正多边形和圆练习题及答案

正多边形和圆练习
一、课前预习 (5分钟训练)
1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )
A.扩大了一倍
B.扩大了两倍
C.扩大了四倍
D.没有变化
2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )
A.3∶2∶1
B.4∶3∶2
C.4∶2∶1
D.6∶4∶3
3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.
4.中心角是45°的正多边形的边数是__________.
5.已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________.
二、课中强化(10分钟训练)
1.若正n 边形的一个外角是一个内角的32时，此时该正n 边形有_________条对称轴.
2.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )
A.26
B.43
C.36
D.34 3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( )
A.S 3>S 4>S 6
B.S 6>S 4>S 3
C.S 6>S 3>S 4
D.S 4>S 6>S 3
4.已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图24-3-1).
(1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；
(2)在(1)题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.
图
24-3-1
三、课后巩固(30分钟训练) 1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( ) A.63 B.43 C.332 D.3
3 2.已知正多边形的边心距与边长的比为2
1，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形
3.已知正六边形的半径为3 cm ，则这个正六边形的周长为__________ cm.
4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.
5.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB 为23，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.
图24-3-2
6.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.
7.如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大
圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？
图24-3-3
8.如图24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).
图24-3-4
9.用等分圆周的方法画出下列图案：
图24-3-5
10.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、…、24-3-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.
图24-3-6
(1)求图24-3-6(1)中∠MON的度数；
(2)图24-3-6(2)中∠MON的度数是_________，图24-3-6(3)中∠MON的度数
是_________；
(3)试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系(直接写出答案).
参考答案
一、课前预习 (5分钟训练)
1思路解析：由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n 边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比没有变化. 答案：D
2.思路解析：如图，设正三角形的边长为a ，则高AD=23a ，外接圆半径OA=33a ，边心距OD=6
3a ，所以AD ∶OA ∶OD=3∶2∶1.答案：A 3.答案：5 6
4.思路解析：因为正n 边形的中心角为
n ︒360，所以45°=n ︒360，所以n=8. 答案：8
5.思路解析:由切线长定理及三角形周长可得.答案:6
二、课中强化(10分钟训练)
1.思路解析：因为正n 边形的外角为n
︒360，一个内角为n n ︒•-180)2(， 所以由题意得n
︒360=32·n n ︒•-180)2(，解这个方程得n=5.答案：5 2. 思路解析：画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选A.答案：A
3.思路解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大.答案：B
4. 思路分析：求作⊙O 的内接正六边形和正方形，依据定理应将⊙O 的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明DE 是⊙O 内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE 所对圆心角等于360°÷12＝30°.
(1)作法：①作直径AC;②作直径BD ⊥AC;
③依次连结A 、B 、C 、D 四点,
四边形ABCD 即为⊙O 的内接正方形;
④分别以A 、C 为圆心，OA 长为半径作弧，交⊙O 于E 、H 、F 、G; ⑤顺次连结A 、E 、F 、C 、G 、H 各点.
六边形AEFCGH 即为⊙O 的内接正六边形.
(2)证明：连结OE 、DE.
∵∠AOD ＝4360︒＝90°，∠AOE ＝6360︒＝60°， ∴∠DOE ＝∠AOD －∠AOE ＝30°.
∴DE 为⊙O 的内接正十二边形的一边.
三、课后巩固(30分钟训练)
1. 思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为1，所以边心距为0.5,则边长为3
3.答案：D 2.思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选B.答案：B
3.答案：18
4.答案：144.
5思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径R 3与R 6的平方比即可.
解：设正三角形外接圆⊙O 1的半径为R 3，正六边形外接圆⊙O 2的半径为R 6，由题意得R 3=
33AB ，R 6=AB ，∴R 3∶R 6＝3∶3.∴⊙O 1的面积∶⊙O 2的面积＝1∶3.
6.解：设此正多边形的边数为n ，则各内角为
n n ︒•-180)2(，外角为n ︒360，依题意得n n ︒•-180)2(-n
︒360＝100°.解得n ＝9. 7.思路分析：设三个圆的圆心为O 1、O 2、O 3，连结O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为4 cm 的正△O 1O 2O 3，设大圆的圆心为O ，则点O 是正△O 1O 2O 3的中心，求出这个正△O 1O 2O 3外接圆的半径，再加上⊙O 1的半径即为所求.
解：设三个圆的圆心为O 1、O 2、O 3，连结O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为
4 cm的正△O1O2O3，则正△O1O2O3外接圆的半径为
33
4
cm，所以大圆的半
径为
33
4
+2=
36
3
4
(cm).
8.如图24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).
图24-3-4
答案：略.
9.用等分圆周的方法画出下列图案：
图24-3-5
作法：(1)分别以圆的4等分点为圆心，以圆的半径为半径，画4个圆；
(2)分别以圆的6等分点为圆心，以圆的半径画弧.
10.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、…、24-3-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.
图24-3-6
(1)求图24-3-6(1)中∠MON的度数；
(2)图24-3-6(2)中∠MON的度数是_________，图24-3-6(3)中∠MON的度数是_________；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).
答案：(1)方法一：连结OB、OC.
∵正△ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN＝30°，∠BOC=120°.
又∵BM=CN，OB=OC，∴△OBM≌△OCN.∴∠BOM＝∠CON.
∴∠MON=∠BOC=120°.
方法二：连结OA、OB.∵正△ABC内接于⊙O，
∴AB=AC，∠OAM=∠OBN=30°,∠AOB=120°.又∵BM＝CN，∴AM=BN. ∵OA=OB,∴△AOM≌△BON.∴∠AOM=∠BON.∴∠MON=∠AOB=120°.
(2)90°72°(3)∠MON=
n
360
.。