2023-2024学年福建省福州市八县(市)一中高二下学期期末联考数学试题+答案解析(附后)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年福建省福州市八县（市）一中高二下学期期末联考
数学试题
的。

1.已知集合，则
( )
A.
B.
C.
D.
2.下列说法正确的是( )A. 命题“，都有
”的否定是“
，使得
”
B. 函数的零点所在的一个区间是
C. 若不等式的解集为，则
D. “
”是“
”的充要条件
3.将6名志愿者分配到两个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个社区，每个社区至少分配两名志愿者，则有种分配方式.( )A. 35 B. 50
C. 60
D. 70
4.已知函数，则( )A. 函数在区间
上单调递减
B. 函数的图象关于直线对称
C. 若，但
，则
D. 函数
有且仅有两个零点
5.有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中不放回地任取3个，那么最多有1个是二等品的概率是( )A.
B.
C.
D.
6.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式.某公司员工小明上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑
共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是( )
A.
B.
C. D.
7.已知随机变量
，则
( )
A. B.
C. D. 2
8.已知，则
的最小值为( )
A.
B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下面结论正确的有( ) A. 若，且，则
B. 若，
且，则ab 有最小值1
C. 若，则
D. 若
，则
10.下列表达式中正确的是( )
A.
B.
的二项展开式中
项的系数等于15
C.
D.
11.下列说法正确的有( )
A. 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1
B. 独立性检验是在零假设
之下，如果出现一个与
相矛盾的小概率事件，就推断
不成立，且该推
断犯错误的概率不超过这个小概率 C. 已知一组样本数据
，根据这组数据的散点图分析y 与x 之间的具有线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点
处的残差为
D. 以模型
去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程
，则
的值分别是
和
12.设函数
的定义域为R ，为奇函数，
为偶函数，当时，，
则下列结论正确的是( )
A. B. 在上为减函数
C. 点是函数的一个对称中心
D. 方程仅有3个实数解
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知扇形的面积是，半径是2cm，则扇形的圆心角的弧度数是__________.
14.我校高二年级1600人参加了期中数学考试，若数学成绩，统计结果显示数学考试成绩在80分以上的人数为总人数的，则此次期中考试中数学成绩在80分到130分之间的学生有
__________人.
15.二项式的展开式中，末尾两项的系数之和为9，且二项式系数最大的一项的值为，则x 在内的值为__________.
16.__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题10分
已知函数
求的值；
求的最小正周期和单调递增区间.
18.本小题12分
计算下列各式的值.
；
若，求的值.
19.本小题12分
某校高二年级共有学生600名，将数学和语文期中检测成绩整理如表1：
表1
语文成绩
合计
数学成绩优秀不优秀
优秀123104227
不优秀111262373
合计234366600
表2
语文成绩
合计
数学成绩优秀不优秀
优秀511
不优秀719
合计131730
根据表1数据，从600名学生中随机选择一人做代表.
①求选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀的概率；
②在选到同学数学成绩优秀的条件下，求选到同学语文成绩优秀的概率.
从600名学生中获取容量为30的简单随机样本，样本数据整理如表2，请填写完整表2数据，并根据表2数据，依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
20.本小题12分
某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，为了解各种产品的比例，检测员从流水线上随机抽取100件产品进行检验，检验结果如下表所示：
产品类型医用普通口罩医用外科口罩医用防护口罩
样本数量件404020
已知三种产品中绑带式口罩的比例分别为，，若从该厂生产的口罩中任选一个，用频率估计概率，求选到绑带式口罩的概率；
从该流水线上随机抽取3件产品，记其中医用普通口罩的件数为X，用频率估计概率，求随机变量X的分布列和数学期望.
21.本小题12分
某工厂参加甲项目的工人有500人，平均每人每年创造利润10万元.现在从甲项目中调出x人参加乙项目
的工作，平均每人每年创造利润万元，甲项目余下的工人平均每人每年创造利润需要提高
若要保证甲项目余下的工人创造的年总利润不低于原来500名工人创造的年总利润，则最多调出多少
人参加乙项目工作？
在的条件下，当从甲项目调出的人数不超过总人数的时，甲项目余下工人创造的年总利润始终不
低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a的取值范围.
22.本小题12分
某企业拟对手机芯片进行科技升级，根据市场调研，得到科技升级投入亿元与科技升级直接收益亿
元的数据统计如下：
序号12345678910
x234691113151719
y13223142505658626365
根据表格中的数据，当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：
；当时，确定y与x满足的线性回归方程为
根据下列表格中的数据，比较当时，模型①、②的决定系数的大小，并选择拟合精度更高、
更可靠的模型；
回归模型模型①模型②
回归方程
附：刻画回归效果的决定系数
为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，比较根据市场调研科技升级投入13亿元直接收益与投入20亿元时科技升级实际收益的预测值的大小；
附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：
科技升级后，芯片的效率X大幅提高，经实际试验得X大致服从正态分布公司对科技升
级团队的奖励方案如下：若芯片的效率不超过，不予奖励；若芯片的效率超过，但不超过，
每部芯片奖励2元；若芯片的效率超过，每部芯片奖励4元，记Y为每部芯片获得的奖励额，求
精确到
附：若随机变量，，
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查交集运算，属于基础题.
根据对数函数的定义域求集合B，再结合交集运算求解.
【解答】
解：由题意可得：，
所以 .
故选：
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了全称命题的否定，零点存在性定理，一元二次不等式与一元二次方程根的关系，属于中档题.
根据全称命题的否定为特称命题可判断A，根据零点存在性定理可判断B，根据一元二次不等式与一元二次
方程根的关系即可判断C，根据分式不等式的解即可判断
【解答】
解：对于A，命题“，都有”的否定是“，使得”，故A错误，
对于B，由于和均为单调递增函数，故单调递增，
，由零点存在性定理可得在上有唯一的零点，故B正确，
对于C，若不等式的解集为，则是方程的两个根，
所以，故C错误，
对于D，由可得，故或，故能得到，但是不一定
得到，故“”是“”的充分不必要条件，故D错误，
故选：B
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分组分配问题，属于基础题.
分类讨论志愿者的人数分配情况，结合组合数运算求解.
【解答】
解：由题意可知：志愿者的人数分配有两种可能：和，
则相应的分配方式分别有种和种，
所以不同的分配方式共有种.
故选：
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查对数函数的单调性，考查函数的零点，考查函数的对称性，属于基础题.
画出的图象，数形结合得到ABD选项，不妨设，从而得到
，计算出 .
【解答】
解：，
画出的图象如下，
A选项，函数在区间上单调递减，A正确；
B选项，函数的图象不关于直线对称，B错误；
C
选项，若，但，不妨设，
则，即，
由于在上单调递增，
故，即，C错误；
D选项，由图象可知，函数有且仅有一个零点，D错误.
故选：A
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查超几何分布的概率计算，属于中档题.
分有1个是二等品和3个均为一等品两种情况进行求解，相加后得到答案.【解答】
解：当有1个是二等品时，概率为 ，
当3个均为一等品时，概率为 ，
故最多有1个是二等品的概率为 .故选：D 6.【答案】B 【解析】【分析】
本题考查条件概率的概念与计算，属于中档题.由条件概率求解即可.【解答】
解：记小明迟到为事件B ，小明自驾迟到为事件A ，
则
，
所以 .
故选：7.【答案】A 【解析】【分析】
本题考查二项分布的均值和均值的性质，属于中档题.
先求得 p ，然后求得 ，进而求得
.
【解答】
解：依题意， ，
解得
，所以
，所以
.
故选：A
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查两角和与差的正切公式和由基本不等式求最值或取值范围，属于较难题.
根据两角和的正切公式结合基本不等式运算求解.
【解答】
解：因为，则，
可得，即，
且，整理得，
又因为，当且仅当时，等号成立，
即，
整理得，
解得或舍去，
所以的最小值为 .
故选：
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查由基本不等式求最值或取值范围、利用不等式的基本性质判断不等关系和作差法、特殊值法，属于中档题.
对于AB，利用基本不等式分析判断即可，对于C，作差法分析判断，对于D，举例判断.
【解答】
解：对于A，因为，且，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以A正确，
对于B，因为，且，
所以，即，当且仅当时取等号，
所以ab有最大值1，所以B错误，
对于C，因为，所以
所以，
所以，所以C正确，
对于D，若，则满足，
而，则，所以D错误，
故选：
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查组合与组合数公式、指定项的系数与二项式系数，二项展开式及其通项，属于中档题.
根据组合数、排列数、二项式定理等知识即可确定正确答案.
【解答】
解：A选项，，所以A选项正确.
B选项，二项式展开式的通项公式为，
令，解得，所以项的系数为，B选项正确.
C选项，，所以C选项错误.
D选项，，所以D选项错误.
故选：AB
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查样本相关系数、独立性检验、残差与残差图和非线性回归分析，属于中档题.
对于A，根据相关系数的定义即可；对于B，根据独立性检验的定义即可；对于C，利用残差的计算公式即可；对于D，利用对数的公式，将进行转换即可.
【解答】
解：对于A，相关关系越强，相关系数r的绝对值越接近于1，故A错；
对于B，独立性检验是在零假设之下，如果出现一个与相矛盾的小概率事件，就推断不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率，故B正确；
对于C，当时，，残差：，故C正确；
对于D，，，即，
即故D正确.
故选：
12.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查函数单调性、奇偶性的综合应用，函数零点、方程的根的个数和余弦函数的对称轴、对称中心，属于较难题.
利用奇偶函数的定义分析、探讨函数的性质，并判断选项ABC；作出函数的部分图象，数形结合判断D作答.
【解答】
解：函数的定义域为R，由为奇函数，得，即，
由为偶函数，得，即，则，
即，于是，函数是周期为的周期函数，
当时，，
对于A，，A错误；
对于B，函数在上单调递增，由，知函数图象关于点对称，
则函数在上单调递增，即有函数在上单调递增，因此在上单调递增，B错误；
对于C，由及，得，即
，
因此函数图象关于点对称，C正确；
对于D，当时，，由函数图象关于点对称，
知当时，，则当时，，
由，知函数图象关于直线对称，则当时，，
于是当时，，而函数的周期是，因此函数在R上的值域为，
方程，即，因此的根即为函数与图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数与的部分图象，如图，
观察图象知，函数与图象在上有且只有3个公共点，
而当时，，即函数与图象在无公共点，
所以方程仅有3个实数解，D正确.
故选：CD
13.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查了扇形的面积公式，属于基础题.
由扇形的面积公式代入求解.
【解答】
解：由扇形的面积公式：，得，
故答案为：
14.【答案】640
【解析】【分析】
本题考查正态分布的计算，是基础题.
根据正态分布的对称性即可求解概率，进而可求人数.
【解答】
解：由于正态分布曲线的对称轴为105，故，
由题意可知，
根据对称性可得，
所以数学成绩在 80 分到 130 分之间的学生有，
故答案为： 640
15.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查二项式系数最大的项和二项式定理的应用，属于中档题.
根据二项展开式的通项公式结合二项式系数运算求解.
【解答】
解：因为的展开式的通项公式为，
令，可得；
令，可得；
由题意可得：，解得，
所以二项式系数最大的为第5项，则，
且，则，可得，
所以或 .
故答案为：或 .
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查裂项相消法求和，考查两角差的正弦公式，属于较难题.
先找到，再将原式带入，运算求解即可.
【解答】
解：因为
，
故原式
.
故答案为： .
17.【答案】解：
，
即，
所以 .
因为，
所以的最小正周期，
令，，解得，
所以的单调递增区间是 .
【解析】本题考查三角函数解析式的化简和正弦型函数的性质，属于基础题.
利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再代入计算可得；
由正弦函数的周期和单调性计算可得.
18.【答案】解：
因为，
所以，
因为，，
所以，，
则
【解析】本题主要考查对数式的化简求值，两角和与差的正弦公式，属于中档题.
利用对数的运算性质和分数指数幂的运算性质求解，
由求出的值，再由
化简计算即可.
19.【答案】解：记事件“选到同学数学成绩优秀”，记事件“选到同学语文成绩优秀”，
① .
② .
表2整理如下：
语文成绩
合计
数学成绩优秀不优秀
优秀6511
不优秀71219
合计131730
零假设：数学成绩与语文成绩无关联，
根据小概率值的独立性检检，没有充分证据推断不成立，即不能认为数学成绩和语文成绩有关
联，该推断犯错误的概率不超过
【解析】本题考查概率的计算和独立性检验，属于中档题.
①根据题意设出事件A，B，求解即可；②根据条件概率公式求解.
计算可得表2；根据公式计算，结合可得结论.
20.【答案】解：记事件分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，
则，且两两互斥，
由题意：，
记事件B为“选到绑带式口罩”，则，
所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为：
.
由题意知，，，
，，
，，
故X的分布列为：
X0123
P
.
【解析】本题考查全概率公式，二项分布的分布列和数学期望，属于中档题.
先找到每一种口罩被选到的概率，利用全概率公式求解.
由题可得，，即可求解.
21.【答案】解：设从甲项目调出x人参加乙项目工作，
由题意得：，
即，又，所以 .
即最多调出250人参加乙项目工作.
由题知，
乙项目工作的工人创造的年总利润为万元，
甲项目余下工人创造的年总利润为万元，
则，
所以，
即恒成立，
因为，函数在上单调递减，
所以 .
又，所以 .
【解析】本题考查用不等式表示不等关系、利用一元二次不等式解决实际问题和参数分离法，属于较难题.
根据已知条件列不等式，由此求得最多调出的人数；
根据“甲项目余下工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润”列不等式，分离常数a，根据函数的单调性求得a的取值范围.
22.【答案】解：由表格中的数据，，
所以，，则，
则模型②的相关指数大于模型①的相关指数，故回归模型②的拟合效果更好.
当时，由已知可得 .
，
因为，所以，，解得，
所以当时，y与x满足的线性回归方程为，
当时，根据市场调研科技升级投入 13 亿元直接收益 58 亿元.
当时，科技升级直接收益的预测值为亿元，
所以实际收益的预测值为亿元，
所以技术升级投入 20 亿元时，公司的实际收益更大.
，，
.
.
元
【解析】本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题.
比较两个模型决定系数R的大小，即可得出结论；
计算出当时，y关于x的回归方程，可求出当时，实际收益的预测值，再与市场调研科技升级投入 13 亿元直接收益比较大小，可得出结论；
根据原则计算出、的值，结合题意可求得的值.。