常用拉普拉斯变换及反变换

419
附录A 拉普拉斯变换及反变换
1.表A-1 拉氏变换的基本性质 齐次性
)()]([s aF t af L =
1
线性定理
叠加性
)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±
一般形式
=
−=][
′−ٛ−=−=−−−−=−∑1
1)1()1(1
22
2)()()0()()(0)0()(])([)0()(])
([
k k k k n
k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L M ）（ 2
微分定理
初始条件为0时
)(])([s F s dt
t f d L n n
n =
一般形式 }
}∑∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫==+−===+=++=+=n
k t n n k n n n n t t t dt t f s
s s F dt t f L s
dt t f s dt t f s s F dt t f L s
dt t f s s F dt t f L 10
102
2022
]))(([1
)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共L L M
3
积分定理
初始条件为0时
}
n
n
n s s F dt t f L )(]))(([=∫∫个
共L
4 延迟定理（或称t 域平移定理）
)
()](1)([s F e T t T t f L Ts
−=
−− 5 衰减定理（或称s 域平移定理）)(])([a s F e t f L at +=−
6 终值定理 )(lim )(lim 0
s sF t f s
t →∞
→=
7 初值定理 )(lim )(lim 0
s sF t f s t ∞
→→=
8 卷积定理
)()(])()([])()([210
210
21s F s F d t f t f L d f t f L t
t =−=−∫
∫
τττττ
420
2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z 变换表 序
号 拉氏变换E(s)
时间函数e(t) Z 变换E(z)
1 1
δ(t)
1
2 Ts e −−11
∑∞
=−=0)
()(n T nT t
t δδ 1−z z
3 s
1 )(1t 1
−z z 4
2
1s t
2
)1(−z Tz
5 3
1s 2
2
t
3
2
)
1(2)
1(−+z z z T
6 1
1+n s
!
n t n )(!)1(lim 0aT
n n n a e z z a n −→−∂∂− 7 a
s +1
at
e −
aT
e z z
−− 8 2)
(1a s + at
te
− 2
)
(aT aT e z Tze −−−
9 )
(a s s a +
at
e
−−1 )
)(1()1(aT aT e z z z e −−−−− 10 )
)((b s a s a
b ++− bt
at
e e
−−−
bT
aT e z z e z z −−−−
− 11 22
ωω+s
t ωsin 1cos 2sin 2
+−T z z T
z ωω
12 22
ω
+s s
t ωcos
1
cos 2)cos (2+−−T z z T z z ωω 13 2
2
)(ω
ω++a s t e
at
ωsin −
aT
aT aT e
T ze z T ze 22cos 2sin −−−+−ωω 14 2
2)(ω+++a s a s
t e at ωcos −
aT
aT aT
e T ze z T ze z 22
2cos 2cos −−−+−−ωω
15
a
T s ln )/1(1
−
T t a
/
a
z z −
421
3． 用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式
0111
111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==−
−−−L L （m n >） 式中系数
n n a
a
a a ,,...,,11
−，m m b b b b ,,,110−L 都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可
将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根
这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

个简单的部分分式之和的形式。

∑=−=−++−++−+−=n
i i
i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122
11
)(L L （F-1）（F-1） 式中，n s s s ,,,21L 是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：按下式计算：
)()(lim s
F s s c i s s i
i
−=→ （F-2）
或
i
s
s i
s A s B c =′=
)()
( （F-3）
式中，)(s A ′为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数）可求得原函数
[]⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−==∑=−−n
i i i s s c L s F L t f 11
1
)()(＝t
s n
i i
i e c −=∑
1 (F-4)
②
0)(=s A 有重根
设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为可写为
())
()()()
(11n r r
s s s s s s s B s F −−−=
+L
=
n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c −++−++−+−++−+−++−−L L L 1
1
111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；个单根；
[lim ds d (lim !1)
(ds d j j s = (lim )!1(1)
1(ds d r r s −=
−⎤
⎡
+−n i r r r r
r
s s c s s c s s c s s c s s c s s c 1
11
t r t r −⎢
⎡−+−1)!2()!1(。