完整版三角形全等的判定PPT课件

(1) 三个角 不能! (2) 三条边 SSS (3) 两边一角 ?
(4) 两角一边
继续探讨三角形全等的条件： 两边一角
思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边
与这一个角的位置上有几种可能性呢？
A
A
B
C
图一
在图一中， ∠A
是AB和AC的夹角，
符合图一的条件，它 可称为“两边夹角”。
B
图二
A
B
∴ △ABC ≌△DEC（SAS）．
∴ AB =DE
1 C
（全等三角形的对应边相等）．
2
E
D
例1 如图，点D 在AB上，点E 在AC上，BA =AC， ∠B =∠C．求证：AD =AE．
证明：在△ABE 和△ACD 中，
A
∠B =∠C，
AB =AC ，
∠A =∠A ，
∴ △ABE ≌△ACD（ASA）． D
C
符合图二的条件， 通常 说成“两边和其中一边的对角”
1.在下列图中找出全等三角形
30º
Ⅰ
Ⅱ
ⅢⅢ
ⅣⅣ
5 cm
30º
Ⅴ
Ⅵ
30º
Ⅶ
Ⅷ
探索边边角
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?
已知：AC=10cm,BC=8cm, ∠A=45 °.
C
△ABC的形状与大小是唯 一确定的吗?
10cm 8cm
=∠EAC．求证：AB =AC． A
证明： ∠DAC =∠EAB，
∠D =∠E， CD =BE，
D
E
∴ △ADC ≌△AEB（AAS）．
∴ AC =AB．
B
C
练习 如图，E，F 在线段AC上，AD∥CB，AE = CF．若∠B =∠D，求证：DF =BE．
证明：∵ AD∥CB ， ∴ ∠A =∠C. ∵ AE =CF ， ∴ AF =CE. 在△ADF 和△CBE 中,
几何语言：
A
D
E
F
题设
B 结论 C
全等三角形 的对应边相等对应角相等
∵∆ABC ≌∆DEF ∴
①AB=DE ④ ∠A= ∠D
② BC=EF ⑤ ∠B=∠E ③ CA=FD ⑥ ∠C= ∠F
把性质定理的题设和结论交换：
A
D
B 题设
CE
F
结论
对应边相等，对应角相等 的三角形。
是全等三角形
①AB=DE
D
C
AD =AD ，
∴ △ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
证明的书写步骤：
①准备条件：证全等时要用的条件要先证好； ②三角形全等书写三步骤：
写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论
注重书写格式
三步走： ①准备条件 ②摆齐条件 ③得结论
练习: 已知：如图，AB=AD，BC=DC，
(4) 两角一边 ?
3.角边角公理(ASA)：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等.简 写成“角边角”或“ASA ”
A
几何语言：
在△ABC 和△ A′B′ C′中，
B
∠A =∠A′
AB = A′B′
∠B =∠B′
∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（ASA）． B′
C A′
C′
4.角角边公理(AAS)：
求证：△ABC≌ △ADC
证明：在△ABC和△ADC中 A
AB=AD (已知 )
B
D
BC=DC (已知 )
AC= AC (公共边 )
∴ △ABC ≌ △ADC（SSS） C
如图，△ABC 和△EFD 中，AB =EF，AC =ED， 点B，D，C，F 在一条直线上.
（1）添加一个条件，由“SSS”判定△ABC≌△EFD；
∵ ② BC=EF
③ CA=FD
三角形全等的判定
④ ∠A= ∠D
⑤ ∠B=∠E ∴∆ABC ≌∆DEF
⑥ ∠C= ∠F
判定三角形全等是否需要这么条件？
A
D
B
CE
①AB=DE ② BC=EF
④ ∠A= ∠D ⑤ ∠B=∠E
F
③ CA=FD ⑥ ∠C= ∠F
思考：
1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△ DEF吗？
12.5 三角形全等的判定
初二（5、6）班
1、 什么叫全等三角形？
能够重合的两个三角形叫 全等三角形。
2、 已知△ABC ≌△ DEF，找出其中相等的边与角
A
D
①AB=DE ④ ∠A= ∠D
② BC=EF ⑤ ∠B=∠E
③ CA=FD ⑥ ∠C= ∠F
B
CE
F
全等三角形性质：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
Learning Is Not Over. I Hope You Will Continue To Work Hard
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
8cm
45°
A B
B′
探索边边角
C
10cm 8cm
8cm
45° A
显然： △ABC与△AB’C不全等
B
B′
SSA不存
知识梳理: 三角形全等判定方法1
三边对应相等的两个三角形全等（可以简写
为“边边边”或“SSS”）。
A
用符号语言表达为：
在△ABC和△ DEF中
B
C
AB=DE
D
BC=EF
CA=FD
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS） E
E
∴ AE =AD．
B
C
例2 如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD =BE，∠DAB
=∠EAC．求证：AB =AC． A
证明：∵ ∠DAB =∠EAC，
∴ ∠DAC =∠EAB. ∵ AE⊥BE，AD⊥DC，
D
E
∴ ∠D =∠E =90°.
在△ADC 和△AEB 中,
B
C
例2 如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD =BE，∠DAB
➢ 如果已知两组角相等，就试着去找一组边，利用“AAS”，“ASA” 来证明。
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全 等的条件.
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种 情况:
(1) 三个角 不能! (2) 三条边 SSS
(3) 两边一角 SAS
(4) 两角一边 ASA、AAS
除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全 等的条件.
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种 情况:
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢你的到来
学习并没有结束，希望大家继续努力
（2）在（1）的基础上，
F
求证：AB∥EF．
E
C
D A
B
2.边角边公理(SAS)：
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.简 写成“边角边”或“SAS ”
A
几何语言：
在△ABC 和△ A′B′ C′中，
B
AB = A′B′
∠A =∠A′
AC =A′C′
∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（SAS）． B′
C A′
C′
例. 如图，AC=BD，∠CAB= ∠DBA，你
能判断BC=AD吗？说明理由。
C
D
A
B
证明:在△ABC与△BAD中
AC=BD (已知)
∠CAB=∠DBA (已知)
AB=BA
(公共边)
∴△ABC≌△BAD（SAS）
∴BC=AD (全等三角形的对应边相等）
例 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，
(1) 三个角 不能! (2) 三条边 SSS
(3) 两边一角 SAS （HL）
(4) 两角一边 ASA、AAS
1.边边边公理(SSS)：
三边对应相等的两个三角形全等．简写为“边边 边”或“SSS”.
A
用符号语言表达:
在△ABC 与 △ A′B′C′中，
B
AB =A′B′ ∵ AC =A′C′
BC =B′C′
F
知识梳理: 三角形全等判定方法2
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
用符号语言表达为： 在△ABC与△DEF中
A
D
AC=DF ∠C=∠F BC=EF
CF
B
E
∴△ABC≌△DEF（SAS）
知识梳理:
A
AA A B
SSA不能 判定全等
BBB
CC
DD
B
C A
一个条件 ①一角； ②一边；
两个条件 ①两角； ②两边；
③一边一角。
结论：只给出一个或两个条件时，都不 能保证所画的三角形一定全等。
探索三角形全等的条件
3.如果满足三个条件，你能说出有 哪几种可能的情况？
①三角； ②三边；
③两边一角；
④两角一边。
⑴三个角
已知两个三角形的三个内角分别为30°， 60° ，90° 它们一定全等吗？
D
两边及一角对应相等的 两个三角形全等吗？
①两边及夹角对应相等的 两个三角形全等（SAS)；
②两边及其中一边的的对角对应相 等的两个三角形不一定全等．
③ 现在你知道哪些三角形全等的 判定方法？
SSS, SAS
4.“斜边、直角边”公理(HL)：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 简写为“斜边、直角边”或“HL”
A F
B
D
E C
练习 如图，E，F 在线段AC上，AD∥CB，AE = CF．若∠B =∠D，求证：DF =BE．
证明： ∠A =∠C，
∠D =∠B ，
A
AF =CE ，
F
∴ △ADF ≌△CBE（AAS）．
∴ DF =BE．
B
D
E C
如图，AB =CD，AE⊥BC，DF⊥BC， 垂足分别为E ，F，CE =BF．求证：AE =DF．
A
几何语言：
∵ 在Rt△ABC 和 Rt△A＇B＇C＇中，
AB =A＇B＇，
C
B
A＇
BC =B＇C＇，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△A＇B＇C＇（HL） ．
C＇
B＇
除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全 等的条件.
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种 情况:
(1) 三个角 不能! (2) 三条边 SSS (3) 两边一角 SAS
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形 全等.简写成“角角边”或“AAS ”
A
几何语言：
在△A=∠B′
AC= A′C′
∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（AAS）． B′
C A′
C′
除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全 等的条件.
当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种 情况:
4cm
4cm
6cm
6cm
结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.
②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:
30◦ 4cm
30◦ 4cm
结论:一条边一个角对应相等的两个三
角形不一定全等.
③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时
30◦ 45◦
30◦
45◦
结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.
∴ △ABC ≌△A′B′C′ （SSS）． B′
C A′
C′
例1.如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是 连接点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．
证明：∵ D 是BC 中点，
∴ BD =DC．
A
在△ABD 与△ACD 中，
AB =AC ，
∵ BD =CD ， B
可先在平地上取一个不经过池塘可以直接到达点A 和B
的点C，连接AC并延长至D，使CD =CA，连接BC 并延
长至E，使CE =CB，连接ED，那么量出DE的长就是A，
B的距离．为什么？
A
B
1
C
2
E
D
证明：在△ABC 和△DEC 中，
AC = DC（已知），
∠1 =∠2 （对顶角相等），
BC =EC（已知） ，
这说明有三个角对应相等的两个三角形 不一定全等
⑵三条边
已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、 6cm 。它们一定全等吗？
3cm
4cm
6cm
6cm 4cm
4cm 6cm
3cm
3cm
知识回顾
41范2为.5值..已9.已围边3如范知.知形三果围等三的角三。腰角。内形角三形角的形角的和。外的形两角三的边和边边长是分为，为别7外6、为、角857。，、和，则8求、三第2角a三+。形1边.则的的a周取的长值取
C
D
FE
A
B
A
如图,D是△ABC的BC边上的中点, DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F, 且DE=DF.
求证: △ABC是等腰三角形.
F
E
B
D
C
经验总结
三角形全等判定方法的灵活运用：
证明三角形全等时，一般需要3个条件：
➢ 如果已知两组边相等，就试着去找第三边或两边的夹角，利用 “SSS”，“SAS”来证明。
2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证 △ABC ≌△ DEF吗?
1.只给一个条件
1.只给一条边时；
3㎝ 3㎝
2.只给一个角时；
45◦
45◦
结论:只有一条边或一个角对应相等的 两个三角形不一定全等.
2.如果满足两个条件，你能说出 有哪几种可能的情况？
①两边； ②一边一角；
③两角。
①如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时