λ+μ，则下列正确的是．（填上所有正确的序号）①λ≥0，μ≥0；②当点P为AD中点时，λ+μ=1；③若λ+μ=2，则点P有且只有一个；④λ+μ的最大值为3；⑤•的最大值为1．三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a ﹣sinB）cos（A+B）=0．（1）求角C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．18．（12分）某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]芯片甲8 12 40 32 8芯片乙7 18 40 29 6（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．19．（12分）如图，在组合体中，ABCD﹣A1B1C1D1是一个长方体，P﹣ABCD是一个四棱锥．AB=2，BC=3，点P∈平面CC1D1D且．（Ⅰ）证明：PD⊥平面PBC；（Ⅱ）求PA与平面ABCD所成的角的正切值；（Ⅲ）若AA1=a，当a为何值时，PC∥平面AB1D．20．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：=1，设R（x0，y0）是椭圆C上任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，切点分别为P，Q．（1）若直线OP，OQ互相垂直，且R在第一象限，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0．21．（12分）函数f（x）=x2+mln（x+1）．（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（2）若m=﹣1，试比较当x∈（0，+∞）时，f（x）与x3的大小；（3）证明：对任意的正整数n，不等式e0+e﹣1×4+e﹣2×9+…+e＜成立．三.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题纸上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）已知AB是⊙O的直径，F为圆上一点，∠BAF的角平分线与圆交于点C，过点C作圆的切线与直线AF相交于点D，若AB=6，∠DAB=（1）证明：AD⊥CD；（2）求DF•DA的值及四边形ABCD的面积．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知⊙C的极坐标方程为：ρ2﹣4（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的圆心坐标，并选择合适的参数，写出圆C的参数方程；（Ⅱ）点P（x，y）在圆C上，试求u=xy的值域．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=，求x+y+z的值；（2）设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且∈A，∉A．求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．河南省南阳一中2015届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，则集合B可能是（）A．{1，2} B．{x|x≤1} C．{﹣1，0，1} D．R考点：交集及其运算．专题：计算题；集合．分析：由集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，得B⊆A，由此能求出结果．解答：解：∵集合A={x|x≥0}，且A∩B=B，∴B⊆A，观察备选答案中的4个选项，只有{1，2}⊆A．故选：A．点评：本题考查交集性质的应用，是基础题，解题时要认真审题．2．（5分）设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若（1﹣i）=2，则z为（）A．1+i B．1﹣i C．2+i D．2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：∵（1﹣i）=2，∴（1+i）（1﹣i）=2（1+i），∴=1+i，∴z=1﹣i，故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3．（5分）在如图所示的程序框图中，如果任意输入的t∈[﹣2，3]，那么输出的s取值范围是（）A．[﹣8，﹣1]B．[﹣10，0]C．[﹣10，6]D．（﹣6，6]考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出s=，分类讨论即可得解．解答：解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出s=，故：当t∈[﹣2，0），s=5t∈[﹣10，0），当t∈[0，3]，s=2t2﹣4t∈[﹣2，6]，综上可得输出的s取值范围是：[﹣10，6]．故选：C．点评：本题主要考查了程序框图和二次函数的性质，属于基本知识的考查．4．（5分）如图是一个有底的容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是（）A．B． C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：判断几何体的形状，根据几何体容器下面粗可得水面高度开始增加的慢，后来增加的快，上面细，然后上面先快后慢得出答案．解答：解：由三视图，可知几何体是下部是已改圆台，上部是与下部相同倒放的圆台，因为圆台下面粗，上面细，水面高度开始增加的慢，后来增加的快，然后上面先快后慢．函数的图象是B．故选：B．点评：本题考查了三视图与几何体的关系，函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．5．（5分）甲、乙两位同学各拿出六张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是（）A．甲得9张，乙得3张B．甲得6张，乙得6张C．甲得8张，乙得4张D．甲得10张，乙得2张考点：概率的意义．专题：概率与统计．分析：由题意知本题是一个古典概型试验发生的事件是投骰子，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）．其中甲获胜有3种，而乙只有1种，从而得到甲乙获胜的概率．解答：解：由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）．其中甲获胜有3种，而乙只有1种，所以甲获胜的概率是，乙获胜的概率是．所以甲得到的游戏牌为12×=9，乙得到圆心牌为12×=3；故选A点评：本题以实际问题为载体，考查概率的运用，解题的关键是分析再赛两局，甲、乙各自获胜的概率．6．（5分）已知{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且，则数列{|log2a n|}前10项和为（）A．58 B．56 C．50 D．45考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且，求出q，可得a n==27﹣2n，再求数列{|log2a n|}前10项和．解答：解：∵{a n}是首项为32的等比数列，S n是其前n项和，且，∴=，∴1+q3=，∴q=∴a n==27﹣2n，∴|log2a n|=|7﹣2n|，∴数列{|log2a n|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58，故选：A．点评：本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．7．（5分）A和B是抛物线y2=8x上除去原点以外的两个动点，O是坐标原点且满足=0，=0，则支动点M的轨迹方程为（）A．x2+y2﹣8x=0 B．y=6x2C．x2+4y2=1 D．=1考点：抛物线的简单性质．专题：综合题；直线与圆．分析：设出P，Q，M的坐标，由已知得到三点坐标的关系，然后分l的斜率存在和不存在分析，当斜率存在时，设出直线l的方程，和抛物线联立后结合根与系数的关系求得M的轨迹．解答：解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x，y），则x1•x2+y1•y2=0 ①，=﹣1②，当l垂直于x轴时，M（8，0），当l斜率存在时，由题意可知斜率k不会为0，设l AB：y=kx+b，代入抛物线方程可得k2x2+（2kb﹣8）x+b2=0，∴x1+x2=，x1•x2=，y1•y2=，∵x1•x2+y1•y2=0，∴+=0即k=﹣③，∵④，又∵点M满足y=kx+b ⑤，由③④⑤得：（x﹣4）2+y2=16，而M（4，0）满足上式，∴点M的轨迹方程为：（x﹣4）2+y2=16．即x2+y2﹣8x=0，故选：A．点评：本题考查了轨迹方程的求法，重点体现了舍而不求的解题思想方法，涉及直线与圆锥曲线关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，利用根与系数关系求解，是中档题．8．（5分）设F1、F2是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（O为坐标原点）且|PF1|=λ|PF2|，则λ的值为（）A．2B．C．3D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：设点P（，m），由=0解出m，根据双曲线的第二定义得e==，求出|PF2|的值，再利用第一定义求出|PF1|的值，即得λ值．解答：解：由题意得a=1，b=2，∴c=，F1（﹣，0），F2（，0），e=．设点P（，m），∵=（+，m）•（﹣，m）=1+﹣5+m2=0，m2=，m=±．由双曲线的第二定义得e==，∴|PF2|=2，∴|PF1|=2a+|PF2|=4，∴λ===2，故选A．点评：本题考查两个向量坐标形式的运算，双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．9．（5分）设z=若﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2，则z的最小值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0考点：不等关系与不等式．专题：数形结合．分析：先画出满足条件的可行域，再由题意分两种情况进行求解，根据目标函数对应的直线的斜率求出z的最小值，最后取z的最小值．解答：解：由题意画出﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2的平面区域，当z=x﹣y时，y=x﹣z，又因为x≥2y，所以可行域为上图中正方形且在直线x﹣2y=0的下方部分，且包括边界，故当直线经过点A时，z取到最小值，由于A（﹣2，﹣1），故z的最小值为﹣1；当z=y时，又因为x＜2y，所以可行域为上图中正方形且在直线x﹣2y=0的上方部分，但不包括边界，本来当直线经过点A时，但是取不到A，故z＞﹣1；综上得，z的最小值为﹣1．故选C．点评：本题考查了简单的线性规划问题，根据不等式正确画出可行域，再由目标函数的斜率大小求出最值．10．（5分）已知函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义在[a﹣1，2a]上的偶函数，则的最小正周期是（）A．6πB．5πC．4πD．2π考点：函数奇偶性的性质．分析：由偶函数的定义域关于原点对称求出a的值，由偶函数的定义f（x）=f（﹣x），求出b的值，将a，b代入函数，求出ω，从而求出最小正周期．解答：解：∵函数f（x）=ax2+bx+3a+b是定义在[a﹣1，2a]的偶函数，∴a﹣1+2a=0，解得a=，由f（x）=f（﹣x）得，b=0，∴=2cos（x﹣），∴T==6π，故选：A．点评：本题考查了偶函数定义的应用，考察三角函数问题，利用奇（偶）函数的定义域一定关于原点对称，这是容易忽视的地方．11．（5分）函数y=f（x），（x∈R）为奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，xf′（x）＜f（﹣x），若a=•f （），b=（lg3）•f（lg3），c=（log2）•f（log2），则a，b，c的大小顺序为（）A．a＜b＜c B．c＞b＞a C．c＜a＜b D．c＞a＞b考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：令g（x）=xf（x），根据当x∈（0，+∞）时，xf′（x）＜f（﹣x），函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，可得g′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，即函数g（x）在x∈（0，+∞）时单调递减．解答：解：令g（x）=xf（x），∵当x∈（0，+∞）时，xf′（x）＜f（﹣x），函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴可以化为xf′（x）+f（x）＜0，∴g′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，∴函数g（x）在x∈（0，+∞）时单调递减．∵＞lg3＞log2，∴c＞b＞a．故选：B．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12．（5分）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m．则实数m的取值范围为（）A．[﹣2，2]B．[2，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，2]∪[2，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：令g（x）=f（x）﹣x2，由g（﹣x）+g（x）=0，可得函数g（x）为奇函数．利用导数可得函数g（x）在R上是减函数，f（4﹣m）﹣f（m）≥8﹣4m，即g（4﹣m）≥g（m），可得4﹣m≤m，由此解得a的范围．解答：解：令g（x）=f（x）﹣x2，∵g（﹣x）+g（x）=f（﹣x）﹣x2+f（x）﹣x2=0，∴函数g（x）为奇函数．∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x＜0，故函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，故函数g（x）在（﹣∞，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数，∴f（4﹣m）﹣f（m）=g（4﹣m）+（4﹣m）2﹣g（m）﹣m2=g（4﹣m）﹣g（m）+8﹣4m≥8﹣4m，∴g（4﹣m）≥g（m），∴4﹣m≤m，解得：m≥2，故选：B．点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分.13．（5分）设A=37+C35+C33+C3，B=C36+C34+C32+1，则A﹣B的值为128．考点：组合及组合数公式．专题：排列组合；二项式定理．分析：构造二项式，分别取x=1和x=﹣1得两等式，分别作和作差求得A，B的值，则答案可求．解答：解：∵，取x=1，得47=37+C36+C35+C34+C33+C32+C3+1，取x=﹣1，得27=37﹣C36+C35﹣C34+C33﹣C32+C3﹣1，两式作和得37+C35+C33+C3=8256，两式作差得C36+C34+C32+1=8128，∴A﹣B=8256﹣8128=128．故答案为：128．点评：本题考查了组合及组合数公式，考查了二项式系数的性质，是中档题．14．（5分）已知矩形A BCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为13π．考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积．解答：解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，正六棱柱的体积V==≤=，当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为=，∴外接球的表面积为=13π．故答案为：13π．点评：本题考查外接球的表面积，考查基本不等式的运用，确定正六棱柱的外接球的半径是关键．15．（5分）已知数列{a n}是各项均不为0的等差数列，S n为其前n项和，且满足a n2=S2n﹣1（n∈N*）．若不等式对任意的n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围是．考点：数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析：由等差数列的性质结合已知递推式可得数列通项公式，把a n+1代入不等式，分n为偶数和奇数分离λ，然后由数列的单调性求得最值得λ的范围，最后取交集得答案．解答：解：∵数列{a n}是各项均不为0的等差数列，且a n2=S2n﹣1，∴，则a n=2n﹣1，当n为偶数时，由不等式得：，即，函数是增函数，当n=2时取得最小值﹣15，∴λ≤﹣15；当n为奇数时，由不等式得：，函数，当n=3时取得最小值为，即，∴．综上，λ的取值范围是．故答案为：．点评：本题考查数列的递推式，考查等差关系的确定，考查了数列的函数特性，是中档题．16．（5分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，E在CD延长线上，且DE=CD．动点P从点A出发，沿正方形ABCD的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中=λ+μ，则下列正确的是①②④⑤．（填上所有正确的序号）①λ≥0，μ≥0；②当点P为AD中点时，λ+μ=1；③若λ+μ=2，则点P有且只有一个；④λ+μ的最大值为3；⑤•的最大值为1．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，可以得到=λ+μ=（λ﹣μ，μ），然后根据相对应的条件加以判断即可．解答：解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图，则B（1，0），E（﹣1，1），∴=（1，0），（﹣1，1），∵=λ+μ，∴λ≥0，μ≥0；故①正确∴=λ+μ=（λ﹣μ，μ），当点P为AD中点时，∴=（0，），∴λ﹣μ=0，，故λ+μ=1；故②正确，当λ=μ=1时，=（0，1），此时点P与D重合，满足λ+μ=2，当λ=，μ=时，=（1，），此时P是BC的中点，满足λ+μ=2，故③错误当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，∴0≤λ≤1，0≤λ+μ≤1，当P∈BC时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，∴λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，∴μ≤λ≤μ+1，即1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，当P∈AD时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，综上，0≤λ+μ≤3，故④正确；•=（λ﹣μ，μ）•（﹣1，1）=﹣λ+2μ，有推理④的过程可知﹣λ+2μ的最大值为1，综上，正确的是①②④⑤．故答案：①②④⑤点评：本题考查向量加减的几何意义，涉及分类讨论以及反例的方法，是易错题．三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a ﹣sinB）cos（A+B）=0．（1）求角C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．考点：余弦定理．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）由三角函数恒等变换化简已知等式可得sinA=acosC，结合正弦定理，可得sinC=cosC，从而可求C．（2）由余弦定理整理可得a2+b2=1+ab，①，利用基本不等式aab≤②，由代入法，即可得到当且仅当a=b时取到等号，从而可求取得最大值时∠A，∠B的值．解答：解：（1）由cosBsinC+（a﹣sinB）cos（A+B）=0．可得cosBsinC﹣（a﹣sinB）cosC=0，即为sin（B+C）=acosC，即有sinA=acosC，∵==sinC，∴sinC=cosC，即tanC=1，∴C=；（2）∵a2+b2﹣c2=2abcosC，∴a2+b2=c2+2abcos=1+ab，①，∵ab≤②，∴②代入①可得：a2+b2≤1+（a2+b2），∴a2+b2≤2+，当且仅当a=b时取到等号，即取到最大值2+时，A=B=．点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．（12分）某工厂生产甲，乙两种芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品．现随机抽取这两种芯片各100件进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100]芯片甲8 12 40 32 8芯片乙7 18 40 29 6（I）试分别估计芯片甲，芯片乙为合格品的概率；（Ⅱ）生产一件芯片甲，若是合格品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件芯片乙，若是合格品可盈利50元，若是次品则亏损10元．在（I）的前提下，（i）记X为生产1件芯片甲和1件芯片乙所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元的概率．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：应用题．分析：（Ⅰ）分布求出甲乙芯片合格品的频数，然后代入等可能事件的概率即可求解（Ⅱ）（ⅰ）先判断随机变量X的所有取值情况有90，45，30，﹣15．，然后分布求解出每种情况下的概率，即可求解分布列及期望值（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5﹣n件．由题意，得50n﹣10（5﹣n）≥140，解不等式可求n，然后利用独立事件恰好发生k次的概率公式即可求解解答：解：（Ⅰ）芯片甲为合格品的概率约为，芯片乙为合格品的概率约为．…（3分）（Ⅱ）（ⅰ）随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15.；；；．所以，随机变量X的分布列为：X 90 45 30 ﹣15P．…（8分）（ⅱ）设生产的5件芯片乙中合格品n件，则次品有5﹣n件．依题意，得50n﹣10（5﹣n）≥140，解得．所以n=4，或n=5．设“生产5件芯片乙所获得的利润不少于140元”为事件A，则．…（12分）点评：本题主要考查了等可能事件的概率求解及离散型随机变量的分布列及数学期望值的求解，属于概率知识的简单综合19．（12分）如图，在组合体中，ABCD﹣A1B1C1D1是一个长方体，P﹣ABCD是一个四棱锥．AB=2，BC=3，点P∈平面CC1D1D且．（Ⅰ）证明：PD⊥平面PBC；（Ⅱ）求PA与平面ABCD所成的角的正切值；（Ⅲ）若AA1=a，当a为何值时，PC∥平面AB1D．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：方法一：（Ⅰ）证明PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC；（Ⅱ）过P点在平面CC1D1D作PE⊥CD于E，连接AE，可得∠PAE就是PA与平面ABCD 所成的角，从而可求PA与平面ABCD所成的角的正切值；（Ⅲ）当a=2时，PC∥平面AB1D，利用线面平行的判定可得结论；方法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，证明PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC；（Ⅱ）求得，平面ABCD的一个法向量为，利用向量的夹角公式，可求PA与平面ABCD所成的角的正切值；（Ⅲ）求得平面AB1D的一个法向量为，要使得PC∥平面AB1D，则要，从而可得结论．解答：方法一：（Ⅰ）证明：因为，CD=AB=2，所以△PCD为等腰直角三角形，所以PD⊥PC．…（1分）因为ABCD﹣A1B1C1D1是一个长方体，所以BC⊥面CC1D1D，而P∈平面CC1D1D，所以PD⊂面CC1D1D，所以BC⊥PD．（3分）因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，所以由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．…（4分）（Ⅱ）解：过P点在平面CC1D1D作PE⊥CD于E，连接AE．…（5分）因为面ABCD⊥面PCD，所以PE⊥面ABCD，所以∠PAE就是PA与平面ABCD所成的角．…（6分）因为PE=1，，所以．所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为．…（8分）（Ⅲ）解：当a=2时，PC∥平面AB1D．…（9分）当a=2时，四边形CC1D1D是一个正方形，所以∠C1DC=45°，而∠PDC=45°，所以∠PDC1=90°，所以C1D⊥PD．…（10分）而PC⊥PD，C1D与PC在同一个平面内，所以PC∥C1D．…（11分）而C1D⊂面AB1C1D，所以PC∥面AB1C1D，所以PC∥平面AB1D．…（12分）方法二：（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系，设棱长AA1=a，则有D（0，0，a），P（0，1，a+1），B（3，2，a），C（0，2，a）．…（2分）于是，，，所以，．…（3分）所以PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．…（4分）（Ⅱ）解：A（3，0，a），所以，而平面ABCD的一个法向量为．…（5分）所以．…（6分）所以PA与平面ABCD所成的角的正弦值为．…（7分）所以PA与平面ABCD所成的角的正切值为．…（8分）（Ⅲ）解：B1=（3，2，0），所以，．设平面AB1D的法向量为，则有，令z=2，可得平面AB1D的一个法向量为．…（10分）若要使得PC∥平面AB1D，则要，即，解得a=2．…（11分）所以当a=2时，PC∥平面AB1D．…（12分）点评：本题考查线面垂直，考查线面平行，线面角，考查空间向量知识的运用，属于中档题．20．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：=1，设R（x0，y0）是椭圆C上任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，切点分别为P，Q．（1）若直线OP，OQ互相垂直，且R在第一象限，求圆R的方程；（2）若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2+1=0．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由直线OP，OQ互相垂直，且与圆R相切，可得OR=4，再由R在椭圆上，满足椭圆方程，求得点R的坐标，即可得到圆R的方程；（2）运用直线和圆相切的条件：d=r，结合二次方程的韦达定理和点R满足椭圆方程，化简整理，即可得证．解答：解：（1）由题圆R的半径为，因为直线OP，OQ互相垂直，且与圆R相切，所以，即，①又R（x0，y0）在椭圆C上，所以，②由①②及R在第一象限，解得，所以圆R的方程为：；（2）证明：因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x均与圆R相切，所以，化简得，同理有，所以k1，k2是方程的两个不相等的实数根，所以．又因为R（x0，y0）在椭圆C上，所以，即，所以，即2k1k2+1=0．点评：本题考查椭圆的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，以及韦达定理的运用，考查运算化简能力，属于中档题．21．（12分）函数f（x）=x2+mln（x+1）．（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（2）若m=﹣1，试比较当x∈（0，+∞）时，f（x）与x3的大小；（3）证明：对任意的正整数n，不等式e0+e﹣1×4+e﹣2×9+…+e＜成立．考点：利用导数研究函数的单调性；不等式的证明．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：（1）分f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立两种情况；（2）令m=﹣1，通过求导，得g（x）=f（x）﹣x3在（0，+∞）上单调递减，从而得证；（3）由（2）可知x2﹣x3＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），变形为（x∈（0，+∞）），相加计算即可．解答：解：（1）根据题意，由=，可知f′（x）≥0或f′（x）≤0在（﹣1，+∞）上恒成立．下面分两种情况讨论：①当f′（x）=≥0在（﹣1，+∞）上恒成立时，有m≥在（﹣1，+∞）上恒成立，故m≥；②当f′（x）=≤0在（﹣1，+∞）上恒成立时，有m≤在（﹣1，+∞）上恒成立．∵在（﹣1，+∞）上没有最小值，∴不存在实数m使f′（x）＜0在（﹣1，+∞）上恒成立．综上所述，实数m的取值范围是[）；（2）当m=﹣1时，即函数f（x）=x2﹣ln（x+1）．令g（x）=f（x）﹣x3=﹣x3+x2﹣ln（x+1），则=，显然，当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为g（0）=0，所以当x∈（0，+∞）时，恒有g（x）＜g（0）=0，即f（x）﹣x3＜0恒成立，故当x∈（0，+∞）时，有f（x）＜x3．（3）由（2）可知x2﹣x3＜ln（x+1）（x∈（0，+∞）），所以，即（x∈（0，+∞）），当x取自然数时，有（n∈N*），所以e0+e﹣1×4+e﹣2×9+…+e＜（1+1）+（2+1）+（3+1）+…+（n+1）=1×n+1+2+3+4+…+n==．点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及函数单调区间等有关基础知识，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力．三.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题纸上把所选题目的题号涂黑.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）已知AB是⊙O的直径，F为圆上一点，∠BAF的角平分线与圆交于点C，过点C作圆的切线与直线AF相交于点D，若AB=6，∠DAB=（1）证明：AD⊥CD；（2）求DF•DA的值及四边形ABCD的面积．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）由AB是圆O的直径，可得∠ACB=．由于∠DAB=，AC平分∠DAB．利用角平分线的性质可得∠CAB=∠CAD=，可得∠ABC=．利用切线的性质可得∠ACD=∠ABC=．可得∠ADC=即可．（2）在Rt△ABC中，利用AB=6，∠ABC=，可得AC=ABsin=3．在Rt△ACD中，DC=AC•cos∠ACD．再利用切割线定理可得：DF•DA=DC2即可，再求四边形ABCD的面积．解答：（1）证明：如图所示．∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=．∵∠DAB=，AC平分∠DAB．∴∠CAB=∠CAD=，∴∠ABC=．∵DC与⊙O相切于点C，∴∠ACD=∠ABC=．∴∠CAD+∠ACD=．∴∠ADC=．∴AD⊥DC．（2）解：在Rt△ABC中，∵AB=6，∠ABC=．∴AC=ABsin=3．在Rt△ACD中，DC=AC•cos∠ACD=3×=．由切割线定理可得：DF•DA=DC2=．AF=cos30°•AC=，∴S四边形ABCD===．点评：本题2015届中考查了圆的性质、切线的性质、直角三角形的边角关系、角平分线的性质、切割线定理等基础知识与基本技能，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知⊙C的极坐标方程为：ρ2﹣4（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的圆心坐标，并选择合适的参数，写出圆C的参数方程；（Ⅱ）点P（x，y）在圆C上，试求u=xy的值域．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：取极点为直角坐标系中的原点，极轴为直角坐标系中的x轴，：ρ2﹣4展开化为ρ2﹣4ρsinθ﹣4ρcosθ+6=0，利用即可化为直角坐标方程．再利用圆的参数方程与三角函数的单调性即可得出．解答：解：取极点为直角坐标系中的原点，极轴为直角坐标系中的x轴，：ρ2﹣4展开化为ρ2﹣4ρsinθ﹣4ρcosθ+6=0，可得：x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，∴（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，圆C的圆心坐标为（2，2），半径为，（2）取旋转角α为参数，则圆C的参数方程为C：，∵，设，∴u=f（t）=﹣1+4=+1．∴1≤u≤9．∴u的值域为[1，9]．点评：本题考查了参数方程的应用、极坐标化为直角坐标方程、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）设x，y，z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=，求x+y+z的值；（2）设不等式|x﹣2|＜a（a∈N*）的解集为A，且∈A，∉A．求函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的最小值．考点：柯西不等式在函数极值中的应用．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）14=（x2+y2+z2）（1+4+9）=（x+2y+3z）2，结合柯西不等式，即可求x+y+z的值；。