2020-2021学年重庆市开州区八年级(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年重庆市开州区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1.下列二次根式中，最简二次根式是()
B. √0.3
C. √3
D. √20
A. √1
3
2.下列各组数中，不是勾股数的是()
A. 5，12，13
B. 8，15，17
C. 3，4，5
D. 13，14，15
3.使√x+1有意义的x的取值范围是()
A. x>−1
B. x≥−1
C. x≠−1
D. x≤−1
4.已知在▱ABCD中，∠A=∠B+40°，则∠A的度数为()
A. 35°
B. 70°
C. 110°
D. 140°
5.在一次射击训练中，甲、乙两人各射击了10次，两人10次射击成绩的平均数都是
9.1环，方差分别是S甲2=1.3，S乙2=1.7，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩
稳定的描述正确的是()
A. 甲比乙稳定
B. 乙比甲稳定
C. 甲和乙一样稳定
D. 甲、乙稳定性没法对比
6.下列4个命题：
①对角线相等且互相平分的四边形是正方形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
其中正确的是()
A. ②③
B. ②
C. ①②④
D. ③④
7.估计√3(√6−√3)的值应在()
A. 0和1之间
B. 1和2之间
C. 2和3之间
D. 3和4之间
8.已知正比例函数y=kx，且y随x的增大而减少，则直线y=2x+k的图象是()
A. B. C. D.
9.小李骑车沿直线旅行，先前进了1000米，休息了一段时间，又原路返回800米，
再前进1200米，则他离起点的距离s与时间t的关系示意图是()
A. B.
C. D.
10.如图，AC=AD，BC=BD，则有()
A. AB垂直平分CD
B. CD垂直平分AB
C. AB与CD互相垂直平分
D. CD平分∠ACB
11.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC和AD上，把该矩形沿EF折叠，使
点B恰好落在边AD的点H处，∠CEH=60°，已知矩形ABCD的面积为36√3，FH= 2HD，则折痕EF的长为()
A. 3
B. 3√3
C. 6
D. 6√3
12.若数a使关于x的不等式组{3−2x≥a−2(3x−1)
2−x≥1−x
2
恰有3个整数解，且使关于y
的分式方程2
y−1+a
1−y
=3的解为整数，则符合条件的所有整数a的和为()
A. 2
B. 5
C. 7
D. 10
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13.一组数据是4，6，7，10，11共五个数，则这组数据的中位数是______ ．
14.环境空气质量问题已经成为人们日常生活所关心的重要问题，我国新修订的《环境
空气质量标准》中增加了PM2.5检测指标，“PM2.5”是指大气中危害健康的直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米即0.0000025米．用科学记数法表示
0.0000025为______ ．
15.将直线y=2x−3向上平移2个单位后的直线解析式______ ．
16.如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB=35°，
则∠DBE=______度．
17.如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=
16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于E，OF⊥
AD于F.则OE+OF=______．
18.某公司以A、B两种材料，利用不同的搭配方式推出了两款产品，其中，甲产品每
份含2克A、2克B；乙产品每份含2克A、1克B，甲乙两种产品每份成本价分别为A、B两种材料的成本之和，若甲产品每份成本为16元，公司在核算成本的时候把A、B两种材料单价看反了，实际成本比核算时的成本多760元，如果每天甲销量的4倍和乙销量的3倍之和不超过120份，那么公司每天的实际成本最多为______ 元.
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）
19.计算：(2+√3)0+(−1)2021−|√8−1|．
20.如图，直线AB//CD，点E在CD上，点O、点F在AB上，连接OE，过点F作FH⊥OE
于点H．
(1)尺规作图：作∠EOF的角平分线OG交CD于点G；(不写作法，保留作图痕迹，
并标明字母)
(2)在(1)的条件下，已知∠OFH=20°，求∠OGD的度数．
21.近日，我区中小学防溺水安全教育正式启动，某校积极响应并开展“防溺水安全知
识竞赛”活动，从八年级、九年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩进行统计整理如下：
九年级抽取的学生竞赛成绩：85，65，80，90，80，90，90，50，100，90．
八年级、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级平均数众数中位数
八年级817080
九年级82a b
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表中a=______ ，b=______ ；
(2)根据上述数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较
好？请说明理由(一条理由即可)；
(3)该校八年级的600名学生和九年级的700名学生参加了此次竞赛活动，请估计
这两个年级竞赛成绩达到90分及以上的学生人数是多少？
22.如图，一次函数y=kx+b的图象为直线l1，经过A(0,4)和D(4,0)两点；一次函数y=
x+1的图象为直线l2，与x轴交于点C；两直线l1，l2相交于点B．
(1)求k、b的值；
(2)求点B的坐标；
(3)求△ABC的面积．
23.如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥
BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连
接CF．
(1)求证：BF=2AE；
(2)若CD=3，求AD的长．
24.小明同学根据函数的学习经验，对函数y=|x−2|+|x+4|进行了探究，下面是他
的探究过程：
(1)已知当x=−4时，|x+4|=0；当x=2时，|x−2|=0，化简：
①当x<−4时，y=______ ；
②当−4≤x≤2时，y=______ ；
③当x>2时，y=______ ．
(2)在平面直角坐标系中画出y=|x−2|+|x+4|的图象，根据图象写出该函数的
一条性质：______ ．
(3)根据上面的探究解决下面问题：
已知P(a,0)是x轴上一动点，A(−4,6)，B(2,6)，则AP+BP的最小值是______ ．
25.从三位数m的各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个两
位数，我们把这六个两位数叫做数m的“生成数”.数m的“生成数”之和与22的
=6．
商记为G(m)，例如m=123，G(123)=12+13+21+23+31+32
22
(1)直接写出G(234)=______ ；并证明：对于任意的三位数n，G(n)为整数；
(2)数p，q是两个三位数，他们都有“生成数”，p=100a+40+b(1≤a≤9,1≤
b≤9且a≠b)，q=130+c(1≤c≤3)，规定：k=p
，若G(p)⋅G(q)=56，求k
q
的最大值．
26.已知：如图四边形ABCD是正方形，∠EAF=45°．
(1)如图1，若点E，F分别在边BC、CD上，延长线段CB至G，使得BG=DF，
若BE=4，BG=3，求EF的长；
(2)如图2，若点E，F分别在边CB、DC延长线上时，求证：EF=DF−BE；
(3)如图3，如果四边形ABCD不是正方形，但满足AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，
∠EAF=45°，且BC=8，DC=12，CF=6，请你直接写出BE的长．
答案和解析1.【答案】C
【解析】解：A、√1
3=√3
3
，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、√0.3=√3
10=√30
10
，被开方数含分母，不是最简二次根式；
C、√3，是最简二次根式；
D、√20=2√5，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
故选：C．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2.【答案】D
【解析】解：A.52+122=132，是勾股数，此选项不合题意；
B.82+152=172，是勾股数，此选项不合题意；
C.32+42=52，是勾股数，此选项不合题意；
D.132+142≠152，不是勾股数，此选项符合题意；
故选：D．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方．
此题主要考查了勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．注意：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2=c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查算术平方根有意义的条件，掌握算术平方根被开方数为非负数是解题的关键．
根据算术平方根的被开方数大于等于0，列式计算即可．
【解答】
解：由题意得：x +1≥0，
解得x ≥−1．
故选B ．
4.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD//BC ，
∴∠A +∠B =180°，
∵∠A −∠B =40°，
∴∠A =110°，
故选：C ．
根据平行四边形的性质可得对边平行，由平行线的性质即可求出∠A 的度数． 本题考查了平行四边形的性质：对边平行，解题的关键是熟记其性质．
5.【答案】A
【解析】解：∵S 甲2=1.3，S 乙2=1.7，
∴S 甲2<S 乙2，
∴甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定的是甲，
∴甲比乙稳定；
故选：A ．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布
比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
6.【答案】A
【解析】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故错误；
②有三个角是直角的四边形是矩形，正确；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确；
④一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，错误；
正确的有②③，
故选：A．
利用平行四边形及特殊的平行四边形的判定定理逐一判定后即可得到正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法，难度不大．
7.【答案】B
【解析】解：原式=√18−3，
因为√16<√18<√25，即4<√18<5，
所以1<√18−3<2，
即1<√3(√6−√3)<2，
故选：B．
计算得出√18−3，先估算√18的近似值，再估算√18−3的近似值．
本题考查无理数的估算，理解算术平方根的意义以及二次根式的计算是得出正确答案的前提．
8.【答案】D
【解析】解：∵正比例函数y=kx，且y随x的增大而减少，
∴k<0．
在直线y=2x+k中，
∵2>0，k<0，
∴函数图象经过一三四象限．
故选：D．
先根据正比例函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的图象与系数的关系即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：前进了1000米图象为一条线段，
休息了一段时间，离开起点的S不变，
又原路返回800米，离开起点的S变小，
再前进1200米，离开起点的S逐渐变大，
纵观各选项图象，只有C选项符合．
故选：C．
根据休息时，离开起点的S不变，返回时S变小，再前进时S逐渐变大得出函数图象，然后选择即可．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
10.【答案】A
【解析】解：∵AC=AD，BC=BD，
∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，
∴AB是CD的垂直平分线．
即AB垂直平分CD．
故选：A．
由AC=AD，BC=BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，又由两点确定一条直线，可得AB是CD的垂直平分线．
此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
11.【答案】C
【解析】解：过点H作HK⊥BC于点K，
由折叠可知∠BEF=∠HEF=(180°−∠CEH)÷2= 60°，AF=GF．
又∵AD//BC，
∴∠FHE=∠CEH=60°，∠HFE=∠BEF=60°，
则△EFH为等边三角形，EF=EH=FH．
∵∠GHE=∠B=90°=∠G ∴∠GHF=90°−60°=30°，
∴FH=2GF，
又FH=2HD，
∴GF=HD．
∴AF=GF=HD=1
2
FH，AD=2FH，
设AB=a，AD=b，则FH=1
2
b=HE，
在直角三角形EHK中，有sin60°=HK
HE =√3
2
，即
 a
1
2
b
=√3
2
，
则a=√3
4
b①，
又矩形ABCD的面积为36√3，即a⋅b=36√3，把①式代入，得：
√3
4
b2=36√3，解得：b=12，
则EF=HE=1
2
b=6，
故选：C．
过点H作HK⊥BC于点K，由折叠的性质可知∠BEF=∠HEF=60°，进而可证明△EFH
为等边三角形，结合已知FH=2HD，进而再得到AF=GF=HD=1
2
FH，AD=2FH，
设AB=a，AD=b，则FH=1
2b=HE，在直角三角形EHK中，sin60°=HK
HE
=√3
2
，即
 a
1 2b
=√3
2
，可得a=√3
4
b，因为矩形面积为36√3，则ab=36√3，把a=√3
4
b代入解得b=12，
从而可得EF的长．
本题考查了矩形的性质，图形折叠的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等
知识，得到a=√3
4
b是解题的关键．
12.【答案】B
【解析】解：解3−2x ≥a −2(3x −1)得3−2x ≥a −6x +2．
∴x ≥a 4−14
． 解2−x ≥1−x 2得4−2x ≥1−x ．
∴x ≤3．
∵数a 使关于x 的不等式组{
3−2x ≥a −2(3x −1)2−x ≥1−x 2恰有3个整数解， ∴0<a 4−14≤1．
∴1<a ≤5．
∵2y−1+a 1−y =3，
∴2−a =3(y −1)．
∴y =5−a 3．
∵关于y 的分式方程2y−1+a 1−y =3的解为整数，
∴5−a 3是整数且5−a 3≠1．
若a 为整数，则a 可能取值为5．
故选：B ．
根据不等式的性质，由{3−2x ≥a −2(3x −1)2−x ≥1−x 2得x ≥a 4−14，x ≤3.由于关于x 的不等式组{3−2x ≥a −2(3x −1)2−x ≥1−x 2
恰有3个整数解，所以整数解可能是3、2、1，推断出0<a 4−14
≤1，即1<a ≤5.由2y−1+a 1−y =3，得y =5−a 3.又因为关于y 的分式方程2y−1+a 1−y =3的解为整数，得5−a 3是整数且5−a 3≠1.，故a =5．
本题主要考查解一元一次不等式组以及解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组以及解分式方程是解题的关键．
13.【答案】7
【解析】解：把这些数从小到大排列为：4，6，7，10，11，
则中位数是7．
故答案为：7．
根据中位数的定义直接求解即可．
此题考查了中位数，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个
来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
14.【答案】2.5×10−6
【解析】解：0.0000025=2.5×10−6；
故答案为：2.5×10−6．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15.【答案】y=2x−1
【解析】解：平移后的解析式为：y=2x−3+2=2x−1．
故填：y=2x−1．
根据k值不变，b值加2可得出答案．
本题考查的是关于一次函数的图象与它平移后图象的变换的题目，在解题过程中只要抓住平移后直线方程的斜率不变这一性质，就能很容易解答了．
16.【答案】20
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OB=OC
∴∠ACB=∠OBC=35°
∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=70°，且BE⊥AC
∴∠DBE=20°
故答案为：20
由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=35°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数．
本题主要考查矩形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键．
17.【答案】9.6
【解析】解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB=AD=10，BG=1
2
BD=8，
根据勾股定理得：AG=√AB2−BG2=√102−82=6，
∵S△ABD=S△AOB+S△AOD，
即1
2BD⋅AG=1
2
AB⋅OE+1
2
AD⋅OF，
∴16×6=10OE+10OF，
∴OE+OF=9.6．
故答案为：9.6．
连接AC交BD于点G，连接AO，根据菱形的性质可求出AG的长，再根据面积法即可求出OE+OF的值．
本题考查了菱形的性质、勾股定理、三角形面积等知识，解决本题的关键是熟练掌握菱形的性质和三角形面积公式．
18.【答案】860
【解析】解：设每克A种食材的成本价为x元，每天销售m份甲产品，n份乙产品，餐
厅每天实际成本为w元，则每100克B种食材的成本价为16−2x
2
=(8−x)元，
依题意，得：16m+(2x+8−x)n−16m−[2(8−x)+x]n=760，
化简，得：xn=4n+380．
∵w=16m+(2x+8−x)n=16m+xn+8n=16m+4n+380+8n=16m+
12n+380，4m+3n≤120，
∴w=16m+12n+380=4(4m+3n)+380≤4×120+380=860．
∴餐厅每天实际成本最多为860元．
故答案为：860．
设每克A种食材的成本价为x元，每天销售m份甲产品，n份乙产品，餐厅每天实际成
=(8−x)元，根据实际成本比核算时的本为w元，则每1克B种食材的成本价为16−2x
2
成本多688元，即可得出xn=4n+380，利用餐厅每天实际成本=每份甲产品的成本×销售数量+每份乙产品的成本×销售数量，可得出w=16m+12n+380，由每天甲销量的4倍和乙销量的3倍之和不超过120份，可得出4m+3n≤120，将其代入w中可求出w的取值范围，取其最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次不定方程的应用，根据各数量之间的关系，找出w与(4m+3n)之间的关系是解题的关键．
19.【答案】解：(2+√3)0+(−1)2021−|√8−1|
=1+(−1)−(2√2−1)
=0−2√2+1
=1−2√2．
【解析】首先计算零指数幂、乘方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
20.【答案】解：(1)如图，射线OG即为所求．
(2)∵FH⊥OE，∠OFH=20°，
∴∠EOF=70°，
∵OG平分∠EOF，
∠EOF=35°，
∴∠FOG=1
2
∵AB//CD，
∴∠OGD+∠FOG=180°，
∴∠OGD =145°．
【解析】(1)根据要求作出图形即可．
(2)求出∠FOG ，再利用平行线的性质求解即可．
本题考查作图−复杂作图，垂线，平行线的性质等知识，解题的关键是求出∠FOG 的度数．
21.【答案】90 87.5
【解析】解：(1)将九年级学生成绩重新排列为50，65，80，80，85，90，90，90，90，100．
则众数a =90，中位数b =
85+902=87.5(分)，
故答案为：90、87.5；
(2)九年级学生掌握防溺水安全知识较好，
因为九年级成绩的平均数大于八年级成绩，
所以九年级学生的防溺水安全知识较好(答案不唯一)．
(3)估计这两个年级竞赛成绩达到90分及以上的学生人数是600×410+700×510=590(人)．
(1)将九年级抽取的学生竞赛成绩重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可；
(2)答案不唯一，从平均数、众数和中位数的意义求解即可；
(3)分别用八、九年级的学生人数乘以样本中90分及以上人数所占比例，再相加即可． 本题主要考查频数分布直方图、中位数、众数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
22.【答案】解：(1)把A(0,4)和D(4,0)代入y =kx +b 得：
{4k +b =0b =4
， 解得{k =−1b =4
；
(2)由(1)得y =−x +4，联立{y =−x +4y =x +1
， 解得{x =32y =52
， 所以B(32,52)；
(3)由y =x +1，当y =0时，x +1=0，解得x =−1，
所以点C(−1,0)
所以S △ABC =S △ACD −S △BCD =12×5×4−
12
×5×5
2=3.75；
【解析】(1)将A 点和D 点的坐标代入到一次函数的一般形式，求得k 、b 的值即可；
(2)两函数联立组成方程组求得方程组的解后即可求得点B 的坐标；
(3)首先求得点C 的坐标，然后利用S △ABC =S △ACD −S △BCD 求解即可．
本题考查了两条直线平行或相交的问题，求两条直线的交点坐标时通常联立后组成方程组求解．
23.【答案】解：(1)证明：∵AD ⊥BC ，∠BAD =45°，
∴△ABD 是等腰直角三角形，
∴AD =BD ，
∵BE ⊥AC ，AD ⊥BC ，
∴∠ADC =∠ADB =90°，
∴∠CAD +∠ACD =90°，
∠CBE +∠ACD =90°，
∴∠CAD =∠CBE ，
在△ADC 和△BDF 中，
{∠CAD =∠CBE AD =BD ∠ADC =∠BDF =90°
，
∴△ADC≌△BDF(ASA)，
∴BF =AC ，
∵AB =BC ，BE ⊥AC ，
∴AC =2AE ，
∴BF=2AE；
(2)解：∵△ADC≌△BDF，
∴DF=CD=3，
在Rt△CDF中，CF=√DF2+CD2=√32+32=3√2，
∵BE⊥AC，AE=EC，
∴AF=CF=3√2，
∴AD=AF+DF=3√2+3．
【解析】(1)先判定出△ABD是等腰直角三角形，得出AD=BD，再根据同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，由ASA证得△ADC≌△BDF，得出BF=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC=2AE，即可得出结论；
(2)根据全等三角形对应边相等得出DF=CD，由勾股定理求出CF，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出AF=CF，然后根据AD=AF+DF代入数据即可得出结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质等知识，根据等腰直角三角形性、证明△ADC≌△BDF是解题的关键．
24.【答案】−2−2x 6 2x+2函数图象关于直线x=−1对称6√5
【解析】解：(1)∵x=−4时|x+4|=0；x=2时|x−2|=0
①当x<−4时，y=2−x−x−4=−2−2x；
②当−4≤x≤2时，y=2−x+x+4=6；
③当x>2时，y=x−2+x+4=2x+2；
故答案为：−2−2x；6；2x+2．
(2)在平面直角坐标系中画出y=|x−2|+|x+4|的图象，如图所示：
根据图象，该函数图象关于直线x=−1对称．
故答案为：函数图象关于直线x=−1对称；
(3)作点A的对称点A′，连接A′B，交x轴于P点，此时AP+BP的值最小，为A′B的长，
根据上面的探究可知当P(a,0)位于点(−1,0)处时，AP+BP有最小值为：√62+122= 6√5．
故答案为：6√5．
(1)根据已知条件及绝对值的化简法则计算即可；
(2)画出函数图象，则易得一条函数性质；
(3)P(a,0)位于对称轴上时，AP+BP有最小值6√5．
本题考查了一次函数的图象上的点的坐标特点及绝对值的化简计算，数形结合是解题的
关键．
25.【答案】9
【解析】解：(1)G(234)=
23+24+32+34+42+4322=9； 故答案为9；
证明：设这个三位数n 百位上的数字为a ，十位上的数字为b ，个位上的数字为c ，依题意得：
G(abc −)=
10a +b +10a +c +10b +a +10b +c +10c +a +10c +b 22 =22a +22b +22c 22
=a +b +c ，
故对于任何的三位数n ，G(n)为整数；
(2)根据(1)可得：G(p)=a +4+b ，G(q)=1+3+c =c +4，
∵G(p)⋅G(q)=56，
∴(a +4+b)(c +4)=56，
∵a ，b ，c 均为整数，1≤a ≤9，1≤b ≤9，且a ≠b ，1≤c ≤3，
∴c +4=7，a +b +4=8，
∴c =3，a +b =4，
∴p =143或341，q =133，
∵k =p q ，
∴k 的最大值为341133．
(1)根据题目所给的例子，不难求出G(234)的结果；可设这个三位数百位上的数字为a ，十位上的数字为b ，个位上的数字为c ，据题意列出式子进行求解即可；
(2)由题意可得G(p)=a +4+b ，G(q)=1+3+c =c +4，再结合G(p)⋅G(q)=56可得：c =3，a +b =4，再分析即可得解．
本题主要考查因式分解的应用，解答的关键是理解清楚题意，结合因式分解的知识为解答问题．
26.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB =AD =BC =CD ，∠D =∠ABC =90°，
∵AB=AD，∠D=∠ABG，BG=DF，
∴△ABG≌△ADF(SAS)，
∴AG=AF，∠DAF=∠BAG，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠BAG+∠BAE=45°=∠GAE，
∴∠GAE=∠EAF，
又∵AG=AF，AE=AE，
∴△GAE≌△FAE(SAS)，
∴EF=GE，
∴EF=GE=BE+BG=4+3=7；
(2)如图2，在DF上截取DM=BE，
∵AD=AB，∠ABE=∠ADM=90°，DM=BE，∴△ABE≌△ADM(SAS)，
∴AE=AM，∠EAB=∠DAM，
∵∠EAF=45°，且∠EAB=∠DAM，
∴∠BAF+∠DAM=45°，
∴∠MAF=45°=∠EAF，
又∵AE=AM，AF=AF，
∴△AEF≌△AMF(SAS)，
∴EF=FM，
∵DF=DM+FM，
∴DF=BE+EF，
∴EF=DF−BE；
(3)如图，在DF上截取DM=BE，
同(2)可证EF=DF−BE，
∴DF=BE+EF=CF+DC=18，
∵EF2=CF2+CE2，
∴(18−BE)2=62+(8+BE)2，
∴BE=56
．
13
【解析】(1)由“SAS”可证△ABG≌△ADF，可得AG=AF，∠DAF=∠BAG，由“SAS”可证△GAE≌△FAE，可得EF=GE=BE+BG=7；
(2)在DF上截取DM=BE，由“SAS”可证△ABE≌△ADM，可得AE=AM，∠EAB=∠DAM，由“SAS”可证△AEF≌△AMF，可得EF=FM，可得结论；
(3)同(2)可证EF=DF−BE，可得BE+EF=18，由勾股定理可得EF2=CF2+CE2，可求BE的长．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。