2020年第十五届“无悔金杯”少年数学邀请赛总决赛试卷(二组二试)

（二组二试）
一、填空题（共3题，每题10分）
1．（10分）不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2的x应满足的条件是．
2．（10分）一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举旗，2人护旗．则n最小等于．
3．（10分）自△ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，BD，CD，CE，AE为直径分别向外作半圆．如图所示这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5，S6，若S5﹣S6＝2，S1﹣S2＝1，那么S4﹣S3＝．
二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）
4．（10分）扑克牌中的J，Q，K分别看成11，12，13点，从1到13点的13张扑克牌中至多挑出几张牌，使得没有2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和？5．（10分）将1，2，3，…，37，这37个不同的自然数重新排成一行，记作a1，a2，…，a37，其中a1＝37，a2＝1，并使得a1+a2+…+a k能被a k+1整除（k＝1，2，…，36），求a3＝？a37＝？
6．（10分）汽车队去往受灾群众安置点运送物资，每辆汽车载重量为10吨，若每个帐篷分配1.5吨物资，则余下不足一车物资：若每个帐篷分配1.6吨物资，则尚差2车多的物资．问：这个安置点最少有多少顶帐篷？
试卷（二组二试）
参考答案与试题解析
一、填空题（共3题，每题10分）
1．（10分）不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2的x应满足的条件是x≤．【分析】按题意，即：求|x+2|﹣|x﹣1|≤2的解，可以分情况讨论，分三种情况：x＜﹣2；x＞1；﹣2≤x≤1故可以去掉绝对值，再求解．
【解答】解：根据分析，即：求|x+2|﹣|x﹣1|≤2的解，先去绝对值，分三种情况：①x＜﹣2时，x+2＜0；x﹣1＜0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2⇒﹣（x+2）﹣（1﹣x）≤2⇒﹣3
≤2，成立；∴x＜﹣2；
②x＞1时，x+2＞0；x﹣1＞0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2⇒x+2﹣（x﹣1）≤2⇒2+1≤2，（不
符合，舍去）；
③﹣2≤x≤1时，x+2≥0；x﹣1≤0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2⇒x+2﹣（1﹣x）≤2⇒2x+1≤2⇒x≤；∴﹣2≤x≤．
综上，x≤时，满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|≤2，即此时x不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2．故答案是：x≤．
2．（10分）一个8行n列的阵列队伍，如果排成若干个15行15列的方阵，还余下3人，一人举旗，2人护旗．则n最小等于141．
【分析】根据题干分析可得，这个方阵的人数是8的倍数，一个小方阵有15×15＝225人，设有k个方阵，那么8n＝225k+3，则225k+3应该是8的倍数，考虑除以8的余数，k最小为5，n最小为141．
【解答】解：设有k个方阵，那么8n＝225k+3，
当k＝1时，225+3＝228，不是8的倍数；不符合题意；
当k＝2时，225×2+3＝453，不是8的倍数，不符合题意；
当k＝3时，225×3+3＝678，不是8的倍数，不符合题意；
当k＝4时，225×4+3＝903，不是8的倍数，不符合题意；
当k＝5时，225×5+3＝1128，是1128÷8＝141；
答：k最小为5时，n最小为141．
故答案为：141．
3．（10分）自△ABC内一点P，分别向BC，CA，AB边引垂线，垂足依次为D，E，F，以AF，BF，BD，CD，CE，AE为直径分别向外作半圆．如图所示这六个半圆面积分别记为S1，S2，S3，S4，S5，S6，若S5﹣S6＝2，S1﹣S2＝1，那么S4﹣S3＝3．
【分析】解：如图，，连接AP、BP、CP，根据勾股定理，可得AP2﹣BP2＝AF2﹣BF2，BP2﹣CP2＝B黑豆网https://黑豆网涵盖电影，电视剧，综艺，动漫等在线观看资源！
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头号新闻网:头号新闻网为您及时提供科技、互联网等相关领域的新闻资讯D2﹣CD2，CP2﹣AP2＝CE2﹣EA2，所以AF2+BD2+CE2＝BF2+CD2+EA2；然后根据圆的面积公式，可得S1+S3+S5＝S2+S4+S6，所以S4﹣S3＝（S5﹣S6）+（S1﹣S2）＝2+1＝3，据此解答即可．
【解答】解：如图，，连接AP、BP、CP，
根据勾股定理，可得AP2＝AF2+FP2…①，BP2＝BF2+FP2…②，
①﹣②，可得AP2﹣BP2＝AF2﹣BF2…③，
同理，可得BP2﹣CP2＝BD2﹣CD2…④，
同理，可得CP2﹣AP2＝CE2﹣EA2…⑤，
③+④+⑤，可得AF2+BD2+CE2＝BF2+CD2+EA2，
所以（AF2+BD2+CE2）＝×（BF2+CD2+EA2），
因此S1+S3+S5＝S2+S4+S6，
所以S4﹣S3
＝（S5﹣S6）+（S1﹣S2）
＝2+1
＝3
故答案为：3．
二、解答题（共3题，每题10分，写出解答过程）
4．（10分）扑克牌中的J，Q，K分别看成11，12，13点，从1到13点的13张扑克牌中至多挑出几张牌，使得没有2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和？【分析】首先得到从1到13点的13张扑克牌中有1～12的差，进一步得到出现2a n＝a m+a l （m＞n＞l）至少有5组，相当于从21组中取出这5组，尚有16组，再根据抽屉原理即可求解．
【解答】解：设至少挑出n张牌，但是{1，2，3，5，8，13}中没有2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和，所以n≥6，
若n＝7，所取的7张牌，从小到大排列为：{a1，a2，…，a7}，任取2个a m和a n，
设a m＞a n，
则＝21个在1～12的差，这些差中
（1）不可能出现a m﹣a n＝a k﹣a n，
（2）若有a m﹣a n＝a n﹣a l，即2a n＝a m+a l（m＞n＞l），
则不能有m1≠m，l1≠l（m1＞n＞l1），使得2a n＝a m1+a l1，否则存在2对牌，其中一对牌的点数之和等于另一对牌的点数之和，
即对于同一个n，出现a m﹣a n＝a n﹣a l或2a n＝a m+a l（m＞n＞l）具有唯一性，
出现2a n＝a m+a l（m＞n＞l）至少有5组，相当于从21组中取出这5组，尚有16组，16个取值在1～12的差，必有两个相同．
5．（10分）将1，2，3，…，37，这37个不同的自然数重新排成一行，记作a1，a2，…，a37，其中a1＝37，a2＝1，并使得a1+a2+…+a k能被a k+1整除（k＝1，2，…，36），求a3＝？a37＝？
【分析】显然这37个数的总和是a37的倍数，所以总和37×19是a37的倍数，由此求出a37的值，对于a3，有38是a3的倍数，由此求出a3的值，解决问题．
【解答】解：这37个数的总和是a37的倍数，所以总和37×19是a37的倍数，所以a37＝19；
对于a3，a3可以整除a1+a2＝37+1＝38，所以38是a3的倍数，所以a3＝2．
6．（10分）汽车队去往受灾群众安置点运送物资，每辆汽车载重量为10吨，若每个帐篷分配1.5吨物资，则余下不足一车物资：若每个帐篷分配1.6吨物资，则尚差2车多的物资．问：这个安置点最少有多少顶帐篷？
【分析】题目里两种分配案所用车辆和安置点的帐篷数是一样的．故分别设它们为X、Y，根据题意列出相应的不等式组．在不等式组中先消元去掉Y，再求出所得关于X的不等式的解集，在X解集内取整数值代入原不等式组，求得Y的解集即可．
【解答】解：设所用车为X辆，帐篷为Y顶．据题意得：
去掉Y得：
解得：30＜X＜61
因求最少帐篷，所以车辆也应是最少的．故车辆X从取整数31开始试起，直到找出适合
所列原不等式组Y的值．
①把X＝31代入原不等式组，解得：
故：Y无解．
②把X＝32代入原不等式组解得：
故：Y最小值整数值为213
答：这个安置点最少有213顶帐篷．。