高中数学人教A版选修4-4第二讲 一 1. 参数方程的概念 课件
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[思路点拨] 此类问题关键是参数的选取．本例中由于 A、 B 的滑动而引起点 P 的运动，故可以 OB 的长为参数，或以角 为参数，不妨取 BP 与 x 轴正向夹角为参数来求解．
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
[ 解 ] (1) 把 点 M1 的 坐 标 (0,1) 代 入 方 程 组 ， 得 ： 0＝3t， 1＝2t2＋1.
解得：t＝0.∴点 M1 在曲线 C 上． 同理：可知点 M2 不在曲线 C 上． (2)∵点 M3(6，a)在曲线 C 上，∴6a＝ ＝32tt， 2＋1. 解得：t＝2，a＝9. ∴a＝9.
取 OB＝t，t 为参数(0＜t＜a)．
∵|OA|＝ a2－t2，
∴|BQ|＝ a2－t2.
∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝t＋ y＝t，
a2－t2，
(0＜t＜a)．
法二：设点 P 的坐标为(x，y)，过点 P
作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q，如图所示．
取∠QBP＝θ，θ 为参数0＜θ＜π2， 则∠ABO＝π2－θ.
∴x1＋x2＝k－2＋2k4，y1＋y2＝k2＋8 4.∴xy＝＝k－2＋4k24＋k. 4，
这就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹方程．
谢谢观看！
仅做学习交流，谢谢！
语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””
答案：A
二、填空题 5．已知曲线xy＝＝s2isninθ＋θ＋31， (θ为参数，0≤θ＜2π)．
下列各点A(1,3)，B(2,2)，C(－3,5)，其中在曲线上的点是 ________． 解析：将A点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B、C点坐 标代入方程，方程无解，故A点在曲线上． 答案：A(1,3)
6．下列各参数方程与方程xy＝1表示相同曲线的序号是 ________．
①xy＝＝－t2 t2
；②xy＝＝csisnc
t t
；③xy＝＝sceocs
t t
；④xy＝＝ctaont
t t
.
解析：普通方程中，x，y均为不等于0的实数，而①②③中 x的取值依次为：[0，＋∞)，[－1,1]，[－1,1]，故①②③均 不正确，而④中，x∈R，y∈R，且xy＝1，故④正确． 答案：④
解：∵点 M(5,4)在曲线 C 上， ∴54＝ ＝1a＋ t2，2t， 解得：ta＝＝21，. ∴a 的值为 1.
求曲线的参数方程
[例 2] 如图，△ABP 是等腰直角三 角形，∠B 是直角，腰长为 a，顶点 B、 A 分别在 x 轴、y 轴上滑动，求点 P 在第 一象限的轨迹的参数方程．
x＝2cos θ， y＝2sin θ，
又θ＝6π0·t，
故参数方程为：xy＝＝22scions66ππ00tt.，
一、选择题
1．下列方程可以作为x轴的参数方程是
()
x＝t2＋1 A.y＝0
x＝0 B.y＝3t＋1
x＝1＋sin θ C.y＝0
x＝4t＋1 D.y＝0
在 Rt△OAB 中，|OB|＝acosπ2－θ＝asin θ. 在 Rt△QBP 中，|BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ.
∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝asin θ＋cos θ， y＝asin θ.
θ为参数，0＜θ＜π2.
求曲线参数方程的主要步骤 第一步，画出轨迹草图，设 M(x，y)是轨迹上任意一点的 坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现 变量之间的关系． 第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点： 一是曲线上每一点的坐标 x，y 与参数的关系比较明显，容易 列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研 究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常 选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的 倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的 物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明 可以省略．
3．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角
速度为
π 60
rad/s，试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的
参数方程．
解：如图，运动开始时质点位于点A处，此时t＝0，设动点 M(x，y)对应时刻t，由图可知：
x＝sin y＝cos
θ， 2θ
(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标
为
()
A．(2，－7)
B．(13，23)
C．(12，12)
D．(1,0)
解析：将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲 线上，经检验，知C满足条件．
答案：C
4．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆
10．试确定过M(0,1)作椭圆x2＋y42＝1的弦的中点的轨迹方程．
解：设过M(0,1)的弦所在的直线方程为y＝kx＋1，其与椭圆 的交点为(x1，y1)和(x2，y2)． 设中点P(x，y)，则有：x＝x1＋2 x2，y＝y1＋2 y2.
y＝kx＋1， 由x2＋y42＝1
得：(k2＋4)y2－8y＋4－4k2＝0.
一Hale Waihona Puke 理解教材新知1.
第 二
参 把握热点考向 数
讲方
程
的 应用创新演练
概
念
考点一 考点二
一
曲线的参数方程
1．参数方程的概念
1．参数方程的概念 在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标 x，y 都是某个
变数 t(θ，φ，…)的函数：xy＝＝gftt ①，并且对于每一个 t 的允
许值，方程组①所确定的点(x，y)_都__在__这__条__曲__线__上___，那么方 程组①就叫这条曲线的__参__数__方___程___，t 叫做_参__数___，相对于参 数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫___普__通__方__程__．___
三、解答题
8．已知动圆x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0(a，b是正常数， 且a≠b，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．
解：设P(x，y)为所求轨迹上任一点． 由x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0得： (x－acos θ)2＋(y－bsin θ)2＝a2cos2θ＋b2sin2θ
2．参数的意义 _参__数___是联系变数 x，y 的桥梁，可以是有_物__理___意义或 _几__何___意义的变数，也可以是___没__有__明_显__实__际__意__义_____的变数．
参数方程表示的曲线上的点 [例 1] 已知曲线 C 的参数方程是xy＝＝23tt2＋1 (t 为参数)． (1)判断点 M1(0,1)，M2(5,4)与曲线 C 的位置关系． (2)已知点 M3(6，a)在曲线 C 上，求 a 的值． [思路点拨] 由参数方程的概念，只需判断对应于点的参 数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲线上．
7．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为 9和12，运动开始时，点M位于A(1,1)，则点M的参数方程为 ________________________．
解析：设M(x，y)， 则在x轴上的位移为：x＝1＋9t， 在y轴上的位移为y＝1＋12t. ∴参数方程为：xy＝＝11＋＋192t，t. . 答案：xy＝＝11＋＋192t t
的圆心的轨迹方程为
()
x＝2t A.y＝t
x＝－2t B.y＝t
x＝2t C.y＝－t
x＝－2t D.y＝－t
解析：设(x，y)为所求轨迹上任一点． 由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得：(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.
∴xy＝＝t2t .
[解] 法一：设 P 点的坐标为(x，y)，过
P 点作 x 轴的垂线交 x 轴于 Q.如图所示，则 Rt△OAB≌Rt△QBP.
∴xy＝＝bascions
θ， θ.
这就是所求的轨迹方程．
9．如图所示，OA是圆C的直径，且OA＝2a， 射线OB与圆交于Q点，和经过A点的切线 交于B点，作PQ⊥OA，PB∥OA，试求点P 的轨迹方程．
解：设 P(x，y)是轨迹上任意一点，取∠DOQ＝θ， 由 PQ⊥OA，PB∥OA，得 x＝OD＝OQcosθ＝OAcos2θ＝ 2acos2θ，y＝AB＝OAtan θ＝2atan θ. 所以 P 点轨迹的参数方程为xy＝＝22aatcaons2θθ，， θ∈－π2，π2.
解析：x轴上的点横坐标可取任意实数，纵坐标为0.
答案：D
2．若点P(4，a)在曲线x＝2t ， (t为参数)上，则a等于(
)
y＝2 t
A．4
B．4 2
C．8
D．1
解析：根据题意，将点P坐标代入曲线方程中得
4＝2t ， a＝2 t
⇒ta＝＝84，2.
答案：B
3．在方程
参数方程是曲线方程的另一种表达形式，点与曲线 位置关系的判断，与平面直角坐标方程下的判断方法是 一致的．
1．已知点 M(2，－2)在曲线 C：x＝t＋1t ， (t 为参数)上， y＝－2
则其对应的参数 t 的值为________． 解：由 t＋1t ＝2 知 t＝1. 答案：1
2．已知某条曲线 C 的参数方程为xy＝＝a1t＋2 2t， (其中 t 为参数， a∈R)．点 M(5,4)在该曲线上，求常数 a.
[ 解 ] (1) 把 点 M1 的 坐 标 (0,1) 代 入 方 程 组 ， 得 ： 0＝3t， 1＝2t2＋1.
解得：t＝0.∴点 M1 在曲线 C 上． 同理：可知点 M2 不在曲线 C 上． (2)∵点 M3(6，a)在曲线 C 上，∴6a＝ ＝32tt， 2＋1. 解得：t＝2，a＝9. ∴a＝9.
取 OB＝t，t 为参数(0＜t＜a)．
∵|OA|＝ a2－t2，
∴|BQ|＝ a2－t2.
∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝t＋ y＝t，
a2－t2，
(0＜t＜a)．
法二：设点 P 的坐标为(x，y)，过点 P
作 x 轴的垂线交 x 轴于点 Q，如图所示．
取∠QBP＝θ，θ 为参数0＜θ＜π2， 则∠ABO＝π2－θ.
∴x1＋x2＝k－2＋2k4，y1＋y2＝k2＋8 4.∴xy＝＝k－2＋4k24＋k. 4，
这就是以动弦斜率k为参数的动弦中点的轨迹方程．
谢谢观看！
仅做学习交流，谢谢！
语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””
答案：A
二、填空题 5．已知曲线xy＝＝s2isninθ＋θ＋31， (θ为参数，0≤θ＜2π)．
下列各点A(1,3)，B(2,2)，C(－3,5)，其中在曲线上的点是 ________． 解析：将A点坐标代入方程得：θ＝0或π，将B、C点坐 标代入方程，方程无解，故A点在曲线上． 答案：A(1,3)
6．下列各参数方程与方程xy＝1表示相同曲线的序号是 ________．
①xy＝＝－t2 t2
；②xy＝＝csisnc
t t
；③xy＝＝sceocs
t t
；④xy＝＝ctaont
t t
.
解析：普通方程中，x，y均为不等于0的实数，而①②③中 x的取值依次为：[0，＋∞)，[－1,1]，[－1,1]，故①②③均 不正确，而④中，x∈R，y∈R，且xy＝1，故④正确． 答案：④
解：∵点 M(5,4)在曲线 C 上， ∴54＝ ＝1a＋ t2，2t， 解得：ta＝＝21，. ∴a 的值为 1.
求曲线的参数方程
[例 2] 如图，△ABP 是等腰直角三 角形，∠B 是直角，腰长为 a，顶点 B、 A 分别在 x 轴、y 轴上滑动，求点 P 在第 一象限的轨迹的参数方程．
x＝2cos θ， y＝2sin θ，
又θ＝6π0·t，
故参数方程为：xy＝＝22scions66ππ00tt.，
一、选择题
1．下列方程可以作为x轴的参数方程是
()
x＝t2＋1 A.y＝0
x＝0 B.y＝3t＋1
x＝1＋sin θ C.y＝0
x＝4t＋1 D.y＝0
在 Rt△OAB 中，|OB|＝acosπ2－θ＝asin θ. 在 Rt△QBP 中，|BQ|＝acos θ，|PQ|＝asin θ.
∴点 P 在第一象限的轨迹的参数方程为
x＝asin θ＋cos θ， y＝asin θ.
θ为参数，0＜θ＜π2.
求曲线参数方程的主要步骤 第一步，画出轨迹草图，设 M(x，y)是轨迹上任意一点的 坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现 变量之间的关系． 第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点： 一是曲线上每一点的坐标 x，y 与参数的关系比较明显，容易 列出方程；二是 x，y 的值可以由参数唯一确定．例如，在研 究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常 选旋转角为参数．此外，离某一定点的“有向距离”、直线的 倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数．
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的 物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明 可以省略．
3．设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角
速度为
π 60
rad/s，试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的
参数方程．
解：如图，运动开始时质点位于点A处，此时t＝0，设动点 M(x，y)对应时刻t，由图可知：
x＝sin y＝cos
θ， 2θ
(θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标
为
()
A．(2，－7)
B．(13，23)
C．(12，12)
D．(1,0)
解析：将点的坐标代入参数方程，若能求出θ，则点在曲 线上，经检验，知C满足条件．
答案：C
4．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆
10．试确定过M(0,1)作椭圆x2＋y42＝1的弦的中点的轨迹方程．
解：设过M(0,1)的弦所在的直线方程为y＝kx＋1，其与椭圆 的交点为(x1，y1)和(x2，y2)． 设中点P(x，y)，则有：x＝x1＋2 x2，y＝y1＋2 y2.
y＝kx＋1， 由x2＋y42＝1
得：(k2＋4)y2－8y＋4－4k2＝0.
一Hale Waihona Puke 理解教材新知1.
第 二
参 把握热点考向 数
讲方
程
的 应用创新演练
概
念
考点一 考点二
一
曲线的参数方程
1．参数方程的概念
1．参数方程的概念 在平面直角坐标系中，曲线上任一点的坐标 x，y 都是某个
变数 t(θ，φ，…)的函数：xy＝＝gftt ①，并且对于每一个 t 的允
许值，方程组①所确定的点(x，y)_都__在__这__条__曲__线__上___，那么方 程组①就叫这条曲线的__参__数__方___程___，t 叫做_参__数___，相对于参 数方程而言，直接给出坐标间关系的方程叫___普__通__方__程__．___
三、解答题
8．已知动圆x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0(a，b是正常数， 且a≠b，θ为参数)，求圆心的轨迹方程．
解：设P(x，y)为所求轨迹上任一点． 由x2＋y2－2axcos θ－2bysin θ＝0得： (x－acos θ)2＋(y－bsin θ)2＝a2cos2θ＋b2sin2θ
2．参数的意义 _参__数___是联系变数 x，y 的桥梁，可以是有_物__理___意义或 _几__何___意义的变数，也可以是___没__有__明_显__实__际__意__义_____的变数．
参数方程表示的曲线上的点 [例 1] 已知曲线 C 的参数方程是xy＝＝23tt2＋1 (t 为参数)． (1)判断点 M1(0,1)，M2(5,4)与曲线 C 的位置关系． (2)已知点 M3(6，a)在曲线 C 上，求 a 的值． [思路点拨] 由参数方程的概念，只需判断对应于点的参 数是否存在即可，若存在，说明点在曲线上，否则不在曲线上．
7．动点M作匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为 9和12，运动开始时，点M位于A(1,1)，则点M的参数方程为 ________________________．
解析：设M(x，y)， 则在x轴上的位移为：x＝1＋9t， 在y轴上的位移为y＝1＋12t. ∴参数方程为：xy＝＝11＋＋192t，t. . 答案：xy＝＝11＋＋192t t
的圆心的轨迹方程为
()
x＝2t A.y＝t
x＝－2t B.y＝t
x＝2t C.y＝－t
x＝－2t D.y＝－t
解析：设(x，y)为所求轨迹上任一点． 由x2＋y2－4tx－2ty＋3t2－4＝0得：(x－2t)2＋(y－t)2＝4＋2t2.
∴xy＝＝t2t .