高三数学一轮复习2-8 幂函数

2 (2)函数 y＝x7＝7 x2，定义域为 R，值域为[0，＋∞)．因为
2
11
函数的定义域关于原点对称，且 f(－x)＝(－x)7＝[(－x)2]7＝(x2)7
2
2
＝x7＝f(x)，所以函数 y＝x7是偶函数．在(－∞，0)上是减函数，
在(0，＋∞)上是增函数，其图像如图 2.
【答案】 (1)定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域(－∞，0)∪(0， ＋∞)，奇函数，减区间(－∞，0)，(0，＋∞)．
即 log219>log79>log89>1. 2
∵y＝12x在 R 上是减函数，
∴1>123>12π>0.又
log13<0， 2
综上：log2129>log79>log89>123>12π>log123.
【答案】 log2129>log79>log89>123>12π>log123
第8课时 幂函数及基本初等函数的 应用
…2019 考纲下载… 1．了解幂函数的概念．
1 2．结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x2的图像，了 解它们的变化情况． 请注意 从近几年的新课标高考试题来看，幂函数的内容要求较低， 只要求掌握简单幂函数的图像与性质．
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1.幂函数 (1)定义：形如 y＝xα (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)幂函数的图象比较
x∈(0，+∞）时，减 x∈（-∞，0)时，减
(1,1) (0,0)
(1,1) (0,0)
(1,1)
增
(1,1) (0,0)
幂函数的性质
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上有定义，并且图像都通过点 _(_1_，_1_)_．
(2)如果 α>0，那么幂函数的图像过原点，并且在区间[0，＋ ∞)上为__增__函_数___．
D．c<a<b
答案 A
42
2
12
解析 ∵a＝23＝43，b＝33，c＝253＝53，可得 b<a<c.
4．(2018·上海)已知 α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}，若 幂函数 f(x)＝xα 为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则 α＝________．
答案 －1 解析 ∵α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}， 幂函数 f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减， ∴a 是奇数，且 a<0， ∴a＝－1.故答案为：－1.
请做：题组层级快练 （十一）
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1 1．(2012·陕西)函数 y＝x3的图像是( )
答案 B 解析 函数图像上的特殊点(1，1)，故排除 A，D；由特殊点(8， 2)，(18，12)，可排除 C.故选 B.
2
3
2
2．(2013·安徽)设 a＝(35)5，b＝(25)5，c＝(25)5，则 a，b，c 的
大小关系是( )
【答案】 D
★状元笔记★ 涉及幂、指、对数大小比较的问题是高考的常见题型．
思考题 4 (1)(2019·陕西宝鸡中学期中)设 a＝20.1，b＝
ln52，c＝log3190，则 a，b，c 的大小关系是(
)
A．b>c>a
B．a>c>b
C．b>a>c
D．a>b>c
【解析】 ∵a＝20.1>20＝1；b＝ln52<lne＝1，∴0<b<1；c＝log3190 <log31＝0，∴a>b>c，故选 D.
3.幂函数 y＝x－1 及直线 y＝x，y＝1，x＝1
将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦
限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧(如图所
1 示)，那么幂函数 y＝x2的图像经过的“卦限”是
() A．④⑦
B．④⑧
C．③⑧
D．①⑤
答案 D 解析 对幂函数 y＝xα当 α∈(0，1)时，其图像在 x∈(0，1) 部分在直线 y＝x 上方，且图像过点(1，1)，当 x>1 时其图像在直 线 y＝x 下方，故经过第①⑤两个卦限．
(2)定义域为 R，值域[0，＋∞)，偶函数，减区间(－∞，0)， 增区间(0，＋∞)．
★状元笔记★ 关于幂函数 y＝xα的性质和图像问题，由于 α 的取值不同而 比较复杂，一般可从三方面考查： (1)α 的正负：α>0 时图像经过(0，0)点和(1，1)点，在第一象 限的部分“上升”；α<0 时图像不过(0，0)点，经过(1，1)点，在 第一象限的部分“下降”； (2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1 时曲线下凹，0<α<1 时曲 线上凸，α<0 时曲线下凹； (3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形 式，再根据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性．
【答案】 D
(2)当 0<x<1 时，下列不等式成立的是( )
A．(12)x＋1>(12)1－x
B．log(1＋x)(1－x)>1
C．0<1－x2<1
D．log(1－x)(1＋x)>0
【解析】 方法一：考查答案 A：
∵0<x<1，∴x＋1>1－x.
∴(12)x＋1<(12)1－x，故 A 不正确； 考查答案 B：
(3)如果 α<0，那么幂函数图像在区间(0，＋∞)上是_减__函__数_．在 第一象限内，当 x 从右边趋向于原点时，图像在 y 轴右方无限地 逼近 y 轴，当 x 趋向于＋∞时，图像在 x 轴上方无限地逼近 x 轴．
(4)当 α 为奇数时，幂函数为_奇__函__数__，当 α 为偶数时，幂函 数为__偶__函__数．
B．0 D．2
【解析】 ∵函数在(0，＋∞)上单调递减， ∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3. ∵m∈Z，∴m＝0，1，2.而当 m＝0 或 2 时，f(x)＝x－3 为奇 函数，当 m＝1 时，f(x)＝x－4 为偶函数．∴m＝1. 【答案】 C
★状元笔记★ (1)利用幂函数的奇偶性和单调性解决幂函数有关综合题，是 一类比较常见的综合问题，考这类问题通常借助幂函数的图像与 性质，并注意用分类讨论思想解决． (2)f(x)为奇函数⇔f(x)的图像关于原点对称； f(x)为偶函数⇔f(x)的图像关于 y 轴对称．
常见的幂函数的性质
解析式 y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝1x
1
y＝x 2
图象
定义域 值域
奇偶性
R
R
R [0，＋∞)
奇函数 偶 函数
R
R
奇函数
{x|x≠0} {y|y≠0} 奇 函数
[0，＋∞)
[0，＋∞) 非奇非偶 函数
单调性 过定点
增
(1,1) (0,0)
增 x∈［0，+∞）时,增
x∈（-∞，0]时，减
(3)(2019·湖南株洲联考)如图所示，在第一
象限内，矩形 ABCD 的三个顶点 A，B，C 分
1
别在函数
y＝log
2x，y＝x2，y＝( 2
23)x 的图像
上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点 A 的纵坐标是 2，则
点 D 的坐标是________．
【解析】
由
2＝log
2x 2
得点
A(12，2)，由
A．a>c>b
B．a>b>c
C．c>a>b
D．b>c>a
答案 A
2 解析 ∵y＝x5在 x>0 时是增函数，∴a>c，
又∵y＝(25)x 在 x>0 时是减函数，所以 c>b.
4
2
1
3．(2016·课标全国Ⅲ)已知 a＝23，b＝33，c＝253，则( )
A．b<a<c
B．a<b<c
C．b<c<a
1 2＝x2得点
B(4，
2)．因为( 23)4＝196，即点 C(4，196)，所以点 D 的坐标为(12，196)．
【答案】 (12，196)
(1)幂函数的图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第 四象限，是否在第二、三象限内出现，要看奇偶性；
(2)在(0，1)上幂函数中指数愈大，函数图像愈靠近 x 轴(简记 “指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像 越远离 x 轴．
∵0<x<1，∴1＋x>1，0<1－x<1.
∴log(1＋x)(1－x)<0，故 B 不正确；
考查答案 C：∵0<x<1，∴0<x2<1， ∴0<1－x2<1，故 C 正确； 考查答案 D：∵0<1－x<1，1＋x>1. ∴log(1－x)(1＋x)<0.故 D 不正确． 方法二：(特值法)取 x＝12，验证立得答案 C. 【答案】 C
比较下列各组数的大小．
11 (1)1.12，0.92，1；(2)(－
22)23，(－170)－23，(－1.1)43.
1
1
【解析】 (1)把 1 看作 12，考查幂函数 y＝x2，在(0，＋∞)
上它是增函数．
11 1 ∵0<0.9<1<1.1，∴0.92<12<1.12.
1
1
即 0.92<1<1.12.
2m＋1>m2＋m－1.
解 2m＋1≥0，得 m≥－12；
－ 解 m2＋m－1≥0，得 m≤
5－1 2或
m≥
5－1 2.
解2m＋1>m2＋m－1，得－1<m<2，
5－1 综上所述， 2 ≤m<2.
答案 D
思维升华
幂函数 y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图像如图所示，则实数 m 的值为( )
A．－1<m<3 C．1
1
1
(2)若(2m＋1)2 >(m2＋m－1) 2 ，则实数 m 的取值范围是( )
－A.－∞，来自5－1
2

B.

52－1，＋∞
C.(－1,2)
5－1
D.

2
，2
思维升华
解析答案
1
解析 因为函数 y＝x 2 的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，
2m＋1≥0， 所以不等式等价于m2＋m－1≥0，
授人以渔
题型一 幂函数的图像与性质 讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，并作 出函数的大致图像．
2 (1)f(x)＝x－5；(2)f(x)＝x7.
【解析】 (1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－ ∞，0)∪(0，＋∞)．
因为函数的定义域关于原点对称，且 f(－x)＝(－x)－5＝－x－5＝ －f(x)，所以函数 f(x)＝x－5 是奇函数．在(－∞，0)和(0，＋∞)上分 别是减函数，其图像如图 1.
(2)(－170)－23<(－ 22)23<(－1.1)43
★状元笔记★ 利用幂函数的单调性比较大小要注意以下几点 (1)将要比较的两个数都写成同一个函数的函数值的形式； (2)构造的幂函数，要分析其单调性； (3)注意两个函数值要在同一个单调区间上取到； (4)若直接不易比较大小，可构造中间值，间接比较其大小．
注意：1.幂函数y=xα在第一象限的图象特征 (1)指数大于1,在第一象限为抛物线型(下凸).
(2)指数等于1,在第一象限为上升的射线(去掉端点).
(3)指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型(上凸).
(4)指数等于0,在第一象限为水平的射线(去掉端点).
(5)指数小于0,在第一象限为双曲线型. 2.幂函数的单调性 (1)如果α＞0，幂函数y=xα在(0，+∞)上是增函数. (2)如果α＜0，幂函数y=xα在(0，+∞)上是减函数.
(2)在同一直角坐标系中，函数 f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax 的 图像可能是( )
【解析】 因为 a>0，所以 f(x)＝xa 在(0，＋∞)上是增函数， 故 A 错误；在 B 中，由 f(x)的图像知 a>1，由 g(x)的图像知 0<a<1， 矛盾，故 B 错误；在 C 中，由 f(x)的图像知 0<a<1，由 g(x)的图 像知 a>1，矛盾，故 C 错误；在 D 中，由 f(x)的图像知 0<a<1， 由 g(x)的图像知 0<a<1，相符，故选 D.
题型二 幂、指、对数函数的综合应用 (1)将下列各数按从大到小的顺序排列：log89，log79，log1
2 3，log2129，(12)3，(12)π .
【解析】 log219＝(－log29)2＝log229， 2
在同一坐标系内作出 y＝log8x，y＝log7x， y＝log2x 的图像如图所示，当 x＝9 时，由图 像知 log29>log79>log89>1＝log88，∴log229>log79>log89>1.
2
2
2
2
(2)因为(－ 22)3＝( 22)3，(－170)－23＝(－170)3＝(170)3，
4
2
2
(－1.1)3＝(1.12)3＝1.213.
2
幂函数
y＝x3在(0，＋∞)上是增函数，且170<
2 2 <1.21.
2
4
∴(－170)－23<(－ 22)3<(－1.1)3.
【答案】
1
1
(1)0.92<1<1.12